CN108446452A - 一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开叶轮水力性能优化技术中的一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，将鲁棒优化问题分解为鲁棒子优化问题和最优子优化问题来求解，使优化结果更接近于鲁棒优化指标，根据鲁棒性定义建立鲁棒优化数学模型，根据建立的鲁棒优化数学模型，用多元回归分析方法来建立优化目标与优化变量之间的函数关系式，并结合多目标遗传算法对函数关系式进行求解，最终得到一组满足使混流泵水力性能达到最优化的同时还可以使该水力性能在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的n个参数的组合；充分考虑了混流泵在实际运行过程中流量工况参数随机不确定性波动的干扰因素，并将其考虑在建立优化变量与优化目标函数关系式的过程中。

Description

一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法

技术领域

本发明属于应用于叶轮水力性能的优化技术，具体是混流泵叶轮的水力优化设计方法，以提高混流泵性能在实际运行中的稳定性，降低其对不确定因素的敏感度。

背景技术

混流泵因其具有使用流量、扬程变化范围大、高效区宽、在小流量高扬程环境下能对性能曲线中的驼峰现象有较好的改善、结构紧凑、易气动等优点，被广泛地用于电站冷却水循环系统、海水淡化装置、农田灌溉、市政给排水等国民经济领域。其次，混流泵是一种兼具离心泵高扬程和轴流泵大流量两者优点的一种泵型，其可以很好地吸收两者的优点，并逐渐被应用到传统的离心泵和轴流泵领域。

随着计算机技术的高速发展，在混流泵的叶轮设计中用到最多的是将计算流体力学(简称CFD)中的分析和智能优化算法相结合的水力优化设计方法。但是，在已有的对混流泵的水力优化设计中，大多数是只考虑其设计工况的单点优化和考虑多个离散工况点的多点优化，且优化过程中往往直接选取叶轮的几何参数作为优化变量。例如中国专利申请号CN201510686219.6的文献中公开了一种超低比转速离心泵叶轮多工况多目标水力优化方法，以叶轮的进口直径、出口直径、出口安放角、出口宽度、包角为优化变量，对三个工况下的加权平均效率和叶轮加权平均径向力进行了优化；又例如中国专利申请号CN201010520561.6的文献中同样也以叶轮的15个几何参数为优化变量，公开了一种基于CFD的离心泵多工况水力优化方法；中国专利申请号CN201310638000.X的文献中给出了一种只考虑设计工况点的双流道多目标优化方法。这些传统优化方法中的环境参数、优化变量及目标函数均是确定性的，不能反映客观存在的不确定因素对设计方案的影响，且通过该些传统优化设计方法得到的最优解的性能往往在某个特定工况条件下是最优的，一旦使用条件发生变化，混流泵的性能就会发生急剧的恶化、运行的稳定性就会变差，甚至会出现不能正常工作的情况。经检索，尚未发现有关将流量工况参数的随机不确定性波动考虑在内的鲁棒优化设计方法。

发明内容

本发明旨在提供一种混流泵叶轮的鲁棒优化设计方法，考虑到流量工况参数的随机不确定性波动，求解混流泵叶轮鲁棒优化的多目标问题，进而得到控制叶片形状的最优参数组合，能增强混流泵水力性能对流量工况参数随机不确定波动的抗干扰能力和运行的稳定性。

为达到以上目的，本发明采用的技术方案是包括以下步骤：

(A)选取叶片速度矩分布函数f(x)以及函数f(x)中的n个参数X₁,X₂,…,X_n作为优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]；用均匀试验设计方法生成具有n个参数、m个水平数的均匀试验表，绘制出m个叶轮三维实体图；

(B)在流量工况参数的变动区间[Q_L，Q_U]内选取q个流量工况点，组成m×q组数据，Q_L是流量工况参数变动区间的下限值，Q_U是流量工况参数变动区间的上限值；

(C)建立鲁棒性衡量函数在鲁棒性衡量函数r(X)的基础上将鲁棒优化问题分解为鲁棒子优化函数R(X)和最优子优化函数O(X)：Minimize R(X)＝(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))，

