CN108304639B - 一种求解输水渠道经济断面的简易方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求解输水渠道经济断面的简易方法，它由输水明渠最经济断面的通用微分方程推导和输水渠道经济断面的求解两个过程组成，其中输水渠道经济断面的求解过程包括梯形明渠最经济断面的简易求解过程和/或抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程。本发明推导出了输水渠道最经济断面的通用偏微分方程，可以适用于绝大多数渠道断面，例如梯形、抛物线形、矩形、悬链线形等；进一步基于输水渠道最经济断面的通用偏微分方程又推导出了梯形和抛物线形断面的最经济断面的具体算法，这种算法只需要求解方程或方程组，避免了建立优化模型然后求解这一复杂过程。

Description

一种求解输水渠道经济断面的简易方法

技术领域

本发明涉及一种求解输水渠道经济断面的简易方法，属于灌区输水渠道规划设计技术领域。

背景技术

输水渠道的水力最优断面是在过流能力一定的情况下，流量最大的断面，而最经济断面(部分文献也称为经济断面)是指过水流量一定的情况下建造成本最小的断面(Chow,1959；吴持恭，2008；李旺林，2011；徐国宾,1990)。最优经济断面应用于输水渠道可以显著地减少建造成本而不影响过流能力，从而提高经济效益。

不论是水力最优断面还是经济断面，为了获得最优断面，首先应该建立一个最优化模型，然后编制计算机程序，利用特定的最优化算法得到结果。例如，董丽丽等(2011)利用混合遗传算法对梯形渠道断面进行优化，尚关蕾等(2016)采用猫群算法进行渠道断面优化设计，钱坤等(2011)利用人工蜂群算法进行渠道优化设计，Chahar(2005)采用Fibbonaci搜索法获得抛物线形断面的最经济断面。Bhattacharjya(2007)提出了一种利用混合优化技术设计特定土壤参数条件下，考虑边坡稳定性的梯形渠道断面的方法。Jain(2004)(2004)利用遗传算法设计总成本最低的复合型渠道的最佳断面。Easa(2009，2014，2016)使用专业求解两段式平底抛物线形明渠最经济断面。Bhattacharjya(2006)建立了一个非线性优化模型来设计一个考虑渠道临界流条件的最经济断面，优化算法采用的是序列二次规划法。李旺林等人(2011)采用Matlab编制程序，然后求解中国南水北调工程的最经济断面。(2007)

众所周知，求解最优经济断面是一个复杂的过程，首先应该建立一个使断面成本最小的最优化模型，然后编制计算机程序，利用特定的最优化算法得到结果。最经济断面的目标函数是成本最小，约束条件是过流能力(也就是Manning公式)。不论目标函数还是约束条件都是非线性函数。很明显，最优经济断面的求解过于复杂，除了做研究，一般的设计工程师往往难以完成建模及求解，这在一定程度上阻碍了最经济断面的普及和应用，因此简化求解方法变得非常重要。

研究人员已经推导出了明渠水力最优断面的通用求解微分方程。但是，到目前为止，还没有人尝试过研究明渠最经济断面的通用公式。因此，是否也可以推导出最经济断面的通用公式，是一个值得研究的问题。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出了一种求解输水渠道经济断面的简易方法，能够使输水渠道的最经济断面求解变得更加简单。

本发明解决其技术问题采取的技术方案是：

本发明实施例提供的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，包括以下过程：

输水明渠最经济断面的通用微分方程推导；

输水渠道经济断面的求解。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述输水渠道经济断面的求解过程包括梯形明渠最经济断面的简易求解过程和/或抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述输水明渠最经济断面的通用微分方程推导过程包括以下步骤：

步骤11，建立输水明渠最经济断面模型

均匀流的流量计算采用曼宁公式表示：

其中，Q是流量，n是糙率，A是过水断面面积，P是湿周，i是渠底纵坡；

超高a的优化模型的目标函数和约束条件表示为：

最小化：C＝C_eA^*+C_lP^*+C_aB^* (2)

约束条件：

其中，C是单位长度渠道的总建造成本,C_e是该断面单位面积的土方开挖成本,C_l是沿断面每单位长度的衬砌成本，C_a是沿横断面每单位长度的征地费用，A^*是考虑超高a的断面面积，B^*是考虑超高的渠顶宽度，P^*是考虑超高的衬砌长度，Φ是约束条件；

