CN107704427A - 一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及海洋浮式结构动力响应分析技术领域，具体涉及一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法,包括如下步骤，S1.将Cummins运动方程中的延迟函数进行复指数分解，求解延迟函数在Laplace域中的表达式；S2.求解Cummins运动方程中的传递函数在Laplace域中的表达式；S3.将Cummins运动方程中的外荷载进行复指数分解，求解外荷载在Laplace域中的表达式；S4.计算频域运动响应。该算法用复指数分解技术，将时域方程中的延迟函数项表示成极值、留数的复指数形式，进而得到延迟函数在Laplace域内的表达式，以Laplace域内的传递函数为桥梁，与频域荷载作用求解得到结构的频域运动响应；对于频域荷载的求解，本方法使用复指数分解技术而非FFT，克服了外荷载需基于周期性谐波假设的不足，使得周期荷载成为了本方法的一个特例。

Description

一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法

技术领域

本发明涉及海洋浮式结构动力响应分析技术领域，具体涉及一种基于延迟函数的海洋浮 式结构频域响应算法。

背景技术

Cummins于1962年提出了著名的Cummins方程，也即浮式结构时域运动方程，他假设 浮式结构的运动是一系列脉冲响应的线性组合，然后将速度势分解为瞬时效应和记忆效应并 分别求解。1964年，Ogilvie将Cummins时域运动方程转到频域。针对三维频域水动力分析 的研究主要集中于Havelock源方法和Rankine源方法，其基本思想都是认为浮体的湿表面上 分布的点源(汇)满足Laplace控制方程以及各种边界条件，并且Laplace方程的基本解是以 Green函数为特征，点源的强度是由物面边界条件确定。1973年，Schmiechen将状态空间模 型用于研究船的时域响应，这是状态空间方法首次应用于海洋工程领域。Taghipour等人给出 了在时域方程中直接计算卷积和使用状态空间方法求解的具体应用，并提供了各种方法的详 细的介绍。同时运用Fourier变换结构荷载必须为周期荷载，在此方面，学者Veletsos和Ventura 引入了一种离散Fourier变换(DFT)，该变换基于有对应的稳态响应在激励上做一个周期延 拓来计算线性单自由度系统的瞬态响应。

目前针对海洋浮式结构动力响应分析的研究主要集中于时域和频域，其中频域运动响应 法计算简单、高效，其计算结果对于结构的初步设计具有重要的参考价值。目前，尚未有在 Laplace域中表达延迟函数求解频域运动响应的算法，主要是因为，一方面传统频域运动响应 计算方法中水动力参数包括附加质量和附加阻尼等一般是通过三维势流理论求得，其数值随 波浪频率变化而变化，无法得到Laplace域中水动力系数的解；另外，对于频域上的外荷载， 传统频域法一般使用Fast Fourier Transform(FFT)得到，但FFT需要一定的前提条件，即荷 载是无限长或者是周期性的。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，该算法用复指 数分解技术，将时域方程中的延迟函数项表示成极值、留数的复指数形式，进而得到延迟函 数在Laplace域内的表达式，以Laplace域内的传递函数为桥梁，与频域荷载作用求解得到结 构的频域运动响应；对于频域荷载的求解，本方法使用复指数分解技术而非FFT，克服了外 荷载需基于周期性谐波假设的不足，使得周期荷载成为了本方法的一个特例。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域 响应算法，包括如下步骤，

