CN107705217B - 一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，涉及高电压输电技术和电磁场计算领域，包括计算各空间节点某时刻的标称电场、初始化空间电荷密度、计算合成电场、运用特征线法更新电场线上的空间电荷密度分布、计算空间节点上不同时刻对应的空间电荷密度、收敛判断，从而得到交直流输电线路交叉跨越区域下方电场。本发明的计算方法具有计算结果准确，计算工作量小的特点。

Description

一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法

技术领域

本发明涉及高电压输电技术和电磁场计算领域，用于计算超高压交输电线路和直流输电线路交叉跨越时线路下方的电场。

背景技术

由于输电线路内部有电流通过，输电线路本身在其周围空间内会产生标称电场，又由于输电线路的电晕现象，输电线路周围的空气会发生电离形成带电粒子。交流输电线路发生电晕时，由于导线电压的极性周期性变化，上半个周期因电晕放电使空气电离产生的离子，在下半个周期因电压极性改变，又几乎被全部拉回导线，这样使得电离出的离子基本被束缚在导线附近，导线与大地间的广大空间不存在带电粒子。直流导线的输电电压的极性是固定的，在直流线路两极导线之间以及极导线与大地之间的整个区域内，将充满空间电荷，这些空间电荷也会产生一定的电场强度，会对地面和周围空间产生影响，也会使由导线内的电荷所产生的标称电场产生畸变，总体上的效应是使合成电场增加。当空间电荷运动到地面后，会被地面吸收，因此在输电线路下方的空间内，还会形成具有一定密度的离子流，这就是直流输电线路的离子流场。

如果输电线路仅仅有一条，输电线路对地面的影响可以简化为线性关系，但是如果有两条输电线路互相交叉，两条输电线路则均会对地面形成影响，在输电线路下方的三维空间内就存在三维的空间电场，地面上呈现的电场强度也不是简单的二维电场的叠加。当交流线路与直流线路交叉跨越时，尤其是超高压输电线路交叉跨越时，交流线路与直流线路会互相影响，交叉跨越区域周围的电场及电磁环境就变的非常复杂，不但是非线性的，而且还随着交流电波动而时刻发生变化。交流线路会对直流输电线路的导线表面的电位产生影响，直流导线上的等效电荷也会发生变化，从而使直流标称电场发生变化，并且由于交流电的周期性变化，部分空间电荷在交流输电线路附近进行往复运动，交流和直流相互影响，交叉跨越的三维空间内的空间电场同时具有非线性和时变的特点，这样会大大增加计算的难度。而在进行线路设计时，对于电场强度的计算是必须考虑的。在我国DL/T1088-2008、DL/T1187-2012、GB15707-1995等标准中，分别对交、直流输电线路的电磁环境参数进行了数值的限定，考虑到其对周围环境及居民的影响，在线路的运行过程中，该线路的电磁环境参数不能超过这些标准的限值。因此在线路设计时需要对输电线路对地面的电场和离子流场进行计算。

当前对于求解三维空间电荷存在时的电场和离子流场的方法，常用的方法是基于Deutsch假设的解法和基于迭代思想的数值解法(如有限元等方法)。但基于Deutsch假设的解法忽略了空间电荷对电场的畸变作用，致使空间电场计算不精确。有限元方法等采用迭代的方式，通过轮流求解合成电场和离子流场从而获得稳定解，稳定性较好，但当需要计算区域是复杂模型或三维区域内存在大尺寸的建筑物时，迭代算法的计算量巨大，特别是在计算三维模型时，该方法所需要的计算时间短则十几天长则几十天，所花费的代价很高。交流输电线路与直流输电导线交叉跨越时，由于其周围的空间电场存在时变和非线性特性，有限元等方法需要付出比在仅是直流三维交叉跨越时更高的计算代价。对于超高压直流输电线路和交流输电线路交叉跨越区域的下方电场和离子流场的计算，目前尚且没有精确而且快速的算法。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是提供一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，具有计算结果准确，计算工作量小的特点。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：

一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，包括以下步骤：

1)在交直流输电线路交叉跨越区域形成虚拟的网格，确定各空间节点的位置，并设定交流电一个周期内的某一时刻，计算空间节点该时刻的标称电场；

2)根据上一步得到的标称电场，画出电场线轨迹，并利用Deutsch假设对电场线上各点的空间电荷密度进行初始化，通过三维插值方法将电场线上各点的空间电荷密度插值得到空间节点该时刻的初始空间电荷密度；