步骤12，推导最经济断面的通用微分方程

假定水深h和底宽b这两个变量用x₁和x₂表示，根据拉格朗日乘子法，公式(2)和公式(3)分别表示为：

其中，λ是拉格朗日乘子，将λ代入公式(4)和公式(5)得到：

公式(6)是求解最经济断面的条件；

由公式(3)可知，Φ关于x₁和x₂的偏微分方程表示为：

把公式(7)和公式(8)的偏微分方程代入公式(6)，得到：

因为A,i,n和P都大于0，根据公式(9)，得到输水明渠最经济断面的通用微分方程：

其中，A是过水断面面积，P是湿周，C是单位长度渠道的总建造成本，x₁和x₂是两个变量。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述梯形明渠最经济断面的简易求解过程包括以下步骤：

步骤21，梯形明渠的建造成本的求解

明渠为梯形断面时，过水断面面积、湿周和水面宽度分别表示为：

A＝(mh+b)h (11)

B＝2mh+b (13)

其中，m是边坡系数，h是水深，b是底宽，B是水面宽度；

考虑安全超高a后A^*、P^*和B^*分别表示为：

A^*＝[b+m(h+a)](h+a) (14)

B^*＝b+2m(h+a) (16)

将公式(14)-(16)代入公式(2)中得：

其中，C是单位长度渠道的总建造成本,C_e是该断面单位面积的土方开挖成本,C_l是沿断面每单位长度的衬砌成本，C_a是沿横断面每单位长度的征地费用，m是边坡系数，h是水深，b是底宽，a是安全超高；

步骤22，梯形渠道最经济断面的方程求解

由公式(17)可得C关于h和b的偏微分方程：

由公式(11)可得A关于h和b的偏微分方程：

由公式(12)可得P关于h和b的偏微分方程：

将公式(11)-(12)和公式(18)-(20)代入公式(10)，得到求解最经济断面的公式：

式中，

公式(21)有两个未知变量h和b，令η＝b/h，然后把公式(11)和(12)代入公式(1)，公式(1)转化为：

式中，η为底宽与水深的比值；

令

化简公式(22)，求得h为：

假设R_le＝C_l/C_e，R_ae＝C_a/C_e，把公式(23)中的h代入公式(21)，化简后得：

式中，

T＝a+R_ae；

公式(24)是梯形最经济断面的求解公式，求解这个方程可以获得最经济断面；

公式(24)的求解步骤为：求解式(24)得到最优宽深比η；然后把η代入方程(23)求出h；最后通过η＝b/h这个公式，求出b。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述梯形明渠最经济断面的简易求解过程还包括以下步骤：

步骤23，梯形明渠最经济断面的显示迭代求解

为了简化计算，基于公式(24)，关于η的简单迭代算法为：

其中η_k＝第k次的迭代，η_k+1＝第k+1次的迭代；

应用公式(26)求解梯形渠道最经济断面的步骤为：

假定初始值是η₀(η₀>0)；

基于等式(26)求出η₁；

通过相同的方法求出η_k+1(k＝1,2…)；

当|η_k+1-η_k|小于给定误差时，η_k就是最终的值。

作为本实施例一种可能的实现方式，当m＝0时，梯形断面就变成了矩形断面，公式(24)化为：

式中，X₁＝-(a+R_ae+R_le)/4,X₂＝-3(a+R_ae)/10。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程包括以下步骤：

步骤31，抛物线形明渠断面特性的表示

抛物线形明渠可表示为：

y＝kx² (28)

抛物线形断面的水面宽度B，过水断面面积A，湿周P分别表示为：

式中，k为抛物线形断面形状系数；

步骤32，抛物线形明渠最经济断面的求解公式推导

求A关于h和k的偏微分为：

求P关于h和k的偏微分为：

渠顶宽度B^*，断面面积A^*，衬砌长度P^*分别表示为：

根据公式(36)-(38)，得到单位渠道长度建造成本C为：

同样可得C关于h和k的偏微分为：

将公式(30)-(35)和公式(40)-(41)代入通用公式(10)，化简求得：

式中，E₁＝4ak+4hk+1,

将公式(30)-(31)代入公式(1)得到

式中，

联解公式(42)和公式(43)得到抛物线形渠道的最经济断面。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述抛物线形渠道的最经济断面的求解过程为:

(1)根据已知量，得到:

