CN106597851A - 一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法。根据执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型能够确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好地处理时滞与故障对滑动模态渐进稳定的影响。利用改进混沌粒子群算法改进滚动优化过程，该方法能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题。提出一种新型参考轨迹，该参考轨迹能够通过补偿将系统不确定性和时滞的影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象。本发明用于一类执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统的鲁棒容错控制。

Description

一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，属于不确定离散时滞控制系统的鲁棒容错控制技术领域。

背景技术

随着人们对实际产品的安全性与可靠性的要求日益提高，为了保证系统在故障条件依然能够安全稳定运行，不可避免的需要在控制器设计中采用有效的容错控制方法。

滑模控制作为一类非线性鲁棒控制方法，具有设计简单、易于实现、使用灵活等优点，因此非常适合处理故障问题。近年来，滑模容错控制方法的设计无论在理论研究或者实际应用上都被人们赋予了高度的重视，并取得了一系列的研究成果。

尽管基于滑模的容错控制方法已得到了长足的发展，但其对系统模型要求较高，对各种输入约束及时滞的处理，往往难以满足实际系统对快速性的高要求。针对这些问题，预测控制不仅对系统模型的具体形式没有要求，还能较好处理输入约束、模型不确定性及外部干扰，而且能够利用其自身的预测和优化能力，估计未来一段时间的系统性能，从而消除时滞对系统控制性能造成的影响，因而也开始被用于容错控制领域中。

众所周知，时滞的存在会造成系统容错控制性能的明显降低，甚至系统失稳，因而带有时滞的系统容错控制一直是控制领域的难点问题。从前述研究可以看出，若能在容错控制系统中将滑模控制与预测控制相结合，不仅能够充分利用了滑模控制设计简单、易于实现、鲁棒性强等特点，而且通过预测控制还能有效解决了系统时滞对系统稳定性的影响，进一步优化容错控制效果。然而，目前关于时滞不确定系统的滑模预测容错控制的研究与应用还鲜有关注。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术，提出一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，能够在所设计的容错控制律的作用下，通过利用拟积分型滑模面设计了滑模预测模型，保证了系统的全局鲁棒性，通过设计一种新型参考轨迹，既能消除不确定性、时滞和故障对系统性能造成的影响，又能够明显抑制滑模抖振现象，并且利用改进混沌粒子群改进了滚动优化过程，有效提高了算法的收敛速度。

技术方案：一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特控制方法，根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特征，且能够使得系统状态轨迹从初始时刻开始就位于切换面上，确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好处理系统时滞与执行器故障对滑动模态渐进稳定的影响；利用改进混沌粒子群算法，改进了滚动优化过程，相较于传统的求导法，该方法能够快速准确地求解出满足输入约束条件的控制律，同时能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题；提出了一种新型参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保证对参数摄动和外部扰动具有良好的鲁棒性，而且将时变时滞对系统的影响也加以考虑，通过补偿将其影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象，用以针对一类执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定执行器故障情况下不确定离散系统模型：

步骤1.1)确定含有内部摄动、外部扰动和时变时滞的不确定离散执行器故障系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p、A_d∈R^n×n和D∈R^n×m为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ(k)∈R⁺为时变时滞且其上界为τ_up，f(k)∈R^m为故障函数，系统参数不确定性满足式(2)，其中，E，H，H_d，H_df为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ(k))+Bu(k)+Df(k)+v(k) (1)

[ΔA ΔA_d d_f]＝EF(k)[H H_d H_df] (2)

步骤1.2)将系统(1)改写为式(3)，其中，d_f(k)＝Df(k)+v(k)，d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U，通过一步估计法可以得出的估计值为(4)；

步骤2)容错控制预测模型设计：

步骤2.1)采用拟积分滑模面(5)，可以得到系统的滑模预测模型为(6)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

s(k+1)＝Gx(k+1)+σ(k+1)-Gx(0) (6)

步骤2.2)根据系统(3)的标称系统x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到预测模型在(k+P)时刻的预测输出(7)及其向量形式(8)；

S_PM(k)＝Θx(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)+∑(k) (8)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P；Θ＝[(GA)^T，(GA²)^T，...，(GA^P)^T]^T；

