CN105007057A - 一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，针对传统算法的计算时间随着杂波密度的增强呈指数增长的问题，本发明提出了一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，该方法以假设检验理论为准则，利用高斯混合势概率密度滤波器和高斯混合多伯努利滤波器，并通过假设检验理论来验证杂波稀疏过程，解决了传统算法的计算时间随杂波密度的增强呈指数增长的问题，大大提高了计算效率。

Description

一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法

技术领域

本发明属于多传感器多目标跟踪领域，特别涉及一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法。

背景技术

强的杂波强度不仅会增加假报警的次数和跟踪误差，而且会增大计算负荷。当基于随机有限集的多目标跟踪滤波器处理所有的包括杂波产生的测量时，会大大的降低它的计算速度。密集的杂波会导致计算时间呈指数增长，因此我们有必要研究一种新算法来降低计算的复杂度，减少计算时间。这也是本发明研究的现实依据。密集的杂波往往会导致两个问题，第一会产生大量的假报警，第二当随机有限集多目标跟踪滤波器处理所有的包括密集的杂波环境产生的测量时，会面临沉重的计算负荷。由于我们几乎不可能摆脱密集的杂波对目标产生的影响，所以我们会注重第二个问题的解决。因此，本发明重点是提出一种杂波稀疏算法来降低由于密集杂波所产生的计算的复杂性，减少计算时间。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供了一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法。其具体内容如下：

步骤1.系统建模；

假设目标和杂波产生的的量测服从下面的二项式混合分布：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k)=(1-{\mathrm{\π}}_k^t)f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)+{\mathrm{\π}}_k^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)---\left(1\right)$

其中，f(·|·)是条件分布函数，z_k,i是目标或杂波的量测，是目标状态分布的权重，其中上标t表示目标，c表示杂波，假定在k时刻有个杂波状态和个目标状态，是杂波在k时刻的状态集，是目标在k时刻的状态集，杂波和目标的量测的混合分布分别具有如下形式：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\π}}_{k,1}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^c)+...+{\mathrm{\π}}_{k,j_k^c}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^c}^c)---\left(2\right)$

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)={\mathrm{\π}}_{k,1}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\π}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^t}^t)---\left(3\right)$ 其中，和分别是杂波和目标的第和第个元素的组成权重。这里假设杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从伯努利随机有限集分布。

当杂波的量测服从均匀分布时，公式(2)中的杂波混合分布变成则杂波强度混合分布具有如下形式：

${\mathrm{\λ}}_k^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\λ}}_k^{c}U\left(z_{k,i}\right|S^c)---\left(4\right)$

其中S^c是杂波面积或体积。

步骤2杂波稀疏过程

步骤2.1杂波分布

杂波密度在公式(2)和(4)中被描述为混合分布，因此，杂波的随机有限集Θ_k具有如下分布：Θ_k～U(z_k,i|S^c)                       (5)

在公式(2)和(3)中分别给出了杂波和目标的量测的混合分布，即这里，和分别是杂波和目标的量测集中的某个元素。如步骤1中所述，杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从多伯努利随机有限集分布。

步骤2.2假设检验原理在随机有限集量测中的应用

假设z是某一个时刻的量测，为了简单起见，省略了时间下标，二元假设检验问题可以通过杂波和目标的量测表示成下面的形式：

$\begin{array}{cc}{H}_0:z~f\left(z\right|X_k^c)& H_1:z~f\left(z\right|X_k^t)\end{array}$

因此，似然函数的条件假设为

$p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)---\left(6\right)$

$p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)---\left(7\right)$

似然比检验为

这里的阈值η可以由下面的虚警概率导出：

$P_F=P\left(H_1\right|H_0)=P\left(r\right(z)>\mathrm{\η}|H_0)={\∫}_{I_z}p\left(z\right|H_0)dz---\left(9\right)$

其中 $I_z\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{z:r\left(z\right)>\mathrm{\η}\}$ 是积分区间。

对于服从简单高斯分布的单目标来说，它就变成了普通的二元假设，其阈值η可以通过下面的公式获得：

$P_F={\∫}_{z_{\mathrm{\η}}}^{\mathrm{\∞}}p\left(z\right|H_0)dz---\left(10\right)$

