CN109470252A - 一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，属于飞行器轨迹优化与制导技术领域。所述方法包括：步骤一：建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型；步骤二、对所述返回着陆轨迹优化模型进行离散化处理；步骤三：对离散的轨迹优化问题进行凸化处理；步骤四：建立保证收敛性能的序列凸化算法。本发明提出的方法具有高精度，高准确度和求解快速性的特点。

Description

一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化 方法

技术领域

本发明涉及一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，属于飞行器轨迹优化与制导技术领域。

背景技术

精确软着陆是一个经典问题，在国内外有着较长的研究和实践历史。近年来随着美国太空探索技术公司的猎鹰9(Falcon-9)火箭多次发射与子级回收成功，垂直起降可重复使用运载火箭(Vertical Takeoff Vertical Landing Reusable Launch Vehicle，VTVL-RLV)子级返回技术引起了国内外学者的广泛关注。子级返回制导是VTVL-RLV的一项关键技术，子级返回过程中，需要利用有限的控制能力实现大范围减速、满足过程约束和苛刻的定点垂直着陆终端约束，同时要尽量减少返回过程中的燃料消耗以提高火箭运载能力并应对突发情况。此问题可描述为强约束下的轨迹优化问题。在复杂的飞行环境下，传统的离线轨迹优化无法满足返回制导的需求。

发明内容

本发明为了解决传统的离线轨迹优化无法满足返回制导的需求的技术问题，在基于在线优化的闭环制导方法框架下，解决垂直起降重复使用运载器高精度返回着陆制导问题，提出了一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法。所采取的技术方案如下：

一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，所述优化方法包括：

步骤一：建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型；

步骤二、对所述返回着陆轨迹优化模型进行离散化处理；

步骤三：对离散的轨迹优化问题进行凸化处理；

步骤四：建立保证收敛性能的序列凸化算法。

进一步地，步骤一所述建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型的具体过程如下：针对垂直起降重复使用运载器返回着陆问题，建立以燃料最省为性能指标的轨迹优化模型，所述轨迹优化模型为：

minJ＝-m_f (1)

其中，V为速度，γ为航迹倾角，ψ为航向角，φ为纬度，θ为经度，r为地心距，m为质量，P_i为火箭发动机推力在箭体坐标系下的分量，D为子级受到的空气阻力，fM为地球引力常数，Ω为地球自转角速度，P_Total为发动机总推力，I_sp为发动机比冲，g₀为海平面重力加速度，ε_H、ε_V、ε_γ、ε_φ、ε_θ分别为终端高度、速度、倾角和经纬度容许误差，m_dry为子级干重；m_dry为子级干重；J为性能指标函数；m_f为终端质量；ρ为大气密度；q_max和分别表示容许最大动压和热流密度；k_Q为与飞行器外形相关的常数；H_f、V_f、γ_f、φ_f、θ_f、φ_d和θ_d分别表示终端状态值。

进一步地，步骤二所述离散化处理过程中，火箭子级的滑行段飞行和动力段飞行在基于伪谱法的离散优化模型建立过程中分为两个阶段，在两个阶段内分别对问题进行伪谱离散并设置阶段间连接条件，所述离散化处理的具体过程包括：

第一步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，滑行段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

其中，D为flip-Radau微分矩阵，f(x,u)为微分方程的右端函数，τ_i,(i＝1,...,N₁)为(-1,1]区间内的配点，N₁为配点数量，τ₀为在-1处的离散点，x₁为滑行段的状态变量，u₁为滑行段的控制变量，由于滑行段发动机不开机，u₁为0，和分别为滑行段的起止时间，

第二步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，动力段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

并且，两阶段间的连接条件为x_{1_f}＝x_{2_0}；

第三步：在滑行段发动机控制量为零，仅考虑动力段的动压和热流约束，则滑行段的离散形式为：

动力段发动机推力约束的离散形式为：

其中，C_q、分别表示离散化的约束函数；r₂、V₂分别表示动力段的地心距与速度。

进一步地，步骤三所述对离散的轨迹优化问题进行凸化处理的具体过程包括：

步骤1：引入新的控制变量Γ对原控制约束进行松弛，将问题中控制变量约束做如下变换：

P_min≤Γ(τ_i)≤P_max,(i＝1,...,N₂) (10)

