CN105718634B - 一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法，属于优化设计技术领域。本发明充分考虑翼型设计中的不确定因素，在不确定参数概率密度未知的情况下，利用区间向量实现不确定参数的定量化表征。通过样本点试验，建立翼型设计变量、不确定参数及气动力系数之间的映射关系。在此基础上，利用非概率区间分析模型得到翼型气动力系数的区间上下界，建立鲁棒优化模型，进而应用遗传算法对翼型进行优化设计。数值预测表明，本发明方法在保持翼型升力系数以及几何形状约束的前提条件下，降低了所设计翼型的阻力系数，同时减小了阻力系数的变动范围，为翼型优化设计提供了新思路。

Description

一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法

技术领域

本发明涉及翼型优化设计领域，特别涉及一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法。

背景技术

对翼型进行气动优化时，存在确定性优化设计与鲁棒性优化设计两种区别较大的方法。确定性优化设计是在特定的飞行状态下，构造相应的翼型剖面，以最大限度提高翼型在该状态下的气动性能，是目前应用较广泛的翼型优化方法。然而，在实际巡航中，大气来流速度、气压、温度、突风等不确定因素都会使飞行器服役环境出现偏离设计预期的情况，从而使确定性优化方法得到的最优解对于这些不确定因素较为敏感。与确定性优化不同，鲁棒优化设计是一种寻求对各种不确定因素波动变化不敏感的设计方法，通过合理选择翼型参数，使翼型的气动性能稳定在目标值附近，提高翼型的可靠性。

二维翼型鲁棒设计的实质是在满足约束条件的前提下，得到一个对不确定参数扰动并不敏感的翼型。对于翼型鲁棒设计中不确定参数的描述一般采用概率模型，利用随机变量对不确定参数定量化，然后通过Monte Carlo仿真等方法获得气动力系数的均值和方差。但是，在翼型设计中，有时很难获得较多的统计数据来描述不确定参数的概率分布，如大气来流速度等不确定参数的统计资料很少，不足以推断其分布于数字特征值。与概率模型相比，非概率区间分析模型仅需明确不确定参数的分布界限，能够在不确定参数的概率密度未知的情况下，对不确定参数进行定量化，并以此为基础计算响应所在的范围。非概率区间分析模型在结构的静、动力特性分析领域已经取得了一定成果，但在翼型外形优化中的应用还处于起步阶段，相关研究成果十分有限，在一定程度上限制了翼型优化设计技术的发展。

发明内容

本发明要解决技术问题为：针对传统翼型优化设计方法效率低、优化结果鲁棒性差等问题，提出一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法。该方法在翼型设计初期就考虑了来流速度的不确定性，通过Kriging代理模型建立了包含翼型设计变量、不确定参数以及气动力系数之间的映射关系，利用非概率区间分析模型计算翼型气动力系数的上下界，建立一种针对二维翼型的非概率鲁棒优化设计方法。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法，包括以下步骤：

(1)首先，通过类型函数/形状函数转换CST方法//Kulfan B M.Universalparametric geometry representation method[J].Journal of Aircraft,2008,45(1):142-158//设定参数化翼型曲线的表达式。翼型几何曲线可用下列函数表示：

式中，x/c为翼型弦向的无量纲坐标值，y/c为翼型法向的无量纲坐标值，C(x/c)和S(x/c)为类型函数和形状函数，z_te/c为翼型后缘点坐标，C(x/c)可表示为：

对于翼型，取指数N₁＝0.5,N₂＝1，则S(x/c)可表示为：

S(x/c)与翼型前缘半径R_le及后缘倾角β满足以下关系：

在形状函数S(x/c)中取n＝3，提取其中8个参数作为翼型设计变量x，可表示为：

x＝(x₁,x₂,…,x₈)＝(R_le/c,β₁,β₂,z_te/c,b₁,b₂,b₁',b₂') (5)