积分区间可以为[z_η,∞)或者(-∞,z_η]，为了不失一般性，采用[z_η,∞)作为积分区间，且通过r(z)＞η将其导出；

步骤2.3基本命题

首先通过一个引理给出向量切比雪夫不等式

引理1：假设随机变量z的维数是n，E(z)是均值，Σ是协方差并且γ＞0，那么下面的不等式成立：

$P\{{(z-\mathrm{\&mu;})}^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}(z-\mathrm{\&mu;})<\mathrm{\&gamma;}\}\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(11\right)$

令并且假设目标的量测z服从下面的高斯混合分布：

$f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t,D_{k,j_k^t}^t)---\left(12\right)$

目标的量测集定义为：

$T_{k,j_k^t}\left(\mathrm{\&Gamma;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Gamma;}\}---\left(13\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，当目标量测概率小于公式(9)中的假报警概率P_F时，Γ将是一个充分大的阈值。

杂波的量测集定义为：

$C_{k,j_k^c}\left(\mathrm{\&beta;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^c||<\mathrm{\&zeta;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&zeta;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&beta;}\}---\left(14\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，ζ＞0，β是杂波量测概率的阈值。

当 $T_k=T_{k,1}\&cup;...\&cup;T_{k,j_k^t},C_k=C_{k,1}\&cup;...\&cup;C_{k,j_k^c}$ 时，下面的命题成立：

命题1：如果满足公式(13)和(14)，那么下面的不等式成立

p(z∈T_k|H₁)≥Γ                            (15)

p(z∈C_k|H₀)≥β                            (16)

这里的p(z∈T_k|H₁)是(12)式中给出的混合分布，定义上面的公式证明如下： $p(z\&Element;T_k|H_1)={\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|X_k^t)dz$

$\begin{array}{c}={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_{k,1}}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_{k,j_k^t}}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p_1}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\end{array}$

$\&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t\mathrm{\&Gamma;}+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t\mathrm{\&Gamma;}=\mathrm{\&Gamma;}$

同理可证不等式(16)。

命题2：假设对于任意的z∈S_k，有S_k＝T_k∪C_k，那么下面的等式成立

$r(z\&Element;S_k)\&SubsetEqual;\&lsqb;0,r_{k,max}\&rsqb;---\left(17\right)$

$r_{k,max}=\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...,f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(18\right)$

这个命题给出了似然比的范围。很明显r(z∈S_k)≥0，因此，仅考虑r(z∈S_k)≤r_k,max的情况。

证明如下： $p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)=U\left(z\right|S^c)$

$\begin{array}{c}p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}f\left(z\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)\\ \&le;{\max }_{z\&Element;S_k}\left\{f\left(z\right|X_{k,1}^t)\right\}({\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t)\end{array}---\left(19\right)$

因此 $\begin{array}{c}r(z\&Element;S_k)=\frac{p\left(z\right|H_1)}{p\left(z\right|H_0)}=\frac{p\left(z\right|H_1)}{U\left(z\right|S^c)}\\ \&le;\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}\end{array}$

即证。

当混合分布p(z|H₁)为高斯分布时，有下面的推论

推论1：当目标量测满足(12)式中的高斯混合分布时，似然比可以简化成如下形式：

$r_{k,\max }=\frac{\max \{N({\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t),...,N({\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t,D_{k,j_k^c}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(20\right)$

命题3：假设目标量测满足(12)式中的高斯混合分布，并且检测概率的阈值是p_D,min，那么似然比的最小阈值可通过下面的式子求得

$r_{k,min}=min\left\{\frac{\frac{1}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^n\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}}\exp (-\mathrm{\&gamma;})}{U\left(z\right|S^c)}\right\}---\left(21\right)$

$\mathrm{\&gamma;}\left(p_{D,min}\right)=\frac{n}{1-p_{D,min}},i=1,...,j_k^t---\left(22\right)$

命题4：定义量测集为R_k＝{z:r_k(z)≥r_k,min}，则当F_k＝R_k∩C_k时，假报警概率具有如下形式：

证明如下： $\begin{array}{c}P(z\&Element;R_k|H_1)={\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|X_k^t)dz\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|X_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{P}_{D,\min }+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{P}_{D,\min }=P_{D,\min }\end{array}$

命题5：假设S_k＝T_k∪C_k，并且杂波服从均匀分布，则则稀疏过程的杂波强度为：λ_k,s(S_k)＝λ_k,cVol(T_k)，这里的λ_k,s(S_k)是区域S_k上的杂波强度，Vol(T_k)代表目标量测集的体积。

