CN110008513B - 一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法 - Google Patents

一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法 Download PDF

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CN110008513B CN201910166579.1A CN201910166579A CN110008513B CN 110008513 B CN110008513 B CN 110008513B CN 201910166579 A CN201910166579 A CN 201910166579A CN 110008513 B CN110008513 B CN 110008513B
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Abstract

本发明公开了一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法，平底悬链线形明渠开口向上，其断面包括一个平底和两条位于平底两侧且与平底平滑连接的悬链线侧边。求解方法包括：将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面；建立平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型；求解平底悬链线形明渠水力最优断面；求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深。本发明既具有悬链线形断面无应力集中点，不易有应力集中导致的裂缝，渗漏少，稳定性好、水力特性优良、抗冻张能力强等特征，也具有平底断面设计、建造灵活，施工难度小、管理和维护容易，底部容易压实等特性，不仅能够提高输水效率，减小输水损失，还能降低建造成本。

Description

一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法
技术领域
本发明涉及一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法，属于灌区输水渠道断面规划设计技术领域。
背景技术
明渠断面设计对输水渠道十分重要，适宜的渠道断面不仅能够增加过流能力，提高输水效率，减小输水损失，还能降低建造成本。学者们对渠道断面进行了大量的研究，提出了很多渠道断面优化理论与新的渠道断面类型，使设计者能够根据不同用途，不同的水力、水文地质条件、含沙量等条件选择合适的断面类型。在我国,农田灌溉仍以传统的地面灌溉为主,其中明渠输水的灌溉面积占总灌溉面积75％以上,我国至今已建灌溉渠道长度约300万km，很多渠道老化严重，需要重建。放眼世界，每年有大批的渠道新建、重建。其中大部分的农田渠道采用预制渠道。因此明渠断面及设计理论对提高输水效率、减小输水损失，提高灌区农业发展，减小建造成本均有十分重要的意义。
根据渠道底部形状，现有技术的明渠断面可以分为两类：一类是平底断面，包括梯形断面、矩形断面。另一类是曲线形断面，包括半圆形、抛物线形、悬链线形等断面。曲线形断面和平底断面均有各自的优缺点。学者们认为曲线形断面的优点包括：(1)曲线形断面没有拐角，没有应力集中点，不易有应力集中导致的裂缝，因此渗漏少；(2)曲线形断面从底部到顶部是逐渐扩大的，因而具有更好的边坡稳定性(特别是非衬砌渠道)；(3)曲线形断面具有更大的过流能力和更好的水力学特性；(4)曲线形断面由于没有应力集中点，因此其防冻胀、耐久性特性普遍优于梯形断面和矩形断面。上述曲线形断面的优点，正是常规平底的矩形断面和梯形断面的缺点，平底断面(如梯形、矩形)具有底部施工工艺简单，底部容易压实，底宽可以变化，建造灵活等优点，但其缺点是水力学特性不如曲线形断面，过流能力小且有明显的应力集中点和拐角，易造成裂缝和渗漏，易遭冻胀破坏，同样情况下，边坡稳定性不如曲线形断面。
现有的悬链线形断面是一种单纯的曲线形断面，是水力学中重要的断面类型，如图1所示，为现有技术的悬链线形断面
Figure BDA0001986530150000011
(a为形状系数；x为横坐标，m；y为纵坐标，m；cosh为双曲余弦函数)。现有的悬链线形断面较梯形、矩形、抛物线形等断面具有更优良的力学特性、水力学特性，过流能力大。但与其它曲线形断面一样，有如下缺点：(1)公知的知识为由于曲线断面底部为曲线，底宽为0，压路机等压实设备无法对基础进行压实，底部不宜压实，曲线型断面底部容易出现沉陷、空洞等情况，容易造成渠道破坏，进而造成渗漏、影响使用寿命；(2)由于受曲线形断面函数的约束，底宽不能调整，因此渠道断面宽度不能灵活调整，一方面增加了设计难度，另一方面使曲线形断面很难适用于大型输水渠道，也不能适用于宽浅型渠道(大、中型渠道一般为宽浅型渠道)，因此设计、建造均不灵活；(3)现有技术的悬链线形断面不能像梯形、矩形等平底断面一样底部和侧边经常采用不同的材料(工程中为了减小建设成本，底部经常采用廉价的材料，减小建造成本)；(4)由于施工机械不能进入渠道施工，增加了施工难度，也增加了施工成本；(5)由于纯曲线形断面底部宽度为0，建成后所有施工机械也不能进入渠道进行维护，维护人员维护时也没有平底空间站立，增加了维护难度。
正常水深是明渠水力学的重要内容，在渠道设计、运行、水面线计算中广泛应用。正常水深与流量、糙率、底坡之间形成了复杂的非线性关系，大多数类型渠道断面没有显式直接求解公式。学者们对正常水深的显式求解方法进行了大量的研究，针对梯形、抛物线形、蛋形、马蹄形等各种断面提出了显式求解方法。迭代法是最常用的方法，其优点是计算简单，可以无限逼近理论解。例如蛋形断面正常水深的迭代公式、梯形断面正常水深迭代算法、抛物线形断面的正常水深迭代算法、曲线形断面正常水深的迭代公式和冰盖下输水断面正常水深的显式迭代算法，但是，目前还没有针平底悬链线形断面正常水深的简易求解方法。
水力最优断面被定义为过流能力一定的情况下，过水断面面积、湿周最小的断面，或者说在过流面积、湿周一定的情况下，过流能力最大的断面。水力最优断面在工程设计中应用非常广泛，是渠道断面设计的基础，研究水力最优断面具有重要的意义。但是现有的技术主要是针对梯形断面、悬链线形断面、抛物线形断面。研究表明梯形断面的宽深比为
Figure BDA0001986530150000021
(式中，z为边坡系数)，悬链线形断面水面宽度与形状系数之比
Figure BDA0001986530150000022
但是，目前还没有任何平底悬链线形渠道最优断面的研究。
发明内容
针对以上现有技术存在的不足，本发明提出了一种新型平底悬链线形明渠及其水力最优断面的求解方法，新型平底悬链线形明渠不仅能够提高输水效率，减小输水损失，还能降低建造成本。
本发明解决其技术问题采取的技术方案是：