X_d(k)＝[x(k-τ(k))，x(k+1-τ(k+1))，...，x(k+P-1-τ(k+P-1))]^T；

S_PM(k)＝[s(k+1)，s(k+2)，...，s(k+P)]^T；U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(M-1)]^T；

∑(k)＝[σ(k+1)-Gx(0)，σ(k+2)-Gx(0)，...，σ(k+P)-Gx(0)]^T；

步骤3)容错控制参考轨迹设计：

步骤3.1)构建如式(9)的参考轨迹：

其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)]， s₀为调节常数，通过挑选适当的s₀，能够兼顾控制信号幅值与收敛到s(k)＝0速度快慢的关系；该参考轨迹中通过采用ζ₁补偿ζ(k)，将不确定性及故障对系统的影响降到可接受的范围，当|s(k)|较小时即s(k)逐渐进入准滑动模态时，由于存在补偿，可以使得从而有效抑制滑模抖振；

步骤3.2)通过式(4)的一步延迟估计法近似求得可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(10)，其中

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (10)

步骤4)容错控制反馈校正设计：

步骤4.1)计算k时刻的预测误差为式(11)，其中s(k)为k时刻预测模型的实际输出，s(k|k-P)为(k-P)时刻对k时刻的预测输出，且满足式(12)；

e_s(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

步骤4.2)加入校正后，P步预测输出为其向量形式为其中，

E_S(k)＝[s(k)-s(k|k-1)，s(k)-s(k|k-2)，...，s(k)-s(k|k-P)]^T，h_p为校正系数，一般取h₁＝1，1＞h₂＞h₃＞…＞h_P＞0，即随着预测步数的增加，反馈校正的作用逐渐减弱；

步骤5)容错控制滚动优化设计：

步骤5.1)取式(13)为k时刻的优化性能指标，其中，λ_i、γ_l为非负权重，λ_i为采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为对控制量的限制；其向量形式为式(14)；

其中，

步骤5.2)确定粒子群规模为L，粒子i的位置为u_i＝(u_i1，u_i2，...，u_iM)，速度为v_i＝(v_i1，v_i2，...，v_iM)，粒子环境范围δ，最大迭代次数t_max，学习因子c₁、c₂，加速收敛因子sin(α)^β中的α、β，搜索测度粒子i的搜索空间向负方向的移动比例混沌因子选择优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ；

步骤5.3)根据邻近粒子信息，更新粒子位置；假设n为粒子i的邻近粒子中拥有最佳适应值的粒子，若粒子i的适应值优于n的适应值，则保持粒子i的位置不变；否则，根据式(15)更新粒子i的位置，其中ξ为[-1，1]的随机数；粒子i的邻近粒子取为位置位于{(n_i1，n_i2，...，n_iM)||n_ij-u_ij|≤δ，j＝1，2，...，M}中不包括粒子i的所有粒子；

u_i′＝u_n+ξ(u_i-u_n) (15)

步骤5.4)根据式(16)的更新方程，迭代更新粒子的位置、速度，求出种群最优位置；

其中，历史最好位置为p_i＝(p_i1，p_i2，...，p_iM)，r₁、r₂为介于[0，1]之间的随机数，g＝(g₁，g₂，...，g_M)为整体最优位置，从该迭代公式不难看出，混沌运动与粒子群运动结合在一起，并可以通过混沌因子调节混沌程度；当c′_i→1时，主要为混沌运动发挥作用；当c′_i→0时，主要是粒子群运动发挥作用；

步骤5.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。

有益效果：一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特征，且能够使得系统状态轨迹从初始时刻开始就位于切换面上，确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好处理系统时滞与执行器故障对滑动模态渐进稳定的影响；利用改进混沌粒子群算法，改进了滚动优化过程，相较于传统的求导法，该方法能够快速准确地求解出满足输入约束条件的控制律，同时能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题；提出了一种新型参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保证对参数摄动和外部扰动具有良好的鲁棒性，而且将时变时滞对系统的影响也加以考虑，通过补偿将其影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象，用以针对一类执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统的鲁棒容错控制。具有如下具体优点：

