CN107765549A - 一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法 - Google Patents

一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法 Download PDF

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张日东
靳其兵
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Beijing University of Chemical Technology
Hangzhou Dianzi University
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Beijing University of Chemical Technology
Hangzhou Dianzi University
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

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Abstract

本发明公开了一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法。本发明首先选取合适的状态变量建立状态控制模型，进一步将状态控制模型转换为包含输出和跟踪误差的结构型扩展模型，然后结合迭代学习控制得到新的结构型扩展模型，最后选取相应的性能指标，结合迭代学习控制方程求得最优更新律和控制律。利用本发明可有效改善工业过程中控制方法的跟踪性能，增加控制器的调节自由度，改善系统的控制性能。

Description

一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法
技术领域
本发明属于自动化技术领域，涉及一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法。
背景技术
在实际工业生产中，批次过程在实践中广泛应用于生产高附加值产品，相关控制策略的发展取得了很大进展。为了满足日益增长的产品质量要求，现有方法还有待提高。批次处理过程重复相同的操作直到获得产品，表明其存在重复性。为了在批次过程中处理这些重复和非重复的动态问题，引入了反馈控制与迭代学习控制结合的方案，以保证沿时间和周期指数的控制性能。模型预测控制是系统中反馈控制的不错选择。然而，由于传统的状态空间模型的限制，状态变量的调整可能不足以适用于传统的迭代学习控制算法。模型预测控制和迭代学习控制基于两阶段优化的思想组合，可以获得更好的批量处理的集成控制性能。现有的结构型扩展模型，其状态变量和输出跟踪误差是联合的，并且可以在控制器设计中单独调节，但控制性能仍然受到限制。因此将新型的结构型扩展模型引入到控制系统的框架中，以提高控制性能是很有必要的。
发明内容
本发明目的是为改善批次工业过程中控制方法的控制性能，提出一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法。
本发明首先选取合适的状态变量建立状态控制模型，进一步将状态控制模型转换为包含输出和跟踪误差的结构型扩展模型，然后结合迭代学习控制得到新的结构型扩展模型，最后选取相应的性能指标，结合迭代学习控制方程求得最优更新律和控制律。
本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、迭代学习算法、优化等手段，确立了一种基于迭代学习控制方法的新型结构型扩展模型进而对控制器进行设计，利用该方法可有效改善工业过程中控制方法的跟踪性能，增加控制器的调节自由度，改善系统的控制性能。
本发明方法的步骤包括：
步骤1.建立批次过程中被控对象的状态控制模型，具体是：
1-1首先采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的模型，形式如下
A(qt -1)y(t,k)＝B(qt -1)u(t,k)
A(qt -1)＝1+H1qt -1+H2qt -2+…+Hmqt -m
B(qt -1)＝L1qt -1+L2qt -2+…+Lnqt -n
其中，t,k分别表示离散时间和周期指数。A(qt -1),B(qt -1)都是时间后向移位算子。y(t,k)和u(t,k)分别是在第k个周期t时刻的输出和输入。H1,H2...Hm和L1,L2...Ln是A(qt -1),B(qt -1)中对应项的系数，m和n是最大阶次。
1-2将步骤1-1中的模型进一步简化处理成如下形式
A(qt -1)Δty(t,k)＝B(qt -1)Δtu(t,k)
即：
Δty(t+1,k)+H1Δty(t,k)+…+HmΔty(t-m+1,k)＝L1Δtu(t,k)+L2Δtu(t-1,k)+…+LnΔtu(t-n+1,k)
