CN107133400A - 一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法 - Google Patents

一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法 Download PDF

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Abstract

一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，涉及组合预测。数据获取；模型建立；模型合并；可靠度预测。充分利用贝叶斯组合预测的优势，使所提方法获得的飞机结构疲劳可靠度信息更准确且精度更高。在贝叶斯组合预测基础上，充分考虑了飞机在服役阶段结构疲劳裂纹扩展是不断发生的这一因素，利用获得的飞机结构疲劳裂纹扩展数据，贝叶斯组合预测的结果具有高准确度和精度的特点。

Description

一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法
技术领域
本发明涉及组合预测，尤其是涉及一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法。
背景技术
组合预测(The Combination of Forecasts,CF)(J.M.Bates,C.W.J.Granger.TheCombination of Forecasts.Journal of the Operational Research Society.December1969,Volume20,Issue 4,pp 451–468)是在1969年由J.M.BatesC.和W.J.Granger两人在Journal of the Operational Research Society期刊上首次提出的，该方法在提高预测精度的同时也充分考虑了预测样本所表达的信息。而贝叶斯组合预测(Bayesian CombinedForecasts,BCF)(In-Seok Park.Quantification of Multiple Types of Uncertaintyin Physics-Based Simulation.School of Graduate Studies,Wright StateUniversity,2012)是一种考虑先验信息的组合预测方法，在充分利用专家经验和实验数据等先验信息的基础上，预测的结果更加合理。但是，贝叶斯组合预测方法在工程中很少得到应用。
在飞机结构疲劳可靠性分析(Fatigue Reliability Analysis of AircraftStructure,FRAAS)(Yang J N,Trapp W J.Reliability analysis of aircraftstructures under random loading and periodic inspection.AIAAjournal,1974,12(12):1623-1630.)研究领域，由于多种不确定性因素存在，飞机结构的疲劳可靠度预测存在极大的困难。飞机结构的疲劳可靠度能够反映在服役期间结构的安全状态，如果能更加准确地获得其可靠度信息，飞行员就能够对飞机所处的状态作出继续飞行或者停止飞行判断，维修人员也可以根据飞机结构疲劳可靠度信息作出更换、维修或者继续使用的判断，从而可以避免空难的发生。而且，基于失效模式，通过分析飞机结构的裂纹损伤即可得到其疲劳可靠度(Fatigue Reliability,FR)(Zárate B A,Caicedo J M,Yu J,et al.Bayesianmodel updating and prognosis of fatigue crack growth.Engineering Structures,2012,45:53-61.)。因此，根据飞机结构的疲劳裂纹损伤去预测其疲劳可靠度就给飞机的维护提供了有价值的数据参考。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法
本发明包括以下步骤：
1)数据获取；
在步骤1)中，所述数据获取的具体方法可为：获取飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据及飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据；所述飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据包括同类结构在服役阶段所测得的或在实验中得到的疲劳裂纹扩展数据；飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据来源于飞机在服役阶段采用技术手段对结构测得的疲劳裂纹扩展数据。
2)模型建立；
在步骤2)中，所述模型建立的具体方法可为：
(1)建立飞机结构疲劳裂纹扩展多模型
飞机结构疲劳裂纹扩展模型为：
