CN106777476A - 一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法，首先要建立有限元模型并设定生长初始点及完成自适应生长的参数初始化，然后拟定冷板液流通道的自适应生长策略，给出确定冷板液流通道生长方向及分叉的方法，最后进行冷板液流通道的逐级、迭代生长；本发明可直接获得优化的冷板液流通道布局，同时摆脱了基结构节点的束缚，所以也更接近于最优结果，既不必苛求设计者具有大量的设计经验，也不再需要重复模拟、改进、再模拟的工作，明显提高了工作效率与设计质量。

Description

一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法

技术领域

本发明属于液流通道布局设计领域，具体涉及一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法。

技术背景

冷板液流通道的布局设计对大功率集成化电力电子设备提高性能有着十分重要的作用；在传统的工业生产中，设计者一般会根据自身经验并结合车间中成熟的生产工艺，设计出冷板液流通道的布局，然后利用分析软件仿真或制作样品测试，找出设计中欠缺的地方，再来更正冷板液流通道的布局。这种过于依赖设计人员经验与直觉的冷板液流通道的布局设计方法非常缺少理论依据，需要经过大量实验及修正，不仅浪费材料、达不到目标，而且设计效率低，增加了企业的成本；并且从采用的冷板液流通道的布局构形看，大多数采用的是平行或蛇形布局，虽然形式简单，易于加工制造，但是与实际的生热情况不一定匹配，难以保证布局设计的合理性。

发明内容

为了克服上述现有设计方式的缺点，本发明提供一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法，提高了设计的效率与质量。

为了达到上述目标，本发明采取的技术方案为：

一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法，包括以下步骤：

1)冷板液流通道自适应生长的初始化：

1.1)生长区域的构建：根据实际待优化的散热问题划定设计域，建立设计域的有限元模型，将该有限元模型称为基结构；根据设计域内热量的产生和传导情况，对基结构施加热载荷边界条件；

1.2)生长参数的初始化：对冷板液流通道自适应生长的相关参数进行初始化，参数包括流体圆管的内外半径r₁与r₂，管内流体的导热系数λ_l，管壁自身的导热系数λ_s，流体散热圆管的用量体积上限V_max，冷板液流通道的生长步长L；

除以上参数外，还需对冷板液流通道的生长点进行初始化；根据给定的热载荷边界条件，设定一个或多个初始生长点；冷板液流通道由初始生长点开始生长，并且随着生长，生长点的位置不断更新；

2)冷板液流通道的自适应生长策略：

2.1)冷板液流通道热刚度矩阵K_e的构造：

冷板液流通道中的流体与通道自身在布局设计时作为整体进行考虑，采用等效法，冷板液流通道的散热效果用固体高导热材料来代替，以此来实现冷板液流通道热刚度矩阵的构造；

冷板液流通道的等效导热系数λ_e：

以高导热材料的导热系数来描述冷板液流通道的导热能力，即高导热材料的导热系数即为冷板液流通道的等效导热系数，表达式为：

其中：r₁是流体圆管内壁半径；r₂是流体圆管外壁半径；λs是固体管壁的导热系数；h是对流换热系数，为表征冷板液流通道流固界面处热量交换强度的参数，h的取值与管内流体的导热系数、流速及流固界面的粗糙度有关，即：

h＝g(λ_l，v_max，R) (2)

其中：λ_l是通道内流体的导热系数；v_max是通道横截面内流体流速的最大值；R是表征冷板液流通道内流固界面处的粗糙度的参数；

假设在圆管内流动的流体遵循泊肃叶定律，则简化了通道内流体流动的控制方程；

其中，Q为流量体积流率，ΔP为圆管两端的压降，η为流体的粘滞系数，L为通道的轴向长度，r为通道的半径；

流场速度在轴线上取得最大值，假设液流通道轴线方向的压力梯度恒定，即为常数，则：

进而冷板液流通道的热刚度矩阵为：

其中，L_e是流体液流通道的轴向长度；

2.2)生长方向的确定：

利用有限单元法计算设计域在热载荷边界条件下的温度场，稳态热传导的有限元方程表达为：

KT_b＝F (6)

