CN108090296B - 基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法，该方法基于计算电磁学中的FDTD算法基础，采用时间辛算法与空间紧致差分格式相结合的时空优化方案，模拟电磁波在三维波导谐振腔中稳定、快速的传播。本发明解决了传统三维FDTD算法在提高数值稳定性与降低数值计算时间之间的矛盾，在保持波导谐振腔系统中能量守恒的同时，大大减小了计算机的迭代时间和内存使用率，为波导的全波分析提供一种高效率、高稳定度时域数值计算方法。

Description

基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法

技术领域

本发明涉及电磁学数值仿真技术领域，尤其是一种基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法。

背景技术

近年来，计算电磁学作为一门集电磁场理论、数值方法、计算机技术于一体的新兴交叉学科得到了迅速的发展，其学术价值和工程意义已经渗透到无线通信技术、微波成像技术、遥感、隐形飞机设计技术等各个领域。随着应用数学、计算机技术等的飞速发展，各种计算电磁学数值方法层出不穷，为了解决在长时间仿真及对电大尺寸目标仿真时，如何稳定、高效地保持电磁系统的内在性质；以及在处理复杂媒质(色散、各向异性、左手媒质等)或复杂结构(非均匀、多尺度)的快速、高精度、高稳定度的电磁仿真问题具有重要的理论和实际意义。至今未有新的技术完成高效时域的数值计算。

发明内容

针对辛算法在大尺寸或复杂目标仿真时多级时间步迭代带来的仿真时间较长，计算复杂度较高等不足，本发明提出一种将时间高阶辛算法与空间高阶辛紧致格式相结合的高阶辛紧致时域有限差分算法，即：High-Order Symplectic Compact Finite-Difference-Time-Domain(HSCFDTD，时域有限差分法)进行波导全波分析，在保持系统的稳定性同时，大大减小计算机的迭代时间和内存使用率，并实现高效稳定的时域电磁仿真。

基于高阶紧致格式的波导全波分析方法，包括以下步骤，

S1、采用紧致格式逼近自由空间中麦克斯韦方程，得到一维空间的演化矩阵形式，具体是：

采用紧致格式逼近麦克斯韦方程，得到一维空间电磁场分量{E_x,H_y}的演化矩阵形式，即式(1)，

其中，z方向上的偏微分形式用-jβ_z来取代，即：

β_z为传播常数，由波导中的电磁波的模式分析来确定，需满足β_z＝κβ₀，其中

为真空中的波数，κ为波导归一化波数，由归一化的色散曲线可知不同的归一化的工作频率f/f₀对应不同的归一化波数，κ为波导归一化波数，进而可以确定传播常数β_z；

S2、采用矢量分析方法，将空间一维问题推广到三维问题，得到三维空间离散后的麦克

斯韦方程矩阵形式，具体是：

采用矢量分析方法，得到三维空间离散后的麦克斯韦方程矩阵形式

其中，E(H)为电场或磁场矢量，采用高阶交错差分近似空间x,y方向上的一阶偏导微分形式表示为：

式中Δx，Δy为空间离散步长，W_r为空间q阶中心差分系数；

S3、采用与时间辛积分相结合的高阶辛紧致差分离散麦克斯韦方程，得到其m级p阶显式辛积分时空演化矩阵：

其中，c_l和d_l是辛算子，有c₁＝c₅＝0.17399689，c₂＝c₄＝-0.1203850，c₃＝0.89277630，

d₁＝d₄＝0.62337932，d₂＝d₃＝-0.12337932，d₅＝0；

S4、对所述m级p阶显式辛积分时空演化矩阵进行矢量展开，并通过电场与磁场相位变换，得到高阶辛紧致格式下的电场或磁场分量在实数域中的离散框架，{E_x,E_y,H_z}和{H_x,H_y,E_z}两组场分量相差相位π/2，把其中一组分量移动相位π/2变为{jE_x,jE_y,jE_z}代入式(4)，使电场与磁场各分量的离散格式回到实数域中进行迭代求解，电场在x方向上的分量离散格式如下：

