CN109255097B - 一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面及最优断面求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面及其水力最优断面求解方法，所述断面为y＝a|x|^3.3471幂函数形断面，方法包括以下步骤：步骤1，表示幂函数形明渠的断面形状方程；步骤2，求解明渠断面的水力要素；步骤3，建立明渠的水力最优断面模型；步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周；步骤5，求解水力最优断面模型的最优解；步骤6，求解幂函数形明渠输水断面具有最大过流能力时幂函数的指数。本发明能够找出k为何值时y＝a|x|^k抛物线形明渠断面具有最大过流能力，提高了抛物线形断面的水力特性，增加了输水能力，降低了明渠的建造成本。

Description

一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面及最优断面求解方法

技术领域

本发明涉及一种幂函数形明渠输水断面及其水力最优断面求解方法，具体地说是一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面及最优断面求解方法，属于灌区输水渠道规划设计技术领域。

背景技术

水力最优断面是一种过流面积给定的情况下，过流量最大，或过流量给定的情况下过流量面积或湿周最小的断面，也称水力最佳断面。已知的梯形渠道的水力最优断面是

(其中b为底宽，h为水深，m为边坡系数)。

学者们一直在不断探索新的渠道断面形式，以期望达到面积相同的情况下过流能力最大。学者们普遍认为幂函数形渠道断面(y＝a|x|^k，k为变量)有如下优点：(1)幂函数形断面是各种抛物线形断面的通用形式；(2)幂函数形断面可以拟合各种自然或人工渠道形状。

已有的研究表明，y＝a|x|^1.5幂函数形明渠水力最优断面的过流能力大于y＝a|x|^1.0形，y＝a|x|^2.0幂函数形明渠水力最优断面的过流能力大于y＝a|x|^1.5形，y＝a|x|^3.0形幂函数形明渠水力最优断面的过流能力大于y＝a|x|^2.0形。因此推断随着幂指数k值的增加，水力最优断面的过流能力也会增大。但是研究表明(一种求解通用幂函数形明渠水力最优断面的方法)，y＝a|x|^3.0幂函数形明渠水力最优断面的过流能力小于y＝a|x|^3.0形。因此k为何值时，y＝a|x|^k幂函数形明渠具有最大过流能力一直是困扰本领域学者们和设计者的重要问题。现有技术和研究并未解决本问题。

如果能找到k为何值时幂函数形明渠的过流能力最大，将极大提高幂函数形断面的过流能力，对明渠断面的优化设计具有重要意义。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出了一种幂函数形明渠输水断面及其水力最优断面求解方法，能够找出k为何值时y＝a|x|^k幂函数形明渠具有最大过流能力。

本发明解决其技术问题采取的技术方案是：

一方面，本发明实施例提供的一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面，所述幂函数形明渠输水断面开口向上，输水断面的曲线表达式为y＝a|x|^3.3471，简称为3.3471次方幂函数形明渠，其中x为横坐标，y为纵坐标，a为形状系数，输水断面的最优宽深比η＝B/h＝2.1278，最优形状系数a＝0.8128h^-2.3471，h为水深，B为水面宽度；如果水深已知，则输水断面的过流面积A＝1.6383h²，输水断面的湿周

输水断面的流量

i为渠底纵坡。

如果输水断面的流量Q已知，即通过流量来计算，则所述3.3471次方幂函数形明渠输水断面的水深

输水断面的形状系数

输水断面的过流面积

计算湿周的算法为

计算水面宽度的算法为

i为渠底纵坡。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述幂函数形明渠输水断面包括左边坡1、右边坡2、左堤顶3和右堤顶4，所述的左边坡1和右边坡2对称布置并在左边坡1和右边坡2的最低点处平滑连接，且左边坡1和右边坡2在最低点处的法线重合，所述左边坡1的上端与左堤顶3连接，所述右边坡2的上端与右堤顶4连接。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述幂函数形明渠输水断面的临界水深为：