E₁＝4ak+4hk+1

(2)联解公式(42)和公式(43)，得到最优解k和h；

(3)根据公式(29)得到水面宽度

本发明实施例的技术方案可以具有的有益效果如下：

本发明实施例的技术方案由最经济断面的通用微分方程推导和输水渠道经济断面的求解两个过程组成，其中输水渠道经济断面的求解过程包括梯形明渠最经济断面的简易求解过程和/或抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程。所述梯形明渠最经济断面的简易求解过程包括方程求解法和迭代法；所述抛物线形明渠最经济断面的直接求解方法为方程求解法。本发明推导出了输水渠道最经济断面的通用偏微分方程，可以适用于绝大多数渠道断面，例如梯形、抛物线形、矩形、悬链线形等；进一步基于输水渠道最经济断面的通用偏微分方程又推导出了梯形和抛物线形断面的最经济断面的具体算法，这种算法只需要求解方程或方程组，避免了建立优化模型然后求解这一复杂过程。对最常用的梯形断面，本发明还提出了可以人工计算的迭代法，使梯形渠道的最经济断面求解变得更加简单。

本发明提出了最经济渠道断面的通用解，并将其应用于梯形和抛物线形渠道。与传统技术相比较，本发明具有以下特点：

(1)明渠最经济断面优化模型包括非线性目标函数和约束条件，求解较为复杂，使模型在实践中的应用变得非常困难。最经济断面的通用解决方案在现有文献中尚还没有人尝试，而本发明所推导出的通用方程及其简单的解决方案将有望填补这一空白。

(2)利用拉格朗日乘子优化方法，首先导出最经济断面的通用微分方程，可以得到最经济断面的通用解决方案，然后，联立求解这个微分方程和曼宁公式可以求解所有类型的渠道断面的最经济断面，例如梯形，矩形，抛物线形等。

(3)基于最经济断面的通用微分方程，本发明进一步推导了梯形渠道的最经济断面的方程求解法，只要求解一个方程就可以直接得到最经济断面的参数。进而，本发明提出了一种更简单的迭代算法，利用手工计算就可以得到最经济断面。需要说明的是，该简单迭代公式具有良好的收敛性。

(4)验证了基于通用解法所推求的梯形渠道最经济断面的解决方案。本发明所提出的直接公式的显式解的结果(底宽和水深的值)、以及目标函数和约束条件的原始优化模型的求解(使用Matlab获得)是相同的，这些结果不仅验证了所提出的模型的可靠性，而且还验证了所导出方程的可行性。

(5)另外，基于最经济断面的通用微分方程，本发明推导出了抛物线形明渠的最经济断面的求解方程，该求解方法与梯形断面类似，联立求解抛物线形明渠的最经济断面的方程和曼宁公式，可以得到抛物线形明渠的最经济断面。

(6)本发明所提出的解决方案比传统的优化方法更简单。

附图说明

图1是根据一示例性实施例示出的一种求解输水渠道经济断面的简易方法的流程图；

图2是根据一示例性实施例示出的一种梯形断面形状示意图；

图3是根据一示例性实施例示出的一种η与C之间的关系示意图。

具体实施方式

为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。

1.本发明的整体方案

图1是根据一示例性实施例示出的一种求解输水渠道经济断面的简易方法的流程图。如图1所示，本实施例的一种求解输水渠道经济断面的简易方法包括以下过程：

输水明渠最经济断面的通用微分方程推导；

输水渠道经济断面的求解。

本实施例所述的输水渠道经济断面的求解过程包括梯形明渠最经济断面的简易求解过程和/或抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程。

下面对本发明技术方案的具体环节进行详细说明。

2.输水明渠最经济断面的通用微分方程推导

2.1输水渠道最经济断面模型

均匀流的流量计算一般采用曼宁公式(Han，2017)表示，

其中Q是流量(m³/s)，n是糙率，A是过水断面面积(m²)，P是湿周(m)，i是渠底纵坡。

最经济断面就是在流量、粗糙度、底坡等水力要素相同的情况下建造成本最小的断面。渠道建造成本主要包括土方开挖、衬砌和征地费。为了获得最优化条件，考虑了安全超高a的优化模型的目标函数和约束条件可以表示为

最小化：C＝C_eA^*+C_lP^*+C_aB^* (2)

