CN109344526B - 一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法 - Google Patents

一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法。本发明方法基于饱和虚土桩模型的浮承桩纵向振动动力阻抗算法系统，其采用的饱和虚土桩模型，能考虑桩周及桩底土体的饱和特性，且能合理考虑桩底土厚度等因素对桩基纵向振动特性的影响，适用于饱和土中浮承桩纵向振动特性研究，可为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。

Description

一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法
技术领域
本发明涉及土建技术领域，具体而言，尤其涉及一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法。
背景技术
目前，针对浮承桩情况的问题，已有研究大多将桩底土简化为Winkler模型，其弹簧和阻尼器系数通常按经验取值，无法合理考虑桩底土体波动效应的影响。为解决此类问题，一些学者将桩底土考虑为单相或饱和弹性半空间介质，计算得出桩底复阻抗函数表达式，并对浮承桩纵向振动特性进行了分析。然而，弹性半空间模型虽可考虑桩底土波动效应，但其只适用于基岩埋深较大情况，且无法考虑桩底土厚度及成层特性对桩基纵向振动特性的影响。基于此点考虑，提出了桩与桩底土完全耦合单相介质虚土桩模型。而单相虚土桩模型均假定桩底土体为单相介质，未考虑桩底土饱和两相介质性，这对于饱和土中浮承桩基纵向振动问题并不适用。
发明内容
根据上述提出的技术问题，而提供一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法。
本发明采用的技术手段如下：
一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，包括以下步骤：
S1、构建基于平面应变法及桩底饱和虚土桩模型的饱和土-桩-饱和虚土桩耦合体系纵向振动力学简化模型；
S2、将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，假定桩周和桩底每层土都为均质、各向同性的饱和线黏弹性介质，根据Biot动力波动理论，建立第j层饱和土体和第k层饱和土体的平面应变条件下饱和土层动力控制方程及实体桩与饱和虚土桩界面处的边界条件和桩-土耦合条件；
S3、将第j层饱和土体和第k层饱和土体的谐和激振作用下饱和土层质点位移方程代入所述饱和土层动力学控制方程中，求解桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和桩周第k层饱和土体土骨架径向位移，
基于求解的径向位移求解出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力，通过饱和虚土桩边界条件和各层桩界面处位移连续、力的平衡条件及阻抗函数传递公式，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解；
S4、由桩顶位移阻抗函数求得桩顶位移频率响应函数，求得桩顶速度频率响应函数、单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应，进而求得桩顶时域速度响应函数，
基于求得的所述桩顶速度频率响应函数和桩顶时域速度响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评判。
进一步地，所述步骤S2假定条件还包括：
桩底各层土体为渗透性较差的饱和粘土；
桩周土和桩底土为一系列相互独立的薄层，不考虑土层间的相互作用；
实体桩为均质等截面弹性体，桩身相邻层之间满足力平衡和位移连续条件；
饱和虚土桩为等截面饱和两相介质，饱和虚土桩相邻层之间满足力平衡和位移连续条件，其与实体桩界面位移连续、应力平衡；
桩-土耦合振动系统满足线弹性和小变形条件，桩土界面完全接触，不存在滑移和脱离。
进一步地，所述步骤S2具体为：
S21、根据Biot动力波动理论，建立平面应变条件下饱和土层动力学控制方程为：
Figure BDA0001834019130000031
Figure BDA0001834019130000032
Figure BDA0001834019130000033
Figure BDA0001834019130000034
式中，各参数关系如下：
Figure BDA0001834019130000035
其中，将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，由基岩往上依次编号为1、…、j、…、n、n+1、…、k、…、m层，各层厚度分别为l1、…、lj…、ln、ln+1、…、lk、…、lm，各层顶部埋深分别为h1、…、hj…、hn、hn+1、…、hk、…、hm，j＝1、2、…、n，k＝n+1、n+2、…、m，
式中，uj、wj为桩底第j层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure BDA0001834019130000036
Nj、ηj、bj、kj、
Figure BDA0001834019130000037
Gj、ξj分别为桩底第j层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；uk、wk为桩周第k层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure BDA0001834019130000038
Nk、ηk、bk、kk、
Figure BDA0001834019130000039
Figure BDA00018340191300000310
