CN107677997A - 基于GLMB滤波和Gibbs采样的扩展目标跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于GLMB滤波和Gibbs采样的扩展目标跟踪方法，目标个数估计，扩展目标形状估计问题，提出了一种基于标签随机有限集框架下多扩展目标跟踪方法，该方法主要包括两方面：多扩展目标动态建模和多扩展目标的跟踪估计。首先，结合广义标签多伯努利滤波器建立了扩展目标的量测有限混合模型，利用Gibbs采样和贝叶斯信息准则推导出有限混合模型的参数来对多扩展目标状态进行学习跟踪，然后采用等效量测方法来替代扩展目标产生的量测，对扩展目标形状采用椭圆逼近建模，实现扩展目标形状的估计。仿真实验表明本发明所给的方法能够有效跟踪多扩展目标，准确估计扩展目标状态和形状，并且能够获得目标的航迹轨迹。

Description

基于GLMB滤波和Gibbs采样的扩展目标跟踪方法

技术领域

本发明属于多扩展目标跟踪领域，针对杂波条件下多扩展目标的状态估计，目标个数估计，扩展目标形状估计问题，提出了一种基于标签随机有限集(Labelled randomfinite sets,L-RFS)框架下多扩展目标跟踪方法。

背景技术

传统的目标跟踪算法一般假定被跟踪的目标为一个点目标，即一个目标最多产生一个量测，但随着现代传感器技术的不断发展，雷达分辨率的日益提高使得我们能够从单个目标中获得多个量测，即一个目标在一个采样周期内产生不止一个量测点，这类目标称为扩展目标。扩展目标的跟踪能为我们提供被跟踪目标精确的运动信息和形态信息，这在人工智能时代具有重要的应用价值。传统的跟踪算法因为其不再满足点目标假设，传统的点目标模型不再适用。这是本发明研究的现实依据。在多扩展目标的跟踪中为了更有效的获得整体最优的跟踪性能，本发明结合广义标签多伯努利滤波器(Generalized labelledmulti-bernoulli,GLMB)建立了扩展目标的量测有限混合模型，利用Gibbs采样和贝叶斯信息准则(BIC)准则推导出有限混合模型的参数来对多扩展目标状态进行学习跟踪，然后采用等效量测方法来替代扩展目标产生的量测，对扩展目标形状采用椭圆逼近建模，实现扩展目标形状的估计。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供了一种基于GLMB滤波和Gibbs采样的多扩展目标跟踪方法。其具体内容如下：

1系统建模

1.1目标动态模型

在随机有限集(RFS)框架下，多扩展目标在k时刻的状态用下面的RFS集合表示：

随着时间的变化，状态集X_k包含了k时刻多目标的所有动态信息，在下一时刻，一些目标会消亡或继续存活并且状态改变，也会有一些再生目标和新生目标，目标RFS的状态模型可以写成如下形式：

其中，S_k|k-1(x)，B_k|k-1(x)和Γ_k分别表示目标的存活，再生和新生。

考虑二维平面内跟踪N(k)个扩展目标的情形，目标动态方程如下：

x_k+1,i＝Ax_k,i+υ_k,i，i＝1,…,N(k) (3)

这里，是第i个扩展目标的状态向量，和分别表示k时刻扩展目标i在x轴和y轴方向上的位置，和分别表示在x和y方向上的速度。A为状态转移矩阵，υ_k,i是服从标准高斯分布的过程噪声。

1.2目标量测模型

假设目标在k时刻的观测量测为： 表示扩展目标在k时刻的量测集，其中表示扩展目标在k时刻的第n_k个量测。RFS Z_k包含了杂波、目标观测和漏检信息。目标的量测加上杂波和虚警的量测就构成了总的量测。

量测的动态方程如下所示：

z_k+1,i＝Hx_k,i+ω_k,i (4)

其中，H为观测矩阵,ω_k,i为观测噪声，观测噪声协方差为diag([10；10])×diag([10；10])，i表示第i个扩展目标。

2扩展目标的模型

2.1有限混合模型(FMM)

有限混合模型通常用来描述各种随机源产生的量测集Z＝{z₁,…,z_n},f(z_i|Θ)表示混合密度，其中是Θ是混合分布的参数集。显然很难直接对混合密度进行推导，将指示变量e_i∈{1,2,…,n}加入混合密度f(z_i|Θ)，当e_i＝j时，它表示来源于第j个分布的第i个扩展目标的量测z_i，根据概率定理得出混合密度的形式如下所示：

