CN108038305B - 一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，包括步骤：1)建立硬石膏隧道围岩的平衡微分方程；2)建立硬石膏隧道围岩的几何方程；3)建立硬石膏隧道围岩的吸水率方程；4)建立硬石膏隧道围岩的弹‑膨胀本构方程；5)确定硬石膏隧道围岩的边界条件；……；8)采用一次可靠性分析法分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性。本发明考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，其具有计算量较小的优点，且其能较准确的得出可靠度与支护应力、膨胀时间、临界位移三个可调控设计变量的关系，分析结果可靠性高；通过本方法得到的可靠度分析结果来调节设计变量取值，对硬石膏围岩隧道初期支护设计具有指导意义。

Description

一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法

技术领域

本发明涉及围岩隧道技术领域，特别涉及一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法。

背景技术

如说明书附图1所示，在连续、均质且各向同性的硬石膏围岩中开挖一个半径为R₀的圆形隧道，隧道围岩承受P₀的静水压力(即地应力)，临空面承受均匀的支护压力P_s；隧道开挖导致径向应力σ_r和环向应力σ_θ重分布；围岩各点的吸水率沿着径向分布且是径向坐标r的函数；在此涉及二种不同的吸水率分布函数W，分别是：初始湿度随r逐渐增大(工况1)、初始湿度沿r均匀分布(工况2)、以及初始湿度随r逐渐减小(工况3)，其中ω_0i是r＝R₀处的吸水率；硬石膏围岩吸水膨胀导致σ_r和σ_θ持续变化。

现有技术中，通常采用数值模拟结合Monte Carlo法的方法分析硬石膏隧道的可靠性，但是这种分析方法计算量大，且现有方法通常没有考虑硬石膏围岩吸水膨胀演化，分析结果存在误差较大的问题。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提供一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，以解决采用现有方法分析硬石膏隧道可靠性存在计算量大、分析结果误差较大的技术问题。

本发明考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，包括以下步骤：

1)建立硬石膏隧道围岩的平衡微分方程：

式中σ_r为硬石膏隧道围岩的径向应力σ_r，σ_θ为硬石膏隧道围岩的环向应力，r为硬石膏隧道围岩的半径；

2)建立硬石膏隧道围岩的几何方程：

式中ε_θ为环向应变，ε_r为径向应变，μ_r是围岩径向位移；

3)建立硬石膏隧道围岩的吸水率方程：

A_t＝A_max(1-e^-at) (3)

式中A_t是t时刻硬石膏隧道围岩的吸水率；A_max是硬石膏隧道围岩膨胀终止时刻的吸水率；a是吸水系数，用于描述吸水快慢；

4)建立硬石膏隧道围岩的弹-膨胀本构方程：

式中E为弹性模量，υ为泊松比，α是线膨胀系数，△W是湿度变化量；由于硬石膏围岩膨胀阶段的变形模量小于弹性模量，若采用相同的变形模量，会导致计算出的应力偏大；因此，引用膨胀模量E_s来描述膨胀阶段的应力应变关系，并用符号E_e代替E表示弹性模量，则式(4)变为式(5)：

为描述硬石膏围岩的吸水-膨胀演化过程，即在模型中反映膨胀的时变特性，在本构模型中引入吸水率与时间的关系，即用式(3)中的A_t替换式(5)中的△W；基于当围岩体单元中水的含量小于该单元中CaSO₄被完全水化的耗水量时，该单元中的水能被完全吸收，则可用W替换式(3)中的A_max；对式(5)进行修正，修正过的弹-膨胀本构模型如下：

5)确定硬石膏隧道围岩的边界条件：

式中P_s为支护力，隧道开挖后，硬石膏隧道围岩的临空面径向应力等于支护力P_s；

6)联立平衡微分方程(1)、几何方程(2)和弹-膨胀本构方程(6)，得到围岩应力通解表达式：

式中C₁、C₂为通解参数，通过边界条件，即式(7)确定：

7)根据公式(8)和(9)求解出环向应变ε_θ，把ε_θ代入几何方程(2)中得到围岩的径向位移μ_r；考虑开挖后的位移是由于开挖后的应力增量所造成的，而原岩应力部分并不引起新的位移，采用应力增量：即用σ_r和σ_θ减去静水压力P₀，获得开挖后径向位移表达式如下：

8)采用一次可靠性分析法分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性：

8.1)对Hasofer-Lind可靠度的表达式：

进行调整，式中R代表相关性矩阵；σ_i代表随机变量x_i的标准差，调整为：

以保证对于非正态相关的变量，采用Hasofer-Lind可靠度分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性也是正确的；式中：