Gk、ξk分别为桩周第k层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复值剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；g为重力加速度，
Figure BDA00018340191300000311
S22、基于Biot动力波动理论得出渗透性较差时饱和土体一维纵向振动控制方程为：
Figure BDA0001834019130000041
其中，
Figure BDA0001834019130000042
为第j层饱和虚土桩纵向位移，λj为第j层桩底土拉梅常数，且λj＝2νjGj/(1-2νj)，νj为桩底第j层饱和土体泊松比。αj、Mj为Biot定义的表征桩底第j层饱和土体土颗粒及流体压缩性常数，
Figure BDA0001834019130000043
Figure BDA0001834019130000044
Figure BDA0001834019130000045
和
Figure BDA0001834019130000046
分别为桩底第j层饱和土体土颗粒、流体及土骨架的体积压缩模量；
S23、将桩底第j层土在饱和虚土桩界面处的剪切应力
Figure BDA0001834019130000047
代入式(4)中，可得桩底第j层饱和虚土桩纵向振动控制方程为：
Figure BDA0001834019130000048
式中，
Figure BDA0001834019130000049
为剪应力幅值，ω为激振圆频率，r0表示实体桩半径，
Figure BDA00018340191300000410
Ap表示实体桩的横截面面积；
取第k段实体桩桩身微元体作动力平衡分析可得第k段实体桩纵向振动控制方程为：
Figure BDA00018340191300000411
式中，
Figure BDA00018340191300000412
为第k段实体桩质点纵向振动位移，EP、ρP分别为实体桩弹性模量和密度，
Figure BDA00018340191300000413
为第k层桩周饱和土体与实体桩界面处土体剪应力，
Figure BDA00018340191300000414
为剪应力幅值。
进一步地，所述步骤S2中，饱和土-桩-饱和虚土桩体系边界条件如下：
饱和土体：
径向无穷远处位移为零，即
uj(∞,t)＝0 (7a)
uk(∞,t)＝0 (7b)
实体桩：
桩顶平衡条件：
Figure BDA00018340191300000415
各层界面位移连续条件：
Figure BDA00018340191300000416
各层界面力平衡条件：
Figure BDA00018340191300000417
饱和虚土桩：
桩底位移：
Figure BDA0001834019130000051
各层界面位移连续条件：
Figure BDA0001834019130000052
各层界面力平衡条件：
Figure BDA0001834019130000053
桩与饱和虚土桩界面处边界条件：
位移连续条件：
Figure BDA0001834019130000054
力平衡条件：
Figure BDA0001834019130000055
桩-土耦合条件：
Figure BDA0001834019130000056
Figure BDA0001834019130000057
其中，HP为实体桩桩长，
Figure BDA0001834019130000058
表示桩顶作用谐和激振力，
Figure BDA0001834019130000059
表示激振力幅值，H表示基岩上土层总厚度，Hsp表示桩底土层厚，即饱和虚土桩长度。
进一步地，所述步骤S3中，谐和激振作用下饱和土层质点位移方程具体为：
Figure BDA00018340191300000510
式中：
Figure BDA00018340191300000511
为桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，
Figure BDA00018340191300000512
为桩周第k层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，i为虚数单位，
所述步骤S3中，求解纵向位移解具体为：
S31、将谐和激振作用下饱和土层质点位移方程(12)代入所述饱和土层动力学控制方程(1)、(2)中，可得：
Figure BDA00018340191300000513
Figure BDA00018340191300000514
将式(13b)、(14b)分别代入式(13a)、(14a)可得：
Figure BDA0001834019130000061
Figure BDA0001834019130000062
式中：
Figure BDA0001834019130000063
Figure BDA0001834019130000064
方程(15)的通解为：
Figure BDA0001834019130000065
Figure BDA0001834019130000066
式中，Aj、Bj、Ak、Bk为待定常数，I0(qjr)、I0(qkr)、K0(qjr)、K0(qkr)为零阶第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数。
由边界条件式(7)可知Bj＝Bk＝0，则进一步可得：
Figure BDA0001834019130000067
Figure BDA0001834019130000068
所述步骤S3中，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解具体为：
S32、谐和激振作用下饱和虚土桩和实体桩质点纵向振动位移满足下式：
Figure BDA0001834019130000069
式中，
Figure BDA00018340191300000610
