CN108536929B - 一种应用arpack求解波导结构色散特性的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于计算电磁学技术领域，具体为一种应用ARPACK求解波导结构色散特性的方法。本发明通过在特征值问题[A]·[X]＝λ[X]等号两边同时乘以λ的方法，对特征值方程进行了等价改造，原特征值问题的特征值λ改为λ²，波导特征值问题[A]·[A]·[X]＝λ²[X]所对应的前M个模式的特征值满足关系

波导的前M个模式的所对应的特征值

均为实数，且大小递减，满足了ARPACK求解最大实部特征值的策略，以得到原特征值问题的特征值

即得到所求波导前M个模式的色散特性。本发明不仅适用于波导相移常数求解，而且适用于波导衰减常数的求解，并极大地提高了计算效率。

Description

一种应用ARPACK求解波导结构色散特性的方法

技术领域

本发明属于计算电磁学技术领域。在微波传输系统仿真设计过程中，涉及一种波导结构色散特性数值求解的方法，具体为一种应用ARPACK求解波导结构色散特性的方法。

背景技术

波导是一种微波定向传输结构，主要应用于通信和微波能量传输等领域。在设计波导传输系统的过程中，需要求解波导的色散特性。实际工程应用中，一般以波导传播的主模和前面几个高次特征模式作为工作模式，即截止频率最小的几个模式。波导色散特性的求解方法有有限差分法、有限元方法、矩量法等。在有限差分法中，有一种称为二维四分量频域有限差分法，其具体实施步骤如下。

步骤1、设定求解波导色散特性的频率范围，在求解的频率范围内等间距选取N个频率，并求出N个频率所对应的自由空间波数k_0,n，n＝1,2,…,N。设定所要研究的模式为波导前M个模式。

步骤2、对波导横截面进行二维网格划分，索引编号(u,v)网格的电磁场分量位置及索引编号如图1所示。

步骤3、将求解频率范围内某一频率的归一化频域麦克斯韦方程组离散化，消去纵向电磁场，就得到四个横向场分量方程，组合所有网格的四个横向场分量方程，得到特征值问题

[A]·[X]＝λ[X] (1)

其中，[A]表示由所有网格的归一化频域离散麦克斯韦方程电磁场分量系数组成的矩阵，[X]表示所有网格四个横向电磁场分量组成的列向量，λ为特征值，λ＝β/k_0,n，k_0,n为给定频率的自由空间波数，β为传播常数。

步骤4、求解特征值问题[A]·[X]＝λ[X]，得到所有特征值，在所有特征值中选取截止频率最小的M个模式的特征值，求得对应的传播常数。

步骤5、对所研究频率范围内的其余频率进行步骤3、4，得到所有频率的传播常数，即得到了该波导前M个模式的色散特性曲线。

在上述方法的步骤4中，需要求解特征值问题[A]·[X]＝λ[X]的全部特征值，这种处理方法求解效率很低，特别是当网格数目较多时，其求解所花费时间是实际工程应用所不能接受的。ARPACK是一款求解特征值问题的开源软件，可以求解部分特征值。ARPACK有六种策略去求解前几个特征值：求解实部最大的前几个特征值，求解实部最小的前几个特征值，求解虚部最大的前几个特征值，求解虚部最小的前几个特征值，求解幅值最大的前几个特征值，求解幅值最小的前几个特征值。波导前M个模式所对应的截止波数大小关系为

k_c,1≤k_c,2≤…≤k_c,M (2)

当所设定的频率大于波导模式截止频率，波导模式所对应的特征值为实数；当所设定的频率小于波导模式截止频率，波导模式所对应的特征值为纯虚数。如果给定频率所对应的自由空间波数k₀满足关系

k_c,m≤k₀≤k_c,m+1 (3)

那么，波导前M个模式所对应的特征值满足

λ₁≥λ₂≥…≥λ_m≥0且0≤|λ_m+1|≤|λ_m+2|≤…≤|λ_M| (4)