3)根据步骤1)和步骤2)的计算结果，计算空间节点该时刻的合成电场；

4)根据合成电场，重新画电场线轨迹，运用特征线法更新电场线上的空间电荷密度分布，插值得到空间节点上该时刻的空间电荷密度；

5)按照步骤1)～4)的方法计算从下一时刻的空间节点上的标称电场和合成电场以及空间电荷密度，从而得到空间节点上不同时刻对应的空间电荷密度；

6)取时间间隔为一个交流电周期的两个时刻的空间电荷密度的计算结果，对这个两个结果进行收敛判断，如果前后两个时刻的空间电荷密度差值的平均值不满足收敛条件，则返回步骤5)继续计算；如果前后两个时刻的空间电荷密度差值的平均值满足收敛条件，则计算出空间节点在一个周期内出现的最大电场；形成交直流输电线路交叉跨越区域下方电场。

本发明的技术方案的进一步改进在于：计算标称电场时是以模拟电荷法为基础，将空间中任一空间节点处的标称电场定义为所有模拟电荷及其镜像在该点处的电场的矢量叠加，计算所用的公式为

式中：E为标称电场；j为模拟线电荷编号；τ_j为第j个模拟电荷的线电荷密度，l_j为第j个模拟电荷的长度；r_j、R_j为源点及其镜像点到计算点的距离， r_j、R_j为源点及其镜像点到计算点的矢量，ε₀为空气介电常数。

本发明的上述技术方案的进一步改进在于：合成电场为标称电场与空间电荷产生的电场的叠加，计算合成电场时所用的公式为：

公式(2)中E_(t)表示合成电场，i为空间体电荷编号，Vi为第i个体电荷的体积，

为t时刻第i个空间体电荷的正、负电荷密度。

本发明的上述技术方案的进一步改进在于：步骤6)中所述的满足收敛条件是符合下式要求：

其中，N为一周期内的计算时刻数，n为空间节点数，δ为收敛条件。

本发明的技术方案的进一步改进在于：相邻两个时刻之间的间隔为一个交流电周期的1/20。

本发明的技术方案的进一步改进在于：运用特征线法更新空间电荷密度时，将空间中的电场线分为两类，第一类是位于导线与地面以及导线与地线之间的，沿这类电场线仅存在与导线极性相同的电荷，当有负电荷密度ρ^-(t)存在时，ρ⁺(t)＝0，当有正电荷密度ρ⁺(t)存在时，负电荷密度ρ^-(t)＝0；第二类是位于双极导线之间的，沿这类电场线两种极性的电荷都存在，ρ^-(t)≠0，ρ⁺(t)≠0；并按照下面的公式(3)、(4)、(5)、(6)，将初始化后的电荷密度作为初值，根据合成电场更新特征线上的电荷密度分布；

第一类电场线上，若已知其上一点的负电荷密度，则沿电场线方向下一点的负电荷密度为：

其中，x为下一点的x坐标，x₀为已知点的x坐标，

k^-为负离子迁移率，v_x为离子在x方向的移动速度，

第一类电场线上，若已知其上一点的正电荷密度，则沿电场线方向下一点的正电荷密度为：

其中

k⁺为正离子迁移率；

根据求出的空间节点上的正/负电荷密度，再次根据公式(3)、(4)，即可得到再下一点的正/负电荷密度，以此类推，即可得到整条电场线上的电荷密度分布；

第二类电场线的负电荷密度为：

其中，

第二类电场线的正电荷密度为：

其中，

上述公式中，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e为电子电荷量，ε₀为空气介电常数。

本发明的技术方案的进一步改进在于：空间电荷密度公式是通过下述方法得出：

根据时域三维特征线法的基本方程(7)～(9)，推导出的电荷密度的偏微分方程(10)，再将电荷密度的偏微分方程转化成沿电场线方向的常微分方程 (11)和(12)，将不同种类的电场的条件代入常微分方程(11)或常微分方程 (12)，得到不同种类电场的电荷密度公式；

Poisson方程：

▽·E(t)＝(ρ⁺(t)-ρ^-(t))/ε₀ (7)，

电流密度方程：

电流连续性方程：

上式中，E(t)为合成电场强度，j(t)为离子流密度，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e 为电子电荷量，W(t)为风速，ε₀为空气介电常数；