其中Δt是时间后向差分算子；y(t+1,k),y(t,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t+1时刻，t时刻…t-m+1时刻过程的输出。u(t,k),u(t-1,k)…u(t-1+n,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-n+1时刻的过程输入。
1-3选取状态空间向量,形式如下
Δtx(t,k)＝[Δty(t,k),Δty(t-1,k),…,Δty(t-m+1,k),Δtu(t-1,k),Δtu(t-2,k),…,Δtu(t-n+1,k)]T
得到状态控制模型形式如下
Δtx(t+1,k)＝AΔtx(t,k)+BΔtu(t,k)
Δty(t+1,k)＝CΔtx(t+1,k)
其中，
B＝[L1 0 0 … 1 0 … 0]T
C＝[1 0 0 … 0 0 0 0]
y(t,k),y(t-1,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-m+1时刻过程的输出。u(t-1,k),u(t-2,k)…u(t-n+1,k)分别是第k个周期t-1时刻,t-2时刻…t-n+1时刻的过程输入。x(t,k)是第k个周期t时刻的状态，x(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的状态，T是矩阵的转置。
1-4将输出跟踪误差定义为
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t,k)
其中，e(t,k)是第k个周期t时刻的跟踪误差，y(t,k)是在第k个周期t时刻的过程输出。yr(t,k)是参考轨迹输出，它采取如下形式：
yr(t+i,k)＝ωiy(t,k)+(1-ωi)c(t+i)
其中，yr(t+i,k)是第k个周期t+i时刻的参考轨迹输出，c(t+i)是t+i时刻的设定时间点，i取任意自然数，ωi是参考轨迹的平滑因子。
1-5结合步骤1-3和1-4，求得跟踪误差形式如下
e(t+1,k)＝e(t,k)+CAΔtx(t,k)+CBΔtu(t,k)-Δtyr(t+1,k)
其中，e(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪误差，yr(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪轨迹输出。
1-6选取状态向量
得到结构型扩展模型形式如下
xm(t+1,k)＝Amxm(t,k)+BmΔtu(t,k)+CmΔtyr(t+1,k)
其中,矩阵Am和Cm中的0表示具有一定维数的零矩阵。xm(t+1,k)是第k周期t+1时刻的结构扩展模型。
1-7结合以下形式的迭代学习控制规则：
u(t,k)＝u(t,k-1)+u(t-1,k)-u(t-1,k-1)+r(t,k)
其中r(t,k)是更新律，u(t,k)是第k周期t时刻的控制律，u(t,k-1)是第k-1周期t时刻的控制律，u(t-1,k)是第k个周期t-1时刻的控制律，u(t-1,k-1)是第k-1周期t-1时刻的控制律。
步骤1-6中结构型扩展模型形式可以表示为：
xm(t+1,k)＝xm(t+1,k-1)+Am(xm(t,k)-xm(t,k-1))+Bmr(t,k)+Cm(Δtyr(t+1,k)-Δtyr(t+1,k-1))
进一步可得到新的结构型扩展模型形式：
Xm(k)＝Xm(k-1)+F(xm(t,k)-xm(t,k-1))+φR(k)+S(Yr(k)-Yr(k-1))
其中，
P,M分别为预测时域和控制时域；xm(t+1,k)，xm(t+2,k)…xm(t+P,k)分别是第k个周期t+1,t+2...t+P时刻的结构扩展模型；r(t,k)，r(t+1,k)…r(t+M-1,k)是第k个周期t时刻，t+1时刻...t+M-1时刻的更新律。
步骤2.设计被控对象的批次过程控制器，具体方法是:
2-1选取性能指标形式如下
其中minJ是代价函数的最小化，P,M分别为预测时域和控制时域，λ(j),α(j),β(j),γ(j)是相关的加权矩阵，Δk是周期后向差分算子，i和j表示从1开始的时域内任意一个实数。
2-2将步骤2-1中的代价函数进一步处理成如下形式
minJ＝λXm(k)2+αR(k)2+β(ΔtU(k-1)+R(k))2+γ(ΔkU(t-1)+ηR(k))2
其中，
u(t,k-1)-u(t-1,k-1)，u(t+1,k-1)-u(t,k-1)…u(t+M-1,k-1)-u(t+M-2,k-1)分别是第k-1个周期t时刻，t+1时刻，t+M-1时刻的控制律和与其对应的前一个时刻控制律的差值。u(t-1,k)-u(t-1,k-1)是第k个周期t-1时刻的控制律和第k-1个周期t-1时刻的控制律的差值。
2-3通过步骤2-2可以得到最优更新定律
