CN107958095B - 一种二分之五次方抛物线形明渠及其水力最优断面 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种二分之五次方抛物线形明渠，该明渠的渠道断面形状为二分之五次方抛物线形，开口向上，二分之五次方抛物线形渠道断面的曲线表达式为

形状系数

h为水深，B为水面宽度，该渠道过水断面的面积

该渠道的湿周

该明渠水力最优断面的最优宽深比

形状系数为

正常水深

临界水深

过流面积A＝1.4916h²，湿周P＝3.09633h。本发明不仅能够提高抛物线形断面的水力学特性，而且能够提高输水能力。

Description

一种二分之五次方抛物线形明渠及其水力最优断面

技术领域

本发明涉及一种输水渠道，具体地说是一种二分之五次方抛物线形明渠及其水力最优断面，属于灌区输水渠道规划设计技术领域。

背景技术

渠道输水断面对渠道过流能力、水深、建造成本等均有很大的影响。常见的渠道输水断面为梯形、矩形断面。随着渠道建造工艺的改进，大型衬砌机器的应用，曲线形断面的建造约来越容易，也越来越受到欢迎。例如巴基斯坦的High Level渠，西班牙的Genil-Cabra渠等[1]均采用了平方抛物线形断面。学者们普遍认为曲线型断面有这些优点[2-4]:曲线形渠道断面没有或拐角点少，应力集中点少，因而由应力集中可能产生的裂缝少，渗漏量少；自然形成的河道或非衬砌渠道更多呈现曲线型断面的形状；曲线形渠道断面从渠底到渠堤边坡是渐变的，因而稳定性更好；曲线形渠道具有更好的水力学特性。

目前公开的抛物线形渠道断面主要有平方抛物线形断面和半立方抛物线形断面。学者们对常规的抛物线形断面已经进行了大量的研究，不仅研究了平方抛物线形渠道的水力最优断面[2,5]、经济断面[6]，也研究了具有抛物线形底和三角形边坡的复合断面[7]，平底的平方抛物线形断面[3,4]，以及平底的半立方抛物线形断面[8]等。

图1为平方抛物线形渠道断面(y＝ax²)(a为形状系数，y为纵坐标，x为横坐标)，图2为半立方抛物线形渠道断面(y＝ax^3/2)断面。然而，在宽度和深度相同的情况下，平方抛物线形和半立方抛物线形断面的底部较尖，仍然会影响过流能力。而三次抛物线形断面边坡太陡，容易造成渠道边坡滑坡，施工难度较大，适用于地质条件很好的情况。

参考文献

[1]Anwar A A and de Vries T T.Hydraulically efficient power-lawchannels[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,2003,129(1):18-26.

[2]Mironenko A P,Willardson L S,and Jenab S A J.Parabolic canaldesign and analysis[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,1984,110(2):241–246.

[3]Das J A.Optimal design of channel having horizontal bottom andparabolic sides[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,2007；133(2):192–197.

[4]Easa S M.Improved channel cross section with two-segment parabolicsides and horizontal bottom[J].Journal of Irrigation and DrainageEngineering,2009,135(3):357-365.

[5]Loganathan G V.Optimal Design of Parabolic Canals[J].Journal ofIrrigation and Drainage Engineering,1991,117(5):716-735

[6]Chahar J and Bhagu R.Optimal design of a special class ofcurvilinear bottomed channel section[J].Journal of Hydraulic Engineering,2007,133(5):571-576.

[7]Babaeyan-Koopaei K,Valentine E M,and Swailes,D C J.Optimal designof parabolic-bottomed triangle canals[J].Journal of Irrigation and DrainageEngineering,2000,126(6):408–411.

[8]Han YanCheng.Horizontal bottomed semi-cubic parabolic channel andbest hydraulic section[J].Flow Measurement and Instrumentation,2015,45(2015):56-61.