偏微分方程：

常微分方程：

本发明的技术方案的进一步改进在于：在将偏微分方程转化为沿电场线方向的常微分方程时采用下述方法，

计算负电荷密度ρ^-(t)时，令v＝k^-E(t)-W(t)，则

将公式(13)代入公式(10)，得到

根据电场线的定义dx/v_x＝dy/v_y＝dz/v_z，可做如下变换，

把公式(15)代入公式(14)，则公式(14)可以变为

由于负电荷的移动方向与电场方向相反，dx/dt＝-v_x，因此dt/dx＝-1/v_x，上式左右相消，可得沿电场线方向的常微分方程

计算正电荷密度ρ⁺(t)时，是令v＝k⁺E(t)+W(t)并代入偏微分方程(10)，按上述相同的方法推导，得到

由于采用了上述技术方案，本发明取得的技术进步是：

本发明用特征线法来求解直流交叉跨越输电线路下方的电场和离子流场，该方法与Deutsch假设相比，考虑了空间电荷的作用，使计算结果精确度更高；在求解空间电荷的过程中，放弃了有限元等数值方法，而是采用了特征线这种解析方法进行求解，避免了大规模的数值计算，计算量减少，计算时间大大缩短。

本发明是基于计算直流交叉跨越的特征线法提出的适用于时域的计算交直流交叉跨越输电线路下方电场的方法，本发明的方法与直流三维特征线法相比，将时间因素考虑到基本方程中，提出了适用于时域的三维特征线法。考虑了时间因素和空间因素后，可以将交流电周期内不同时刻的电场对直流电形成的电场所产生的影响充分加以考量，将时刻变化的交流电的电场和离子流场的特性加入到计算过程，真实的反应了交流电和直流电相互作用对输电线路下方空间综合影响，使计算结果更加真实、准确。

本发明使用积分方程法计算由空间电荷产生的空间电场，使用特征线法计算空间电场导致的空间电荷的移动，从而在整个计算中均可以仅使用解析计算公式，不需要建立大规模的方程组，对计算机内存的要求不高，大大加快了计算速度。

附图说明

图1是本发明计算方法的流程图；

图2a)与图2b)是交直流输电线路交叉跨越时的输电线路的模型图，其中图2a)是垂直于直流输电线路做的直流线路截面图，图2b)是垂直于交流输电线路做的交流输电线路截面图，其中，1、交流输电线路，2、直流输电线路、3、地线，4、地面；

图3为t₀时刻地面标称电场；

图4表示t₀时刻地面上方的空间电荷密度；

图5所示为t₀时刻地面合成电场强度；

图6表示更新后的地面上方空间电荷密度；

图7为t₁时刻地面标称电场；

图8为t₁时刻地面合成电场；

图9为t₁时刻地面上方空间电荷密度；

图10为收敛误差与迭代周期数；

图11为用本发明的方法计算得出的交直流交叉跨越输电线路下方地面最大合成电场强度分布。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的方法做进一步详细说明：

图2a)与图2b)是交直流输电线路交叉跨越时的输电线路的模型图，其中图2a)是垂直于直流输电线路做的直流线路截面图，图2b)是垂直于交流输电线路做的交流输电线路截面图，图中标示出了输电线路的部分参数。该模型的边界条件是将地面的电位及地线的电位均设定为0，导线上的电位等于当前时刻导线上施加的电压。因此，在不同的时刻，边界条件中仅有交流导线上的电位发生改变。下面以图2a)与图2b)所示图形为基础，说明本发明的交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法。在开始计算时，首先设定一个t₀时刻，并将一个交流电的周期等分为若干个时刻，如交流电的周期T是1/50 秒时，如果将一个交流电周期分为20等分，则相邻两个时刻的间隔则为1/1000 秒，然后按照下述步骤计算。

1)：计算标称电场

先在交直流输电线路交叉跨越区域形成虚拟的网格，以确定交直流输电线路交叉跨越区域下方的空间节点的位置，然后计算t₀时刻、各个空间节点上的标称电场。如在t₀时刻，三相交流相位分别为0、-2/3π、2/3π，从而得出 t₀时刻各相输电线的电位。本发明的计算方法可以是对交直流输电线路交叉跨越区域虚拟网格上所有点同时计算。

计算标称电场时，是以模拟电荷法为计算基础，在各子导线内设置有限长线电荷，设定各模拟电荷的线电荷密度为τ_j，在导线(含地线)表面选取m个匹配点，建立关于线电荷密度τ_j的线性方程组为