一方面，本发明实施例提供的一种新型平底悬链线形明渠，所述平底悬链线形明渠开口向上，其断面包括一个平底和两条位于平底两侧的悬链线侧边，所述平底与两侧的悬链线侧边平滑连接；所述平底悬链线形明渠的断面曲线的表达式为：
Figure BDA0001986530150000031
式中，
a为形状系数；
x为横坐标，单位m；
y为纵坐标，单位m；
cosh为双曲余弦函数；
b为平底宽，单位m。
作为本实施例一种可能的实现方式，所述两条位于平底两侧的悬链线侧边对称布置且与平底两端平滑连接，没有拐点。
作为本实施例一种可能的实现方式，所述平底悬链线形渠道的流量为：
Figure BDA0001986530150000032
其中，Q为流量，m3/s；a为形状系数；b为平底宽，h为水深；n为糙率；i为渠底纵向比降。
作为本实施例一种可能的实现方式，所述平底悬链线形明渠渠道的正常水深的计算公式为：
Figure BDA0001986530150000033
式中
Figure BDA0001986530150000034
hk为正常水深第k次迭代结果，m。
作为本实施例一种可能的实现方式，所述平底悬链线形明渠渠道的断面面积和湿周计算公式为：
Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β)
其中，
Figure BDA0001986530150000041
作为本实施例一种可能的实现方式，所述平底悬链线形明渠渠道的水力最优断面的数学模型为：
目标函数：
Min Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
使目标函数最小化的约束条件：
Figure BDA0001986530150000042
其中，Φ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关，
Figure BDA0001986530150000043
A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，Phc为湿周。
另一方面，本发明实施例提供的一种新型平底悬链线形明渠的水力最优断面求解方法，包括：
将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面；
建立平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型；
求解平底悬链线形明渠水力最优断面。
作为本实施例一种可能的实现方式，所述方法具体包括：
(1)、将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面，平底悬链线形断面表示为：
Figure BDA0001986530150000044
式中，x为横坐标，m；y为纵坐标，m；a为形状系数；h为水深，m；b为平底宽，m；
由式(1)可以得到h、B和b之间的关系为
Figure BDA0001986530150000045
式中B为悬链线形部分的水面宽度，m；h为水深，m；
平底悬链线形水渠断面的水面总宽度Bhc为底宽b和悬链线形部分的水面宽度B之和，表示为
Figure BDA0001986530150000051
式中Bhc为平底悬链线形断面的水面总宽度，m；
平底悬链线形水渠断面面积为：
Figure BDA0001986530150000052
式中Ahc为水深h对应平底悬链线形断面面积，m2；
将式(2)中的h代入式(4)，则断面面积Ahc为
Figure BDA0001986530150000053
湿周为平底和两个侧边长度之和，用积分法可得到
Figure BDA0001986530150000054
式中Phc为湿周，m；
将式(2)中的B代入式(6)，湿周Phc表示为
Figure BDA0001986530150000055
平底悬链线形渠道的流量采用曼宁公式表示
Figure BDA0001986530150000056
式中Q为流量，m3/s；Ahc为断面面积；n为糙率；i为渠底纵向比降；
将式(2)、(5)、(7)代入式(8)，简化后得到流量和正常水深之间的关系为
Figure BDA0001986530150000057
(2)、通用平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型：
设两个参数：
Figure BDA0001986530150000058
则式(5)和式(7)中，Ahc和Phc用参数η、β和a表示为
Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (10)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β) (11)
水力最优断面的目标函数是在流量一定的情况下，使过流断面的面积最小，目标函数：
Min Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (12)约束条件：
Figure BDA0001986530150000061
式中Φ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关；
利用最优化方法中的拉格朗日乘子法，式(12)和(13)可表示为
Figure BDA0001986530150000062
Figure BDA0001986530150000063
Figure BDA0001986530150000064
式中λ为拉格朗日乘子，Φ为约束函数；
由式(14)和(15)，消掉λ可得到
Figure BDA0001986530150000065
由式(14)和(16)，消掉λ得到
Figure BDA0001986530150000066
由式(13)，对Φ求关于η、β和a的导数，并代入式(17)、(18)得到以下用于求解平底曲线形明渠水力最优断面的算法(可适用于所有平底曲线形断面)：
Figure BDA0001986530150000067
Figure BDA0001986530150000068
(3)平底悬链线形明渠水力最优断面的求解
根据式(10)，求Ahc关于η、β和a的导数分别为
Figure BDA0001986530150000071
同样，根据式(11)，求Phc关于η、β和a的导数分别为
Figure BDA0001986530150000072
将式(21)代入式(19)，式(22)代入式(20)，简化后得到平底悬链线形明渠水力最优断面的求解算法为
Figure BDA0001986530150000073
联接方程组(23)，平底悬链线形渠道水力最优断面两个最重要的参数为
Figure BDA0001986530150000074
Figure BDA0001986530150000075
由式(24)和(25)可以得到水面总宽与形状系数比为