Maximize O(X)＝(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))，

H为在干扰邻域B_δ内进行随机抽样的规模数；ξ_j为抽样规模H中的第j个抽样样本；Norm(ξ_j)为关于ξ_j的无穷向量范数；X∈Ω，Ω为可行解空间，Minimize为求鲁棒子优化函数R(X)的最小值；r_k(X)为第k个优化指标在解空间中变化区域的大小，Maximize为O(X)的最大值；F_k(X)为第k个优化指标的函数值；

(D)对(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))和(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))分别进行加权处理，得到对应的鲁棒性函数Robust(X)和最优性函数Optimal(X)，建立鲁棒优化数学模型Minimize(Robust(X),Optimal(X))；

(E)针对步骤(B)中m×q组数据，依据鲁棒优化数学模型Minimize(Robust(X),Optimal(X))得到每一组数据所对应的Robust(X)和Optimal(X)，建立优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]与Robust(X)和Optimal(X)之间的函数关系式并求解该关系式，得到同时使Robust(X)和Optimal(X)的函数值达到最小化时所对应的一组最优解

本发明采用上述技术方案后具有的有益效果为：

(1)本发明基于混流泵叶片二元设计理论，通过采用CFD分析技术、多元回归分析和多目标遗传算法(简称“MOGA”)，将鲁棒优化问题分解为鲁棒子优化问题和最优子优化问题来求解，使整个优化结果更接近于鲁棒优化指标。

(2)在建立鲁棒优化数学模型的过程中，充分考虑了混流泵在实际运行过程中流量工况参数随机不确定性波动的干扰因素，并将其考虑在建立优化变量与优化目标函数关系式的过程中，使优化后混流泵的水力性能得到提升的同时也提高了该性能在流量工况参数发生随机不确定波动环境中的稳定性。

(3)在鲁棒优化数学模型的建立过程中对所有的数据进行了标准化处理，以此消除了数量级之间的差异，提高了计算结果的准确性。

(4)经过本发明的鲁棒优化后，混流泵的水力性能及该性能对实际环境中不确定因素的抗干扰能力得到了提升，这对泵在节能降耗、节约成本方面具有重要的意义。

附图说明

图1为混流泵叶轮的叶片轴面投影图；

图2为混流泵叶轮的三维叶片及其骨线示意图；

图3为混流泵叶轮的三维实体图；

图4为混流泵叶轮非结构网格划分示意图；

图5为本发明设计流程图。

图中，6：叶片进口边；7：叶片出口边；1-1＇：叶轮轮缘处流线；5-5＇：叶轮轮毂处流线；2-2＇、3-3＇、4-4＇：轮缘与轮毂间的中间流线；s₀：叶片进口边到出口边之间任意一条流线的弧线总长度；s：从任意一条流线的进口到该流线上任意一点的弧线长度；8：三维叶片的进口；9：三维叶片的出口；10：三维叶片的轮缘；11：三维叶片的轮毂；12：三维叶片上的叶片骨线；13：混流泵叶轮进口；14：混流泵叶轮前盖板；15：混流泵三维叶片。

具体实施方式

本发明首先以混流泵叶轮叶片二元设计理论为基础，选取控制速度矩变化规律的任一种速度矩分布函数里面的n(n≥1)个参数作为优化变量来间接控制叶片的骨线形状；其次，根据鲁棒性的定义，即解的抗干扰能力或解的稳定性，建立针对混流泵水力性能的鲁棒优化数学模型；最后，根据建立的鲁棒优化数学模型，用多元回归分析方法来建立优化目标与优化变量之间的函数关系式，并结合多目标遗传算法(MOGA)对上述函数关系式进行求解，最终，得到一组满足使混流泵水力性能达到最优化的同时还可以使该水力性能在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的n个参数的组合。具体步骤如下：

(1)依据《现代泵理论与设计》(关醒凡编著，中国宇航出版社，2011)中混流泵叶片的二元设计理论选取速度矩分布函数。如图1和图2所示，混流泵叶轮的叶片的进口边6到出口边7之间有5条流线，分别是叶轮轮缘处流线1-1＇、叶轮轮毂处流线5-5＇以及轮缘与轮毂间的中间流线2-2＇、3-3＇、4-4＇。以其中任意一条流线上任意一点K为例，K点处的速度矩V_ur有9种分布形式，且通常用分段函数法、指数法、经验公式法、多项式法、反对称二次抛物线旋绕分步法等速度矩分布函数来控制速度矩V_ur的分布规律，以此来间接控制如图2所示的叶片上的叶片骨线12。图2中，三维叶片由进口8、出口9、轮缘10和轮毂11组成，在进口8、出口9之间是叶片骨线12。

