CN110219324B - 一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法 - Google Patents

一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法 Download PDF

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CN110219324B CN201910335292.7A CN201910335292A CN110219324B CN 110219324 B CN110219324 B CN 110219324B CN 201910335292 A CN201910335292 A CN 201910335292A CN 110219324 B CN110219324 B CN 110219324B
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    • E—FIXED CONSTRUCTIONS
    • E02—HYDRAULIC ENGINEERING; FOUNDATIONS; SOIL SHIFTING
    • E02D—FOUNDATIONS; EXCAVATIONS; EMBANKMENTS; UNDERGROUND OR UNDERWATER STRUCTURES
    • E02D33/00—Testing foundations or foundation structures

Abstract

本发明公开了一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法，将实体桩和虚土桩按照桩周土和桩底土的分层情况进行同样的分层，同时假定实体桩均为均质圆形弹性体，且实体桩与虚土桩界面处位移连续、应力平衡；桩周土及桩底土均为各向同性线性粘弹性体；桩周土层上表面是自由边界，无正应力和剪应力，桩底土层底部为刚性基底；桩土系统振动时为小变形，虚土桩与桩侧土之间完全接触，实体桩与土体接触面非完全接触。根据粘弹性动力学理论建立轴对称条件下桩底土体和桩周土体纵向振动控制方程、根据Euler‑Bernoulli杆件理论，建立虚土桩及实体桩纵向振动控制方程，使用拉普拉斯变换，求解上述振动控制方程，以对摩擦桩的纵向振动进行分析。

Description

一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法
技术领域
本发明涉及土建领域，更具体地，涉及一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法。
背景技术
在桩-桩周土界面相互作用方面，已有研究使用多种方法简化桩土界面相互作用。一系列离散Winkler弹簧-阻尼器模型，对刚性基础纵向振动特性进行了研究。此种方法虽然简便，但参数取值依赖经验。在此基础上改进，提出了平面应变分析模型考虑土体应力应变沿桩周径向连续性，该模型有一定的理论基础，但是无法考虑桩周土沿深度的变化。基于以上考虑发展了一种桩周土三维连续介质模型，该模型可以考虑土体位移、应力分量沿深度变化，忽略土体径向位移，对桩纵向振动特性进行研究。此后又出现同时考虑土体竖向和径向位移影响，改进了桩周土三维连续介质模型。以上研究均基于桩土完全接触假设，此种假设会夸大土体对桩身的约束作用。因此有不少学者采用桩端刚性支撑模型，考虑桩土界面相对滑移情况下桩的纵向振动特性。然而使用桩端刚性支撑模型，忽略桩周土体成层性及桩底波动效应对摩擦桩桩顶动力响应的影响，进而容易造成对桩身缺陷部分误判。以往也有众多学者对桩—桩底土相互作用进行简化，如将桩底土简化成弹簧和阻尼器、弹性半空间模型，但这两种方法有各自的局限性，在此基础上杨冬英提出了虚土桩模型，严格考虑了桩底土的波动效应，并且可以模拟桩端沉渣、桩端土被挤密等工程情况。但在成层土中非完全黏结的情况下同时考虑桩土界面相对滑移和桩底土波动效应对桩基纵向振动特性的方法，尚缺少公开。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术存在的上述缺陷，提供一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法，在成层土中采用开尔文模型模拟桩土界面相对滑移，采用虚土桩模型考虑桩底土的波动效应。
为实现上述目的，本发明的技术方案如下：
一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：引入如下假定，建立基于成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析模型：实体桩的深度与桩周土的深度一致，均被分为N层，虚土桩与桩底土的深度一致，均被分为M层，
假定实体桩为均质、圆形等截面弹性体，且实体桩与虚土桩界面处位移连续、应力平衡；假定桩周土及桩底土均为纵向各向同性线性粘弹性体，土体材料阻尼采用粘性阻尼；假定桩周土层上表面是自由边界，无正应力和剪应力，桩底土层底部为刚性基底；实体桩及桩周土、桩底土和虚土桩构成的桩-土系统在振动时仅发生小变形，虚土桩与桩底土之间完全接触，实体桩与土体接触面非完全接触；
S2：根据粘弹性动力学理论建立轴对称条件下桩底土和桩周土纵向振动控制方程；
根据Euler-Bernoulli杆件理论，建立虚土桩及实体桩纵向振动控制方程；根据步骤S1中的假定，建立桩-土系统边界条件。
S3：使用Laplace变换，求解步骤S2中所述的桩底土和桩周土振动方程，并求解虚土桩及实体桩纵向振动控制方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对摩擦桩的纵向振动进行分析。
优选地，所述步骤S2中轴对称条件下第j层桩周土的纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000021
第i层桩底土的纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000022
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；N是桩周土的层数，j＝1～N，是桩周土的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000023
为第j层桩周土纵向位移，
Figure GDA0002943814560000024
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000025
Figure GDA0002943814560000026
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；M是桩底土的层数，i＝1～M，是桩底土的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000027
为第i层桩底土纵向位移，
Figure GDA0002943814560000031
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000032
Figure GDA0002943814560000033
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
优选地，所述步骤S2中第i层虚土桩纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000034
第j层实体桩的纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000035
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；M是虚土桩的层数，i＝1～M，是虚土桩的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000036
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure GDA0002943814560000037
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，fi SP是第i层桩底土对第i层虚土桩的桩位侧摩阻力，