分别为第j层饱和虚土桩和第k层实体桩质点纵向振动位移响应幅值，则式(5)和式(6)可化简为：
Figure BDA00018340191300000611
Figure BDA00018340191300000612
由边界条件式(11)可得：
Figure BDA00018340191300000613
将式(20)代入式(17)，并由剪应力与位移的关系可得出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力分别为：
Figure BDA00018340191300000614
Figure BDA00018340191300000615
将式(21)代入式(19)，并进一步化简可得：
Figure BDA0001834019130000071
Figure BDA0001834019130000072
式中，
Figure BDA0001834019130000073
Figure BDA0001834019130000074
则方程(22)的通解为：
Figure BDA0001834019130000075
Figure BDA0001834019130000076
式中：Cj、Dj、Ck、Dk为待定常数；
S33、由饱和虚土桩边界条件式(9a)可得：
Figure BDA0001834019130000077
根据位移阻抗函数的定义可得第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure BDA0001834019130000078
综合第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处位移连续、力平衡条件可得：
Figure BDA0001834019130000079
由此可得第2段饱和虚土桩与第3段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure BDA00018340191300000710
综合式(24)—(27)可得饱和虚土桩阻抗函数传递公式：
Figure BDA00018340191300000711
式中：
Figure BDA00018340191300000712
由式(28)递推可得饱和虚土桩与实体桩界面处阻抗函数：
Figure BDA00018340191300000713
式中：
Figure BDA0001834019130000081
S34、根据实体桩与饱和虚土桩界面耦合条件式(10)可得第n+1段实体桩与第n+2段实体桩界面处阻抗函数为：
Figure BDA0001834019130000082
式中：
Figure BDA0001834019130000083
由此可得实体桩阻抗函数传递公式：
Figure BDA0001834019130000084
式中：
Figure BDA0001834019130000085
S35、由式(31)递推可得实体桩桩顶处动力阻抗函数：
Figure BDA0001834019130000086
式中：
Figure BDA0001834019130000087
进一步地，所述步骤S4具体求解步骤如下：
S41、根据实体桩桩顶处动力阻抗函数求解实体桩桩顶复刚度，具体为：
Figure BDA0001834019130000088
式中：Kr代表桩顶动刚度，Ki代表桩顶动阻尼，
由桩顶位移阻抗函数可得桩顶位移频率响应函数为：
Figure BDA0001834019130000089
S42、桩顶速度频率响应函数为：
Figure BDA00018340191300000810
根据傅里叶变换的性质，由桩顶速度频率响应函数式(35)可得单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应为：
Figure BDA00018340191300000811
由卷积定理知，在任意激振力p(t)，桩顶时域速度响应为：
g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[F(iω)×Hv(iω)] (37)
其中，P(iω)为p(t)的傅里叶变换；
S43、半正弦脉冲激振力作用下桩顶速度时域响应半解析解答为：
Figure BDA0001834019130000091
式中，v(t)为桩顶速度时域响应，桩顶处激励p(t)为半正弦脉冲时，
Figure BDA0001834019130000092
T为脉冲宽度；
S44、基于求得的所述桩顶速度导纳函数和桩顶速度时域响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。
较现有技术相比，本发明具有以下优点：
本发明基于饱和虚土桩模型的浮承桩纵向振动动力阻抗算法系统，其采用的饱和虚土桩模型能同时考虑桩周、桩底土体饱和特性及桩底土体的波动效应，能适用饱和土中浮承桩纵向振动问题，纵向成层可以考虑土体自然沉积形成的成层特性，通告对桩底土和桩周土的分层处理，同时考虑桩底土层和桩侧土体的纵向成层特性，为桩基动力检测提供理论指导和参考作用。
基于上述理由本发明可在土建技术领域广泛推广。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做以简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法流程图。
图2为本发明基于Novak平面应变法及桩底饱和虚土桩模型的纵向振动力学简化模型图。
图3为本发明桩顶动力阻抗函数求解过程具体流程图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。
需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。