和

分别代表随机变量x_i的等效正态平均值和标准差；

和

通过Rackwitz-Fiessler双参数等效正态变换计算得到；

μ^N＝x-σ^N×φ^-1[F(x)] (15b)

式中：x代表原始非正态随机变量；Φ^-1[.]代表标准正态累积分布的倒数；F(x)代表原非正态累积分布函数在x点的取值；

代表标准正态分布的概率分布函数；f(x)代表在x点处原非正态概率密度值；

基于可靠度，失效概率表达式为：

P_f≈1-φ(β) (16)

φ(.)代表标准正态变量的累积分布函数；

8.2)基于一次可靠性分析法，分析硬石膏隧道可靠性

8.2.1)将公式(13)转换为：

n代表变量n_i的列向量；在优化求解过程中，x_i的值自动调整，对应的n_i值根据公式(18)自动求解：

8.2.2)建立可靠性分析结构功能函数，硬石膏隧道临时支护阶段的功能函数定义如下：

g(X)＝u_cv-u_r(r＝R₀) (19)

式中X是矢量，代表一系列的随机变量；μ_cv是隧道临空面的临界位移，当临空面的位移超过此值，则隧道发生失稳或者衬砌侵限；

8.2.3)对可靠性分析变量进行分类；

将μ_cv、P₀、P_s、R₀、R_max、t划分为确定性变量，其中μ_cv、P_s、t属于设计变量；μ_cv对应隧道支护预留变形量，膨胀时间t对应隧道支护时间；由于岩土体参数的不确定性，将E_s、E_e、υ、α、a、w_0i划分为随机变量，C1、C2值根据式(10)、(11)获得；

8.2.4)建立Excel可靠度求解表格，采用Microsoft Excel内置的优化求解器求解可靠度，求解目标设置为β值最小，可变量为x^*，约束条件为g(X)＝0，其中可靠度β值与n_i值遵循式(17)、(18)，x^*初始值设定为平均值。

本发明的有益效果：

本发明考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，其具有计算量较小的优点，且其能较准确的得出可靠度与支护应力、膨胀时间、临界位移三个可调控设计变量的关系，分析结果可靠性高；通过本方法得到的可靠度分析结果来调节设计变量取值，对硬石膏围岩隧道初期支护设计具有指导意义。

附图说明

图1为圆形轴对称隧道围岩弹-膨胀模型示意图；

图2为弹-膨胀本构模型示意图；

图3为围岩应力分布图；

图4为围岩径向位移径向分布图；

图5为可靠度随支护应力变化的关系图；

图6为失效概率随支护应力变化的关系图；

图7为可靠度随膨胀时间变化的关系图；

图8为失效概率随膨胀时间变化的关系图；

图9为可靠度随临界位移变化的关系图；

图10为失效概随临界位移变化的关系图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步描述。

本实施例考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，包括以下步骤：

1)建立硬石膏隧道围岩的平衡微分方程：

式中σ_r为硬石膏隧道围岩的径向应力σ_r，σ_θ为硬石膏隧道围岩的环向应力，r为硬石膏隧道围岩的半径。由于硬石膏隧道围岩的平衡微分方程只与物体的受力有关，与产生力的原因无关，因此平衡方程与圆形轴对称隧道弹性围岩的平衡方程相同。

2)建立硬石膏隧道围岩的几何方程：

式中ε_θ为环向应变，ε_r为径向应变，μ_r是围岩径向位移。由于应变与位移之间的关系与引起位移的原因无关，因而几何方程也与圆形轴对称隧道弹性围岩的几何方程相同。

3)建立硬石膏隧道围岩的吸水率方程：

A_t＝A_max(1-e^-at) (3)

式中A_t是t时刻硬石膏隧道围岩的吸水率；A_max是硬石膏隧道围岩膨胀终止时刻的吸水率；a是吸水系数，用于描述吸水快慢。岩石遇水初期，水快速渗入较大的孔隙，所以初期吸水率增长快；当较大的孔隙被水填满后，水进一步渗向微孔隙中，而这一过程较缓慢，所以岩石吸收、容纳水的能力下降，吸水率增长缓慢；伴随着硬石膏结晶密封作用，吸水率最终会趋于固定值。

4)湿度应力场模拟围岩膨胀时，认为围岩膨胀阶段的变形模量与弹性模量相同，基于应变叠加原理，建立了硬石膏隧道围岩的弹-膨胀本构方程，该本构模型在平面应变问题中的极坐标形式如下：

