CN102045118B - 基于伪逆相乘的压缩感知重建算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于伪逆相乘的压缩感知重建算法，主要是为了解决现有压缩感知重建算法重建效果差，速度慢的问题而设计。本发明主要是通过迭代计算实现对稀疏信号的重建，能够有效的解决现有压缩感知重建算法存在的问题。本发明为压缩感知的实际应用奠定了基础。

Description

基于伪逆相乘的压缩感知重建算法

技术领域

本发明涉及一种信号处理领域，尤其涉及信号的压缩感知。

背景技术

压缩感知是近年来新提出来的采样理论，它的处理对象为稀疏信号或者能够通过变换在其它域稀疏表达的信号。在压缩感知中，信号的采集过程即为压缩过程，它不同于传统的信号采样理论，能够以远低于奈奎斯特的速率进行采样，并且能够准确的恢复出原来的信号。

对于一个N×1维的信号x，当其中只有K个非零值（N>>K），信号x称为K稀疏信号。在压缩感知中，引入一个M×N(M＜＜N)的矩阵Φ，称为观测矩阵；将信号x在矩阵Φ上面做投影得到采样结果y，称为观测值；如（1）式所示。虽然（1）式是一个高度欠定的方程，但根据x的稀疏特性，可以通过一些重建算法将x精确地恢复出来。

y=Φx   （1）

目前，压缩感知的研究方向主要集中在观测矩阵Φ设计、信号的稀疏性表达和信号的重建算法等几个方面，其中信号重建算法的速度与精度是决定压缩感知能否得到广泛实际应用的重要因素。

现在已有的信号重建算法主要有凸优化算法和贪婪算法两种。

（1）凸优化算法，将信号的重建转化为一个最小l₁范数下的凸优化问题，具体的实现算法包括内点法和投影梯度法等。其中，内点法重建的效果精确，但是运算的速度很慢；投影梯度法总体效果比较良好，重建效果较良好，运行时间也较快，但精确度不高，特别是在观测值较少或者稀疏度不高时重建效果退化的比较明显。

（2）贪婪算法，是一种基于l₀范数的算法，是一种贪婪式迭代算法，它将观测矩阵Φ视为一个原子集合，每次从原子集中选择出合适的原子进行迭代，最终使误差最小。贪婪算法主要有“正交匹配追踪”法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）及其改进版本Stagewise OMP（StOMP）、Regularized OMP（ROMP）以及后来提出的较为先进的CoSaMP（compressive sampling matching pursuit）和SP(Subspace Pursuit)。贪婪算法的重建效果比较好，但是运算速度较慢，特别是在信号的稀疏度K大的时候。

综上所述，现存的压缩感知重建算法在重建效果或者运算速度方面存在缺陷，如何找到更加精确更加快速的重建算法将成为研究热点。

发明内容

针对现有的压缩感知重建算法中存在的重建精度不高，运算速度慢的问题，本发明提出一种基于伪逆相乘的压缩感知重建算法。

为达到上述目的，本发明基于伪逆相乘的压缩感知重建算法，包括以下步骤：

步骤1、输入变量：观测值y，观测矩阵Φ，观测矩阵的伪逆

以及信号的稀疏度K;

步骤2、初始化：稀疏信号估计值α₀={0}，支撑集T₀=φ以及迭代终止阈值Θ；

步骤3、设定迭代次数t=1，余量r₀=y；

步骤4、计算稀疏信号估计值的残量b_t，并更新稀疏信号估计值α_t，余量r_t，以及支撑集T_t；

步骤5、判断||r_t||²是否不大于Θ，是，输出重建结果α_t，否，t=t+1，跳转到步骤4。

其中，步骤4具体实现如下：

4.1、设Ω为

中绝对值最大的2K个分量所对应的序号集合；

4.2、令T′_t=T_t-1∪Ω，计算出残量b_t为保留中集合T′_t所对应的分量，其余分量置零的向量，其中所述其余分量为

中不属于集合T′_t所对应的分量；

4.3、更新稀疏信号估计值α_t为保留a_t-1+b_t中绝对值最大的K个分量，其余分量置零的向量，同时更新支撑集T_t为α_t中K个非零分量的序号的集合；

4.4、更新余量r_t为：r_t=y-Φa_t。

采用上述算法，使得本发明所述基于伪逆相乘的压缩感知重建算法有效地解决了现有压缩感知重建算法重建效果差且速度慢的问题。

附图说明

图1为本发明所述基于伪逆相乘的压缩感知重建算法的流程图；

图2为信号稀疏度K=300时，本发明所述算法，SP和CoSaMP三种算法在相同的恢复时间内对稀疏信号x的重建仿真结果对比图；

图3为信号稀疏度K=500时，本发明所述算法，SP和CoSaMP三种算法在相同的恢复时间内对稀疏信号x的重建仿真结果对比图。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明的具体实施方式做详细描述。

如图1所示为本发明所述基于伪逆相乘的压缩感知重建算法的流程图。其具体的流程描述如下：

步骤1、输入变量：观测值y，观测矩阵Φ，观测矩阵的伪逆

以及信号的稀疏度K;