进一步推导，得出

f(z_i|Θ)＝ω₁f(z_i|θ₁)+…+ω_mf(z_i|θ_m) (6)

其中，混合分布的参数集Θ＝{ω₁,…,ω_m,θ₁,…,θ_m}，{θ₁,…,θ_m}是单个分布元素的参数，{ω₁,…,ω_m}是每个元素的混合权重，由下式定义:

ω_j＝P(e_i＝j|Θ) (7)

2.2扩展目标有限混合模型

在k时刻，扩展目标量测集它的混合分布函数如下公式：

其中，表示扩展目标的第个量测的混合权重，表示第个量测的参数集。

假设多扩展目标的分布为一个均匀杂波分布和多个高斯分布组成， 表示均匀杂波量测集，则多扩展目标混合分布可以写成下式所示：

其中，参数集V_k为均值u_k的正定阵。扩展目标估计通过下面的贝叶斯方程来表述：

p(Θ_k|Z_k)∝g(Z_k|Θ_k)p(Θ_k) (10)

假设各量测之间是相互独立的，则量测似然函数用下式来表示：

其中，扩展目标参数先验是联合分布，直接估计单个参数比较困难，所以采用条件分布的形式：

p(Θ_k)＝p(m_k)p(ω_k|m_k)p(D_k|ω_k,m_k)p(u_k|D_k,ω_k,m_k) (12)

其中，分别表示混合权重集，均值向量集，协方差集。

推导得出，参数的后验分布如下公式：

p(Θ_k|Z_k)＝p(ω_k|Z_k)p(D_k|ω_k,Z_k)p(u_k|D_k,ω_k,Z_k) (13)

协方差矩阵服从自由度为β_k,J的逆Wishart分布，p[(D_k)^-1|ω_k,m_k]＝W(V_k,J,β_k,J)，V_k,J为均值u_k的正定阵。

3扩展目标GLMB滤波

使用GLMB滤波算法对扩展目标进行跟踪，GLMB滤波主要分为两步：预测步和更新步。扩展目标状态目标被检测到的概率为则目标未被检测的到概率为标准GLMB滤波算法在贝叶斯递推下封闭，其算法定义如下：

为便于计算，上述公式可以写成如下形式，称为δ-GLMB:

如果目标的先验分布为上述δ-GLMB分布，则多扩展目标的预测步如下所示：

其中

其中，是新生标签的权重，是存活标签的权重.p_B(x,l)是新生目标的概率密度，是由先验密度p^(ξ)(·,l)得到的存活目标的密度.f(x|·,l)表示存活目标的概率密度。

如果多目标的先验如公式(15)所示，则更新步如下所示：

其中，θ(i)＝θ(i′)＞0表示i＝i′

在获得目标状态估计基础上，进一步学习出扩展目标的形状。

4扩展目标形状估计

本发明采用Gibbs采样算法估计高斯分布的均值协方差及各个高斯分布的权重，然后利用BIC准则来判断几个高斯分布的拟合真实程度。对扩展目标形状采用椭圆建模，以均值替代扩展目标的中心量测即椭圆的中心点，不断学习出扩展目标的形状。

4.1Gibbs采样算法

Gibbs采样可以在给定协方差数据和参数的先验分布条件下获得参数的后验分布样本。Gibbs采样算法步骤如下所示：

4.2Gibbs采样和BIC算法步骤

在Gibbs采样的基础上，结合贝叶斯信息准则(BIC)来评价扩展目标有限混合模型和真实数据分布的匹配度。其物理含义意味着用简单的模型来表达更多的信息。BIC准则定义如下公式：

BIC(m_k,Θ_k,Z_k)＝-2logL(Θ_k,m_k|Z_k)+M_kln(n_k) (28)

其中，M_k是独立参数的个数，logL(Θ_k,m_k|Z_k)表示参数集Θ_k和元素个数m_k的对数似然函数。

M_k＝3m_k+2 (29)