Figure GDA0002943814560000038
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；N是实体桩的层数，j＝1～N，是实体桩的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000039
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600000310
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA00029438145600000311
为第j层实体桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600000312
是第j层桩周土对第i层实体桩的桩位侧摩阻力，
Figure GDA00029438145600000313
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度。
优选地，所述步骤S2中，桩-土边界条件包括桩底土边界条件、桩周土边界条件、实体桩与虚土桩边界条件、桩土耦合条件，分别为
桩底土边界条件：
Figure GDA00029438145600000314
Figure GDA00029438145600000315
Figure GDA00029438145600000316
桩周土边界条件：
Figure GDA00029438145600000317
Figure GDA0002943814560000041
Figure GDA0002943814560000042
实体桩与虚土桩的边界条件：
Figure GDA0002943814560000043
第i段虚土桩：
Figure GDA0002943814560000044
Figure GDA0002943814560000045
第j段实体桩：
Figure GDA0002943814560000046
Figure GDA0002943814560000047
桩土耦合条件：
Figure GDA0002943814560000048
Figure GDA0002943814560000049
Figure GDA00029438145600000410
Figure GDA00029438145600000411
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；HP为桩周土层厚度，共分为HSP为桩底土层厚，H＝HP+HSP为基岩上土层总厚度；q(t)为桩顶作用任意激振力；M是虚土桩和桩底土的层数，i＝1～M，是虚土桩和桩底土的层数编号，自下而上，每层虚土桩和桩底土的厚度为
Figure GDA00029438145600000412
每层虚土桩和桩底土的顶部埋深为
Figure GDA00029438145600000413
N是实体桩和桩周土的层数，j＝1～N，是实体桩和桩周土的层数编号，自下而上，每层实体桩和桩周土的厚度为
Figure GDA00029438145600000414
每层实体桩和桩周土的顶部埋深为
Figure GDA00029438145600000415
Figure GDA00029438145600000416
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600000417
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA00029438145600000418
为第j层实体桩的截面半径；
Figure GDA00029438145600000419
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA00029438145600000420
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure GDA00029438145600000421
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA0002943814560000051
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure GDA0002943814560000052
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型弹性系数，
Figure GDA0002943814560000053
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型阻尼器系数；fSP(z,t)为第i层桩底土对第i层虚土桩的单位侧摩阻力，
Figure GDA0002943814560000054
为第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩的界面处的剪应力；
Figure GDA0002943814560000055
为第j层桩周土对第j层实体桩的单位侧摩阻力，
Figure GDA0002943814560000056
为第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩的界面处的剪应力；
Figure GDA0002943814560000057
为第j层实体桩与第j层桩周土间的纵向相对滑移，
Figure GDA0002943814560000058
为第j层实体桩与第j层桩周土间的相对滑移速度；
Figure GDA0002943814560000059
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600000510
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600000511
Figure GDA00029438145600000512
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600000513
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600000514
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA00029438145600000515
为第j层实体桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600000516
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600000517
为第i层桩底土纵向位移，
Figure GDA00029438145600000518
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600000519
Figure GDA00029438145600000520
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600000521
为第j层桩周土纵向位移，
Figure GDA00029438145600000522
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600000523
Figure GDA00029438145600000524
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
优选地，所述步骤S3中，求解包括以下步骤
步骤S31：对式(1a)中的轴对称条件下桩底土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，并对边界条件式(4a)和(4b)进行拉普拉斯变换，得到第i层桩底土的纵向位移函数为
Figure GDA00029438145600000525
以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力为
Figure GDA00029438145600000526