其中，β为能量修正系数，g为重力加速度。

另一方面，本发明实施例提供的一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面，它包括以下步骤：

步骤1，表示幂函数形明渠的断面形状方程；

步骤2，求解明渠断面的水力要素；

步骤3，建立明渠的水力最优断面模型；

步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周；

步骤5，求解水力最优断面模型的最优解；

步骤6，求解幂函数形明渠输水断面具有最大过流能力时幂函数的指数。

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤1中，所述幂函数形明渠的断面形状方程采用幂函数表示：

y＝a|x^k|,k≥1 (1)

式中，a为明渠断面的形状系数,x为横坐标,k为指数，且k≥1,y为纵坐标。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述步骤2的具体过程为：设x＝B/2时，y＝h,则根据式(1)得出水面宽度B和形状系数a的关系：

式中，h为水深，B为水面宽度；

根据式(1)可得到水面处的边坡坡度为：

式中,Z为水面处的边坡坡度；

根据式(1)和幂函数形明渠断面结构得到过水断面的面积A为：

幂函数形明渠断面的湿周P用积分表示为：

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤3中，所述幂函数形明渠的水力最优断面模型为：

目标函数为过流面积最小，即：

最小化：

约束条件为均匀流条件下流量和断面尺寸之间满足曼宁公式：

式中，Φ为约束条件函数,Q为流量,n为糙率,i为渠底纵坡。

作为本实施例一种可能的实现方式，在步骤4中，明渠断面湿周用高斯超几何函数的表达式为：

式中，G₁是关于参数k、B和h的高斯超几何函数,G₁的具体形式表示为：

设无量纲参数η＝B/h,则形状系数a、过水断面面积A和湿周P分别表示为：

a＝2^kη^-kh^1-k (11)

式中，

作为本实施例一种可能的实现方式，所述步骤5的具体过程包括以下步骤：

A、Φ均和h、η、k有关，根据最优化拉格朗日乘子法理论，以及明渠的水力最优断面模型的目标函数和约束条件构造出一个新的拉格朗日函数L：

最小化L＝A+λΦ (15)

式中，L为拉格朗日函数，λ为拉格朗日乘子；

根据拉格朗日乘子法，将式(15)表示为：

将式(16)中的λ消除掉，并对Φ求导数后得到：

A关于η和h的导数为：

P关于η和h的偏导数为：

式中，G₂,G₃为高斯超几何函数，它们分别表示为：

将式(18)、(19)、(20)和(21)代入式(17)得到：

给定任意k值(如k＝1、2、3、4)，求解式(24)得到幂函数形明渠水力最优断面宽深比η的精确解。但是式(24)仍然不能解决k为何值时通用幂函数断面y＝a|x^k|具有最大过流能力。

作为本实施例一种可能的实现方式，所述步骤6的具体过程包括以下步骤：

将k看作变量时，A和Φ均与k有关，根据式(15)和拉格朗日乘子法得到：

由式(16)和式(25)消掉λ得到：

A关于k的导数为：

P关于k的偏导数为：

式中，

将式(18)、(20)、(27)和(28)代入式(26)得到：

方程(24)和(29)组成的方程组就是求解k为何值时，通用幂函数y＝a|x|^k断面具有最大过流能力大公式。联解方程式(24)和式(29),得到y＝a|x|^k幂函数形明渠输水断面的最优解为：

η＝B/h＝2.1278，k＝3.3471 (30)

即：当k＝3.3471时，y＝a|x|^k幂函数形明渠的水力最优断面具有最大过流能力，且此时宽深比为η＝2.1278。

从理论可知，这种新的3.3471(y＝a|x|^3.3471)次方幂函数形明渠断面，在所有幂函数形断面中(k＝1…+∞)，相同过流面积或湿周条件下，过流能力是最大的。同理，在相同流量下，3.3471次方幂函数形水力最优断面的过流面积、湿周最小。