Figure BDA0001986530150000076
根据式(2)和(24)，可以得到水力最优断面形状系数a和水深h之间的关系为
a＝0.47395h (27)
由式(25)和(27)可以得到水力最优断面的宽深比ψ为
Figure BDA0001986530150000077
由式(24)～(27)，可以得到B与b的比率和Bhc与b的比率分别为
Figure BDA0001986530150000081
Figure BDA0001986530150000082
作为本实施例一种可能的实现方式，所述方法还包括：
求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深。
作为本实施例一种可能的实现方式，求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深的具体过程为：
将式(24)～(28)代入式(5)、式(6)，可以得到计算Ahc和Phc的直接求解公式
Ahc＝1.5983h2 (31)
Phc＝3.1965h (32)
将Ahc和Phc代入式(8)，可以得到流量Q的直接计算公式为
Figure BDA0001986530150000083
求解式(33)，可以得到水深h的直接表达式为
Figure BDA0001986530150000084
利用式(27)～(34)，可以得到已知流量Q求a、Ahc、Phc和Bhc的表达式为
Figure BDA0001986530150000085
Figure BDA0001986530150000086
Figure BDA0001986530150000087
Figure BDA0001986530150000088
临界水深的通用计算公式为
Figure BDA0001986530150000089
将式(30)和(31)代入式(39)，解方程可以得到临界水深hc的显式求解公式为
Figure BDA0001986530150000091
本发明实施例的技术方案可以具有的有益效果如下：
1.本发明的具有平底和悬链线形侧边的明渠断面,这种断面平底和侧边平滑连接，既具有象梯形断面一样有平底断面施工、维护方便，建造灵活的优点，也具有悬链线形断面过流能力大、没有应力集中拐角，不易出现由于应力集中造成的裂缝等优点。克服了已有的梯形和矩形断面具有的缺点，解决了现有技术不足：(1)平底悬链线形断面平底和侧边平滑连接，没有拐角，没有应力集中点，不易有应力集中导致的裂缝、破坏，因此渗漏少，使用寿命长；(2)平底悬链线形断面从底部到顶部是逐渐扩大的，且底部坡度小，因而具有更好的边坡稳定性(特别是非衬砌渠道)；(3)平底悬链线形断面具有更大的过流能力和更好的水力学特性，抗淤能力强，能为农业工业提供更多的水量；(4)平底悬链线形断面由于没有应力集中点，因此其防冻胀、耐久性特性优于梯形断面和矩形断面。(5)在过流能力一定的情况向下，平底悬链线形渠道水力最优断面具有更小的断面、湿周和水面宽度。由于渠道断面减小能够减小挖土的土方量，水面宽度减小能够使渠道变窄，从而减小建造成本，湿周减小能够减小衬砌长度从而减小衬砌费用。放眼世界，每年有大批的渠道新建、重建，如果采用本发明提出的断面，能够显著增加的输水能力，减小建造成本，具有巨大的经济效益和社会效益。
2.本发明结合梯形断面和悬链线形断面各自的优点，提供了新的具有平底和悬链线形侧边的复合断面，它既具有悬链线形断面水力学特性优良的特征，也具有平底断面建造灵活的特性(如宽度可以随意变化，底部和侧边采用不同材料)，使设计者可以根据水文地质条件、水力学条件、资金、渠道制作方法(现浇、预制)等具体情况，具有更多的选择。解决了现有技术存在的：传统的悬链线形断面没有平底，只有两个悬链线侧边，缺少平底部分会使建造困难(施工汽车、铲车、挖掘机等机械无法进入渠道)，施工费用增加，维护难度增加的问题。还解决了现有技术的悬链线形断面为曲面，底部不易压实，受曲线约束渠道的宽度不能灵活变化，底部和侧边不能用不同的材料(为减少成本梯形、矩形断面经常底部和侧边采用不同材料)等问题。
3.与现有技术的梯形断面与矩形断面相比，在过水断面面积或湿周相同的条件下，本发明提出的平地悬链线形渠道最优断面的过流能力大于所有可能边坡条件下的梯形断面(包括矩形断面)；在流量相同的条件下，平地悬链线形断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于梯形断面。例如，相对于边坡系数z＝2.0时的梯形水力最优断面，过水流量相同的情况下，平底悬链线性断面的水面宽度、过流面积、湿周分别减小了44.4％、10.33％和23.8％，具有显著的经济效益。
4、与现有技术中的平底抛物线形断面和平底半立方抛物线形断面相比，可以看出，在过水断面面积或湿周相同的条件下，本发明的平地悬链线形渠道的最优断面的过流能力大于平底抛物线形断面和平底半立方抛物线形断面；在流量相同的条件下，平地悬链线形渠道最优断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于平底抛物线形断面和平底半立方抛物线形断面。
6.在机械化衬砌和预制渠道越来越广泛应用的背景下，建造的土渠越来越少，与现有技术相比，湿周的减小可以减小衬砌费用，水面宽度的减小可以减小征地费费，过水断面的减小可以减小土方费用。更重要的是，本发明提出的悬链线形断面水渠，平底和侧边平滑连接，无应力集中点，可以减小由于应力集中造成的裂缝。
7.与现有技术的悬链线形断面相比，本发明增加平底后水力最优断面水力特性并没有降低。在过水断面面积或湿周相同的条件下，平底悬链线形渠道最优断面的过流能力大于现有技术悬链线形断面；在流量相同的条件下，平底悬链线形渠道最优断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于现有技术悬链线形断面。与现有技术的悬链线形断面相比，本发明的新断面的底部和侧边能够用不同的材料，从而降低制造成本，而现有技术的悬链线形断面不能。
8.本发明提出的正常水深的简易迭代算法相比于传统的牛顿迭代法，算式更加简单，用手工就能完成。
9.本发明提出的平底悬链线形明渠水力最优断面
Figure BDA0001986530150000101
是平底b和悬链线形侧边的所有组合中，过流能力最大(过流面积一定时)，过水断面面积、湿周、水面宽度最小(过水流量一定的情况下)。
10.本发明提出了求解平底曲线形明渠水力最优断面的算法(可适用于所有平底曲线形断面)，只要求解上述方程组就可以得到平底与任意一种曲线形断面组合成的断面的最优断面，比传统的通过建立最优化模型，然后采用数值方法求解更简单。只要求解由两个方程组成的方程组就可以得到最优断面。
附图说明：
图1为现有技术的悬链线形断面结构示意图；
图2是根据一示例性实施例示出的一种新型平底悬链线形明渠的断面结构示意图；
图3是根据一示例性实施例示出的一种新型平底悬链线形明渠水力最优断面的求解方法流程图；