步骤S32：对式(1b)中的轴对称条件下桩周土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，对边界条件式(5a)和(5b)进行拉普拉斯变换，得到第j层桩周土的纵向位移函数为
Figure GDA00029438145600000527
以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力为
Figure GDA0002943814560000061
步骤S33：对虚土桩纵向振动控制方程(2)和边界条件(7a)进行拉普拉斯变换，并基于步骤S31中获得的第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩处剪应力(9a)，得到第i层虚土桩的纵向振动位移函数
Figure GDA0002943814560000062
对实体桩纵向振动控制方程(3)和边界条件(7c)进行Laplace变换，得到第j层实体桩的纵向振动位移函数
Figure GDA0002943814560000063
步骤S34：对边界条件式(6a，b，c)进行拉普拉斯变换，得虚土桩与实体桩界面处的复阻抗函数
Figure GDA0002943814560000064
对边界条件式(6d，e)进行拉普拉斯变换，得到实体桩桩顶的位移阻抗函数
Figure GDA0002943814560000065
步骤S35：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)得到实体桩桩顶复刚度为
Figure GDA0002943814560000066
步骤S36：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)，得到桩顶速度导纳为
Figure GDA0002943814560000067
步骤S37：根据桩顶速度导纳(13)，使用傅里叶变换，得到单位脉冲激励的时域响应
Figure GDA0002943814560000068
步骤S38：根据卷积定理，得到任意激振力q(t)作用下，桩顶速度时域响应为
g(t)＝q(t)*h(t)＝IFT[Q(iω)·Gv(iω)] (15)
当激振力为半正弦脉冲激励
Figure GDA0002943814560000071
T为脉冲宽度时，桩顶时域半解析解为
Figure GDA0002943814560000072
上述步骤中，
z′＝z-HP为局部纵向坐标，其零点为桩底土体顶部，方向向下为正；s＝iω为拉普拉斯变换常数，i为虚数单位，ω为激振荷载频率；n为下标；
Figure GDA0002943814560000073
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA0002943814560000074
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA0002943814560000075
为第j层实体桩的截面半径；q(t)为任意激振力；Wi SP(r,z′,s)为第i层桩底土纵向位移
Figure GDA0002943814560000076
的拉普拉斯变换；
Figure GDA0002943814560000077
为第j层桩周土纵向位移
Figure GDA0002943814560000078
的拉普拉斯变换；
Figure GDA0002943814560000079
为第i层虚土桩桩身位移
Figure GDA00029438145600000710
的拉普拉斯变换；
Figure GDA00029438145600000711
为第j层实体桩桩身位移
Figure GDA00029438145600000712
的拉普拉斯变换；Q(iω)为任意激振力q(t)的傅里叶变换；
K0(·)、K1(·)分别为零阶和第一阶第二类虚宗量Bessel函数；
Figure GDA00029438145600000713
为进行傅里叶变换操作；
Figure GDA00029438145600000714
为第i层虚土桩一维压缩波波速；
Figure GDA00029438145600000715
为第j层实体桩一维压缩波波速；
Figure GDA00029438145600000716
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600000717
为由第i层桩底土与虚土桩耦合条件(7b)以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力(9a)所确定的常数；
Figure GDA00029438145600000718
为由第j层桩周土与实体桩耦合条件(7c，d)以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力(9b)所确定的常数；
Figure GDA00029438145600000719
为满足第i层桩底土的纵向位移函数(8a)的解，其中
Figure GDA00029438145600000720
其中
Figure GDA00029438145600000721
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA00029438145600000722
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure GDA0002943814560000081
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000082
Figure GDA0002943814560000083
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA0002943814560000084
为满足第j层桩周土的纵向位移函数(8b)的解，其中，
Figure GDA0002943814560000085
其中
Figure GDA0002943814560000086
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA0002943814560000087
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure GDA0002943814560000088
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000089
Figure GDA00029438145600000810
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600000811
为待定系数，满足下列关系
Figure GDA00029438145600000812
Figure GDA00029438145600000813
Figure GDA00029438145600000814
为待定系数，满足下列关系
Figure GDA00029438145600000815
上述步骤中，还包括以下符号定义
Figure GDA0002943814560000091
Figure GDA0002943814560000092
Figure GDA0002943814560000093
Figure GDA0002943814560000094
Figure GDA0002943814560000095
Figure GDA0002943814560000096
Figure GDA0002943814560000097
Figure GDA0002943814560000098
Figure GDA0002943814560000099
Figure GDA00029438145600000910
Figure GDA00029438145600000911
Figure GDA00029438145600000912
Figure GDA00029438145600000913
Figure GDA00029438145600000914