其中系数定义为

各方向的稳定性条件为：

通常，S4后还包括步骤S5、采用(5)式中电场和磁场分量的差分格式在二维空间进行数值仿真，具体是：

(2-1)根据波导结构模型进行参数初始化；

(2-2)选取波导内垂直于Z方向的二维平面进行网格离散；

(2-3)根据波导归一化的色散分析结果，得到不同频率下对应的传播常数进行初始化设置；

(2-4)根据差分格式下的稳定性条件，选取合适的空间和时间离散步长进行初始化设置；

(2-5)利用式(5)高阶辛紧致差分形式更新整个计算区域的电场分量与磁场分量；

(2-6)更新高斯脉冲激励源；

(2-7)输出时域仿真结果。

本发明能带来以下有益效果：

1、使得三维空间的数值模拟直接降维到二维空间来处理，较好的解决了辛算法在大尺寸或复杂目标仿真时多级时间步迭代带来的仿真时间较长，计算复杂度较高等问题。

2、较好的克服了紧致格式算法长时间仿真时稳定性较差、精度较低的问题。

3、将传播常数作为常数输入，在全波分析时减少因挑选频率所带来的大量不必要信息，与传统FDTD相比大大减少了内存空间和CPU运行时间。

附图说明

图1为本发明实施例基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法的基本流程图；

图2为图1实施例中采用的高阶辛紧致二维空间网格，即六个场分量E_x，E_y，E_z，H_x，H_y，H_z的分布情况图；

图3为图1实施例中实现TE_m0模式下的归一化的色散曲线图；

图4为图1实施例中实现波导谐振腔内的场图；

图5为图1实施例中实现波导谐振腔的谐振频率分析对比图；

图6为本发明与传统算法CPU运算效率的对比表。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

利用自由空间中麦克斯韦方程辛性质的理论背景，在其时间演化辛矩阵中引入空间高阶紧致差分格式，将麦克斯韦偏微分方程在z方向上的偏微分用-jβ_z来取代，得出高阶辛紧格式麦克斯韦复数域下的微分方程形式，再通过电场与磁场相位变换，得到实数域下的微分方程形式，实现三维空间降维到二维空间来进行数值仿真模拟。较好的解决了辛算法在大尺寸或复杂目标仿真时多级时间步迭代带来的仿真时间较长，计算复杂度较高等问题，同时波导谐振腔在全波分析时减少因挑选频率所带来的大量不必要信息，大大降低了内存使用率。

采用紧致格式逼近麦克斯韦方程，得到一维空间电磁场分量{E_x,H_y}的演化矩阵形式。其中，z方向上的偏微分形式用-jβ_z来取代，即：

式中β_z为传播常数由波导中的电磁波的模式分析来确定，可做为常数提前初始化定义。

将空间一维问题推广到三维问题，采用矢量分析方法，得到三维空间离散后的麦克斯韦方程矩阵形式：

其中，E(H)为电场(磁场)矢量，采用高阶(q阶)交错差分近似空间x,y方向上的一阶偏导微分形式表示为：

式中Δx，Δy为空间离散步长，W_r为空间q阶中心差分系数，本发明采用q＝4阶时，空间高阶差分系数为W₁＝9/8，W₁＝-1/24。

采用与时间辛积分相结合高阶辛紧致差分离散麦克斯韦方程，得到其m级p阶显式辛积分时空演化矩阵形式：

其中，c_l和d_l是辛算子，所述采用的SFDTD(4,4)方法使用如下辛算子：

c₁＝c₅＝0.17399689，c₂＝c₄＝-0.1203850，c₃＝0.89277630，

d₁＝d₄＝0.62337932，d₂＝d₃＝-0.12337932，d₅＝0.

表达式中的每级时间步Δt进都满足一个基本的辛变换。它完成从电场到磁场，再从磁场到电场的显式递推。

将时空演化矩阵(4)式进行矢量展开，得到电场与磁场各标量分量的高阶辛紧致FDTD复数域下的离散框架，而{E_x,E_y,H_z}和{H_x,H_y,E_z}两组场分量相差相位π/2，把其中一组分量移动相位π/2变为{jE_x,jE_y,jE_z}代入(4)式，进而使电场与磁场各分量的离散格式又回到实数域中进行迭代求解，电场在x方向上的分量离散格式如下(其余5个场分量可以得到类似形式)：

其中系数定义为

各方向上的稳定性条件定义为：

将三维空间网格降维到二维空间网格进行数值仿真模拟是指，由于(5)式z方向上的差分已被简化，只取决于当前时刻当前空间位置的磁场分量，而x和y方向上差分是在垂直于z轴上选取的一个切面(xoy二维空间)进行高阶差分，大大简化了场值迭代的计算时间。

波导谐振腔的全波分析时可以将z方向上的差分只需要用把传播常数作为常数提前初始化定义，则在全波分析时减少因挑选频率所带来的大量不必要信息，与传统FDTD相比大大减少了内存空间和CPU运行时间。