图4是本发明算例(例2)的不同初值时的迭代过程示意图，图4(a)-图4(f)分别为初值＝0.001m、0.01m、0.1m、1m、10m、100m是的迭代过程示意图)；
图5是本发明算例(例3)中η、β和过流断面面积Ahc之间关系示意图。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明做进一步说明：
为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。
图2是根据一示例性实施例示出的一种新型平底悬链线形明渠的断面结构示意图；如图2所述，本发明实施例提供的一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述平底悬链线形明渠开口向上，其断面包括一个平底和两条位于平底两侧的悬链线侧边，所述平底与两侧的悬链线侧边平滑连接；所述平底悬链线形明渠的断面曲线的表达式为：
Figure BDA0001986530150000111
式中，a为形状系数；x为横坐标，单位m；y为纵坐标，单位m；cosh为双曲余弦函数；b为平底宽，单位m。
所述两条位于平底两侧的悬链线侧边对称布置且与平底两端平滑连接，没有拐点。
所述平底悬链线形渠道的流量为：
Figure BDA0001986530150000112
其中，Q为流量，m3/s；a为形状系数；b为平底宽，h为水深；n为糙率；i为渠底纵向比降。
所述平底悬链线形明渠渠道的正常水深的计算公式为：
Figure BDA0001986530150000113
式中
Figure BDA0001986530150000114
hk为正常水深第k次迭代结果，m。
所述平底悬链线形明渠渠道的断面面积和湿周计算公式为：
Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β)
其中，
Figure BDA0001986530150000121
所述平底悬链线形明渠渠道的水力最优断面的数学模型为：
目标函数：
Min Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
使目标函数最小化的约束条件：
Figure BDA0001986530150000122
其中，Φ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关，
Figure BDA0001986530150000123
A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，Phc为湿周。
本实施例既具有悬链线形断面无应力集中点，不易有应力集中导致的裂缝，渗漏少，稳定性好、水力特性优良、抗冻张能力强等特征，也具有平底断面设计、建造灵活，施工难度小、管理和维护容易，底部容易压实等特性，不仅能够提高输水效率，减小输水损失，还能降低建造成本。
进一步，本发明还提出了平底悬链线形明渠正常水深的迭代算法和水力最优断面。图3是根据一示例性实施例示出的一种新型平底悬链线形明渠水力最优断面的求解方法流程图。如图3所示，本发明实施例提供的一种新型平底悬链线形明渠的水力最优断面求解方法，包括：
将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面；
建立平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型；
求解平底悬链线形明渠水力最优断面；
求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深。
本发明所述求解方法采用的技术原理如下：
1.平底悬链线形渠道水力断面特性和正常水深
1.1水力断面特性
传统的悬链线形断面是曲线形断面(如图1所示)，形状可表示为：
Figure BDA0001986530150000131
式中a为形状系数；x为横坐标，m；y为纵坐标，m；cosh为双曲余弦函数。
平底悬链线形断面由一个平底和两条悬链线侧边组成，平底与侧边平滑连接，没有拐点，因而也没有应力集中点。如图2所示，方程可表示为
Figure BDA0001986530150000132
式中b为平底宽，m。
图1、图2中，B为水面宽度；h为水深，m；z为水面处的边坡系数。从图1和图2可以看出，增加平底后，断面的设计和建造更加灵活了，对宽浅型的大型渠道，底宽可以宽一些，对小型渠道，底宽可以小一些，因而实用性更强。由式(2)可以得到h、B和b之间，z、B和a之间的关系为
Figure BDA0001986530150000133
式中B为悬链线形部分的水面宽度(如图2)，m；h为水深，m；z为水面处的边坡系数。
平底悬链线形断面的水面总宽度Bhc为底宽b和悬链线形部分的水面宽度B之和，表示为
Figure BDA0001986530150000134
式中Bhc为平底悬链线形断面的水面总宽度，m。
平底悬链线形断面面积由悬链线侧边、水面组成的面积I和矩形面积II组成(见图2)，可用积分法得到
Figure BDA0001986530150000135
式中Ahc为水深h对应平底悬链线形断面面积，m2。
将式(3)中的h代入式(5)，断面面积Ahc也可用b、a、B表示为
Figure BDA0001986530150000136
湿周为平底和两个侧边长度之和，用积分法可得到
Figure BDA0001986530150000141
式中Phc为湿周，m。
将式(3)中的B代入式(7)，湿周Phc可直接用a、h、b表示为
Figure BDA0001986530150000142
1.2平底悬链线形渠道正常水深计算
正常水深是明渠水力学的重要内容，在渠道设计、运行、水面线计算中广泛应用。正常水深与流量、糙率、底坡之间形成了复杂的非线性关系，大多数类型渠道断面没有显式直接求解公式。学者们对正常水深的显式求解方法进行了大量的研究，针对梯形、抛物线形、蛋形、马蹄形等各种断面提出了显式求解方法。迭代法是最常用的方法，其优点是计算简单，可以无限逼近理论解。
正常水深的求解一般根据明渠均匀流计算中最常用的曼宁公式表示如下：
Figure BDA0001986530150000143
式中Q为流量，m3/s；n为糙率；i为渠底纵向比降。
将式(3)、式(6)和式(8)代入式(9)，简化后可以得到流量和正常水深之间的关系为
Figure BDA0001986530150000144
可以看出，式(10)是一个高度非线性方程，不能显式求解正常水深，不方便工程应用，研究显式算法是必要的。
(1)牛顿显式迭代显式算法推导。根据牛顿迭代法原理，正常水深的牛顿迭代公式为
Figure BDA0001986530150000145
式中hk为正常水深第k次迭代结果，m；hk+1为正常水深第k+1次迭代结果，m。
根据式(10)、式(11)，可以得到牛顿迭代显式算法为
Figure BDA0001986530150000151
式中,
Figure BDA0001986530150000152
