CN107505507A - 一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器的设计，其包括采样模块、误差估计模块、相关性计算模块以及差分解调模块。先设置采样频率，对待测信号采样；然后使用误差估计模块对信号进行递推估算，计算估计误差；再以此估计误差为输入，根据设置的有色噪声模型的阶次与H无穷控制算子，设计相关性计算模块，递推计算噪声的相关性矩阵；递推到k_m次后，根据相关性矩阵的计算结果设置差分解调模块的阶次参数，对采样信号进行解调计算，判断解调结果是否符合精度要求，达到要求后输出解调结果。本发明的特点是整个解调过程以递推迭代形式实现，可根据解调的精度要求灵活选取递推次数，便于硬件实现。可用于电学层析成像的信号解调。

Description

一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器

技术领域

本发明涉及一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器的设计，属于信号处理领域。

背景技术

电学层析成像技术是一种在待测量的空间域边界施加电信号的激励，再通过在空间域的另一边界对经过空间域的激励信号的测量，从而解算出待测空间域的电学参数，据此利用以图像重建算法为主的相关数学算法对空间域的电学参数分布情况进行反演，进而对空间域的介质分布进行分析的技术。电学层析成像系统的电学激励源以正弦信号为主，通过在另一空间域边界检测正弦信号并对从测量的信号中解调出幅值和相位信息从而实现对相关参数的解算，这一过程称为信号的相敏解调过程，是过程层析成像技术中信息获取的关键过程，其准确度与速度直接影响了后续重建过程的准确度与速度。通常，被检测到的正弦信号往往含有一定的噪声，噪声的大小和种类与工作环境相关，因此相敏解调的过程中所要考虑与讨论的一个重要的问题是抑制噪声的影响。

按照解调的实现方式可以将目前的解调方法分为模拟式信号解调与数字式信号解调。模拟式信号解调需要建立低通滤波器，其截止频率与响应时间难以同时保证，因而其解调速度与解调的稳定度难以同时保证，不适应于高速场合。而不断发展起来的数字式信号解调方法随着高性能的数字处理器件的发展越来越体现出其在实时性和高速性等方面的优势。

数字解调过程的数据采集是通过A/D转换器对待测信号进行采样，再利用相关数字信号处理器件进行相关数值计算，获取信号的幅值与相位信息，实现解调。数字解调的算法原理主要是基于离散傅里叶变换(DFT)的原理。结合数字信号处理器的相关特点，目前主要发展出了快速傅里叶变换(FFT)与正交序列变换的两种形式。其中FFT的解调方式不具有针对性，不能高效的处理频率已知的信号解调任务。正交序列解调从DFT的原理出发，其要求采样序列长度必须覆盖混频激励信号的整数个周期(由最低频率分量的信号周期决定)才能解调出测量信号在所有频率分量下的幅值和相位信息，这在很大程度上降低了解调方法的灵活性。

专利“一种用于电学层析成像系统的递推解调方法”(专利号：ZL201210016831.9)中提出一种基于递推最小二乘方法的解调方法，专利“一种用于电学层析成像系统的信息滤波解调方法”(专利号：ZL201310325488.0)与专利“一种多频信息滤波递推解调方法(申请号： 201510893984.5)”提出了一种基于信息滤波的解调方法，这些方法未在算法设计阶段考虑噪声对解调结果的影响，在面对信号中含有有色噪声的情况下解调性能下降明显。

本发明提出了一种用于解调含有高斯有色噪声的信号的递推解调器的设计，在设计初期考虑了噪声信号对解调结果的影响。基于最小二乘估计理论，考虑该理论在电学层析成像的工程应用中的实际特点，设计了采样模块、误差估计模块、相关性计算模块以及差分解调模块，实现了信号的采样、初步解调估计、噪声的相关性估计，以及以差分形式补充了噪声的相关性信息的差分解调过程。其主要优点如下：(1)计算噪声的相关性并以差分形式补充到差分解调过程，保证针对含有有色噪声信号的解调精度的同时使得计算过程的能够递推实现；(2)整个过程采用递推过程，四个部分的计算可以流水式进行，节省硬件的存储空间； (3)递推过程中，解调器能够随着采样数据的不断输入能够得到更佳的解调结果，可以根据要求的精度灵活选取计算次数，节省计算时间。

发明内容

一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器的设计核心在于利用一套递推的过程实现对含有有色噪声的信号实现解调，以减少计算过程占用的空间与时间。