冷板液流通道与基结构作为整体进行温度场计算，因此K为包含了基结构及液流通道的整体热刚度矩阵；T_b和F分别是基结构的节点温度向量和节点载荷向量；

应用连续温度场插值的数值处理方法，将液流流体通道对基结构的影响通过基结构的节点温度插值表达，突破了基结构对冷板液流通道布局的束缚,具体描述如下：

设计域内任意一点的温度由基结构的节点温度插值得到，如下式所示：

其中，s是设计域内任意一点的位置坐标，w_i是第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)插值得到的基结构节点的温度值应等于其真实值，即：

其中，是基结构上第k个节点的位置坐标，wi是该节点的第i个插值函数，αi是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)计算某一冷板液流通道单元的节点温度向量为：

T_c＝[α_iw_i(s_j)]_2X1(i＝1,2…N；j＝1,2) (9)

其中，s_j是液流通道单元上第j个节点的位置坐标，w_i是该节点的第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

由式(8)、(9)得：

T_c＝CT_b (10)

其中，矩阵C为：

考虑仅有冷板液流通道的热传导控制方程的有限元形式：

K_eT_c＝F_c (12)

其中，K_e由步骤2.1)中计算得到；

将式(10)代入式(12)，并在等式两边左乘矩阵C^T得：

C^TK_eCT_b＝C^TF_c (13)

由式(13)得冷板液流通道在全局坐标系下的等效热传导矩阵：

K_ceq＝C^TK_eC (14)

那么，包含冷板液流通道和基结构的整体热刚度矩阵K为：

K＝C^TK_eC+K_b (15)

其中，K_b是基结构的刚度矩阵；

通过连续温度场插值的数值处理方法，将冷板液流通道的节点温度表示了为基结构节点温度的加权；每个基结构节点的温度所占的权重与基结构节点和冷板液流通道节点的相对位置及所选的插值函数有关；将冷板液流通道的等效热刚度矩阵转换为全局坐标下的等效热刚度矩阵，从而实现了结构整体热刚度矩阵的组装；

以结构整体的散热弱度作为确定冷板液流通道生长方向的目标函数，结构整体最小的散热弱度表明结构具有最大的散热强度与可散热性，结构整体的散热弱度表达式为：

D＝T_b ^TKT_b (16)

冷板液流通道的生长方向的确定方法为：以生长点为起始点分别向周围各个方向生长出固定长度L的冷板液流通道，然后计算冷板液流通道在不同方向时结构整体的散热弱度，并将散热弱度取得最小值时的生长方向确定为冷板液流通道的最终生长方向，并将确定的生长方向以变量θ标识；同时更新基结构的热刚度矩阵K_b；

新生长出的冷板液流通道的均按照步骤2.3)判断其是否具有分叉能力；如果该新生长的通道具有分叉能力，则将按照步骤2.3)更新下一步生长的相关参数；否则将直接以该新生长的通道的终止点作为下一步生长的起始点；

2.3)分叉参数的确定：当步生长迭代中计算每段冷板液流通道生长前后结构整体的散热弱度的减少量ΔD；如果某一生长点生长出冷板液流通道前后的散热弱度减小量大于某一阀值D_v，则这一生长点被认为具有分叉能力；否则，这一生长点被认为不具有分叉能力；

具有分叉能力的生长点按照植物叶脉分主、次脉的形式分级生长，主脉在分叉点分为主脉与次脉；

2.3.1)分叉中主次脉半径的确定方式：

为了保证通道内的流体在分叉处的流阻最小，分叉前母支与分叉后两个子支的内径满足Murray’s法则，即r³ ₀＝r³ ₁+r³ ₂，其中r₀表示分叉前母支内半径，r₁表示分叉后主脉内半径；r₂表示分叉后次脉内半径；