Figure BDA0001986530150000153
Figure BDA0001986530150000154
式中，
Figure BDA0001986530150000155
从式(62)可以看出，推导出的牛顿迭代算式虽然可以用来手工计算，但表达式还是比较复杂。
(2)简单显式迭代算法。根据式(10)，本发明提出简单的显式迭代算法如下：
Figure BDA0001986530150000156
式中
Figure BDA0001986530150000157
下面证明本迭代算法是收敛的。
根据迭代原理，式(12)收敛的条件是
|f′(h)|＜1 (13)
式中
Figure BDA0001986530150000158
求f(h)关于h的导数f′(h)，然后将式(10)中Q代入f′(h)，结果简化f′(h)可表示为
Figure BDA0001986530150000161
式中
Figure BDA0001986530150000162
本发明设b、h、a的正常范围：b＝0.001～50，h＝0.001～50，a＝0.001～50，步长均为0.001。通过计算机逐个检验可以得到|f′(h)|＜1，意味着式(12)在实际工程应用中可视为收敛的。由于式(10)中正常水深h与Q、i、n、a、b都有关，拟合成直接求解公式难度很大，精度较差，不能无限接近理论值。本发明提出的迭代算法迭代次数少，能无限接近理论值，可以满足工程需要。
2.平底悬链线形断面的水力最优断面推导
2.1底悬链线形断面的水力最优断模型
水力最优断面在工程设计中应用非常广泛，是渠道断面设计的基础。研究水力最优断面具有重要的意义。国内外学者针对水力最优断面进行了广泛深入的研究。
为了求解水力最优断面，设两个参数：
Figure BDA0001986530150000163
则式(6)和式(7)中，Ahc和Phc用参数η、β和a表示为
Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (16)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β) (17)
根据水力学，水力最优断面为流量一定的情况下，过流断面的面积最小的断面为水力最优断面，可表示为
目标函数：
Min Ahc＝a(ηa cosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (18)
约束条件：
Figure BDA0001986530150000164
式中ξ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关。
2.2水力最优断面的推导
根据最优化方法中的拉格朗日乘子法，式(18)和(19)可表示为
Figure BDA0001986530150000171
Figure BDA0001986530150000172
Figure BDA0001986530150000173
式中λ为拉格朗日乘子，ξ为约束函数。由式(20)和(21)，消掉λ可得到
Figure BDA0001986530150000174
同样，由式(20)和(22)，消掉λ得到
Figure BDA0001986530150000175
根据式(19)，对ξ求关于η、β和a的导数，并代入式(23)、(24)得到以下2式
Figure BDA0001986530150000176
Figure BDA0001986530150000177
以上2式是求解平底悬链线形渠道水力最优断面的微分方程。下面根据式(25)、(26)求解平底悬链线形渠道水力最优断面的具体参数。
根据式(16)，求Ahc关于η、β和a的导数分别为
Figure BDA0001986530150000178
同样，根据式(17)，求Phc关于η、β和a的导数分别为
Figure BDA0001986530150000179
将式(27)代入式(25)，式(28)代入式(26)，简化后得到
Figure BDA0001986530150000181
联接方程组(29)，可以得到η＝±3.60167，β＝±0.85487。由于工程中a、B、b均为大于零的值，因此平底悬链线形渠道水力最优断面两个最重要的参数为
Figure BDA0001986530150000182
Figure BDA0001986530150000183
根据式(30)和(31)可以得到水面宽与形状系数比为
Figure BDA0001986530150000184
根据式(3)和(30)，可以得到水力最优断面形状系数a和水深h之间的关系为
a＝0.47395h (33)
由式(31)和(33)可以得到水力最优断面的宽深比ψ为
Figure BDA0001986530150000185
根据式(30)～(33)，可以得到B与b的比率和Bhc与b的比率分别为
Figure BDA0001986530150000186
Figure BDA0001986530150000187
2.3水力最优断面的水力学计算公式及应用
(1)已知水深h求流量Q
将式(30)～(34)代入式(6)、式(7)，可以得到计算Ahc和Phc的直接求解公式
Ahc＝1.5983h2 (37)
Phc＝3.1965h (38)
将Ahc和Phc代入式(9)，可以得到流量Q的直接计算公式为
Figure BDA0001986530150000191
(2)已知流量Q求水深h
求解式(39)，可以得到水深h的直接表达式为
Figure BDA0001986530150000192
利用式(33)～(40)，可以得到已知流量Q求a、Ahc、Phc和Bhc的表达式为
Figure BDA0001986530150000193
Figure BDA0001986530150000194
Figure BDA0001986530150000195
Figure BDA0001986530150000196
(3)正常水深和临界水深
显然水力最优断面条件下正常水深就是式，是一个显式公式。临界水深是水力学的另一个重要参数，在水面线，水跃等水力学计算中广泛应用。临界水深的通用计算公式为
Figure BDA0001986530150000197
式中α为动能修正系数；g为重力加速度，m/s2。将式(36)和(37)代入式(45)，解方程可以得到临界水深hc的显式求解公式为
Figure BDA0001986530150000198
3.与其他平底明渠断面比较
梯形断面、矩形断面是应用最广泛的断面类型。另外，平底抛物线形断面由于其兼有平底和抛物线形断面的优点，水力最优断面的过流能力较同样条件下的梯形断面大，得到大量的学者认可和关注。本发明提出的平底悬链线形断面过流能力是否能达到平底抛物线形断面或接近呢？
3.1与平底抛物线形与平底半立方抛物线形断面比较
平底悬链线相比与平底半立方抛物线形、平底抛物线形断面均为平底与曲线形侧边的复合断面，三者设计、建造难度相当。