基于Gibbs采样和BIC准则，本发明实现了对扩展目标形状的跟踪学习。算法步骤如下所示：

通过上述算法，输出得到权重，均值，协方差和BIC值，采用第j个扩展目标的等效量测替代该扩展目标量测；均值和协方差为输入变量，以均值为中心点，对扩展目标形状采用椭圆逼近建模，通过Gibbs参数学习算法获得扩展目标的形状。

本发明的有益效果：针对杂波条件下多扩展目标的状态估计，目标个数估计，扩展目标形状估计问题，本发明给出了一种基于GLMB滤波和Gibbs采样的有限混合模型多扩展目标跟踪方法。该方法结合GLMB滤波，建立量测有限混合模型，采用Gibbs采样算法估计高斯分布的均值协方差及各个高斯分布的权重，然后利用BIC准则来判断高斯分布的拟合真实程度，对扩展目标形状采用椭圆建模。该方法实现了对多扩展目标的有效跟踪。

附图说明

图1.多扩展目标运动真实轨迹；

图2.多扩展目标跟踪图；

图3.扩展目标形状估计；

图4.多扩展目标在X和Y方向上的跟踪轨迹；

图5.多扩展目标个数估计；

图6.OSPA距离；

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

本发明提出了一种基于GLMB滤波和Gibbs采样的有限混合模型多扩展目标跟踪方法，该发明主要应用于杂波环境下对多扩展目标的跟踪估计，多扩展目标的状态、目标个数、扩展目标形状的估计。其具体实施方式如下：

步骤1系统建模

步骤1.1目标动态模型

在随机有限集(RFS)框架下，多扩展目标在k时刻的状态用下面的RFS集合表示：

随着时间的变化，状态集X_k包含了k时刻多目标的所有动态信息，在下一时刻，一些目标会消亡或继续存活并且状态改变，也会有一些再生目标和新生目标，目标RFS的状态模型可以写成如下形式：

其中，S_k|k-1(x)，B_k|k-1(x)和Γ_k分别表示目标的存活，再生和新生。

考虑二维平面内跟踪N(k)个扩展目标的情形，目标动态方程如下：

x_k+1,i＝Ax_k,i+υ_k,i，i＝1,…,N(k) (3)

这里，是第i个扩展目标的状态向量，和分别表示k时刻扩展目标i在x轴和y轴方向上的位置，和分别表示在x和y方向上的速度。A为状态转移矩阵，υ_k,i是服从标准高斯分布的过程噪声。

步骤1.2目标量测模型

假设目标在k时刻的观测量测为： 表示扩展目标在k时刻的量测集，其中表示扩展目标在k时刻的第n_k个量测。RFS Z_k包含了杂波、目标观测和漏检信息。目标的量测加上杂波和虚警的量测就构成了总的量测。

量测的动态方程如下所示：

z_k+1,i＝Hx_k,i+ω_k,i (4)

其中，H为观测矩阵,ω_k,i为观测噪声，观测噪声协方差为diag([10；10])×diag([10；10])，i表示第i个扩展目标。

步骤2扩展目标有限混合模型建模

在k时刻，扩展目标量测集它的混合分布函数如下公式：

其中，表示扩展目标的第个量测的混合权重，表示第个量测的参数集。

假设多扩展目标的分布为一个均匀杂波分布和多个高斯分布组成， 表示均匀杂波量测集，则多扩展目标混合分布可以写成下式所示：

其中，参数集V_k为均值u_k的正定阵。扩展目标估计通过下面的贝叶斯方程来表述：

p(Θ_k|Z_k)∝g(Z_k|Θ_k)p(Θ_k) (7)

假设各量测之间是相互独立的，则量测似然函数用下式来表示：

其中，扩展目标参数先验是联合分布，直接估计单个参数比较困难，所以采用条件分布的形式：

p(Θ_k)＝p(m_k)p(ω_k|m_k)p(D_k|ω_k,m_k)p(u_k|D_k,ω_k,m_k) (9)

其中，分别表示混合权重集，均值向量集，协方差集。

推导得出，参数的后验分布如下公式：

p(Θ_k|Z_k)＝p(ω_k|Z_k)p(D_k|ω_k,Z_k)p(u_k|D_k,ω_k,Z_k) (10)