约束条件：

其中C是单位长度渠道的总建造成本($or元),C_e是该断面单位面积的土方开挖成本($/m²或元/m²),C_l是沿断面每单位长度的衬砌成本($/m或元/m)，C_a是沿横断面每单位长度的征地费用($/m或元/m)，A^*是考虑超高(用a表示)的断面面积(m²)，B^*是考虑超高的渠顶宽度(m)，P^*是考虑超高的衬砌长度(m)，Φ是约束条件。如果征地费不考虑，C_a可以设置为零。

如上所示，上述最优化模型(式(2)和(3))是非线性的，除非编制程序和利用专门的优化软件，否则普通设计工程师很难得到最优解。很显然，如果能够得到一个通用的直接求解方法，将极大推动最优经济断面在渠道建设方面的应用。

2.2最经济断面的通用微分方程推导

拉格朗日乘子法是一种重要且用途广泛的优化方法(Jaluria，2005；Bertsekas，1999)，它可以通过微积分优化函数的自变量。该方法特别适用于本发明所提出的优化模型，因为该模型涉及等式约束条件。对于梯形断面来说，在边坡系数m给定的条件下，A，P，A^*，P^*和B^*取决于水深h和底宽b。对于普通断面，假定这两个变量(h和b)用x₁和x₂表示。根据拉格朗日乘子法，上式((2)和(3))可以表示为：(Bertsekas,1999)

其中λ是拉格朗日乘子，将λ代入公式(4)和(5)得到

公式(6)是求解最经济断面的条件。它适用于所有类型的明渠断面。

由公式(3)可知，Φ关于x₁和x₂的偏微分方程表示为：

把公式(7)和(8)的偏微分方程代入公式(6)，得到

因为A,i,n和P都大于0，根据公式(9)，可以得到以下公式

这就是梯形、抛物线形和任何其他形状输水渠道最经济断面的通用微分方程。联解公式(10)和曼宁公式(1)，就可以求出最经济断面。

下面以梯形断面和抛物线形断面为例，说明最经济断面通用微分方程(10)的应用。并进一步推导求解梯形断面和抛物线形断面最经济断面的具体算法。

3.梯形明渠最经济断面的简易求解法

3.1梯形断面的建造成本

如图2所示，梯形断面的过水断面面积、湿周和水面宽度可表示为：

A＝(mh+b)h (11)

B＝2mh+b (13)

其中m是边坡系数，h是水深，b是底宽，B是水面宽度。考虑超高a后(见图1)，A^*,P^*和B^*可表示为：

A^*＝[b+m(h+a)](h+a) (14)

B^*＝b+2m(h+a) (16)

其中a是安全超高，将式(14)-(16)代入式(2)，得：

3.2梯形渠道最经济断面的方程求解法

由式(17)可得C关于h和b的偏微分方程：

由式(11)可得A关于h和b的偏微分方程：

由式(12)可得P关于h和b的偏微分方程：

将式(11)-(12)和式(18)-(20)代入式(10)，可以得到求解最经济断面的公式：

式中，

公式(21)有两个未知变量h和b.令η＝b/h，然后把式(11)和(12)代入式(1)，式(1)(曼宁公式)化为：

式中，η为底宽与水深的比值，令

化简式(22)，可以求得h为：

假设R_le＝C_l/C_e，R_ae＝C_a/C_e，把式(23)中的h代入式(21)，化简后得：

式中，

T＝a+R_ae.

式(24)是梯形最经济断面的求解公式，求解这个方程可以获得最经济断面。令人庆幸的是，有许多方法可以求解这种非线性方程，如牛顿迭代法，二分根法和弦切割法等。其具体求解步骤为：

(1)求解式(24)得到最优宽深比η；

(2)然后把η代入方程(23)求出h；

(3)最后通过η＝b/h这个公式，求出b。

实例1：应用解方程法(式(24))求解梯形最经济断面

有一个渠道，边坡系数m＝2.0，糙率n＝0.014，底坡i＝1/12000，流量Q＝15m³/s，超高a＝0.5m。单位渠长的建造成本：挖掘成本C_e＝25元/m²，土地收购成本C_a＝8元/m。现在，把所有已知变量代入式(24)，化简后得：