如图1所示，本发明提供了一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，包括以下步骤：
S1、构建基于平面应变法及桩底饱和虚土桩模型的饱和土-桩-饱和虚土桩耦合体系纵向振动力学简化模型；
S2、将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，假定桩周和桩底每层土都为均质、各向同性的饱和线黏弹性介质，根据Biot动力波动理论，建立第j层饱和土体和第k层饱和土体的平面应变条件下饱和土层动力控制方程及实体桩与饱和虚土桩界面处的边界条件和桩-土耦合条件；
S3、将第j层饱和土体和第k层饱和土体的谐和激振作用下饱和土层质点位移方程代入所述饱和土层动力学控制方程中，求解桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和桩周第k层饱和土体土骨架径向位移，
基于求解的径向位移求解出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力，通过饱和虚土桩边界条件和各层桩界面处位移连续、力的平衡条件及阻抗函数传递公式，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解；
S4、由桩顶位移阻抗函数求得桩顶位移频率响应函数，求得桩顶速度频率响应函数、单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应，进而求得桩顶时域速度响应函数，
基于求得的所述桩顶速度频率响应函数和桩顶时域速度响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评判。
基于Novak平面应变法及桩底饱和虚土桩模型的纵向振动力学简化模型如图2所示，所述步骤S2假定条件还包括：
桩底各层土体为渗透性较差的饱和粘土；
桩周土和桩底土为一系列相互独立的薄层，不考虑土层间的相互作用；
实体桩为均质等截面弹性体，桩身相邻层之间满足力平衡和位移连续条件；
饱和虚土桩为等截面饱和两相介质，饱和虚土桩相邻层之间满足力平衡和位移连续条件，其与实体桩界面位移连续、应力平衡；
桩-土耦合振动系统满足线弹性和小变形条件，桩土界面完全接触，不存在滑移和脱离。
所述步骤S2具体为：
S21、根据Biot动力波动理论，建立平面应变条件下饱和土层动力学控制方程为：
Figure BDA0001834019130000111
Figure BDA0001834019130000112
Figure BDA0001834019130000113
Figure BDA0001834019130000114
式中，各参数关系如下：
Figure BDA0001834019130000121
其中，将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，由基岩往上依次编号为1、…、j、…、n、n+1、…、k、…、m层，各层厚度分别为l1、…、lj…、ln、ln+1、…、lk、…、lm，各层顶部埋深分别为h1、…、hj…、hn、hn+1、…、hk、…、hm，j＝1、2、…、n，k＝n+1、n+2、…、m，
式中，uj、wj为桩底第j层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure BDA0001834019130000122
Nj、ηj、bj、kj、
Figure BDA0001834019130000123
Gj、ξj分别为桩底第j层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；uk、wk为桩周第k层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure BDA0001834019130000124
Nk、ηk、bk、kk、
Figure BDA0001834019130000125
Figure BDA0001834019130000126
Gk、ξk分别为桩周第k层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复值剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；g为重力加速度，
Figure BDA0001834019130000127
S22、基于Biot动力波动理论得出渗透性较差时饱和土体一维纵向振动控制方程为：
Figure BDA0001834019130000128
其中，
Figure BDA0001834019130000129
为第j层饱和虚土桩纵向位移，λj为第j层桩底土拉梅常数，且λj＝2νjGj/(1-2νj)，νj为桩底第j层饱和土体泊松比。αj、Mj为Biot定义的表征桩底第j层饱和土体土颗粒及流体压缩性常数，
Figure BDA00018340191300001210
Figure BDA00018340191300001211
Figure BDA00018340191300001212
和
Figure BDA00018340191300001213
分别为桩底第j层饱和土体土颗粒、流体及土骨架的体积压缩模量；
S23、将桩底第j层土在饱和虚土桩界面处的剪切应力
Figure BDA00018340191300001214
代入式(4)中，可得桩底第j层饱和虚土桩纵向振动控制方程为：
Figure BDA0001834019130000131
式中，
Figure BDA0001834019130000132
为剪应力幅值，ω为激振圆频率，r0表示实体桩半径，
Figure BDA0001834019130000133
Ap表示实体桩的横截面面积；
取第k段实体桩桩身微元体作动力平衡分析可得第k段实体桩纵向振动控制方程为：
Figure BDA0001834019130000134
式中，
Figure BDA0001834019130000135