设定r₁与r₂的比值为定值，不小于1；

2.3.2)分叉中主次脉生长角度的确定：

当步生长迭代中生长出的冷板液流通道生长如果其生长点被认为具有分叉能力，称为分叉点；主脉在分叉点分为主脉与次脉，已经长出的液流通道作为主脉，其通道布置方向不作调整，仍记为θ，只对其半径进行调整；

以分叉点为起始点预置次脉，预置的次脉轴向长记为L’；为使得分叉处流体液流通道的流动阻力最小化，预置的次脉和主脉之间的夹角需要满足一定条件，且该夹角以ε标识：

根据确定的主脉生长方向θ、预置的次脉布置方向与主脉的夹角ε、分叉后子支内径r1与r2参数，对冷板液流通道进行分叉布置；分叉完成后的主脉终止点将作为主脉下一步生长的生长点，预置的次脉的终止点将作为次脉生长的初始生长点；次脉在主脉生长完成后才开始生长；

将分叉后的冷板液流通道依据给定参数布置，并应用连续温度场插值的方法计算整体结构的总热刚度矩阵K，随后更新基结构的热刚度矩阵K_b；

3)冷板液流通道的生长：冷板液流通道的生长过程分为主脉的生长与次脉的生长两个子过程，且在主脉生长完毕后次脉才开始生长；

3.1)主脉的生长：主脉由初始化设定的生长点开始逐步迭代生长，按照步骤2.1)、2.2)确定冷板液流通道的生长方向及更新下一步生长的生长点；如果主脉在一步生长中的生长点满足分叉条件，则按照2.3)分叉策略完成分叉及更新主脉下一步生长的生长点；分叉中形成的次脉初始生长点则作为次脉第一步生长的起始点；

当主脉生长到达设计域边界或者材料用量超过体积上限V_max，那么主脉生长停止；如果主脉生长完成后依旧没有达到材料体积上限V_max，则接下来进行次脉的生长；

3.2)次脉的生长：次脉由主脉生长中确定的次脉初始生长点开始逐步迭代生长；生长策略与主脉生长相似；不过与主脉生长相区别的是，如果次脉在生长中满足分叉条件，则次脉分叉将形成次脉与细脉；

当次脉生长到达设计域边界或者材料用量体积，则次脉生长完毕。

本发明的有益效果为：

由于本方法不依赖设计人员的长期设计经验，所以能够减少企业的设计成本；由于本方法在生长方向的计算中以结构散热弱度最小化为目标，及在分叉计算中引入了Murray’s法则以保证流阻最小化，所以能够生成散热性能明显优于经验设计且有理论依据的结果；由于本方法依照植物叶脉的生长原理逐级、逐步生长获得冷板液流通道，所以可以直接得到明确的冷板液流通道布局；由于本方法采用了连续温度场插值的数值处理方法确定生长方向，所以生成的冷板液流通道不必受到基结构节点的束缚，可以自由布置，从而使设计结果全局最优；由于本方法采用等效法构造冷板液流通道的热刚度矩阵，所以大大简化了计算，使得冷板液流通道的设计流程简单易懂；

与传统的冷板液流通道布局设计方法相比，使用本方法进行设计时，既不必苛求设计者具有大量的设计经验，也不再需要重复模拟、改进、再模拟的工作，明显提高了工作效率与设计质量，从而能够帮助企业更好地应对迅速变化得市场，实现更好的生产效益；与其他散热通道布局设计方法相比，本方法的结果更加明确，可直接获得优化的冷板液流通道布局，同时摆脱了基结构节点的束缚，所以也更接近于最优结果。

附图说明

图1为本发明的程序图。

图2为实施例设计域及热载荷边界条件示意图。

图3为实施例构造液流通道热刚度矩阵的等效示意图。

图4为实施例液流通道分叉示意图。

图5为实施例主脉生长完成的液流通道布局。

图6为实施例主次脉生长完成的液流通道布局。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作详细描述，本发明提出的设计方法可对各类散热结构进行液流通道布局的优化设计，下面以散热区域内部均匀生热，区域边界一点为热沉的问题为例，对本发明进行说明。