本发明设计的含有高斯有色噪声信号的递推解调器，其主要的工作过程如下：

步骤一、采样模块的信号采样

采样模块的设计主要是对采样频率的设计，针对已知的待测信号频率f，一般取采样频率f_s＞20f。

用采样模块对已知频率为f的含高斯有色噪声的待测信号，其采样结果可以表示如下：

其中，A、分别为待测信号的幅值、相位，k为采样点序列，ε(k)表示零均值高斯有色噪声，D表示信号中的直流成分。

采样模块的输入是待测的模拟信号，输出是对待测信号按照频率f_s采样后的数字采样信号。

步骤二、误差估计模块计算估计误差

误差估计模块的主要任务是基于最小二乘理论，设计递推形式对信号的进行初步估计并计算估计误差。

根据正弦函数的两角和公式可以将待解调正弦信号的离散形式转化如下：

整理为y(k)＝H(k)·X(k)+ε(k) (3)

其中

则信号的幅值与相位信息可以根据X(k)^T求解如下：

根据线性模型的最小二乘估计理论，有：

X的最小二乘估计值

其中R表示了有色噪声ε(k)的相关矩阵。

可以看出，随着采样数据量k的增加，H矩阵与Y矩阵的规模在不断增加，与此同时，解调的计算量也成倍增加。考虑在实际的解调过程中，对噪声的相关矩阵R是未知的，因此这里提出一种通过单位化R矩阵，以引入一种递推解调的过程，能使得解调过程大幅简化，也更有利于硬件实现。

令R＝I，则

令F＝H^TH，F称为Fisher信息矩阵，在这里，其为一个3*3的矩阵。

将矩阵展开有：

根据矩阵的展开形式F(k)＝F(k-1)+H(k)^TH(k) (8)

令J称为新息矩阵，在这里，其为一个3*K的矩阵。

将矩阵等式J＝H^TY展开有

关注展开式的J(k)＝[J(1,k),J(2,k),J(3,k)]^T，有：

J(k)＝J(k-1)+H(k)^TY(k) (10)

展开矩阵等式有：

在这里，我们关注最后的解调结果X(k)＝[X(1,k),X(2,k),X(3,k)]^T，根据展开结果易知，J(k)＝F(k)X(k),则X(k)＝F(k)^-1J(k)。

据此，单位化R矩阵的信号的递推解调过程可以表达如下：

可设置其起始值为F(0)＝0，J(0)＝0；终止条件为到达设置的点数k_m(具体点数根据采样频率与信号频率而定，满足取样周期数大于一个周期，且不少于300点)。

根据第k次的解调结果得到关注的最终估计量X(k)＝F(k)^-1J(k)。

据此可以进行递推更新Fisher信息矩阵F(k)，根据输入的Y(k)信息不断更新新息矩阵 J(k)，进而求解含有待解调的幅值与相位信息的估计量X(k)。

在递推过程可以根据每步的更新估计量X(k)去估计y(k)，并且根据下式计算估计误差：

∈(k)＝y(k)-H(k)X(k) (13)

根据最小二乘理论，如果ε(k)为平稳白噪声信号，当k足够大的时候，∈(k)→0；而当ε(k)为有色噪声信号时，∈(k)→0不成立。

步骤二的计算过程——误差估计模块的计算任务可以表示如下

误差估计模块的输入是采样信号，输出是对采样信号的估计误差。

步骤三、相关性计算模块计算有色噪声的相关性矩阵

相关性计算模块根据估计误差，递推计算信号中含有的高斯有色噪声的相关性矩阵，在此过程中引入H无穷控制算子抑制递推过程的发散。

高斯有色噪声可以表示如下：

其中p表示有色噪声的相关性的阶数，a_i表示各阶相关性系数,w_k表示高斯白噪声信号。

有色噪声的相关性表示在频域上含有某种特定的频率，这里由于Fisher信息矩阵F(k) 由频率相关矩阵H(k)得到，因此其对解调结果具有频率的选择性。据此，可以利用估计误差对有色噪声相关性的估计。

