CN106934108B - 一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，属于机床技术领域。该方法首先推导并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系；进一步基于并联构型主轴头刀尖点位置偏差，建立各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系，得到表征并联构型主轴头动态误差传递特性的无量纲方阵；基于该无量纲方阵，提出无量纲误差传递指标，该误差传递指标的大小表征各驱动轴跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱。本发明克服了传统动态误差传递特性评价方法物理意义不明确的问题，通过提出无量纲误差传递指标，能够对并联构型主轴头的动态误差传递特性进行更为有效的评价。

Description

一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法

技术领域

本发明属于机床技术领域，特别涉及并联构型主轴头的动态误差传递特性评价问题。

背景技术

运动精度是面向工业加工的并联构型主轴头最重要的指标。相对于传统串联构型主轴头，并联构型主轴头因没有误差累积，在理论上具有更高的运动精度，因此有很多并联构型主轴头方案被相继提出，但大多数并联构型主轴头在实际中动态精度过低，不能满足加工需求。因此需要对并联构型主轴头的精度问题开展更深入的研究，这其中，并联构型主轴头的动态误差传递特性评价是一项核心内容。

在并联构型主轴头的运动过程中，各驱动轴的跟随误差是造成刀尖点位置偏差的主要因素，刀尖点位置偏差进而会对加工精度造成影响，因此需要对并联构型主轴头的动态误差传递特性进行有效评价。传统雅克比矩阵代表了并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差之间的映射关系，通常使用雅克比矩阵对并联构型主轴头的动态误差传递特性进行描述和评价，但是对于面向工业加工的并联构型主轴头，由于其终端动平台同时耦合了转动及平动自由度并存在伴生运动，导致雅克比矩阵存在以下两个显著问题：1)量纲问题，雅克比矩阵中元素的物理单位不一致；2)维数问题，雅克比矩阵不是一个方阵。由于量纲及维数问题，传统雅克比矩阵不再具有明确的物理意义，同时基于雅克比矩阵提出的评价指标不能够很好的评价并联构型主轴头的动态误差传递特性，如雅克比矩阵的最大奇异值、最小奇异值和条件数。

目前针对并联构型主轴头动态误差传递特性的评价方法较少，已有的评价方法及指标不能精确评价并联构型主轴头各驱动轴跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱。因此为更好地分析、评价并联构型主轴头的动态误差传递特性，需要基于刀尖点位置偏差，建立新的误差传递矩阵，并进一步提出新的评价指标。

目前还没有普遍适用于并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，针对并联构型主轴头的特点，提出一种广泛有效的动态误差传递特性评价方法对改善并联构型主轴头的动态精度具有重要意义。

发明内容

本发明的目的是为克服已有评价方法的不足之处，提出了一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，用来解决并联构型主轴头的动态误差传递特性评价问题，从而更精确地评价并联构型主轴头各驱动轴跟随误差对刀尖点位置偏差的影响。

本发明的技术方案如下：

一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，包括如下步骤：

1)建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系：

dX＝G_adq

式中，dX＝[dx dy dz dθ_x dθ_y dθ_z]^T，dx、dy、dz分别为并联构型主轴头终端动平台沿X方向、Y方向和Z方向的平动误差，这里X、Y、Z为传统笛卡尔坐标系的三个方向；dθ_x、dθ_y、dθ_z分别为并联构型主轴头终端动平台绕X方向、Y方向和Z方向的转动误差；dq＝[dq₁dq₂ dq₃]^T，dq₁、dq₂、dq₃分别为并联构型主轴头第1驱动轴、第2驱动轴和第3驱动轴的跟随误差；矩阵G_a具有6行3列元素，表征并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系；

2)基于并联构型主轴头刀尖点位置偏差，建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系：

dP＝Tdq

式中，dP＝[dP_x dP_y dP_z]^T，dP_x、dP_y、dP_z分别为刀尖点沿X方向、Y方向和Z方向的平动误差；T是一个无量纲方阵，具体表示为：

该无量纲方阵用于表征并联构型主轴头的动态误差传递特性；

3)基于步骤2)中的无量纲方阵T，提出无量纲误差传递指标ETI_j：

式中，ETI_j为并联构型主轴头第j驱动轴的误差传递指标，j＝1,2,3；t_ij为无量纲方阵T相应位置上的元素，i＝1,2,3，j＝1,2,3；S为无量纲方阵T的最大奇异值；∑||代表对元素取绝对值后进行求和；

4)利用3)中提出的无量纲误差传递指标ETI_j对并联构型主轴头动态误差传递特性进行评价，ETI_j的大小表征并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱，ETI_j的值越大，代表并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差的影响越大。

