CN107196661A - 基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非均匀欠采样条件下谐波组合信号的重构方法，其中方法包括以下步骤：步骤1、获取N个大于Nyquist采样周期的欠采样周期内j个信号数值的时间序列。步骤2、根据采样数据对应的时间构造测量矩阵。步骤3、构造含测量向量、测量矩阵、傅里叶基矩阵、重构一维稀疏向量的稀疏重构方程。步骤4、对重构表达式进行正交化预操作，构造等效表达式。步骤5、计算重构方程的观测矩阵互相关系数，调整采样时间间隔，重新构造观测矩阵，使观测矩阵互相关系数最小。步骤6、利用凸优化方法、贪婪算法等典型重构算法，求解稀疏向量，获得谐波组合信号的所有频率成分，实现信号重构。本发明提供的方法重构概率大、精度高，可以在无先验信息条件下实现谐波组合信号的盲重构。

Description

基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法

技术领域

本发明涉及转子振动监测系统中的信号处理技术，特别涉及一种谐波组合信号的信号重构方法。

背景技术

信号的稀疏性在现实世界中是广泛存在的，例如：当选取特定的小波基时，分段平滑信号的分解呈现一定的稀疏性；平滑信号在傅立叶基下的分解结果呈现稀疏性。稀疏信号重构是指利用信号的稀疏性，通过少量的线性测量值重构稀疏信号，该问题也称为稀疏求逆问题，本质上是欠定线性方程组求最稀疏解的问题。

转子系统的振动信号呈现周期性特征，在复杂的激励条件下，往往表现为多频谐波信号的叠加，在频域表现出稀疏性。且由于硬件条件限制，有时采样数据无法满足奈奎斯特采样定理。对现有的单频信号欠采样重构方法进行分析可知，自回归方法通过构造测量值和信号参数的方程，利用遍历法求解最小二乘解的最小残差估计信号频率。该方法为满足方程未知数个数和方程数的对应关系，当信号所含频率成分增加时，单个采样周期内所需的采样点个数将成倍增加。而且该测量方法的鲁棒性差，易受到测量误差的干扰。插值重构方法估计单频信号的频率时，需先给出一个先验频率，且该频率的准确性会影响到估计结果，无法实现盲重构，也无法估计含多个频率成分的谐波组合信号的各个频率。压缩感知重构方法，通过随机矩阵将测量信号投影到低维空间，实质也是在获取了数量上满足采样定理的信号数据后再进行的压缩，并非真正意义上的欠采样重构。

发明内容

本发明的目的是提供一种利用有限的非均匀欠采样信息，获得谐波组合信号中的所有频率信息的方法。

本发明的技术方案是提供了一种基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法，其特征在于其特征在于其特征在于包括以下步骤：

步骤S100：获取N个大于Nyquist采样周期的欠采样周期T_n内j个信号数值的非均匀欠采样时间序列；

其中，谐波组合信号非均匀欠采样时间序列的获取；包括以下步骤：

步骤S101：确定一个虚拟采样间隔T_n/L；

其中：L为对每个欠采样周期T_n进行等分的份数，使得等分后的时间间隔T_n/L满足Nyquist采样定理，即虚拟采样频率不低于两倍的待测信号最高频率且各个采样数据的采样时间均对应某个等分点的时刻；

步骤S102：将谐波组合信号的非均匀欠采样模型表示为公式：

其中r(t)为真实信号，y[t_j]为采样结果的时间序列，δ(t)为狄里克莱函数，L为对欠采样周期T_n的切分倍数，ξ_i为一个小于L的随机正整数，决定每个周期采样的非均匀性，I为每个采样周期T_n内的采样个数，N为采样周期数；

步骤S200：根据采样数据对应的时间构造测量矩阵Φ_p×q其具体包括以下步骤：

步骤S201：确定测量矩阵的阶数；

测量矩阵Φ_p×q的行、列数选取满足以下公式：

其中p为测量矩阵的行数，与测量向量维度相同；q为测量矩阵的列数；

步骤S202：测量矩阵按以下原则构造：

测量矩阵Φ_p×q满足以下形式：

其中，矩阵每行均有且只有一个元素为1，即其他元素均为0。该非零元素的坐标可表示为且1元素对应的列坐标k满足其中t_j为步骤S102所提公式的第j,j≤q个采样数据的采样时刻。

步骤S300：构造含测量向量y、测量矩阵Φ、傅里叶基矩阵Ψ_FFT、重构一维稀疏向量θ的稀疏重构方程

其中y∈R^p×1为时间序列y[t_j]的向量形式、Φ∈Z^p×q为测量矩阵、Ψ_FFT∈C^q×q为傅里叶基矩阵、θ(f)∈C^q为重构的一维稀疏向量，该向量等效可等效成真实信号的频谱。