因此这里将∈(k)作为对ε(k)进行相关性估计的估计量代入以下迭代过程：

根据ε(k)有：

其中

同样基于最小二乘理论设计针对线性模型的估计过程：

其中，p为表示有色噪声相关性的相关阶数，∈(k_p)为由估计误差所表示的噪声信息； E(k_p)是由∈(k_p-p)～∈(k_p)组成的p*1阶矩阵；J_w(k_p)为本过程中的新息矩阵，包含着噪声与相关矩阵相关性的更新信息；k_m为设定的迭代次数；γ为H无穷控制因子,对其进行设定可以控制信息矩阵与新息矩阵不发散；F_w(k_p)为本过程的Fisher信息矩阵，是一个含有待解调的相关性信息的矩阵；其递推解调的噪声相关性结果用A(k_p)表示,具体形式如下：

A(k_p)＝{a₁,......a_p}^T (19)

在单步递推过程中，此步骤与误差估计模块流水式进行，补充E(k_p)的起始条件为，当∈(k)递推到第p次的时候，取∈(1)～∈(p)作为E(k_p)的起始条件，开始J_w(k_p)与F_w(k_p)递推更新，并求相关矩阵{a₁,......a_p}^T。

综上，步骤三的计算过程——相关性计算模块的计算任务可以表示如式子(18)：

相关性计算模块的输入是误差估计模块计算的估计误差，输出是有色噪声的相关性矩阵。

步骤四、差分解调模块对信号解调计算

差分解调模块根据相关性矩阵的计算结果设计，以差分式将有色噪声的相关性考虑到递推的过程中进行解调，输入采样信号输出解调结果A_k，

含有色噪声的信号模型可以表达如下：

构建辅助信号模型如下：

代入ε(k)，有：

据此可构建如下线性模型：

此处有：

进而构造新的递推过程，取F′＝H′^TH′,J′＝H′^TY

递推过程的起始条件包括对F′(k)、J′(k)、H′(k)、y′(k)的描述具体如下：

则有递推过程为

进而根据：

X′(k)＝F′(k)^-1J′(k) (28)

求解含有噪声信号的幅值与相位。

综上，步骤四的计算过程——差分解调模块的计算任务可表示如公式(26)与公式(28) 以及公式(29)。

其输入是采样信号与相关性计算模块计算的相关性矩阵，其中相关性矩阵用于确定差分模型的阶次参数，采样信号为每步的递推提供新的信息；其输出是信号的幅值与相位的解调结果。

本发明与现有技术相比其优点在于：(1)在解调器的设计过程中针对有色噪声建模，有针对性的提高有色噪声对解调结果的影响；(2)在对有色噪声相关性估计的过程中引入了 H无穷估计算子，有效的避免了估计过程的发散；(3)通过差分形式将有色噪声的相关性补充到递推过程中，保证了整个过程的递推实现，避免了随着采样点数的上升，计算量的大幅增长；(4)解调器的递推串行实现，且其输出结果的精度随着采样点数的增加而提高，可以根据解调结果的精度要求灵活选取解调次数，节省硬件的资源开销。

附图说明

附图1为待解调的含噪声信号的波形图

附图2为仿真实验所添加的有色噪声信号的频谱图

附图3为解调结果

附图4为解调工作流程说明图

具体实施方式

下面结合附图与具体解调例子进一步说明本发明：

设置待测量信号的幅值为5000、相位为1rad、频率为60kHz；

则待测信号可表达如下：

y(t)＝5000sin(2π*60K*t+1) (30)

有色噪声设为二阶相关噪声，相关矩阵为：{0.109,0.89}^T，其中白噪声分量的幅度值为 100。

该有色噪声的等效功率为：P(w_k)＝100²/(1-0.109²-0.89²)≈52400 (31)

即添加的噪声信号表达如下：

其中附图1表示的是含噪声信号的波形，附图2表示的是添加的有色噪声的频谱。

步骤一、采样模块的信号采样

根据待测信号的频率f＝60KHz，可选取采样频率为6MHz。

则采样模块采样得到的采样信号可表示为：

y(k)＝5000sin(2πk*60K/6M+1)+ε(k)+D (33)

