CN108446460B - 一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法，桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应，将桩周土体沿纵向分成任意个层段，每个层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下桩周土体和桩身纵向振动方程，使用Laplace变换和分离变量法，求解振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数。

Description

一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法

技术领域

本发明涉及土建领域，更具体地，涉及一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法。

背景技术

纵向成层土中的桩基相互作用体系耦合振动特性研究是桩基抗震、防震设计及桩基动力检测等工程技术领域的理论基础，一直以来亦是土动力学、岩土工程和结构-地基相互作用领域的交叉热点问题。

桩-土耦合振动特性研究是桩基抗震、防震设计及桩基动力检测等工程技术领域的理论基础，一直以来亦是岩土工程和固体力学的热点问题。

众所周知，在桩基施工过程中，由于挤土、松弛以及其它扰动因素的影响，使得桩周土体沿桩基径向存在一定不均匀性，即径向非均质效应。为考虑此种双向非均质效应，国内外诸多学者取得了大量成果。这些成果可从不同角度加以分类，从作用的外荷载来看，可分为谐和荷载作用下的频域响应研究和任意荷载下时域、频域响应研究；从土体的材料阻尼来看，可分为滞回材料阻尼和粘性材料阻尼；从求解方法来看，可分为解析法、半解析法及数值方法。

土体的材料阻尼是由土体内部颗粒摩擦所引起的能量耗散，这种内摩擦是由介质颗粒结晶结构的缺损、介质颗粒之间的非弹性连接及其他热弹性过程引起的，是不可避免的，为了考虑这一内摩擦效应，采用考虑阻尼效应的土体线性本构方程，来研究材料阻尼对桩动力响应的影响是非常必要的。

在观测和实验基础上建立的常用线性阻尼本构方程可分为两类：时域本构方程和频域本构方程，前者从宏观物理模型线性粘弹性体出发直接在时域建立；后者则通过与经典的频域分析方法相匹配在频域内建立。

线性粘弹性体的时域本构模型，可以由线性弹簧和线性阻尼元件构成，线性阻尼元件的粘性应力与应变率成正比，由这两种线性单元可以构成各种线性粘弹性本构模型，可以反映真实固体的应力-应变性质。

线性滞回阻尼主要体现在频域本构中的滞回阻尼比，频域本构可以理解为时域本构的逆傅里叶变换，滞回阻尼比通常假设为常数，即假设材料处于弹性工作区域内，滞回阻尼比的变化不大，或无明显趋向性变化。另外，对谐和荷载下的稳态振动问题的频域分析，能够近似地反映土体的材料阻尼特性。然而，对非谐和振动(瞬态振动或随机振动)问题，滞回阻尼模型是不适合的，特别是在研究瞬态激振条件下桩的时域响应时，土阻尼力与振幅有关也与应变速率有关，采用滞回阻尼模型在概念上会引起矛盾，从而产生所谓“动响应的非因果性”，而此时粘性阻尼模型则比较适合，在物理上也更合理。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术存在的上述缺陷，考虑桩周土体施工扰动，土体采用黏性阻尼模型，基于复刚度传递多圈层三维轴对称模型，对任意激振力作用下径向非均质、纵向成层黏性阻尼土中桩基纵向振动特性进行研究。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种基于径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法，包括以下步骤：

步骤S1：桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应；

步骤S2：桩周土体沿纵向分为任意个层段，每个层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，内部区域划分任意圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移；

步骤S3：桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；

步骤S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定；

步骤S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件；

步骤S6：使用Laplace变换和分离变量法，求解步骤5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对桩基的纵向振动进行分析。