进一步地，将k＝3.3471，η＝2.1278代入到式(3),可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠水力最优断面的最优形状系数的快速计算公式为

a＝0.8128h^-2.3471 (31)

代入k＝3.3471，η＝2.1278到式(12)和(13)可以得到A＝1.683h²和P＝3.232h。根据曼宁公式(式(8))可以得到根据水深计算流量的显式快速算法为

求解式(32)，可以得到根据流量计算水深的显式快速公式为

根据公式A＝1.683h²和P＝3.232h可以得到根据流量计算A,P,a的算法为:

式(33)也是y＝a|x|^3.3471幂函数形渠道的正常水深的快速计算公式，即

代入式(34）和B＝2.1278h到式

可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的临界水深的快速计算公式

可以看出，上述公式都是显式的，可以用手工计算，克服了常规需要解非线性方程的缺点。

本发明实施例的技术方案可以具有的有益效果如下：

针对现有技术的不足，一方面，本发明实施例的技术方案公开了一种新的3.3471(y＝a|x|^3.3471)次方幂函数形明渠断面，其水力最优断面的宽深比为η＝2.1278。结合理论和具体实践可知，在所有幂函数形断面中，3.3471次方幂函数明渠输水断面的过流能力是最大的，即：3.3471次方幂函数形明渠过流能力较常规的梯形、半立方抛物线形、平方抛物线形和立方抛物线形断面均大。

另一方面，本发明实施例的技术方案公开了一种能够找出k为何值时y＝a|x|^k幂函数形明渠断面具有最大过流能力的求解方法。即通过建立模型，将湿周用高斯超几何函数表示后，利用拉格朗日乘子法将水力最优断面最优化模型转换为两个关于参数(宽深比η和变量k)的二元方程组，求解方程组得到y＝a|x|^k幂函数形明渠水力最优断面的宽深比η＝2.1278,k＝3.3471,此时y＝a|x|^k幂函数形的水力最优断面具有最大过流能力，解决了困扰工程界的一个难题。通过比较结果显示，3.3471次方幂函数形水力最优断面较常规的梯形、矩形、抛物线(包括平方(k＝2.0)、半立方(1.5)、2.5次方、立方(3.0)、悬链线形等断面均具有更大的过流能力，也就是说在相同过流面积或湿周条件下，过流能力是最大的。同样地，在相同流量下，3.3471次方幂函数形水力最优断面的过流面积、湿周最小。同时，3.3471次方幂函数形水力最优断面的建造成本也是最小的。

将k＝3.3471，η＝2.1278代入到式(3),可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠水力最优断面的最优形状系数的计算公式为

a＝0.8128h^-2.3471 (39)

代入k＝3.3471，η＝2.1278到式(12)和(13)可以得到A＝1.683h²和P＝3.232h。根据曼宁公式(式(8))可以得到根据水深计算流量的显式算法为

求解式(32)，可以得到根据流量计算水深的显式公式为

根据公式A＝1.683h²和P＝3.232h可以得到根据流量计算A,P,a的算法为:

式(33)也是y＝a|x|^3.3471幂函数形渠道的正常水深计算公式，即

代入式(34)和B＝2.1278h到式

可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的临界水深的计算公式

可以看出，上述公式都是些显式的，可以用手工计算，克服了常规需要解非线性方程的缺点。

为便于工程应用，本发明提出了3.3471次方幂函数形最优断面的显式最优形状系数、正常水深、临界水深的算法，克服了常规需要解非线性方程的缺点。本发明提出3.3471次方幂函数形断面的三点和四点格式近似湿周算法，结果表明，该近似算法具有很高的精度。本算法的优点是不需要积分，也不用超几何函数计算湿周，用手算就可以完成。

