CN105930925A - 一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面及其求解方法 - Google Patents

Abstract

一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面及其求解方法，水力最优断面采用三次抛物线断面,表示为y＝ax³，其最优宽深比为形状系数a＝0.8469h^‑2，水面处的边坡系数求解方法首先将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解，其次建立水力最优断面的求解模型，再次利用拉格朗日乘子法得到求解水力最优断面的微分方程，然后将湿周表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数的表达式，最后将最优化断面问题转化为一个在复数域范围的一元方程并求解得到水力最优断面的宽深比。本发明的水力最优断面在面积或湿周相等的条件下，具有更大的过流能力，有利于提高输水效率，具有建造成本小的特点。

Description

一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面及其求解方法

技术领域

本发明涉及一种输水渠道，具体地说是一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面及其求解方法，属于灌区输水渠道规划设计技术领域。

背景技术

渠道输水断面对渠道输水具有重要意义。良好的渠道断面不仅能够增加输水能力，减小输水成本，而且可以降低建造成本。公知的抛物线形渠道断面为二次抛物线形(y＝ax²)(a为形状系数，y为纵坐标，x为横坐标)，如图2所示。也有学者研究了半立方抛物线形(y＝ax^3/2)断面，如图3所示。需要说明的是，有些国内学者将半立方抛物线形断面称为立方抛物线形是不准确的(如：Yang Guoli,Wei Wenli等，2011；马子普，张根广等，2013；聂义军，魏文礼等，2008；魏文礼,杨国丽等，2006；文辉,李风玲等，2010)。

水力最优断面是指面积一定的情况下使明渠输水流量最大，或流量一定的情况下使输水断面积最小的渠道断面(两种表述是相同的)。水力最优断面被广泛应用于工程实践中。抛物线形渠道断面是一种曲线形断面，相对于梯形断面，其具有拐角点少，不容易形成引力集中点造成渗漏等优点。

目前已经公开的最优抛物线形断面有基于二次抛物线和半立方抛物线的水力最优断面，如图2和图3所示，但是二次抛物线和半立方抛物线底部较尖，影响了过流能力，经济性也没有达到最好。在抛物线形断面中，二次抛物线形和半立方抛物线形断面其最优断面的过流能力并不是最大的，迫切需要找到过流能力更大的水力最 优抛物线形断面。

另一个公知的知识是，目前为止三次抛物线弧长在实数域没有解析解，只能用积分形式表示。这种情况造成了三次抛物线形渠道水力最优断面难以在实数域得到解析解。另外积分形式在工程实践中也不便应用。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出了一种基于三次抛物线的输水明渠水力最优断面，其能够保证输水渠道在输水时具有最大过流能力，并且具有很好的经济性；

针对难以得到三次抛物线形断面最优解的问题，本发明提出将数域扩展到复数域，用椭圆积分表示湿周，并利用拉格朗日法将三次抛物线形最优水力断面问题转换为关于宽深比的一元方程，从而求解三次抛物线形最优水力断面解析解的方法，从而解决了一个长期困扰水利工程方面的问题；

针对现有输水渠道断面湿周计算复杂，不便于工程实践的问题，提出了一个计算湿周的显式表达式，其不仅计算简单，而且具有较好的精度。

本发明解决其技术问题采取的技术方案是：一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面，所述三次抛物线形输水明渠的渠道断面形状为三次抛物线形，开口向上，三次抛物线形明渠最优断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接；所述三次抛物线形断面表示为y＝ax³，a为形状系数，x为横坐标，y为纵坐标；所述三次抛物线形断面的过流面积为B为水面宽度且h为水深，输水明渠的水力最优断面(即三次抛物线形断面)的湿周用椭圆积分函数表示为：i为虚数单位符，EllipticF为椭圆积分函数；所述最优断面模型的目标函数是最大化输水流量约束条件是过流面积为定值A(h,B)＝c，c为定值；所述三次抛物线形最优断面的微分方程为求解水力最优断面宽深比η(η＝B/h)的一元方程为

所述三次抛物线形最优断面的宽深比为形状系数a＝0.8469h^-2，边坡系数所述三次抛物线形最优断面的正常水深为 其中，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，三次抛物线形最优断面的临界水深其中，α为能量修正系数，g为重力加速度。

进一步地，所述三次抛物线形最优断面的宽深比是根据以下最优模型得到的：

目标函数是过流面积一定的情况下通过的流量最大(流量用曼宁公式计算)：

$Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}$

约束条件是面积为定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积。

进一步地，实际工程应用中，所述三次抛物线断面的湿周也可用下面简单公式计算：

(本式为工程实践的近似计算公式，不应用在本发明的优化模型中)。

优选地，所述明渠输水渠道包括挖方渠道、填方渠道或填挖方渠道。

本发明还提供了一种三次抛物线形明渠水力最优断面最优解(理论解)的求解方法，首先将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解，其次建立三次抛物线形明渠水力最优断面的求解模型，再次利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形明渠水力最优断面的微分方程，然后将湿周表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数的表达式，最后将最优化断面问题转化为一个在复数域范围的一元方程，并求解这个方程得到三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比。

进一步地，根据三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比，得到最优形状系数、水面处的边坡系数、正常水深、临界水深等。

进一步地，所述三次抛物线形明渠水力最优断面最优解的求解方法具体包括以下步骤：

步骤一、将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解：

三次抛物线形断面表示为：

y＝a|x³| (1)

式中，a为三次抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标；

由式(1)可知，当时，y＝h时，形状系数a表示为：

$a=8\frac{h}{B^3}---\left(2\right)$

由式(2)可知,水面宽度B表示为：

$B=2\frac{\sqrt[3]{{\mathrm{ha}}^2}}{a}---\left(3\right)$

三次抛物线形明渠的过流面积为：

$A=2(\frac{B}{2}h-{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ydx))=3/2\frac{h^{4/3}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{3}{4}hB---\left(4\right)$