为第k段实体桩质点纵向振动位移，EP、ρP分别为实体桩弹性模量和密度，
Figure BDA0001834019130000136
为第k层桩周饱和土体与实体桩界面处土体剪应力，
Figure BDA0001834019130000137
为剪应力幅值。
所述步骤S2中，饱和土-桩-饱和虚土桩体系边界条件如下：
饱和土体：
径向无穷远处位移为零，即
uj(∞,t)＝0 (7a)
uk(∞,t)＝0 (7b)
实体桩：
桩顶平衡条件：
Figure BDA0001834019130000138
各层界面位移连续条件：
Figure BDA0001834019130000139
各层界面力平衡条件：
Figure BDA00018340191300001310
饱和虚土桩：
桩底位移：
Figure BDA00018340191300001311
各层界面位移连续条件：
Figure BDA00018340191300001312
各层界面力平衡条件：
Figure BDA00018340191300001313
桩与饱和虚土桩界面处边界条件：
位移连续条件：
Figure BDA00018340191300001314
力平衡条件：
Figure BDA0001834019130000141
桩-土耦合条件：
Figure BDA0001834019130000142
Figure BDA0001834019130000143
其中，HP为实体桩桩长，
Figure BDA0001834019130000144
表示桩顶作用谐和激振力，
Figure BDA0001834019130000145
表示激振力幅值，H表示基岩上土层总厚度，Hsp表示桩底土层厚，即饱和虚土桩长度。
所述步骤S3中，谐和激振作用下饱和土层质点位移方程具体为：
Figure BDA0001834019130000146
式中：
Figure BDA0001834019130000147
为桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，
Figure BDA0001834019130000148
为桩周第k层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，i为虚数单位，
所述步骤S3中，求解纵向位移解具体为：
S31、将谐和激振作用下饱和土层质点位移方程(12)代入所述饱和土层动力学控制方程(1)、(2)中，可得：
Figure BDA0001834019130000149
Figure BDA00018340191300001410
将式(13b)、(14b)分别代入式(13a)、(14a)可得：
Figure BDA00018340191300001411
Figure BDA00018340191300001412
式中：
Figure BDA00018340191300001413
Figure BDA00018340191300001414
方程(15)的通解为：
Figure BDA00018340191300001415
Figure BDA00018340191300001416
式中，Aj、Bj、Ak、Bk为待定常数，I0(qjr)、I0(qkr)、K0(qjr)、K0(qkr)为零阶第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数。
由边界条件式(7)可知Bj＝Bk＝0，则进一步可得：
Figure BDA0001834019130000151
Figure BDA0001834019130000152
如图3所示，所述步骤S3中，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解具体为：
S32、谐和激振作用下饱和虚土桩和实体桩质点纵向振动位移满足下式：
Figure BDA0001834019130000153
式中，
Figure BDA0001834019130000154
分别为第j层饱和虚土桩和第k层实体桩质点纵向振动位移响应幅值，则式(5)和式(6)可化简为：
Figure BDA0001834019130000155
Figure BDA0001834019130000156
由边界条件式(11)可得：
Figure BDA0001834019130000157
将式(20)代入式(17)，并由剪应力与位移的关系可得出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力分别为：
Figure BDA0001834019130000158
Figure BDA0001834019130000159
将式(21)代入式(19)，并进一步化简可得：
Figure BDA00018340191300001510
Figure BDA00018340191300001511
式中，
Figure BDA00018340191300001512
Figure BDA00018340191300001513
则方程(22)的通解为：
Figure BDA00018340191300001514
Figure BDA00018340191300001515
式中：Cj、Dj、Ck、Dk为待定常数；
S33、由饱和虚土桩边界条件式(9a)可得：
Figure BDA0001834019130000161
根据位移阻抗函数的定义可得第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure BDA0001834019130000162
综合第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处位移连续、力平衡条件可得：
Figure BDA0001834019130000163