参照图1，一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法，包括以下步骤：

1)冷板液流通道自适应生长的初始化：

1.1)生长区域的构建：基结构(散热区域)及其热载荷边界条件如图2所示；区域尺寸为40mmX40mm；区域内均匀生热，且生热率是1000W/m³；边界一点布置有热沉，热沉温度稳定在0℃，区域内所生的热量由热沉散出，其余边界绝热；散热区域材料的导热系数为1W/m·K；将基结构离散为40X40个的矩形单元，并设置实常数为2mm；

1.2)生长参数的初始化：对冷板液流通道自适应生长的相关参数进行初始化，液流通道的内半径r₁＝1mm、外半径r₂＝1.2mm，管内流体的导热系数λ_l＝0.6W/m·K，管壁自身的导热系数λ_s＝400W/m·K；冷板液流通道的生长步长L为6倍的基结构网格边长，即L＝6mm；控制分叉的阀值取为7％的初始结构散热弱度，即Dv＝7％D₀；液流通道材料的用量上限V_max为0.13倍的基结构体积；

除以上参数外，还需对冷板液流通道的生长点进行初始化，根据给定的热载荷边界条件，设定热沉为初始生长点；冷板液流通道由初始生长点开始生长，并且随着生长迭代，生长点的位置不断更新；

2)冷板液流通道的自适应生长策略：

2.1)冷板液流通道热刚度矩阵K_e的构造：

冷板液流通道中的流体与通道自身在布局设计时作为整体进行考虑，大大简化计算；采用等效法，冷板液流通道的散热效果用固体高导热材料来代替，以此来实现冷板液流通道热刚度矩阵的构造，如图3所示；

冷板液流通道的等效导热系数λ_e：

以冷板液流通道与有相同几何外形的高导热材料的导热能力相同为契合点，引入经典传热学当中的热阻概念，当二者具有相同的热阻时，以高导热材料的导热系数来描述冷板液流通道的导热能力，即高导热材料的导热系数即为冷板液流通道的等效导热系数，表达式为：

h是对流换热系数，为表征冷板液流通道流固界面处热量交换强度的参数，h的取值与管内流体的导热系数、流速及流固界面的粗糙度有关，即：

h＝g(λ_l，v_max，R) (2)

在本实施例中的给定的特定条件下，h的取值是流场速度v_max的单值函数；在本实施例中，取h＝3.345ln(v_max)+143.61；

假设在圆管内流动的流体遵循泊肃叶定律，可以大大简化了液流通道内流体流动的控制方程；

其中，Q为流量体积流率，ΔP为圆管两端的压降，η为流体的粘滞系数，L为通道的轴向长度，r为通道的半径；

流场速度在轴线上取得最大值，假设液流通道轴线方向的压力梯度恒定，即为常数，则：

本实施例中，取流场沿轴线方向的压力梯度G＝200Pa/m；

进而冷板液流通道的热刚度矩阵为：

其中，L_e是流体液流通道的轴向长度；

2.2)生长方向的确定：

利用有限单元法计算基结构在热载荷边界条件下的温度场，稳态热传导的有限元方程表达为：

KT_b＝F (6)

冷板液流通道与基结构作为整体进行温度场计算，因此K为包含了基结构及液流通道的整体热刚度矩阵；T_b和F分别是基结构的节点温度向量和节点载荷向量；

应用连续温度场插值的数值处理方法，将液流流体通道对基结构的影响通过基结构的节点温度插值表达，突破了基结构对冷板液流通道布局的束缚，具体描述如下：

设计域内任意一点的温度由基结构的节点温度插值得到，如下式所示：

其中，s是设计域内任意一点的位置坐标，w_i是第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)插值得到的基结构节点的温度值应等于其真实值，即：

其中，是基结构上第k个节点的位置坐标，wi是该节点的第i个插值函数，αi是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)计算某一冷板液流通道单元的节点温度向量为：

T_c＝[α_iw_i(s_j)]_2X1(i＝1,2…N；j＝1,2) (9)

其中，s_j是液流通道单元上第j个节点的位置坐标，w_i是该节点的第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

由式(8)、(9)得：

T_c＝CT_b (10)