①根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特征，且能够使得系统状态轨迹从初始时刻开始就位于切换面上，确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好处理系统时滞与执行器故障对滑动模态渐进稳定的影响；

②利用改进混沌粒子群算法，改进了滚动优化过程，相较于传统的求导法，该方法能够快速准确地求解出满足输入约束条件的控制律，同时能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题；

③提出了一种新型参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保证对参数摄动和外部扰动具有良好的鲁棒性，而且将时变时滞对系统的影响也加以考虑，通过补偿将其影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象。

本发明所提方法作为一种针对含有执行器故障和时变时滞的不确定离散系统的鲁棒容错控制方法，具有一定的应用意义，易于实现，实时性好，准确性高，能够有效提高控制系统安全性且可操作性强，节省时间，效率更高，可广泛应用于不确定离散控制系统的执行器故障容错控制中。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是Quanser公司研制的用以研究四旋翼直升机控制的实验装置Qball-X4四旋翼直升机；

图3是Qball-X4四旋翼直升机X轴位置曲线图；

图4是Qball-X4四旋翼直升机X轴方向速度曲线图；

图5是Qball-X4四旋翼直升机执行器动态曲线图；

图6是控制律曲线图；

图7是部分放大的控制律曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特征，且能够使得系统状态轨迹从初始时刻开始就位于切换面上，确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好处理系统时滞与执行器故障对滑动模态渐进稳定的影响；利用改进混沌粒子群算法，改进了滚动优化过程，相较于传统的求导法，该方法能够快速准确地求解出满足输入约束条件的控制律，同时能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题；提出了一种新型参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保证对参数摄动和外部扰动具有良好的鲁棒性，而且将时变时滞对系统的影响也加以考虑，通过补偿将其影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象，用以针对一类执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定执行器故障情况下不确定离散系统模型：

步骤1.1)确定含有内部摄动、外部扰动和时变时滞的不确定离散执行器故障系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p、A_d∈R^n×n和D∈R^n×m为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ(k)∈R⁺为时变时滞且其上界为τ_up，f(k)∈R^m为故障函数，系统参数不确定性满足式(2)，其中，E，H，H_d，H_df为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ(k))+Bu(k)+Df(k)+v(k) (1)

[ΔA ΔA_d d_f]＝EF(k)[H H_d H_df] (2)

步骤1.2)将系统(1)改写为式(3)，其中，d_f(k)＝Df(k)+v(k)，d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U，通过一步估计法可以得出的估计值为(4)；

步骤2)容错控制预测模型设计：

步骤2.1)采用拟积分滑模面(5)，可以得到系统的滑模预测模型为(6)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

s(k+1)＝Gx(k+1)+σ(k+1)-Gx(0) (6)

步骤2.2)根据系统(3)的标称系统x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到预测模型在(k+P)时刻的预测输出(7)及其向量形式(8)；

S_PM(k)＝Θx(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)+∑(k) (8)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P；Θ＝[(GA)^T，(GA²)^T，...，(GA^P)^T]^T；

X_d(k)＝[x(k-τ(k))，x(k+1-τ(k+1))，...，x(k+P-1-τ(k+P-1))]^T；

S_PM(k)＝[s(k+1)，s(k+2)，...，s(k+P)]^T；U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(M-1)]^T；

∑(k)＝[σ(k+1)-Gx(0)，σ(k+2)-Gx(0)，...，σ(k+P)-Gx(0)]^T；

步骤3)容错控制参考轨迹设计：

步骤3.1)构建如式(9)的参考轨迹：

其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)]， s₀为调节常数，通过挑选适当的s₀，能够兼顾控制信号幅值与收敛到s(k)＝0速度快慢的关系；该参考轨迹中通过采用ζ₁补偿ζ(k)，将不确定性及故障对系统的影响降到可接受的范围，当|s(k)|较小时即s(k)逐渐进入准滑动模态时，由于存在补偿，可以使得从而有效抑制滑模抖振；

步骤3.2)通过式(4)的一步延迟估计法近似求得可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(10)，其中