从上述技术方案可以看出，本发明基于成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动动力阻抗算法系统，能够同时考虑桩周土体成层性和桩土界面相对滑移，并对影响桩基纵向振动特性的因素(如桩土界面的刚度系数、阻尼系数及桩周土剪切波速等)进行合理化分析，同时还可以对缺陷桩情况分析提供一定参考，考虑不同的缺陷程度和缺陷位置对摩擦桩纵向振动特性影响，适用于桩周土体性质复杂或桩身不完整的摩擦桩，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。
附图说明
图1是本发明方法流程图；
图2是本发明的模型示意图。
图中：1是桩周土，2是实体桩，3是桩底土，4是虚土桩，5是刚性地基。
具体实施方式
下面结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明。
需要说明的是，在下述的具体实施方式中，在详述本发明的实施方式时，为了清楚地表示本发明的结构以便于说明，特对附图中的结构不依照一般比例绘图，并进行了局部放大、变形及简化处理，因此，应避免以此作为对本发明的限定来加以理解。
在以下本发明的具体实施方式中，请参阅图1，图1是本发明的方法流程图。如图所示，
一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：引入如下假定，建立基于成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析模型：实体桩的深度与桩周土的深度一致，均被分为N层，虚土桩与桩底土的深度一致，均被分为M层，
假定实体桩为均质、圆形等截面弹性体，且实体桩与虚土桩界面处位移连续、应力平衡；假定桩周土及桩底土均为纵向各向同性线性粘弹性体，土体材料阻尼采用粘性阻尼；假定桩周土层上表面是自由边界，无正应力和剪应力，桩底土层底部为刚性基底；实体桩及桩周土、桩底土和虚土桩构成的桩-土系统在振动时仅发生小变形，虚土桩与桩底土之间完全接触，实体桩与土体接触面非完全接触；
S2：根据粘弹性动力学理论建立轴对称条件下桩底土和桩周土纵向振动控制方程。
轴对称条件下第j层桩周土的纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000101
第i层桩底土的纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000102
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；N是桩周土的层数，j＝1～N，是桩周土的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000111
为第j层桩周土纵向位移，
Figure GDA0002943814560000112
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000113
Figure GDA0002943814560000114
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；M是桩底土的层数，i＝1～M，是桩底土的层数编号，自下而上，
Figure GDA0002943814560000115
为第i层桩底土纵向位移，
Figure GDA0002943814560000116
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA0002943814560000117
Figure GDA0002943814560000118
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
根据Euler-Bernoulli杆件理论，建立虚土桩及实体桩纵向振动控制方程。
第i层虚土桩纵向振动控制方程为
Figure GDA0002943814560000119
第j层实体桩的纵向振动控制方程为
Figure GDA00029438145600001110
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；M是虚土桩的层数，i＝1～M，是虚土桩的层数编号，自下而上，
Figure GDA00029438145600001111
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600001112
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，fi SP是第i层桩底土对第i层虚土桩的桩位侧摩阻力，
Figure GDA00029438145600001113
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；N是实体桩的层数，j＝1～N，是实体桩的层数编号，自下而上，
Figure GDA00029438145600001114
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600001115
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA00029438145600001116
为第j层实体桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600001117
是第j层桩周土对第i层实体桩的桩位侧摩阻力，
Figure GDA00029438145600001118
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度。
根据步骤S1中的假定，建立桩-土系统边界条件。
桩-土边界条件包括桩底土边界条件、桩周土边界条件、实体桩与虚土桩边界条件、桩土耦合条件，分别为
桩底土边界条件：
Figure GDA0002943814560000121
Figure GDA0002943814560000122
Figure GDA0002943814560000123
桩周土边界条件：
Figure GDA0002943814560000124
Figure GDA0002943814560000125
Figure GDA0002943814560000126
实体桩与虚土桩的边界条件：
Figure GDA0002943814560000127
第i段虚土桩：
Figure GDA0002943814560000128
Figure GDA0002943814560000129
第j段实体桩：
Figure GDA00029438145600001210
Figure GDA00029438145600001211
桩土耦合条件：
Figure GDA00029438145600001212
Figure GDA00029438145600001213
Figure GDA00029438145600001214
Figure GDA00029438145600001215
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；HP为桩周土层厚度，共分为HSP为桩底土层厚，H＝HP+HSP为基岩上土层总厚度；q(t)为桩顶作用任意激振力；M是虚土桩和桩底土的层数，i＝1～M，是虚土桩和桩底土的层数编号，自下而上，每层虚土桩和桩底土的厚度为
Figure GDA0002943814560000131
每层虚土桩和桩底土的顶部埋深为
Figure GDA0002943814560000132
N是实体桩和桩周土的层数，j＝1～N，是实体桩和桩周土的层数编号，自下而上，每层实体桩和桩周土的厚度为
Figure GDA0002943814560000133
每层实体桩和桩周土的顶部埋深为
Figure GDA0002943814560000134
Figure GDA0002943814560000135
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA0002943814560000136
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA0002943814560000137
为第j层实体桩的截面半径；
Figure GDA0002943814560000138
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA0002943814560000139