接下来对以上模型进行仿真，过程如图1所示，

步骤1：根据需要仿真的波导结构模型进行算法的参数初始化设置；

步骤2：选取波导内垂直于Z方向上的二维平面，如图2所示进行网格离散。时间离散格式上，选取优化的辛算子进行电(磁)场分量迭代系数的设置；空间离散格式上，选取高阶紧致差分系数进行电(磁)场分量迭代系数的设置；

步骤3：根据波导归一化的色散分析结果，如图3所示，得到不同频率下对应的传播常数进行初始化设置；

步骤4：根据稳定性条件，选取合适的空间和时间离散步长进行初始化设置；

步骤5：利用(5)式高阶辛紧致差分形式更新整个计算区域的电场分量与磁场分量；

步骤6：更新高斯脉冲激励源；

步骤7：输出时域仿真结果。

现结合一个数值实例及说明书附图对本发明作进一步描述和验证。图4所示为选取计算区域大小为a*b*c＝19.050mm*9.525mm*14.288mm的波导谐振腔进行数值模拟，在T＝100时刻的时域场图。

图5为本发明的方法仿真该谐振腔得到的谐振频率与解析解进行比较，可以看出两者吻合较好而紧致FDTD(CFDTD)算法仿真的谐振频率偏差较大，因此本发明的方法相比紧致FDTD算法的精度更高。同时，从表1可以看出本发明方法CPU计算时间存在很大的优势，计算效率有很大的提高。

图6为CPU计算效率的对比。

本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。

Claims (4)

1.基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法，其特征在于，包括以下步骤，

S1、采用紧致格式逼近自由空间中麦克斯韦方程，得到一维空间的演化矩阵形式；

S2、采用矢量分析方法，将空间一维问题推广到三维问题，得到三维空间离散后的麦克斯韦方程矩阵形式；

S3、采用与时间辛积分相结合的高阶辛紧致差分离散麦克斯韦方程，得到其m级p阶显式辛积分时空演化矩阵；

S4、对所述m级p阶显式辛积分时空演化矩阵进行矢量展开，并通过电场与磁场相位变换，得到高阶辛紧致格式下的电场或磁场分量在实数域中的离散框架；

其中S1的具体过程为：

采用紧致格式逼近麦克斯韦方程，得到一维空间电磁场分量{E_x,H_y}的演化矩阵形式，即式(1)，

其中，z方向上的偏微分形式用-jβ_z来取代，即：

β_z为传播常数，需满足β_z＝κβ₀，其中β₀为真空中的波数，κ为波导归一化波数；

S2的具体过程为：采用矢量分析方法，得到三维空间离散后的麦克斯韦方程矩阵形式

其中，E为电场矢量，H为磁场矢量，采用高阶交错差分近似空间x,y方向上的一阶偏导微分形式表示为：

式中Δx，Δy为空间离散步长，W_r为空间q阶中心差分系数。

2.根据权利要求1所述的基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法，其特征在于，所述高阶辛紧致差分离散麦克斯韦方程的m级p阶显式辛积分时空演化矩阵为：

其中，c_l和d_l是辛算子，有c₁＝c₅＝0.17399689，c₂＝c₄＝-0.1203850，c₃＝0.89277630，d₁＝d₄＝0.62337932，d₂＝d₃＝-0.12337932，d₅＝0。

3.根据权利要求2所述的基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法，其特征在于，S4的具体过程为：

{E_x,E_y,H_z}和{H_x,H_y,E_z}两组场分量相差相位π/2，把其中一组分量移动相位π/2变为{jE_x,jE_y,jE_z}代入式(4)，使电场与磁场各分量的离散格式回到实数域中进行迭代求解，电场在x方向上的分量离散格式如下：

其中系数定义为

各方向的稳定性条件为：

4.根据权利要求1～3任一项所述的基于高阶辛紧致格式的波导全波分析方法，其特征在于，S4后还包括步骤S5、采用(5)式中电场和磁场分量的差分格式在二维空间进行数值仿真，具体是：

(2-1)根据波导结构模型进行参数初始化；

(2-2)选取波导内垂直于Z方向的二维平面进行网格离散，离散网格数设为R；

(2-3)根据步骤S1中波导归一化的色散分析结果，得到不同频率下对应的传播常数β_z，进行初始化设置；

(2-4)根据差分格式下的稳定性条件，选取空间和时间离散步长进行初始化设置，其中，时间步长：

空间步长：

(2-5)利用式(5)高阶辛紧致差分形式更新整个计算区域的电场分量与磁场分量；

(2-6)更新高斯脉冲激励源；

(2-7)输出时域仿真结果。

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