本发明的有益效果：本发明给出了一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，该算法以假设检验理论为准则，选择高斯混合势概率密度滤波器和高斯混合多伯努利滤波器并通过假设检验理论来验证杂波稀疏过程，解决了传统算法所具有的计算时间随杂波密度增强呈指数增长的问题，大大提高了计算效率。

附图说明

图1.杂波和目标的概率密度函数以及似然比函数；

图2.检测概率和假报警概率与似然比的关系图；

图3.GM-CPHD：稀疏算法与传统算法的关于最优次模式分配(OSPA)距离与杂波个数的关系的对比图；

图4.GM-CPHD：稀疏算法与传统算法的关于势距离和位置距离与杂波个数的关系的对比图；

图5.GM-CPHD：稀疏算法与传统算法的关于计算时间与杂波个数的关系的对比图；

图6.GM multi-Bernoulli：稀疏算法与传统算法的关于最优次模式分配(OSPA)距离与杂波密度的关系的对比图；

图7.GM multi-Bernoulli：稀疏算法与传统算法的关于势距离和位置距离与杂波密度的关系的对比图；

图8.GM multi-Bernoulli：稀疏算法与传统算法的关于计算时间与杂波密度的关系的对比图；

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

本发明提出了一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，其具体实施方式如下：

步骤1.系统建模；

假设目标和杂波产生的的量测服从下面的二项式混合分布：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k)=(1-{\mathrm{\&pi;}}_k^t)f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)+{\mathrm{\&pi;}}_k^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)---\left(1\right)$

其中，f(·|·)是条件分布函数，z_k,i是目标或杂波的量测，是目标状态分布的权重，其中上标t表示目标，c表示杂波，假定在k时刻有个杂波状态和个目标状态，是杂波在k时刻的状态集，是目标在k时刻的状态集，杂波和目标的量测的混合分布分别具有如下形式：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^c)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^c}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^c}^c)---\left(2\right)$

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^t}^t)---\left(3\right)$

其中，和分别是杂波和目标的第和第个元素的组成权重。这里假设杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从伯努利随机有限集分布。

当杂波的量测服从均匀分布时，公式(2)中的杂波混合分布变成则杂波强度混合分布具有如下形式：

${\mathrm{\&lambda;}}_k^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\&lambda;}}_k^{c}U\left(z_{k,i}\right|S^c)---\left(4\right)$

其中S^c是杂波面积或体积。

步骤2杂波稀疏过程

步骤2.1杂波分布

杂波密度在公式(2)和(4)中被描述为混合分布，因此，杂波的随机有限集Θ_k具有如下分布：Θ_k～U(z_k,i|S^c)                         (5)

在公式(2)和(3)中分别给出了杂波和目标的量测的混合分布，即这里，和分别是杂波和目标的量测集中的某个元素。如步骤1中所述，杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从多伯努利随机有限集分布。

步骤2.2假设检验原理在随机有限集量测中的应用

假设z是某一个时刻的量测，为了简单起见，省略了时间下标，二元假设检验问题可以通过杂波和目标的量测表示成下面的形式：

$\begin{array}{cc}{H}_0:z~f\left(z\right|X_k^c)& H_1:z~f\left(z\right|X_k^t)\end{array}$

因此，似然函数的条件假设为

$p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)---\left(6\right)$

$p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)---\left(7\right)$

似然比检验为

这里的阈值η可以由下面的虚警概率导出：

$P_F=P\left(H_1\right|H_0)=P\left(r\right(z)>\mathrm{\&eta;}|H_0)={\&Integral;}_{I_z}p\left(z\right|H_0)dz---\left(9\right)$

其中 $I_z\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{z:r\left(z\right)>\mathrm{\&eta;}\}$ 是积分区间。

对于服从简单高斯分布的单目标来说，它就变成了普通的二元假设，其阈值η可以通过下面的公式获得：

$P_F={\&Integral;}_{z_{\mathrm{\&eta;}}}^{\mathrm{\&infin;}}p\left(z\right|H_0)dz---\left(10\right)$

积分区间可以为[z_η,∞)或者(-∞,z_η]，为了不失一般性，采用[z_η,∞)作为积分区间，且通过r(z)＞η将其导出；

步骤2.3基本命题

首先通过一个引理给出向量切比雪夫不等式

引理1：假设随机变量_z的维数是n，E(z)是均值，Σ是协方差并且γ＞0，那么下面的不等式成立：

$P\{{(z-\mathrm{\&mu;})}^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}(z-\mathrm{\&mu;})<\mathrm{\&gamma;}\}\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(11\right)$