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure GDA00029438145600001310
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA00029438145600001311
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure GDA00029438145600001312
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型弹性系数，
Figure GDA00029438145600001313
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型阻尼器系数；fi SP(z,t)为第i层桩底土对第i层虚土桩的单位侧摩阻力，
Figure GDA00029438145600001314
为第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩的界面处的剪应力；
Figure GDA00029438145600001315
为第j层桩周土对第j层实体桩的单位侧摩阻力，
Figure GDA00029438145600001316
为第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩的界面处的剪应力；
Figure GDA00029438145600001317
为第j层实体桩与第j层桩周土间的纵向相对滑移，
Figure GDA00029438145600001318
为第j层实体桩与第j层桩周土间的相对滑移速度；
Figure GDA00029438145600001319
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600001320
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600001321
Figure GDA00029438145600001322
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600001323
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure GDA00029438145600001324
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA00029438145600001325
为第j层实体桩的截面半径，
Figure GDA00029438145600001326
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600001327
为第i层桩底土纵向位移，
Figure GDA00029438145600001328
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600001329
Figure GDA00029438145600001330
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600001331
为第j层桩周土纵向位移，
Figure GDA00029438145600001332
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600001333
Figure GDA00029438145600001334
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
S3：使用Laplace变换，求解步骤S2中所述的桩底土和桩周土振动方程，并求解虚土桩及实体桩纵向振动控制方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对摩擦桩的纵向振动进行分析。
求解包括以下步骤
步骤S31：对式(1a)中的轴对称条件下桩底土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，并对边界条件式(4a)和(4b)进行拉普拉斯变换，得到第i层桩底土的纵向位移函数为
Figure GDA0002943814560000141
以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力为
Figure GDA0002943814560000142
步骤S32：对式(1b)中的轴对称条件下桩周土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，对边界条件式(5a)和(5b)进行拉普拉斯变换，得到第j层桩周土的纵向位移函数为
Figure GDA0002943814560000143
以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力为
Figure GDA0002943814560000144
步骤S33：对虚土桩纵向振动控制方程(2)和边界条件(7a)进行拉普拉斯变换，并基于步骤S31中获得的第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩处剪应力(9a)，得到第i层虚土桩的纵向振动位移函数
Figure GDA0002943814560000145
对实体桩纵向振动控制方程(3)和边界条件(7c)进行Laplace变换，得到第j层实体桩的纵向振动位移函数
Figure GDA0002943814560000146
步骤S34：对边界条件式(6a，b，c)进行拉普拉斯变换，得虚土桩与实体桩界面处的复阻抗函数
Figure GDA0002943814560000147
对边界条件式(6d，e)进行拉普拉斯变换，得到实体桩桩顶的位移阻抗函数
Figure GDA0002943814560000148
步骤S35：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)得到实体桩桩顶复刚度为
Figure GDA0002943814560000151
步骤S36：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)，得到桩顶速度导纳为
Figure GDA0002943814560000152
步骤S37：根据桩顶速度导纳(13)，使用傅里叶变换，得到单位脉冲激励的时域响应
Figure GDA0002943814560000153
步骤S38：根据卷积定理，得到任意激振力q(t)作用下，桩顶速度时域响应为
g(t)＝q(t)*h(t)＝IFT[Q(iω)·Gv(iω)] (15)
当激振力为半正弦脉冲激励
Figure GDA0002943814560000154
T为脉冲宽度时，桩顶时域半解析解为
Figure GDA0002943814560000155
上述步骤中，
z′＝z-HP为局部纵向坐标，其零点为桩底土体顶部，方向向下为正；s＝iω为拉普拉斯变换常数，i为虚数单位，ω为激振荷载频率；n为下标；
Figure GDA0002943814560000156
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure GDA0002943814560000157
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure GDA0002943814560000158
为第j层实体桩的截面半径；q(t)为任意激振力；Wi SP(r,z′,s)为第i层桩底土纵向位移
Figure GDA0002943814560000159
的拉普拉斯变换；
Figure GDA00029438145600001510
为第j层桩周土纵向位移
Figure GDA00029438145600001511
的拉普拉斯变换；
Figure GDA00029438145600001512
为第i层虚土桩桩身位移
Figure GDA00029438145600001513
的拉普拉斯变换；
Figure GDA00029438145600001514
为第j层实体桩桩身位移