1)与平底抛物线形断面比较
平底抛物线形断面由平底和抛物线形侧边组成是一种水力学特性非常优秀的断面，其形状定义为
Figure BDA0001986530150000201
式中a为形状系数；b为平底宽，m。水面宽度、过水断面面积、湿周分别表示为
Bhp＝B+b (49)
Figure BDA0001986530150000202
Figure BDA0001986530150000203
式中Bhp为平底抛物线形断面的水面宽度，m；Ahp为过水断面面积，m2；Php为湿周，m。
Han采用拉格朗日乘子法得到了平底抛物线形渠道最优断面的最优宽深比、形状系数等参数如下(其他参数见表2)
Figure BDA0001986530150000204
a＝1.480h-1 (53)
Figure BDA0001986530150000205
与平底抛物线形断面的对比可以看出，在过水断面面积或湿周相同的条件下，平地悬链线形断面的过流能力大于平底抛物线形断面。在流量相同的条件下，平地悬链线形断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于平底抛物线形断面，意味着其土方成本、衬砌成本、征地费均减小平底抛物线形断面。
2)与平底半立方抛物线形断面比较
平底半立方抛物线形断面是一种具有平底和半立方抛物线侧边的组合断面，Han研究了其水力最优断面及其特性(结果如表2所示)。对比结果表明，在过水断面面积或湿周相同的条件下，本发明提出的平地悬链线形断面的过流能力大于平底半立方抛物线形断面。在流量相同的条件下，平地悬链线形断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于平底半立方抛物线形断面，是一种更经济的断面。
3.2与梯形断面与平底半立方抛物线形断面的比较
梯形断面是一种应用广泛的平底断面。在给定边坡系数z的情况下，宽深比为
Figure BDA0001986530150000211
当z＝2.0时，可以得到最优断面参数如表1所示。为了得到所有可能边坡条件下过流面积最小的断面(流量一定)，将水深h、底宽b和边坡系数z作为变量，用拉格朗日乘子法可以得到
Figure BDA0001986530150000212
时过流能力最大。假设
Figure BDA0001986530150000213
梯形断面的水力最优断面特性列表1所示。对比结果表明，在过水断面面积或湿周相同的条件下，本发明提出的平地悬链线形断面的过流能力大于所有可能边坡条件下的梯形断面。在流量相同的条件下，平地悬链线形断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于梯形断面。显然对于常规地质条件(z>0.577)，平底悬链线性渠道的水力最优断面的过流能力的改善更为明显。由表1可以得到，相对于z＝2.0时的梯形断面，平底悬链线性断面的水面宽度、过流面积、湿周分别减小了44.4％、10.33％和23.8％。相对于梯形断面边坡系数为
Figure BDA0001986530150000214
的极限情况，平底悬链线形断面的湿周、水面宽度和过水断面面积分别减小了5％、6％和2％。
在机械化衬砌和预制渠道越来越广泛应用的背景下，建造的土渠越来越少，曲线形渠道与梯形渠道的建造难度差别越来越小。湿周的减小可以减小衬砌费用，水面宽度的减小可以减小征地费，过水断面的减小可以减小土方费用。更重要的是，本发明提出的断面，平底和侧边平滑连接，无应力集中点，可以减小由于应力集中造成的裂缝，是一种非常实用的断面。
表1与现有的平底渠道、传统悬链线形渠道水力最优断面水力特性比较
Figure BDA0001986530150000215
Figure BDA0001986530150000221
注：
Figure BDA0001986530150000222
z为梯形断面边坡系数；a为形状系数。
3.3与传统悬链线形断面比较
传统悬链线形断面具有良好的水力学特性。虽然本发明作者认为平底悬链线形断面相对于传统悬链线形断面，其最大的优点是灵活性。但增加平底后，其水力最优断面水力学特性是否降低了呢？这是一个比较担心的问题。
由图2可以看出，传统的悬链线形断面是平底悬链线形断面的一种特殊形式。设b＝0，式(2)就变成了传统的悬链线形断面。同时将b＝0代入式平底悬链线形断面的断面面积与湿周计算公式(6)和式(7)，可以得到传统悬链线形断面的面积和湿周计算公式为
Figure BDA0001986530150000223
Figure BDA0001986530150000224
式中，A为过水断面面积，m2；P为湿周，m。设参数
Figure BDA0001986530150000225
与求解平底悬链线形最优断面的方法一样，利用拉格朗日乘子法，可以得到传统悬链线形渠道最优断面求解公微分方程为
Figure BDA0001986530150000226
根据式(55)、(56)求解A和P关于ηc和a的导数，代入式(57)，可以得到水力最优断面为
Figure BDA0001986530150000227
a＝0.6281h (59)
Figure BDA0001986530150000228
与求解平底悬链线形最优断面的方法相似(式(37)～(44))，可以得到悬链线形最优断面的过水断面面积、湿周、水面宽度的显式计算公式(如表2所示)。对比结果显示，增加平底后水力最优断面水力特性并没有降低。在过水断面面积或湿周相同的条件下，平底悬链线形断面的过流能力大于传统悬链线形断面；在流量相同的条件下，平底悬链线形断面的过流断面面积、湿周、水面宽度均小于传统悬链线形断面。意味着土方成本、衬砌成本、征地费均减小了。从图1、图2对比可以看出，加平底后，建造更加灵活了(渠道宽度可以随底宽灵活调节)。另外，平底悬链线形断面加平底后，由于施工机械可以进入渠道施工，显然施工难度降低了，测量人员可以站在底部放线，平底的精度更容易控制，底部也容易压实，可以避免一般曲线形断面底部容易空洞的问题，管护时，人可以站在底部操作，机械可以在底部行走，管护也方便了。更重要的是，正如著名的渠道设计专家Das指出的那样，曲线形侧边加侧边后，就可以像梯形断面一样，侧边和底部采用不同的材料，以减小建造成本，或增加防渗效果。因此平底悬链线形是一种非常实用的断面。
算例：
例1：某北方干旱地区缺水地区设计一经济适用的输水渠道。设计流量50m3/s,底坡1/18000,糙率0.014，边坡系数z＝1.5。按照一般渠道设计原则和施工要求，水深不超过3m。如果采用梯形渠道，由于平底与边坡之间有应力集中点，很容易产生裂缝，进而造成渗漏和渠道的破坏，另外抗冻胀破坏的能力也差。因此易采用无应力集中点的渠道断面形式。如果采用传统的悬链线形断面或抛物线形断面，受曲线函数约束，必然是一个窄深式的，水深超过3m，也不合适。因此采用平底悬链线形断面是最合适的。
取水深3.0m。根据式(3)得到η＝1.25029,a＝4.9542h。然后根据(4)、(5)、(7)、(19)式或(4)、(16)、(17)、(19)式，得到b＝6.3m。如果平底采用廉价的材料，将会极大减小成本。