R(k)＝-(φTλφ+α+β+ηTγη)-1(φTλ(F(xm(t,k)-xm(t,k-1))+Xm(k-1)+S(Yr(k)-Yr(k-1)))+βΔtU(k-1)+ηTγΔkU(t-1))
取出R(k)的第一项r(t,k)，重复步骤2-1至2-3可获得最优控制律。
本发明有益效果如下：
本发明提出了一种新型的迭代学习控制算法。该方法建立了一种结构型扩展模型，并设计了被控对象的批次过程控制器，可以同时调节输出跟踪误差和过程状态变量，为相应的控制器的调节提供了更多的自由度，保证了系统具有良好的控制性能。
具体实施方式
以批次过程中保压调节控制为例：
批次过程中的保压调节是一个典型的批次过程，调节手段是控制阀门开度。
步骤1.建立保压过程控制模型，具体是：
1-1首先采集保压过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程模型，形式如下
A(qt -1)y(t,k)＝B(qt -1)u(t,k)
A(qt -1)＝1+H1qt -1+H2qt -2+…+Hmqt -m
B(qt -1)＝L1qt -1+L2qt -2+…+Lnqt -n
其中，t,k分别表示离散时间和周期指数。A(qt -1),B(qt -1)都是时间后向移位算子。H1,H2...Hm和L1,L2...Ln是A(qt -1),B(qt -1)中对应项的系数，m和n是最大阶次。y(t,k)是第k周期t时刻保压过程的输出，u(t,k)是在第k个周期t时刻阀门开度的输入。
1-2将步骤1-1中的模型进一步处理成如下形式
A(qt -1)Δty(t,k)＝B(qt -1)Δtu(t,k)
即：
Δty(t+1,k)+H1Δty(t,k)+…+HmΔty(t-m+1,k)＝L1Δtu(t,k)+L2Δtu(t-1,k)+…+LnΔtu(t-n+1,k)
其中Δt是时间后向差分算子；y(t+1,k),y(t,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t+1时刻，t时刻…t-m+1时刻保压过程的输出。u(t,k),u(t-1,k)…u(t-1+n,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-n+1时刻的阀门开度的输入。
1-3选取状态空间向量,形式如下
Δtx(t,k)＝[Δty(t,k),Δty(t-1,k),…,Δty(t-m+1,k),Δtu(t-1,k),Δtu(t-2,k),…,Δtu(t-n+1,k)]T
得到状态控制模型形式如下
Δtx(t+1,k)＝AΔtx(t,k)+BΔtu(t,k)
Δty(t+1,k)＝CΔtx(t+1,k)
其中，
B＝[L1 0 0 … 1 0 … 0]T
C＝[1 0 0 … 0 0 0 0]
y(t,k),y(t-1,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-m+1时刻保压过程的输出。u(t-1,k),u(t-2,k)…u(t-n+1,k)分别是第k个周期t-1时刻,t-2时刻…t-n+1时刻的阀门开度的输入。x(t,k)是第k个周期t时刻的状态，x(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的状态，T是矩阵的转置。
1-4将输出跟踪误差定义为
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t,k)
其中，e(t,k)是第k个周期t时刻的跟踪误差，y(t,k)是在第k个周期的时刻t的保压过程的输出。yr(t,k)是参考轨迹的输出，它采取如下形式：
yr(t+i,k)＝ωiy(t,k)+(1-ωi)c(t+i)
其中，yr(t+i,k)是第k个周期t+i时刻的参考轨迹输出，c(t+i)是t+i时刻的设定时间点，i取任意自然数，ωi是参考轨迹的平滑因子。
1-5结合步骤1-3和1-4，求得跟踪误差形式如下
e(t+1,k)＝e(t,k)+CAΔtx(t,k)+CBΔtu(t,k)-Δtyr(t+1,k)
其中，e(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪误差，yr(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪轨迹输出。
1-6选取状态向量
得到结构型扩展模型形式如下
xm(t+1,k)＝Amxm(t,k)+BmΔtu(t,k)+CmΔtyr(t+1,k)
其中,
矩阵Am和Cm中的0表示具有一定维数的零矩阵。xm(t+1,k)是第k周期t+1时刻的结构扩展模型。
1-7结合以下形式的迭代学习控制规则：
u(t,k)＝u(t,k-1)+u(t-1,k)-u(t-1,k-1)+r(t,k)
其中r(t,k)是更新律，u(t,k)是第k周期t时刻的控制律，u(t,k-1)是第k-1周期t时刻的控制律，u(t-1,k)是第k个周期t-1时刻的控制律，u(t-1,k-1)是第k-1周期t-1时刻的控制律。步骤1-6中结构型扩展模型形式可以表示为：