S1.将Cummins运动方程中的延迟函数进行复指数分解，求解延迟函数在Laplace域中 的表达式；

S2.求解Cummins运动方程中的传递函数在Laplace域中的表达式；

S3.将Cummins运动方程中的外荷载进行复指数分解，求解外荷载在Laplace域中的表达 式；

S4.计算频域运动响应。

进一步地，所述步骤S1的具体步骤为：

S11.将Cummins运动方程中的延迟函数K(t)进行复指数分解,转化成为若干个复指数函 数叠加的形式：

式中，极值留数N_k为K(t)的分解成的复指数函数的个数；

S12.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数K(t)离散化，对应的离散形式为：

其中，k表示延迟函数K(t)第k个数据点；

S13.对离散化的延迟函数K(t)做Laplace变换可得：

进一步地，所述步骤S11的具体步骤为：

S111.用时域上的K(t)构造Hankel矩阵H(k)：

式中ξ和η表示H(k)的行和列的数目，ξ+η＝N，N为时域上K(t)的数据点个数；

S112.令k＝1，对Hankel矩阵H(1)应用奇异值分解技术，得到

则A％的特征值为z_n，n＝1,2,L,N_k，通过σ_n＝ln(z_n)/Δt，计算出极值σ_n和留数R_n；

S113.将极值σ_n和留数R_n代入

得到传递延迟函数K(t)的复指数分解形式。

进一步地，所述步骤S2的具体步骤为：

S21.根据Cummins运动方程推导传递函数X(s)的表达式：

X(s)＝T(s)F^exc(s)

式中，T(s)＝(M's²+K(s)s+C)^-1；

S22.将传递函数在Laplace域中的表达式K(s)代入，得到传递函数在Laplace域中的表达 式：

进一步地，所述步骤S3的具体步骤为：

S31.将Cummins运动方程中的外荷载F^exc(t)进行复指数分解，,转化成为若干个复指数函 数叠加的形式：

式中，极值留数P的分解成的复指数函数的个数；；

S32.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数F^exc(t)离散化，对应的离散形式为：

k为外荷载分解成的复指数函数的个数；

S32.对离散化的延迟函数F^exc(t)做Laplace变换可得：

进一步地，所述步骤S4的具体步骤为：

将s＝jω代入传递函数T(s)和外载荷F^exc(s)，

得到频域内的传递函数：

得到频域内的外载荷：

代入得到：

相对于现有技术，本发明的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，具有以下有益 效果：

1)本发明使用复指数分解技术得到了传统方法所无法得到的延迟函数在Laplace域中的 表达式K(s)以及传递函数T(s)，提供一种新的浮式结构频域传递函数的计算方法，为将来由 Laplace转到时域的研究做了重要铺垫工作，增加了工程上进行频域响应计算的方法。

2)本发明中频域外荷载不再通过FFT得到，而是通过复指数分解技术，避免了外荷载 的周期假设，外荷载的各组成成分可以为谐波或者衰减的非谐波等，使得新方法能够处理工 程实际中所出现的一些非周期信号，周期信号仅是本方法中的一个特例，应用范围更广。

3)本发明求解运动响应仍在频域，利用Laplace变换，保证了传统频域计算方法计算效 率高的特点，尤其在应用到大型复杂海上结构时，工程应用前景较好。

附图说明

图1为延迟函数极值、留数分解重构与原始延迟函数的对比图；

图2为分解重构的外荷载与原荷载的对比图；

图3为本发明方法得到的浮式结构运动响应与传统方法结果对比图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发 明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于 限定本发明。

对Cummins运动方程两边做Laplace变换，可以得到：

s²[M+A(∞)]X(s)+sK(s)X(s)+CX(s)＝F^exc(s)

式中，M为结构的质量矩阵，A(∞)为附加质量矩阵在频率趋于无穷大时的结果，K(s)为延 迟函数在Laplace域中的表达式，C为结构的静水恢复力矩阵；X(s)、F(s)分别为动力响应 X(t)、原始外载荷F(t)的Laplace变换后的结果。由背景技术可知，目前针对海洋浮式结构动 力响应分析的研究尚未有在Laplace域中表达延迟函数求解频域运动响应的算法，主要是因 为上述公式中延迟函数在Laplace域中的表达式难以获得，并且原始外载荷F(t)周期性谐波假 设的不足。

