CN109344470A - 一种高压直流离子流场数学模型获取方法 - Google Patents

一种高压直流离子流场数学模型获取方法 Download PDF

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张子�
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Abstract

本发明涉及一种高压直流离子流场数学模型获取方法，该方法包括如下步骤：(1)通过泊松方程、电流密度方程和电流连续性方程建立考虑复合系数下离子流场的控制方程组；(2)利用有限差分法建立电流连续性差分方程；(3)给定一个初始电荷密度分布，利用有限元法求解泊松方程，得到一次求解区域的电势及电场分布；(4)利用(3)中所得节点电场强度，对由各节点形成的电流连续性差分方程进行迭代求解，获得一次电荷密度分布更新值；(5)反复执行步骤(3)～(4)直至收敛，得到离子流场各参数的收敛分布，获得高压直流离子流场数学模型。与现有技术相比，得到了较为可靠的收敛结果，离子流场数学模型更准确。

Description

一种高压直流离子流场数学模型获取方法
技术领域
本发明涉及高压直流输电领域，尤其是涉及一种高压直流离子流场数学模型获取方法。
背景技术
随着中国特高压直流输电技术的发展，由高压直流离子流场所导致的绝缘子表面电荷积聚、绝缘性能降低、直流架空线路离子流场对环境以及人体造成的影响越来越受到重视。因此，对高压直流离子流场进行模型的建立以及对离子流场进行计算，以为高压直流输电工程的设计提供技术和参数支撑显得至关重要。
高压直流输电线路上的电晕放电会产生带电离子，不同于交流情况下，高压直流电场会将这些带电离子推离导线，形成稳定的离子流场，而离子流场会导致地面产生数倍于标称电场下的场强。
针对高压直流下的离子流场求解问题，目前国际和国内学术领域发展出了多种计算算法，且普遍采用有限元方法进行求解。但目前流行的有限元算法都是基于采用了线性基函数的伽辽金有限元法，虽然采用线性基函数进行局部函数的近似也可以完成对离子流场控制方程的求解，但在求解电流连续性方程时仍然需要进行数值上的微分，而数值微分在本质上是不精确的，且容易产生数值上的不稳定和伪震荡。因此针对上述问题，需探索出一种可避免数值微分误差的新的求解算法。
发明内容
本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种高压直流离子流场数学模型获取方法。
本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：
一种高压直流离子流场数学模型获取方法，该方法包括如下步骤：
(1)通过泊松方程、电流密度方程和电流连续性方程建立考虑复合系数下离子流场的控制方程组；
(2)利用有限差分法，根据对计算区域的剖分，对电流连续性方程进行离散差分，建立电流连续性差分方程；
(3)给定一个初始电荷密度分布，利用有限元法求解泊松方程，得到一次求解区域的电势及电场分布；
(4)利用(3)中所得节点电场强度，对由各节点形成的电流连续性差分方程进行迭代求解，获得一次电荷密度分布更新值；
(5)反复执行步骤(3)～(4)直至收敛，得到离子流场各参数的收敛分布，获得高压直流离子流场数学模型。
步骤(1)中考虑复合系数下离子流场的控制方程组具体为：
其中，为向量微分算子，为电势，ρ+、ρ-分别为正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
步骤(2)电流连续性差分方程为：
其中，为节点i处的电场强度值，h为在等距剖分求解区域时两个节点间的距离，分别为节点i处正、负空间电荷密度，分别为节点i+1处正、负空间电荷密度，分别为节点i-1处正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
步骤(3)中有限元法为Hermite三次插值基函数的有限元法。
步骤(4)采用牛顿法进行迭代求解。
步骤(5)中收敛判据为迭代前后迭代步所得计算值的变化量小于给定精度。
与现有技术相比，本发明具有如下优点：
本发明利用结合Hermite有限元法以及求解非线性差分电流连续性方程组的牛顿法，解决了现有算法在考虑到离子复合下，电流连续性方程组变为非线性后的数值不稳定问题，本发明方法得到了较为可靠的收敛结果，可作为高压直流架空输电线路或气体绝缘封闭输电线路离子流场分析的一种可靠方法，为高压直流线路的结构设计提供参考。
附图说明
图1为本发明高压直流离子流场数学模型获取方法的流程框图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。注意，以下的实施方式的说明只是实质上的例示，本发明并不意在对其适用物或其用途进行限定，且本发明并不限定于以下的实施方式。
实施例
如图1所示，一种高压直流离子流场数学模型获取方法，该方法包括如下步骤：
(1)通过泊松方程、电流密度方程和电流连续性方程建立考虑复合系数下离子流场的控制方程组；
(2)利用有限差分法，根据对计算区域的剖分，对电流连续性方程进行离散差分，建立电流连续性差分方程；
(3)给定一个初始电荷密度分布，利用有限元法求解泊松方程，得到一次求解区域的电势及电场分布；
(4)利用(3)中所得节点电场强度，对由各节点形成的电流连续性差分方程进行迭代求解，获得一次电荷密度分布更新值；
(5)反复执行步骤(3)～(4)直至收敛，得到离子流场各参数的收敛分布，获得高压直流离子流场数学模型。
步骤(1)中考虑复合系数下离子流场的控制方程组具体为：
其中，为向量微分算子，为电势，ρ+、ρ-分别为正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
步骤(2)电流连续性差分方程为：
其中，为节点i处的电场强度值，h为在等距剖分求解区域时两个节点间的距离，分别为节点i处正、负空间电荷密度，分别为节点i+1处正、负空间电荷密度，分别为节点i-1处正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
电流连续性方程右端项考虑了离子的复合过程。在双极高压直流输电线路以及大尺寸气体绝缘金属封闭母线中，离子的复合不能忽略，从而电流连续性方程包含了正、负电荷密度项，在使用差分法进行离散差分后，方程组变为非线性方程组。
当计算区域(一维情况下为线段)被剖分为n个节点时，方程(4)、(5)均可单独列出一组包含n个方程的方程组，当写为矩阵形式时，每个方程组的系数矩阵均为一个n×n阶主对角线与次对角线元素不为零，其余元素全为零的对角矩阵。不同的是，方程(4)中作为已知值，为待求未知量，方程(5)中情况相反。
步骤(3)中有限元法为Hermite三次插值基函数的有限元法，Hermite三次多项式相比于线性多项式不仅能满足每个元素计算区域的边界值相等，还能满足边界值的导数相等，是一种更为精确的近似基函数。且由于基函数本身自变量包含了导数项，在离子流场问题中为电场强度，这在后续的对电流连续性方程进行求解时，避免了再次对电势数值微分以获得电场强度值而产生的误差。
以线段为元素区域举例，电势函数的Hermite三次插值多项式为：
其中x1、x2为元素线段两端点坐标，为两端点的的值。
写为矩阵形式：
其中：
则泊松方程的泛函为：
其中：ρ＝ρ+-ρ-；
通过对泛函(8)取极小值，得Hermite有限元法矩阵方程：
其中：
ρ＝[ρ1 ρ1' ρ2 ρ2']T， (12)
给定ρ一个初始值，通过求解矩阵方程(9)，即可得到两端点的值。
步骤(4)采用牛顿法进行迭代求解，牛顿法是一种基于泰勒级数的一次导数项的近似。在求解非线性的电流连续性方程组时，虽然会涉及到边界值的选取与更新问题，但仍是一种较理想的求解非线性方程组的数值计算方法。通过不断的迭代，可较快的对电流连续性方程组进行求解收敛。
牛顿法迭代格式如下：
应用到非线性方程组的求解中，迭代格式为：
表示方程组所有方程的矩阵，是一个一列的向量，表示方程组中每一个方程对每一个自变量的导数所形成的方程组，如果有n个未知量，其是一个n×n阶矩阵。但由于对于公式(4)和公式(5)来说，每一个方程最多包含三个点的未知量，因此其矩阵为一个主对角线和两条次对角线不为0，其余元素全为0的稀疏矩阵。而由于对于离散的第一个点和最后一个点，由于i-1和i+1会触及到边界，因此其矩阵的第一行和第n行只有两个元素不为0。
步骤(5)中收敛判据为迭代前后迭代步所得计算值的变化量小于给定精度，步骤4中为判断的前后变化值，步骤3中为判断的前后变化值。
上述实施方式仅为例举，不表示对本发明范围的限定。这些实施方式还能以其它各种方式来实施，且能在不脱离本发明技术思想的范围内作各种省略、置换、变更。