步骤二、误差估计模块计算估计误差

根据采样信号，并取估计长度k_m＝300，则误差估计模块中建立的信号模型可以如下：

式(33)与式(34)代入式子(35)中进行递推解调，计算估计误差；

步骤三、相关性计算模块计算有色噪声的相关性矩阵

在步骤二输入估计误差后，开始利用估计误差进行相关计算。

一般地，取四阶模型对噪声的相关性进行估计，并取H无穷控制算子为0.4，递推估计到300点，则其估计过程如下：

这里∈(k_p)＝[∈(k_p-4),∈(k_p-3),∈(k_p-2),∈(k_p-1)]。

估算得到A(k_p)＝[a₁,a₂,a₃,a₄]；

步骤四、差分解调模块对信号解调计算

则其差分形式的信息矩阵与新息矩阵的形式如下，这里估计到了1600点：

将式(37)其代入式(38)进行递推解算，计算到1600点，再进行式(39)的计算，从而得到解调结果；

进而对式(39)的求解结果进行精度判断，判断其是否满足精度要求，否则继续输入采样点进行计算，直到满足精度要求。

附图3反映了解调结果。由于噪声的随机性，一次实验不能够说明问题，需要进行多次实验并对结果进行统计,这里进行了100次实验。

附图3中，(a)图与(b)图是其幅值与相位的解调结果随着递推次数的变化。(c)图与 (d)图是幅值与相位信噪比随着递推次数的变化，其中信噪比的计算方式如下：

其中，x(i)为每次测量结果，M为实验的次数，为进行M次实验解调结果的均值。

由以上解调结果可以看出，本发明设计的解调器的解调结果在有色噪声环境下随着递推次数的增加有明显的趋真值的收敛性，且其表示解调结果对于不同有色噪声的稳定性的信噪比结果也随着递推次数不断上升。仿真实验验证了解调器的可行性。

Claims (4)

1.一种用于解调含有高斯有色噪声信号的递推解调器包括采样模块、误差估计模块、相关性计算模块以及差分解调模块四个部分，其解调功能实现的步骤如下：首先设置采样频率f_s，对待测信号进行采样；然后使用误差估计模块对信号进行递推估算，计算估计误差∈(k)；再以此估计误差为输入，根据设置的有色噪声模型的阶次p与H无穷控制算子γ，设计相关性计算模块，递推计算噪声的相关性矩阵A(k_p)；递推到k_m次后，根据相关性矩阵的计算结果设置差分解调模块的阶次参数，对采样信号进行迭代解调计算，判断解调结果是否符合精度要求，达到要求后输出解调结果。

2.根据权利要求1所述的递推解调器中的误差估计模块，其特征在于利用最小二乘理论建立递推解调模型时，基于实际的操作环境中噪声相关矩阵事先未知的特点，建立如下递推估计过程：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>H</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>H</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2......</mn> <msub> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，k为采样点序数，y(k)为采样信号；H(k)是由采样频率f_s和信号的激励频率f唯一确定的相关矩阵；F(k)为Fisher信息矩阵，是一个含有待解调的频率信息的矩阵，J(k)为新息矩阵，其包含着递推过程的相关矩阵与采样信号相关性的更新信息，两者为计算过程的中间变量；X(k)表示递推解调的结果，根据更新的结果可以得出估计误差∈(k)；递推过程的起始值设置为F(0)＝0，J(0)＝0。

3.根据权利要求1所述的递推解调器的相关性计算模块，其特征在于利用估计误差将噪声从信号中分离并估计相关系数，引入了H无穷控制抑制了估计过程的发散，其递推估计形式如下：

<mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，p为表示有色噪声相关性的相关阶数，∈(k_p)为由估计误差所表示的噪声信息；E(k_p)是由∈(k_p-p)～∈(k_p)组成的p*1阶矩阵；J_w(k_p)为本过程中的新息矩阵，包含着噪声与相关矩阵相关性的更新信息；k_m为设定的迭代次数；γ为H无穷控制因子,对其进行设定可以控制信息矩阵与新息矩阵不发散；F_w(k_p)为本过程的Fisher信息矩阵，是一个含有待解调的相关性信息的矩阵；其递推解调的噪声相关性结果用A(k_p)表示,具体形式如下：

A(k_p)＝{a₁,......a_p}^T (3)

其中，a₁,......a_p为表示有色噪声相关性的p阶的相关系数。

4.根据权利要求1所述的递推解调器的差分解调模块，其特征在于根据有色噪声的相关性建立了如下的差分递推解调过程：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>F</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>F</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>H</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>H</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>J</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>H</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>......</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中F′(k)、J′(k)、H′(k)、y′(k)分别为差分形式下的信息矩阵、新息矩阵、相关矩阵以及输入的信息；其中H′(k)、y′(k)的具体形式如下：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>p</mi> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>H</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>p</mi> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

据此迭代过程可求得包含待解调的幅值与相位信息的矩阵X′(k)＝F′(k)^-1J′(k)；

进而求解含有噪声信号的幅值与相位：