三次抛物线形明渠的湿周为：

$\begin{array}{c}P=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ds=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ =2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^4+1}\right)dx\end{array}---\left(5\right)$

式中，a为三次抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标，A为过流面积，B为水面宽度，P为湿周；

渠道输水流量采用谢才公式和曼宁公式表示(赵振兴，何建京，2010)

$\begin{array}{c}Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}\\ =3/16\frac{3^{2/3}\sqrt[3]{4}{\left(hB\right)}^{5/3}\sqrt{i}}{n{\[2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^4+1}\right)dx\]}^{2/3}}\end{array}---\left(6\right)$

步骤二、建立三次抛物线形明渠水力最优断面的求解模型：

目标函数是过流面积一定的情况下输水流量最大(流量用曼宁公式计算)：

最大化：

约束条件是过流面积为给定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0 (8)

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积，c为给定的过流面积。

步骤三、利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形明渠水力最优断面的微分方程：

利用拉格朗日乘子法将式(7)和式(8)表示为：

$\frac{\∂Q}{\∂h}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=0---\left(9\right)$

$\frac{\∂Q}{\∂B}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=0---\left(10\right)$

联解式(9)和式(10)，消去λ可得到求解水力最优断面的微分方程为：

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}\frac{\∂Q}{\∂h}=\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}\frac{\∂Q}{\∂B}---\left(11\right)$

由(7)式，求得Q对变量B和h的偏导数为

$\frac{\∂}{\∂h}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(12\right)$

$\frac{\∂}{\∂B}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(13\right)$

由(8)式，求得Φ对变量B和h的偏导数为

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=\frac{\∂A}{\∂B},\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}---\left(14\right)$

将式(12)、(13)、(14)代入(11)式，得到

$-2/3\frac{A^{5/3}\sqrt{i}(\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}-\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B})}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}=0---\left(15\right)$

简化上式，三次抛物线形最优水力断面的微分方程为

$\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B}---\left(16\right)$

由式(4)得到A关于B和h的导数：

$\frac{\∂A}{\∂h}=\frac{3B}{4},\frac{\∂A}{\∂B}=\frac{3h}{4}---\left(17\right)$

步骤四、将湿周P表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数：

将研究数域扩展到复数域，将式(5)中表示为：

$\sqrt{9a^2{x}^4+1}=\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}---\left(18\right)$

式中，i为复数的虚数单位，

式(18)的积分方程用不完全椭圆积分表示为：

$\begin{array}{c}F\left(x\right)=\∫\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}\\ =1/3x\sqrt{9a^2{x}^4+1}+2/9\frac{\sqrt{3}\sqrt{1-3{\mathrm{iax}}^2}\sqrt{1+3{\mathrm{iax}}^2}EllipticF(x\sqrt{3}\sqrt{ia},i)}{\sqrt{ia}\sqrt{9a^2{x}^4+1}}\end{array}---\left(19\right)$

式中，EllipticF为不完全椭圆积分函数；

联合式(2)、式(5)和式(19)，可求得湿周的椭圆积分表达式为：

$\begin{array}{c}P=2F\left(x\right){|}_0^{B/2}=2\left(F\right(B/2)-F(0\left)\right)\\ =1/3B\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}+\frac{1/9\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}EllipticF\left(B\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{\frac{ih}{B^2},i}\right)}{\sqrt{\frac{ih}{B^2}}\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}}\end{array}---\left(20\right)$

步骤五、计算求解三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比：

对式(20)求导数，得到：

$\frac{\∂P}{\∂B}=\frac{(1/6-i/6)\sqrt{B}\sqrt{B^2+36h^2}\sqrt{3}}{\sqrt{h}\sqrt{6ih+B}\sqrt{-6ih+B}}EllipticF(\frac{(1+i)\sqrt{3}\sqrt{h}}{\sqrt{B}},i)---\left(21\right)$

$\frac{\∂P}{\∂h}=-\frac{16}{9}\frac{(\frac{-3}{16}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^4+i\sqrt{3}EllipticF(B\sqrt{6}\sqrt{\frac{ih}{B^3}},i\left)h\right){(B^2+36h^2)}^2}{\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}{(1+36\frac{h^2}{B^2})}^{3/2}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^{7}h}---\left(22\right)$

设无量纲的参数将式(17)、式(21)和式(22)代入式(16)，得到：

$-48i({\mathrm{\η}}^{3/2}+1/36{\mathrm{\η}}^{7/2})\sqrt{3}EllipticF(\frac{(1+i)\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{\η}}},i)-(1-i)\sqrt{\mathrm{\η}-6i}({\mathrm{\η}}^2+36)\sqrt{6i+\mathrm{\η}}=0---\left(23\right)$

方程(23)就是求解三次抛物线形最优断面的方程，其只有一个变量η。求解式(23)所示的方程，得到无量纲参数η的值为：

η＝2.1139+0.0000i＝2.1139 (24)

到此，得到了三次抛物线形明渠水力最优断面最关键的参数η，即最优宽深比η＝B/h＝2.1139。

进一步地，根据求解无量纲参数η可得B＝2.1139h,将B代入式(2)得到形状系数a和水深h的关系式：

a＝0.8469h^-2 (25)

根据边坡系数的定义得到水面处的边坡系数z为：

$z=1/6\frac{B}{h}=0.3523---\left(26\right)$

式中，B为水面宽度，h为水深。

进一步地，为了工程中更方便计算湿周，所述三次抛物线形输水渠道的湿周还可以表示为更简单的形式：

$P=\frac{1}{18}\sqrt{-72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{1}{18}\sqrt{72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{2}{9}\sqrt{4B^2+9h^2}$