例2：某平底悬链线形明渠，i＝1/11000,Q＝17m3/s,n＝0.014,a＝2.1,b＝2.5m，求正常水深。本发明先分别采用埃特金迭代法、拟牛顿法，编制了计算机程序求解式(10)，得到正常水深hL＝2.679569365m。将其作为理论参考值，然后用本发明提出的迭代法进行求解。
设不同的初始值(h0＝0.01、0.1、1.0、10、100)，用推导出的显式牛顿迭代法(式(62))和简单迭代法(式(12))进行计算，迭代过程如图4所示。结果表明，当正常水深初值采用0.01、0.1、1.0、10、100m，牛顿迭代算法用了8,、7、6、4、4、6次，而简单迭代法用了3、3、4、4、3、3次使绝对误差小于0.001m。可以看出，简单迭代法不仅算式简单，收敛性过程也更加平稳，速度更快。增加迭代次数后，两种迭代算法都能无限接近理论参考值。正常水深的初值本发明推荐采用平底悬链线形断面的最优水力最优断面(见后面推导出的公式(40))。
表2不同初值时两个迭代算法的迭代过程
Figure BDA0001986530150000241
由于式(10)中正常水深h与Q、i、n、a、b都有关，拟合成直接求解公式难度很大，精度较差，不能无限接近理论值。本发明提出的迭代算法迭代次数少，能无限接近理论值，可以满足工程需要。
例3：某地要建设一条渠道，已知糙率n＝0.014，渠底纵坡i＝1/20000，流量Q＝25.0m3/s。要求按水力最优断面设计平底悬链线形渠道并求水面宽度、过水断面面积和湿周。将已知条件代入式(40)、(33)、(34)，可以得到正常水深h，形状系数a，渠底宽度b分别为h＝4.30883m,a＝2.04216，b＝1.74579m。将已知条件代入式(36)看得到水面宽度Bhc＝9.10098m。将已知条件代入式(42)和(43)得到Ahc＝29.67315m2，Phc＝13.77319m。由式(46)可以得到临界水深hc＝2.01187m。
为了检验结果，将
Figure BDA0001986530150000242
代入曼宁公式(9)得到
Figure BDA0001986530150000243
取不同的η＝0.01～8.0(步长0.001)，β＝0.01～3.0(步长为0.001)代入式(47)用数值方法求得a，然后代入式(16)求得过水断面的面积Ahc。η、β和Ahc之间的关系如图5所示，结果表明当η＝3.60，β＝0.85时Ahc最小，Ahc＝29.6732m2，结果与本发明推导的理论结果(式(30)、(31))一致。
例4：某预制混凝土建造的渠道糙率n＝0.010，底坡i＝1/8000,设计流量Q＝6m3/s，长300Km。按水力最优断面设计一平底渠道断面。
(1)按平底悬链线形断面设计：将已知数据代入式(40)、(41)、(31)，得到h＝1.87295m，a＝0.8877，b＝0.7589m。利用式(42)、(43)、(44)得到过流面积Ahc＝5.6066m2，湿周Phc＝5.9869m，水面宽Bhc＝3.95599m。
(2)用同样的方法，利用表1中的公式，可以得到按梯形断面(采用最常用的边坡系数z＝1.5、z＝2.0、z＝2.5)设计的水力最优断面结果如表3所示。对比结果表明，平底悬链线形断面的过流面积、湿周和水面宽度均是最小的。
表3不同断面类型得到的水力最优断面结果
Figure BDA0001986530150000251
注：z为梯形断面边坡系数；a为形状系数。
本发明结合悬链线形断面和平底断面各自的优点，提出了一种新的平底悬链线形断面，可以丰富现有渠道断面类型。其有平底断面建造灵活的特点，也有悬链线形断面无应力集中拐点、过流能力大的特点。平底悬链线形渠道的水力最优断面参数为：宽深比(b/h)等于0.40517，形状系数与水深比(a/h)等于0.4740，水面宽与水深的比值(Bhc/h)为2.11217，底宽与形状系数的比值(b/a)为0.85487。与现有的平底断面(梯形、平底抛物线形、平底半立方抛物线形断面)比较，在同等条件下(过流面积或湿周相同)，平底悬链线形断面的过流能力最大。相反，在过流量一定的情况下，平底悬链线形断面具有最小的过流面积和湿周，这意味着，平底悬链线形断面的在流量一定的情况下，需要更少的土方量，更小的衬砌量和更少的征地费，因而更经济。与传统的悬链线形渠道比较结果表明，增加平底后，在同等条件下，平底悬链线形渠道水力最优断面的过流能力增加了。
以上所述只是本发明的优选实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也被视作为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述平底悬链线形明渠开口向上，其断面包括一个平底和两条位于平底两侧的悬链线侧边，所述平底与两侧的悬链线侧边平滑连接；所述平底悬链线形明渠的断面曲线的表达式为：
Figure FDA0003816265090000011
式中，
a为形状系数；
x为横坐标，单位m；
y为纵坐标，单位m；
cosh为双曲余弦函数；
b为平底宽，单位m；
所述平底悬链线形明渠渠道的水力最优断面的数学模型为：
目标函数：
Min Ahc＝a(ηacosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
使目标函数最小化的约束条件：
Figure FDA0003816265090000012
其中，Φ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关，
Figure FDA0003816265090000013
A为过流断面积，i为渠底纵坡，n为糙率，Phc为湿周。
2.根据权利要求1所述的一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述两条位于平底两侧的悬链线侧边对称布置且与平底两端平滑连接，没有拐点。
3.根据权利要求1所述的一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述平底悬链线形渠道的流量为：
Figure FDA0003816265090000014
其中，Q为流量，m3/s；a为形状系数；b为平底宽，h为水深；n为糙率；i为渠底纵向比降。
4.根据权利要求1所述的一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述平底悬链线形明渠渠道的正常水深的计算公式为：
Figure FDA0003816265090000021
式中
Figure FDA0003816265090000022
hk为正常水深第k次迭代结果，m。
5.根据权利要求1所述的一种新型平底悬链线形明渠，其特征是，所述平底悬链线形明渠渠道的断面面积和湿周计算公式为：