xm(t+1,k)＝xm(t+1,k-1)+Am(xm(t,k)-xm(t,k-1))+Bmr(t,k)+Cm(Δtyr(t+1,k)-Δtyr(t+1,k-1))
进一步可得到新的结构型扩展模型形式：
Xm(k)＝Xm(k-1)+F(xm(t,k)-xm(t,k-1))+φR(k)+S(Yr(k)-Yr(k-1))
其中，
P,M分别为预测时域和控制时域；xm(t+1,k)，xm(t+2,k)…xm(t+P,k)分别是第k个周期t+1,t+2...t+P时刻的结构扩展模型；r(t,k)，r(t+1,k)…r(t+M-1,k)是第k个周期t时刻，t+1时刻...t+M-1时刻的更新律。
步骤2.设计保压过程控制器，具体是:
2-1选取性能指标形式如下
其中minJ是代价函数的最小化，P,M分别为预测时域和控制时域，λ(j),α(j),β(j),γ(j)是相关的加权矩阵，Δk是周期后向差分算子，i和j表示从1开始的时域内任意一个实数。
2-2将步骤2-1中的代价函数进一步处理成如下形式
minJ＝λXm(k)2+αR(k)2+β(ΔtU(k-1)+R(k))2+γ(ΔkU(t-1)+ηR(k))2
其中，
u(t,k-1)-u(t-1,k-1)，u(t+1,k-1)-u(t,k-1)…u(t+M-1,k-1)-u(t+M-2,k-1)分别是第k-1个周期t时刻，t+1时刻，t+M-1时刻的控制阀输入和与其对应的前一个时刻控制阀输入的差值。u(t-1,k)-u(t-1,k-1)是第k个周期t-1时刻控制阀输入和第k-1个周期t-1时刻控制阀输入的差值。
2-3通过步骤2-2可以得到最优更新定律
R(k)＝-(φTλφ+α+β+ηTγη)-1(φTλ(F(xm(t,k)-xm(t,k-1))+Xm(k-1)+S(Yr(k)-Yr(k-1)))+βΔtU(k-1)+ηTγΔkU(t-1))
取出R(k)的第一项r(t,k)，重复步骤2-1至2-3可获得最优控制律u(k)作用于控制阀。

Claims (1)

1.一种批次工业过程的新型迭代学习控制方法，其特征在于该方法具体是：
步骤1.建立批次过程中被控对象的状态控制模型，具体是：
1-1首先采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的模型，形式如下
A(qt -1)y(t,k)＝B(qt -1)u(t,k)
A(qt -1)＝1+H1qt -1+H2qt -2+…+Hmqt -m
B(qt -1)＝L1qt -1+L2qt -2+…+Lnqt -n
其中，t,k分别表示离散时间和周期指数；A(qt -1),B(qt -1)都是时间后向移位算子；y(t,k)和u(t,k)分别是在第k个周期t时刻的输出和输入；H1,H2...Hm和L1,L2...Ln是A(qt -1),B(qt -1)中对应项的系数，m和n是最大阶次；
1-2将步骤1-1中的模型进一步简化处理成如下形式
A(qt -1)Δty(t,k)＝B(qt -1)Δtu(t,k)
即：
Δty(t+1,k)+H1Δty(t,k)+…+HmΔty(t-m+1,k)
＝L1Δtu(t,k)+L2Δtu(t-1,k)+…+LnΔtu(t-n+1,k)
其中Δt是时间后向差分算子；y(t+1,k),y(t,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t+1时刻，t时刻…t-m+1时刻过程的输出；u(t,k),u(t-1,k)…u(t-1+n,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-n+1时刻的过程输入；
1-3选取状态空间向量,形式如下
Δtx(t,k)＝[Δty(t,k),Δty(t-1,k),…,Δty(t-m+1,k),
Δtu(t-1,k),Δtu(t-2,k),…,Δtu(t-n+1,k)]T
得到状态控制模型形式如下
Δtx(t+1,k)＝AΔtx(t,k)+BΔtu(t,k)
Δty(t+1,k)＝CΔtx(t+1,k)
其中，
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B＝[L1 0 0 … 1 0 … 0]T
C＝[1 0 0 … 0 0 0 0]
y(t,k),y(t-1,k)…y(t-m+1,k)分别是第k个周期t时刻，t-1时刻…t-m+1时刻过程的输出；u(t-1,k),u(t-2,k)…u(t-n+1,k)分别是第k个周期t-1时刻,t-2时刻…t-n+1时刻的过程输入；x(t,k)是第k个周期t时刻的状态，x(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的状态，T是矩阵的转置；
1-4将输出跟踪误差定义为
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t,k)