速度矩V_ur的分布规律可以描述为式(1)所示：

V_ur＝V_u1r₁+f(x)*Δ(V_ur) (1)

式中，V_u1r₁为叶片进口边6处的速度矩；f(x)为选取的V_ur分布规律的速度矩分布函数中的任意一种函数，x表示任意一条流线的相对长度，x＝s/s₀；以附图1中的中间流线3-3＇为例，s表示沿着中间流线3-3＇从叶片轴面投影的进口边6到该流线上任意一点K之间的弧线长度，s₀表示沿着中间流线3-3＇从叶片轴面投影的进口边6到叶片轴面投影的出口边7之间的弧线总长度；△(V_ur)为叶片出口边7与叶片进口边6之间的速度矩差值，△(V_ur)可以表示为式(2)所示：

Δ(V_ur)＝V_u2r₂-V_u1r₁ (2)

式中，V_u2r₂为叶片出口边7处的速度矩，V_u1r₁为叶片进口边6处的速度矩。

(2)选取函数f(x)中的n(n≥1)个参数X₁,X₂,…,X_n作为优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]，并依据优化过程的实际要求给定优化变量X中每个参数X₁,X₂,…,X_n的取值范围：其中，X_n表示所选取的第n个参数，X₁ 、分别表示参数X₁取值范围的下限值和上限值，X₂ 、分别表示参数X₂取值范围的下限值和上限值，X_n 、分别表示参数X_n取值范围的下限值和上限值。

(3)根据确定的优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]及其包含的每个参数X₁,X₂,…,X_n的取值范围，用常规的均匀试验设计的方法生成具有n个参数(因素)、m个水平数的均匀试验表，m≥1，即表示该均匀试验表有n+1列、m+1行。均匀试验表中的因素的个数与所选参数的个数n是相等的，水平数m是由均匀试验设计方法中均匀试验表的使用表确定的(参见方开泰编著的《正交均匀试验设计》(科学出版社，1994))。在生成的均匀试验表中，除去第一行和第一列外其余每一行中的n个数值可以用三维建模软件Pro/Engineer间接绘制出一个叶轮，如此可以得到m个叶轮，叶轮的三维实体图如图3所示，叶轮包含有混流泵叶轮进口13、混流泵叶轮前盖板14和混流泵三维叶片15。

以n＝3、m＝5为例，用均匀试验设计方法生成的均匀试验表的式样如下表1所示，该均匀试验表式样有3+1列、5+1行，其中第2列、第2-6行中的J₁₁、J₁₃、J₁₅、J₁₂、J₁₄表示在参数X₁的取值范围中的取值，但J₁₁、J₁₃、J₁₅、J₁₂、J₁₄彼此之间各不相等，即但J₁₁≠J₁₃≠J₁₅≠J₁₂≠J₁₄；同理，第3列、第2-6行中的J₂₅、J₂₂、J₂₄、J₂₁、J₂₃表示在参数X₂的取值范围中的取值，但J₂₅、J₂₂、J₂₄、J₂₁、J₂₃彼此之间各不相等，即但J₂₅≠J₂₂≠J₂₄≠J₂₁≠J₂₃；第4列、第2-6行中的X₃₃、X₃₅、X₃₁、X₃₄、X₃₂表示在参数X₃的取值范围中的取值，但J₃₃、J₃₅、J₃₁、J₃₄、J₃₂彼此之间各不相等，即因此，在表l第2-6行、2-4列中每一行中的三个数值(J₁₁，J₂₅，J₃₃)、(J₁₃，J₂₂，J₃₅)、(J₁₅，J₂₄，J₃₁)、(J₁₂，J₂₁，X₃₄)、(J₁₄，J₂₃，J₃₂)可以用三维建模软件Pro/Engineer间接绘制出一个叶轮，如此得到5个不同的叶轮。

表1均匀试验表式样

m	X1	X2	X3
				1	J11	J25	J33
2	J13	J22	J35
				3	J15	J24	J31
4	J12	J21	J34
				5	J14	J23	J32

(4)采用网格划分软件ICEM对步骤(3)中得到的m个叶轮分别进行如图4所示的非结构网格划分。针对每一个叶轮，在流量工况参数的变动区间[Q_L，Q_U](Q_L表示流量工况参数变动区间的下限值，Q_U表示流量工况参数变动区间的上限值)内用蒙特卡罗取样法选取q个流量工况点，如此组成m×q组数据；用ANSYS CFX软件分别对该m×q组数据进行数值模拟计算，得到m×q组数值模拟结果。