附图说明

图1是根据一示例性实施例示出的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法的流程图；

图2是根据一示例性实施例示出的一种y＝a|x|^k幂函数形明渠的断面形状示意图；

图3是根据一示例性实施例示出的一种y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的断面形状示意图。

具体实施方式

为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。

图3是根据一示例性实施例示出的一种y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的断面形状示意图。如图3所示，本实施例的一种幂函数形明渠输水断面，所述幂函数形明渠输水断面开口向上，输水断面的曲线表达式为y＝a|x|^3.3471，其中x为横坐标，y为纵坐标，a为形状系数，输水断面的最优宽深比η＝B/h＝2.1278，形状系数a＝0.8128h^-2.3471，h为水深，B为水面宽度；如果水深已知，则输水断面的过流面积A＝1.683h²，输水断面的湿周

输水断面的流量

i为渠底纵坡。

如果输水断面的流量Q已知，即通过流量来计算，则所述幂函数形明渠输水断面的水深

输水断面的形状系数

输水断面的过流面积

计算湿周的算法为

计算水面宽度的算法为

i为渠底纵坡。

在一种可能的实现方式中，所述3.3471次方幂函数形明渠输水断面包括左边坡1、右边坡2、左堤顶3和右堤顶4，所述的左边坡1和右边坡2对称布置并在左边坡1和右边坡2的最低点处平滑连接，且左边坡1和右边坡2在最低点处的法线重合，所述左边坡1的上端与左堤顶3连接，所述右边坡2的上端与右堤顶4连接。

在一种可能的实现方式中，所述3.3471次方幂函数形明渠输水断面的正常水深为

所述3.3471次方幂函数形明渠输水断面的临界水深为：

其中，β为能量修正系数，g为重力加速度。

本实施例公开了一种新的3.3471(y＝a|x|^3.3471)次方幂函数形明渠断面，其水力最优断面的宽深比为η＝2.1278。结合理论和具体实践可知，在所有幂函数形断面中，3.3471次方幂函数形明渠输水断面的过流能力是最大的，即：3.3471次方幂函数形形明渠过流能力较常规的梯形、半立方抛物线形、平方抛物线形和立方抛物线形断面均大。

图1是根据一示例性实施例示出的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法的流程图。如图1所示，本实施例的一种3.3471次方幂函数形形明渠的水力最优断面求解方法，它可以包括以下步骤：

步骤1，表示幂函数形明渠的断面形状方程。

所述幂函数形明渠的断面形状方程采用幂函数表示：

y＝a|x^k|,k≥1 (1)

式中，a为明渠断面的形状系数,x为横坐标,k为指数，且k≥1,y为纵坐标。

图2是根据一示例性实施例示出的一种y＝a|x^k|幂函数形明渠的断面形状示意图，当k为不同值时y＝a|x^k|幂函数形明渠的断面形状如图2所示。k＝1时,断面形状为常见的三角形断面，k＝2时为常见的平方抛物线形断面。幂函数形断面是各种抛物线形断面的通用形式,k值可以是任何大于1的值，因此可以产生无数断面形式。另外幂函数形断面可以拟合各种自然或人工渠道形状。

步骤2，求解幂函数形明渠断面的水力要素。

根据式(1)和图2可知，当x＝B/2时，y＝h,则根据式(1)得出水面宽度B和形状系数a的关系：

式中，h为水深，B为水面宽度；

根据式(1)可得到水面处的边坡坡度为：

式中,Z为水面处的边坡坡度；

根据式(1)和图2所示的幂函数形明渠断面结构得到过水断面的面积A为：

幂函数形明渠断面的湿周P用积分表示为：

步骤3，建立明渠的水力最优断面模型。

水利工程中，水力最优断面定义为过流面积或湿周一定的情况下，通过流量最大的断面，或流量一定的情况下，过流面积或湿周最小的断面。本实施例采用后者。需要说明的是，两种定义求解得到的最终结果是一样的。