协方差矩阵服从自由度为β_k,J的逆Wishart分布，p[(D_k)^-1|ω_k,m_k]＝W(V_k,J,β_k,J)，V_k,J为均值u_k的正定阵。

步骤3扩展目标GLMB滤波

使用GLMB滤波算法对扩展目标进行跟踪，GLMB滤波主要分为两步：预测步和更新步。扩展目标状态目标被检测到的概率为则目标未被检测的到概率为标准GLMB滤波算法在贝叶斯递推下封闭，其算法定义如下：

为便于计算，上述公式可以写成如下形式，称为δ-GLMB:

如果目标的先验分布为上述δ-GLMB分布，则多扩展目标的预测步如下所示：

其中

其中，是新生标签的权重，是存活标签的权重.p_B(x,l)是新生目标的概率密度，是由先验密度p^(ξ)(·,l)得到的存活目标的密度.f(x|·,l)表示存活目标的概率密度。

如果多目标的先验如公式(15)所示，则更新步如下所示：

其中，θ(i)＝θ(i′)＞0表示i＝i′

在获得目标状态估计基础上，进一步学习出扩展目标的形状。

步骤4扩展目标形状估计

本发明采用Gibbs采样算法估计高斯分布的均值协方差及各个高斯分布的权重，然后利用BIC准则来判断几个高斯分布的拟合真实程度。对扩展目标形状采用椭圆建模，以均值替代扩展目标的中心量测即椭圆的中心点，不断学习出扩展目标的形状。

步骤4.1Gibbs采样和BIC算法步骤

在Gibbs采样的基础上，结合贝叶斯信息准则(BIC)来评价扩展目标有限混合模型和真实数据分布的匹配度。其物理含义意味着用简单的模型来表达更多的信息。BIC准则定义如下公式：

BIC(m_k,Θ_k,Z_k)＝-2logL(Θ_k,m_k|Z_k)+M_kln(n_k) (25)

其中，M_k是独立参数的个数，logL(Θ_k,m_k|Z_k)表示参数集Θ_k和元素个数m_k的对数似然函数。

M_k＝3m_k+2 (26)

基于Gibbs采样和BIC准则，本发明实现了对扩展目标形状的跟踪学习。算法步骤如下所示：

通过上述算法，输出得到权重，均值，协方差和BIC值，采用第j个扩展目标的等效量测替代该扩展目标量测；均值和协方差为输入变量，以均值为中心点，对扩展目标形状采用椭圆逼近建模，通过Gibbs参数学习算法获得扩展目标的形状。

为了更好地阐释本发明，在本发明实验中，假设扩展目标的个数为4，目标被检测到的概率为p_D＝0.98,杂波分布为均匀分布，杂波密度函数如下公式所示：

V(S)表示杂波分布的区域面积，λ_c为杂波强度。杂波强度λ_c＝30，杂波区域[-990,-990,1980,1980]，四个扩展目标在2维平面做匀速直线(CV)运动,运动场景大小为[-1000,1000]×[-1000,1000]m²,检测时间为100s。四个扩展目标分别在不同的时间和地点出生和消失。第一个扩展目标的存活时间为[1-70]s，第二个扩展目标的存活时间为[1-100]s，第三个扩展目标的存活时间为[19-80]s，第四个扩展目标的存活时间[40-100]s。

目标的状态方程为：

x_k+1,i＝Ax_k,i+υ_k,i，i＝1,…,N(k)

其中，状态转移矩阵为：

其中T＝1s表示采样时间，是扩展目标i的状态向量，和分别表示k时刻扩展目标i在x轴和y轴方向上的位置，和分别表示在x和y方向上的速度。

目标的观测方程为：

z_k+1,i＝Hx_k,i+ω_k,i

其中，观测矩阵H＝[1 0 0 0；0 0 1 0],观测噪声协方差为diag([10；10])×diag([10；10])，i表示第i个目标。四个扩展目标的初始状态分别为：

x₁＝[800m；-15m/s；800m；-11m/s]

x₂＝[800m；-10m/s；-600m；5m/s]

x₃＝[-800m；20m/s；400m；-5m/s]

x₄＝[-200m；15m/s；800m；-10m/s]

图1给出的是0-100s内多扩展目标运动真实轨迹。在整个跟踪过程中，假设四个扩展目标是相互独立的，图中不同的曲线代表不同扩展目标的运动轨迹，圆形表示目标运动的起点，三角形表示目标运动的终点。