其中P为线电荷在匹配点的电位系数矩阵，

其中l_j为第j个线电荷的长度，r_ij和R_ij为匹配点i到源点j以及镜像点J的距离；求解方程组，即可以得到模拟电荷的大小。

在模拟电荷的基础上，将空间中任一空间节点处的标称电场定义为所有模拟电荷及其镜像在该点处的电场的矢量叠加，即标称电场为：

其中：E为标称电场；j为模拟线电荷编号；τ_j为第j个模拟电荷的线电荷密度，l_j为第j个模拟电荷的长度；r_j、R_j(公式中的分母部分的符号)为源点及其镜像点到计算点的距离，r_j、R_j(公式中的分子部分的符号,粗体)为源点及其镜像点到计算点的矢量，ε₀为空气介电常数；

采用上述公式计算后得到的t₀时刻的地面的标称电场如图3所示。图3及以下的附图中的电场值均为幅值，与电场方向无关。

2)根据上一步得到的标称电场，画出电场线的轨迹，利用Deutsch假设对电场线上的电荷密度进行初始化，通过三维插值方法将电场线上各点的空间电荷密度插值，从而得到各空间节点上的沿电场线的初始化后的电荷密度分布；如图4所示。

3)计算合成电场：

根据步骤1)和步骤2)的计算结果，计算各空间节点上该时刻的合成电场。

合成电场等于标称电场与空间电荷产生的电场的叠加，按照下式计算：

式中，E_(t)表示合成电场，加号左侧为标称电场，加号右侧为空间电荷产生的电场；i为空间体电荷数，Vi为第i个体电荷的体积，

为t时刻第i个空间体电荷的正、负电荷密度。计算结果如图5所示。

4)运用特征线法计算空间电荷密度：

根据初始化后的电荷密度和合成电场，重新画电场线的轨迹，运用特征线法更新一次电场线上的电荷密度分布，并插值得到空间节点上该时刻的空间电荷密度分布。

空间中的电场线分为两类，第一类是位于导线与地面以及导线与地线之间的电场线，沿这类电场线仅存在与导线极性相同的电荷，此种情况下，当有负电荷密度ρ^-(t)存在时，正电荷密度ρ⁺(t)＝0，当有正电荷密度ρ⁺(t)存在时，负电荷密度ρ^-(t)＝0；第二类是位于双极导线之间的电场线，沿这类电场线两种极性的电荷都存在，即ρ^-(t)≠0、ρ⁺(t)≠0；并按照下面的公式(3)、(4)、(5)、(6) 将初始化后的电荷密度作为初值，根据合成电场更新特征线上的电荷密度分布；

第一类电场线上，若已知其上一点的负电荷密度，则沿电场线方向下一点的负电荷密度为：

其中，x为下一点的x坐标，x₀为已知点的x坐标，

k^-为负离子迁移率，v_x为离子在x方向的移动速度，

第一类电场线上，若已知其上一点的正电荷密度，则沿电场线方向下一点的正电荷密度为：

其中

k⁺为正离子迁移率；

根据求出的空间节点上的正/负电荷密度，再次根据公式(3)、(4)，即可得到再下一点的正/负电荷密度，以此类推，即可得到整条电场线上的电荷密度分布。

第二类电场线的负电荷密度为：

其中，

第二类电场线的正电荷密度为：

其中，

上述公式中，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e为电子电荷量，ε₀为空气介电常数。

按照公式(3)、(4)、(5)或者(6)，由初始化后的电荷密度作为初值，根据步骤3中得到的合成电场计算特征线上的电荷密度分布；并插值得到空间电荷密度分布，结果如图6所示。

5)根据步骤1)～4)的方法重新计算下一时刻(如t₁时刻)的各空间节点上的标称电场和合成电场，并根据公式(3)、(4)、(5)或者(6)重新计算对应时刻的空间电荷密度，得到各空间节点上不同时刻t_i所对应的空间电荷密度。本实施例计算的t₁时刻的标称电场如图7所示，图7中的t₁时刻是指1/4T 时刻，即三相交流电相位为π/2、-1/6π、7/6π；计算出t₁时刻的合成电场如图8所示，t₁时刻空间电荷密度如图9所示。为了保证在前后两次迭代中合成电场不会由于交流线路电位变化而发生突变，t₁与t₀之间的时间间隔Δt应取一个较小的值，如取Δt＝T/20。