其中，P_min和P_max分别表示最小和最大推力值；

步骤2：将动力段动力学约束重新列写，所述动力段动力学约束如下：

其中，f_arg表示增广的有端动力学函数，y_i表示增广的优化变量；

步骤3：对公式(11)中的f_arg进行一阶泰勒展开，所述f_arg的一阶泰勒展开式如下：

其中，下标i表示在第i个配点处的约束，x^k和为第k次迭代时泰勒展开的参考点，h(x)是动力学中与地球自转相关的项；H.O.T.表示高阶小项；和分别为线性化系统的状态矩阵和控制矩阵，且有：

上式中，

步骤4：所述f_arg的一阶泰勒展开式得出线性化的动力段动力学约束方程，所述线性化的动力段动力学约束方程如下：

步骤5：对过程状态约束进行线性化处理，获得线性化的过程状态约束方程如下：

其中，

c₁₁＝ρ₀e^-κ·HV，

进一步地，步骤四所述序列凸化算法的具体过程为：

Step1：输入给定初始优化变量x¹，给定迭代停止条件以及最大迭代次数k_max，其中，最大迭代次数k_max的取值范围为10至20次。

Step2：求解上述凸化子问题，得到最优解Δx^k；如果求解结束，返回成功标志与解x^k；如果k＞k_max，结束并返回失败标志；否则，进入step3； 和分别表示约束残差和相应的收敛条件。

Step3：置x^k+1:＝x^k+Δx k:＝k+1，返回Step 1。

进一步地，步骤四所述序列凸化算法中，第一次迭代的参考点由粗选的初值提供，随后的每次迭代过程中参考点取为上一次迭代得到的最优解，并且，在所述凸化处理加入信赖域约束，所述信赖域约束为：

其中，δ_x和分别为针对各个状态和控制变量设计的信赖域值。

本发明有益效果：

本发明提出的一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，首先针对垂直起降重复使用运载器返回着陆问题，建立了相应的轨迹优化模型。随后，采用flip-Radau伪谱法对问题进行了离散化，并提出了一种序列凸化算法对问题进行凸化合求解。基于伪谱法的离散化以及凸优化方法收敛，本发明提出的方法具有高精度，高准确度和求解快速性的特点，适合发展为在线轨迹优化方法。且为后续开展基于在线轨迹优化方法的闭环制导方法打下了基础。对于未来的垂直起降重复使用运载器返回着陆制导方法具有借鉴和参考价值。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明做进一步说明，但本发明不受实施例的限制。

实施例1：

一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，所述优化方法包括：

步骤一：建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型；

步骤二、对所述返回着陆轨迹优化模型进行离散化处理；

步骤三：对离散的轨迹优化问题进行凸化处理；

步骤四：建立保证收敛性能的序列凸化算法。

其中，步骤一所述建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型的具体过程如下：针对垂直起降重复使用运载器返回着陆问题，建立以燃料最省为性能指标的轨迹优化模型，所述轨迹优化模型为：

minJ＝-m_f (1)

其中，V为速度，γ为航迹倾角，ψ为航向角，φ为纬度，θ为经度，r为地心距，m为质量，P_i为火箭发动机推力在箭体坐标系下的分量，D为子级受到的空气阻力，fM为地球引力常数，Ω为地球自转角速度，P_Total为发动机总推力，I_sp为发动机比冲，g₀为海平面重力加速度，ε_H、ε_V、ε_γ、ε_φ、ε_θ分别为终端高度、速度、倾角和经纬度容许误差，m_dry为子级干重。

步骤二所述离散化处理过程中，火箭子级的滑行段飞行和动力段飞行在基于伪谱法的离散优化模型建立过程中分为两个阶段，在两个阶段内分别对问题进行伪谱离散并设置阶段间连接条件，所述离散化处理的具体过程包括：

第一步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，滑行段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

其中，D为flip-Radau微分矩阵，f(x,u)为微分方程的右端函数，τ_i,(i＝1,...,N₁)为(-1,1]区间内的配点，N₁为配点数量，τ₀为在-1处的离散点，x₁为滑行段的状态变量，u₁为滑行段的控制变量，由于滑行段发动机不开机，u₁为0，和分别为滑行段的起止时间，