其中，β₁和β₂表示上下翼面的后缘倾角，b₁、b₂、b₁'、b₂'为上下翼面形状函数多项式的加权系数。

(2)设定翼型设计变量的区间上下界，其中下界记为：x＝(x ₁,x ₂,…,x ₈)，上界记为：

(3)设定不确定设计参数的区间上下界，记为

(4)采用均匀设计方法在由翼型设计变量和不确定参数组成的混合变量空间中生成样本点U_i；

(5)对于每一个样本点U_i，根据样本点中的翼型设计变量，建立翼型的CAD模型；

(6)由于翼型的CAD模型不能直接用于气动力系数计算，需要将其导入前处理软件GAMBIT中进行流场网格划分；

(7)将步骤(6)中创建的网格文件导入FLUENT软件中，来流马赫数根据样本点U_i中的参数确定。采用S-A湍流模型、二阶迎风格式进行气动力系数的计算。

(8)重复步骤(5)～(7)，完成所有样本点对应气动力系数的计算流程；

(9)根据步骤(8)中的样本点输入参数及对应的气动力系数，通过Kriging代理模型建立翼型设计变量、不确定参数及气动力系数之间的映射关系；

(10)选取翼型设计变量的初始值；

(11)在步骤(9)中建立的Kriging模型基础上，引入非概率区间分析模型计算翼型气动力系数的区间上下界，进而得到翼型气动力系数的区间中心值和半径；

(12)在保持翼型升力系数以及几何形状的约束条件下，以阻力系数的区间中心值和半径最小化为优化目标，采用遗传算法对翼型进行多目标鲁棒优化设计；

(13)判断优化目标是否满足收敛条件，若不满足，转到步骤(10)，更新设计变量，重复步骤(11)～(12)；

(14)直至设计目标相邻两次迭代值的变化小于设定容许偏差时，完成二维翼型的多目标鲁棒优化设计；

(15)将鲁棒优化得到的翼型与初始翼型及进行传统确定性优化得到的翼型进行对比，分析比较三种翼型的几何形状及气动特性。

其中，所述步骤(2)中，翼型设计变量的上下界由表2确定。

表2翼型优化设计变量的取值范围

其中，所述步骤(3)中，考虑不确定设计参数为来流马赫数Ma，其区间上下界为Ma∈[0.74,0.76]，中心值为Ma^c＝0.75，区间半径为ΔMa＝0.01。

其中，所述步骤(9)中，通过Kriging模型建立了同时包含翼型设计变量、不确定参数及气动力系数之间的函数映射关系，即：

其中，所述步骤(11)中，在不确定参数的概率密度未知的条件下，引入非概率区间分析模型，计算气动力系数的区间上下界，得到气动力系数的区间中心值和半径。根据区间数学理论，有界不确定参数向量属于某一区间向量，即：

式中，和称为区间数的中心值和半径；δ＝[-1,1]。

将由式(6)确定的气动响应函数在有界不确定参数的中心值处进行Taylor级数展开，可得：

略去式(8)中的二阶及其以上的高阶小量，应用区间数学中的自然扩张原理，可以近似得到气动响应在不确定参数作用下的区间上下界：

进一步计算可以得到气动力系数的区间中心值和半径为：

其中，所述步骤(12)中，建立如下的多目标鲁棒优化模型：

其中，表示对目标函数的区间中心值优化，而表示对不确定参数引起的偏差优化，从而降低目标函数对不确定参数的敏感程度，提高翼型的鲁棒性；为约束条件，n为约束条件的个数。

本发明的有益效果是：

本发明利用CST参数化建模方法实现翼型几何外形的快速表征，同时考虑翼型设计中存在的不确定参数，利用非概率区间分析模型计算翼型气动力系数的区间上下界，建立含不确定参数的多目标鲁棒优化模型，进而通过遗传算法对翼型进行鲁棒优化设计。与初始翼型和通过确定性优化得到翼型相比，本发明所得翼型的阻力系数显著减小，并且对于来流马赫数的敏感性显著降低，保证了翼型的安全可靠性。

附图说明

图1为翼型几何控制参数示意图；

图2为翼型的CAD模型示意图；

图3为翼型外流场结构网格示意图；

图4为翼型几何形状对比图；

图5为翼型阻力系数对比图；

图6为本发明的方法实现流程图。

具体实施方式

以下将参照附图，对本发明的设计实例进行详细描述。应当理解，所选实例仅为了说明本发明，而不是限制本发明的保护范围。

(1)以NACA0012翼型作为初始翼型，利用类型函数/形状函数转换CST方法设定参数化翼型曲线的表达式，其中部分参数的几何含义如图1所示。

(2)提取CST方法中的几何参数作为优化设计变量，其中各优化变量的取值范围如表3所示：

表3翼型优化设计变量的取值范围

(3)将来流马赫数Ma作为不确定设计参数，其区间为Ma∈[0.74,0.76]，中心值为Ma^c＝0.75，区间半径为ΔMa＝0.01。

(4)利用均匀设计方法，在由8个设计变量和1个不确定设计参数组成的混合变量空间里生成81个样本点。这里为了保证基于样本点建立的代理模型对于Ma∈[0.74,0.76]的各个点具有较高的预测精度，进行样本试验时需要对不确定参数的区间进行适当扩张，即在Ma∈[0.7,0.8]的范围内进行样本点的选取，所建立的81个设计样本点如表4所示。