6)取时间间隔为一个交流电周期的两个时刻的空间电荷密度的计算结果，如取交流电前后两个周期中t_i和t_i+T时刻空间电荷密度的计算结果，对这两个时刻的空间电荷密度进行收敛判断，t_i为从周期的开始以T/20的间隔到周期结束的时间序列。将一个周期内每个时刻t_i和下一个周期内对应的t_i+T时刻的空间电荷密度差值及其它们的平均值进行计算，如果前后两个周期内的前后两个时刻t_i和t_i+T的空间电荷密度差值的平均值满足收敛条件，即满足

其中N为一周期内的计算时刻数，一般取20，n为空间节点数，δ为收敛条件，则计算出各空间节点上在一个周期内出现的最大电场，即

从而可以形成交直流输电线路交叉跨越区域下方电场，可以结束计算。

如果前后两个周期内的两个t_i和t_i+T时刻的空间电荷密度差值的平均值不能满足收敛条件，则返回步骤5继续计算，直到得出满足收敛条件的空间电荷密度，再计算出最大电场作为交直流输电线路交叉跨越区域下方的电场。

本发明计算收敛条件时，收敛误差与迭代周期数见图10。本实施例在计算结果满足收敛条件后，统计出一个周期T内的20组数据，将在每一个位置出现的最大电场值作为最后的计算结果，形成交直流输电线路交叉跨越区域下方的电场，如图11所示。

本发明上述步骤4)中的空间电荷密度公式是通过下述方法得出：

首先以时域三维特征线法的三个基本方程为基础，推导出关于电荷密度的偏微分方程，将偏微分方程转化为沿电场线方向的常微分方程，进而得到电荷密度公式。

时域三维特征线法的基本方程包括如下三个方程：

Poisson方程：▽·E(t)＝(ρ⁺(t)-ρ^-(t))/ε₀ (7)，

电流密度方程：

电流连续性方程：

上式中，E(t)为合成电场强度，j(t)为离子流密度，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e 为电子电荷量，W(t)为风速，ε₀为空气介电常数；

由(7)～(9)推导出的电荷密度的偏微分方程为：

由上述电荷密度的偏微分方程转化成的沿电场线方向的常微分方程为：

将不同种类的电场的条件代入公式(11)或公式(12)，得到不同种类电场的电荷密度公式(3)～(6)。如以计算ρ^-(t)为例，对于第一类电场线ρ⁺(t)＝0，将这个条件代入公式(12)，则公式(12)有解析解，得到第一类电场线的负电荷密度

对于第二类电场线ρ⁺(t)≠0，将其代入公式(12)，则得到

其它两个空间电荷密度公式按照同样的方法得出。

本发明在将偏微分方程转化为沿电场线方向的常微分方程时采用下述方法，

在计算负电荷密度ρ^-(t)时，是令v＝k^-E(t)-W(t)，得到如下公式，

将公式(13)代入公式(10)，得到公式(14)，

根据电场线的定义dx/v_x＝dy/v_y＝dz/v_z，可做如下变换，

把公式(15)代入公式(14)，则公式(14)可以变为

由于负电荷的移动方向与电场方向相反，dx/dt＝-v_x，因此dt/dx＝-1/v_x，将公式(16)的左右两边相消，就可得沿电场线方向的常微分方程

计算正电荷密度ρ⁺(t)时，是令v＝k⁺E(t)+W(t)并代入偏微分方程(10)，按上述方法推导，得到

Claims (7)

1.一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于包括以下步骤：

1)在交直流输电线路交叉跨越区域形成虚拟的网格，确定各空间节点的位置，并设定交流电一个周期内的某一时刻，计算空间节点该时刻的标称电场；

2)根据上一步得到的标称电场，画出电场线轨迹，并利用Deutsch假设对电场线上各点的空间电荷密度进行初始化，通过三维插值方法将电场线上各点的空间电荷密度插值得到空间节点该时刻的初始空间电荷密度；

3)根据步骤1)和步骤2)的计算结果，计算空间节点该时刻的合成电场；

4)根据合成电场，重新画电场线轨迹，运用特征线法更新电场线上的空间电荷密度分布，插值得到空间节点上该时刻的空间电荷密度；

5)按照步骤1)～4)的方法计算从下一时刻的空间节点上的标称电场和合成电场以及空间电荷密度，从而得到空间节点上不同时刻对应的空间电荷密度；

6)取时间间隔为一个交流电周期的两个时刻的空间电荷密度的计算结果，对这个两个结果进行收敛判断，满足收敛条件是符合下式要求：

其中，N为一周期内的计算时刻数，n为空间节点数，δ为收敛条件，i为空间体电荷编号，j为模拟线电荷编号，如果前后两个时刻的空间电荷密度差值的平均值不满足收敛条件，则返回步骤5)继续计算；如果前后两个时刻的空间电荷密度差值的平均值满足收敛条件，则计算出空间节点在一个周期内出现的最大电场；形成交直流输电线路交叉跨越区域下方电场。