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出了一种二分之五(以下简称为2.5)次方抛物线形明渠及其水力最优断面，其相对于常规二次抛物线、半立方抛物线断面，2.5次方抛物线形断面可以提高输水能力，但边坡要比3次(或更高次)抛物线形断面缓，适应性较3次(或更高次)抛物线形断面更广，其兼顾了过流能力和边坡稳定性。

本发明解决其技术问题采取的技术方案是：一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠的渠道断面形状为二分之五次方抛物线形，开口向上，二分之五次方抛物线形渠道断面的曲线表达式为

a为形状系数,x为横坐标,y为纵坐标,形状系数

h为水深，B为水面宽度，该渠道过水断面的面积为：

该渠道的湿周为：

优选地，所述二分之五次方抛物线形渠道断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接。

优选地，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的中等精度湿周计算公式为：

其中，a为形状系数，B为水面宽度。

优选地，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的高精度简便湿周计算公式为：

其中，a为形状系数，B为水面宽度。

优选地，所述二分之五次方抛物线形渠道断面，其最优水力断面(在过水面积相同的情况下，其过水能力最大的断面)为水面宽度和水深比为

最优形状系数为

或

(两者等效)，水面处的边坡系数为0.41766，正常水深

临界水深

过流面积A＝1.4916h²，湿周P＝3.09633h，其中，h为水深，B为水面宽度，Q为输水流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周，β为能量修正系数，g为重力加速度。

优选地，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的流量为：

其中，Q为流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周。

优选地，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的水力最优断面的数学模型为：

目标函数：

使目标函数最小化的约束条件：

其中，h为水深，B为水面宽度，Q为流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周。

本发明还提供了一种二分之五次方抛物线形明渠的水力最优断面，其特征是，所述水力最优断面的数学模型为：

目标函数：

使目标函数最小化的约束条件：

所述水力最优断面的最优宽深比为

所述水力最优断面的形状系数a和水深的关系为:

所述水力最优断面的形状系数a和流量的关系为

所述水力最优断面在水面处的边坡系数为0.41766，所述水力最优断面的正常水深为

所述水力最优断面临界水深为：

所述水力最优断面的过流面积和水深的关系为：A＝1.4916h²，所述水力最优断面的湿周和水深的关系为：P＝3.09633h，其中，h为水深，B为水面宽度，Q为输水流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周。

优选地，所述水力最优断面的求解过程为：

(1)、将输水渠道水力断面形状设计为二分之五次方抛物线形断面，二分之五次方抛物线形渠道断面表示为：

式中，a为二分之五次方抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标；

由式(1)可知，当x＝B/2时，存在y＝h，形状系数a用水深h和水面宽度B表示为：

由式(2)可知,水面宽度B用水深h和a表示为：

二分之五次方抛物线形明渠的过流面积为：

二分之五次方抛物线形明渠断面的湿周为：

式中，a为二分之五次方抛物线形断面形状系数,h为水深，x为横坐标,y为纵坐标，A为过流面积，B为水面宽度，P为湿周；

根据谢才公式将渠道输水流量表示为：

式中，Q为输水流量；A为过流断面积；i为渠底纵坡；R为水力半径；C为谢才系数；

根据曼宁公式

将式(9)表示为：

式中，n为糙率；P为湿周；

(2)、建立二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的求解模型：

二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的目标函数是在过流能力Q一定的情况下，使过流面积A最小：

最小化：A＝A(h,B)(11)

约束条件是输水流量Q为给定值：

其中，h为水深，B为水面宽度，Q为输水流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周；

(3)、利用拉格朗日乘子法得到求解二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的微分方程：

利用拉格朗日乘子法将式(11)和式(12)表示为：

式中λ为拉格朗日乘子；

将式(14)代入式(13)中消去λ，得到求解水力最优断面的微分方程为：

由式(4)得到A对h和B的偏导数：

将式(5)用高斯超几何函数表示为：

其中，S_g＝Hypergeom([a,b],c,z)，为高斯超几何函数，a,b,c,z为高斯超几何函数的参数；

将式(2)中

代入式(18)，得到湿周P关于h和B的表达式：

由式(19)，可以求得P对B和h的偏导数分别为：

将式(16)、(17)、(20)和(21)代入式(15)后得到：

(4)、求解二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的宽深比、形状系数、过流面积和湿周：

设无量纲参数η＝B/h，并将其代入式(22)得到下面的方程：

式(23)只有一个变量η，用数值方法求解式(23)得到唯一的可行解：

即二分之五次方抛物线形断面的最优宽深比是一个常数；

将η代入(2)式得到最优形状系数a：

或

将B/h＝2.0083和(25)式代入(4)得到水力最优断面的过流面积：

A＝1.4916h² (26)

将B/h＝2.0083和(25)式代入(18)式得到水力最优断面的湿周：

P＝3.09633h (27)