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (10)

步骤4)容错控制反馈校正设计：

步骤4.1)计算k时刻的预测误差为式(11)，其中s(k)为k时刻预测模型的实际输出，s(k|k-P)为(k-P)时刻对k时刻的预测输出，且满足式(12)；

e_s(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

步骤4.2)加入校正后，P步预测输出为其向量形式为其中，

E_S(k)＝[s(k)-s(k|k-1)，s(k)-s(k|k-2)，...，s(k)-s(k|k-P)]^T，h_p为校正系数，一般取h₁＝1，1＞h₂＞h₃＞…＞h_P＞0，即随着预测步数的增加，反馈校正的作用逐渐减弱；

步骤5)容错控制滚动优化设计：

步骤5.1)取式(13)为k时刻的优化性能指标，其中，λ_i、γ_l为非负权重，λ_i为采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为对控制量的限制；其向量形式为式(14)；

其中，

步骤5.2)确定粒子群规模为k，粒子i的位置为u_i＝(u_i1，u_i2，...，u_iM)，速度为v_i＝(v_i1，v_i2，...，v_iM)，粒子环境范围δ，最大迭代次数t_max，学习因子c₁、c₂，加速收敛因子sin(α)^β中的α、β，搜索测度粒子i的搜索空间向负方向的移动比例混沌因子选择优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ；

步骤5.3)根据邻近粒子信息，更新粒子位置；假设n为粒子i的邻近粒子中拥有最佳适应值的粒子，若粒子i的适应值优于n的适应值，则保持粒子i的位置不变；否则，根据式(15)更新粒子i的位置，其中ξ为[-1，1]的随机数；粒子i的邻近粒子取为位置位于{(n_i1，n_i2，...，n_iM)| |n_ij-u_ij|≤δ，j＝1，2，...，M}中不包括粒子i的所有粒子；

u_i′＝u_n+ξ(u_i-u_n) (15)

步骤5.4)根据式(16)的更新方程，迭代更新粒子的位置、速度，求出种群最优位置；

其中，历史最好位置为p_i＝(p_i1，p_i2，...，p_iM)，r₁、r₂为介于[0，1]之间的随机数，g＝(g₁，g₂，...，g_M)为整体最优位置，从该迭代公式不难看出，混沌运动与粒子群运动结合在一起，并可以通过混沌因子调节混沌程度；当c′_i→1时，主要为混沌运动发挥作用；当c′_i→0时，主要是粒子群运动发挥作用；

步骤5.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

采用由加拿大Quanser公司研制的Qball-X4四旋翼直升机飞行控制系统执行器作为应用研究对象。Qball-X4实验主体如图2。Qball-X4四旋翼直升机，系统存在六维度变量即(X，Y，Z，ψ，θ，φ)，其中X，Y，Z为位置变量，ψ为偏航角，θ为俯仰角，φ为滚转角。本案例仿真选择X轴前进方向通道信号作为研究对象。

机体关于X轴的运动受总推力以及横滚角φ/俯仰角θ的影响。假设偏航角ψ为0，那么X轴的动态方程描述如下：

其中M_g为机体质量，X为X轴方向位置。F为旋翼产生的推力：

其中，K_g为正值增益，ω为执行器带宽。定义v为执行器动态：

其状态空间表达式为：

在X轴位置控制模型中，俯仰角θ是与其相耦合的，整体的控制可以分为两个阶段，一个是俯仰角控制阶段，等俯仰角控制到预设值之后，就进入第二阶段——位置控制阶段。在位置到达设定位置时，通过俯仰角控制通道将俯仰角θ归零。在θ较小的情况下，通过线性化得到在不含外界扰动、参数摄动以及时变时滞的理想情况下的X轴方向的模型为：

假设在X轴位置控制阶段，俯仰角已经定在2°≈0.035rad，考虑外界扰动、参数摄动、网络延迟及执行器故障，引入执行器动态相关的扰动、摄动、时滞与故障，四旋翼直升机系统中各矩阵的取值如下：