表4设计样本点

(5)对于表4中的每一个样本点，根据样本点中的设计变量x₁～x₈，在CATIA软件中建立翼型几何外形的CAD模型，具体如图2所示。

(6)将步骤(5)中生成的翼型几何外形导入有限元前处理软件GAMBIT中进行流场网格划分，如图3所示。

(7)将步骤(6)中创建的流场网格文件导入FLUENT软件中，边界条件里的来流马赫数根据样本点U_i中的参数确定，采用S-A湍流模型、二阶迎风格式进行气动力系数的计算。

(8)重复步骤(5)～(7)，计算所有81个设计样本点对应翼型的升力系数C_L和阻力系数C_D。

(9)根据步骤(8)中的各样本点输入参数及计算所得的气动力系数，通过Kriging代理模型建立翼型设计变量、不确定设计参数及气动力系数之间的映射关系Kriging代理模型一种估计方差最小的无偏估计模型，其原理如下：

设r₀为样本空间以外需要进行预测的点，r₁,r₂,…,r_N为其周围的已知样本点，样本点对应的观测值为Q(r₁),Q(r₂),…,Q(r_N)。待观测点的估值记为它由相邻样本点的已知观测值加权求和计算得到：

其中，λ_i为加权系数，满足以下两个条件：

(a)无偏估计

即

(b)预估值与真值Q(r₀)之间的方差最小，即

(10)将NACA0012翼型的几何参数作为翼型优化设计变量的初始值，如表5所示。

表5翼型优化设计变量的取值范围

(11)在步骤(9)中建立的映射关系基础上，利用非概率区间分析模型，可以计算由步骤(10)确定的翼型气动力系数的区间上下界，具体方法为：

进一步计算可以得到气动力系数的区间中心值和半径为：

由于不确定参数为来流马赫数，故式(16)中应用中心差分方法可以对关于的导数进行数值逼近，计算精度可以达到二阶，即

(12)以阻力系数的区间中心值C_D ^c和半径ΔC_D最小化为优化目标，在翼型厚度t不发生较大变化且不降低升力系数C_L ^c的约束条件下，建立如下的多目标鲁棒优化模型，即：

(13)利用遗传算法对翼型进行优化，判断是否满足遗传算法收敛条件，若不满足，更新设计变量，重复步骤(11)～(12)；

(14)直至设计目标相邻两次迭代值的变化小于设定容许偏差10^-6时，完成二维翼型的多目标鲁棒优化设计；

(15)将鲁棒优化得到的翼型与初始翼型及进行确定性优化得到的翼型进行对比，分析比较三种翼型的几何形状及气动性能。与初始基准翼型和在Ma＝0.75处进行确定性优化得到的翼型相比，通过鲁棒优化设计得到的翼型上表面更加平坦，下表面后缘有一定的上凹区域，具有超临界翼型特征，如图4所示。鲁棒优化设计对翼型阻力系数的改善则表现为当马赫数为不确定参数并且在一定区间内变化时，阻力系数的平均值有所减小，且变化更加平缓，气动性能更加稳定，如图5所示。

综上所述，本发明提出了一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法，该方法提取翼型的几何外形参数作为优化设计变量，将来流马赫数作为不确定参数，以翼型阻力系数的区间中心值和半径最小为优化目标，在翼型厚度不发生较大变化且不降低升力系数的约束条件下进行鲁棒优化设计，获得了气动性能的改善。本发明通过样本点试验建立了翼型设计变量、不确定参数及气动力系数之间的映射关系，以此来预测未知点的气动力系数，并将其作为翼型鲁棒优化中气动性能的计算模型。另外，考虑到工程实际中试验数据往往比较缺乏，相较于概率密度分布函数，不确定性信息的上下界限更容易确定，因此本发明引入非概率区间分析模型，将来流马赫数视为区间参数，利用一阶泰勒级数展开法计算得到气动力系数的区间上下界。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制，其可扩展应用于二维翼型优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于非概率区间分析模型的翼型鲁棒优化设计方法，其特征在于实现步骤如下：

(1)首先，利用类型函数和形状函数转换方法设定参数化翼型曲线的表达式，翼型的几何曲线可用下列函数表示：

$\frac{y}{c}\left(\frac{x}{c}\right)=C\left(\frac{x}{c}\right)S\left(\frac{x}{c}\right)+\frac{x}{c}\frac{z_{te}}{c}---\left(1\right)$

式中，x/c为翼型弦向的无量纲坐标值，y/c为翼型法向的无量纲坐标值，C(x/c)和S(x/c)为类型函数和形状函数，z_te/c为翼型后缘点坐标，C(x/c)可表示为：

$C\left(\frac{x}{c}\right)={\left(\frac{x}{c}\right)}^{N_1}{(1-\frac{x}{c})}^{N_2},0\≤\frac{x}{c}\≤1---\left(2\right)$