λ₁～λ_m为实数且大小递减，λ_m+1～λ_M为纯虚数且幅值递增，可以看出波导前M个模式所对应的特征值不满足ARPACK六种求解模式，所以ARPACK不适用于上述方法特征值问题的求解。

发明内容

针对上述存在问题或不足，为了能使用ARPACK高效求解波导结构的相移常数且适用于衰减常数求解，本发明提供了一种应用ARPACK求解波导结构色散特性的方法。

具体技术方案如下：

为了描述简单，设波导横截面位于x-y平面，波导沿z方向传输。波导内传输的电磁场表示为

其中，γ表示传播常数，γ＝α+jβ，α表示衰减常数，β表示相移常数，j表示虚数单位，。因此，对电磁场z向偏导数可以表示为

步骤1、设定求解波导色散特性的频率范围，最小频率f_min，最大频率f_max。在求解的频率范围内等间距选取N个频率，即Δf＝(f_max-f_min)/(N-1)，求出N个频率所对应的自由空间波数k_0,n＝2π[f_min+Δf(n-1)]/c₀，n＝1,2,…,N，c₀为光速。设定所要研究的模式为波导前M个模式。

步骤2、对波导横截面进行二维网格划分，并对网格及电磁场分量进行编号(如图1所示)；

步骤3、将求解频率范围内某一频率的归一化的频域麦克斯韦方程组离散化，将

替换为-γ，并消去纵向电磁场，就得到四个横向场分量方程：

其中，k_0,n表示给定频率所对应的自由空间波数，e_r表示电介质相对介电常数，d_x、d_y分别表示x、y方向网格长度，u、v分别为x、y方向索引编号。

组合所有网格的(6)至(9)四个横向场分量方程，得到特征值问题[A]·[X]＝λ[X]，其中，[A]表示由所有网格(6)至(9)式中等号右边电磁场分量系数所组成的矩阵，[X]表示所有网格四个横向电磁场分量组成的列向量，即[X]＝[E_x|E_y|H_x|H_y]^T，λ＝-jγ，j为虚数单位。在等式两边同乘以λ，进而得到处理后的特征值问题

[A]·[A]·[X]＝λ²[X] (10)

步骤4、应用ARPACK求解特征值问题前2*M个实部最大的特征值，然后得到前M个模式的传播常数。

步骤5、对所研究频率范围内的其余频率进行步骤3、4，得到所有频率的传播常数，即得到了该波导前M个模式的色散特性曲线。

本发明通过在特征值问题[A]·[X]＝λ[X]等号两边同时乘以λ的方法，对特征值方程进行了等价改造，原特征值问题的特征值λ改为λ²，波导特征值问题[A]·[A]·[X]＝λ²[X]所对应的前M个模式的特征值满足关系

这样波导的前M个模式的所对应的特征值

均为实数，且大小递减，满足了ARPACK求解最大实部特征值的策略。进而就可以得到原特征值问题的特征值

即得到所求波导前M个模式的色散特性。

综上所述，本发明通过特征值方程的改造，使得波导特征值问题可以采用ARPACK求解最大实部特征值的策略去求解，不仅适用于波导相移常数求解，而且适用于波导衰减常数的求解，并极大地提高了计算效率。

附图说明

图1为索引编号为(u,v)的二维网格电磁场分量分布及编号示意图；

图2为实施实例标准矩形波导横截面示意图；

图3为矩形波导相移常数曲线与理论值对比图；

图4为矩形波导衰减常数曲线与理论值对比图。

具体实施方式

下面以一个标准矩形波导为例，其宽边长度为a＝20.86mm，窄边长度为b＝10.16mm，如图2所示，通过具体实施过程对本发明作进一步详细说明。

步骤1、设定求解频率范围为f_min＝1GHz，f_max＝30GHz。在求解的频率范围内等间距选取N＝30个频率，即Δf＝1GHz，求出N个频率所对应的自由空间波数k_0,n＝2π[f_min+Δf(n-1)]/c₀,n＝1,2,…,30，c₀为光速。