常值矩阵外部干扰v(k)＝rand·sin²(k)，故障函数f(k)＝1.5+[0.3sin(6k) 0 0.2sin(2k)]x(k)，由于时滞大小是不确定的，本文时变时滞τ(k)取[0，τ_up]之间的随机整数，其中τ_up取5。其余参数矩阵取为H＝[0 0.4 0.2]，H_d＝[0 0.2 -0.2]，H_df＝[0.1 0.2 -0.1]，F(k)＝sin(k)。系统初始状态为x(0)＝[1 1 1]^T，初始输入为u(0)＝0。其中，机体参数取值为K＝120N，ω＝15rad/s，M＝1.4kg。

优化时域P表示的是在k时刻对未来P步的输出逼近期望值感兴趣，优化时域P应当覆盖被控对象动态影响的主要部分。实践表明，增大P，系统快速性降低，系统稳定性增强；减小P，则正好相反。所以本文选择兼顾快速性和稳定性的预测时域P＝4。控制时域M表示所要确定的未来控制量的改变数目，增大减小M对系统的影响与P正好相反，对于动态特性不是十分复杂的系统M一般选为1～2，因此本文控制时域选为M＝2。

粒子群规模为L＝20，学习因子c₁＝2，c₂＝2，权重系数w_min＝0.2，w_max＝0.9，最大迭代次数t_max＝50，环境范围δ＝6。加速收敛因子中α∈[0，π/8]，β＝3，搜索测度移动比例混沌因子仿真时域取k＝1000。

由图3-图5不难看出，本发明所提出的基于拟积分滑模预测模型的控制方法对实际系统中常见的含有时滞的不确定系统具有较强的鲁棒性并能使其快速趋于稳定。相较于传统离散滑模控制与基于线性滑模预测模型的控制算法，四旋翼直升机机体在本发明所设计的控制方法的作用下，X轴位置、X轴位置速度及执行器动态变化曲线更为平缓，说明了在执行器故障条件下，飞行器依旧能够平稳安全的飞行。图6-图7表明，控制律快速收敛且不会产生较大波动，在收敛后不存在明显的抖振。相较于其他两种控制方法，本发明所设计的SMPC算法在抖振虽还存在一定的抖振，但抖振振幅被削减了20％-60％。由上述实验结果可知，对于存在执行器故障的含有参数摄动、外部扰动和时变时滞的系统，本发明所提出的容错控制方法是行之有效的。

Claims (1)

1.一种小型无人机飞控系统的鲁棒容错控制方法，其特征在于：根据执行器故障情况下的时变时滞的不确定离散系统，构造出一种拟积分型滑模预测模型，该模型具有时变特征，且能够使得系统状态轨迹从初始时刻开始就位于切换面上，确保整个动态过程的全局鲁棒性，较好处理系统时滞与执行器故障对滑动模态渐进稳定的影响；利用改进混沌粒子群算法，改进了滚动优化过程，相较于传统的求导法，该方法能够快速准确地求解出满足输入约束条件的控制律，同时能够有效避免传统粒子群算法在寻优过程中易陷入局部极值点和收敛速度慢的问题；提出了一种新型参考轨迹，该参考轨迹不仅能够保证对参数摄动和外部扰动具有良好的鲁棒性，而且将时变时滞对系统的影响也加以考虑，通过补偿将其影响降到可以接受的范围，同时还能够明显地抑制滑模抖振现象，用以针对一类执行器故障情况下的时变时滞不确定离散系统的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确定执行器故障情况下不确定离散系统模型：

步骤1.1)确定含有内部摄动、外部扰动和时变时滞的不确定离散执行器故障系统为式(1)，其中，x(k)∈Rⁿ为系统状态，u(k)∈R^p为系统输入，A∈R^n×n、B∈R^n×p、A_d∈R^n×n和D∈R^n×m为常值矩阵，(A，B)完全可控，矩阵B列满秩，ΔA和ΔA_d为系统的参数摄动，v(k)∈Rⁿ为外部干扰，τ(k)∈R⁺为时变时滞且其上界为τ_up，f(k)∈R^m为故障函数，系统参数不确定性满足式(2)，其中，E，H，H_d，H_df为适当维数的常数矩阵，矩阵F(k)满足F^T(k)F(k)≤I；

x(k+1)＝(A+ΔA)x(k)+(A_d+ΔA_d)x(k-τ(k))+Bu(k)+Df(k)+v(k) (1)

