CN108809273A - 基于lms自适应滤波的复数直接频率估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的一种基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，将基于LMS自适应滤波的直接频率估计算法应用于非平衡三相电压信号中，得到复数域DFE算法，并对该算法进行了改进，得到时变步长因子的CDFE算法。CDFE算法基于指数信号的线性预测，对误差函数的瞬时平方值关于频率求导，并以其导数作为频率的更新值。VSS‑CDFE算法则是在CDFE算法的基础上，利用动态更新的步长因子来代替固定步长，步长大小的更新则是建立在最速下降法的基础之上。本文提出的方法均可以准确地产生无偏频率估计，VSS‑CDFE法在估计方差性能上则更优越。

Description

基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法

技术领域

本发明涉及非平衡系统频率估计技术领域，特别是涉及基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法。

背景技术

电力系统中，在加性白高斯噪声下，对系统频率的精确估计至关重要，因为保持标称频率值是电网稳定性和电气设备正常运行的先决条件。频率也是控制分布式电网的关键参数，例如，它可以用于确定非线性负载汲取的电流的谐波含量。目前国内外提出了许多频率估计的算法，包括建立在电压频谱分析基础上的直接频率估计(direct frequencyestimation，DFE)算法和MVDR算法；锁相环算法和自适应陷波器算法；另外一类利用识别理论的频率估计算法则是建立在连续纯净正弦/指数信号之间的时序关系，例如最小二乘算法及其变体、LMS自适应滤波算法等。

一种基于线性预测模型的自适应频率估计算法利用最小均方函数来进行频率追踪。该算法的核心思想就是最小化修正线性预测误差函数的均方值。通过对其修正的均方误差函数进行关于频率ω的求导，得出的结果作为自适应频率估计的LMS更新部分。该算法简单、高效，它提供的是一种直接的无偏频率估计。通常在噪声方差未知的情况下，所得到的频率估计时带有偏差的，而通过对均方误差函数进行修正，使其成为这种带有限制条件的最优化问题，最后所求得的结果则会产生无偏的频率估计。

非圆信号广泛应用于描述非平衡系统的动态状态，例如非平衡三相电力系统、I-Q不平衡通信系统等等。基于恰当的非圆信号统计分析，利用非平衡电压的非圆统计特性，众多文献提出了一系列的估计模型，标准的频率估计算法也可以进一步扩展为通用的形式。

传统的直接频率估计技术并不能够直接应用于非平衡系统中的复值非圆信号，需要设计一种适用于非平衡三相电压信号的频率估计方法。

发明内容

发明目的：为了解决现有技术存在的问题，可以准确无偏估计非平衡三相电压的频率，本发明提供一种基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法。

技术方案：一种基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，包括以下步骤：

(1)提供待频率估计的非平衡电压信号，并表示为含有噪声的离散时间信号x(n)，x(n)包括s(n)与复值双高斯白噪声q(n)，通过x(n)的测量值对s(n)进行预测，得到预测值定义线性预测误差函数并列出线性预测误差函数的均方误差函数；

(2)在噪声功率未知的情况下，通过对线性预测误差函数的均方误差函数最小化，获得角速度的无偏估计，此时必须满足为常量的条件；列出直接频率估计的LMS更新等式：

其中μ是步长因子，代表取复数的实部，(·)^*代表取复数的共轭；为角频率ω在时间n处的估计值；为角频率ω在时间n+1处的估计值；

(3)计算公式(1)中学习增量的期望值，并将期望值带入式(1)中，得到频率估计的平均收敛轨迹，推导出稳态条件下的频率估计值。

优选的，步骤(1)中的μ是人为设定的固定值。

优选的，步骤(1)中的μ是变步长参数μ_temp，将式(1)修改为：

此处和(·)^*的含义同上；并采用梯度下降法的迭代方式调整μ_temp，迭代公式为：

其中代表求函数关于μ的偏导，a和b都是控制参数，0＜a＜1且b＞0；J为代价函数J＝(1/4)|e(n)|²；调整后的μ_temp为通过迭代使J达到最小值时的μ_temp。

优选的，步骤(1)中的μ是对经迭代方式调整后的μ_temp进一步确定的结果，设最终的变步长参数为μ_n，确定方法包括：设定步长参数上限μ_max和步长参数下限μ_min，μ_n与μ_temp、μ_max、μ_min满足以下条件：

μ_temp＝aμ_n-1+bz_n (4)