2.根据权利要求1所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于：计算标称电场时是以模拟电荷法为基础，将空间中任一空间节点处的标称电场定义为所有模拟电荷及其镜像在该点处的电场的矢量叠加，计算所用的公式为

式中：E为标称电场；τ_j为第j个模拟电荷的线电荷密度，l_j为第j个模拟电荷的长度；r_j、R_j为源点及其镜像点到计算点的距离，r_j、R_j为源点及其镜像点到计算点的矢量，ε₀为空气介电常数。

3.根据权利要求2所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于：合成电场为标称电场与空间电荷产生的电场的叠加，计算合成电场时所用的公式为：

公式(2)中E_(t)表示合成电场，V_i为第i个电荷的体积，

为t时刻第i个空间体电荷的正、负电荷密度。

4.根据权利要求1所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于：相邻两个时刻之间的间隔为一个交流电周期的1/20。

5.根据权利要求3所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于：运用特征线法更新空间电荷密度时，将空间中的电场线分为两类，第一类是位于导线与地面以及导线与地线之间的，沿这类电场线仅存在与导线极性相同的电荷，当有负电荷密度ρ^-(t)存在时，ρ⁺(t)＝0，当有正电荷密度ρ⁺(t)存在时，负电荷密度ρ^-(t)＝0；第二类是位于双极导线之间的电场线，沿这类电场线两种极性的电荷都存在，ρ^-(t)≠0，ρ⁺(t)≠0；并按照下面的公式(3)、(4)、(5)、(6)将初始化后的电荷密度作为初值，根据合成电场更新特征线上的电荷密度分布；

第一类电场线上，若已知其上一点的负电荷密度，则沿电场线方向下一点的负电荷密度为：

其中，x为下一点的x坐标，x₀为已知点的x坐标，

k^-为负离子迁移率，v_x为离子在x方向的移动速度，

第一类电场线上，若已知其上一点的正电荷密度，则沿电场线方向下一点的正电荷密度为：

其中

k⁺为正离子迁移率；

根据求出的空间节点上的正/负电荷密度，再次根据公式(3)、(4)，即可得到再下一点的正/负电荷密度，以此类推，即可得到整条电场线上的电荷密度分布；

第二类电场线的负电荷密度为：

其中，

第二类电场线的正电荷密度为：

其中，

上述公式中，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e为电子电荷量，ε₀为空气介电常数。

6.根据权利要求5所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于空间电荷密度公式是通过下述方法得出：

根据时域三维特征线法的基本方程(7)～(9)，推导出的电荷密度的偏微分方程(10)，再将电荷密度的偏微分方程转化成沿电场线方向的常微分方程(11)和(12)，将不同种类的电场的条件代入常微分方程(11)或常微分方程(12)，得到不同种类电场的电荷密度公式；

Poisson方程：

电流密度方程：

电流连续性方程：

上式中，E(t)为合成电场强度，j(t)为离子流密度，ρ⁺(t)和ρ^-(t)分别为正、负电荷密度，k⁺和k^-分别为正、负离子迁移率，R为正负离子复合系数，e为电子电荷量，W(t)为风速，ε₀为空气介电常数；

偏微分方程：

常微分方程：

7.根据权利要求6所述的一种交直流输电线路交叉跨越区域下方电场的计算方法，其特征在于：在将偏微分方程转化为沿电场线方向的常微分方程时采用下述方法，

计算负电荷密度ρ^-(t)时，令v＝k^-E(t)-W(t)，则

将公式(13)代入公式(10)，得到

根据电场线的定义dx/v_x＝dy/v_y＝dz/v_z，可做如下变换，

把公式(15)代入公式(14)，则公式(14)可以变为

由于负电荷的移动方向与电场方向相反，dx/dt＝-v_x，因此dt/dx＝-1/v_x，上式左右相消，可得沿电场线方向的常微分方程

计算正电荷密度ρ⁺(t)时，是令v＝k⁺E(t)+W(t)并代入偏微分方程(10)，按上述相同的方法推导，得到

Images