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深；该式为近似公式，不参与下述最优化解析解的求解

本发明的有益效果如下：本发明将优化的三次抛物线断面作为输水明渠的水力最优断面，并提出了一种三次抛物线形的明渠水力最优断面求解模型，它相对于常用的梯形、矩形、二次抛物线形、半立方抛物线形和悬链线形输水渠道的水力最优断面，本发明的三次抛物线形渠道的水力最优断面在面积或湿周相等的条件下，具有最大的过流能力，或者说在过流能力相等的条件下，具有最小的过流面积、湿周，这有利于提高输水效率；与其它断面比较，这种断面在流量相同的情况下，水面宽度、过水面积、湿周是最小的。与其它形状的水力最优断面比较，本发明的三次抛物线形渠道水力最优断面具有建造成本小的特点。

另外，本发明针对三次抛物线形水力最优解难以得到解析解的问题，提出了将数域扩展到复数域，并利用椭圆积分法将湿周表示为椭圆积分形式，并利用拉格朗日法将水力最优断面问题转化为了一个关于宽深比的方程，并最终得到了最优断面的解析解。

本发明针对三次抛物线形断面湿周计算复杂的问题，也提供了一个近似算法，其特点是计算简单，不需要积分或椭圆积分运算，且具有很高的精度，提高了工程应用的实践性。

本发明具有以下特点：

(1)水力最优断面是指面积一定的情况下使明渠输水流量最大(或流量一定的情况下使输水断面积最小)的渠道断面。水力最优断面被广泛应用于工程实践中。目前已经公开的抛物线形断面主要是基于二次抛物线和半立方抛物线的水力最优断面，但是二次抛物线和半立方抛物线底部较尖，过流能力有限，并不是最优的。为增加过流能力，本发明将三次抛物线断面作为明渠输水渠道的水力最 优断面，并提出了一种三次抛物线断面明渠输水渠道的水力最优断面求解模型，提供了一种基于三次抛物线的水力最优断面。

(2)由于三次抛物线形断面的湿周是一个积分公式，难以在工程实践中应用，因此，本发明提供了一个简单的近似计算公式，通过验证，本公式具有很高的精度，提高了工程应用的实践性。

(3)本发明建立了一个三次抛物线渠道的水力最优断面求解模型，并利用拉格朗日乘子法，将模型转化为了一个微分方程。基于得到的三次抛物线形断面的水力学特征，在复数域求解湿周，得到了得到了三次抛物线形断面的水力最优断面的宽深比，并以此得到最优断面。

(4)与常规的二次抛物线形、半立方抛物线形、梯形及悬链线形断面比较，本发明提出的三次抛物线形水力最优断面，在相同过水面积、湿周的情况下具有最大的过流能力，这有利于提高输水效率。

(5)与其它断面比较，这种断面在流量相同的情况下，水面宽度、过水面积、湿周是最小的。

(6)与其它形状的水力最优断面比较，三次抛物线形最优化断面是最经济的。

附图说明

图1为本发明提供的三次抛物线形明渠水力最优断面的示意图；

图2为常规的二次抛物线形渠道的水力最优断面示意图；

图3为常规的半立方抛物线形渠道的水力最优断面示意图。

图中，1为左边坡，2为右边坡，3为左堤顶，4为右堤顶，5为水面，B 为水面宽度，h为水深，z为边坡系数，f为安全超高，a为形状系数，x为横坐标，y为纵坐标。

具体实施方式

为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。

如图1所示，本发明的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面，其特征是，所述三次抛物线形输水明渠的渠道断面形状为三次抛物线形，开口向上，三次抛物线形输水明渠包括左边坡1、右边坡2、左堤顶3和右堤顶4，所述的左边坡1和右边坡2对称布置并在它们的最低点处平滑连接，且左边坡1和右边坡2在最低点处的法线重合，所述左边坡1的上端与左堤顶3连接，所述右边坡2的上端与右堤顶4连接；所述三次抛物线形断面表示为y＝ax³，a为形状系数，x为横坐标，y为纵坐标；所述三次抛物线形断面的过流面积为B为水面宽度且h为水深，输水渠道的水力最优断面(即三次抛物线断面)的湿周的椭圆积分表达式为： i为虚数单位 符，EllipticF为椭圆积分函数；所述最优断面模型的目标函数是最大化流量约束条件是过流面积为定值A(h,B)＝c，c为定值；所述三次抛物线形最优断面的微分方程为在复数域关于宽深比η的方程为

所述三次抛物线形水力最优断面的宽深比为形状系数a＝0.8469h^-2，边坡系数所述三次抛物线形水力最优断面的正常水深 其中，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡；所述三次抛物线形水力最优断面的临界水深其中，α为能量修正系数，g为重力加速度。

进一步地，为了提高工程应用的实践性，所述三次抛物线形最优断面的湿周的近似公式为：

(本式为工程实践的近似计算公式，在本发明的优化模型中不采用)。

进一步地，所述三次抛物线形最优断面的宽深比是根据以下最优模型得到的：

目标函数是过流面积一定的情况下输水流量最大(流量用曼宁公式计算)：

$Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}$

约束条件是面积为定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积。

优选地，所述三次抛物线形输水明渠包括挖方渠道、填方渠道或填挖方渠道。

本发明将优化的三次抛物线断面作为明渠输水渠道的水力最优断面，并提出了一种三次抛物线断面明渠输水渠道的水力最优断面求解模型，它相对于常用的梯形、矩形、二次抛物线形、半立方抛物线形和悬链线形输水渠道的水力最优断面，本发明的三次抛物线形渠道的水力最优断面在面积或湿周相等的条件下，具有更大的过流能力，或者说在过流能力相等的条件下，具有最小的过流面积、湿周，这有利于提高输水效率；与其它断面比较，这种断面在流量相同的情况下，水面宽度、过水面积、湿周是最小的。在与其它形状的水力最优断面比较，本发明的三次抛物线形渠道水力最优断面具有建造成本小的特点。

本发明的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，首先将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解，其次建立三次抛物线形明渠水力最优断面的求解模型，再次利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形明渠水力最优断面的微分方程，然后将湿周表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数，最后根据三次抛物线形明渠水力最优断面的最优化模型计算三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比。