其中，

优选的，步骤(1)中，含有噪声的离散时间信号x(n)表示为：

式中，|A|和|B|分别是正序列和负序列的幅度，φ_A和φ_B分别为正序列和负序列的初始相位；ω＝2πf₀为数字角频率，f₀为系统标准频率；q(n)＝q_r(n)+jq_i(n)是均值为0的复值双高斯白噪声，方差为q_r和q_i分别代表高斯白噪声的实部和虚部； 和分别为复值高斯白噪声实部和虚部的方差，q_r⊥q_i。

优选的，步骤(1)中，s(n)的预测值为：

式中，是ω的估计值。

优选的，线性预测误差函数的均方误差函数为：

其中，表示信号功率。

优选的，步骤(3)中，

计算式(1)中学习增量的期望值：

其中：

显然，是式(10)的一个稳定点；此外，式(10)的推导结果在处的求导结果为：

对于ω∈(0，π)，导数的值始终大于0，满足局部稳定条件，将式(10)代入式(1)中，得到此频率估计的平均收敛轨迹：

考虑到当趋近于ω时的局部稳定性，通过式(13)估计稳态下的频率为：

其中：

有益效果：本发明提供一种基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，将基于LMS自适应滤波的直接频率估计算法应用于非平衡三相电压信号中，得到复数域直接频率估计(complex-valued DFE，CDFE)算法，并对该算法进行了改进，得到时变步长因子的复数域直接频率估计(variable step-size CDFE，VSS-CDFE)算法。本方法可以处理复值非圆信号，适用于非平衡三相电力系统。CDFE算法基于指数信号的线性预测，对误差函数的瞬时平方值关于频率求导，并以其导数作为频率的更新值。VSS-CDFE算法则是在CDFE算法的基础上，利用动态更新的步长因子来代替固定步长，步长大小的更新则是建立在最速下降法的基础之上。两种方法均可以准确地产生无偏频率估计，VSS-CDFE算法在估计方差性能上则更优越。在含有噪声的非平衡三相电力系统中，仿真结果可以显示出本方法优越的频率估计性能。

附图说明

图1为CDFE推导估计公式和理论估计公式的对比图；

图2为CDFE算法在不同频率条件下的理论方差以及均方误差对比图；

图3(a)为不同迭代次数下CDFE和VSS-CDFE两种算法的均方误差对比图；

图3(b)为不同信噪比下CDFE和VSS-CDFE两种算法的均方误差对比图；

图4(a)为真实环境下非平衡电压信号不同电压的对比图；

图4(b)为真实环境下非平衡电压信号在CDFE和VSS-CDFE两种算法下的频率估计效果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

本发明基于LMS自适应滤波的DFE频率估计算法，重新推导了DFE算法在复信号模型下的频率估计方法，使此方法可以处理复值非圆信号。CDFE算法基于指数信号的线性预测，对误差函数的瞬时平方值关于频率求导，并以其导数作为频率的更新值。VSS-CDFE算法则是在CDFE算法的基础上，利用动态更新的步长因子来代替固定步长，步长大小的更新则是建立在最速下降法的基础之上。这两种方法均可以准确地产生无偏频率估计，VSS-CDFE算法在估计方差性能上则更优越。

实施例一：

利用MATLAB平台展示专利算法的仿真结果。基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，包括以下步骤：

(1)提供待频率估计的非平衡电压信号，并表示为含有噪声的离散时间信号x(n)，x(n)包括s(n)与复值双高斯白噪声q(n)，表示为：

式中，|A|和|B|分别是正序列和负序列的幅度，φ_A和φ_B分别为正序列和负序列的初始相位；ω＝2πf₀为数字角频率，f₀为系统标准频率；q(n)＝q_r(n)+jq_i(n)是均值为0的复值双高斯白噪声，方差为q_r和q_i分别代表高斯白噪声的实部和虚部。这里和分别代表复值高斯白噪声实部和虚部的方差，q_r⊥q_i。

容易证明s(n)遵从如下的递推关系：

s(n)＝2cos(ω)s(n-1)-s(n-2) (2)

通过x(n)的测量值对s(n)进行预测，得到预测值为：

式中，是ω的估计值。

定义线性预测误差函数并列出线性预测误差函数的均方误差函数：

其中，表示信号功率。

(2)在噪声功率未知的情况下，通过对线性预测误差函数的均方误差函数最小化，获得角速度ω的无偏估计，此时必须满足为常量的条件。这种带有限制条件的最优化问题相当于无限制条件的分式的最小化问题。分式形式表示为：

由上式可以得到，E{|ζ(n)|²}的瞬时值|ζ(n)|²为：

其中表示频率ω在时间n处的估计值。注意到当时，|ζ(n)|²事实上是的估计值。通过|ζ(n)|²对关于的求导，随机梯度估计如下所示：

当时，式的值总是为正，所以不影响梯度估计值的正负号。因此直接频率估计算法的LMS更新等式可以简化为：

其中μ是自适应算法的步长因子，代表取复数的实部，(·)^*代表取复数的共轭。本实施例设置步长大小μ＝0.01，信噪比SNR＝20dB；为角频率ω在时间n处的估计值；为角频率ω在时间n+1处的估计值；