式中E为弹性模量，υ为泊松比，α是线膨胀系数，△W是湿度变化量；由于硬石膏围岩膨胀阶段的变形模量小于弹性模量，若采用相同的变形模量，会导致计算出的应力偏大；因此，引用膨胀模量E_s来描述膨胀阶段的应力应变关系，并用符号E_e代替E表示弹性模量，则式(4)变为式(5)：

为描述硬石膏围岩的吸水-膨胀演化过程，即在模型中反映膨胀的时变特性，在本构模型中引入吸水率与时间的关系，即用式(3)中的A_t替换式(5)中的△W；基于当围岩体单元中水的含量小于该单元中CaSO₄被完全水化的耗水量时，该单元中的水能被完全吸收，则可用W替换式(3)中的A_max；对式(5)进行修正，修正过的弹-膨胀本构模型如下：

5)确定硬石膏隧道围岩的边界条件：

式中P_s为支护力，隧道开挖后，硬石膏隧道围岩的临空面径向应力等于支护力P_s。

6)联立平衡微分方程(1)、几何方程(2)和弹-膨胀本构方程(6)，得到围岩应力通解表达式：

式中C₁、C₂为通解参数，通过边界条件，即式(7)确定：

7)根据公式(8)和(9)求解出环向应变ε_θ，把ε_θ代入几何方程(2)中得到围岩的径向位移μ_r；考虑开挖后的位移是由于开挖后的应力增量所造成的，而原岩应力部分并不引起新的位移，采用应力增量：即用σ_r和σ_θ减去静水压力P₀，获得开挖后径向位移表达式如下：

本实施例中，为对所建立的方程模型(8)、(9)、(12)进行验证，通过对硬石膏岩进行基本力学试验和膨胀试验，获得硬石膏岩基本力学性质参数和膨胀特性参数。模型验证参数取值如表1所示，其中隧道开挖半径R₀＝5m。

表1模型参数取值

图3为工况1条件下围岩应力分布图。由图3可知，无支护条件下隧道围岩临空面径向应力为0MPa，随着半径r的增大，围岩径向应力呈现先增大、后趋于稳定的趋势。在研究区域范围内，隧道临空面到围岩半径为20m区域内，围岩径向应力逐渐增大，增长速率逐渐减小；围岩半径为20m-30m区域内，围岩径向应力趋于稳定，应力值趋近初始地应力值，与实际规律相符。三种膨胀时间条件下，围岩径向应力呈现相同的变化规律，但随着膨胀时间的增长，相同位置围岩的径向应力小幅增大，体现了硬石膏围岩膨胀特性。无支护条件下隧道围岩环向应力随半径r的增大呈现先减小、后趋于稳定的趋势，与围岩径向应力变化规律相反，最后应力值也趋近于初始地应力值。同时，随着膨胀时间的增长，相同位置围岩的环向应力小幅增大。

图4为工况1条件下围岩径向位移径向分布图。无支护条件下，膨胀时间为0时，围岩径向位移随半径r的增大呈现减小的趋势。实际中，隧道开挖对围岩的影响范围一定，距离较远处的围岩所受影响较小，与图中所示规律较为符合。膨胀时间为50天、100天时，围岩径向位移随半径r的增大呈现先减小、后增大的趋势。原因在于工况1条件下，离隧道越远，围岩吸水率越大，其含水率越大，膨胀应变越大。围岩半径超过一定范围后，围岩的径向位移主要由膨胀作用决定。因此，图中所示规律与实际规律较为相符。

8)采用一次可靠性分析法分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性：

8.1)对Hasofer-Lind可靠度的表达式：

进行调整，式中R代表相关性矩阵；σ_i代表随机变量x_i的标准差，调整为：

以保证对于非正态相关的变量，采用Hasofer-Lind可靠度分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性也是正确的；式中：μ_i ^N和σ_i ^N分别代表随机变量x_i的等效正态平均值和标准差；μ_i ^N和σ_i ^N通过Rackwitz-Fiessler双参数等效正态变换计算得到。

μ^N＝x-σ^N×φ^-1[F(x)] (15b)

式中：x代表原始非正态随机变量；Φ^-1[.]代表标准正态累积分布的倒数；F(x)代表原非正态累积分布函数在x点的取值；

代表标准正态分布的概率分布函数；f(x)代表在x点处原非正态概率密度值。

基于可靠度，失效概率表达式为：

P_f≈1-φ(β) (16)