其中，h为水深。

优选地，式(5)中的湿周P为积分形式，将式(5)用高斯勒让德三点格式表示为：

利用式(2)，湿周P采用B和h表示：

将式(5)用高斯勒让德四点格式表示为：

其中，a为二分之五次方抛物线形明渠形状系数，h为水深，B为水面宽度，P为湿周。

优选地，将(26)、(27)式代入曼宁公式(10)得到过水流量的显式计算公式：

对式(28)进行求解得到依据过水流量直接计算h的显式公式

将式(29)代入式(25)、(24)、(26)、(27)，得到直接通过流量计算最优形状系数a、水面宽度B、过流面积A和湿周P的计算公式：

或

或

或

式(29)是最优断面条件下正常水深的计算公式，

临界水深的通用计算公式为：

将B/h＝2.0083和式(26)代入式(34)得到临界水深h_c的显式表达式：

其中，β为能量修正系数；g为重力加速度。

本发明的有益效果如下：

为提高抛物线形断面的水力特性，增加输水能力，本发明提出了一种新的二分之五次(以下简称2.5次)方抛物线形渠道断面，推导了其水力断面特性。将湿周用高斯超几何函数表示后，利用拉格朗日乘子法将水力最优断面最优化模型转换为关于宽深比的一元方程，得到2.5次方抛物线形渠道水力最优断面的解析解，其最优宽深比为2.0883。比较结果显示，2.5次方抛物线形断面较常规(平方、半立方)抛物线形断面具有更好的水力学特性。与平方、半立方抛物线形断面比较，在相同过流面积或湿周条件下，2.5次方抛物线形水力最优断面的过流能力更大。相反，在相同流量下，2.5次方抛物线形水力最优断面的过流面积、湿周、水深更小。结果也表明，2.5次方抛物线形水力最优断面的建造成本与其他3种断面(平方、半立方、梯形)相比是最小的。为便于工程应用，该文基于高斯勒让德算法，提出2.5次方抛物线形断面的三点和四点格式近似湿周算法，结果表明，该近似算法具有很高的精度。本发明选择2.5次方抛物线形而不是更高次抛物线形，主要是其相对于平方抛物线形断面，其水力条件有改善，但边坡等方面变化不是很大，不会因坡度太大而无法适用，因此有较好的实用性。

与现有技术相比，本发明具有以下特点：

(1)2.5次方抛物线形明渠输水断面其形状表示为y＝a|x^5/2|，其具有较平坦的渠底，具有良好的水力特性；本发明推导了2.5次方抛物线形渠道水力断面特性。为便于工程应用，提出了基于高斯勒让德算法的三点和四点近似湿周算法，结果表明，本近似算法具有很高的精度。

(2)建立了2.5次方抛物线形断面的水力最优断面模型，用拉格朗日法推导了最优断面的微分方程。将湿周用高斯超几何函数表示后，将水力最优断面模型转化成了一个关于宽深比的方程，并最终求得了2.5次方抛物线形断面的水力最优断面。结果表明其最佳宽深比为

最佳形状系数为

(3)利用水力最佳宽深比，进一步得到了水力最优断面条件下的正常水、临界水深、水面宽度、过流面积、湿周的显式计算公式。

(4)对比结果表明，过流面积、湿周相同的情况下，2.5次方抛物线形最优水力断面的流量较半立方抛物线形、常规(平方)抛物线形断面的过流能力大；相反，在流量相同的情况下，2.5次方抛物线形最优水力断面的过流面积、湿周较半立方抛物线形、平方抛物线形断面的小。

(5)建造成本对比结果表明，相同情况下，2.5次方抛物线形最优水力断面的建造成本较半立方抛物线形、平方抛物线形断面的小。

(6)与更高次方的(如3次)抛物线比较，3次抛物线的坡度较陡，适应性较窄。2.5次抛物线形断面坡度较缓，适应性更广。

附图说明

图1为常规的平方抛物线形渠道的水力最优断面示意图；

图2为常规的半立方抛物线形渠道的水力最优断面示意图。

图3为本发明的二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的示意图；

图4为本发明一具体应用中的二分之五次方抛物线形明渠水深和过水流量的关系图。

图3中，f为安全超高，B为水面宽度，x为横坐标，y为纵坐标，h为水深，z为水面处的边坡系数。

具体实施方式

为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。

如图3所示，本发明的一种二分之五次方抛物线形明渠，所述二分之五次方抛物线形明渠的渠道断面形状为二分之五次方抛物线形，开口向上，二分之五次方抛物线形渠道断面的曲线表达式为