基于上述缺点，本发明的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，包括如下步骤，

S1.将Cummins运动方程中的延迟函数进行复指数分解，求解延迟函数在Laplace域中 的表达式；步骤S1的具体步骤为：

根据前述理论可知，目前Cummins运动方程中的延迟函数项K(t)对应于Laplace域内的 表达式K(s)难以求得，为解决这个问题，首先：

S11.将Cummins运动方程中的延迟函数K(t)进行复指数分解,转化成为若干个复指数函 数叠加的形式：

式中，极值留数N_k为K(t)的分解成的复指数函数的个数。

所述步骤S11的具体步骤为：

S111.用时域上的K(t)构造Hankel矩阵H(k)：

式中ξ和η表示H(k)的行和列的数目，ξ+η＝N，N为时域上K(t)的数据点个数；

S112.令k＝1，对Hankel矩阵H(1)应用奇异值分解技术，得到

则A％的特征值为z_n，n＝1,2,L,N_k，通过σ_n＝ln(z_n)/Δt，计算出极值σ_n和留数R_n；

S113.将极值σ_n和留数R_n代入

得到传递延迟函数K(t)的复指数分解形式。

在求解延迟函数在Laplace域中的表达式的极值、留数时，由于条件数大于未知数的个 数，将高阶差分方程转化为一阶差分方程，可以避免求解时的可能出现的病态问题，使得求 得的极值留数更加精确和稳定。

S12.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数K(t)离散化，对应的离散形式为：

其中，k表示延迟函数K(t)第k个数据点。

求解传递函数的关键在于获得延迟函数在Laplace域中的表达式，而步骤S11所进行的 复指数分解使得求解K(s)变成可能，因为指数函数的Laplace变换是存在于Laplace变换表中 的，于是进行：

S13.对离散化的延迟函数K(t)做Laplace变换可得：

S2.求解Cummins运动方程中的传递函数在Laplace域中的表达式；所述步骤S2的具体 步骤为：

S21.根据Cummins运动方程推导传递函数X(s)的表达式：

X(s)＝T(s)F^exc(s)

式中，T(s)＝(M's²+K(s)s+C)^-1；

S22.将传递函数在Laplace域中的表达式K(s)代入，得到传递函数在Laplace域中的表达 式：

使用复指数分解技术将Cummins运动方程中的延迟函数项转化为若干个指数函数成分的 叠加，而指数函数的Laplace变换又存在于Laplace变换表中，因此本方法可以得到延迟函数 在Laplace域内的表达式K(s)，进而可以得到传统方法无法得到的传递函数T(s)；另一方面， 若将s＝jω代入由本方法所求得的传递函数T(s)即可得到频域的传递函数，因此本方法相当 于提供了一种新的求解浮式结构传递函数的思路。

S3.将Cummins运动方程中的外荷载进行复指数分解，求解外荷载在Laplace域中的表达 式；所述步骤S3的具体步骤为：

S31.将Cummins运动方程中的外荷载F^exc(t)进行复指数分解，,转化成为若干个复指数函 数叠加的形式：

式中，极值留数P的分解成的复指数函数的个数；；

S32.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数F^exc(t)离散化，对应的离散形式为：

k为外荷载分解成的复指数函数的个数；

S32.对离散化的延迟函数F^exc(t)做Laplace变换可得：

本方法在处理外荷载时使用复指数分解技术而非FFT，克服了外荷载需基于周期性谐波 假设的不足，外荷载的各组成成分可以为谐波或者衰减的非谐波等，可以处理工程实际中所 出现的一些非周期信号，应用范围更广。

S4.计算频域运动响应；所述步骤S4的具体步骤为：

将s＝jω代入传递函数T(s)和外载荷F^exc(s)，

得到频域内的传递函数：

得到频域内的外载荷：

代入得到：

根据外荷载和新传递函数的复指数表达式，通过s＝jω变换，得到了求解频域运动响应 的新表达式，传统求解谐波荷载仅仅成为了该表达式的一个特例，使得新方法更加具有代表 性和通用性。

本发明的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，利用复指数分解技术，将时域方 程中的延迟函数项表示成极值、留数的复指数形式，进而得到延迟函数在Laplace域内的表 达式，解决了时域方程中延迟函数卷积项在Laplace域内的表达式难以获得难题。并以Laplace 域内的传递函数为桥梁，与频域荷载作用求解得到结构的频域运动响应；对于频域荷载的求 解，本方法使用复指数分解技术而非FFT，克服了外荷载需基于周期性谐波假设的不足，使 得周期荷载成为了本方法的一个特例。

本发明提供了一种求解浮式结构传递函数以及频域运动响应的新思路——基于延迟函数 极值、留数分解，得到延迟函数在Laplace域内的表达式及浮式结构的传递函数，同时克服 了外荷载需基于周期性谐波假设的不足，最终得到频域运动响应；在工程上，为包括浮式平 台以及浮式风电基础在内的浮式海洋结构物的动力响应分析提供了一种新的频域计算方法， 能够为相关结构的设计、检测等工作提供新的技术手段，具有一定的工程应用前景。