本发明所述求解方法采用的技术原理如下：

一、将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面

三次抛物线形断面表示为：

y＝a|x³| (1)

式中，a为三次抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标；由式(1)可知，当时，y＝h时，形状系数a表示为：

$a=8\frac{h}{B^3}---\left(2\right)$

由式(2)可知,水面宽度B表示为：

$B=2\frac{\sqrt[3]{{\mathrm{ha}}^2}}{a}---\left(3\right)$

根据水力学的知识，边坡系数z可用y对x的导数表示为： 因此，水面处的边坡系数为：z＝B/6h。

如图1所示，三次抛物线形输水渠道的过流面积可用积分方法得到：

$A=2(\frac{B}{2}h-{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ydx))=3/2\frac{h^{4/3}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{3}{4}hB---\left(4\right)$

三次抛物线渠道的湿周可用曲线求弧长的方法表示：

$\begin{array}{c}P=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ds=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ =2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^2+1}\right)dx\end{array}---\left(5\right)$

式中，a＝三次抛物线形断面形状系数,x＝横坐标,y＝纵坐标，A为过流面积，B为水面宽度，P为湿周；

渠道输水流量采用谢才公式和曼宁公式表示(赵振兴，何建京，2010)

$\begin{array}{c}Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}\\ =3/16\frac{3^{2/3}\sqrt[3]{4}{\left(hB\right)}^{5/3}\sqrt{i}}{n{\[2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^4+1}\right)dx\]}^{2/3}}\end{array}---\left(6\right)$

二、建立三次抛物线形输水渠道水力最优断面的求解模型

目标函数是过流面积一定的情况下输水流量最大(流量用曼宁公式计算)：

最大化：

约束条件是过流面积为给定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0 (8)

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积，c为给定的过流面积，Φ为约束函数。

三、利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形输水渠道水力最优断面的微分方程

利用拉格朗日乘子法将式(7)和式(8)表示为：

$\frac{\∂Q}{\∂h}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=0---\left(9\right)$

$\frac{\∂Q}{\∂B}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=0---\left(10\right)$

联解式(9)和式(10)，消去λ可得到求解水力最优断面的微分方程为：

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}\frac{\∂Q}{\∂h}=\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}\frac{\∂Q}{\∂B}---\left(11\right)$

由(7)式，求得Q对变量B和h的偏导数为

$\frac{\∂}{\∂h}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(12\right)$

$\frac{\∂}{\∂B}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(13\right)$

由(8)式，求得Φ对变量B和h的偏导数为

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=\frac{\∂A}{\∂B},\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}---\left(14\right)$

将式(12)、(13)、(14)代入(11)式，得到

$-2/3\frac{A^{5/3}\sqrt{i}(\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}-\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B})}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}=0---\left(15\right)$

简化上式，三次抛物线形最优水力断面的微分方程为

$\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B}---\left(16\right)$

由式(4)得到A关于B和h的导数：

$\frac{\∂A}{\∂h}=\frac{3B}{4},\frac{\∂A}{\∂B}=\frac{3h}{4}---\left(17\right)$

四、将湿周P表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数

将研究数域扩展到复数域，将式(5)中表示为：

$\sqrt{9a^2{x}^4+1}=\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}---\left(18\right)$

式中，i为复数的虚数单位，

式(18)的积分方程用不完全椭圆积分表示为：

$\begin{array}{c}F\left(x\right)=\∫\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}\\ =1/3x\sqrt{9a^2{x}^4+1}+2/9\frac{\sqrt{3}\sqrt{1-3{\mathrm{iax}}^2}\sqrt{1+3{\mathrm{iax}}^2}EllipticF(x\sqrt{3}\sqrt{ia},i)}{\sqrt{ia}\sqrt{9a^2{x}^4+1}}\end{array}---\left(19\right)$

式中，EllipticF为不完全椭圆积分函数；

联合式(2)、式(5)和式(19)，可求得湿周的椭圆积分表达式为：

$\begin{array}{c}P=2F\left(x\right){|}_0^{B/2}=2\left(F\right(B/2)-F(0\left)\right)\\ =1/3B\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}+\frac{1/9\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}EllipticF(B\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{\frac{ih}{B^3}},i)}{\sqrt{\frac{ih}{B^3}}\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}}\end{array}---\left(20\right)$

五、计算求解三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比

对式(20)求导数，得到

$\frac{\∂P}{\∂B}=\frac{(1/6-i/6)\sqrt{B}\sqrt{B^2+36h^2}\sqrt{3}}{\sqrt{h}\sqrt{6ih+B}\sqrt{-6ih+B}}EllipticF(\frac{(1+i)\sqrt{3}\sqrt{h}}{\sqrt{B}},i)---\left(21\right)$

$\frac{\∂P}{\∂h}=-\frac{16}{9}\frac{(\frac{-3}{16}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^4+i\sqrt{3}EllipticF(B\sqrt{6}\sqrt{\frac{ih}{B^3}},i\left)h\right){(B^2+36h^2)}^2}{\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}{(1+36\frac{h^2}{B^2})}^{3/2}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^{7}h}---\left(22\right)$

设无量纲的参数将式(17)、式(21)和式(22)代入式(16)，得到：

$-48i({\mathrm{\η}}^{3/2}+1/36{\mathrm{\η}}^{7/2})\sqrt{3}EllipticF(\frac{(1+i)\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{\η}}},i)-(1-i)\sqrt{\mathrm{\η}-6i}({\mathrm{\η}}^2+36)\sqrt{6i+\mathrm{\η}}=0---\left(23\right)$

方程(23)就是求解三次抛物线形最优断面的方程，其只有一个变量η。求解式(23)所示的方程，得到无量纲参数η的值为：

η＝2.1139+0.0000i＝2.1139 (24)