a为形状系数,x为横坐标,y为纵坐标,形状系数

h为水深，B为水面宽度，该渠道过水断面的面积为：

该渠道的湿周为：

该二分之五次方抛物线形渠道断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接。

为提高抛物线形断面的水力学特性，提高输水能力，本发明提出了一种新的二分之五次方抛物线形断面渠道，即2.5次方抛物线形断面，并对此种抛物线形的水力断面特性、最优断面的解析解、近似湿周算法等进行研究，以便于工程应用。

1、2.5次方抛物线形渠道断面及特性

1.1断面形状

常见的2次抛物线和1.5次方抛物线形断面形状如图1和图2所示。本发明的2.5次抛物线形断面形状如图3所示，其可用下式表示，

式中a为形状系数,x为横坐标(单位：m)；y为纵坐标(单位：m)。可以看出，与平方抛物线和半立方抛物线相比较，2.5次抛物线形断面具有更加平坦的底部，这有利于施工、底部压实及增加过流能力。

由图3可知，当x＝B/2时，存在y＝h，根据式(1)，形状系数a可用水深h和水面宽度B表示：

由式(2)，水面宽度B可用水深h和a表示为：

1.2面积与湿周

2.5次方抛物线渠道的过水断面的面积可用积分方法得到：

2.5次方抛物线渠道的湿周可用弧长法求得。如图3所示，湿周可表示为：

1.3湿周的显式近似解

式(5)中的湿周P为积分形式，需要用数值方法求得。为便于工程应用，求解简单的显式求解算法是必要的。本文经过推导，将式(5)表示为高斯勒让德三点中精度简化计算公式：

利用式(6)，湿周P也可用B和h表示：

用同样的方法，得到高斯勒让德四点高精度格式的湿周表达式为

1.4应用算例1：

有一个2.5次方抛物线形渠道，形状系数a＝0.3，计算水深h从1.0m到3.5m时的湿周。

为比较近似公式的精度，将a＝0.3和h代入式(3)得到B，然后代入式(5)，用数值积分法求得理论值P_t。同样，将a和B代入式(6)得到三点高斯勒让德近似值P₃，代入式(8)得到四点高斯勒让德近似值P₄。其计算结果如下表1所示。

从计算结果得到，用式(6)(三点法)，最大误差0.00401(m，用式(8)(四点法)，最大误差0.00065(m。可以看出，三次高斯勒让德近似算法已经具有很高的精度，足以满足工程实践需要(工程一般)。四次高斯勒让德近似算法已经接近理论值。

表1：

2、2.5次方抛物线形水力最优断面的解析解

2.1明渠均匀流

渠道设计流量可按谢才公式表示为：

式中Q为设计流量(m³/s)；A为过流断面积(m²)；i为渠底纵坡；R为水力半径(m)；C为谢才系数。根据曼宁公式，

因此式(9)可以表示为

式中n为糙率；P为湿周(m)。

2.2水力最优断面求解模型

水力最优断面是面积一定的情况下，使过流能力最大的断面，或过流能力Q一定的情况下，使过流面积A最小的断面。两者得到的最终结果是相同的。因此求解水力最优断面的模型可表示为：

最小化：A＝A(h,B) (11)

约束条件：

水力最优断面的模型用拉格朗日乘子法可表示为

式中λ为拉格朗日乘子。

将式(14)代入式(13)，消去λ，对并化简后可得到：

上式就是求解2.5次方抛物线形渠道最优水力断面的微分方程。

2.3水力最优断面的解析解

由式(4)，得到A对h和B的偏导数：

式(5)中湿周是一个积分形式，难以求导。式(6)或式(8)是近似算法，不适合求解水力最优断面的理论解。此处P可以用高斯超几何函数表示为(裘松良，1998；Abramowitz和Stegun，1964)：