为了验证本发明的能够准确计算海洋浮式结构频域上的运动响应且同时考虑非周期荷载 的影响，以半潜平台作为数值模型计算频域结果进行对比研究，结果如附图所示：

图1是延迟函数通过复指数分解重构之后的信号与原始延迟函数信号的对比图，通过对 比可以得到复指数分解得到的极值和留数能够将信号重构成与原始信号相同的信号，说明延 迟函数在Laplace上的表达式的正确性，成功的得到了Laplace域上延迟函数的表达。

图2是通过复指数分解并重构的荷载与原始荷载的对比图，通过对比可以得到复指数分 解得到的极值和留数能够将荷载信号重构成与原始荷载信号相同的信号，这就说明即使是非 周期荷载，该发明仍可将荷载分解成对应的非谐波成分，即可以考虑荷载的非周期性。

图3是本发明方法得到的频域响应结果与传统方法得到频域响应结果对比，通过对比可 以得到本发明方法计算得到的频域响应与传统方法得到的响应是吻合的，且对于非周期荷载， 本发明方法仍可求得对应的频域响应。

综上可知，本发明通过时域上Cummins方程得到Laplace域上的运动响应方程，运用复 指数分解技术得到延迟函数在Laplace域中的表达式，进而得到传递函数，并且结合复指数 分解后外荷载的频域表达式，最终得到的结构频域运动响应方程是正确的。同时，该方法解 决了非周期荷载的难题，也提供了一种新的浮式结构频域算法。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所 有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于，包括如下步骤，

S1.将Cummins运动方程中的延迟函数进行复指数分解，求解延迟函数在Laplace域中的表达式；

S2.求解Cummins运动方程中的传递函数在Laplace域中的表达式；

S3.将Cummins运动方程中的外荷载进行复指数分解，求解外荷载在Laplace域中的表达式；

S4.计算频域运动响应。

2.根据权利要求1所述的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于：所述步骤S1的具体步骤为：

S11.将Cummins运动方程中的延迟函数K(t)进行复指数分解,转化成为若干个复指数函数叠加的形式：

式中，极值留数N_k为K(t)的分解成的复指数函数的个数；

S12.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数K(t)离散化，对应的离散形式为：

其中，k表示延迟函数K(t)第k个数据点；

S13.对离散化的延迟函数K(t)做Laplace变换可得：

3.根据权利要求1所述的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于：所述步骤S11的具体步骤为：

S111.用时域上的K(t)构造Hankel矩阵H(k)：

式中ξ和η表示H(k)的行和列的数目，ξ+η＝N，N为时域上K(t)的数据点个数；

S112.令k＝1，对Hankel矩阵H(1)应用奇异值分解技术，得到

则的特征值为z_n，n＝1,2,L,N_k，通过σ_n＝ln(z_n)/Δt，计算出极值σ_n和留数R_n；

S113.将极值σ_n和留数R_n代入

得到传递延迟函数K(t)的复指数分解形式。

4.根据权利要求1或2或3所述的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于：所述步骤S2的具体步骤为：

S21.根据Cummins运动方程推导传递函数X(s)的表达式：

X(s)＝T(s)F^exc(s)

式中，T(s)＝(M's²+K(s)s+C)^-1；

S22.将传递函数在Laplace域中的表达式K(s)代入，得到传递函数在Laplace域中的表达式：

5.根据权利要求4所述的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于：所述步骤S3的具体步骤为：

S31.将Cummins运动方程中的外荷载F^exc(t)进行复指数分解，,转化成为若干个复指数函数叠加的形式：

式中，极值留数P的分解成的复指数函数的个数；；

S32.将若干个复指数函数叠加成的延迟函数F^exc(t)离散化，对应的离散形式为：

k为外荷载分解成的复指数函数的个数；

S32.对离散化的延迟函数F^exc(t)做Laplace变换可得：

6.根据权利要求5所述的基于延迟函数的海洋浮式结构频域响应算法，其特征在于：所述步骤S4的具体步骤为：

将s＝jω代入传递函数T(s)和外载荷F^exc(s)，

得到频域内的传递函数：

得到频域内的外载荷：

代入得到：