第二步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，动力段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

并且，两阶段间的连接条件为x_{1_f}＝x_{2_0}；

第三步：在滑行段发动机控制量为零，仅考虑动力段的动压和热流约束，则滑行段的离散形式为：

动力段发动机推力约束的离散形式为：

问题的另外一个非凸性来源于问题非线性动力学模型和过程状态约束。本实施例利用序列凸化来解决非线性约束的凸化问题。序列凸化是将非线性约束进行线性化近似，进而得到近似凸问题的最优解，并通过序列迭代求解的方式使近似解不断逼近原非线性非凸问题的最优解。经过线性化处理，算法每一步迭代求解一个凸的子问题，并将每一次迭代得到的最优解作为下一次迭代的线性化参考点，直至最优解收敛。

由于火箭子级滑行段与动力段动力学模型相似，且动力段动力学较为复杂，首先给出动力段的动力学约束线性化形式，然后滑行段线性化动力学约束可类比得到。将动力段动力学约束重新列写如下，为表述简洁在此忽略表示不同飞行阶段的下标。步骤三所述对离散的轨迹优化问题进行凸化处理的具体过程包括：

步骤1：引入新的控制变量Γ对原控制约束进行松弛，将问题中控制变量约束做如下变换：

P_min≤Γ(τ_i)≤P_max,(i＝1,...,N₂) (10)

步骤2：将动力段动力学约束重新列写，所述动力段动力学约束如下：

步骤3：公式(11)中的非线性相关项集中在增广的动力学方程右端函数f_arg中，对公式(11)中的f_arg进行一阶泰勒展开，所述f_arg的一阶泰勒展开式如下：

其中，下标i表示在第i个配点处的约束，x^k和为第k次迭代时泰勒展开的参考点，h(x)是动力学中与地球自转相关的项；和分别为线性化系统的状态矩阵和控制矩阵，且有：

上式中，

矩阵中其他元素与上述元素类似，为增广动力学方程右端函数对各个状态变量和增广控制变量求一阶偏导的结果；

步骤4：所述f_arg的一阶泰勒展开式得出线性化的动力段动力学约束方程，所述线性化的动力段动力学约束方程如下：

步骤5：对过程状态约束进行线性化处理，获得线性化的过程状态约束方程如下：

其中，

c₁₁＝ρ₀e^-κ·HV，

上述线性化过程中一个重要的环节是泰勒展开参考点的选择，在序列凸化算法中，第一次迭代的参考点由粗选的初值提供，随后的迭代过程中参考点取为上一次迭代得到的最优解。

根据泰勒展开的特点，在序列凸化迭代过程中，只有优化变量在参考点附近取值时，线性化的动力学和状态约束才是对原非线性形式的良好近似。因此，在序列凸化算法中加入如下信赖域约束：

式中δ_x和分别为针对各个状态和控制变量设计的信赖域值。

步骤四所述序列凸化算法的具体过程为：

Step1：输入给定初始优化变量x¹，给定迭代停止条件以及最大迭代次数k_max，其中，最大迭代次数k_max的取值范围为10至20次。

Step2：求解上述凸化子问题，得到最优解Δx^k；如果求解结束，返回成功标志与解x^k；如果k＞k_max，结束并返回失败标志；否则，进入step3；

Step3：置x^k+1:＝x^k+Δx k:＝k+1，返回Step 1。

虽然本发明已以较佳的实施例公开如上，但其并非用以限定本发明，任何熟悉此技术的人，在不脱离本发明的精神和范围内，都可以做各种改动和修饰，因此本发明的保护范围应该以权利要求书所界定的为准。

Claims (6)

1.一种基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，所述优化方法包括：

步骤一：建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型；

步骤二、对所述返回着陆轨迹优化模型进行离散化处理；

步骤三：对离散的轨迹优化问题进行凸化处理；

步骤四：建立保证收敛性能的序列凸化算法。

2.根据权利要求1所述基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，步骤一所述建立垂直起降重复使用运载器返回着陆轨迹优化模型的具体过程如下：针对垂直起降重复使用运载器返回着陆问题，建立以燃料最省为性能指标的轨迹优化模型，所述轨迹优化模型为：

min J＝-m_f (1)