Ahc＝a(ηacosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β)
其中，
Figure FDA0003816265090000023
6.一种新型平底悬链线形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，包括：
将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面；
建立平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型；
求解平底悬链线形明渠水力最优断面；
所述方法具体包括：
(1)、将输水渠道水力断面形状设计为平底悬链线形断面，平底悬链线形断面表示为：
Figure FDA0003816265090000024
式中，x为横坐标，m；y为纵坐标，m；a为形状系数；h为水深，m；b为平底宽，m；
由式(1)可以得到h、B和b之间的关系为
Figure FDA0003816265090000025
式中B为悬链线形部分的水面宽度，m；h为水深，m；
平底悬链线形水渠断面的水面总宽度Bhc为底宽b和悬链线形部分的水面宽度B之和，表示为
Figure FDA0003816265090000031
式中Bhc为平底悬链线形断面的水面总宽度，m；
平底悬链线形水渠断面面积为：
Figure FDA0003816265090000032
式中Ahc为水深h对应平底悬链线形断面面积，m2；
将式(2)中的h代入式(4)，则断面面积Ahc为
Figure FDA0003816265090000033
湿周为平底和两个侧边长度之和，用积分法可得到
Figure FDA0003816265090000034
式中Phc为湿周，m；
将式(2)中的B代入式(6)，湿周Phc表示为
Figure FDA0003816265090000035
平底悬链线形渠道的流量采用曼宁公式表示
Figure FDA0003816265090000036
式中Q为流量，m3/s；Ahc为断面面积；n为糙率；i为渠底纵向比降；
将式(2)、式(5)和式(7)代入式(8)，简化后得到流量和正常水深之间的关系为
Figure FDA0003816265090000041
(2)、通用平底曲线形明渠水力最优断面的求解模型：
设两个参数：
Figure FDA0003816265090000042
则式(5)和式(7)中，Ahc和Phc用参数η、β和a表示为
Ahc＝a(ηacosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (10)
Phc＝a(2sinh(η/2)+β) (11)
水力最优断面的目标函数是在流量一定的情况下，使过流断面的面积最小，目标函数：
Min Ahc＝a(ηacosh(η/2)+cosh(η/2)βa-2sinh(η/2)a-βa) (12)
约束条件：
Figure FDA0003816265090000043
式中Φ(η,β,a)为约束函数，与η、β、a有关；
利用最优化方法中的拉格朗日乘子法，式(12)和(13)可表示为
Figure FDA0003816265090000044
Figure FDA0003816265090000045
Figure FDA0003816265090000046
式中λ为拉格朗日乘子，Φ为约束函数；
由式(14)和(15)，消掉λ可得到
Figure FDA0003816265090000047
由式(14)和(16)，消掉λ得到
Figure FDA0003816265090000048
由式(13)，对Φ求关于η、β和a的导数，并代入式(17)、(18)得到以下用于求解平底曲线形明渠水力最优断面的算法(可适用于所有平底曲线形断面)：
Figure FDA0003816265090000051
Figure FDA0003816265090000052
(3)平底悬链线形明渠水力最优断面的求解
根据式(10)，求Ahc关于η、β和a的导数分别为
Figure FDA0003816265090000053
同样，根据式(11)，求Phc关于η、β和a的导数分别为
Figure FDA0003816265090000054
将式(21)代入式(19)，式(22)代入式(20)，简化后得到平底悬链线形明渠水力最优断面的求解算法为
Figure FDA0003816265090000055
联接方程组(23)，平底悬链线形渠道水力最优断面两个最重要的参数为
Figure FDA0003816265090000056
Figure FDA0003816265090000057
由式(24)和(25)可以得到水面总宽与形状系数比为
Figure FDA0003816265090000058
根据式(2)和(24)，可以得到水力最优断面形状系数a和水深h之间的关系为
a＝0.47395h (27)
由式(25)和(27)可以得到水力最优断面的宽深比ψ为
Figure FDA0003816265090000061
由式(24)～(27)，可以得到B与b的比率和Bhc与b的比率分别为
Figure FDA0003816265090000062
Figure FDA0003816265090000063
7.根据权利要求6所述的一种新型平底悬链线形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，还包括：
求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深。
8.根据权利要求7所述的一种新型平底悬链线形明渠的水力最优断面求解方法，其特征是，求解平底悬链线形明渠水力最优断面正常水深和临界水深的具体过程为：
将式(24)～(28)代入式(5)、式(6)，可以得到计算Ahc和Phc的直接求解公式
Ahc＝1.5983h2 (31)
Phc＝3.1965h (32)
将Ahc和Phc代入式(8)，可以得到流量Q的直接计算公式为
Figure FDA0003816265090000064
求解式(33)，可以得到水深h的直接表达式为
Figure FDA0003816265090000065
利用式(27)～(34)，可以得到已知流量Q求a、Ahc、Phc和Bhc的表达式为
Figure FDA0003816265090000071
Figure FDA0003816265090000072
Figure FDA0003816265090000073
Figure FDA0003816265090000074
临界水深的通用计算公式为
Figure FDA0003816265090000075
将式(30)和(31)代入式(39)，解方程可以得到临界水深hc的显式求解公式为
Figure FDA0003816265090000076
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