式中，Q为疲劳裂纹扩展速率参数，且Q服从对数正态分布，反映了飞机结构所受载荷谱的分散性。b为指数，考虑到现有研究中都只对指数b＝1情况下的单一模型进行了分析，直观上认为该情况下模型和实验数据的拟合效果最好，并没有分析b≠1情况下模型的预测能力。基于这个方面的考虑，贝叶斯组合预测方法可以很好地综合b＝1和b≠1情况下模型的优势。同时，取不同的b值(如：b＝0.9和b＝1.1，b＝0.8和b＝1.2等)来建立疲劳裂纹扩展多模型。
设表示在结构使用时间为t0时的裂纹尺寸，aM(t)为在t时刻结构的裂纹尺寸，则有：
当b＝1时，
当b≠1时，
(2)模型参数估计与量化
基于所建立的多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型采用最小二乘法拟合飞机结构疲劳疲劳裂纹扩展的历史数据，即可得到疲劳裂纹扩展速率参数值，由于疲劳裂纹扩展速率参数服从对数正态分布，再通过拟合则可以得到每个模型中的疲劳裂纹扩展速率参数的具体分布。
3)模型合并；
在步骤3)中，所述模型合并的具体方法可为：基于飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据，利用贝叶斯方法合并多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型；模型合并需要确定模型后验概率，而确定模型后验概率需要计算模型似然概率；计算模型似然概率需要通过获得的飞机结构疲劳裂纹扩展数据进行计算，并且模型后验概率可以通过获得的数据进行更新。
由于本发明是基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据利用贝叶斯组合预测方法预测飞机结构疲劳可靠度的一种方法，因此，实验数据D＝{d1,d2,…,dN}表示疲劳裂纹扩展数据，确定性输入参数表示时间序列，即Xi＝{ti}，不确定性输入参数表示疲劳裂纹扩展速率参数Q，即θi＝{Qi}。
(1)获取当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据
设经过m次观测得到的疲劳裂纹扩展数据Dm(m≥1)为：
(2)计算模型后验概率
2.1)模型后验概率计算方法
①获得模型先验概率信息
模型先验概率是根据已有的专家经验、工程知识等信息得到的模型概率，在缺乏这些信息的时候，一般假设模型先验概率都相等，即假设建立了K个模型，可以得到第i个模型Mi的先验概率：
P(Mi)＝1/K(i＝1,2,…,K)
②模型似然概率的一般计算方法
一般地，第i个模型Mi(i＝1,2,…,K)的似然概率表达形式为：
式中，D＝{d1,d2,…,dN}表示实验数据，N个实验数据需要N个输入参数进行预测，确定性输入参数表示第i个模型Mi中的确定性输入参数，g(θi|Mi)表示第i个模型中不确定输入参数的联合概率分布，P(D|Mi)表示已知实验数据D时模型Mi的似然概率。
假设实验数据点d1,d2,…,dN相互独立，g(D|Mi,θi,Xi)可以表示为:
当不确定性输入参数θi取固定值时，模型Mi的预测误差εi一般作为服从均值为0方差为某个参数的正太分布，即则g(D|Mi,θi,Xi)可以表示为：
式中，表示模型Mi对实验数据dj(j＝1,2,…,N)的预测分布的均值，表示模型Mi对所有实验数据dj(j＝1,2,…,N)预测的方差，表示模型Mi中的确定性输入参数取时，将实验数据dj代入模型预测分布函数中的值。
利用蒙特卡洛抽样法对模型Mi的不确定参数在其所服从的分布内抽取的L组样本给出一组样本则可以表示为：
则g(D|Mi,θi，Xi)可以表达为：
即模型Mi的似然函数为：
两边取对数，再同时对求导使左右两边等于0可以得到：
从而得到的极大似然估计
则将代入下式
可以得到：
从而得出模型似然概率的表达式为：
③求模型后验概率
基于贝叶斯公式，模型后验概率的表达式为：
式中，P(Mi)为模型先验概率，P(D|Mi)为模型似然概率，P(Mi|D)为模型后验概率。
2.2)模型后验概率更新过程
当m＝1时，获得飞机结构的第一个疲劳裂纹扩展数据点所建立的每个飞机结构疲劳裂纹扩展模型的初始点此时疲劳裂纹扩展模型从获得的第一个数据点处开始预测，且模型的后验概率取值都相等，即：
P(Mi|D1)＝1/K(i＝1,2,…,K)
式中，K为模型的个数。
当m≥2时，飞机结构疲劳裂纹扩展模型的后验概率可以通过添加数据点到Dm中进行计算而得到更新，即：
式中：P(Mi)表示模型先验概率，P(Dm|Mi)表示模型似然概率，计算公式为：
(3)模型合并
将模型后验概率作为飞机结构疲劳裂纹扩展多模型的权重，然后加权求和即可建立贝叶斯组合模型。
飞机结构疲劳裂纹扩展贝叶斯组合模型为：
4)可靠度预测。
在步骤4)中，所述可靠度预测的具体方法可为：
(1)依据失效模式，将结构某一时刻的疲劳可靠度定义为该时刻下结构的疲劳裂纹尺寸小于疲劳裂纹极限尺寸alim的概率，具体分析时推荐该疲劳裂纹极限尺寸alim取10mm，相应疲劳可靠度表达式为：
R(t)＝Pr{a(t)＜alim}
式中：R(t)为在结构使用时间为t时的结构的疲劳可靠度模型，a(t)为在结构使用时间为t时的结构疲劳裂纹尺寸。
(2)求解裂纹扩展置信带，并进行可靠度分析与预测。
本发明基于以上两个方面的考虑，提供了一种基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据的能够获得其疲劳可靠度信息的方法，该方法充分利用贝叶斯组合预测的优势，使所提方法获得的飞机结构疲劳可靠度信息更准确且精度更高。