进一步地，所述步骤S5中的桩周土体和桩身纵向振动方程分别为：

桩周土体振动方程：

符合平截面假定的桩身纵向振动方程为：

所述步骤S5中的边界条件包括：

第i层段桩周土边界条件：

土层顶面：

土层底面：

相邻各圈层间应力平衡、位移连续：

当r＝∞时，位移为零：

其中，u_n+1(r,t)代表外部区域土体位移；

第i层段桩身边界条件：

桩段顶部边界条件：

桩段底部处边界条件：

桩周土与桩位移及力连续条件：

在方程(1)～(11)中，将桩-土体耦合振动系统沿纵向分成m个层段，将桩长为H的桩自桩身底部由下往上依次编号为1、2、…、i、…、m层段，各层段厚度分别为l₁、l₂、…、l_i、…、l_m，各层段顶部埋深分别为h₁、h₂、…、h_i…、h_m，第i层段桩半径、截面积、密度和弹性模量分别为r_i1、

和

桩底黏弹性支承常数为δ_p、k_p；

将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b_i，并将内部扰动区域沿径向划分为m′个圈层，第i层段中第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度分别为

第j圈层的土层底部黏弹性支承常数为

第i-1层段对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i+1层对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i层段中第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为r_ij，第i层段中第j圈层的桩周土对桩身产生的切应力为

f_i ^S为桩周土对桩身产生的切应力，

为桩周土在桩外壁的竖向剪应力，顺时针为正，第i层段中第j圈层土体位移为

第i层段桩身质点纵向振动位移为

为桩的单位长度质量，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；

分别为桩段底部和顶部阻抗值。

进一步地，所述步骤S6包括以下具体步骤：

步骤1：对方程(1)进行Laplace变换得：

式中，

是

的Laplace变换；

利用局部坐标进行变换z′＝z-h_i，并采用分离变量法求解，令：

将式(13)带入式(12)，化简可得：

式(14)可以分解为两个常微分方程：

式中

为常数，并满足下列关系：

由此可得

则式(15)、(16)的解为：

式(19)、(20)中，

为零阶第一类，第二类虚宗量Bessel函数。

为由边界条件决定的积分常数；

对土层边界条件式(3)、(4)进行Laplace变换，并进行局部坐标变换，将式(3)代入可得：

将式(19)代入(21)、(22)可得：

式中

式(23)为超越方程，具体通过MATLAB编程求解得到无穷多个特征值

将

代入式(18)可得

根据最外圈层r→∞时，应力、位移为0，并综合式(21)、(22)可得：

式中，

为一系列待定常数。

进一步地，圈层j与圈层j-1之间侧壁剪切应力可化简为：

式中，

分别为一阶第一类、第二类虚宗量Bessel函数；

根据式(5)、(6)及固有函数的正交性可得常数

与

比值

为：

当j＝m′时

当j＝m′-1,...,2,1时的迭代关系式为：

其中，m为桩-土体耦合振动系统纵向层段数量，m′为桩周土体内部扰动区域沿径向圈层数量，n为土层的振动模态数，

为土层间剪切刚度，r为径向坐标，r_j为第j圈层土的内边界坐标，r_1(j+1)为第1层段第j圈层土的外边界坐标，

为第j圈层土固有参数，s为复变量，I₀、I₁为零阶和一阶第一类修正Bessel函数，K₀、K₁为零阶和一阶第二类修正Bessel函数；

步骤2：对方程(2)进行Laplace变换，并结合边界条件(8)、(9)及桩周土与桩位移及力连续条件(10)得到第1层段桩身顶顶部位移阻抗函数：

式(28)中

t_1c＝l₁/V₁ ^P、

θ₁＝ωt_1c、

均为无量纲参数，

其中，l₁,r₁₁,

分别为第1段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量，F₁为第1段桩顶部作用力，即第2段桩对第1段桩的作用力，

分别为第一层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第1段桩的密度，k^P，δ^P为桩底黏弹性支承常数，