其中，矩阵C为：

考虑仅有冷板液流通道的热传导控制方程的有限元形式：

K_eT_c＝F_c (12)

其中，K_e由步骤2.1)中计算得到；

将式(10)代入式(12)，并在等式两边左乘矩阵C^T得：

C^TK_eCT_b＝C^TF_c (13)

由式(13)得冷板液流通道在全局坐标系下的等效热传导矩阵：

K_ceq＝C^TK_eC (14)

那么，包含冷板液流通道和基结构的整体热刚度矩的K为：

K＝C^TK_eC+K_b (15)

其中，K_b是基结构的刚度矩阵；

在本实施例当中，用于进行温度场插值的插值函数为：

其中，r_s是插值函数的紧支集半径，其大小设置为3倍的基结构网格边长，即r_s＝3mm；r是基结构上一点的坐标位置至插值中心的距离；

通过连续温度场插值的数值处理方法，将冷板液流通道的节点温度表示了为基结构节点温度的加权；每个基结构节点的温度所占的权重与基结构节点和冷板液流通道节点的相对位置及所选的插值函数有关；将冷板液流通道的等效热刚度矩阵转换为全局坐标下的等效热刚度矩阵，从而实现了结构整体热刚度矩阵的组装；

以结构整体的散热弱度作为确定冷板液流通道生长方向的目标函数，结构整体的散热弱度表达式为：

D＝T_b ^TKT_b (16)

冷板液流通道的生长方向的确定方法为：以生长点为起始点分别向周围各个方向生长出固定长度L的冷板液流通道，然后计算冷板液流通道在不同方向时结构整体的散热弱度，并将散热弱度取得最小值时的生长方向确定为冷板液流通道的最终生长方向，并将确定的生长方向以变量θ标识；同时更新基结构的热刚度矩阵K_b；

新生长出的冷板液流通道的均按照步骤2.3)判断其是否具有分叉能力；如果该新生长的通道具有分叉能力，则将按照步骤2.3)更新下一步生长的相关参数；否则将直接以该新生长的通道的终止点作为下一步生长的起始点；

2.3)分叉参数的确定：当步生长迭代中计算每段冷板液流通道生长前后结构整体的散热弱度的减少量ΔD；如果某一生长点生长出冷板液流通道前后的散热弱度减小量大于分叉阀值D_v，则这一生长点被认为具有分叉能力；否则，这一生长点被认为不具有分叉能力；

具有分叉能力的生长点按照植物叶脉分主、次脉的形式分级生长，主脉在分叉点分为主脉与次脉，如图4所示；

2.3.1)分叉中主次脉半径的确定方式：

为了保证通道内的流体在分叉处的流阻最小，分叉前母支与分叉后两个子支的内径满足Murray’s法则，即r³ ₀＝r³ ₁+r³ ₂，其中r₀表示分叉前母支内半径，r₁表示分叉后主脉内半径；r₂表示分叉后次脉内半径；

在本实施例中，设定r0,r1,r2的比例关系为1:0.86:0.7；

2.3.2)分叉中主次脉生长角度的确定：

当步生长迭代中生长出的冷板液流通道生长如果其生长点被认为具有分叉能力，称为分叉点；主脉在分叉点分为主脉与次脉，已经长出的液流通道作为主脉，其通道布置方向不作调整，仍记为θ，只对其半径进行调整；

以分叉点为起始点预置次脉，预置的次脉轴向长记为L’＝6mm；为使得分叉处流体液流通道的流动阻力最小化，预置的次脉和主脉之间的夹角需要满足一定条件，且该夹角以ε标识：

在本实施例当中，计算得知ε的取值为ε＝75°；

根据确定的主脉生长方向θ、预置的次脉布置方向与主脉的夹角ε、分叉后子支内径r₁与r₂参数，对冷板液流通道进行分叉布置；分叉完成后的主脉终止点将作为主脉下一步生长的生长点，预置的次脉的终止点将作为次脉生长的初始生长点；次脉在主脉生长完成后才开始生长；