到此，得到了三次抛物线形明渠水力最优断面最关键的参数η，即最优宽深比η＝B/h＝2.1139。

进一步地，根据求解无量纲参数η可得B＝2.1139h,将B代入式(2)得到形状系数a和水深h的关系式：

a＝0.8469h^-2 (25)

根据边坡系数的定义得到水面处的边坡系数z为：

$z=1/6\frac{B}{h}=0.3523---\left(26\right)$

式中，B为水面宽度，h为水深。

六、利用水力最优断面进行渠道设计

(1)给定水深条件下的流量显式计算公式：

明渠均匀流流量的计算公式为曼宁公式(Chow,1959；Hubert Chanson,1999):

$Q=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}---\left(27\right)$

将η＝2.1139代入式(2)、式(4)和式(5)，可以得到过水断面面积A和湿周P：

A＝1.5854h²,A/h²＝1.5854 (28)

P＝3.1807h,P/h＝3.1807 (29)

将A和P代入(27)式，可以得到Q和h的关系为： $Q=0.9967\frac{h^{8/3}\sqrt{S_0}}{n}---\left(30\right)$

(2)给定流量情况下的最佳水力断面设计

由(30)可以得到水深h的计算公式：

$h=1.0013{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8}---\left(31\right)$

有了水深，形状系数可以通过(25)式(a＝0.8469h^-2)得到。由式(24)、式(28)和式(29)可以得到B,A和P的显式计算公式为：

$\begin{array}{cc}B=2.1165{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8},& Q=0.13542\frac{B^{8/3}\sqrt{S_0}}{n}\end{array}---\left(32\right)$

$\begin{array}{cc}A=1.5894{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/4},& Q=0.53913\frac{A^{4/3}\sqrt{S_0}}{n}\end{array}---\left(33\right)$

$\begin{array}{cc}P=3.1847{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8},& Q=0.04555\frac{P^{8/3}\sqrt{S_0}}{n}\end{array}---\left(34\right)$

显然，式(32)～式(34)为渠道设计者提供了简便的渠道断面设计方法。式(30)、(31)也为管理者提供了简便的流量和水深计算方法。

七、三次抛物线形最优断面与常规抛物线形最优断面过流能力的比较

(1)与二次抛物线形断面的比较

用相同的方法可以得到二次抛物线形渠道的水力最佳宽深比(η＝B/h)、形状系数a和过水断面的面积、湿周分别为：

η＝B/h＝2.0555,A＝1.3703h²,P＝2.998h,a＝0.9467h^-1 (35)

将(35)式代入曼宁公式(6)或(27)式，可以得到水力最佳断面条件下流量和水深之间的关系：

$Q=0.81309\frac{h^{8/3}\sqrt{S_0}}{n}---\left(36\right)$

比较二次抛物线的(36)式和三次抛物线的(30)式可知，相同水深h条件下(渠底纵坡S₀和糙率n固定)，三次抛物线形最优断面的流量大于二次抛物线形最优断面的流量。

求解式(36)可以得到二次抛物线最优断面水深的计算公式： $h=1.08068{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8}---\left(37\right)$

比较式(36)和式(30)可知，相同水深h、渠底纵坡S₀和糙率n的情况下，三次抛物线的流量大于二次抛物线的流量；比较式(37)和式(31)可知，相同流量Q、纵坡S₀和糙率n的情况下，三次抛物线的水深小于二次抛物线的水深。

将式(37)代入式(35)，可以得到B、A、P的直接计算公式为：

$B=2.221335{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8}---\left(38\right)$

$A=1.60037{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/4}---\left(39\right)$

$P=3.240047{\left(\frac{Qn}{\sqrt{S_0}}\right)}^{3/8}---\left(40\right)$

比较式(38)～式(40)和式(32)～式(34)可知，在相同流量情况下，三次抛物线形渠道的水面宽度、过水面积、湿周小于二次抛物线形渠道，这有利于减少建设成本。相反，在相同水面宽度、过水面积、湿周的情况下，三次抛物线形渠道的流量大于二次抛物线形渠道，输水效率高于二次抛物线形最优断面，这有利于减小输水成本。

(1)与其它渠道最优断面的比较

用同样的方法可以得到二次抛物线、半立方抛物线、梯形和悬链线形渠道的水力特性如下表1。

从表可以看出，在相同过水面积、湿周的情况下，三次抛物线形渠道的流量是最大的，输水效率最高。相反，在流量相同的情况下，三次抛物线形 渠道的水面宽度、过水面积、湿周是最小的，这有利于减少建设成本。

表1 不同形状渠道断面水力学特性表^a

^bb/h＝1.155.

八、三次抛物线形渠道水力最优断面与常规抛物线形水力最优断面建设成本比较的比较

进一步地进行成本比较。渠道的输水成本主要由土方、衬砌和征地费组成，单位渠长上主要总成本可表示为：

C＝C_eA^*+C_lP^*+C_aB^* (41)

式中，C为单位渠长的总建设成本。B^*、A^*和P^*是单位长度渠道挖土面积、衬砌长度和沿水面宽度的征地宽度。C_e为单位面积挖土成本，C_l为单位衬砌长度的成本，C_a为沿水面宽度方向单位长度的征地费。

在已知输水规模(即流量Q)的情况下。为了方便比较，对立方抛物线 形渠道，将Q代入式(31)，得到h，然后将h代入(25)式得到最优形状系数a。最后将h+f代入式(3)、式(4)和式(5)可以得到征地宽度B^*、挖土面积A_c ^*和衬砌长度P_c ^*的直接计算公式：

a＝0.8448ε^-3/4 (42)

${B_c}^{*}=2\frac{\sqrt[3]{h_1{a}^2}}{a}=2.1156\sqrt[3]{\frac{1.0013{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}+f}{{\mathrm{\ϵ}}^{3/2}}}{\mathrm{\ϵ}}^{3/4}---\left(43\right)$

${A_c}^{*}=\frac{3{\mathrm{aB}}^{*4}}{32}=1.5867{\mathrm{\ϵ}}^{9/4}{\left(\frac{1.0013{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}+f}{{\mathrm{\ϵ}}^{3/2}}\right)}^{4/3}---\left(44\right)$

$P_c^{*}=2{\∫}_0^{B^{*}/2}\sqrt{9a^2{x}^4+1}dx=2{\∫}_0^{B^{*}/2}\sqrt{6.42357\frac{x^4}{{\mathrm{\ϵ}}^{3/2}}+1}dx---\left(45\right)$

其中，f＝安全超高，h₁＝h+f.