以q＝3(即取q₁、q₂、q₃三个流量工况点，且满足q₁∈[Q_L，Q_U]、q₂∈[Q_L，Q_U]、q₃∈[Q_L,Q_U])为例，结合上表1均匀试验表，得到下表2。如表2中第1-5列、2-6行数据所示，每一个叶轮对应三个流量工况点q₁、q₂、q₃，如此得到5×3＝15组数据，用ANSYS CFX软件分别对该15组数据进行数值模拟计算，得到15组数值模拟结果。

表2m(5)×q(3)＝15组数据

(5)用水力性能在解空间中变化区域的函数r(X)的大小来衡量其鲁棒性的好坏。r(X)越小表示水力性能的鲁棒性越好，r(X)越大表示水力性能的鲁棒性越差。r(X)的表达式如式(3)：

其中，X＝[X₁,X₂,…,X_n]表示步骤(2)中的优化变量；F(X)表示混流泵水力性能优化指标的函数值，水力性能的优化指标可以是泵的扬程H、效率η、高效区范围HE等，选择何种优化指标要根据设计要求而定；Ω表示可行解空间；δ＝(δ₁,δ₂,…,δ_n)表示干扰向量；B_δ为以干扰向量δ为半径的干扰邻域；ξ为B_δ中的子向量。B_δ的定义如式(4)所示：

B_δ＝{ξ|ξ＝(ξ₁,ξ₂,…,ξ_n),ξ_n∈[-δ_n,δ_n]} (4)

为了利于鲁棒性衡量函数r(X)的计算，用蒙特卡罗积分法(Monte Carlointegral)对上述式(3)进行近似得到式(5)：

式中，H为在干扰邻域B_δ内进行蒙特卡罗随机抽样的规模数；ξ_j为抽样规模H中的第j个抽样样本；Norm(ξ_j)为关于ξ_j的无穷向量范数，Norm(ξ_j)的求解(根据方保镕编著的《矩阵论》(清华大学出版社，2004)进行)。

(6)在步骤(5)给出混流泵水力性能鲁棒性衡量函数r(X)的基础上，将混流泵水力性能的鲁棒优化问题分解为两个子优化问题，即鲁棒子优化函数R(X)和最优子优化函数O(X)。鲁棒子优化函数R(X)的定义式如式(6)所示：

Minimize R(X)＝(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))，X∈Ω (6)

式中，Minimize表示求鲁棒子优化函数R(X)的最小值；k表示混流泵水力性能优化指标的个数，优化指标可以是泵的扬程H、效率η、高效区范围HE等，选择何种优化指标要根据设计目的而定；X＝[X₁,X₂,…,X_n]表示步骤(2)中的优化变量；Ω表示可行解空间；r_k(X)表示第k个优化指标在解空间中变化区域的大小，其值由式(5)计算得到。

最优子优化函数O(X)的定义式如式(7)所示：

Maximize O(X)＝(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))，X∈Ω (7)

式中，Maximize表示求最优子优化函数O(X)的最大值；k表示混流泵水力性能优化指标的个数，优化指标可以是泵的扬程H、效率η、高效区范围HE等，选择何种优化指标要根据设计目的而定；X＝[X₁,X₂,…,X_n]表示步骤(2)中的优化变量；Ω表示可行解空间；F_k(X)表示第k个优化指标的函数值。

(7)将两个子优化函数R(X)和O(X)中的(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))和(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))分别进行加权处理，分别得到一个鲁棒性函数Robust(X)和一个最优性函数Optimal(X)。Robust(X)和Optimal(X)的表达式如式(8)所示：

式中，ω_i和μ_i分别代表第i个优化指标的F_i'(X)和r_i'(X)所对应的权重因子，ω_i和μ_i可由模糊判断矩阵理论确定或者根据经验给出，且两者满足和的条件。F_i'(X)和r_i'(X)是分别对F_i(X)和r_i(X)进行标准化处理得到的，标准化的公式如式(9)所示：