所述明渠的水力最优断面模型为：

目标函数为过流面积最小，即：

最小化：

约束条件为均匀流条件下流量和断面尺寸之间满足曼宁公式：

式中，Φ为约束条件函数,Q为流量,n为糙率,i为渠底纵坡。

步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周。

明渠断面湿周的高斯超几何函数表达式为：

式中，G₁是关于参数k、B和h的高斯超几何函数,G₁的具体形式表示为：

设无量纲参数η＝B/h,则形状系数a、过水断面面积A和湿周P分别表示为：

a＝2^kη^-kh^1-k (11)

式中，

步骤5，求解水力最优断面模型的最优解。

根据最优化拉格朗日乘子法理论，以及式(7)和式(8)所示的明渠的水力最优断面模型的目标函数和约束条件构造出一个新的拉格朗日函数L：

最小化L＝A+λΦ (15)

式中，L为拉格朗日函数，λ为拉格朗日乘子；

由于A和Φ均与η、h有关，根据拉格朗日乘子法，将式(15)表示为：

将式(16)中的λ消除后得到：

A关于η和h的导数为：

P关于η和h的偏导数为：

式中，G₂,G₃为高斯超几何函数，它们分别表示为：

将式(18)、(19)、(20)和(21)代入式(17)得到：

给定任意k值，求解式(24)得到幂函数形明渠水力最优断面宽深比η的精确解。

将η代入式(11)得到最优形状系数，将η和k代入式(12)和(13)得到过流面积和湿周。

步骤6，求解幂函数形明渠输水断面具有最大过流能力时幂函数的指数。

但是式(24)仍然不能确定k为何值时，y＝a|x|^k幂函数形水力最优断面具有最大的过流能力，本申请解决这个问题所采取的措施如下。

将k看作变量时，A和Φ均与k有关，根据式(15)和拉格朗日乘子法得到：

由式(16)和式(25)消掉λ得到：

A关于k的导数为：

P关于k的偏导数为：

式中，

将式(18)、(20)、(27)和(28)代入式(26)得到：

方程(24)和(29)组成的方程组就是求解k为何值时，通用幂函数y＝a|x|^k断面具有最大过流能力大公式。联解方程式(24)和式(29),得到得到y＝a|x|^k幂函数形明渠输水断面的最优解为：

η＝B/h＝2.1278，k＝3.3471 (30)

即：当k＝3.3471时，y＝a|x|^k幂函数形明渠的水力最优断面具有最大过流能力，且此时宽深比为η＝2.1278。

本发明将这种幂函数形明渠简称为3.3471次方幂函数形明渠。

从理论可知，这种新的3.3471次方幂函数明渠断面，在所有幂函数形断面中(k＝1…+∞)，相同过流面积或湿周条件下，过流能力是最大的。同样地，在相同流量下，3.3471次方幂函数形水力最优断面的过流面积、湿周最小。

将k＝3.3471，η＝2.1278代入到式(3),可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠水力最优断面的最优形状系数的快速计算公式为

a＝0.8128h^-2.3471 (31)

代入k＝3.3471，η＝2.1278到式(12)和(13)可以得到A＝1.683h²和P＝3.232h。根据曼宁公式(式(8))可以得到根据水深计算流量的显式快速算法为

求解式(32)，可以得到根据流量计算水深的显式快速公式为

根据公式A＝1.683h²和P＝3.232h可以得到根据流量计算A,P,a的算法为:

式(33)也是y＝a|x|^3.3471幂函数形渠道的正常水深的快速计算公式，即

代入式(34)和B＝2.1278h到式

可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的临界水深的快速计算公式

可以看出，上述公式都是显式的，可以用手工计算，克服了常规需要解非线性方程的缺点。

例如：某幂函数形断面Q＝5.0m³/s,i＝1/10000,n＝0.014.所在区域具有较好的水文地质条件,采用y＝ax^3.3471形水力最优断面.将已知条件代入式(33)和(36),可以得到h＝2.043m，a＝0.152。水面宽度B＝2.1278，h＝4.35m,A＝6.8378。