补充：自适应频率估计算法的收敛速度在很大程度上取决于步长大小，当步长参数较大时，滤波器收敛到稳态需要迭代次数较少，但滤波效果比步长较小时差，而且均方误差的稳态值随着步长的变大而增大；但是当步长参数较小时，收敛速度则会降低，因此只有选择合适的步长参数，才能使该算法的性能稳定。此处所设置的步长参数则是根据信号取样点数以及初始频率和稳态频率之间的误差大小决定的。当取样点数较少且频率误差较大时，为达到收敛效果，宜采取较大的步长参数，反之则取较小的参数以获得较小的估计方差。

(3)计算公式(8)中学习增量的期望值：

其中：

显然，是式(9)的一个稳定点；此外，式(9)的推导结果在处的求导结果为：

对于ω∈(0，π)，导数的值始终大于0，满足局部稳定条件，将式(9)代入式(8)中，得到此频率估计的平均收敛轨迹：

考虑到当趋近于ω时的局部稳定性，通过式(12)估计稳态下的频率为：

其中：

本实施例设置ω是一个分段的函数，实际频率在前150次迭代过程为0.8π rad/s，然后在第150次迭代时立刻改变为0.55π rad/s，在第300次迭代时立刻变为0.3πrad/s。结果如图1所示，该图显示了CDFE算法的频率估计轨迹曲线。可以看出，大概在第90次，240次以及380次迭代运算时收敛于实际的频率值。

为了验证本方法的效果，可以进行稳态环境下的估计方差推导：

根据前面的假设，即q(n)是均值为0、方差为的复值高斯白噪声，利用式，ω_n在稳态条件下的均方误差计算如下：式(8)两边同时减去ω，然后对两边进行平方计算，取其期望，然后考虑n→∞，可以得到：

此处假设μ的取值足够小，使得一旦收敛的时候，ω_n→ω。等式(15)右边部分计算较为简单，包括两部分，一部分包含信号和噪声，一部分只含有噪声。此处直接给出结果：

另一方面，对于等式(15)的左边，可以进行如下方式的推导：

其中代表学习增量，表示为：

利用式(13)，式(16)的第一项可以计算为：

同样地，式(16)的第二项计算较为简单：

以及

将式(16)～(20)代入式(15)，经过化简，可以得到该算法在稳态条件下的频率方差，用表示：

其中，

同时通过仿真实验进行验证，接下来一组测试用于评估ω∈[0.05π，0.95π]的频率估计的方差性能。主要比较了理论方差以及均方误差(MSE)。均方误差则是取独立实验300次的平均估计值。从图2可以看出，推导出的理论方差公式，符合真实计算出的均方误差，尤其在ω接近0.5πrad/s时。

实施例二：

本实施例与实施例一的不同之处在于，实施例二中的步长不是定值，是变步长参数μ_temp，将式(1)修改为：

其中，代表学习增量。并采用梯度下降法的迭代方式调整μ_temp，迭代公式为：

其中代表求函数关于μ的偏导，a和b都是控制参数，0＜a＜1且b＞0，通常，a的值接近1，b的值则很小；J为代价函数J＝(1/4)|e(n)|²；调整后的μ_temp为通过迭代使J达到最小值时的μ_temp。

式(23)是梯度下降法的一种修正方案，参数a的加入是为了分析和设计的方便。我们令代价函数J为(1/4)|e(n)|²。因此，步长动态地变化来使J最小化。J函数关于μ_n-1的梯度如下所示：

对经迭代方式调整后的μ_temp再进一步确定其结果，设最终的变步长参数为μ_n，确定方法包括：设定步长参数上限μ_max和步长参数下限μ_min，μ_n与μ_temp、μ_max、μ_min满足以下条件：

μ_temp＝aμ_n-1+bz_n (25)

其中，参数a和b含义同上，代表取复数的实部，(·)^*代表取复数的共轭；

为了比较实施例一和实施例二的效果，验证VSS-CDFE在频率估计方面的性能更优，下面展开了几组Matlab计算机仿真实验。

VSS-CDFE算法的相关参数设置如下：μ_max＝0.01，μ_min＝0.0001，a＝0.9999，b＝0.00005。μ_max的值同样用来设置VSS-CDFE算法的初始步长大小μ₀。整个频率估计过程开始于初始值ω₀＝0.5π，并且取独立实验300次的平均值作为估计值。