式中，F_i,max和F_i,min分别是F_i(X)在可行解空间中的最大值和最小值，r_i,max和r_i,min分别是r_i(X)在可行解空间中的最大值和最小值。

最终，由鲁棒性函数Robust(X)和最优性函数Optimal(X)得到要建立的鲁棒优化数学模型，如式(10)所示：

Minimize(Robust(X),-Optimal(X)) (10)

式中，X＝[X₁,X₂,…,X_n]表示步骤(2)中的优化变量，Minimize表示求两个函数Robust(X)和-Optimal(X)的最小值。

(8)依据步骤(7)中所建立的鲁棒优化数学模型Minimize(Robust(X)，-Optimal(X))，分别针对步骤(4)中得到的m×q组数值模拟结果进行分析，得到每一组所对应的Robust(X)和-Optimal(X)，如此构成m×q组初始样本空间，m×q组初始样本空间与m×q数值的区别在于m×q组初始样本空间还包含了m×q所对应的Robust(X)和-Optimal(X)。

以表2为例，对5×3＝15组数值模拟结果进行分析得到每一组所对应的Robust(X)和-Optimal(X)，如此形成下表3，下表3中的t₁-t₁₅、w₁-w₁₅是对15组数值模拟结果分析得到的具体数值：

表3初始样本空间

(9)根据步骤(8)中构建的m×q组初始样本空间，选取m×q组初始样本空间中的(m×q－10)组数据来用多元回归分析方法分别建立优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系式，用剩余的10组数据来检验所建函数关系式的预测精度，得到预测结果Robust(预测)和-Optimal(预测)。多元回归分析方法是指将一个变量视为因变量，将一个或多个变量视为自变量，进而建立起因变量与自变量之间线性或非线性的函数关系式的一种方法。在本发明中，因变量为Robust(X)和-Optimal(X)，自变量即为作为优化变量的X＝[X₁,X₂,…,X_n]。

在多元回归分析中，以表3中的数据为例，分别选中因变量Robust(X)在第6列、2-6行的数据和优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]在第3-5列、2-6行的数据，就可以得到因变量Robust(X)与优化变量X之间的函数关系式；同理，分别选中因变量-Optimal(X)在第7列、2-6行的数据和优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]在第3-5列、2-6行的数据，就可以得到因变量-Optimal(X)与优化变量X之间的函数关系式。最终，用多元回归分析法所建立的优化变量X与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系式分别如式(11)、式(12)所示：

式中，n为步骤(2)中所选取的作为优化变量的参数的个数，h₀、h_T、h_TT、h_TW及l₀、l_T、l_TT、l_TW为两个函数关系式中的系数，该些系数的值可从用EXCLE软件中回归分析法得到的系数表中读取得到

(10)根据步骤(9)两个函数关系式(11)和(12)，采用多目标遗传算法(MOGA)对函数关系式进行求解。在使用MOGA工具箱的过程中，在软件的特定位置处输入优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]中每个参数的下限值low limits＝[X₁ ,X₂ ,...,X_n ]和上限值 采用二进制的编码方式在每个参数的下限值low limits＝[X₁ ,X₂ ,...,X_n ]和上限值之间随机产生200个个体，并将其作为父代种群；通过选择、变异和复制算子产生子代种群，选择算法采用Tournament、交叉算法采用Intermediate；交叉和变异概率分别设置为0.8和0.2，最优前端个体系数Pareto-Fraction设置为0.3，最大进化代数设置为500。

在求解过程中，对比用步骤(9)中所建立两个函数关系式的预测结果Robust(预测)、-Optimal(预测)与用CFD的计算结果Robust(CFD)、-Optimal(CFD)间的相对误差当ε₁和ε₂均满足≤5％时，输出当前的寻优结果；若ε₁和ε₂不满足≤5％的条件时，将当前的结果添加到MATLAB寻优系统的数据空间中，按照步骤(9)重新建立化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系式，直至满足上述≤5％的收敛标准。最终，得到同时使式(11)和式(12)的函数值达到最小化时所对应的一组解即一组满足使混流泵水力性能达到最优化的同时还可以使该水力性能在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的n个参数的组合。

(11)根据步骤(10)寻优得到的一组解即一组满足使混流泵水力性能达到最优化的同时还可以使该水力性能在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的n个参数的组合，用三维建模软件Pro/Engineer间接对其建模得到新的混流泵叶轮。