由此可得第2段饱和虚土桩与第3段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure BDA0001834019130000164
综合式(24)—(27)可得饱和虚土桩阻抗函数传递公式：
Figure BDA0001834019130000165
式中：
Figure BDA0001834019130000166
由式(28)递推可得饱和虚土桩与实体桩界面处阻抗函数：
Figure BDA0001834019130000167
式中：
Figure BDA0001834019130000168
S34、根据实体桩与饱和虚土桩界面耦合条件式(10)可得第n+1段实体桩与第n+2段实体桩界面处阻抗函数为：
Figure BDA0001834019130000169
式中：
Figure BDA00018340191300001610
由此可得实体桩阻抗函数传递公式：
Figure BDA0001834019130000171
式中：
Figure BDA0001834019130000172
S35、由式(31)递推可得实体桩桩顶处动力阻抗函数：
Figure BDA0001834019130000173
式中：
Figure BDA0001834019130000174
所述步骤S4具体求解步骤如下：
S41、根据实体桩桩顶处动力阻抗函数求解实体桩桩顶复刚度，具体为：
Figure BDA0001834019130000175
式中：Kr代表桩顶动刚度，Ki代表桩顶动阻尼，
由桩顶位移阻抗函数可得桩顶位移频率响应函数为：
Figure BDA0001834019130000176
S42、桩顶速度频率响应函数为：
Figure BDA0001834019130000177
根据傅里叶变换的性质，由桩顶速度频率响应函数式(35)可得单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应为：
Figure BDA0001834019130000178
由卷积定理知，在任意激振力p(t)，桩顶时域速度响应为：
g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[F(iω)×Hv(iω)] (37)
其中，P(iω)为p(t)的傅里叶变换；
S43、半正弦脉冲激振力作用下桩顶速度时域响应半解析解答为：
Figure BDA0001834019130000179
式中，v(t)为桩顶速度时域响应，桩顶处激励p(t)为半正弦脉冲时，
Figure BDA00018340191300001710
T为脉冲宽度；
S44、基于求得的所述桩顶速度导纳函数和桩顶速度时域响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。
上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。
在本发明的上述实施例中，对各个实施例的描述都各有侧重，某个实施例中没有详述的部分，可以参见其他实施例的相关描述。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (5)

1.一种基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、构建基于平面应变法及桩底饱和虚土桩模型的饱和土-桩-饱和虚土桩耦合体系纵向振动力学简化模型；
S2、将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，假定桩周和桩底每层土都为均质、各向同性的饱和线黏弹性介质，根据Biot动力波动理论，建立第j层饱和土体和第k层饱和土体的平面应变条件下饱和土层动力控制方程及实体桩与饱和虚土桩界面处的边界条件和桩-土耦合条件；
S3、将第j层饱和土体和第k层饱和土体的谐和激振作用下饱和土层质点位移方程代入所述饱和土层动力学控制方程中，求解桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和桩周第k层饱和土体土骨架径向位移，
基于求解的径向位移求解出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力，通过饱和虚土桩边界条件和各层桩界面处位移连续、力的平衡条件及阻抗函数传递公式，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解；
S4、由桩顶位移阻抗函数求得桩顶位移频率响应函数，求得桩顶速度频率响应函数、单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应，进而求得桩顶时域速度响应函数，
基于求得的所述桩顶速度频率响应函数和桩顶时域速度响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评判；
所述步骤S2具体为：
S21、根据Biot动力波动理论，建立平面应变条件下饱和土层动力学控制方程为：
Figure FDA0003789909150000011
Figure FDA0003789909150000012
Figure FDA0003789909150000021
Figure FDA0003789909150000022
式中，各参数关系如下：
Figure FDA0003789909150000023
其中，将桩-土耦合振动系统按土体沿纵向分成m层，其中桩底土分成n层，由基岩往上依次编号为1、…、j、…、n、n+1、…、k、…、m层，各层厚度分别为l1、…、lj…、ln、ln+1、…、lk、…、lm，各层顶部埋深分别为h1、…、hj…、hn、hn+1、…、hk、…、hm，j＝1、2、…、n，k＝n+1、n+2、…、m，
式中，uj、wj为桩底第j层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure FDA0003789909150000024