将分叉后的冷板液流通道依据给定参数布置，并应用连续温度场插值的方法计算整体结构的总热刚度矩阵K，随后更新基结构的热刚度矩阵K_b；

3)冷板液流通道的生长：冷板液流通道的生长过程分为主脉的生长与次脉的生长两个子过程，且在主脉生长完毕后次脉才开始生长；

3.1)主脉的生长：主脉由初始化设定的生长点开始逐步迭代生长，按照步骤2.1)、2.2)确定冷板液流通道的生长方向及更新下一步生长的生长点；如果主脉在一步生长中的生长点满足分叉条件，则按照步骤2.3)分叉策略完成分叉及更新主脉下一步生长的生长点；分叉中形成的次脉初始生长点则作为次脉第一步生长的起始点；

当主脉生长到达设计域边界或者材料用量超过体积上限V_max，那么主脉生长停止；如果主脉生长完成后依旧没有达到材料体积上限V_max，则接下来进行次脉的生长；

在本实施例当中，主脉在经过8个生长步后到达区域边界，主脉生长停止，此时材料用量未达到材料用量体积上限，生成的主脉的布局如图5所示；生成的主脉布局中，除了包含主脉之外，还生成了5段预置的次脉；

3.2)次脉的生长：次脉由主脉生长中确定的次脉初始生长点开始逐步迭代生长，按照步骤2.1)、2.2)确定冷板液流通道的生长方向及更新次脉下一步生长的生长点；不过与主脉生长相区别的是，如果次脉在生长中满足分叉条件，则次脉分叉将形成次脉与细脉；当次脉生长到达设计域边界或者材料用量体积，则次脉生长完毕。

在本实施例当中，主脉生长过程中生成的5段预置的次脉的终止点分别作为各段次脉生长的起始点；各次脉经过生长，材料体积用量到达上限，次脉停止生长，最终的到区域的液流散热通道的布局如图6所示；

最终得到的冷板液流通道的布局是清晰的布局结构，提供了冷板液流流体通道的尺寸、位置及截面积等信息，可以很方便地进行液流通道的加工制造；并且最终得到的液流通道的布局是与区域的热载荷边界相适应的。

Claims (1)

1.一种电力电子集成模块冷板液流通道的拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)冷板液流通道自适应生长的初始化：

1.1)生长区域的构建：根据实际待优化的散热问题划定设计域，建立设计域的有限元模型，将该有限元模型称为基结构；根据设计域内热量的产生和传导情况，对基结构施加热载荷边界条件；

1.2)生长参数的初始化：对冷板液流通道自适应生长的相关参数进行初始化，参数包括流体圆管的内外半径r₁与r₂，管内流体的导热系数λ_l，管壁自身的导热系数λ_s，流体散热圆管的用量体积上限V_max，冷板液流通道的生长步长L；

除以上参数外，还需对冷板液流通道的生长点进行初始化；根据给定的热载荷边界条件，设定一个或多个初始生长点；冷板液流通道由初始生长点开始生长，并且随着生长，生长点的位置不断更新；

2)冷板液流通道的自适应生长策略：

2.1)冷板液流通道热刚度矩阵K_e的构造：

冷板液流通道中的流体与通道自身在布局设计时作为整体进行考虑，采用等效法，冷板液流通道的散热效果用固体高导热材料来代替，以此来实现冷板液流通道热刚度矩阵的构造；

冷板液流通道的等效导热系数λ_e：

以高导热材料的导热系数来描述冷板液流通道的导热能力，即高导热材料的导热系数即为冷板液流通道的等效导热系数，表达式为：

${\mathrm{\λ}}_e=\frac{2{\mathrm{\λ}}_s{r}_{1}h}{r_2^2\left({\mathrm{hr}}_{1}ln\right(\frac{r_2}{r_1})+{\mathrm{\λ}}_s)}---\left(1\right)$

其中：r₁是流体圆管内壁半径；r₂是流体圆管外壁半径；λs是固体管壁的导热系数；h是对流换热系数，为表征冷板液流通道流固界面处热量交换强度的参数，h的取值与管内流体的导热系数、流速及流固界面的粗糙度有关，即：

h＝g(λ_l，v_max，R) (2)