求解上述方程，得到的η值为η＝0.3643。把η值代入式(23)，可得水深为h＝2.807米，b＝ηh＝1.0227米。

为了验证结果，根据式(2)计算总费用C，其中为η取不同的值(从0.001到2.0，步长为0.0001)。η与总成本之间的关系如图3所示。图3表明，当η＝0.364时，成本最小。另外，为了验证此结果，本发明用Matlab建立了最经济断面的优化模型，也得到了相同的结果。

3.3求解梯形明渠最经济断面的显示迭代求解方法

求解公式(24)虽然能得到梯形断面的最经济断面，相比传统的建模方法使求解更容易，但是仍需要借助计算机求解非线性方程。是不是有更容易的方法呢？

为了简化计算，基于方程(24)提出了下面关于η的简单迭代算法为：

其中η_k＝第k次的迭代，η_k+1＝第k+1次的迭代。应用公式(26)求解梯形渠道最经济断面的步骤为：

(1)假定初始值是η₀(η₀>0)；

(2)基于等式(26)求出η₁；

(3)通过相同的方法求出η_k+1(k＝1,2…)；

(4)当|η_k+1-η_k|小于给定误差时，η_k就是最终的值。

一般来说，为了加快收敛速度，初始值η₀可以设定为水力最优断面的底宽与水深之比，

当η_k的初始值设为

时，R_le(R_le＝C_l/C_e)和R_a(R_ae＝C_a/C_e)的值从0.1变化到50，Q^*从0.01变化到1000，边坡m从0变化到4.0，安全超高a从0.1变化到4.5(所有变量都是以0.001为步长)，迭代公式(26)是收敛的。

3.4梯形断面应用案例

实例2：应用显式迭代解法(式(26))求解梯形最经济断面

一梯形断面，m＝1.5,n＝0.012,i＝1/15000,Q＝10m³/s,a＝0.5m,C_e＝20元/m²，C_l＝40元/m,C_a＝10元/m。

(1)方法一：采用Matlab语言编程，通过传统的建模方法，建立最优模型(式(2)和(3))，以b和h为决策变量，求解得到最经济断面为h＝2.551m，b＝1.188m。这种方法相对复杂，需要编制程序，用专业软件求解。

(2)方法二：采用直接解方程的方法。根据已知条件得到Q^*＝14.6970,F＝1.8028,U＝-0.75,V＝-2.3408,W＝1.18251。直接代入求解式(24)，求得η_t＝0.4657。将η_t代入式(23)得到h＝2.551m，b＝1.188m。这种方法较第一种方法简单，只需要求解方程就可以得到。

(3)方法三：采用简单迭代方法。初始值设为最佳水力断面的比值，

然后把η₀代入方程(26)，得到η₁＝0.4768。同样，可以得到η₂＝0.4670和η₃＝0.4658。两次迭代后误差小于0.0014，三次迭代后误差小于0.0002。迭代结果如表1所示。将η₃＝0.465830代入式(23)，同样得到最终优化结果h＝2.551m，b＝1.188m。可以看出，简单迭代法的形式更简单，计算量更少，可以手工完成。

表1迭代过程和结果

3.5矩形渠道最经济断面的求解公式

当遇到特殊情况如m＝0时，梯形断面就变成了矩形断面，公式(24)化为：

式中，X₁＝-(a+R_ae+R_le)/4,X₂＝-3(a+R_ae)/10。

4.抛物线形明渠最经济断面的直接求解法

4.1抛物线形明渠断面特性

为了说明所提出的通用公式(10)的适用性，本发明将其应用于求解抛物线形渠道的最经济断面。目前抛物线形断面是研究的热点，得到许多研究者(Han，2015；Han，2016)的关注。抛物线形明渠可表示为：

y＝kx² (28)

式中k为抛物线形断面形状系数。

抛物线形断面的水面宽度B，过水断面面积A，湿周P可以表示为：

4.2抛物线形明渠最经济断面的求解公式推导

求A关于h和k的偏微分为：

求P关于h和k的偏微分为：

渠顶宽度B^*，断面面积A^*，衬砌长度P^*可以表示为：

根据式(36)-(38)，得到单位渠道长度建造成本C为：

同样可得C关于h和k的偏微分为：

将式(30)-(35)和式(40)-(41)代入通用公式(10)，化简求得：

式中，E₁＝4ak+4hk+1,

将式(30)-(31)代入式(1)得到：

式中，

联解式(42)和(43)就可以得到抛物线形渠道的最经济断面。

有很多方法可以求解这两个非线性方程。例如，周长发(2002)提供了很多免费的开源代码来解决非线性方程，有梯度法，拟牛顿法，最小二乘法和蒙特卡罗法等。使用免费的数值求解工具，如GNU Octave，Scilab，Freemat和Maxima也可以轻松获得结果。一些商业软件，如Matlab，Maple和Mathematics也可以求解。综上，抛物线形渠道的最经济断面的求解过程为：