图2给出的是0-100s内多扩展目标跟踪效果图。图中黑色圆圈圈住的目标即为扩展目标，黑色圆圈之外的小黑点为杂波。图示为19时刻多扩展目标跟踪图，此时存活有四个扩展目标，四个扩展目标的位置分别在[-582,225]m，[-160,720]m，[-64,-340]m，[743,225]m处。

图3为19时刻扩展目标形状估计图，本发明采用椭圆对扩展目标形状进行估计，图中黑色椭圆轮廓即为扩展目标的估计形状。

由于GLMB滤波算法给每个目标添加了独一无二的标签，因此在算法的实现中能够辨别每个扩展目标，得到如图4所示的多扩展目标的跟踪轨迹，第一个图表示的是在x方向的跟踪轨迹，第二个图表示在y轴方向上的跟踪轨迹。在第1s时，第一个和第二个扩展目标出现，第19s第三个扩展目标出现，第40s时，第四个扩展目标出现，第100s时，仅存在第二和第四个扩展目标，可以看出估计点与真实轨迹基本吻合，说明的本发明提出的算法能够对多扩展目标进行良好的跟踪。

图5给出的是多扩展目标个数估计图。从图中可以看出多扩展目标个数的估计基本和真实个数吻合。0-20s目标的个数为2个，在第20s后，第三个扩展目标出生，目标个数变为3个，再到第40s后，第四个扩展目标出现，第70s时第一个目标死亡，再到第80s第三个目标死亡，扩展目标个数最终变为2个。

为评估本发明所给方法的性能，采用最优次模式分配距离(Optimal Sub PatternAssignment,OSPA)：

其中，X和分别为真实状态集和估计状态集,个数分别为m和n,且m≤n,1＜p＜∞，Π_k表示1,2,…,k所有各种排列组成的集合。这里c＝100,p＝1，OSPA距离如图6所示。图中OSPA距离较小，这说明本发明对多扩展目标跟踪的优越性和准确性。

最后说明，以上描述仅用于本发明的技术方案而非限制其所包含范围，即对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而并未脱离其目的和范围的，均应涵盖于本发明的权利要求当中。

Claims (1)

1.基于GLMB滤波和Gibbs采样的扩展目标跟踪方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

1系统建模

1.1目标动态模型

在随机有限集RFS框架下，多扩展目标在k时刻的状态用下面的RFS集合表示：

随着时间的变化，状态集X_k包含了k时刻多目标的所有动态信息，在下一时刻，一些目标会消亡或继续存活并且状态改变，也会有一些再生目标和新生目标，目标RFS的状态模型写成如下形式：

<mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mo>&amp;cup;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;cup;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mo>&amp;cup;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;cup;</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，S_k|k-1(x)，B_k|k-1(x)和Γ_k分别表示目标的存活，再生和新生；

考虑二维平面内跟踪N(k)个扩展目标的情形，目标动态方程如下：

x_k+1,i＝Ax_k,i+υ_k,i，i＝1,…,N(k) (3)

这里，是第i个扩展目标的状态向量，和分别表示k时刻扩展目标i在x轴和y轴方向上的位置，和分别表示在x和y方向上的速度；A为状态转移矩阵，υ_k,i是服从标准高斯分布的过程噪声；

1.2目标量测模型

假设目标在k时刻的观测量测为： 表示扩展目标在k时刻的量测集，其中表示扩展目标在k时刻的第n_k个量测；RFS Z_k包含了杂波、目标观测和漏检信息；目标的量测加上杂波和虚警的量测就构成了总的量测；

量测的动态方程如下所示：

z_k+1,i＝Hx_k,i+ω_k,i (4)

其中，H为观测矩阵,ω_k,i为观测噪声，观测噪声协方差为diag([10；10])×diag([10；10])，i表示第i个扩展目标；

2扩展目标的模型

2.1有限混合模型FMM

有限混合模型通常用来描述各种随机源产生的量测集Z＝{z₁,…,z_n},f(z_i|Θ)表示混合密度，其中是Θ是混合分布的参数集；显然很难直接对混合密度进行推导，将指示变量e_i∈{1,2,…,n}加入混合密度f(z_i|Θ)，当e_i＝j时，它表示来源于第j个分布的第i个扩展目标的量测z_i，根据概率定理得出混合密度的形式如下所示：