其中：λ_l是通道内流体的导热系数；v_max是通道横截面内流体流速的最大值；R是表征冷板液流通道内流固界面处的粗糙度的参数；

假设在圆管内流动的流体遵循泊肃叶定律，则简化了通道内流体流动的控制方程；

$Q=\frac{{\mathrm{\πr}}^4\mathrm{\Δ}P}{8\mathrm{\η}L}---\left(3\right)$

其中，Q为流量体积流率，ΔP为圆管两端的压降，η为流体的粘滞系数，L为通道的轴向长度，r为通道的半径；

流场速度在轴线上取得最大值，假设液流通道轴线方向的压力梯度恒定，即为常数，则：

$v_{max}=\frac{r^2\mathrm{\Δ}p}{4\mathrm{\η}L}=\frac{r^2}{4\mathrm{\η}}\·G---\left(4\right)$

进而冷板液流通道的热刚度矩阵为：

$K_e=\frac{{\mathrm{\λ}}_e{\mathrm{\πr}}_2^2}{L_e}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中，L_e是流体液流通道的轴向长度；

2.2)生长方向的确定：

利用有限单元法计算设计域在热载荷边界条件下的温度场，稳态热传导的有限元方程表达为：

KT_b＝F (6)

冷板液流通道与基结构作为整体进行温度场计算，因此K为包含了基结构及液流通道的整体热刚度矩阵；T_b和F分别是基结构的节点温度向量和节点载荷向量；

应用连续温度场插值的数值处理方法，将液流流体通道对基结构的影响通过基结构的节点温度插值表达，突破了基结构对冷板液流通道布局的束缚,具体描述如下：

设计域内任意一点的温度由基结构的节点温度插值得到，如下式所示：

$T\left(s\right)=\underset{i}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{w}_i\left(s\right)---\left(7\right)$

其中，s是设计域内任意一点的位置坐标，w_i是第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)插值得到的基结构节点的温度值应等于其真实值，即：

$\begin{array}{cc}{T}_b={\[{\mathrm{\α}}_i{w}_i\left({\stackrel{\‾}{s}}_k\right)\]}_{NX1}& (i=1,2...N;k=1,2...N)\end{array}---\left(8\right)$

其中，是基结构上第k个节点的位置坐标，wi是该节点的第i个插值函数，αi是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

利用式(7)计算某一冷板液流通道单元的节点温度向量为：

T_c＝[α_iw_i(s_j)]_2X1(i＝1,2…N；j＝1,2) (9)

其中，s_j是液流通道单元上第j个节点的位置坐标，w_i是该节点的第i个插值函数，α_i是相应的权重系数，N是基结构的节点总数；

由式(8)、(9)得：

T_c＝CT_b (10)

其中，矩阵C为：

考虑仅有冷板液流通道的热传导控制方程的有限元形式：

K_eT_c＝F_c (12)

其中，K_e由步骤2.1)中计算得到；

将式(10)代入式(12)，并在等式两边左乘矩阵C^T得：

C^TK_eCT_b＝C^TF_c (13)

由式(13)得冷板液流通道在全局坐标系下的等效热传导矩阵：

K_ceq＝C^TK_eC (14)

那么，包含冷板液流通道和基结构的整体热刚度矩阵K为：

K＝C^TK_eC+K_b (15)

其中，K_b是基结构的刚度矩阵；

通过连续温度场插值的数值处理方法，将冷板液流通道的节点温度表示了为基结构节点温度的加权；每个基结构节点的温度所占的权重与基结构节点和冷板液流通道节点的相对位置及所选的插值函数有关；将冷板液流通道的等效热刚度矩阵转换为全局坐标下的等效热刚度矩阵，从而实现了结构整体热刚度矩阵的组装；

以结构整体的散热弱度作为确定冷板液流通道生长方向的目标函数，结构整体最小的散热弱度表明结构具有最大的散热强度与可散热性，结构整体的散热弱度表达式为：

D＝T_b ^TKT_b (16)