用同样的方法可以得到，在相同流量Q的情况下，二次抛物线形断面的征地宽度B_p ^*、挖土面积A_p ^*和衬砌长度P_p ^*为：

${B_p}^{*}=2.1368\sqrt{\frac{1.0807{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}+f}{{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}}}{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}---\left(46\right)$

${A_p}^{*}=1.4245{\mathrm{\ϵ}}^{3/4}{\left(\frac{1.0807{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}+f}{{\mathrm{\ϵ}}^{3/8}}\right)}^{3/2}---\left(47\right)$

${P_p}^{*}=\frac{1}{2a}\[B^{*}\sqrt{B^{{*}^2}{a}^2+1}a+ln(B^{*}a+\sqrt{B^{{*}^2}{a}^2+1})\]---\left(48\right)$

用数值计算方法可以得到二次抛物线与三次抛物线的征地宽度比、挖土面积比和衬砌长度比：

$\frac{{B_p}^{*}}{{B_c}^{*}}>1,\frac{{A_p}^{*}}{{A_c}^{*}}>1,\frac{{P_p}^{*}}{{P_c}^{*}}>1---\left(49\right)$

上式说明，在单价相同的情况下，三次抛物线最优化断面较二次抛物线最优化断面建造成本低。

进一步地，用同样的方法可以得到，在相同流量Q的情况下，得到二次抛物线、半立方抛物线、梯形、悬链线形断面的征地宽度、挖土面积和衬砌长度，列表如2。

表2.不同类型渠道征地宽度、挖土面积和衬砌长度计算公式(h₁＝h+f)^a

^a三次抛物线断面湿周P^*是用积分法完成的。

表2说明，在单价相同的情况下，三次抛物线形水力最优断面是几种常见的渠道断面中(三次抛物线形、二次抛物线形、半立方抛物线形、梯形、悬链线形)建造成本最低的。

九、三次抛物线形断面湿周的简单表达式

由于上式在实数域没有解析解，因此三次抛物线的湿周没有解析解。为适应工程实践要求，本发明还提出了一种高精度近似算法，三次抛物线形输水渠道的湿周也可以表示为：

$P=\frac{1}{18}\sqrt{-72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{1}{18}\sqrt{72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{2}{9}\sqrt{4B^2+9h^2}$

经过实践验证，在上式中，当B在5～50m之间,h在0.5,10.5之间，上式的最大相对误差为0.27％，说明该近似解具有很高的精度。

需要说明的是，上式在三次抛物线形最优断面理论解的求解中并不应用，本式为工程实践提供了简便的湿周计算算法。

十、应用例子

例1(湿周近似解)

两个三次抛物线形渠道断面，形状系数a＝0.5，水深h＝1.5m，求湿周。

先利用式(3)得到

利用数值积分的方法，得到湿周的理论值积分法一般要借助计算机程序得到，不适宜工程实践。利用本发明提供的近似公式误差只有0.0057m。当h＝1.0～2.5m时，用近似法和积分法分别计算湿周，结果见表3。

表3 近似法和积分法计算湿周对比表

水深h(m)	积分法(m)	近似公式法(m)	绝对误差(m)
				0.5	2.365065570	2.364690946	0.000375
1.0	3.493780872	3.490795954	0.002985
				1.5	4.558529182	4.552856742	0.00567
2.0	5.599929236	5.592777822	0.00715
				2.5	6.629590824	6.622340062	0.00725

从计算结果看，本近似算法具有很高的精度。

例2(已知流量，设计渠道断面)

有一渠道，已知Q＝10m³/s,S_o＝1/15000,n＝0.014s/m^1/3。现需要设计一个渠道，要求在过流能力一定的情况下，过流面积、湿周最小，或者说面积一定的情况下，过流能力最大。

按三次抛物线形断面设计：将已知数据分别代入式(31)，式(32)～式(34)、式(25)，可以得到h＝2.91m,B＝6.14m,A＝13.39m²,P＝9.25m，a＝0.100。

按二次抛物线设计：将已知数据分别代入式(37)、式(35)和式(38)～式(40),可以得到h＝3.13m,a＝0.302,B＝6.45m,A＝13.49m²,P＝9.41m。

按其它断面形状设计：用同样的方法，可以计算得到半立方抛物线、梯形断面和悬链线形断面的设计尺寸见表4。

从计算结果可以看出，三种抛物线断面中，三次抛物线为B＝6.144m,h＝2.906m；半立方抛物线为B＝6.448m,h＝3.137m；二次抛物线为B＝6.779m,h＝3.359m。表4表明，在流量一定的情况下，三次抛物线的过水断面面积、水面宽度、湿周均是最小的。说明三次抛物线的过流能力最大，也意味着建造成本最小。

表4 利用不同类型渠道得到的最优水力断面

^a渠堤宽度b＝3.24m。

例3(过流能力和建造成本比较)

一输水渠道，总长100Km。Q＝12m³/s,n＝0.014s/m^1/3,S_o＝1/20000,f＝0.5m。单位渠长上，衬砌成本C_l＝50元/m²，土方开挖成本C_e30元/m²，征地费C_a＝15元/m。当地水文地质条件较好，边坡系数不限。现需要设计一个水力最佳断面，并计算建造成本。