步骤2、初始化：稀疏信号估计值α₀={0}，支撑集T₀=φ以及迭代终止阈值Θ；

步骤3、设定迭代次数t=1，余量r₀=y；

步骤4、计算稀疏信号估计值的残量b_t，并更新稀疏信号估计值α_t，余量r_t，以及支撑集T_t；

4.1、设Ω为

中绝对值最大的2K个分量所对应的序号集合；

4.2、令T′_t=T_t-1∪Ω，计算出残量b_t为保留

中集合T′_t所对应的分量，其余分量置零的向量，其中所述其余分量为

中不属于集合T′_t所对应的分量；

4.3、更新稀疏信号估计值α_t为保留a_t-1+b_t中绝对值最大的K个分量，其余分量置零的向量，同时更新支撑集T_t为α_t中K个非零分量的序号的集合，其中所述其余分量为a_t-1+b_t中绝对值小于所述的K个分量中任一分量的绝对值的分量；

4.4、更新余量r_t为：r_t=y-Φa_t。

步骤5、判断||r_t||₂是否不大于Θ，是，输出重建结果α_t，否，t=t+1，跳转到步骤4。

实施例一：

为了更好的体现本发明基于伪逆相乘的压缩感知重建算法在重建速度和重建效果方面的优势，下面结合一具体实施例将本发明所述的算法与已存在的典型算法SP和CoSaMP作比较。

比较的方式为：在相同的时间内，比较这三种算法所能达到的重建效果，其中重建效果用均方误差来表示，其中

代表最终的估计值。

设稀疏信号x的长度为N=4096，其稀疏度为K=[300 500]，并且稀疏信号的幅度分布为高斯分布；观测矩阵Φ为随机产生的维数为M×N(M=2048)的高斯矩阵；高斯分布的白噪声的信噪比为-20dB。算法的停止时间T=[0.5 1 1.5 2 2.5 3 45 6 7 8 9 10 15]，当算法运行到停止时间时，将算法强制停止，保留当前的估计值，如果在停止时间内未能完成某次循环，则将前一次循环得到的估计值作为最终结果。

图2为信号稀疏度K=300时，这三种算法在相同的恢复时间内对稀疏信号x的重建仿真结果对比图；图3为信号稀疏度K=500时，这三种算法在相同的恢复时间内对稀疏信号x的重建仿真结果对比图，其中，横坐标为停止时间Stoptime，纵坐标为均方误差MSE。由仿真结果可以看出，IPIM算法比SP和CoSaMP算法的重建速度快很多。图2中，IPIM算法能在2秒左右使重建信号的均方误差达到10^-7，而SP则需要15秒才能达到相同的精度，CoSaMP在有限的时间内根本不可能达到相同的精度。另外，从图2和图3中还可以看出，在SP和CoSaMP未收敛时，SP和CoSaMP的仿真曲线上面有很多“台阶”，这是由于SP和CoSaMP算法中每次循环所用的时间很长，在增加的时间内没能够完成新一次的循环，所以重建的误差不变。而本发明所述的IPIM算法就不会出现这种现象，IPIM算法每次循环所用的时间很短，所以只要时间增加，IPIM就能够得到更精确的结果。

综上所述，本发明有效解决了现有压缩感知重建算法中存在的重建精度不高，运算速度慢的问题，能够较快地，精度高地完成对信号的重建，为压缩感知的实际应用奠定了基础。

以上，仅为本发明的较佳实施例，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求所界定的保护范围为准。

Claims (2)

1.一种基于伪逆相乘的压缩感知重建算法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、输入变量：观测值y，观测矩阵Φ，观测矩阵的伪逆

以及信号的稀疏度K;

步骤2、初始化：稀疏信号估计值α₀={0}，支撑集T₀=φ以及迭代终止阈值Θ；

步骤3、设定迭代次数t=1，余量r₀=y；

步骤4、计算稀疏信号估计值的残量b_t，并更新稀疏信号估计值α_t，余量r_t，以及支撑集T_t；

步骤5、判断||r_t||₂是否不大于Θ，是，输出重建结果α_t，否，t=t+1，跳转到步骤4。

2.根据权利要求1所述基于伪逆相乘的压缩感知重建算法，其特征在于，其中，步骤4具体实现如下：

4.1、设Ω为

中绝对值最大的2K个分量所对应的序号集合；

4.2、令T′_t=T_t-1∪Ω，计算出残量b_t为保留

中集合T′_t所对应的分量，其余分量置零的向量，其中所述其余分量为

中不属于集合T′_t所对应的分量；

4.3、更新稀疏信号估计值α_t为保留a_t-1+b_t中绝对值最大的K个分量，其余分量置零的向量，同时更新支撑集T_t为α_t中K个非零分量的序号的集合，其中所述其余分量为a_t-1+b_t中绝对值小于所述的K个分量中任一分量的绝对值的分量；

4.4、更新余量r_t为：r_t=y-Φa_t。

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