本发明在贝叶斯组合预测基础上，充分考虑了飞机在服役阶段结构疲劳裂纹扩展是不断发生的这一因素，利用获得的飞机结构疲劳裂纹扩展数据，贝叶斯组合预测的结果具有高准确度和精度的特点。
附图说明
图1为本发明的方法流程图。
图2为本发明在130Mpa应力水平下测得的飞机结构试件的疲劳裂纹扩展数据图。
图3为本发明在150Mpa应力水平下测得的飞机结构试件的疲劳裂纹扩展数据图。
图4为本发明在170Mpa应力水平下测得的飞机结构试件的疲劳裂纹扩展数据图。
图5为本发明在130Mpa应力水平下模型1、模型2和模型3中参数Q的概率分布图。
图6为本发明在150Mpa应力水平下模型1、模型2和模型3中参数Q的概率分布图。
图7为本发明在170Mpa应力水平下模型1、模型2和模型3中参数Q的概率分布图。
图8为本发明在130Mpa应力水平下模型1、模型2、模型3和贝叶斯组合模型对样本2在t＝57297时刻的裂纹扩展预测分布图。
图9为本发明在150Mpa应力水平下模型1、模型2、模型3和贝叶斯组合模型对样本7在t＝73525时刻的裂纹扩展预测分布图。
图10为本发明在170Mpa应力水平下模型1、模型2、模型3和贝叶斯组合模型对样本6在t＝39814时刻的裂纹扩展预测分布图。
具体实施方式
为了更加清楚地说明本发明的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合附图来对本发明进行详细阐述。
本发明提供了一种基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据的能够获得飞机结构疲劳可靠度信息的方法，该方法充分利用贝叶斯组合预测的优势，使所提方法获得的飞机结构疲劳可靠度信息的准确度更高。本发明充分利用了飞机结构疲劳裂纹扩展的动态信息，一方面通过模型可以更准确地预测得到飞机的疲劳可靠度，另一方面考虑了模型不确定性的因素，通过贝叶斯组合预测方法提高了飞机疲劳可靠度预测的准确度。
如图1所示为本发明的一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，它包括以下步骤：
步骤一，数据获取：获取飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据及飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据。
本发明采用7075‐T7351铝合金板件的30个样本件在3种应力水平下测得的疲劳裂纹扩展数据作为飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据，如图2～4所示；每种应力水平下分别随机取3组实验数据作为在3种应力水平下分别对应获得的飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据，第1种应力水平：σmax＝130Mpa应力水平下，取样本2得到的疲劳裂纹扩展数据。第2种应力水平：σmax＝150Mpa应力水平下，取样本7得到的疲劳裂纹扩展数据。第3种应力水平：σmax＝170Mpa应力水平下，取样本6得到的疲劳裂纹扩展数据。
步骤二，模型建立：建立多个能预测飞机结构疲劳裂纹扩展规律的模型，并基于疲劳裂纹扩展的历史数据拟合模型参数。
所述步骤二的具体过程为：
1)建立飞机结构疲劳裂纹扩展多模型
飞机结构疲劳裂纹扩展模型为：
式中，Q为疲劳裂纹扩展速率参数，服从对数正态分布，反映了飞机结构所受载荷谱的分散性。b为指数，考虑到现有研究中都只对指数b＝1情况下的单一模型进行了分析，直观上认为该情况下模型和实验数据的拟合效果最好，并没有分析b≠1情况下模型的预测能力。基于这个方面的考虑，贝叶斯组合预测方法可以很好地综合b＝1和b≠1情况下模型的优势。同时，取不同的b值(如：b＝0.9和b＝1.1，b＝0.8和b＝1.2等)来建立裂纹扩展多模型。
设表示在结构使用时间为t0时的裂纹尺寸，aM(t)为在t时刻结构的裂纹尺寸，有：
本发明取b1＝0.9、b2＝1和b3＝1.1建立3个飞机结构裂纹扩展模型：
式中，t＞t0，Q1、Q2和Q3都是对数正态变量，即 表示在结构使用时间为t0时的裂纹尺寸。
2)模型参数估计与量化
基于所建立的多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型采用最小二乘法拟合飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据，即可得到疲劳裂纹扩展速率参数值，由于疲劳裂纹扩展速率参数服从对数正态分布，再通过拟合则可以得到每个模型中的疲劳裂纹扩展速率参数的具体分布，如图5～7所示为基于b＝0.9、b＝1和b＝1.1的3个飞机结构裂纹扩展模型拟合3种应力水平下的得到的疲劳裂纹扩展速率参数的概率分布。
由于飞机结构承受的载荷具有分散性，因此，在实际分析中每种应力水平下模型中疲劳裂纹扩展速率参数的分布性需要综合考虑。这里只是为了说明本发明的具体实施方式，本发明将3中应力水平下模型的疲劳裂纹扩展速率参数分开进行分析。