分别为第1段桩身底部和顶部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换。

γ_1n、γ′_1n、γ″_1n为桩土耦合相关系数，取s＝iω，ω为纵向振动圆频率，V₁ ^p为第1段桩的弹性波速；

同理求得第i段桩身顶部位移阻抗函数：

式(29)中，

t_ic＝l_i/V_i ^P、θ_i＝ωt_ic、

均为无量纲参数；

其中，l_i,r_i1,

分别为第i段桩的纵向长度、半径、截面面积，F_i为第i段桩顶部作用力，

分别为第i层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第i段桩的密度，

γ_in、γ′_in、γ″_in为桩土耦合相关系数，V_i ^p为第i段桩的弹性波速，F_i为第i段桩身顶部作用力，

为第i段桩身底部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换；

的求解过程同

步骤3：利用阻抗函数传递性，递推得到第m段桩身顶部阻抗函数：得到桩顶复动刚度公式：

其中K′_d＝K_r+iK_i，K_r代表桩顶动刚度，K_i代表桩顶动阻尼；

式(30)中，

θ_m＝ωt_mc、

均为无量纲参数。

其中，l_m,r_m1,

分别为第m段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量；F_m为桩顶作用力p(t)的Laplace变换，

分别为第m层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第m段桩的密度，

γ_mn、γ′_mn、γ″_mn为桩土耦合相关系数，

为第m段桩的弹性波速，

的求解过程同

为第m段桩身底部

的Laplace变换，

是

的Laplace变换。

步骤4：根据式(30)得到桩顶速度导纳函数：

式中，

为第m段桩桩身密度，H_v′为桩顶速度导纳函数H_v的无量纲化后数值；

步骤5：根据式(29)得到单位脉冲激励的时域响应为：

式中t'＝t/T_c为无量纲时间，

IFT为快速傅里叶逆变换符号；

步骤6：根据卷积定理得到任意激振力p(t)作用在桩顶的时域速度响应函数

g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[P(iω)·H(iω)] (33)

其中，h(t)为单位脉冲激励作用下时域速度响应，H(iω)为桩顶速度频率响应函数。

进一步地，所述步骤6中所述的激振力p(t)为半正弦脉冲激励

t∈(0,T)，T为脉冲宽度时，桩顶时域速度响应的半解析解答为：

其中，Q_max为半正弦脉冲振幅，

分别为第m段桩桩身密度、截面面积和弹性波速，IFT为快速傅里叶逆变换符号，V_v′为时域响应无量纲速度，ω为纵向振动圆频率。

从上述技术方案可以看出，本发明通过采用径向非均质、纵向成层黏性阻尼土体模型对桩基的纵向振动进行分析，黏性阻尼土体模型的阻尼力与应变速率相关，能适用于非谐和激振问题，特别是瞬态激振条件下时的桩体时域振动响应问题，同时，径向非均质性能考虑桩周土体施工扰动效应，更接近现实模型，另外，考虑土体竖向波动效应，使计算精度更高，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。

附图说明

图1是本发明的径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法的流程图；

图2是本发明的桩土系统纵向耦合振动力学简化模型的示意图；

其中，1为纵向层段界面，2为内外区域界面，3为径向圈层界面，4为外部区域，5为内部扰动区域。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明。

请参阅图1，图1是本发明的径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法的流程图。如图所示，一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法，包括以下步骤：

S1：桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应。

S2：桩周土体沿纵向分为任意个层段，每个层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移。

S3：桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形。

S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定。

本发明基于三维轴对称模型，对纵向任意层段、径向任意圈层土中的黏弹性支承桩基的纵向振动特性进行研究，力学简化模型如图2所示。

将桩周土体沿纵向划分为m个层段，将桩长为H桩自桩身底部由下往上依次编号为1、2、…、i、…、m层段，各层段厚度分别为l₁、l₂、…、l_i、…、l_m，各层段顶部埋深分别为h₁、h₂、…、h_i…、h_m。第i层段桩半径、截面积、密度和弹性模量分别为r_i1、

和

桩底黏弹性支承刚度系数为δ_p、k_p。同时，将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b_i，并将内部扰动区域沿径向划分为m′个圈层，第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度和土层底部黏弹性支承常数分别为