步骤S400：对S300中的稀疏重构方程进行正交化预操作，构造等效表达式z＝Qθ(f)，其中，z∈R^p和Q∈C^p×q分别是y∈R^p和的正交化预变换表示；

步骤S500:计算重构方程的观测矩阵互相关系数μ(Q)，调整采样时间间隔，重新构造等效观测矩阵Q，使观测矩阵Q互相关系数最小；

其中，q_j是矩阵Q中的列向量；

步骤S600:利用包括凸优化方法、贪婪算法在内的典型重构算法，求解稀疏向量θ，获得谐波组合信号的所有频率成分，实现信号重构。

本发明的有益效果在于：在欠采样条件下，利用相对较少的采样信息，获得信号的所有频率特征。且该方法的后处理算法具有鲁棒性，可以保证在采样结果有误差时依然获得较准确的结果。另外，本发明步骤S500中提供了一种判定标准，可以用于优化采样时间间隔。

附图说明

图1为发明实施中谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法流程示意图；

图2为谐波组合信号欠采样示意图；

图3为基追踪算法重构频谱图。

具体实施方式(公式改法同权利要求书)

为使本发明的目的、技术手段和优点更加清楚明白，以下结合附图对本发明作进一步详细说明。

对现有的单频信号欠采样重构方法进行分析可知，自回归方法通过构造测量值和信号参数的方程，利用遍历法求解最小二乘解的最小残差估计信号频率。该方法为满足方程未知数个数和方程数的对应关系，当信号所含频率成分增加时，单个采样周期内所需的采样点个数将成倍增加。插值重构方法估计单频信号的频率时，需先给出一个先验频率，且该频率的准确性会影响到估计结果，无法实现盲重构，也无法估计含多个频率成分的谐波组合信号的各个频率。而且以上方法对测量误差过于敏感，在含误差条件下计算结果偏离真值较大。压缩感知重构方法，通过随机矩阵将测量信号投影到低维空间，实质也是在获取了满足采样定理的信号数据后进行的压缩，并非真正意义上的欠采样重构。

基于上述分析，本发明提供的方法适用于谐波组合信号欠采样条件下的盲重构，利用较少的采样点数，求解谐波组合信号的所有频率成分。

参考图1，该实例所述的基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法，包括以下步骤：

步骤S100：获取N个大于Nyquist采样周期的欠采样周期T_n内j个信号数值的非均匀欠采样时间序列；

其中，谐波组合信号非均匀欠采样时间序列的获取。包括以下步骤：

步骤S101：确定一个虚拟采样间隔T_n/L。L为对每个欠采样周期T_n进行等分的份数，使得等分后的时间间隔T_n/L满足Nyquist采样定理(L/T_n>2f_max)即虚拟采样频率不低于两倍的待测信号最高频率且各个采样数据的采样时间均对应某个等分点的时刻。

步骤S102：谐波组合信号的非均匀欠采样模型可以表示为公式：

其中r(t)为真实信号，y[t_j]为采样结果的时间序列，δ(t)为狄里克莱函数，L为对欠采样周期T_n的切分倍数，ξ_i为一个小于L的随机正整数，决定每个周期采样的非均匀性。I为每个采样周期T_n内的采样个数。N为采样周期数。

步骤S200：根据采样数据对应的时间构造测量矩阵Φ；

包括以下子步骤：

步骤S201：确定测量矩阵的阶数。测量矩阵Φ_p×q的行、列数选取满足以下公式：

其中p为测量矩阵的行数，与测量向量维度相同；q为测量矩阵的列数。

步骤S202：测量矩阵按以下原则构造：

测量矩阵Φ_p×q满足以下形式：

其中，矩阵每行均有且只有一个元素为1，即且1元素对应的列坐标k满足其中t_j为步骤S102所提公式的第j(j≤q)个采样数据的采样时刻。

步骤S300：构造含测量向量y、测量矩阵Φ、傅里叶基矩阵Ψ_FFT、重构一维稀疏向量θ的稀疏重构方程

其中y∈R^p为时间序列y[t_j]的向量形式、Φ∈Z^p×q为测量矩阵、Ψ_FFT∈C^q×q为傅里叶基矩阵、θ(f)∈C^q为重构一维稀疏向量。

步骤S400：对S300中的稀疏重构方程进行正交化预操作，构造等效表达式z＝Qθ(f)，其中，z∈R^p和Q∈C^p×q分别是y∈R^p和的正交化预变换表示。

具体包括以下子步骤：

步骤S401：构造测量向量的正交化预变换矩阵其中，Q＝orth(R^T)^T

步骤S402：构造正交化预处理后的重构方程z＝Qθ(f)。其中，z＝Ty。

步骤S500:计算重构方程的观测矩阵互相关系数μ(Q)，调整采样时间间隔，重新构造等效观测矩阵Q，使观测矩阵Q互相关系数最小；

根据步骤S200，通过调整采样时间t_j，构造不同的观测矩阵Φ，进而使步骤S400中观测矩阵的互相关系数μ(Q)尽可能小。

其中，q_i、q_j是矩阵Q中的列向量。需要强调的是，互相关系数仅和采样序列的时间间隔有关，且互相关系数越小，重构成功概率越大。

步骤S600:利用包括凸优化方法、贪婪算法在内的典型重构算法，求解稀疏向量θ(f)，获得谐波组合信号的所有频率成分，实现信号重构。

该步骤中，利用凸优化方法(如基追踪)、贪婪算法(如匹配追踪)等典型重构算法，求解稀疏向量θ(f)，获得谐波组合信号的所有频率成分，实现信号重构。稀疏向量θ(f)对应谐波组合信号傅里叶变换后的频谱。需要强调的是，当采样的时间序列y含有噪声等测量误差时，本发明适用于通过已有的基追踪降噪方法进行重构。该方法具有较强的鲁棒性，在含测量误差条件下可以提高测量精度。