将已知数据代入表1，可以得到不同形状(三次抛物线、二次抛物线、半立方抛物线、悬链线形、梯形)的尺寸，其结果列在表5内。比较结果可以得到，三次抛物线形渠道断面具有最小的水深、水面宽度、过水面积和湿周，或者说在其它条件相同的条件下，具有最大的过流能力。说明，三次抛物线形渠道具有最好的水力学特征。

表5.不同类型渠道水力最优断面特性

^a渠底宽的b＝3.67m。

对于建造成本，先按表2计算每种形状断面在单位长度渠道上的挖土面积、衬砌长度和征地宽度，然后计算总成本。其结果列表6。从计算结果可以看出，三次抛物线形断面的建造成本最低，半立方抛物线形和梯形断面的建 造成本最大。相对于最高成本，采用三次抛物线形、悬链线形、二次抛物线形断面，单位渠长可以减少成本72.8(5.3％)、61.4(4.5％)、43.2(3.1％)和12.6(0.9％)元。对100Km的渠道，如果用三次抛物线形渠道将节省不少的成本。

表6.不同形状渠道单位长度建造成本比较^a(单位：元)

^a节省成本是指相对建造成本最高的半立方抛物线形渠道.

以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面，其特征是，所述三次抛物线形输水明渠的渠道断面形状为三次抛物线形，开口向上，三次抛物线形明渠最优断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接；所述三次抛物线形断面表示为y＝ax³，a为形状系数，x为横坐标，y为纵坐标；所述三次抛物线形断面的过流面积为B为水面宽度且h为水深，输水明渠的水力最优断面的湿周用椭圆积分函数表示为：i为虚数单位符，EllipticF为椭圆积分函数；所述最优断面模型的目标函数是最大化输水流量约束条件是过流面积为定值A(h,B)＝c，c为定值；所述三次抛物线形最优断面的微分方程为求解水力最优断面宽深比η(η＝B/h)的一元方程为：

i为虚数单位符，EllipticF为椭圆积分函数；所述最优断面模型的目标函数是最大化流量约束条件是过流面积为定值A(h,B)＝c，c为定值；所述三次抛物线形最优断面的微分方程为在复数域关于宽深比η的方程为；

$-48i({\mathrm{\η}}^{3/2}+1/36{\mathrm{\η}}^{7/2})\sqrt{3}EllipticF\left(\frac{\left(1+i\right)\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{\η}}},i\right)-\left(1-i\right)\sqrt{\mathrm{\η}-6i}\left({\mathrm{\η}}^2-36\right)\sqrt{6i+\mathrm{\η}}=0;$

所述三次抛物线形最优断面的宽深比为形状系数a＝0.8469h^-2，边坡系数所述三次抛物线形最优断面的正常水深其中，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，三次抛物线形最优断面的临界水深其中，α为能量修正系数，g为重力加速度。

2.根据权利要求1所述的一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面，其特征是，所述三次抛物线形最优断面的湿周也可表示为：

$P=\frac{1}{18}\sqrt{-72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{1}{18}\sqrt{72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{2}{9}\sqrt{4B^2+9h^2}.$

3.根据权利要求1或2所述的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面，其特征是，所述三次抛物线形最优断面的宽深比是根据以下最优模型得到的：

目标函数是过流面积一定的情况下通过的流量最大：

$Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}$

约束条件是面积为定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积，c为定值。

4.根据权利要求1所述的一种三次抛物线形输水明渠的水力最优断面，其特征是，所述三次抛物线形输水明渠包括挖方渠道、填方渠道或填挖方渠道。

5.一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，其特征是，首先将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解，其次建立三次抛物线形明渠水力最优断面的求解模型，再次利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形明渠水力最优断面的微分方程，然后将湿周表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数的表达式，最后将最优化断面问题转化为一个在复数域范围的一元方程，并求解这个方程得到三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比。

6.根据权利要求5所述的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，其特征是，根据三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比，得到最优形状系数、水面处的边坡系数、正常水深、临界水深等。

7.根据权利要求5所述的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，其特征是，所述三次抛物线形输水渠道水力最优断面的求解方法具体包括以下步骤：

步骤一、将输水渠道水力断面形状设计为三次抛物线形断面并对水力断面特性进行求解：

三次抛物线形断面表示为：

y＝a|x³| (1)

式中，a为三次抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标；

由式(1)可知，当时，y＝h时，形状系数a表示为：

$a=8\frac{h}{B^3}---\left(2\right)$

由式(2)可知,水面宽度B表示为：

$B=2\frac{\sqrt[3]{{\mathrm{ha}}^2}}{a}---\left(3\right)$

三次抛物线形明渠的过流面积为：

$A=2(\frac{B}{2}h-{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ydx))=3/2\frac{h^{4/3}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{3}{4}hB---\left(4\right)$

三次抛物线形明渠断面的湿周为：

$\begin{array}{c}P=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}ds=2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ =2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^4+1}\right)dx\end{array}---\left(5\right)$

式中，a为三次抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标，A为过流面积，B为水面宽度，P为湿周；

渠道输水流量采用谢才公式和曼宁公式表示为：

$\begin{array}{c}Q(h,B)=\frac{1}{n}\frac{A^{5/3}{S_0}^{1/2}}{P^{2/3}}\\ =3/16\frac{3^{2/3}\sqrt[3]{4}{\left(hB\right)}^{5/3}\sqrt{i}}{n{\[2{\∫}_0^{\frac{B}{2}}\left(\sqrt{9a^2{x}^4+1}\right)dx\]}^{2/3}}\end{array}---\left(6\right)$

步骤二、建立三次抛物线形明渠水力最优断面的求解模型：

目标函数是过流面积一定的情况下输水流量最大：

最大化：

约束条件是过流面积为给定值：

Φ(h,B)＝A(h,B)-c＝0 (8)