令并且假设目标的量测z服从下面的高斯混合分布：

$f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t,D_{k,j_k^t}^t)---\left(12\right)$

目标的量测集定义为：

$T_{k,j_k^t}\left(\mathrm{\&Gamma;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Gamma;}\}---\left(13\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，当目标量测概率小于公式(9)中的假报警概率P_F时，Γ将是一个充分大的阈值。

杂波的量测集定义为：

$C_{k,j_k^c}\left(\mathrm{\&beta;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^c||<\mathrm{\&zeta;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&zeta;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&beta;}\}---\left(14\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，ζ＞0，β是杂波量测概率的阈值。

当 $T_k=T_{k,1}\&cup;...\&cup;T_{k,j_k^t},C_k=C_{k,1}\&cup;...\&cup;C_{k,j_k^c}$ 时，下面的命题成立：

命题1：如果满足公式(13)和(14)，那么下面的不等式成立

p(z∈T_k|H₁)≥Γ                              (15)

p(z∈C_k|H₀)≥β                              (16)

这里的p(z∈T_k|H₁)是(12)式中给出的混合分布，定义上面的公式证明如下： $p(z\&Element;T_k|H_1)={\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|X_k^t)dz$

$\begin{array}{c}={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_{k,1}}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_{k,j_k^t}}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p_1}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t\mathrm{\&Gamma;}+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t\mathrm{\&Gamma;}=\mathrm{\&Gamma;}\end{array}$

同理可证不等式(16)。

命题2：假设对于任意的z∈S_k，有S_k＝T_k∪C_k，那么下面的等式成立

$r(z\&Element;S_k)\&SubsetEqual;\&lsqb;0,r_{k,max}\&rsqb;---\left(17\right)$

$r_{k,max}=\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...,f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(18\right)$

这个命题给出了似然比的范围。很明显r(z∈S_k)≥0，因此，仅考虑r(z∈S_k)≤r_k,max的情况。

证明如下： $p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)=U\left(z\right|S^c)$

$\begin{array}{c}p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}f\left(z\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)\\ \&le;{\max }_{z\&Element;S_k}\left\{f\left(z\right|X_{k,1}^t)\right\}({\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t)\end{array}---\left(19\right)$

因此 $\begin{array}{c}r(z\&Element;S_k)=\frac{p\left(z\right|H_1)}{p\left(z\right|H_0)}=\frac{p\left(z\right|H_1)}{U\left(z\right|S^c)}\\ \&le;\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}\end{array}$

即证。

当混合分布p(z|H₁)为高斯分布时，有下面的推论

推论1：当目标量测满足(12)式中的高斯混合分布时，似然比可以简化成如下形式：

$r_{k,\max }=\frac{\max \{N({\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t),...,N({\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t,D_{k,j_k^c}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(20\right)$

命题3：假设目标量测满足(12)式中的高斯混合分布，并且检测概率的阈值是p_D,min，那么似然比的最小阈值可通过下面的式子求得

$r_{k,min}=min\left\{\frac{\frac{1}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^n\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}}\exp (-\mathrm{\&gamma;})}{U\left(z\right|S^c)}\right\}---\left(21\right)$

$\mathrm{\&gamma;}\left(p_{D,min}\right)=\frac{n}{1-p_{D,min}},i=1,...,j_k^t---\left(22\right)$

命题4：定义量测集为R_k＝{z:r_k(z)≥r_k,min}，则当F_k＝R_k∩C_k时，假报警概率具有如下形式：

证明如下： $P(z\&Element;R_k|H_1)={\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|X_k^t)dz$

$\begin{array}{c}={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|X_{k,1}^t)dz+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{P}_{D,\min }+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{P}_{D,\min }=P_{D,\min }\end{array}$

命题5：假设S_k＝T_k∪C_k，并且杂波服从均匀分布，则则稀疏过程的杂波强度为：λ_k,s(S_k)＝λ_k,cVol(T_k)，这里的λ_k,s(S_k)是区域S_k上的杂波强度，Vol(T_k)代表目标量测集的体积。