步骤三，模型合并：基于飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据，采用贝叶斯方法合并多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型；
1)获取当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据
设经过m次观测得到的疲劳裂纹扩展数据Dm(m≥1)为：
2)计算模型后验概率
1)确定模型先验概率
由于缺少模型的相关先验信息，设裂纹扩展模型先验概率都相等：
P(Mi)＝1/3(i＝1,2,3)
2)求模型似然概率概率
在所取得的对应每种应力水平下每组裂纹扩展数据的第1个数据点作为所建立的3个飞机结构裂纹扩展模型的初始点，即：t0＝t1，
则3个模型转化为：
式中，t＞t1，Q1、Q2和Q3都是对数正态变量，即a1表示在结构使用时间为t1时的裂纹尺寸，即将获得的第一个飞机结构疲劳裂纹扩展数据作为模型的初始点。
对模型1、模型2和模型3中的疲劳裂纹扩展速率参数采用蒙特卡洛抽样法分别抽取N＝10000个样本点Q1、Q2和Q3，然后代入模型中可以得到3个疲劳裂纹扩展模型在第l个断口处的时间tk上的第j个预测裂纹长度样本点：
式中：j＝1,2,…,N；k＝1,2,…,7；l＝1,2,…,m；
将每组样本点分别代入发明内容中步骤四中计算模型似然概率概率的公式中即可得到3个模型的似然概率：
式中：
然后得到模型每组裂纹扩展数据然后将代入根据后验概率公式：
式中，P(Mi)为模型先验概率，P(D|Mi)为模型似然概率，P(Mi|D)为模型后验概率。
模型后验概率更新过程：
当m＝1时，获得飞机结构的第一个疲劳裂纹扩展数据点所建立的每个飞机结构疲劳裂纹扩展模型的初始点此时疲劳裂纹扩展模型从获得的第一个数据点处开始预测，且模型的后验概率取值都相等，即：P(Mi|D1)＝1/K(i＝1,2,…,K)
当m≥2时，飞机结构疲劳裂纹扩展模型的后验概率可以通过添加数据点到Dm中进行计算而得到更新，即：
式中：P(Mi)表示模型先验概率，P(Dm|Mi)表示模型似然概率，计算公式为：
3)模型合并
将模型后验概率作为飞机结构疲劳裂纹扩展多模型的权重，然后加权求和即可建立贝叶斯组合模型。飞机结构疲劳裂纹扩展贝叶斯组合模型为：
这里认为已经获得了对应的6个裂纹扩展数据点因此，模型后验概率已经被更新了5次，根据上述计算模型后验概率的方法取最后一次更新得到的模型后验概率即可。如表1所示。
步骤四，可靠度预测：依据失效模式，采用合并后的模型进行可靠性分析与预测。
1)依据失效模式，将结构某一时刻的疲劳可靠度定义为该时刻下结构的疲劳裂纹尺寸小于疲劳裂纹极限尺寸alim的概率，具体分析时推荐该疲劳裂纹极限尺寸alim取10mm，相应疲劳可靠度表达式为：
表1
式中：t＞t0，Q1、Q2和Q3都是对数正态变量，表示在结构使用时间为t0时的裂纹尺寸，R1(t)、R2(t)和R3(t)分别为在结构使用时间为t时的结构的疲劳可靠度模型。
2)求解裂纹扩展预测分布，并进行可靠度分析与预测。
求解每种应力水平下基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据的疲劳裂纹扩展贝叶斯组合模型的预测分布，如图8～10所示。
基于表1中在3种应力水平下所的前6个数据点(tj,aj)(j＝1,2,…,6)，分别计算得到单模型和贝叶斯组合模型在数据点(tj,aj)(j＝7)对应时间t7处的裂纹扩展预测分布。再依据结构失效模式可以计算得到结构的疲劳可靠度。
表2中列出了在3种应力水平下所取样本分别在时间t7处的裂纹扩展实验数据的信息，单模型和贝叶斯组合模型在该时刻下预测得到的裂纹扩展分布的均值和方差以及疲劳可靠度信息。
结合表1、表2和图8～10分析，通过对比贝叶斯组合模型和单模型的裂纹扩展预测分布及其均值和方差，可以看出模型后验概率的大小反映了模型裂纹扩展预测分布接近实际结构裂纹尺寸的程度。
表2
当3个单模型后验概率的大小差异不大时，贝叶斯组合模型能够更好地综合多模型的信息，其预测分布更加接近实际结构裂纹尺寸。当3个单模型后验概率的大小存在较大差异时，贝叶斯组合模型与后验概率较大模型的预测分布接近程度较大。这说明贝叶斯组合模型能够综合多模型的优势信息，让预测结果最大程度地降低人为因素，也就是减小由于选择模型时可能带来的预测误差，即考虑模型的不确定性。因此，贝叶斯组合模型对裂纹扩展的预测效果较好。同时，疲劳可靠度贝叶斯组合模型预测得到的可靠度数值大小也综合了3个模型的信息，其预测的结果较为稳健和可靠。
通过以上分析可以发现，本发明提供了一种基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据的能够获得飞机结构疲劳可靠度信息的方法，将贝叶斯组合预测方法应用到飞机结构的疲劳可靠度预测上可以提高模型的预测准确度。

Claims (5)

1.一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，其特征在于包括以下步骤：
1)数据获取；
2)模型建立；
3)模型合并；
4)可靠度预测。