Nj、ηj、bj、kj、
Figure FDA0003789909150000025
Gj、ξj分别为桩底第j层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；uk、wk为桩周第k层土骨架纵向位移和流体相对于土骨架纵向位移，
Figure FDA0003789909150000026
Nk、ηk、bk、kk、
Figure FDA0003789909150000027
Figure FDA0003789909150000028
Gk、ξk分别为桩周第k层饱和土体流体密度、土颗粒密度、孔隙率、流体粘滞系数、骨架与孔隙流体的粘性耦合系数、Biot定义的动力渗透系数、土体达西定律渗透系数、土体复值剪切模量、土体剪切模量和阻尼比；g为重力加速度，
Figure FDA0003789909150000029
S22、基于Biot动力波动理论得出渗透性较差时饱和土体一维纵向振动控制方程为：
Figure FDA00037899091500000210
其中，
Figure FDA00037899091500000211
为第j层饱和虚土桩纵向位移，λj为第j层桩底土拉梅常数，且λj＝2vjGj/(1-2νj)，νj为桩底第j层饱和土体泊松比；αj、Mj为Biot定义的表征桩底第j层饱和土体土颗粒及流体压缩性常数，
Figure FDA0003789909150000031
Figure FDA0003789909150000032
Figure FDA0003789909150000033
和
Figure FDA0003789909150000034
分别为桩底第j层饱和土体土颗粒、流体及土骨架的体积压缩模量；
S23、将桩底第j层土在饱和虚土桩界面处的剪切应力
Figure FDA0003789909150000035
代入式(4)中，可得桩底第j层饱和虚土桩纵向振动控制方程为：
Figure FDA0003789909150000036
式中，
Figure FDA0003789909150000037
为剪应力幅值，ω为激振圆频率，r0表示实体桩半径，
Figure FDA0003789909150000038
Ap表示实体桩的横截面面积；
取第k段实体桩桩身微元体作动力平衡分析可得第k段实体桩纵向振动控制方程为：
Figure FDA0003789909150000039
式中，
Figure FDA00037899091500000310
为第k段实体桩质点纵向振动位移，EP、ρP分别为实体桩弹性模量和密度，
Figure FDA00037899091500000311
为第k层桩周饱和土体与实体桩界面处土体剪应力，
Figure FDA00037899091500000312
为剪应力幅值。
2.根据权利要求1所述的基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，其特征在于，所述步骤S2假定条件还包括：
桩底各层土体为渗透性较差的饱和粘土；
桩周土和桩底土为一系列相互独立的薄层，不考虑土层间的相互作用；
实体桩为均质等截面弹性体，桩身相邻层之间满足力平衡和位移连续条件；
饱和虚土桩为等截面饱和两相介质，饱和虚土桩相邻层之间满足力平衡和位移连续条件，其与实体桩界面位移连续、应力平衡；
桩-土耦合振动系统满足线弹性和小变形条件，桩土界面完全接触，不存在滑移和脱离。
3.根据权利要求2所述的基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，其特征在于，所述步骤S2中，饱和土-桩-饱和虚土桩体系边界条件如下：
饱和土体：
径向无穷远处位移为零，即
uj(∞,t)＝0 (7a)
uk(∞,t)＝0 (7b)
实体桩：
桩顶平衡条件：
Figure FDA0003789909150000041
各层界面位移连续条件：
Figure FDA0003789909150000042
各层界面力平衡条件：
Figure FDA0003789909150000043
饱和虚土桩：
桩底位移：
Figure FDA0003789909150000044
各层界面位移连续条件：
Figure FDA0003789909150000045
各层界面力平衡条件：
Figure FDA0003789909150000046
桩与饱和虚土桩界面处边界条件：
位移连续条件：
Figure FDA0003789909150000047
力平衡条件：
Figure FDA0003789909150000048
桩-土耦合条件：
Figure FDA0003789909150000049
Figure FDA00037899091500000410
其中，HP为实体桩桩长，
Figure FDA00037899091500000411
表示桩顶作用谐和激振力，
Figure FDA00037899091500000412
表示激振力幅值，H表示基岩上土层总厚度，Hsp表示桩底土层厚，即饱和虚土桩长度。
4.根据权利要求3所述的基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，其特征在于，所述步骤S3中，谐和激振作用下饱和土层质点位移方程具体为：
Figure FDA0003789909150000051
式中：
Figure FDA0003789909150000052
为桩底第j层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，
Figure FDA0003789909150000053
为桩周第k层饱和土体土骨架径向位移和流体相对于土骨架径向位移响应幅值，i为虚数单位，
所述步骤S3中，求解纵向位移解具体为：
S31、将谐和激振作用下饱和土层质点位移方程(12)代入所述饱和土层动力学控制方程(1)、(2)中，可得：
Figure FDA0003789909150000054