图3(a)展示了在非稳态条件下两种算法的均方误差。在前100000次迭代过程中，其真实频率为0.9π，后半过程则变化到0.4π。为了便于比较，CDFE的步长因子设置为μ_max或者μ_min。很明显可以看到，VSS-CDFE算法比CDFE(μ＝0.01)算法拥有更小的均方误差，尽管这两者的收敛速率大致相同；而且，VSS-CDFE算法比CDFE(μ＝0.01)算法拥有更快的收敛速率，尽管这两者的均方误差大致相等。

图3(b)展示了不同信噪比下频率为0.22πrad/s时两种算法的稳态频率方差。可以看到，在不同信噪比下VSS-CDFE算法和CDFE(μ＝0.01)相比，有较小的方差，而且，其理论值比较符合仿真结果，尽管在信噪比太大或者太小的时候误差较大。此外，VSS-CDFE在不同信噪比下和CDFE(μ＝0.0001)有着相似的方差大小。

最后一组仿真，我们在真实世界电力系统下研究所提出算法的鲁棒性。三相电压信号记录在110/20/10kV的变电站中。所要测量的三相电压系统频率大约在50Hz附近，经过了1kHz的采样，电压幅值根据峰值进行了归一化处理，该信号是一种典型的非平衡三相电压信号。在图4(a)中，所示电压经历了非平衡状态；图4(b)中，两种方法都可以较为准确地对频率进行跟踪，其中VSS-CDFE算法的收敛速度不如CDFE算法，这是因为前者步长因子一直在变小；但是前者的估计均方误差却要比后者小得多，从图中前者估计频率的幅度变化要小得多这一点可以准确看出。

Claims (8)

1.一种基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)提供待频率估计的非平衡电压信号，并表示为含有噪声的离散时间信号x(n)，x(n)包括s(n)与复值双高斯白噪声q(n)，通过x(n)的测量值对s(n)进行预测，得到预测值定义线性预测误差函数并列出线性预测误差函数的均方误差函数；

(2)在噪声功率未知的情况下，通过对线性预测误差函数的均方误差函数最小化，获得角速度的无偏估计，此时必须满足为常量的条件；列出直接频率估计的LMS更新等式：

其中μ是步长因子，代表取复数的实部，(·)^*代表取复数的共轭；为角频率ω在时间n处的估计值；为角频率ω在时间n+1处的估计值；

(3)计算公式(1)中学习增量的期望值，并将期望值带入式(1)中，得到频率估计的平均收敛轨迹，推导出稳态条件下的频率估计值。

2.根据权利要求1所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(1)中的μ是人为设定的固定值。

3.根据权利要求1所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(1)中的μ是变步长参数μ_temp，将式(1)修改为：

此处和(·)^*的含义同上；并采用梯度下降法的迭代方式调整μ_temp，迭代公式为：

其中代表求函数关于μ的偏导，a和b都是控制参数，0＜a＜1且b＞0；J为代价函数J＝(1/4)|e(n)|²；调整后的μ_temp为通过迭代使J达到最小值时的μ_temp。

4.根据权利要求3所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(1)中的μ是对经迭代方式调整后的μ_temp进一步确定的结果，设最终的变步长参数为μ_n，确定方法包括：设定步长参数上限μ_max和步长参数下限μ_min，μ_n与μ_temp、μ_max、μ_min满足以下条件：

μ_temp＝aμ_n-1+bz_n (4)

其中，

5.根据权利要求1所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(1)中，含有噪声的离散时间信号x(n)表示为：

式中，|A|和|B|分别是正序列和负序列的幅度，φ_A和φ_B分别为正序列和负序列的初始相位；ω＝2πf₀为数字角频率，f₀为系统标准频率；q(n)＝q_r(n)+jq_i(n)是均值为0的复值双高斯白噪声，方差为q_r和q_i分别代表高斯白噪声的实部和虚部； 和分别为复值高斯白噪声实部和虚部的方差，q_r⊥q_i。

6.根据权利要求5所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(1)中，s(n)的预测值为：

式中，是ω的估计值。

7.根据权利要求5所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，线性预测误差函数的均方误差函数为：

其中，表示信号功率。

8.根据权利要求1所述的基于LMS自适应滤波的复数直接频率估计方法，其特征在于，步骤(3)中，

计算式(1)中学习增量的期望值：

其中：

显然，是式(10)的一个稳定点；此外，式(10)的推导结果在处的求导结果为：

对于ω∈(0，π)，导数的值始终大于0，满足局部稳定条件，将式(10)代入式(1)中，得到此频率估计的平均收敛轨迹：

考虑到当趋近于ω时的局部稳定性，通过式(13)估计稳态下的频率为：

其中：