2.如权利要求1所述一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，其特征在于在步骤1)中，所述数据获取的具体方法为：获取飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据及飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据；所述飞机结构疲劳裂纹扩展的历史数据包括同类结构在服役阶段所测得的或在实验中得到的疲劳裂纹扩展数据；飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据来源于飞机在服役阶段采用技术手段对结构测得的疲劳裂纹扩展数据。
3.如权利要求1所述一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，其特征在于在步骤2)中，所述模型建立的具体方法为：
(1)建立飞机结构疲劳裂纹扩展多模型
飞机结构疲劳裂纹扩展模型为：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <mi>Qa</mi> <mi>b</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，Q为疲劳裂纹扩展速率参数，且Q服从对数正态分布，反映了飞机结构所受载荷谱的分散性；b为指数，考虑到现有研究中都只对指数b＝1情况下的单一模型进行了分析，直观上认为该情况下模型和实验数据的拟合效果最好，并没有分析b≠1情况下模型的预测能力；基于这个方面的考虑，贝叶斯组合预测方法很好地综合b＝1和b≠1情况下模型的优势；同时，取不同的b值，b＝0.9和b＝1.1，b＝0.8和b＝1.2，建立疲劳裂纹扩展多模型；
设表示在结构使用时间为t0时的裂纹尺寸，aM(t)为在t时刻结构的裂纹尺寸，则有：
当b＝1时，
当b≠1时，
(2)模型参数估计与量化
基于所建立的多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型采用最小二乘法拟合飞机结构疲劳疲劳裂纹扩展的历史数据，即可得到疲劳裂纹扩展速率参数值，由于疲劳裂纹扩展速率参数服从对数正态分布，再通过拟合则可以得到每个模型中的疲劳裂纹扩展速率参数的具体分布。
4.如权利要求1所述一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，其特征在于在步骤3)中，所述模型合并的具体方法为：基于飞机当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据，利用贝叶斯方法合并多个飞机结构疲劳裂纹扩展模型；模型合并需要确定模型后验概率，而确定模型后验概率需要计算模型似然概率；计算模型似然概率需要通过获得的飞机结构疲劳裂纹扩展数据进行计算，并且模型后验概率可以通过获得的数据进行更新；
基于飞机结构疲劳裂纹扩展数据利用贝叶斯组合预测方法预测飞机结构疲劳可靠度的一种方法，实验数据D＝{d1,d2,…,dN}表示疲劳裂纹扩展数据，确定性输入参数表示时间序列，即Xi＝{ti}，不确定性输入参数表示疲劳裂纹扩展速率参数Q，即θi＝{Qi}；
(1)获取当前服役结构的疲劳裂纹扩展数据
设经过m次观测得到的疲劳裂纹扩展数据Dm(m≥1)为：
<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>t</mi> <mi>m</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow>
(2)计算模型后验概率
2.1)模型后验概率计算方法
①获得模型先验概率信息
模型先验概率是根据已有的专家经验、工程知识信息得到的模型概率，在缺乏这些信息的时候，一般假设模型先验概率都相等，即假设建立了K个模型，得到第i个模型Mi的先验概率：
P(Mi)＝1/K(i＝1,2,…,K)
②模型似然概率的一般计算方法
一般地，第i个模型Mi(i＝1,2,…,K)的似然概率表达形式为：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow>
式中，D＝{d1,d2,…,dN}表示实验数据，N个实验数据需要N个输入参数进行预测，确定性输入参数表示第i个模型Mi中的确定性输入参数，g(θi|Mi)表示第i个模型中不确定输入参数的联合概率分布，P(D|Mi)表示已知实验数据D时模型Mi的似然概率；
假设实验数据点d1,d2,…,dN相互独立，g(D|Mi,θi,Xi)表示为：
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当不确定性输入参数θi取固定值时，模型Mi的预测误差εi一般作为服从均值为0方差为某个参数的正太分布，即则g(D|Mi,θi,Xi)可以表示为：
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，表示模型Mi对实验数据dj(j＝1,2,…,N)的预测分布的均值，表示模型Mi对所有实验数据dj(j＝1,2,…,N)预测的方差，表示模型Mi中的确定性输入参数取时，将实验数据dj代入模型预测分布函数中的值；