和

第i-1层段对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i+1层对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为r_ij。特别地，内部区域和外部区域界面处的半径为r_i(n+1)，外部区域则为径向半无限均匀黏弹性介质，桩顶作用任意激振力p(t)，第i层段桩周土对桩身产生的切应力为

f_i ^S为桩周土对桩身产生的切应力，

为桩周土在桩外壁的竖向剪应力，顺时针为正，第i层段中第j圈层土体位移为

第i层段桩身质点纵向振动位移为

为桩的单位长度质量，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；

分别为桩段底部和顶部阻抗值。

S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件。

具体地，包括以下具体步骤：

步骤1：

将桩-土体耦合振动系统沿纵向分成m个层段，将桩长为H的桩自桩身底部由下往上依次编号为1、2、…、i、…、m层段，各层段厚度分别为l₁、l₂、…、l_i、…、l_m，各层段顶部埋深分别为h₁、h₂、…、h_i…、h_m，第i层段桩半径、截面积、密度和弹性模量分别为r_i1、

和

桩底黏弹性支承常数为δ_p、k_p，将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b_i，并将内部扰动区域沿径向划分为m′个圈层，第i层段中第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度分别为

第j圈层的土层底部黏弹性支承常数为

第i-1层段对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i+1层对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i层段中第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为r_ij，第i层段中第j圈层的桩周土对桩身产生的切应力为

f_i ^S为桩周土对桩身产生的切应力，

为桩周土在桩外壁的竖向剪应力，顺时针为正，第i层段中第j圈层土体位移为

第i层段桩身质点纵向振动位移为

为桩的单位长度质量，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；

分别为桩段底部和顶部阻抗值。

根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程和边界条件分别如下：

桩周土体振动方程：

符合平截面假定的桩身纵向振动方程为：

边界条件包括：

第i层段桩周土边界条件：

土层顶面：

土层底面：

相邻各圈层间应力平衡、位移连续：

当r＝∞时，位移为零：

其中，u_n+1(r,t)代表外部区域土体位移；

第i层段桩身边界条件：

桩段顶部边界条件：

桩段底部处边界条件：

桩周土与桩位移及力连续条件：

在方程(1)～(11)中，将桩-土体耦合振动系统沿纵向分成m个层段，将桩长为H的桩自桩身底部由下往上依次编号为1、2、…、i、…、m层段，各层段厚度分别为l₁、l₂、…、l_i、…、l_m，各层段顶部埋深分别为h₁、h₂、…、h_i…、h_m，第i层段桩半径、截面积、密度和弹性模量分别为r_i1、

和

桩底黏弹性支承常数为δ_p、k_p；

将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b_i，并将内部扰动区域沿径向划分为m′个圈层，第i层段中第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度分别为

第j圈层的土层底部黏弹性支承常数为

第i-1层段对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i+1层对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i层段中第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为r_ij，第i层段中第j圈层的桩周土对桩身产生的切应力为