φ(.)代表标准正态变量的累积分布函数。

8.2)基于一次可靠性分析法，分析硬石膏隧道可靠性

8.2.1)将公式(13)转换为：

n代表变量n_i的列向量；在优化求解过程中，x_i的值自动调整，对应的n_i值根据公式(18)自动求解：

8.2.2)建立可靠性分析结构功能函数，基于收敛-约束原理：在初期支护阶段围岩有一定的变形来释放地应力。膨胀效应联合应力释放作用，会增大隧道临空面的位移。如果累积的位移量小于围岩的允许位移量，则隧道处于稳定状态。根据说明书附图1所示的硬石膏围岩隧道弹-膨胀解析模型，以隧道临空面的径向位移与控制标准值对比来判定隧道稳定性。硬石膏隧道临时支护阶段的功能函数定义如下：

g(X)＝u_cv-u_r(r＝R₀) (19)

式中X是矢量，代表一系列的随机变量；μ_cv是隧道临空面的临界位移，当临空面的位移超过此值，则隧道发生失稳或者衬砌侵限；μ_cv的取值与岩体质量、隧道激活跨度等因素有关。

8.2.3)对可靠性分析变量进行分类；

将μ_cv、P₀、P_s、R₀、R_max、t划分为确定性变量，其中μ_cv、P_s、t属于设计变量，在具体实施中由隧道工程设计人员调控；μ_cv对应隧道支护预留变形量，膨胀时间t对应隧道支护时间；三个设计变量在约束范围内可进行调控。由于岩土体参数的不确定性，将E_s、E_e、υ、α、a、w_0i划分为随机变量，其分布类型及分布参数如Excel可靠度求解表格所示；C1、C2值根据式(10)、(11)由Excel自动获得。本实施例中设定变量E_e与υ呈负相关，相关性系数为-0.5；其它随机变量独立不相关。

本实施例中，确定性变量μ_cv、P₀、P_s、R₀、R_max、t的取值如下表2：

表2确定性变量的基准值及其研究范围

8.2.4)建立Excel可靠度求解表格，采用Microsoft Excel内置的优化求解器求解可靠度，求解目标设置为β值最小，可变量为x^*，约束条件为g(X)＝0。其中可靠度β值与n_i值遵循式(17)、(18)，x^*初始值设定为平均值。

本实施例中，采用Excel表格求解弹-膨胀围岩隧道可靠度，Excel可靠度求解表格如表3所示，其求解结果如图5-图10所示。

表3 Excel可靠度求解表格

从图5和图6所示的硬石膏围岩隧道可靠度与失效概率随支护应力的变化规律可知，随着支护应力的增大，两种工况条件下硬石膏围岩隧道可靠度呈线性增大，隧道失效概率逐渐减小，与实际规律较为相符。相同支护应力条件下，工况2隧道可靠度大于工况1隧道可靠度，对应的隧道失效概率小于工况1。因为相同支护应力条件下，工况2隧道临空面径向位移小于工况1。

从图7和图8所述的硬石膏围岩隧道可靠度与失效概率随膨胀时间变化规律可知，随着膨胀时间的增长，隧道可靠度减小并逐渐趋于稳定，隧道失效概率增大并逐渐趋于稳定。由于硬石膏围岩的膨胀作用随着时间推移逐渐衰减，因此隧道可靠度和失效概率会逐渐趋于稳定，与实际规律较为相符。工况1条件下膨胀时间对硬石膏围岩隧道可靠度和失效概率的影响大于工况2。

从图9和图10所示的硬石膏围岩隧道可靠度与失效概率随临界位移变化规律可知，随着设定的临界位移增大，隧道可靠度增大并逐渐趋于稳定，隧道失效概率减小并逐渐趋于稳定。两种工况条件下硬石膏围岩隧道可靠度与失效概率随临界位移变化规律基本一致。

通过上述分析可知，硬石膏围岩隧道可靠度与支护应力、膨胀时间、临界位移三个可调控设计变量密切相关，本考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法能较准确的得出可靠度与支护应力、膨胀时间、临界位移三个可调控设计变量的关系，分析结果可靠性高；设计人员可以在约束范围内通过合理的调控三个设计变量，并进行最优组合，使硬石膏围岩隧道的可靠度处于规定范围内，本方法能达到指导硬石膏围岩隧道设计与施工的目的。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)建立硬石膏隧道围岩的平衡微分方程：