Claims (6)

1.一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
(1)通过泊松方程、电流密度方程和电流连续性方程建立考虑复合系数下离子流场的控制方程组；
(2)利用有限差分法，根据对计算区域的剖分，对电流连续性方程进行离散差分，建立电流连续性差分方程；
(3)给定一个初始电荷密度分布，利用有限元法求解泊松方程，得到一次求解区域的电势及电场分布；
(4)利用(3)中所得节点电场强度，对由各节点形成的电流连续性差分方程进行迭代求解，获得一次电荷密度分布更新值；
(5)反复执行步骤(3)～(4)直至收敛，得到离子流场各参数的收敛分布，获得高压直流离子流场数学模型。
2.根据权利要求1所述的一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，步骤(1)中考虑复合系数下离子流场的控制方程组具体为：
其中，▽为向量微分算子，为电势，ρ+、ρ-分别为正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
3.根据权利要求1所述的一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，步骤(2)电流连续性差分方程为：
其中，为节点i处的电场强度值，h为在等距剖分求解区域时两个节点间的距离，分别为节点i处正、负空间电荷密度，分别为节点i+1处正、负空间电荷密度，分别为节点i-1处正、负空间电荷密度，ε为介质介电常数，μ+、μ-分别为正、负离子迁移率，R为离子复合系数，e为元电荷量。
4.根据权利要求1所述的一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，步骤(3)中有限元法为Hermite三次插值基函数的有限元法。
5.根据权利要求1所述的一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，步骤(4)采用牛顿法进行迭代求解。
6.根据权利要求1所述的一种高压直流离子流场数学模型获取方法，其特征在于，步骤(5)中收敛判据为迭代前后迭代步所得计算值的变化量小于给定精度。
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