对于翼型，取指数N₁＝0.5,N₂＝1，则S(x/c)可表示为：

$S\left(\frac{x}{c}\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}\[b_i\·\frac{n!}{i!(n-i)!}\·{\left(\frac{x}{c}\right)}^i\·{(1-\frac{x}{c})}^{n-i}\],0\≤\frac{x}{c}\≤1---\left(3\right)$

式中，n为多项式阶数，取n＝3；b_i为形状函数多项式的加权系数，其中加权系数b₀和b_n与翼型前缘半径R_le/c及后缘倾角β满足以下关系：

$b_0=\sqrt{\frac{2R_{le}}{c}}=S\left(0\right),b_n=tan\mathrm{\β}+\frac{z_{te}}{c}=S\left(1\right)---\left(4\right)$

c为单位翼型弦长，取c＝1m；

在形状函数S(x/c)中取n＝3，提取其中8个参数作为翼型设计变量x，可表示为：

x＝(x₁,x₂,…,x₈)＝(R_le/c,β₁,β₂,z_te/c,b₁,b₂,b₁',b₂') (5)

其中，β₁和β₂表示上下翼面的后缘倾角，b₁、b₂、b₁'、b₂'为上下翼面形状函数多项式的加权系数；

(2)设定翼型设计变量的区间上下界，其中下界记为：x＝(x ₁,x ₂,…,x ₈)，上界记为：

$\stackrel{\‾}{x}=({\stackrel{\‾}{x}}_1,{\stackrel{\‾}{x}}_2,...,{\stackrel{\‾}{x}}_8);$

(3)设定不确定设计参数的区间上下界，记为

(4)采用均匀设计方法在由翼型设计变量和不确定参数组成的混合变量空间中生成样本点U_i；

(5)对于每一个样本点U_i，根据样本点中的翼型设计变量，建立翼型的CAD模型；

(6)由于翼型的CAD模型不能直接用于气动力系数计算，需要将其导入前处理软件GAMBIT中进行流场网格划分；

(7)将步骤(6)中创建的网格文件导入FLUENT软件中，来流马赫数根据样本点U_i中的参数确定，采用S-A湍流模型、二阶迎风格式进行气动力系数的计算；

(8)重复步骤(5)～(7)，完成所有样本点对应气动力系数的计算流程；

(9)根据步骤(8)中的样本点输入参数及对应的气动力系数，通过Kriging代理模型建立翼型设计变量、不确定参数及气动力系数之间的映射关系；

(10)选取翼型设计变量的初始值；

(11)在步骤(9)中建立的Kriging代理模型基础上，引入非概率区间分析模型计算翼型气动力系数的区间上下界，进而得到翼型气动力系数的区间中心值和半径；

(12)在保持翼型升力系数以及几何形状的约束条件下，以阻力系数的区间中心值和半径最小化为优化目标，采用遗传算法对翼型进行多目标鲁棒优化设计；

(13)判断优化目标是否满足收敛条件，若不满足，转到步骤(10)，更新设计变量，重复步骤(11)～(12)；

(14)直至设计目标相邻两次迭代值的变化小于设定容许偏差时，完成二维翼型的多目标鲁棒优化设计；

(15)将鲁棒优化得到的翼型与初始翼型及进行传统确定性优化得到的翼型进行对比，分析比较三种翼型的几何形状及气动特性；

所述步骤(2)中，

表1 翼型优化设计变量的取值范围

翼型设计变量的上下界由表1确定；

所述步骤(7)中，考虑不确定设计参数为来流马赫数Ma，其区间上下界为：

Ma∈[0.74,0.76]，中心值为Ma^c＝0.75，区间半径为ΔMa＝0.01；

所述步骤(9)中，通过Kriging模型建立了同时包含翼型设计变量x、不确定设计参数及气动力系数Q之间的函数映射关系，即：

所述步骤(11)中，在不确定设计参数的概率密度未知的条件下，引入非概率区间分析模型，计算气动力系数的区间上下界，得到气动力系数的区间中心值和半径，根据区间数学理论，有界不确定参数向量属于某一区间向量，即：

式中，和称为区间数的中心值和半径；δ＝[-1,1]；

将由式(6)确定的气动响应函数在有界不确定设计参数的中心值处进行Taylor级数展开，可得：

式中，m为不确定参数个数，当仅考虑来流马赫数Ma为不确定参数时，取m＝1；

略去式(8)中的二阶及其以上的高阶小量，应用区间数学中的自然扩张原理，可以近似得到气动响应在不确定设计参数作用下的区间上下界：

进一步计算可以得到气动力系数的区间中心值和半径为：

所述步骤(12)中，建立如下的多目标鲁棒优化模型：

其中，表示对目标函数的区间中心值优化和对不确定参数引起的偏差优化；为约束条件，n为约束条件的个数。