其中，e(t,k)是第k个周期t时刻的跟踪误差，y(t,k)是在第k个周期t时刻的过程输出；yr(t,k)是参考轨迹输出，它采取如下形式：
yr(t+i,k)＝ωiy(t,k)+(1-ωi)c(t+i)
其中，yr(t+i,k)是第k个周期t+i时刻的参考轨迹输出，c(t+i)是t+i时刻的设定时间点，i取任意自然数，ωi是参考轨迹的平滑因子；
1-5结合步骤1-3和1-4，求得跟踪误差形式如下
e(t+1,k)＝e(t,k)+CAΔtx(t,k)+CBΔtu(t,k)-Δtyr(t+1,k)
其中，e(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪误差，yr(t+1,k)是第k个周期t+1时刻的跟踪轨迹输出；
1-6选取状态向量
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
得到结构型扩展模型形式如下
xm(t+1,k)＝Amxm(t,k)+BmΔtu(t,k)+CmΔtyr(t+1,k)
其中,矩阵Am和Cm中的0表示具有一定维数的零矩阵；xm(t+1,k)是第k周期t+1时刻的结构扩展模型；
1-7结合以下形式的迭代学习控制规则：
u(t,k)＝u(t,k-1)+u(t-1,k)-u(t-1,k-1)+r(t,k)
其中r(t,k)是更新律，u(t,k)是第k周期t时刻的控制律，u(t,k-1)是第k-1周期t时刻的控制律，u(t-1,k)是第k个周期t-1时刻的控制律，u(t-1,k-1)是第k-1周期t-1时刻的控制律；
将步骤1-6中结构型扩展模型形式表示为：
xm(t+1,k)＝xm(t+1,k-1)+Am(xm(t,k)-xm(t,k-1))
+Bmr(t,k)+Cm(Δtyr(t+1,k)-Δtyr(t+1,k-1))
进一步可得到新的结构型扩展模型形式：
Xm(k)＝Xm(k-1)+F(xm(t,k)-xm(t,k-1))
+φR(k)+S(Yr(k)-Yr(k-1))
其中，
<mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
<mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>m</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>m</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>P</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
P,M分别为预测时域和控制时域；xm(t+1,k)，xm(t+2,k)…xm(t+P,k)分别是第k个周期t+1,t+2...t+P时刻的结构扩展模型；r(t,k)，r(t+1,k)…r(t+M-1,k)是第k个周期t时刻，t+1时刻...t+M-1时刻的更新律；
步骤2.设计被控对象的批次过程控制器，具体是:
2-1选取性能指标形式如下
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>min</mi> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mi>r</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中minJ是代价函数的最小化，P,M分别为预测时域和控制时域，λ(j),α(j),β(j),γ(j)是相关的加权矩阵，Δk是周期后向差分算子，i和j表示从1开始的时域内任意一个实数；
2-2将步骤2-1中的代价函数进一步处理成如下形式
minJ＝λXm(k)2+αR(k)2+β(ΔtU(k-1)+R(k))2
+γ(ΔkU(t-1)+ηR(k))2
其中，
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
u(t,k-1)-u(t-1,k-1)，u(t+1,k-1)-u(t,k-1)…u(t+M-1,k-1)-u(t+M-2,k-1)分别是第k-1个周期t时刻，t+1时刻，t+M-1时刻的控制律和与其对应的前一个时刻控制律的差值；u(t-1,k)-u(t-1,k-1)是第k个周期t-1时刻的控制律和第k-1个周期t-1时刻的控制律的差值；
2-3通过步骤2-2得到最优更新定律
R(k)＝-(φTλφ+α+β+ηTγη)-1(φTλ(F(xm(t,k)-xm(t,k-1))
+Xm(k-1)+S(Yr(k)-Yr(k-1)))+βΔtU(k-1)+ηTγΔkU(t-1))
取出R(k)的第一项r(t,k)，重复步骤2-1至2-3可获得最优控制律。
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