f_i ^S为桩周土对桩身产生的切应力，

为桩周土在桩外壁的竖向剪应力，顺时针为正，第i层段中第j圈层土体位移为

第i层段桩身质点纵向振动位移为

为桩的单位长度质量，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；

分别为桩段底部和顶部阻抗值。

S6：使用Laplace变换，求解步骤S5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数。

包括以下具体步骤：

步骤1：对方程(1)进行Laplace变换得：

式中，

是

的Laplace变换。

利用局部坐标进行变换z′＝z-h_i，并采用分离变量法求解，令：

将式(13)带入式(12)，化简可得：

式(14)可以分解为两个常微分方程：

式中

为常数，并满足下列关系：

由此可得

则式(15)、(16)的解为：

式(19)、(20)中，

为零阶第一类，第二类虚宗量Bessel函数。

为由边界条件决定的积分常数。

对土层边界条件式(3)、(4)进行Laplace变换，并进行局部坐标变换，将式(3)代入可得：

将式(19)代入(21)、(22)可得：

式中

式(23)为超越方程，具体通过MATLAB编程求解得到无穷多个特征值

将

代入式(18)可得

根据最外圈层(j＝m′+1)r→∞时应力、位移为0，并综合式(21)、(22)可得：

式中，

为一系列待定常数。

进一步地，圈层j与圈层j-1之间侧壁剪切应力可化简为：

式中，

分别为一阶第一类、第二类虚宗量Bessel函数。

根据式(5)、(6)及固有函数的正交性可得常数

与

比值

为：

当j＝m′时

当j＝m′-1,...,2,1时的迭代关系式为：

其中，m为桩-土体耦合振动系统纵向层段数量，m′为桩周土体内部扰动区域沿径向圈层数量，n为土层的振动模态数，

为土层间剪切刚度，r为径向坐标，r_j为第j圈层土的内边界坐标，r_1(j+1)为第1层段第j圈层土的外边界坐标，

为第j圈层土固有参数，s为复变量，I₀、I₁为零阶和一阶第一类修正Bessel函数，K₀、K₁为零阶和一阶第二类修正Bessel函数；

步骤2：对方程(2)进行Laplace变换，并结合边界条件(8)、(9)及桩周土与桩位移及力连续条件(10)得到第1层段桩身顶顶部位移阻抗函数：

式(28)中

t_1c＝l₁/V₁ ^P、

θ₁＝ωt_1c、

均为无量纲参数，

其中，l₁,r₁₁,

分别为第1段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量，F₁为第1段桩顶部作用力，即第2段桩对第1段桩的作用力，

分别为第一层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第1段桩的密度，k^P，δ^P为桩底黏弹性支承常数，

分别为第1段桩身底部和顶部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换。

γ_1n、γ′_1n、γ″_1n为桩土耦合相关系数，取s＝iω，ω为纵向振动圆频率，V₁ ^p为第1段桩的弹性波速；

同理求得第i段桩身顶部位移阻抗函数：

式(29)中，

t_ic＝l_i/V_i ^P、θ_i＝ωt_ic、

均为无量纲参数；

其中，l_i,r_i1,

分别为第i段桩的纵向长度、半径、截面面积，F_i为第i段桩顶部作用力，

分别为第i层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第i段桩的密度，

γ_in、γ′_in、γ″_in为桩土耦合相关系数，V_i ^p为第i段桩的弹性波速，F_i为第i段桩身顶部作用力，

为第i段桩身底部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换。

的求解过程同

步骤3：利用阻抗函数传递性，递推得到第m段桩身顶部阻抗函数：得到桩顶复动刚度公式：

其中K′_d＝K_r+iK_i，K_r代表桩顶动刚度，K_i代表桩顶动阻尼。

式(30)中，

θ_m＝ωt_mc、

均为无量纲参数。

其中，l_m,r_m1,

分别为第m段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量；F_m为桩顶作用力p(t)的Laplace变换，

分别为第m层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第m段桩的密度，

γ_mn、γ′_mn、γ″_mn为桩土耦合相关系数，

为第m段桩的弹性波速，

的求解过程同

为第m段桩身底部

的Laplace变换，

是

的Laplace变换。

步骤4：根据(30)式得到桩顶速度导纳函数：

式中，

为第m段桩桩身密度，H_v′为桩顶速度导纳函数H_v的无量纲化后数值；

步骤5：根据(29)得到单位脉冲激励的时域响应为：

式中t'＝t/T_c为无量纲时间，

IFT为快速傅里叶逆变换符号；

步骤6：根据卷积定理得到任意激振力p(t)作用在桩顶的时域速度响应函数

g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[P(iω)·H(iω)] (33)

其中，h(t)为单位脉冲激励作用下时域速度响应，H(iω)为桩顶速度频率响应函数。

激振力p(t)可以为半正弦脉冲激励

t∈(0,T)，T为脉冲宽度时，桩顶时域速度响应的半解析解答为：

其中，Q_max为半正弦脉冲振幅，

分别为第m段桩桩身密度、截面面积和弹性波速，IFT为快速傅里叶逆变换符号，V_v′为时域响应无量纲速度，ω为纵向振动圆频率。

进一步的，基于桩顶速度导纳函数和桩顶速度时域响应函数，可以对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。