以下提供本发明的一个实施例：

实施例

本实施例中所采用的混流泵的主要设计参数为：比转速ns＝520.17，额定流量Q_d＝4500m³/h，额定扬程H＝10.34m，转速n＝735r/min。且在本具体实施方式中，取泵的扬程H和泵的效率η作为混流泵水力性能鲁棒优化问题中的优化指标，即本具体实施方式中的优化指标的个数m＝2。具体实施步骤为：

(1)选取一四阶无量纲的速度矩分布函数f(x)来控制速度矩V_ur的分布规律，f(x)的表达式如式(13)所示：

f(x)＝ax⁴+bx³+cx²+dx+e (13)

式中，x表示混流泵叶片轴面投影图中任意一条流线的相对长度，x＝s/s₀；以图1中中间流线3-3＇为例，s表示沿着流线3-3＇从叶片进口边6到该流线上任意一点K之间的弧线长度，s₀表示沿着流线3-3＇从叶片进口边6到叶片出口边7之间的弧线总长度；a、b、c、d、e为多项式的系数，可以根据给定的条件进行求解，给定的求解条件如式(14)：

(2)选步骤(1)中的3个参数X₁、X₂、X₃作为混流泵水力性能鲁棒优化问题中的优化变量X＝[X₁,X₂,X₃]，依据本实施例在优化过程中的实际需求给定每个参数X₁、X₂、X₃的取值范围：0≤X₁≤1.2、0.2≤X₂≤0.8、0≤X₃≤1.2，即X₁∈[0,1.2]、X₂∈[0.2,0.8]、X₃∈[0,1.2]。

(3)根据步骤(2)中确定的优化变量X及其所包含的3个参数X₁、X₂和X₃的取值范围，用均匀试验设计法生成具有3个因素、37个水平数的均匀试验表，即表示该均匀试验表有3+1列、37+1行。在生成的均匀试验表中，除去第一行和第一列外其余每一行中的3个数值可以用三维建模软件Pro/Engineer间接绘制出一个叶轮，如此可以得到37个叶轮，叶轮的三维实体图如图3所示。

(4)采用网格划分软件ICEM对步骤(3)中得到的37个叶轮进行如图4所示的非结构网格划分，针对每一个叶轮，在流量工况参数的变动区间[0.8Q_d，1.2Q_d](0.8Q_d表示流量工况参数变动区间的下限值，1.2Q_d表示流量工况参数变动区间的上限值)内用蒙特卡罗取样法选取4个流量工况点，如此组成37×4＝148组数据；用ANSYS CFX软件分别对该148组数据进行数值模拟计算，得到148组数值模拟结果。

(5)根据前述鲁棒性的定义，给出衡量混流泵水力性能在流量工况参数发生随机不确定性波动环境中鲁棒性好坏的标准——用水力性能在解空间中变化区域的大小r(X)来衡量其鲁棒性的好坏。r(X)越小表示水力性能的鲁棒性越好，r(X)越大表示水力性能的鲁棒性越差。r(X)的表达式如式(15)所示：

式中，H为在干扰邻域B_δ内进行蒙特卡罗随机抽样的规模数；F(X)表示优化变量X与混流泵水力性能优化指标之间的函数关系式，本实施例中水力性能的优化指标取为泵的扬程H和效率η；ξ_j为抽样规模H中的第j个样本；Norm(ξ_j)为关于ξ_j的无穷向量范数，Norm(ξ_j)的求解(根据方保镕编著的《矩阵论》(清华大学出版社，2004)进行)。

(6)在步骤(5)给出混流泵水力性能鲁棒性衡量标准r(X)的基础上，将本实施例中选取的关于泵的扬程H和效率η的鲁棒优化问题分解为两个子优化问题，即鲁棒子优化函数R(X)和最优子优化函数O(X)。泵的扬程H和效率η的鲁棒子优化函数R(X)的定义式如式(16)所示：

Minimize R(X)＝(r_H(X),r_η(X)) (16)

式中，Minimize表示求泵的扬程H和效率η的鲁棒子优化问题R(X)的最小值；X＝[X₁,X₂,X₃]表示本实施例步骤(2)中的优化变量；r_H(X)表示混流泵扬程H在解空间中变化区域的大小，r_η(X)表示混流泵效率η在解空间中变化区域的大小，r_H(X)和r_η(X)的值由式(15)计算得到。