图1给出了杂波和目标的概率密度函数和似然比函数，假设目标量测的混合分布为：f(y)＝0.5N(y；-30,4)+0.5N(y；40,2)，杂波的量测的分布为c(y)＝U([-100,100])，图1中上面的图是目标量测和杂波的量测的概率密度函数，下面的图是似然比函数，从图中可以看出，似然比函数与目标的概率密度函数具有相同的波形。

图2给出了检测概率P_D和假报警概率P_F与似然比的关系图，从图中可以得到，如果假报警概率等于10％，相应的检测概率将会大于90％。

为了更好地阐释说明本发明，在本发明实验中，我们选择高斯混合势概率假设密度和高斯混合多伯努利滤波器并通过假设检验来验证稀疏过程。目标的检测概率P_D(x_k)＝0.98。监控区域S＝[-1000,1000]×[-1000,1000]m²。根据转移密度p_k|k-1(x_k|x_k-1)＝N(x_k,F_k-1,Q_k-1)，知单目标状态空间模型是线性高斯分布的，似然比函数为g_k(z_k|x_k)＝N(z_k；H_kx_k,R_k)，其中 $F_k=diag(\&lsqb;1,1\&rsqb;)\&CircleTimes;\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{\&Delta;}\\ 1& 0\end{array}\right],$ $G_k=diag(\&lsqb;1,1\&rsqb;)\&CircleTimes;\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}^2/2\\ \mathrm{\&Delta;}\end{array}\right],H_k=diag(\&lsqb;1,1\&rsqb;)\&CircleTimes;\&lsqb;\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\&rsqb;,$ R_k＝diag([100,100])m²，这里的是Kronecker积，Δ＝1s是采样周期。过程噪声协方差为W_k＝diag([25,25])m²。新生目标出现在四个不同的位置其中w_γ ⁽¹⁾＝0.1,w_γ ⁽²⁾＝w_γ ⁽³⁾＝w_γ ⁽⁴⁾＝0.05μ_γ ⁽¹⁾＝[0,0,0,0]^T,μ_γ ⁽²⁾＝[400,0,-600,0]^T,μ_γ ⁽³⁾＝[-800,0,-200,0]^T,μ_γ ⁽⁴⁾＝[-200,0,800,0]^T，p_γ＝diag([10,10,10,10])。在仿真实验中，杂波密度的范围为1.25×10^-5m^-2到7.5×10^-5m^-2，相应的杂波个数的范围是50到300。

图3给出了通过100次蒙特卡洛试验在GM-CPHD滤波器下稀疏算法与传统算法的关于最优次模式分配(OSPA)距离与杂波个数的关系的对比图。

图4给出了通过100次蒙特卡洛试验在GM-CPHD滤波器下稀疏算法与传统算法的关于势距离和位置距离与杂波个数的关系的对比图。

图5给出了通过100次蒙特卡洛试验在GM-CPHD滤波器下稀疏算法与传统算法的关于计算时间与杂波个数的关系的对比图。从图中可以看到，传统算法的计算时间随着杂波密度的增加呈指数增长，而稀疏算法的计算时间却呈线性增长。比如当杂波个数等于300时，稀疏算法100次蒙特卡洛试验需要30s，而传统算法则需要500s。

图6给出了通过100次蒙特卡洛试验在GMmulti-Bernoulli滤波器下稀疏算法与传统算法的关于最优次模式分配(OSPA)距离与杂波密度的关系的对比图。

图7给出了通过100次蒙特卡洛试验在GMmulti-Bernoulli滤波器下稀疏算法与传统算法的关于势距离和位置距离与杂波密度的关系的对比图。

图8给出了通过100次蒙特卡洛试验在GMmulti-Bernoulli滤波器下稀疏算法与传统算法的关于计算时间与杂波密度的关系的对比图。

通过图3～图8的对比分析，我们可以得出以下结论：

(1)GM-CPHD滤波器在目标数目估计方面比GMmulti-Bernoulli滤波器具有更好的鲁棒性。

(2)不管是在GM-CPHD滤波器下还是在GMmulti-Bernoulli滤波器下，稀疏算法都可以大大减少计算时间，从而体现了本发明方案的优越性。

最后说明，以上描述仅用以说明本发明的技术方案而非限制其所包含范围，即对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而并未脱离其目的和范围的，均应涵盖于本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种针对有限集跟踪滤波器的均匀密集杂波稀疏方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1.系统建模；