步骤2、对波导横截面进行二维网格划分。波导横截面x、y方向网格数目分别为n_x＝40、n_y＝20，网格大小为d_x＝0.5715mm、d_y＝0.508mm。

步骤3、给定求解频率范围内某一频率，组合所有网格的(6)至(9)频域离散麦克斯韦方程，得到特征值问题[A]·[X]＝λ[X]，在等式两边同乘以λ，进而得到处理后的特征值问题[A]·[A]·[X]＝λ²[X]

步骤4、应用ARPACK求解特征值问题[A]·[A]·[X]＝λ²[X]的前10个实部最大的特征值，然后得到前5个模式的传播常数。

步骤5、对所研究频率范围内的其余频率进行步骤3、4，得到所有频率的传播常数，即得到了该波导前5个模式的色散特性曲线。

表1

通过计算我们得到了图2所示波导的色散特性，即相移常数曲线和衰减常数曲线，如图3、4所示。从图3、4可以看出，求解得到的前5个模式(TE₁₀、TE₂₀、TE₀₁、TE₁₁、TM₁₁)的色散曲线与理论值完全吻合。

表1展示的是求解特征值问题[A]·[X]＝λ[X]全部特征值和采用ARPACK求解[A]·[A]·[X]＝λ²[X]前10个实部最大的特征值花费时间的对比。从表中可以看出，采用ARPACK求解波导特征值问题是非常高效的，且求解全部特征值在网格数较多的情况下所花费的时间对于实际工程是无法接受的。

综上可见，本发明通过特征值方程的改造，使得波导特征值问题可以采用ARPACK求解最大实部特征值的策略去求解，不仅适用于波导相移常数求解，而且适用于波导衰减常数的求解，并极大地提高了计算效率。

Claims (1)

1.一种应用ARPACK求解波导结构色散特性的方法，具体步骤如下：

设波导横截面位于x-y平面，波导沿z方向传输，波导内传输的电磁场表示为

其中，γ表示传播常数，γ＝α+jβ，α表示衰减常数，β表示相移常数，j表示虚数单位；因此，对电磁场z向偏导数可以表示为

步骤1、设定求解波导色散特性的频率范围，最小频率f_min，最大频率f_max；在求解的频率范围内等间距选取N个频率，即Δf＝(f_max-f_min)/(N-1)，求出N个频率所对应的自由空间波数k_0,n＝2π[f_min+Δf(n-1)]/c₀，n＝1,2,…,N，c₀为光速，设定所要研究的模式为波导前M个模式；

步骤2、对波导横截面进行二维网格划分，并对网格及电磁场分量进行编号；

步骤3、将求解频率范围内某一频率的归一化的频域麦克斯韦方程组离散化，将

替换为-γ，并消去纵向电磁场，就得到四个横向场分量方程

其中，k_0,n表示给定频率所对应的自由空间波数，e_r表示电介质相对介电常数，d_x、d_y分别表示x、y方向网格长度，u、v分别为x、y方向索引编号；

组合所有网格的(2)至(5)四个横向场分量方程，得到特征值问题[A]·[X]＝λ[X]，其中，[A]表示由所有网格(2)至(5)式中等号右边电磁场分量系数所组成的矩阵，[X]表示所有网格四个横向电磁场分量组成的列向量，即[X]＝[E_x E_y H_x H_y]^T，λ＝-jγ，j为虚数单位；然后在等式两边同乘以λ，进而得到处理后的特征值问题

[A]·[A]·[X]＝λ²[X] (6)

步骤4、应用ARPACK求解特征值问题前2*M个实部最大的特征值，然后得到前M个模式的传播常数；

步骤5、对所研究频率范围内的其余频率进行步骤3、4，得到所有频率的传播常数，即得到了该波导前M个模式的色散特性曲线。

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