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

进一步推导，得出

f(z_i|Θ)＝ω₁f(z_i|θ₁)+…+ω_mf(z_i|θ_m) (6)

其中，混合分布的参数集Θ＝{ω₁,…,ω_m,θ₁,…,θ_m}，{θ₁,…,θ_m}是单个分布元素的参数，{ω₁,…,ω_m}是每个元素的混合权重，由下式定义:

ω_j＝P(e_i＝j|Θ) (7)

2.2扩展目标有限混合模型

在k时刻，扩展目标量测集它的混合分布函数如下公式：

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>...</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </msubsup> </mrow> <mi>e</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，表示扩展目标的第个量测的混合权重，表示第个量测的参数集；

假设多扩展目标的分布为一个均匀杂波分布和多个高斯分布组成， 表示均匀杂波量测集，则多扩展目标混合分布写成下式所示：

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>...</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，参数集V_k为均值u_k的正定阵；扩展目标估计通过下面的贝叶斯方程来表述：

p(Θ_k|Z_k)∝g(Z_k|Θ_k)p(Θ_k) (10)

假设各量测之间是相互独立的，则量测似然函数用下式来表示：

<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> </munderover> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，扩展目标参数先验是联合分布，直接估计单个参数比较困难，所以采用条件分布的形式：

p(Θ_k)＝p(m_k)p(ω_k|m_k)p(D_k|ω_k,m_k)p(u_k|D_k,ω_k,m_k) (12)

其中，分别表示混合权重集，均值向量集，协方差集；

推导得出，参数的后验分布如下公式：

p(Θ_k|Z_k)＝p(ω_k|Z_k)p(D_k|ω_k,Z_k)p(u_k|D_k,ω_k,Z_k) (13)

协方差矩阵服从自由度为β_k,J的逆Wishart分布，p[(D_k)^-1|ω_k,m_k]＝W(V_k,J,β_k,J)，V_k,J为均值u_k的正定阵；

3扩展目标GLMB滤波

使用GLMB滤波算法对扩展目标进行跟踪，GLMB滤波主要分为两步：预测步和更新步；扩展目标状态目标被检测到的概率为则目标未被检测的到概率为标准GLMB滤波算法在贝叶斯递推下封闭，其算法定义如下：

为便于计算，上述公式写成如下形式，称为δ-GLMB:

如果目标的先验分布为上述δ-GLMB分布，则多扩展目标的预测步如下所示：

<mrow> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>,</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mi>&amp;Xi;</mi> </mrow> </munder> <msup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>+</mo> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>,</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mo>+</mo> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msub> <mi>X</mi> <mo>+</mo> </msub> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 其中

其中，是新生标签的权重，是存活标签的权重.p_B(x,l)是新生目标的概率密度，是由先验密度p^(ξ)(·,l)得到的存活目标的密度.f(x|·,l)表示存活目标的概率密度；

如果多目标的先验如公式(15)所示，则更新步如下所示：

<mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;ap;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mi>&amp;Xi;</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>I</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>X</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，θ(i)＝θ(i′)＞0表示i＝i′；

<mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>q</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>D</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在获得目标状态估计基础上，进一步学习出扩展目标的形状；

4扩展目标形状估计

4.1 Gibbs采样算法

Gibbs采样在给定协方差数据和参数的先验分布条件下获得参数的后验分布样本；Gibbs采样算法步骤如下所示：

4.2 Gibbs采样和BIC算法步骤

在Gibbs采样的基础上，结合贝叶斯信息准则BIC来评价扩展目标有限混合模型和真实数据分布的匹配度；BIC准则定义如下公式：

BIC(m_k,Θ_k,Z_k)＝-2log L(Θ_k,m_k|Z_k)+M_kln(n_k) (28)

其中，M_k是独立参数的个数，log L(Θ_k,m_k|Z_k)表示参数集Θ_k和元素个数m_k的对数似然函数；

M_k＝3m_k+2 (29)

<mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> </munderover> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

基于Gibbs采样和BIC准则，实现了对扩展目标形状的跟踪学习；算法步骤如下所示：

通过上述算法，输出得到权重，均值，协方差和BIC值，采用第j个扩展目标的等效量测替代该扩展目标量测；均值和协方差为输入变量，以均值为中心点，对扩展目标形状采用椭圆逼近建模，通过Gibbs参数学习算法获得扩展目标的形状。