假设目标和杂波产生的的量测服从下面的二项式混合分布：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k)=(1-{\mathrm{\&pi;}}_k^t)f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)+{\mathrm{\&pi;}}_k^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)---\left(1\right)$

其中，f(·|·)是条件分布函数，z_k,i是目标或杂波的量测，是目标状态分布的权重，其中上标t表示目标，c表示杂波，假定在k时刻有个杂波状态和个目标状态，是杂波在k时刻的状态集，是目标在k时刻的状态集，杂波和目标的量测的混合分布分别具有如下形式：

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^c)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^c}^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^c}^c)---\left(2\right)$

$f\left(z_{k,i}\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z_{k,i}\right|X_{k,j_k^t}^t)---\left(3\right)$

其中，和分别是杂波和目标的第和第个元素的组成权重；这里假设杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从伯努利随机有限集分布；

当杂波的量测服从均匀分布时，公式(2)中的杂波混合分布变成则杂波强度混合分布具有如下形式：

${\mathrm{\&lambda;}}_k^{c}f\left(z_{k,i}\right|X_k^c)={\mathrm{\&lambda;}}_k^{c}U\left(z_{k,i}\right|S^c)---\left(4\right)$

其中S^c是杂波面积或体积；

步骤2 杂波稀疏过程

步骤2.1 杂波分布

杂波密度在公式(2)和(4)中被描述为混合分布，因此，杂波的随机有限集Θ_k具有如下分布：Θ_k～U(z_k,i|S^c)           (5)

在公式(2)和(3)中分别给出了杂波和目标的量测的混合分布，即这里，和分别是杂波和目标的量测集中的某个元素；如步骤1中所述，杂波的量测服从泊松随机有限集分布，且泊松强度为同样的，目标的量测服从多伯努利随机有限集分布；

步骤2.2 假设检验原理在随机有限集量测中的应用

假设z是某一个时刻的量测，为了简单起见，省略了时间下标，二元假设检验问题可以通过杂波和目标的量测表示成下面的形式：

$\begin{array}{cc}{H}_0:z-f\left(z\right|X_k^c)& H_1:z~f\left(z\right|X_k^t)\end{array}$

因此，似然函数的条件假设为

$p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)---\left(6\right)$

$p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)---\left(7\right)$

似然比检验为

这里的阈值η可以由下面的虚警概率导出：

$P_F=P\left(H_1\right|H_0)=P\left(r\right(z)>\mathrm{\&eta;}|H_0)={\&Integral;}_{I_z}p\left(z\right|H_0)dz---\left(9\right)$

其中 $I_z\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{z:r\left(z\right)>\mathrm{\&eta;}\}$ 是积分区间；

对于服从简单高斯分布的单目标来说，它就变成了普通的二元假设，其阈值η可以通过下面的公式获得：

$P_F={\&Integral;}_{z_{\mathrm{\&eta;}}}^{\mathrm{\&infin;}}p\left(z\right|H_0)dz---\left(10\right)$

积分区间可以为[z_η,∞)或者(-∞,z_η]，为了不失一般性，采用[z_η,∞)作为积分区间，且通过r(z)＞η将其导出；

步骤2.3 基本命题

首先通过一个引理给出向量切比雪夫不等式

引理1：假设随机变量z的维数是n，E(z)是均值，Σ是协方差并且γ＞0，那么下面的不等式成立：

$P\{{(z-\mathrm{\&mu;})}^T{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1}(z-\mathrm{\&mu;})<\mathrm{\&gamma;}\}\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(11\right)$

令并且假设目标的量测z服从下面的高斯混合分布：

$f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}N(z;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t,D_{k,j_k^t}^t)---\left(12\right)$

目标的量测集定义为：

$T_{k,j_k^t}\left(\mathrm{\&Gamma;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&gamma;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&Gamma;}\}---\left(13\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，当目标量测概率小于公式(9)中的假报警概率P_F时，Γ将是一个充分大的阈值；

杂波的量测集定义为：

$C_{k,j_k^c}\left(\mathrm{\&beta;}\right)=\{z:P\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^c||<\mathrm{\&zeta;})\&GreaterEqual;1-\frac{n}{\mathrm{\&zeta;}}\&GreaterEqual;\mathrm{\&beta;}\}---\left(14\right)$

这里的p(·)代表混合目标的第个组成的概率分布，ζ＞0，β是杂波量测概率的阈值；

当 $T_k=T_{k,1}\&cup;...\&cup;T_{k,j_k^t},C_k=C_{k,1}\&cup;...\&cup;C_{k,j_k^c}$ 时，下面的命题成立：