(1)根据已知量，得到：

E₁＝4ak+4hk+1，

(2)联解方程(42)和(43)，得到最优解k和h；

(3)根据式(29)得到水面宽度

实例3：抛物线形断面的显式解

一个抛物线形的渠道，Q＝12.0m³/s,n＝0.014,i＝1/15000,k＝0.5。总成本为C_e＝30元/m2,C_l＝70元/m,C_a＝15元/m。把所有已知量代入式(42)和(43)，然后联解这两个方程获得最优解k＝0.393，h＝3.77m。根据式(29)可以得到

B/h＝1.65。

为了验证这个解，k值以0.0001的步长从0.1递增到1.0，总成本用公式(2)和(3)计算，得到了形状系数k和总成本C之间的关系如图3所示。可以看出，当k＝0.393时，总成本最小，这与之前所推出的公式获得的值相同。

本发明提出了最经济渠道断面的通用解，并将其应用于梯形和抛物线形渠道。与传统技术相比较，本发明具有以下特点：

(1)明渠最经济断面优化模型包括非线性目标函数和约束条件，求解较为复杂，使模型在实践中的应用变得非常困难。最经济断面的通用解决方案在现有文献中尚还没有人尝试，而本发明所推导出的通用方程及其简单的解决方案将有望填补这一空白。

(2)利用拉格朗日乘子优化方法，首先导出最经济断面的通用微分方程，可以得到最经济断面的通用解决方案，然后，联立求解这个微分方程和曼宁公式可以求解所有类型的渠道断面的最经济断面，例如梯形，矩形，抛物线形等。

(3)基于最经济断面的通用微分方程，本发明进一步推导了梯形渠道的最经济断面的具体求解方程，用任意的非线性搜索方法就可以直接得到最经济断面的参数。进而，本发明提出了一种更简单的迭代算法，结果表明，该简单迭代公式具有良好的收敛性。

(4)验证了基于通用解法所推求的梯形渠道最经济断面的解决方案。本发明所提出的直接公式的显式解的结果(底宽和水深的值)、以及目标函数和约束条件的原始优化模型的求解(使用Matlab获得)是相同的，这些结果不仅验证了所提出的模型的可靠性，而且还验证了所导出方程的可行性。

(5)另外，基于最经济断面的通用微分方程，本发明推导出了抛物线形明渠的最经济断面的求解方程，该求解方法与梯形断面类似，联立求解抛物线形明渠的最经济断面的方程和曼宁公式，可以得到抛物线形明渠的最经济断面。

(6)本发明所提出的解决方案比传统的优化方法更简单。

以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，包括以下过程：

输水明渠最经济断面的通用微分方程推导；

输水渠道经济断面的求解；

所述输水明渠最经济断面的通用微分方程推导过程包括以下步骤：

步骤11，建立输水明渠最经济断面模型

均匀流的流量计算采用曼宁公式表示：

其中，Q是流量，n是糙率，A是过水断面面积，P是湿周，i是渠底纵坡；

超高a的优化模型的目标函数和约束条件表示为：

最小化：C＝C_eA^*+C_lP^*+C_aB^* (2)

约束条件：

其中，C是单位长度渠道的总建造成本,C_e是该断面单位面积的土方开挖成本,C_l是沿断面每单位长度的衬砌成本，C_a是沿横断面每单位长度的征地费用，A^*是考虑超高a的断面面积，B^*是考虑超高的渠顶宽度，P^*是考虑超高的湿周，Φ是约束条件；

步骤12，推导最经济断面的通用微分方程

假定水深h和底宽b这两个变量用x₁和x₂表示，根据拉格朗日乘子法，公式(2)和公式(3)分别表示为：

其中，λ是拉格朗日乘子，将λ代入公式(4)和公式(5)得到：

公式(6)是求解最经济断面的条件；

由公式(3)可知，Φ关于x₁和x₂的偏微分方程表示为：

把公式(7)和公式(8)的偏微分方程代入公式(6)，得到：

因为A，i，n和P都大于0，根据公式(9)，得到输水明渠最经济断面的通用微分方程：

其中，A是过水断面面积，P是湿周，C是单位长度渠道的总建造成本，x₁和x₂是两个变量。

2.如权利要求1所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，所述输水渠道经济断面的求解过程包括梯形明渠最经济断面的简易求解过程和/或抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程。