Figure GDA00029438145600001515
的拉普拉斯变换；Q(iω)为任意激振力q(t)的傅里叶变换；
K0(·)、K1(·)分别为零阶和第一阶第二类虚宗量Bessel函数；
Figure GDA0002943814560000161
为进行傅里叶变换操作；
Figure GDA0002943814560000162
为第i层虚土桩一维压缩波波速；
Figure GDA0002943814560000163
为第j层实体桩一维压缩波波速；
Figure GDA0002943814560000164
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA0002943814560000165
为由第i层桩底土与虚土桩耦合条件(7b)以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力(9a)所确定的常数；
Figure GDA0002943814560000166
为由第j层桩周土与实体桩耦合条件(7c，d)以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力(9b)所确定的常数；
Figure GDA0002943814560000167
为满足第i层桩底土的纵向位移函数(8a)的解，其中
Figure GDA0002943814560000168
其中
Figure GDA0002943814560000169
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA00029438145600001610
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure GDA00029438145600001611
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600001612
Figure GDA00029438145600001613
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600001614
为满足第j层桩周土的纵向位移函数(8b)的解，其中，
Figure GDA00029438145600001615
其中
Figure GDA00029438145600001616
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure GDA00029438145600001617
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure GDA00029438145600001618
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure GDA00029438145600001619
Figure GDA00029438145600001620
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure GDA00029438145600001621
为待定系数，满足下列关系
Figure GDA00029438145600001622
Figure GDA00029438145600001623
Figure GDA00029438145600001624
为待定系数，满足下列关系
Figure GDA0002943814560000171
上述步骤中，还包括以下符号定义
Figure GDA0002943814560000172
Figure GDA0002943814560000173
Figure GDA0002943814560000174
Figure GDA0002943814560000175
Figure GDA0002943814560000176
Figure GDA0002943814560000177
Figure GDA0002943814560000178
Figure GDA0002943814560000179
Figure GDA00029438145600001710
Figure GDA00029438145600001711
Figure GDA00029438145600001712
Figure GDA00029438145600001713
Figure GDA00029438145600001714
Figure GDA00029438145600001715
综上所述，本发明基于成层土中非完全粘结的摩擦桩纵向振动动力阻抗算法系统，能同时桩土界面的相对滑移和桩周土体的成层性，算法系统中采用的虚土桩模型可以考虑桩底土土体性质对摩擦桩的振动特性影响，能够适用桩周土体性质复杂、桩土界面不完全接触情况下的摩擦桩纵向振动问题，同时也可为判断桩身完整性提供理论指导和参考作用。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种成层土中非完全黏结的摩擦桩纵向振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：引入如下假定，建立成层土中摩擦桩纵向振动分析模型：实体桩的深度与桩周土的深度一致，均被分为N层，虚土桩与桩底土的深度一致，均被分为M层；
假定实体桩为均质、圆形等截面弹性体，且实体桩与虚土桩界面处位移连续、应力平衡；假定桩周土及桩底土均为纵向各向同性线性粘弹性体，土体材料阻尼采用粘性阻尼；假定桩周土层上表面是自由边界，无正应力和剪应力，桩底土层底部为刚性基底；实体桩及桩周土、桩底土和虚土桩构成的桩-土系统在振动时仅发生小变形，虚土桩与桩底土之间完全接触，实体桩与土体接触面非完全接触；
S2：根据粘弹性动力学理论建立轴对称条件下桩底土和桩周土纵向振动控制方程；
根据Euler-Bernoulli杆件理论，建立虚土桩及实体桩纵向振动控制方程；
根据步骤S1中的假定，建立桩-土系统边界条件；
S3：使用Laplace变换，求解步骤S2中所述的桩底土和桩周土振动方程，并求解虚土桩及实体桩纵向振动控制方程，得到任意激振力作用在桩顶的时域速度响应函数，以对成层土中摩擦桩的纵向振动进行分析；
其中，所述步骤S2中第i层虚土桩纵向振动控制方程为
Figure FDA0002943814550000011
第j层实体桩的纵向振动控制方程为
Figure FDA0002943814550000012
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；M是虚土桩的层数，i＝1～M，是虚土桩的层数编号，自下而上，
Figure FDA0002943814550000013
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure FDA0002943814550000014
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，fi SP是第i层桩底土对第i层虚土桩的桩位侧摩阻力，
Figure FDA0002943814550000021
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；N是实体桩的层数，j＝1～N，是实体桩的层数编号，自下而上，
Figure FDA0002943814550000022
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure FDA0002943814550000023
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure FDA0002943814550000024
为第j层实体桩的截面半径，
Figure FDA0002943814550000025
是第j层桩周土对第i层实体桩的桩位侧摩阻力，
Figure FDA0002943814550000026
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度。
2.根据权利要求1所述的分析方法，其特征在于，所述步骤S2中轴对称条件下第j层桩周土的纵向振动控制方程为
Figure FDA0002943814550000027
第i层桩底土的纵向振动控制方程为