本发明的上述方法中，建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系的方法包括如下步骤：

(1)建立并联构型主轴头刀尖点位置方程：

式中，P_x、P_y、P_z分别为刀尖点沿X方向、Y方向和Z方向的位置；x、y、z分别为并联构型主轴头动平台沿X方向、Y方向和Z方向的位置；L为刀具长度；欧拉角α与β用于表示并联构型主轴头刀尖点的位姿；sα＝sin(α)，sβ＝sin(β)，cα＝cos(α)，cβ＝cos(β)；

(2)对步骤(1)中所建立的并联构型主轴头刀尖点位置方程进行一阶摄动，建立刀尖点位置偏差方程：

式中，

dα与dβ分别为并联构型主轴头动平台沿欧拉角α与β方向的转动偏差；

(3)建立转角偏差映射关系：

式中，

dγ为并联构型主轴头动平台沿欧拉角γ方向的转动偏差；进一步有：

式中，

(4)联立以下三个方程：

dX＝G_adq

最终建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系：

本发明具有以下优点及突出性的技术效果：本发明通过建立各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系，得到表征并联构型主轴头动态误差传递特性的无量纲方阵；基于该无量纲方阵，提出无量纲误差传递指标，该误差传递指标的大小表征各驱动轴跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱；该方法克服了传统动态误差传递特性评价方法物理意义不明确的问题，通过提出无量纲误差传递指标，能够对并联构型主轴头的动态误差传递特性进行更为有效的评价；从数值上有效评价并联构型主头各驱动轴跟随误差对刀尖点偏差造成的影响，进而达到动态误差传递特性评价的目的。

附图说明

图1为本发明一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法的流程图。

图2为一种典型的并联构型主轴头。

图3为使用本发明得到的并联构型主轴头动态误差传递特性评价结果。

图2中：1-第一滑块；2-第二滑块；3-第三滑块；4-动平台；5-第一杆件；6-第二杆件；7-第三杆件。

具体实施方式

以下结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

图1所示为本发明一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法的流程图。图2所示为一钟典型三自由度并联构型主轴头，该主轴头通过第一滑块1、第二滑块2与第三滑块3的运动带动终端动平台4的运动，第一滑块1、第二滑块2与第三滑块3由相应电机驱动，动平台4与第一滑块1间通过第一杆件5进行连接，动平台4与第二滑块2间通过第二杆件6进行连接，动平台4与第三滑块3间通过第三杆件7进行连接；滑块1所在轴为第1驱动轴，滑块2所在轴为第2驱动轴，滑块3所在轴为第3驱动轴。将所提出的一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法应用于该并联构型主轴头，具体方法步骤如下：

1)建立并联构型主轴头的误差传递方程：

dt+dθ×a_i＝dq_ie₃+dθ_i×l_i (1)

式中，dt＝[dx dy dz]^T，dx、dy、dz分别为并联构型主轴头终端动平台沿X方向、Y方向和Z方向的平动误差，这里X、Y、Z为传统笛卡尔坐标系的三个方向；dθ＝[dθ_x dθ_y dθ_z]^T，dθ_x、dθ_y、dθ_z分别为并联构型主轴头终端动平台绕X方向、Y方向和Z方向的转动误差；dq_i为并联构型主轴头第i驱动轴的跟随误差，i＝1,2,3；e₃＝[0 0 1]^T；a_i为动平台第i端点的位置向量，i＝1,2,3；l_i为第i被动杆件的位置向量，i＝1,2,3；

2)用向量l_i点乘方程(1)的两端，建立并联构型主轴头的驱动方程：

式中，

为驱动雅克比矩阵，

3)用向量u₁、u₂、u₃依次点乘方程(1)的两端，u₁、u₂、u₃分别为第1被动杆件、第2被动杆件和第3被动杆件的转动轴轴向单位方向向量，建立并联构型主轴头的约束方程：

式中，

为约束雅克比矩阵；

4)联立式(2)、(3)得：

式中，

为广义雅克比矩阵；

5)由式(4)进一步得到：

dX＝G_adq (5)

式中，矩阵G_a具有6行3列元素，表征并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系；

6)建立并联构型主轴头刀尖点位置方程：

式中，P_x、P_y、P_z分别为刀尖点沿X方向、Y方向和Z方向的位置；x、y、z分别为并联构型主轴头动平台沿X方向、Y方向和Z方向的位置；L为刀具长度；欧拉角α与β用于表示并联构型主轴头刀尖点的位姿，sα＝sin(α)，sβ＝sin(β)，cα＝cos(α)，cβ＝cos(β)；