3.如权利要求2所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，所述梯形明渠最经济断面的简易求解过程包括以下步骤：

步骤21，梯形明渠的建造成本的求解

明渠为梯形断面时，梯形断面的过水断面面积、湿周和水面宽度分别表示为：

A＝(mh+b)h (11)

B＝2mh+b (13)

其中，m是边坡系数，h是水深，b是底宽，B是水面宽度；

考虑安全超高a后A^*、P^*和B^*分别表示为：

A^*＝[b+m(h+a)](h+a) (14)

B^*＝b+2m(h+a) (16)

将公式(14)-(16)代入公式(2)中得：

其中，C是单位长度渠道的总建造成本,C_e是该断面单位面积的土方开挖成本,C_l是沿断面每单位长度的衬砌成本，C_a是沿横断面每单位长度的征地费用，m是边坡系数，h是水深，b是底宽，a是安全超高；

步骤22，梯形渠道最经济断面的方程求解

由公式(17)可得C关于h和b的偏微分方程：

由公式(11)可得A关于h和b的偏微分方程：

由公式(12)可得P关于h和b的偏微分方程：

将公式(11)-(12)和公式(18)-(20)代入公式(10)，得到求解最经济断面的公式：

式中，

公式(21)有两个未知变量h和b，令η＝b/h，然后把公式(11)和(12)代入公式(1)，公式(1)转化为：

式中，η为底宽与水深的比值；

令

化简公式(22)，求得h为：

假设R_le＝C_l/C_e，R_ae＝C_a/C_e，把公式(23)中的h代入公式(21)，化简后得：

式中，

T＝a+R_ae；

公式(24)是梯形最经济断面的求解公式，求解这个方程可以获得最经济断面；

公式(24)的求解步骤为：求解式(24)得到最优宽深比η；然后把η代入方程(23)求出h；最后通过η＝b/h这个公式，求出b。

4.如权利要求3所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，所述梯形明渠最经济断面的简易求解过程还包括以下步骤：

步骤23，梯形明渠最经济断面的显示迭代求解

为了简化计算，基于公式(24)，关于η的简单迭代算法为：

其中η_k＝第k次的迭代，η_k+1＝第k+1次的迭代；

应用公式(26)求解梯形渠道最经济断面的步骤为：

假定初始值是η₀(η₀>0)；

基于等式(26)求出η₁；

通过相同的方法求出η_k+1(k＝1,2…)；

当|η_k+1-η_k|小于给定误差时，η_k就是最终的值。

5.如权利要求3所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，当m＝0时，梯形断面就变成了矩形断面，公式(24)化为：

式中，X₁＝-(a+R_ae+R_le)/4,X₂＝-3(a+R_ae)/10。

6.如权利要求2所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，所述抛物线形明渠最经济断面的直接求解过程包括以下步骤：

步骤31，抛物线形明渠断面特性的表示

抛物线形明渠可表示为：

y＝kx² (28)

抛物线形断面的水面宽度B，过水断面面积A，湿周P分别表示为：

式中，k为抛物线形断面形状系数；

步骤32，抛物线形明渠最经济断面的求解公式推导

求A关于h和k的偏微分为：

求P关于h和k的偏微分为：

渠顶宽度B^*，断面面积A^*，湿周P^*分别表示为：

根据公式(36)-(38)，得到单位渠道长度建造成本C为：

同样可得C关于h和k的偏微分为：

将公式(30)-(35)和公式(40)-(41)代入通用公式(10)，化简求得：

式中，E₁＝4ak+4hk+1,

将公式(30)-(31)代入公式(1)得到

式中，

联解公式(42)和公式(43)得到抛物线形渠道的最经济断面。

7.如权利要求6所述的一种求解输水渠道经济断面的简易方法，其特征是，所述抛物线形渠道的最经济断面的求解过程为:

(1)根据已知量，得到:

E₁＝4ak+4hk+1

(2)联解公式(42)和公式(43)，得到最优解k和h；

(3)根据公式(29)得到水面宽度

Images