其中，S_g＝Hypergeom([a,b],c,z)，为高斯超几何函数，a,b,c,z为高斯超几何函数的参数。

将式(2)中

代入式(18)，可以得到P关于h和B的表达式：

由式(19)，可以求得P对B和h的偏导数分别为(裘松良，1998；Abramowitz，Stegun，1964)：

将式(16)、(17)、(20)、(21)代入式(15)，简化后得到

设无量纲参数η＝B/h，并将其代入式(22)，经过进一步化简可以得到下面的方程：

式(23)只有一个变量η，用数值方法求解式(23)，可以得到唯一的可行解：

因此，2.5次方抛物线形断面的最优宽深比(水面宽与水深比)是一个常数，B/h＝2.0083。由η可以得到其它参数。将η代入(2)式可以得到最优形状系数a：

或

将B/h＝2.0083和式(25)代入式(4)可以得到水力最优断面的过流面积的直接计算公式为：

A＝1.4916h² (26)

将B/h＝2.0083和式(26)代入式(18)式可以得到水力最优断面的湿周的直接计算公式为：

P＝3.09633h (27)

2.4水深、水面宽度、过流面积、湿周与流量的关系

将式(26)、(27)代入曼宁公式(10)，可以得到流量的显式计算公式：

对上述方程求解，可以得到依据流量直接计算h的显式公式

将式(29)代入式(25)、(24)、(26)、(27)，可以得到直接通过流量计算最优形状系数a、水面宽度B、过流面积A和湿周P的计算公式：

或

或

或

2.5正常水深和临界水深的计算

显然式(29)也是最优断面条件下正常水深的计算公式：

临界水深的通用计算公式为：

其中，β＝能量修正系数；g＝重力加速度(m³/s)。

将B/h＝2.0083和式(26)代入式(35)，可以得到临界水深h_c的显式表达式：

2.6应用算例2：

一个2.5次方抛物线形渠道，流量Q＝25(m³/s)，n＝0.014，i＝1/12000，动能修正系数β＝1。按2.5次方最优抛物线形断面设计渠道。

将已知条件代入式(29)可得到正常水深h＝4.0555(m)，代入式(25)得最优形状系数

由B/h＝2.08830得到B＝8.4691(m)。代入式(36)得临界水深h_c＝2.0922(m)。代入式(26)、(27)或式(32)、(33)得到过流面积A＝24.533(m²)，湿周P＝12.557(m)。

为了验证，取过流面积A＝24.533(m²)，h为不同值(h从0.5到10m，步长0.0005m)，逐个验证

与Q之间的关系。其过程是，根据式(4)计算得到B，将h和B代入式(2)得到形状系数a。利用式(5)(用数值积分方法)得到P，利用式(33)得到Q。画出η＝B/h与Q的关系如图4所示。η～Q的关系曲线表明，面积一定时，η＝2.09时流量最大，其结果与式(33)相同。

3、2.5次方抛物线形和常规抛物线形断面的比较(优化模式下)

3.1过流能力的比较

(1)与平方抛物线形的比较

平方抛物线形断面的水力最优断面的最优宽深比η、过流面积A、湿周P和形状系数a为(Han，2016):

η＝B/h＝2.0555；A＝1.3703h²；P＝2.998h；a＝0.9467h^-1(37)

将式(37)代入式(10)，可以得到平方抛物线形断面流量的显式计算公式为

求解上式，可以得到平方抛物线形断面正常水深h关于Q的表达式为

比较式(38)和式(28)，结果表明，相同水深情况下，2.5次方抛物线形最优水力断面的流量大于平方抛物线形最优断面的流量；比较式(39)与式(29)也可以得到，相同流量情况下，2.5次方抛物线形最优水力断面的水深小于平方抛物线形最优断面的水深。

将式(39)的水深h代入式(37)，可以得到平方抛物线形断面的B，A和P的显式计算公式：

或

或

或

用同样的方法，可以得到半立方抛物线形的特性参数，如表2所示。

表2：

3.2建设成本比较

渠道的主要建设成本包括土方、衬砌和征地费用。忽略超高的影响后，通用的单位渠长上建造成本可表示为

C＝W_eA+W_lP+W_aB (43)

其中，C为单位渠长上建造成本(元)；W_e为单位渠长上，沿横断面上单位面积挖土方成本(元/m²)；W_l为单位渠长上，沿横断面单位长度衬砌成本(元/m)；W_a为单位渠长上，单位渠宽的征地费(元/m)。