7)对式(6)两端进行一阶摄动，建立刀尖点位置偏差方程：

式中，

dα与dβ分别为并联构型主轴头动平台沿欧拉角α与β方向的转动偏差；

8)建立转角偏差映射关系：

式中，

dγ为并联构型主轴头动平台沿欧拉角γ方向的转动偏差；进一步有：

式中，

9)联立式(5)、(7)、(9)，最终建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系：

式中，T是一个无量纲方阵，表征并联构型主轴头的动态误差传递特性，具体表示为：

10)基于式(11)，提出无量纲误差传递指标ETI_j：

式中，ETI_j为并联构型主轴头第j驱动轴的误差传递指标，j＝1,2,3；t_ij为无量纲方阵T相应位置上的元素，i,j＝1,2,3；S为无量纲方阵T的最大奇异值；∑||代表对元素取绝对值后进行求和；

11)利用无量纲误差传递指标ETI_j对并联构型主轴头动态误差传递特性进行评价，ETI_j的大小表征并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱，ETI_j的值越大，代表并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差的影响越大。如果ETI_j的值大于或接近1，说明此时并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差的影响能力与最大奇异值相当。

为进一步说明所提出评价方法，图3所示为该并联构型主轴头沿β方向的ETI_j变化情况，图像的横坐标代表摆角β变化范围，这里摆角β从-π/4变化至π/4，纵坐标为ETI_j的数值。从图3中可以清楚看到，在摆角β从-π/4变化至π/4的过程中，ETI₁与ETI₂的数值始终大于ETI₃的数值，因此，相较于第3驱动轴，第1驱动轴与第2驱动轴的跟随误差会对刀尖点位置偏差造成更大影响。此外，ETI₁与ETI₂的数值在一定范围内均接近或超过1，此时相应驱动轴的跟随误差对终端刀尖点位置偏差的影响能力与最大奇异值相当。从结果中可以看到，采用本发明提出的一种并联构型主轴头的动态误差传递方法能从数值上有效评价并联构型主轴头各驱动轴跟随误差对刀尖点偏差造成的影响，进而达到动态误差传递特性评价的目的。

Claims (2)

1.一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

1)建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系：

dX＝G_adq

式中，dX＝[dx dy dz dθ_x dθ_y dθ_z]^T，dx、dy、dz分别为并联构型主轴头终端动平台沿X方向、Y方向和Z方向的平动误差，这里X、Y、Z为传统笛卡尔坐标系的三个方向；dθ_x、dθ_y、dθ_z分别为并联构型主轴头终端动平台绕X方向、Y方向和Z方向的转动误差；dq＝[dq₁ dq₂ dq₃]^T，dq₁、dq₂、dq₃分别为并联构型主轴头第1驱动轴、第2驱动轴和第3驱动轴的跟随误差；矩阵G_a具有6行3列元素，表征并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与终端动平台运动误差间的传递关系；

2)基于并联构型主轴头刀尖点位置偏差，建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系：

dP＝Tdq

式中，dP＝[dP_x dP_y dP_z]^T，dP_x、dP_y、dP_z分别为刀尖点沿X方向、Y方向和Z方向的平动误差；T是一个无量纲方阵，具体表示为：

该无量纲方阵用于表征并联构型主轴头的动态误差传递特性；

3)基于步骤2)中的无量纲方阵T，提出无量纲误差传递指标ETI_j：

式中，ETI_j为并联构型主轴头第j驱动轴的误差传递指标，j＝1,2,3；t_ij为无量纲方阵T相应位置上的元素，i＝1,2,3，j＝1,2,3；S为无量纲方阵T的最大奇异值；∑||代表对元素取绝对值后进行求和；

4)利用3)中提出的无量纲误差传递指标ETI_j对并联构型主轴头动态误差传递特性进行评价，ETI_j的大小表征并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差影响的强弱，ETI_j的值越大，代表并联构型主轴头第j驱动轴的跟随误差对刀尖点位置偏差的影响越大。

2.根据权利要求1所述的一种并联构型主轴头的动态误差传递特性评价方法，其特征在于，步骤2)中所述的建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系的方法包括如下步骤：

(1)建立并联构型主轴头刀尖点位置方程：

式中，P_x、P_y、P_z分别为刀尖点沿X方向、Y方向和Z方向的位置；x、y、z分别为并联构型主轴头动平台沿X方向、Y方向和Z方向的位置；L为刀具长度；欧拉角α与β用于表示并联构型主轴头刀尖点的位姿；sα＝sin(α)，sβ＝sin(β)，cα＝cos(α)，cβ＝cos(β)；

(2)对步骤(1)中所建立的并联构型主轴头刀尖点位置方程进行一阶摄动，建立刀尖点位置偏差方程：

式中，

dα与dβ分别为并联构型主轴头动平台沿欧拉角α与β方向的转动偏差；

(3)建立转角偏差映射关系：

式中，

dγ为并联构型主轴头动平台沿欧拉角γ方向的转动偏差；进一步有：

式中，

(4)联立以下三个方程：

dX＝G_adq

最终建立并联构型主轴头各驱动轴跟随误差与刀尖点位置偏差间的传递关系：

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