泵的扬程H和效率η的最优子优化函数O(X)的定义式如式(17)所示：

Maximize O(X)＝(H(X),η(X)) (17)

式中，Maximize表示求泵的扬程H和效率η的最优子优化问题O(X)的最大值；X＝[X₁,X₂,X₃]表示本实施例步骤(2)中的优化变量；H(X)表示混流泵的扬程值，η(X)表示混流泵的效率值。

(7)将泵的扬程H和效率η的鲁棒子优化函数R(X)中的r_H(X)、r_η(X)及泵的扬程H和效率η的最优子优化函数O(X)中的H(X)、η(X)分别进行加权处理，得到一个鲁棒性函数Robust(X)和一个最优性函数Optimal(X)。Robust(X)和Optimal(X)的表达式分别为：

式中，μ_H、μ_η分别表示r′_H(X)和r′_η(X)所对应的权重因子，ω_H、ω_η分别表示H'(X)和η'(X)所对应的权重因子，在本实施例中取ω_H＝ω_η＝0.5、μ_H＝μ_η＝0.5。H'(X)和η'(X)是分别对H(X)和η(X)进行标准化处理得到的，r′_H(X)和r′_η(X)是分别对r_H(X)和r_η(X)进行标准化处理得到的。标准化的公式如式(19)和(20)：

式中，H_max、H_min和η_max、η_min分别表示H(X)和η(X)在可行解空间中的最大值和最小值，r_H,max、r_H,min和r_η,max、r_η,min分别表示r_H(X)和r_η(X)在可行解空间中的最大值和最小值。

最终，得到本实施例要建立的鲁棒优化数学模型，如式(21)所示：

Minimize[Robust(X),-Optimal(X)] (21)

式中，X＝[X₁,X₂,X₃]表示本实施例步骤(2)中的优化变量，Minimize表示求两个函数Robust(X)和-Optimal(X)的最小值。

(8)依据本实施例步骤(7)中所建立的鲁棒优化数学模型Minimize[Robust(X),-Optimal(X)]，分别对本实施例步骤(4)中得到的148组数值模拟结果进行分析，得到每一组所对应的Robust(X)和-Optimal(X)，如此构成148组初始样本空间。

(9)根据本实施例步骤(8)中构建的148组初始样本空间，选取其中的137组数据来用多元回归分析方法分别建立优化变量X＝[X₁,X₂,X₃]与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系式，用剩余的10组数据来检验所建函数关系式的预测精度。多元回归分析方法是指将一个变量视为因变量，将一个或多个变量视为自变量，进而建立起因变量与自变量之间线性或非线性的函数关系式的一种方法。在本实施例中，因变量为Robust(X)和-Optimal(X)，自变量即为作为优化变量的X＝[X₁,X₂,X₃]。最终，用多元回归分析法所建立的优化变量X＝[X₁,X₂,X₃]与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系式如式(22)和(23)：

式中，h₀、h_T、h_TT、h_TW及l₀、l_T、l_TT、l_TW为两个函数关系式中的系数，该些系数的值可从用EXCLE软件中回归分析法得到的系数表中读取得到。最终，将建立好的两个函数关系式(22)和(23)保存到特定的工作目录中。

(10)根据步骤(9)中保存到特定的工作目录中的两个函数关系式(22)和(23)，用MATLAB软件自带的MOGA工具箱对其进行求解。在使用MOGA工具箱的过程中，在软件的特定位置处输入优化变量X＝[X₁,X₂,X₃]中每个参数的下限值low limits＝[0,0.2,0]和上限值up limits＝[1.2,0.8,1.2]，采用二进制的编码方式在每个参数的下限值low limits＝[0,0.2,0]和上限值up limits＝[1.2,0.8,1.2]之间随机产生200个个体，并将其作为父代种群；通过选择、变异和复制算子产生子代种群，选择算法采用Tournament、交叉算法采用Intermediate；交叉和变异概率分别设置为0.8和0.2，最优前端个体系数Pareto-Fraction设置为0.3，最大进化代数设置为500。