每个采样周期T_n内的采样个数。

至此，本方法中信号重构方法流程结束，接下来，提供利用本发明进行仿真的案例。

重构的对象为任意谐波组合信号其中，f_i为频率，a_i为频率对应的振幅，为对应的相位。p为谐波组合信号所含的不同频率个数。

根据图2所示，任意选择一个具体的信号：

x＝0.3cos(2π×200t+1.2)+0.9cos(2π×751t)

设采样频率f_n＝83Hz，为欠采样情况。取L＝25，将欠采样周期T_n分为25等份，选择一组最佳的采样时间间隔，每个周期根据步骤S500设计的时间间隔采三个数据，分别以三角、方框和五星三种符号示意。

构造重构方程求稀疏解θ(f)，获得对应的信号频谱如图3所示。可以看出，本发明所提供的方法能够较为准确地实现多频组合信号的频率辨识与重构。

虽然上面结合本发明的优选实例对本发明的原理进行了详细的描述，本领域技术人员应该理解，上述实例仅仅是对本发明的示意性实现方式的解释，并非对本发明包含范围的限定。实例中的细节并不构成对本发明范围的限制，在不背离本发明的精神和范围的情况下，任何基于本发明技术方案的等效变换、简单替换等显而易见的改变，均落在本发明保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤S100：获取N个大于Nyquist采样周期的欠采样周期T_n内j个信号数值的非均匀欠采样时间序列；

其中，谐波组合信号非均匀欠采样时间序列的获取；包括以下步骤：

步骤S101：确定一个虚拟采样间隔T_n/L；

其中：L为对每个欠采样周期T_n进行等分的份数，使得等分后的时间间隔T_n/L满足Nyquist采样定理，即虚拟采样频率不低于两倍的待测信号最高频率且各个采样数据的采样时间均对应某个等分点的时刻；

步骤S102：将谐波组合信号的非均匀欠采样模型表示为公式：

<mrow> <mi>y</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>I</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>I</mi> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中r(t)为真实信号，y[t_j]为采样结果的时间序列，δ(t)为狄里克莱函数，L为对欠采样周期T_n的切分倍数，ξ_i为一个小于L的随机正整数，决定每个周期采样的非均匀性，I为每个采样周期T_n内的采样个数，N为采样周期数；

步骤S200：根据采样数据对应的时间构造测量矩阵Φ_p×q其具体包括以下步骤：

步骤S201：确定测量矩阵的阶数；

测量矩阵Φ_p×q的行、列数选取满足以下公式：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>N</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>N</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中p为测量矩阵的行数，与测量向量维度相同；q为测量矩阵的列数；

步骤S202：测量矩阵按以下原则构造：

测量矩阵Φ_p×q满足以下形式：

其中，矩阵每行均有且只有一个元素为1，即其他元素均为0；该非零元素的坐标可表示为且1元素对应的列坐标k满足其中t_j为步骤S102所提公式的第j,j≤q个采样数据的采样时刻；

步骤S300：构造含测量向量y、测量矩阵Φ、傅里叶基矩阵Ψ_FFT、重构一维稀疏向量θ的稀疏重构方程

其中y∈R^p×1为时间序列y[t_j]的向量形式、Φ∈Z^p×q为测量矩阵、Ψ_FFT∈C^q×q为傅里叶基矩阵、θ(f)∈C^q为重构的一维稀疏向量，该向量等效可等效成真实信号的频谱；

步骤S400：对S300中的稀疏重构方程进行正交化预操作，构造等效表达式z＝Qθ(f)，其中，z∈R^p和Q∈C^p×q分别是y∈R^p和的正交化预变换表示；

步骤S500:计算重构方程的观测矩阵互相关系数μ(Q)，调整采样时间间隔，重新构造等效观测矩阵Q，使观测矩阵Q互相关系数最小；

其中，q_i、q_j是矩阵Q中的列向量；

步骤S600:利用包括凸优化方法、贪婪算法在内的典型重构算法，求解稀疏向量θ，获得谐波组合信号的所有频率成分，实现信号重构。

2.根据权利要求1所述的基于稀疏理论的谐波组合信号非均匀欠采样盲重构方法，其特征在于，对S300中的稀疏重构方程进行正交化预操作的步骤包括：

步骤S401：构造测量向量的正交化预变换矩阵其中，为R的伪逆矩阵，Q＝orth(R^T)^T

步骤S402：构造正交化预处理后的重构方程z＝Qθ(f)，其中，z＝Ty。