其中，V为速度，γ为航迹倾角，ψ为航向角，φ为纬度，θ为经度，r为地心距，m为质量，P_x、P_y和P_z为火箭发动机推力在箭体坐标系下的分量，D为子级受到的空气阻力，fM为地球引力常数，Ω为地球自转角速度，P_Total为发动机总推力，I_sp为发动机比冲，g₀为海平面重力加速度，ε_H、ε_V、ε_γ、ε_φ、ε_θ分别为终端高度、速度、倾角和经纬度容许误差，m_dry为子级干重；J为性能指标函数；m_f为终端质量；ρ为大气密度；q_max和分别表示容许最大动压和热流密度；k_Q为与飞行器外形相关的常数；H_f、V_f、γ_f、φ_f、θ_f、φ_d和θ_d分别表示终端状态值。

3.根据权利要求1所述基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，步骤二所述离散化处理过程中，火箭子级的滑行段飞行和动力段飞行在基于伪谱法的离散优化模型建立过程中分为两个阶段，在两个阶段内分别对问题进行伪谱离散并设置阶段间连接条件，所述离散化处理的具体过程包括：

第一步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，滑行段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

其中，D为flip-Radau微分矩阵，f(x,u)为微分方程的右端函数，τ_i,(i＝1,...,N₁)为(-1,1]区间内的配点，N₁为配点数量，τ₀为在-1处的离散点，x₁为滑行段的状态变量，u₁为滑行段的控制变量，由于滑行段发动机不开机，u₁为0，和分别为滑行段的起止时间，

第二步：根据VTVL-RLV子级动力学模型，动力段的动力学flip-Radau伪谱离散方程为：

并且，两阶段间的连接条件为x_{1_f}＝x_{2_0}；

第三步：在滑行段发动机控制量为零，仅考虑动力段的动压和热流约束，则滑行段的离散形式为：

动力段发动机推力约束的离散形式为：

其中，C_q、分别表示离散化的约束函数；r₂、V₂分别表示动力段的地心距与速度。

4.根据权利要求1所述基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，步骤三所述对离散的轨迹优化问题进行凸化处理的具体过程包括：

步骤1：引入新的控制变量Γ对原控制约束进行松弛，将问题中控制变量约束做如下变换：

P_min≤Γ(τ_i)≤P_max,(i＝1,...,N₂) (10)

其中，P_min和P_max分别表示最小和最大推力值；

步骤2：将动力段动力学约束重新列写，所述动力段动力学约束如下：

其中，f_arg表示增广的有端动力学函数，y_i表示增广的优化变量；

步骤3：对公式(11)中的f_arg进行一阶泰勒展开，所述f_arg的一阶泰勒展开式如下：

其中，下标i表示在第i个配点处的约束，x^k和为第k次迭代时泰勒展开的参考点，h(x)是动力学中与地球自转相关的项；H.O.T.表示高阶小项；和分别为线性化系统的状态矩阵和控制矩阵，且有：

上式中，

步骤4：所述f_arg的一阶泰勒展开式得出线性化的动力段动力学约束方程，所述线性化的动力段动力学约束方程如下：

步骤5：对过程状态约束进行线性化处理，获得线性化的过程状态约束方程如下：

其中，

5.根据权利要求1所述基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，步骤四所述序列凸化算法的具体过程为：

Step1：输入给定初始优化变量x¹，给定迭代停止条件以及最大迭代次数k_max，其中，最大迭代次数k_max的取值范围为10至20次。

Step2：求解上述凸化子问题，得到最优解Δx^k；如果求解结束，返回成功标志与解x^k；如果k＞k_max，结束并返回失败标志；否则，进入step3； 和分别表示约束残差和相应的收敛条件；

Step3：置x^k+1:＝x^k+Δx k:＝k+1，返回Step 1。

6.根据权利要求1或5所述基于凸优化的垂直起降重复使用运载器快速轨迹优化方法，其特征在于，步骤四所述序列凸化算法中，第一次迭代的参考点由粗选的初值提供，随后的每次迭代过程中参考点取为上一次迭代得到的最优解，并且，在所述凸化处理加入信赖域约束，所述信赖域约束为：

其中，δ_x和分别为针对各个状态和控制变量设计的信赖域值。