(1)对2.5次方抛物线形断面，如果不考虑安全超高的影响，将式(31)、(32)、(33)代入式(43)，可以得到2.5次方抛物线形断面单位长度渠道造价为

C_2.5＝1.59224∈^3/4W_e+2.15757∈^3/8W_a+3.19903∈^3/8W_l (44)

式中，C_2.5为2.5次方抛物线形最优断面单位渠长建造成本(元)，

(2)同样，将式(40)、(41)、(42)代入式(43)，可以得到单位渠长平方抛物线形最优断面的建造成本：

C₂＝1.60037∈^3/4W_e+2.22134∈^3/8W_a+3.24005W_l∈^3/8 (45)

式中，C₂为平方抛物线形断面单位渠长建造成本(元)。

(3)根据表2和式(43)，也可以得到半立方抛物线形断面建造成本(单位渠长)：

C_1.5＝1.62126∈^3/4W_e+2.33548∈^3/8W_a+3.34682W_l∈^3/8 (46)

式中，C_1.5为平方抛物线形断面单位渠长建造成本(元)。

比较式(44)、(45)、(46)，可以得到下述不等：

C_2.5＜C₂，C_2.5＜C_1.5(47)

因此，2.5次方抛物线形最优断面的造价是最低的。

实际上，考虑安全超高f后，也可以证明2.5次方抛物线形断面的建造成本低于其它三种断面。三种不同形状断面的单位渠长建设成本分别表示为(考虑安全超高f)：

C_2.5＝W_eA_2.5 ^*+W_lP_2.5 ^*+W_aB_2.5 ^* (48)

C₂＝W_eA₂ ^*+W_lP₂ ^*+W_aB₂ ^* (49)

C_1.5＝W_eA_1.5 ^*+W_lP_1.5 ^*+W_aB_1.5 ^* (50)

其中，A_2.5 ^*、A₂ ^*、A_1.5 ^*为考虑安全超高f后，2.5次方、平方、半立方抛物线形断面横断面面积(挖土方面积)；P_2.5 ^*、P₂ ^*、P_1.5 ^*为三种形状横断面上的衬砌长度；B_2.5 ^*、B₂ ^*、B_1.5 ^*为三种断面的渠顶宽度。

设

对平方抛物线形断面，将Q、i、n代入式(29)，得到最优形状系数

然后将h+f代入式(3)、(4)、(18)得到考虑安全超高后的渠道宽度、断面面积和衬砌长度。

式中，f为安全超高(m)。

用同样的方法，可以得到平方抛物线形断面的渠道宽度、断面面积和衬砌长度(考虑安全超高)：

设∈、f为不同的值(∈从10到500，步长0.01，f从0(m)到2(m))，经过计算机计算(P_2.5 ^*用数值计算方法计算)，下述不等式始终成立：

结合式(57)和式(48)，可以得到下列不等式始终成立：

C_2.5＜C₂ (58)

式(58)说明，2.5次方抛物线形水力最优断面的造价小于平方抛物线形断面。

用同样的方法，可以得到2.5次方抛物线形断面的造价小于半立方抛物线形断面，C_2.5＜C_1.5。在此不再赘述。

以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠的渠道断面形状为二分之五次方抛物线形，开口向上，二分之五次方抛物线形渠道断面的曲线表达式为

a为形状系数,x为横坐标,y为纵坐标,形状系数

h为水深，B为水面宽度，该渠道过水断面的面积为：

该渠道的湿周为：

2.根据权利要求1所述的一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形渠道断面包括左边坡、右边坡、左堤顶和右堤顶，所述的左边坡和右边坡对称布置并在左边坡和右边坡的最低点处平滑连接，且左边坡和右边坡在最低点处的法线重合，所述左边坡的上端与左堤顶连接，所述右边坡的上端与右堤顶连接。

3.根据权利要求1所述的一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的流量为：

其中，Q为流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周。

4.根据权利要求1所述的一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的水力最优断面的数学模型为：

目标函数：

使目标函数最小化的约束条件：

其中，h为水深，B为水面宽度，Q为流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周。

5.根据权利要求1至4任意一项所述的一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的湿周计算公式为：

，其中，a为形状系数，B为水面宽度。

6.根据权利要求1至4任意一项所述的一种二分之五次方抛物线形明渠，其特征是，所述二分之五次方抛物线形明渠渠道的湿周计算公式为：

其中，a为形状系数，B为水面宽度。

7.一种二分之五次方抛物线形明渠的水力最优断面，其特征是，所述水力最优断面的数学模型为：

目标函数：

使目标函数最小化的约束条件：

所述水力最优断面的最优宽深比为:

形状系数为：

正常水深为：

临界水深为：

过流面积为：A＝1.4916h²，湿周为：P＝3.09633h，其中，h为水深，B为水面宽度，Q为输水流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周，β为能量修正系数，g为重力加速度。

8.根据权利要求7所述的一种二分之五次方抛物线形明渠的水力最优断面，其特征是，所述水力最优断面的求解过程为：

(1)、将输水渠道水力断面形状设计为二分之五次方抛物线形断面，二分之五次方抛物线形渠道断面表示为：

式中，a为二分之五次方抛物线形断面形状系数,x为横坐标,y为纵坐标；

由式(1)可知，当x＝B/2时，存在y＝h，形状系数a用水深h和水面宽度B表示为：

由式(2)可知,水面宽度B用水深h和形状系数a表示为：

二分之五次方抛物线形明渠的过流面积为：

二分之五次方抛物线形明渠断面的湿周为：

式中，a为二分之五次方抛物线形断面形状系数,h为水深，x为横坐标,y为纵坐标，A为过流面积，B为水面宽度，P为湿周；

根据谢才公式将渠道输水流量表示为：

式中，Q为输水流量；A为过流断面积；i为渠底纵坡；R为水力半径；C为谢才系数；

根据曼宁公式

将式(9)表示为：

式中，n为糙率；P为湿周；

(2)、建立二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的求解模型：

二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的目标函数是在过流能力Q一定的情况下，使过流面积A最小：

最小化：A＝A(h,B) (11)

约束条件是输水流量Q为给定值：

其中，h为水深，B为水面宽度，Q为输水流量，A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，P为湿周；

(3)、利用拉格朗日乘子法得到求解二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的微分方程：

利用拉格朗日乘子法将式(11)和式(12)表示为：

式中λ为拉格朗日乘子；

将式(14)代入式(13)中消去λ，得到求解水力最优断面的微分方程为：

由式(4)得到A对h和B的偏导数：

将式(5)用高斯超几何函数表示为：

其中，S_g＝Hypergeom([a,b],c,z)，为高斯超几何函数，a,b,c,z为高斯超几何函数的参数；

将式(2)中

代入式(18)，得到湿周P关于h和B的表达式：

由式(19)，可以求得P对B和h的偏导数分别为：

将式(16)、(17)、(20)和(21)代入式(15)后得到：

(4)、求解二分之五次方抛物线形明渠水力最优断面的宽深比、形状系数、过流面积和湿周：

设无量纲参数η＝B/h，并将其代入式(22)得到下面的方程：

式(23)只有一个变量η，用数值方法求解式(23)得到唯一的可行解：

即二分之五次方抛物线形断面的最优宽深比是一个常数；

将η代入(2)式得到最优形状系数a：

或

将B/h＝2.0083和(25)式代入(4)得到水力最优断面的过流面积：

A＝1.4916h² (26)

将B/h＝2.0083和(25)式代入(18)式得到水力最优断面的湿周：

P＝3.09633h (27)

其中，h为水深。

9.根据权利要求8所述的一种二分之五次方抛物线形明渠的水力最优断面，其特征是，式(5)中的湿周P为积分形式，将式(5)用高斯勒让德三点格式表示为：

利用式(2)，湿周P采用B和h表示：

将式(5)用高斯勒让德四点格式表示为：

其中，a为二分之五次方抛物线形明渠形状系数，h为水深，B为水面宽度，P为湿周。

10.根据权利要求8所述的一种二分之五次方抛物线形明渠的水力最优断面，其特征是，将(26)、(27)式代入曼宁公式(10)得到过水流量的显式计算公式：

对式(28)进行求解得到依据过水流量直接计算h的显式公式

将式(29)代入式(25)、(24)、(26)、(27)，得到直接通过流量计算最优形状系数a、水面宽度B、过流面积A和湿周P的计算公式：

或

或

或

式(29)是最优断面条件下正常水深的计算公式，

临界水深的通用计算公式为：

将B/h＝2.0083和式(26)代入式(34)得到临界水深h_c的显式表达式：

其中，β为能量修正系数；g为重力加速度。

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