命题1：如果满足公式(13)和(14)，那么下面的不等式成立

p(z∈T_k|H₁)≥Γ        (15)

p(z∈C_k|H₀)≥β        (16)

这里的p(z∈T_k|H₁)是(12)式中给出的混合分布，定义上面的公式证明如下： $p(z\&Element;T_k|H_1)={\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|X_k^t)dz$

$\begin{array}{c}={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{T_{k,1}}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_{k,j_k^t}}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t\mathrm{\&Gamma;}+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t\mathrm{\&Gamma;}=\mathrm{\&Gamma;}\end{array}$

同理可证不等式(16)；

命题2：假设对于任意的z∈S_k，有S_k＝T_k∪C_k，那么下面的等式成立

$r(z\&Element;S_k)\&SubsetEqual;\&lsqb;0,r_{k,max}\&rsqb;---\left(17\right)$

$r_{k,max}=\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),...,f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(18\right)$

这个命题给出了似然比的范围；很明显r(z∈S_k)≥0，因此，仅考虑r(z∈S_k)≤r_k,max的情况；

证明如下： $p\left(z\right|H_0)=f\left(z\right|X_k^c)=U\left(z\right|S^c)$

$\begin{array}{c}p\left(z\right|H_1)=f\left(z\right|X_k^t)={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^{t}f\left(z\right|X_{k,1}^t)+...+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\\ \&le;{\max }_{z\&Element;S_k}\left\{f\left(z\right|X_{k,i}^t)\right\}({\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t)\end{array}---\left(19\right)$

因此 $\begin{array}{c}r(z\&Element;S_k)=\frac{p\left(z\right|H_1)}{p\left(z\right|H_0)}=\frac{p\left(z\right|H_1)}{U\left(z\right|S^c)}\\ \&le;\frac{{\max }_{z\&Element;S_k}\{f\left(z\right|X_{k,1}^t),\mathrm{...}f\left(z\right|X_{k,j_k^t}^t)\}}{U\left(z\right|S^c)}\end{array}$

即证；

当混合分布p(z|H₁)为高斯分布时，有下面的推论

推论1：当目标量测满足(12)式中的高斯混合分布时，似然比可以简化成如下形式：

$r_{k,max}=\frac{max\{N({\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t,D_{k,1}^t),...,N({\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t;{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^c}^t,D_{k,j_k^c}^t\}}{U\left(z\right|S^c)}---\left(20\right)$

命题3：假设目标量测满足(12)式中的高斯混合分布，并且检测概率的阈值是p_D,min，那么似然比的最小阈值可通过下面的式子求得

$r_{k,min}=min\left\{\frac{\frac{1}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^n\left|{\mathrm{\&Sigma;}}_i\right|}}\exp (-\mathrm{\&gamma;})}{U\left(z\right|S^c)}\right\}---\left(21\right)$

$\mathrm{\&gamma;}\left(p_{D,min}\right)=\frac{n}{1-p_{D,\min }},i=1,...,j_k^t---\left(22\right)$

命题4：定义量测集为R_k＝{z:r_k(z)≥r_k,min}，则当F_k＝R_k∩C_k时，假报警概率具有如下形式：

证明如下： $\begin{array}{c}P(z\&Element;R_k|H_1)={\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|X_k^t)dz\\ ={\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{\&Integral;}_{R_k}f\left(z\right|x_{k,1}^t)dz+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{\&Integral;}_{T_k}f\left(z\right|x_{k,j_k^t}^t)dz\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{p}_1\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,1}^t||<\mathrm{\&gamma;})+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^{t}p\left(\right||z-{\mathrm{\&mu;}}_{k,j_k^t}^t||<\mathrm{\&gamma;})\\ \&GreaterEqual;{\mathrm{\&pi;}}_{k,1}^t{P}_{D,\min }+\mathrm{...}+{\mathrm{\&pi;}}_{k,j_k^t}^t{P}_{D,\min }=P_{D,\min }\end{array}$

命题5：假设S_k＝T_k∪C_k，并且杂波服从均匀分布，则则稀疏过程的杂波强度为：λ_k,s(S_k)＝λ_k,cVol(T_k)，这里的λ_k,s(S_k)是区域S_k上的杂波强度，Vol(T_k)代表目标量测集的体积。