Figure FDA0003789909150000055
Figure FDA0003789909150000056
Figure FDA0003789909150000057
将式(13b)、(14b)分别代入式(13a)、(14a)可得：
Figure FDA0003789909150000058
Figure FDA0003789909150000059
式中：
Figure FDA00037899091500000510
Figure FDA00037899091500000511
方程(15)的通解为：
Figure FDA00037899091500000512
Figure FDA00037899091500000513
式中，Aj、Bj、Ak、Bk为待定常数，I0(qjr)、I0(qkr)、K0(qjr)、K0(qkr)为零阶第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数；
由边界条件式(7)可知Bj＝Bk＝0，则进一步可得：
Figure FDA00037899091500000514
Figure FDA00037899091500000515
所述步骤S3中，对实体桩桩顶动力阻抗函数进行求解具体为：
S32、谐和激振作用下饱和虚土桩和实体桩质点纵向振动位移满足下式：
Figure FDA0003789909150000061
式中，
Figure FDA0003789909150000062
分别为第j层饱和虚土桩和第k层实体桩质点纵向振动位移响应幅值，则式(5)和式(6)可化简为：
Figure FDA0003789909150000063
Figure FDA0003789909150000064
由边界条件式(11)可得：
Figure FDA0003789909150000065
将式(20)代入式(17)，并由剪应力与位移的关系可得出桩底土与饱和虚土桩界面处、桩周土与实体桩界面处剪应力分别为：
Figure FDA0003789909150000066
Figure FDA0003789909150000067
将式(21)代入式(19)，并进一步化简可得：
Figure FDA0003789909150000068
Figure FDA0003789909150000069
式中，
Figure FDA00037899091500000610
Figure FDA00037899091500000611
则方程(22)的通解为：
Figure FDA00037899091500000612
Figure FDA00037899091500000613
式中：Cj、Dj、Ck、Dk为待定常数；
S33、由饱和虚土桩边界条件式(9a)可得：
Figure FDA00037899091500000614
根据位移阻抗函数的定义可得第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure FDA0003789909150000071
综合第1段饱和虚土桩与第2段饱和虚土桩界面处位移连续、力平衡条件可得：
Figure FDA0003789909150000072
由此可得第2段饱和虚土桩与第3段饱和虚土桩界面处的位移阻抗函数为：
Figure FDA0003789909150000073
综合式(24)—(27)可得饱和虚土桩阻抗函数传递公式：
Figure FDA0003789909150000074
式中：
Figure FDA0003789909150000075
由式(28)递推可得饱和虚土桩与实体桩界面处阻抗函数：
Figure FDA0003789909150000076
式中：
Figure FDA0003789909150000077
S34、根据实体桩与饱和虚土桩界面耦合条件式(10)可得第n+1段实体桩与第n+2段实体桩界面处阻抗函数为：
Figure FDA0003789909150000078
式中：
Figure FDA0003789909150000079
由此可得实体桩阻抗函数传递公式：
Figure FDA00037899091500000710
式中：
Figure FDA00037899091500000711
S35、由式(31)递推可得实体桩桩顶处动力阻抗函数：
Figure FDA00037899091500000712
式中：
Figure FDA0003789909150000081
5.根据权利要求4所述的基于虚土桩模型的饱和层状土中桩基纵向振动研究方法，其特征在于，所述步骤S4具体求解步骤如下：
S41、根据实体桩桩顶处动力阻抗函数求解实体桩桩顶复刚度，具体为：
Figure FDA0003789909150000082
式中：Kr代表桩顶动刚度，Ki代表桩顶动阻尼，
由桩顶位移阻抗函数可得桩顶位移频率响应函数为：
Figure FDA0003789909150000083
S42、桩顶速度频率响应函数为：
Figure FDA0003789909150000084
根据傅里叶变换的性质，由桩顶速度频率响应函数式(35)可得单位脉冲激励作用下桩顶速度时域响应为：
Figure FDA0003789909150000085
由卷积定理知，在任意激振力p(t)，桩顶时域速度响应为：
g(t)＝p(t)*h(t)＝IFT[F(iω)×Hv(iω)] (37)
其中，P(iω)为p(t)的傅里叶变换；
S43、半正弦脉冲激振力作用下桩顶速度时域响应半解析解答为：
Figure FDA0003789909150000086
式中，v(t)为桩顶速度时域响应，桩顶处激励p(t)为半正弦脉冲时，
Figure FDA0003789909150000087
T为脉冲宽度；
S44、基于求得的所述桩顶速度导纳函数和桩顶速度时域响应函数对桩身振动特性及桩身完整性进行评价。
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