式中σ_r为硬石膏隧道围岩的径向应力σ_r，σ_θ为硬石膏隧道围岩的环向应力，r为硬石膏隧道围岩的半径；

2)建立硬石膏隧道围岩的几何方程：

式中ε_θ为环向应变，ε_r为径向应变，μ_r是围岩径向位移；

3)建立硬石膏隧道围岩的吸水率方程：

A_t＝A_max(1-e^-at) (3)

式中A_t是t时刻硬石膏隧道围岩的吸水率；A_max是硬石膏隧道围岩膨胀终止时刻的吸水率；a是吸水系数，用于描述吸水快慢；

4)建立硬石膏隧道围岩的弹-膨胀本构方程：

式中E为弹性模量，υ为泊松比，α是线膨胀系数，△W是湿度变化量；由于硬石膏围岩膨胀阶段的变形模量小于弹性模量，若采用相同的变形模量，会导致计算出的应力偏大；因此，引用膨胀模量E_s来描述膨胀阶段的应力应变关系，并用符号E_e代替E表示弹性模量，则式(4)变为式(5)：

为描述硬石膏围岩的吸水-膨胀演化过程，即在模型中反映膨胀的时变特性，在本构模型中引入吸水率与时间的关系，即用式(3)中的A_t替换式(5)中的△W；基于当围岩体单元中水的含量小于该单元中CaSO₄被完全水化的耗水量时，该单元中的水能被完全吸收，则可用W替换式(3)中的A_max；对式(5)进行修正，修正过的弹-膨胀本构模型如下：

5)确定硬石膏隧道围岩的边界条件：

式中P_s为支护力，隧道开挖后，硬石膏隧道围岩的临空面径向应力等于支护力P_s；

6)联立平衡微分方程(1)、几何方程(2)和弹-膨胀本构方程(6)，得到围岩应力通解表达式：

式中C₁、C₂为通解参数，通过边界条件，即式(7)确定：

7)根据公式(8)和(9)求解出环向应变ε_θ，把ε_θ代入几何方程(2)中得到围岩的径向位移μ_r；考虑开挖后的位移是由于开挖后的应力增量所造成的，而原岩应力部分并不引起新的位移，采用应力增量：即用σ_r和σ_θ减去静水压力P₀，获得开挖后径向位移表达式如下：

8)采用一次可靠性分析法分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性：

8.1)对Hasofer-Lind可靠度的表达式：

进行调整，式中R代表相关性矩阵；σ_i代表随机变量x_i的标准差，调整为：

以保证对于非正态相关的变量，采用Hasofer-Lind可靠度分析考虑膨胀演化的硬石膏隧道可靠性也是正确的；式中：μ_i ^N和σ_i ^N分别代表随机变量x_i的等效正态平均值和标准差；μ_i ^N和σ_i ^N通过Rackwitz-Fiessler双参数等效正态变换计算得到；

μ^N＝x-σ^N×φ^-1[F(x)] (15b)

式中：x代表原始非正态随机变量；Φ^-1[.]代表标准正态累积分布的倒数；F(x)代表原非正态累积分布函数在x点的取值；

代表标准正态分布的概率分布函数；f(x)代表在x点处原非正态概率密度值；

基于可靠度，失效概率表达式为：

P_f≈1-φ(β) (16)

φ(.)代表标准正态变量的累积分布函数；

8.2)基于一次可靠性分析法，分析硬石膏隧道可靠性

8.2.1)将公式(13)转换为：

n代表变量n_i的列向量；在优化求解过程中，x_i的值自动调整，对应的n_i值根据公式(18)自动求解：

8.2.2)建立可靠性分析结构功能函数，硬石膏隧道临时支护阶段的功能函数定义如下：

g(X)＝u_cv-u_r(r＝R₀) (19)

式中X是矢量，代表一系列的随机变量；μ_cv是隧道临空面的临界位移，当临空面的位移超过此值，则隧道发生失稳或者衬砌侵限；

8.2.3)对可靠性分析变量进行分类；

将μ_cv、P₀、P_s、R₀、R_max、t划分为确定性变量，其中μ_cv、P_s、t属于设计变量；μ_cv对应隧道支护预留变形量，膨胀时间t对应隧道支护时间；由于岩土体参数的不确定性，将E_s、E_e、υ、α、a、w_0i划分为随机变量，C1、C2的值根据式(10)、(11)由获得；

8.2.4)建立Excel可靠度求解表格，采用Microsoft Excel内置的优化求解器求解可靠度，求解目标设置为β值最小，可变量为x^*，约束条件为g(X)＝0，其中可靠度β值与n_i值遵循式(17)、(18)，x^*初始值设定为平均值。

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