冷板液流通道的生长方向的确定方法为：以生长点为起始点分别向周围各个方向生长出固定长度L的冷板液流通道，然后计算冷板液流通道在不同方向时结构整体的散热弱度，并将散热弱度取得最小值时的生长方向确定为冷板液流通道的最终生长方向，并将确定的生长方向以变量θ标识；同时更新基结构的热刚度矩阵K_b；

新生长出的冷板液流通道的均按照步骤2.3)判断其是否具有分叉能力；如果该新生长的通道具有分叉能力，则将按照步骤2.3)更新下一步生长的相关参数；否则将直接以该新生长的通道的终止点作为下一步生长的起始点；

2.3)分叉参数的确定：当步生长迭代中计算每段冷板液流通道生长前后结构整体的散热弱度的减少量ΔD；如果某一生长点生长出冷板液流通道前后的散热弱度减小量大于某一阀值D_v，则这一生长点被认为具有分叉能力；否则，这一生长点被认为不具有分叉能力；

具有分叉能力的生长点按照植物叶脉分主、次脉的形式分级生长，主脉在分叉点分为主脉与次脉；

2.3.1)分叉中主次脉半径的确定方式：

为了保证通道内的流体在分叉处的流阻最小，分叉前母支与分叉后两个子支的内径满足Murray’s法则，即r³ ₀＝r³ ₁+r³ ₂，其中r₀表示分叉前母支内半径，r₁表示分叉后主脉内半径；r₂表示分叉后次脉内半径；

设定r₁与r₂的比值为定值，不小于1；

2.3.2)分叉中主次脉生长角度的确定：

当步生长迭代中生长出的冷板液流通道生长如果其生长点被认为具有分叉能力，称为分叉点；主脉在分叉点分为主脉与次脉，已经长出的液流通道作为主脉，其通道布置方向不作调整，仍记为θ，只对其半径进行调整；

以分叉点为起始点预置次脉，预置的次脉轴向长记为L’；为使得分叉处流体液流通道的流动阻力最小化，预置的次脉和主脉之间的夹角需要满足一定条件，且该夹角以ε标识：

$cos\mathrm{\ϵ}=\frac{{(r_1^3+r_2^3)}^{4/3}-r_1^4-r_2^4}{2r_1^2{r}_2^2}---\left(17\right)$

根据确定的主脉生长方向θ、预置的次脉布置方向与主脉的夹角ε、分叉后子支内径r1与r2参数，对冷板液流通道进行分叉布置；分叉完成后的主脉终止点将作为主脉下一步生长的生长点，预置的次脉的终止点将作为次脉生长的初始生长点；次脉在主脉生长完成后才开始生长；

将分叉后的冷板液流通道依据给定参数布置，并应用连续温度场插值的方法计算整体结构的总热刚度矩阵K，随后更新基结构的热刚度矩阵K_b；

3)冷板液流通道的生长：冷板液流通道的生长过程分为主脉的生长与次脉的生长两个子过程，且在主脉生长完毕后次脉才开始生长；

3.1)主脉的生长：主脉由初始化设定的生长点开始逐步迭代生长，按照步骤2.1)、2.2)确定冷板液流通道的生长方向及更新下一步生长的生长点；如果主脉在一步生长中的生长点满足分叉条件，则按照2.3)分叉策略完成分叉及更新主脉下一步生长的生长点；分叉中形成的次脉初始生长点则作为次脉第一步生长的起始点；

当主脉生长到达设计域边界或者材料用量超过体积上限V_max，那么主脉生长停止；如果主脉生长完成后依旧没有达到材料体积上限V_max，则接下来进行次脉的生长；

3.2)次脉的生长：次脉由主脉生长中确定的次脉初始生长点开始逐步迭代生长；生长策略与主脉生长相似；不过与主脉生长相区别的是，如果次脉在生长中满足分叉条件，则次脉分叉将形成次脉与细脉；

当次脉生长到达设计域边界或者材料用量体积，则次脉生长完毕。