用同样方法可以得到如表1所示的在流量一定情况下的梯形、1.5次方抛物线形、立方(3.0)抛物线形、10/3次方抛物线、平方抛物线、悬链线形断面水力最优断面的水面宽度、过流面积、湿周的计算公式。从表1可以看出，在常用的明渠断面中(包括梯形、矩形、1.5次方抛物线形、立方(3.0)抛物线形、10/3次方抛物线、平方抛物线、悬链线形断面等)，3.3471次方幂函数形水力最优断面在流量相同的情况下，水面宽度、过流面积、湿周都是最下端，其具有更好的水力学特征。同样地，在相同过流面积或湿周条件下，过流能力是最大的。

表1不同类型断面水力最优断面的参数表

其中，

进一步地进行成本比较。渠道的输水成本主要由土方、衬砌和征地费组成，单位渠长上主要总成本可表示为：

C＝C_eA^*+C_lP^*+C_aB^*

式中，C为单位渠长的总建设成本。B^*、A^*和P^*是单位长度渠道挖土面积、衬砌长度和沿水面宽度的征地宽度。C_e为单位面积挖土成本，C_l为单位衬砌长度的成本，C_a为沿水面宽度方向单位长度的征地费。

因此，由表1的结果可知，在上述所有这些断面中，3.3471次方幂函数形水力最优断面的建造成本也是最小的。

本实施例公开了一种能够找出k为何值时y＝a|x|^k幂函数形明渠断面具有最大过流能力的求解方法，即通过建立模型，将湿周用高斯超几何函数表示后，利用拉格朗日乘子法将水力最优断面最优化模型转换为两个关于参数(宽深比η和变量k)的二元方程组，求解方程组得到y＝a|x|^k形明渠水力最优断面的宽深比η＝2.1278，k＝3.3471,此时y＝a|x|^k幂函数形的水力最优断面具有最大过流能力，解决了困扰工程界的一个难题。通过比较结果显示，3.3471次方幂函数形水力最优断面较常规的梯形、矩形、抛物线(包括平方(k＝2.0)、半立方(1.5)、2.5次方、立方(3.0)、悬链线形等断面均具有更大的过流能力，也就是说在相同过流面积或湿周条件下，过流能力是最大的。同样地，在相同流量下，3.3471次方幂函数形水力最优断面的过流面积、湿周最小。同时，3.3471次方幂函数形水力最优断面的建造成本也是最小的。

将k＝3.3471，η＝2.1278代入到式(3),可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠水力最优断面的最优形状系数的计算公式为

a＝0.8128h^-2.3471 (39)

代入k＝3.3471，η＝2.1278到式(12)和(13)可以得到A＝1.683h²和P＝3.232h。根据曼宁公式(式(8))可以得到根据水深计算流量的显式算法为

求解式(32)，可以得到根据流量计算水深的显式公式为

根据公式A＝1.683h²和P＝3.232h可以得到根据流量计算A,P,a的算法为:

式(33)也是y＝a|x|^3.3471幂函数形渠道的正常水深计算公式，即

代入式(34)和B＝2.1278h到式

可以得到y＝a|x|^3.3471幂函数形明渠的临界水深的计算公式

可以看出，上述公式都是些显式的，可以用手工计算，克服了常规需要解非线性方程的缺点。

为便于工程应用，本发明提出了3.3471次方幂函数形最优断面的显式最优形状系数、正常水深、临界水深的算法，克服了常规需要解非线性方程的缺点。本发明提出3.3471次方幂函数形断面的三点和四点格式近似湿周算法，结果表明，该近似算法具有很高的精度。本算法的优点是不需要积分，也不用超几何函数计算湿周，用手算就可以完成。

以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面，其特征是，所述明渠输水断面开口向上，输水断面的曲线表达式为y＝a|x|^3.3471，其中x为横坐标，y为纵坐标，a为形状系数，输水断面的最优宽深比η＝B/h＝2.1278，最优形状系数a＝0.812Bh^-2.3471，h为水深，B为水面宽度；输水断面的过流面积A＝1.683h²，输水断面的湿周