其次，在求解过程中，由预测精度得到预测结果计算相对误差，根据相对误差判断是否输出最优解。对比用本实施例步骤(9)中所建立两个函数关系式的预测结果Robust(预测)、-Optimal(预测)与用CFD的计算结果Robust(CFD)、-Optimal(CFD)间的相对误差：当ε₁和ε₂均满足≤5％时，输出当前的寻优结果，即最优解；若ε₁和ε₂不满足≤5％的条件时，将当前的结果添加到MATLAB寻优系统的数据空间中，按照本实施例步骤(9)重新建立化变量X＝[X₁,X₂,X₃]与Robust(X)和-Optimal(X)之间的函数关系，直至ε₁和ε₂均满足≤5％的收敛标准。最终，得到同时使式(22)和式(23)的函数值达到最小化时所对应的一组解即一组满足使混流泵混流泵扬程H和效率η达到最优化的同时还可以使扬程H和效率η在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的X₁、X₂、X₃参数的组合。

(11)根据步骤(11)寻优得到的一组解即一组满足使混流泵混流泵扬程H和效率η达到最优化的同时还可以使扬程H和效率η在不确定流量工况参数扰动下的稳定性达到最优化的X₁、X₂、X₃参数的组合，用三维建模软件Pro/Engineer间接对其建模得到新的混流泵叶轮。

Claims (5)

1.一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，其特征是包括以下步骤：

(A)选取叶片速度矩分布函数f(x)以及函数f(x)中的n个参数X₁,X₂,…,X_n作为优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]；用均匀试验设计方法生成具有n个参数、m个水平数的均匀试验表，绘制出m个叶轮三维实体图；

(B)在流量工况参数的变动区间[Q_L，Q_U]内选取q个流量工况点，组成m×q组数据，Q_L是流量工况参数变动区间的下限值，Q_U是流量工况参数变动区间的上限值；

(C)建立鲁棒性衡量函数在鲁棒性衡量函数r(X)的基础上将鲁棒优化问题分解为鲁棒子优化函数R(X)和最优子优化函数O(X)：

Minimize R(X)＝(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))，

Maximize O(X)＝(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))，

H为在干扰邻域B_δ内进行随机抽样的规模数；ξ_j为抽样规模H中的第j个抽样样本；Norm(ξ_j)为关于ξ_j的无穷向量范数；X∈Ω，Ω为可行解空间，Minimize为求鲁棒子优化函数R(X)的最小值；r_k(X)为第k个优化指标在解空间中变化区域的大小，Maximize为O(X)的最大值；F_k(X)为第k个优化指标的函数值；

(D)对(r₁(X),r₂(X),…,r_k(X))和(F₁(X),F₂(X),…,F_k(X))分别进行加权处理，得到对应的鲁棒性函数Robust(X)和最优性函数Optimal(X)，建立鲁棒优化数学模型Minimize(Robust(X),Optimal(X))；

(E)针对步骤(B)中m×q组数据，依据鲁棒优化数学模型Minimize(Robust(X),Optimal(X))得到每一组数据所对应的Robust(X)和Optimal(X)，建立优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]与Robust(X)和Optimal(X)之间的函数关系式并求解该关系式，得到同时使Robust(X)和Optimal(X)的函数值达到最小化时所对应的一组最优解

2.根据权利要求1所述的一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，其特征是：步骤(B)中，对m个叶轮分别进行非结构网格划分，用蒙特卡罗取样法选取q个流量工况点，分别对该m×q组数据进行数值模拟计算。

3.根据权利要求1所述的一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，其特征是：步骤(E)中，对应的Robust(X)和Optimal(X)构成m×q组初始样本空间，选取m×q组初始样本空间中的(m×q－10)组数据来用多元回归分析方法分别建立优化变量X＝[X₁,X₂,…,X_n]与Robust(X)和Optimal(X)之间的函数关系式，用剩余的10组数据来检验所建函数关系式的预测精度。

4.根据权利要求1所述的一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，其特征是：步骤(E)中，采用多目标遗传算法对函数关系式进行求解，采用二进制的编码方式在每个参数X₁,X₂,…,X_n的下限值和上限值之间随机产生200个个体，并将其作为父代种群，通过选择、变异和复制算子产生子代种群，交叉和变异概率分别为0.8和0.2。

5.根据权利要求1所述的一种混流泵叶轮鲁棒优化设计方法，其特征是：步骤(E)中，由预测精度得到预测结果计算相对误差，根据相对误差判断是否输出最优解。