式中，P为三次抛物线断面的湿周，B为水面宽度，h为水深，Q为流量，n为糙率，S₀为渠底纵坡，A为过流面积，c为给定的过流面积；

步骤三、利用拉格朗日乘子法得到求解三次抛物线形明渠水力最优断面的微分方程：

利用拉格朗日乘子法将式(7)和式(8)表示为：

$\frac{\∂Q}{\∂h}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=0---\left(9\right)$

$\frac{\∂Q}{\∂B}+\mathrm{\λ}\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=0---\left(10\right)$

联解式(9)和式(10)，消去λ可得到求解水力最优断面的微分方程为：

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}\frac{\∂Q}{\∂h}=\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}\frac{\∂Q}{\∂B}---\left(11\right)$

由式(7)求得Q对变量B和h的偏导数为：

$\frac{\∂}{\∂h}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂h}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(12\right)$

$\frac{\∂}{\∂B}Q(h,B)=5/3\frac{A^{2/3}{i}^{0.5}\frac{\∂A}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{2/3}}-2/3\frac{A^{5/3}{i}^{0.5}\frac{\∂P}{\∂B}}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}---\left(13\right)$

由式(8)求得Φ对变量B和h的偏导数为：

$\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂B}=\frac{\∂A}{\∂B},\frac{\∂\mathrm{\Φ}}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}---\left(14\right)$

将式(12)、式(13)、式(14)代入式(11)，得到

$-2/3\frac{A^{5/3}\sqrt{i}\left(\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}-\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B}\right)}{{\mathrm{nP}}^{5/3}}=0---\left(15\right)$

简化式(15)，三次抛物线形最优水力断面的微分方程为：

$\frac{\∂A}{\∂B}\frac{\∂P}{\∂h}=\frac{\∂A}{\∂h}\frac{\∂P}{\∂B}---\left(16\right)$

由式(4)得到A关于B和h的导数：

$\frac{\∂A}{\∂h}=\frac{3B}{4},\frac{\∂A}{\∂B}=\frac{3h}{4}---\left(17\right)$

步骤四、将湿周P表示为复数域范围内关于不完全椭圆积分函数：

将研究数域扩展到复数域，将式(5)中表示为：

$\sqrt{9a^2{x}^4+1}=\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}---\left(18\right)$

式中，i为复数的虚数单位，

式(18)的积分方程采用不完全椭圆积分表示为：

$\begin{array}{c}F\left(x\right)=\∫\sqrt{(1-3{\mathrm{iax}}^2)(1+3{\mathrm{iax}}^2)}\\ =1/3x\sqrt{9a^2{x}^4+1}+2/9\frac{\sqrt{3}\sqrt{1-3{\mathrm{iax}}^2}\sqrt{1+3{\mathrm{iax}}^2}EllipticF(x\sqrt{3}\sqrt{ia},i)}{\sqrt{ia}\sqrt{9a^2{x}^4+1}}\end{array}---\left(19\right)$

式中，EllipticF为不完全椭圆积分函数；

联合式(2)、式(5)和式(19)，可求得湿周的椭圆积分表达式为：

$\begin{array}{c}P=2F\left(x\right){|}_0^{B/2}=2\left(F\right(B/2)-F(0\left)\right)\\ =1/3B\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}+\frac{1/9\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}EllipticF\left(B\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{\frac{ih}{B^3}},i\right)}{\sqrt{\frac{ih}{B^3}}\sqrt{1+36\frac{h^2}{B^2}}}\end{array}---\left(20\right)$

步骤五、计算求解三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比：

对式(20)求导数，得到：

$\frac{\∂P}{\∂B}=\frac{(1/6-i/6)\sqrt{B}\sqrt{B^2+36h^2}\sqrt{3}}{\sqrt{h}\sqrt{6ih+B}\sqrt{-6ih+B}}EllipticF(\frac{(1+i)\sqrt{3}\sqrt{h}}{\sqrt{B}},i)---\left(21\right)$

$\frac{\∂P}{\∂h}=-\frac{16}{9}\frac{(\frac{-3}{16}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^4+i\sqrt{3}EllipticF(B\sqrt{6}\sqrt{\frac{ih}{B^3}},i\left)h\right){(B^2+36h^2)}^2}{\sqrt{1-\frac{6ih}{B}}\sqrt{\frac{6ih}{B}+1}{(1+36\frac{h^2}{B^2})}^{3/2}{\left(\frac{8ih}{B^3}\right)}^{3/2}{B}^{7}h}---\left(22\right)$

设无量纲的参数将式(17)、式(21)和式(22)代入式(16)，得到方程：

$-48i\left({\mathrm{\η}}^{3/2}+1/36{\mathrm{\η}}^{7/2}\right)\sqrt{3}EllipticF\left(\frac{(1+i)\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{\η}}},i\right)-\left(1-i\right)\sqrt{\mathrm{\η}-6i}\left({\mathrm{\η}}^2+36\right)\sqrt{6i+\mathrm{\η}}=0---\left(23\right)$

式(23)就是求解三次抛物线形最优断面的方程，式(23)中只有一

个变量η；

求解式(23)所示的方程，得到无量纲参数η的值为：

η＝2.1139+0.0000i＝2.1139 (24)

即三次抛物线形明渠水力最优断面的宽深比η＝B/h＝2.1139。

8.根据权利要求7所述的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，其特征是，根据求解无量纲参数η可得B＝2.1139h,将B代入式(2)得到形状系数a和水深h的关系式：

a＝0.8469h^-2 (25)

根据边坡系数的定义得到水面处的边坡系数z为：

$z=1/6\frac{B}{h}=0.3523---\left(26\right)$

式中，B为水面宽度，h为水深。

9.根据权利要求7所述的一种三次抛物线形输水明渠水力最优断面最优解的求解方法，其特征是，所述三次抛物线形输水渠道的湿周可表示为：

$P=\frac{1}{18}\sqrt{-72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{1}{18}\sqrt{72\sqrt{15}{h}^2+25B^2+279h^2}+\frac{2}{9}\sqrt{4B^2+9h^2}.$