利用蒙特卡洛抽样法对模型Mi的不确定参数在其所服从的分布内抽取的L组样本给出一组样本则表示为：
<mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则g(D|Mi,θi,Xi)可以表达为：
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
即模型Mi的似然函数为：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Pi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
两边取对数，再同时对求导使左右两边等于0可以得到：
<mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>N</mi> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
从而得到的极大似然估计
<mrow> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow>
则将代入下式
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Pi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
可以得到：
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>l</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
从而得出模型似然概率的表达式为：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>L</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
③求模型后验概率
基于贝叶斯公式，模型后验概率的表达式为：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>
式中，P(Mi)为模型先验概率，P(D|Mi)为模型似然概率，P(Mi|D)为模型后验概率；
2.2)模型后验概率更新过程
当m＝1时，获得飞机结构的第一个疲劳裂纹扩展数据点所建立的每个飞机结构疲劳裂纹扩展模型的初始点此时疲劳裂纹扩展模型从获得的第一个数据点处开始预测，且模型的后验概率取值都相等，即：
P(Mi|D1)＝1/K(i＝1,2,…,K)
式中，K为模型的个数；
当m≥2时，飞机结构疲劳裂纹扩展模型的后验概率通过添加数据点到Dm中进行计算而得到更新，即：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：P(Mi)表示模型先验概率，P(Dm|Mi)表示模型似然概率，计算公式为：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>L</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>Q</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>;</mo> <mi>m</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>Q</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>l</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <msub> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow>
(3)模型合并
将模型后验概率作为飞机结构疲劳裂纹扩展多模型的权重，然后加权求和即建立贝叶斯组合模型；
飞机结构疲劳裂纹扩展贝叶斯组合模型为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>a</mi> <mi>y</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> <mi>D</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow>
5.如权利要求1所述一种飞机结构疲劳可靠度贝叶斯组合预测方法，其特征在于在步骤4)中，所述可靠度预测的具体方法为：
(1)依据失效模式，将结构某一时刻的疲劳可靠度定义为该时刻下结构的疲劳裂纹尺寸小于疲劳裂纹极限尺寸alim的概率，具体分析时推荐该疲劳裂纹极限尺寸alim取10mm，相应疲劳可靠度表达式为：
R(t)＝Pr{a(t)＜alim}
式中：R(t)为在结构使用时间为t时的结构的疲劳可靠度模型，a(t)为在结构使用时间为t时的结构疲劳裂纹尺寸；
(2)求解裂纹扩展置信带，并进行可靠度分析与预测。
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