Figure FDA0002943814550000028
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；N是桩周土的层数，j＝1～N，是桩周土的层数编号，自下而上，
Figure FDA0002943814550000029
为第j层桩周土纵向位移，
Figure FDA00029438145500000210
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure FDA00029438145500000211
Figure FDA00029438145500000212
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；M是桩底土的层数，i＝1～M，是桩底土的层数编号，自下而上，
Figure FDA00029438145500000213
为第i层桩底土纵向位移，
Figure FDA00029438145500000219
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure FDA00029438145500000215
Figure FDA00029438145500000216
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
3.根据权利要求1所述的分析方法，其特征在于，所述步骤S2中，桩-土边界条件包括桩底土边界条件、桩周土边界条件、实体桩与虚土桩边界条件、桩土耦合条件，分别为
桩底土边界条件：
Figure FDA00029438145500000217
Figure FDA00029438145500000218
Figure FDA0002943814550000031
桩周土边界条件：
Figure FDA0002943814550000032
Figure FDA0002943814550000033
Figure FDA0002943814550000034
实体桩与虚土桩的边界条件：
Figure FDA0002943814550000035
第i段虚土桩：
Figure FDA0002943814550000036
Figure FDA0002943814550000037
第j段实体桩：
Figure FDA0002943814550000038
Figure FDA0002943814550000039
桩土耦合条件：
Figure FDA00029438145500000310
Figure FDA00029438145500000311
Figure FDA00029438145500000312
Figure FDA00029438145500000313
式中，r为轴向坐标，轴向坐标零点位于桩截面圆心，z为纵向坐标，纵向坐标零点位于自由表面，向下为正，t为时间坐标；HP为桩周土层厚度，共分为HSP为桩底土层厚，H＝HP+HSP为基岩上土层总厚度；q(t)为桩顶作用任意激振力；M是虚土桩和桩底土的层数，i＝1～M，是虚土桩和桩底土的层数编号，自下而上，每层虚土桩和桩底土的厚度为
Figure FDA00029438145500000314
每层虚土桩和桩底土的顶部埋深为
Figure FDA00029438145500000315
N是实体桩和桩周土的层数，j＝1～N，是实体桩和桩周土的层数编号，自下而上，每层实体桩和桩周土的厚度为
Figure FDA00029438145500000316
每层实体桩和桩周土的顶部埋深为
Figure FDA00029438145500000317
Figure FDA0002943814550000041
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure FDA0002943814550000042
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure FDA0002943814550000043
为第j层实体桩的截面半径；
Figure FDA0002943814550000044
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure FDA0002943814550000045
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure FDA0002943814550000046
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure FDA0002943814550000047
为第i层桩底土与第i+1层桩底土层间的分布式阻尼器的阻尼系数；
Figure FDA0002943814550000048
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型弹性系数，
Figure FDA0002943814550000049
为第j层实体桩与第j层桩周土界面处的开尔文模型阻尼器系数；fi SP(z,t)为第i层桩底土对第i层虚土桩的单位侧摩阻力，
Figure FDA00029438145500000410
为第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩的界面处的剪应力；
Figure FDA00029438145500000411
为第j层桩周土对第j层实体桩的单位侧摩阻力，
Figure FDA00029438145500000412
为第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩的界面处的剪应力；
Figure FDA00029438145500000413
为第j层实体桩与第j层桩周土间的纵向相对滑移，
Figure FDA00029438145500000432
为第j层实体桩与第j层桩周土间的相对滑移速度；
Figure FDA00029438145500000414
为第i层虚土桩的纵向位移，
Figure FDA00029438145500000415
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure FDA00029438145500000416
Figure FDA00029438145500000417
分别为第i层虚土桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA00029438145500000418
为第j层实体桩的纵向位移，
Figure FDA00029438145500000419
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure FDA00029438145500000420
为第j层实体桩的截面半径，
Figure FDA00029438145500000421
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA00029438145500000422
为第i层桩底土纵向位移，
Figure FDA00029438145500000423
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure FDA00029438145500000424
Figure FDA00029438145500000425
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA00029438145500000426
为第j层桩周土纵向位移，
Figure FDA00029438145500000427
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure FDA00029438145500000428
Figure FDA00029438145500000429
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度。
4.根据权利要求1所述的分析方法，其特征在于，所述步骤S3中，求解包括以下步骤