综上所述，本发明的径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法，其采用的阻尼模型为桩土耦合振动体系提供的阻尼力与应变速率相关，能适用于非谐和激振问题，特别是瞬态激振条件下时，桩体时域振动响应问题，而径向非均质性能考虑桩周土体施工扰动效应，且纵向成层可以考虑土体天然沉积引起的成层特性，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种径向非均质、纵向成层土体中桩基纵向振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：桩周土体采用三维轴对称模型考虑竖向波动效应；

步骤S2：桩周土体沿纵向分为任意个层段，每个层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，并将内部扰动区域沿径向划分任意个圈层，每一圈层土体各自为均质、各向同性线性粘弹性体，外部区域土体径向无限延伸，土体材料阻尼采用黏性阻尼，忽略土体径向位移；

步骤S3：桩土界面及各圈层土界面两侧位移连续、应力平衡，且桩土系统振动为小变形；

步骤S4：桩身混凝土为线弹性，应力波在桩身中的传播满足平截面假定；

步骤S5：根据弹性动力学基本理论，建立三维轴对称条件下的桩周土体和桩身纵向振动方程及边界条件；

步骤S6：使用Laplace变换和分离变量法，求解步骤S5中所述的两个振动方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对桩基的纵向振动进行分析；

其中，所述步骤S5中的桩周土体和桩身纵向振动方程分别为：

桩周土体振动方程：

符合平截面假定的桩身纵向振动方程为：

所述步骤S5中的边界条件包括：

第i层段桩周土边界条件：

土层顶面：

土层底面：

相邻各圈层间应力平衡、位移连续：

当r＝∞时，位移为零：

其中，u_n+1(r,t)代表外部区域土体位移；

第i层段桩身边界条件：

桩段顶部边界条件：

桩段底部处边界条件：

桩周土与桩位移及力连续条件：

在方程(1)～(11)中，将桩-土体耦合振动系统沿纵向分成m个层段，将桩长为H的桩自桩身底部由下往上依次编号为1、2、…、i、…、m层段，各层段厚度分别为l₁、l₂、…、l_i、…、l_m，各层段顶部埋深分别为h₁、h₂、…、h_i…、h_m，第i层段桩半径、截面积、密度和弹性模量分别为r_i1、

和

桩底黏弹性支承常数为δ_p、k_p；

将纵向第i层段桩周土体沿径向划分为内部扰动区域和外部区域，桩周土体内部扰动区域径向厚度为b_i，并将内部扰动区域沿径向划分为m′个圈层，第i层段中第j圈层土体拉梅常数、剪切模量、弹性模量、黏性阻尼系数、密度分别为

第j圈层的土层底部黏弹性支承常数为

第i-1层段对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i+1层对第i层段作用的Voigt体弹簧系数和阻尼系数为