输水断面的流量

i为渠底纵坡；

所述幂函数形明渠输水断面的临界水深为：

其中，β为能量修正系数，g为重力加速度。

2.如权利要求1所述的一种3.3471次方幂函数形明渠输水断面，其特征是，所述幂函数形明渠输水断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接。

3.一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤1，表示幂函数形明渠的断面形状方程；

步骤2，求解明渠断面的水力要素；

步骤3，建立明渠的水力最优断面模型；

步骤4，采用高斯超几何函数表达式描述明渠断面的湿周；

步骤5，求解水力最优断面模型的最优解；

步骤6，求解幂函数形明渠输水断面具有最大过流能力时幂函数的指数；

所述步骤5的具体过程包括以下步骤：

A、Φ均和h、η、k有关，根据最优化拉格朗日乘子法理论，以及明渠的水力最优断面模型的目标函数和约束条件构造出一个新的拉格朗日函数L：

最小化L＝A+λΦ (15)

式中，L为拉格朗日函数，λ为拉格朗日乘子；

根据拉格朗日乘子法，将式(15)表示为：

将式(16)中的λ消除掉，并对Φ求导数后得到：

A关于η和h的导数为：

P关于η和h的偏导数为：

式中，G₂,G₃为高斯超几何函数，它们分别表示为：

将式(18)、(19)、(20)和(21)代入式(17)得到：

给定任意k值，求解式(24)得到幂函数形明渠水力最优断面宽深比η的精确解；

所述步骤6的具体过程包括以下步骤：

将k看作变量时，A和Φ均与k有关，根据式(15)和拉格朗日乘子法得到：

由式(16)和式(25)消掉λ得到：

A关于k的导数为：

P关于k的偏导数为：

式中，

将式(18)、(20)、(27)和(28)代入式(26)得到：

方程(24)和(29)组成的方程组就是求解k为何值时，通用幂函数y＝a|x|^k断面具有最大过流能力大公式；联解方程式(24)和(29),得到y＝a|x|^k幂函数形明渠输水断面的最优解为：

η＝B/h＝2.1278，k＝3.3471 (30)

即：当k＝3.3471时，y＝a|x|^k幂函数形明渠的水力最优断面具有最大过流能力，且此时宽深比为η＝2.1278。

4.如权利要求3所述的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，在步骤1中，所述幂函数形明渠的断面形状方程采用幂函数表示：

y＝a|x^k|,k≥1 (1)

式中，a为明渠断面的形状系数,x为横坐标,k为指数，且k≥1,y为纵坐标。

5.如权利要求4所述的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，所述步骤2的具体过程为：

设x＝B/2时，y＝h,则根据式(1)得出水面宽度B和形状系数a的关系：

式中，h为水深，B为水面宽度；

根据式(1)可得到水面处的边坡坡度为：

式中,Z为水面处的边坡坡度；

根据式(1)和幂函数形明渠断面结构得到过水断面的面积A为：

幂函数形明渠断面的湿周P用积分表示为：

6.如权利要求5所述的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，在步骤3中，所述幂函数形明渠的水力最优断面模型为：

目标函数为过流面积最小，即：

最小化：

约束条件为均匀流条件下流量和断面尺寸之间满足曼宁公式：

式中，Φ为约束条件函数,Q为流量,n为糙率,i为渠底纵坡。

7.如权利要求6所述的一种3.3471次方幂函数形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，在步骤4中，明渠断面湿周用高斯超几何函数的表达式为：

式中，G₁是关于参数k、B和h的高斯超几何函数,G₁的具体形式表示为：

设无量纲参数η＝B/h,则形状系数a、过水断面面积A和湿周P分别表示为：

a＝2^kη^-kh^1-k (11)

式中，

Images