步骤S31：对式(1a)中的轴对称条件下桩底土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，并对边界条件式(4a)和(4b)进行拉普拉斯变换，得到第i层桩底土的纵向位移函数为
Figure FDA00029438145500000430
以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力为
Figure FDA00029438145500000431
步骤S32：对式(1b)中的轴对称条件下桩周土纵向振动控制方程进行拉普拉斯变换，对边界条件式(5a)和(5b)进行拉普拉斯变换，得到第j层桩周土的纵向位移函数为
Figure FDA0002943814550000051
以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力为
Figure FDA0002943814550000052
步骤S33：对虚土桩纵向振动控制方程(2)和边界条件(7a)进行拉普拉斯变换，并基于步骤S31中获得的第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩处剪应力(9a)，得到第i层虚土桩的纵向振动位移函数
Figure FDA0002943814550000053
对实体桩纵向振动控制方程(3)和边界条件(7c)进行Laplace变换，得到第j层实体桩的纵向振动位移函数
Figure FDA0002943814550000054
步骤S34：对边界条件式(6a，6b，6c)进行拉普拉斯变换，得虚土桩与实体桩界面处的复阻抗函数
Figure FDA0002943814550000055
对边界条件式(6d，6e)进行拉普拉斯变换，得到实体桩桩顶的位移阻抗函数
Figure FDA0002943814550000056
步骤S35：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)得到实体桩桩顶复刚度为
Figure FDA0002943814550000057
步骤S36：根据实体桩桩顶的位移阻抗函数(11b)，得到桩顶速度导纳为
Figure FDA0002943814550000061
步骤S37：根据桩顶速度导纳(13)，使用傅里叶变换，得到单位脉冲激励的时域响应
Figure FDA0002943814550000062
步骤S38：根据卷积定理，得到任意激振力q(t)作用下，桩顶速度时域响应为
g(t)＝q(t)*h(t)＝IFT[Q(iω)·Gv(iω)] (15)
当激振力为半正弦脉冲激励
Figure FDA0002943814550000063
t∈(0，T)，T为脉冲宽度时，桩顶时域半解析解为
Figure FDA0002943814550000064
上述步骤中，
z′＝z-HP为局部纵向坐标，其零点为桩底土体顶部，方向向下为正；s＝iω为拉普拉斯变换常数，i为虚数单位，ω为激振荷载频率；n为下标；
Figure FDA0002943814550000065
为第i层虚土桩的桩身截面积，ri SP为第i层虚土桩的截面半径，
Figure FDA0002943814550000066
为第j层实体桩桩身截面积，
Figure FDA0002943814550000067
为第j层实体桩的截面半径；q(t)为任意激振力；Wi SP(r,z′,s)为第i层桩底土纵向位移
Figure FDA0002943814550000068
的拉普拉斯变换；
Figure FDA0002943814550000069
为第j层桩周土纵向位移
Figure FDA00029438145500000610
的拉普拉斯变换；
Figure FDA00029438145500000611
为第i层虚土桩桩身位移
Figure FDA00029438145500000612
的拉普拉斯变换；
Figure FDA00029438145500000613
为第j层实体桩桩身位移
Figure FDA00029438145500000614
的拉普拉斯变换；Q(iω)为任意激振力q(t)的傅里叶变换；
K0(·)、K1(·)分别为零阶和第一阶第二类虚宗量Bessel函数；
Figure FDA00029438145500000617
为进行傅里叶变换操作；
Figure FDA00029438145500000615
为第i层虚土桩一维压缩波波速；
Figure FDA00029438145500000616
为第j层实体桩一维压缩波波速；
Figure FDA0002943814550000071
分别为第j层实体桩的弹性模量、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA0002943814550000072
为由第i层桩底土与虚土桩耦合条件(7b)以及第i层桩底土在第i层桩底土-虚土桩界面处剪应力(9a)所确定的常数；
Figure FDA0002943814550000073
为由第j层桩周土与实体桩耦合条件(7c，d)以及第j层桩周土在第j层桩周土-实体桩界面处剪应力(9b)所确定的常数；
Figure FDA0002943814550000074
为满足第i层桩底土的纵向位移函数(8a)的解，其中
Figure FDA0002943814550000075
其中
Figure FDA0002943814550000076
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure FDA0002943814550000077
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure FDA00029438145500000723
为第i层桩底土的土体Lame常数，且有
Figure FDA0002943814550000079
Figure FDA00029438145500000710
分别为第i层桩底土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA00029438145500000711
为满足第j层桩周土的纵向位移函数(8b)的解，其中，
Figure FDA00029438145500000712
其中
Figure FDA00029438145500000713
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式弹簧动刚度，
Figure FDA00029438145500000714
为第j层桩周土与第j+1层桩周土层间的分布式阻尼器的阻尼系数，
Figure FDA00029438145500000715
为第j层桩周土的土体Lame常数，且有
Figure FDA00029438145500000716
Figure FDA00029438145500000717
分别为第j层桩周土的土体的弹性模量、泊松比、粘性阻尼系数和密度；
Figure FDA00029438145500000718
为待定系数，满足下列关系
Figure FDA00029438145500000719
Figure FDA00029438145500000720
Figure FDA00029438145500000721
为待定系数，满足下列关系
Figure FDA00029438145500000722
上述步骤中，还包括以下符号定义
Figure FDA0002943814550000081
Figure FDA0002943814550000082
Figure FDA0002943814550000083
Figure FDA0002943814550000084
Figure FDA0002943814550000085
Figure FDA0002943814550000086
Figure FDA0002943814550000087
Figure FDA0002943814550000088
Figure FDA0002943814550000089
Figure FDA00029438145500000810
Figure FDA00029438145500000811
Figure FDA00029438145500000812
Figure FDA00029438145500000813
Figure FDA00029438145500000814
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