第i层段中第j-1个圈层与第j圈层的界面处半径为r_ij，第i层段中第j圈层的桩周土对桩身产生的切应力为

为桩周土对桩身产生的切应力，

为桩周土在桩外壁的竖向剪应力，顺时针为正，第i层段中第j圈层土体位移为

第i层段桩身质点纵向振动位移为

为桩的单位长度质量，r为径向坐标，t为时间，z为纵向坐标；

分别为桩段底部和顶部阻抗值。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S6包括以下具体步骤：

步骤1：对方程(1)进行Laplace变换得：

式中，

是

的Laplace变换；

利用局部坐标进行变换z′＝z-h_i，并采用分离变量法求解，令：

将式(13)带入式(12)，化简可得：

式(14)可以分解为两个常微分方程：

式中

为常数，并满足下列关系：

由此可得

则式(15)、(16)的解为：

式(19)、(20)中，

为零阶第一类、第二类虚宗量Bessel函数；

为由边界条件决定的积分常数；

对土层边界条件式(3)、(4)进行Laplace变换，并进行局部坐标变换，将式(3)代入可得：

将式(19)代入(21)、(22)可得：

式中

式(23)为超越方程，具体通过MATLAB编程求解得到无穷多个特征值

将

代入式(18)可得

根据最外圈层r→∞时，应力、位移为0，并综合式(21)、(22)可得：

式中，

为一系列待定常数；

进一步地，圈层j与圈层j-1之间侧壁剪切应力可化简为：

式中，

分别为一阶第一类、第二类虚宗量Bessel函数；

根据式(5)、(6)及固有函数的正交性可得常数

与

比值

为：

当j＝m′时

当j＝m′-1,...,2,1时的迭代关系式为：

其中，m为桩-土体耦合振动系统纵向层段数量，m′为桩周土体内部扰动区域沿径向圈层数量，n为土层的振动模态数，

为土层间剪切刚度，r为径向坐标，r_j为第j圈层土的内边界坐标，r_1(j+1)为第1层段第j圈层土的外边界坐标，

为第j圈层土固有参数，s为复变量，I₀、I₁为零阶和一阶第一类修正Bessel函数，K₀、K₁为零阶和一阶第二类修正Bessel函数；

步骤2：对方程(2)进行Laplace变换，并结合边界条件(8)、(9)及桩周土与桩位移及力连续条件(10)得到第1层段桩身顶顶部位移阻抗函数：

式(28)中

t_1c＝l₁/V₁ ^P，θ₁＝ωt_1c，

均为无量纲参数，

其中，l₁,r₁₁,

分别为第1段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量，F₁为第1段桩顶部作用力，即第2段桩对第1段桩的作用力，

分别为第一层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第1段桩的密度，k^P、δ^P为桩底黏弹性支承常数，

分别为第1段桩身底部和顶部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换；

γ_1n、γ′_1n、γ″_1n为桩土耦合相关系数，取s＝iω，ω为纵向振动圆频率，V₁ ^p为第1段桩的弹性波速；

同理求得第i段桩身顶部位移阻抗函数：

式(29)中，

t_ic＝l_i/V_i ^P、θ_i＝ωt_ic、

均为无量纲参数；

其中，l_i,r_i1,

分别为第i段桩的纵向长度、半径、截面面积，F_i为第i段桩顶部作用力，

分别为第i层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第i段桩的密度，

γ_in、γ′_in、γ″_in为桩土耦合相关系数，V_i ^p为第i段桩的弹性波速，F_i为第i段桩身顶部作用力，

为第i段桩身底部阻抗值

的Laplace变换，

是

的Laplace变换；

的求解过程同

步骤3：利用阻抗函数传递性，递推得到第m段桩身顶部阻抗函数：得到桩顶复动刚度公式：

其中K′_d＝K_r+iK_i，K_r代表桩顶动刚度，K_i代表桩顶动阻尼；

式(30)中，

θ_m＝ωt_mc、

均为无量纲参数；

其中，l_m,r_m1,

分别为第m段桩的纵向长度、半径、截面面积和弹性模量；F_m为桩顶作用力p(t)的Laplace变换，

分别为第m层段第一圈层土体剪切波速、密度、黏性阻尼系数和剪切模量，

为第m段桩的密度，

γ_mn、γ′_mn、γ″_mn为桩土耦合相关系数，

为第m段桩的弹性波速，

的求解过程同

为第m段桩身底部

的Laplace变换，

是

的Laplace变换；

步骤4：根据式(30)得到桩顶速度导纳函数：

式中，

为第m段桩桩身密度，H_v′为桩顶速度导纳函数H_v的无量纲化后数值；

步骤5：根据式(29)得到单位脉冲激励的时域响应为：

式中t'＝t/T_c为无量纲时间，

IFT为快速傅里叶逆变换符号；

步骤6：根据卷积定理得到任意激振力p(t)作用在桩顶的时域速度响应函数

g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[P(iω)·H(iω)] (33)

其中，h(t)为单位脉冲激励作用下时域速度响应，H(iω)为桩顶速度频率响应函数。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤6中所述的激振力p(t)为半正弦脉冲激励

t∈(0,T)，T为脉冲宽度时，桩顶时域速度响应的半解析解答为：

其中，Q_max为半正弦脉冲振幅，

分别为第m段桩桩身密度、截面面积和弹性波速，IFT为快速傅里叶逆变换符号，V_v′为时域响应无量纲速度，ω为纵向振动圆频率。

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