[ΔA ΔA_d d_f]＝EF(k)[H H_d H_df] (2)

步骤1.2)将系统(1)改写为式(3)，其中，d_f(k)＝Df(k)+v(k)，d(k)＝ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U，通过一步估计法可以得出的估计值为(4)；

$\begin{array}{c}x(k+1)=(A+\mathrm{\Δ}A)x\left(k\right)+(A_d+{\mathrm{\ΔA}}_d)x(k-\mathrm{\τ}(k\left)\right)+Bu\left(k\right)+d_f\left(k\right)\\ =Ax\left(k\right)+A_{d}x(k-\mathrm{\τ}(k\left)\right)+Bu\left(k\right)+d\left(k\right)\end{array}---\left(3\right)$

$\hat{d}\left(k\right)=d(k-1)=x\left(k\right)-\mathrm{\Δ}Ax(k-1)+{\mathrm{\ΔA}}_{d}x(k-1-\mathrm{\τ}(k-1\left)\right)+Df(k-1)+v(k-1)---\left(4\right)$

步骤2)容错控制预测模型设计：

步骤2.1)采用拟积分滑模面(5)，可以得到系统的滑模预测模型为(6)，其中，σ(0)＝0，G∈R^p×n为满足GB非奇异的常值矩阵；

$\left\{\begin{array}{c}s\left(k\right)=Gx\left(k\right)+\mathrm{\σ}\left(k\right)-Gx\left(0\right)\\ \mathrm{\σ}(k+1)-\mathrm{\σ}\left(k\right)=Gx\left(k\right)-GAx\left(k\right)-{\mathrm{GA}}_{d}x(k-\mathrm{\τ}(k\left)\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

s(k+1)＝Gx(k+1)+σ(k+1)-Gx(0) (6)

步骤2.2)根据系统(3)的标称系统x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到预测模型在(k+P)时刻的预测输出(7)及其向量形式(8)；

$\begin{array}{c}s(k+P)=G\[A^{P}x\left(k\right)+\underset{i=1}{\overset{P}{\Σ}}{A}^{i-1}{A}_{d}x(k+P-i-\mathrm{\τ}(k+P-i\left)\right)\\ +\underset{i=1}{\overset{M-1}{\Σ}}{A}^{P-i}Bu(k+i-1)+\underset{i=1}{\overset{P-M}{\Σ}}{A}^{i}Bu(k+M-1)\]\\ +\mathrm{\σ}(k+P)-Gx\left(0\right)\end{array}---\left(7\right)$

S_PM(k)＝Θx(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)+∑(k) (8)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P；Θ＝[(GA)^T，(GA²)^T，...，(GA^P)^T]^T；

X_d(k)＝[x(k-τ(k))，x(k+1-τ(k+1))，...，x(k+P-1-τ(k+P-1))]^T；

S_PM(k)＝[s(k+1)，s(k+2)，...，s(k+P)]^T；U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(M-1)]^T；

∑(k)＝[σ(k+1)-Gx(0)，σ(k+2)-Gx(0)，...，σ(k+P)-Gx(0)]^T；

步骤3)容错控制参考轨迹设计：

步骤3.1)构建如式(9)的参考轨迹：

$\left\{\begin{array}{c}{s}_{ref}(k+1)=(1-\frac{s_0}{s_0+\left|s\left(k\right)\right|})s_{ref}\left(k\right)-\mathrm{\ζ}\left(k\right)+{\mathrm{\ζ}}_1\\ s_{ref}\left(k\right)=s\left(k\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，ζ(k)＝Gd(k)＝G[ΔAx(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+Df(k)+v(k)]， s₀为调节常数，通过挑选适当的s₀，能够兼顾控制信号幅值与收敛到s(k)＝0速度快慢的关系；该参考轨迹中通过采用ζ₁补偿ζ(k)，将不确定性及故障对系统的影响降到可接受的范围，当|s(k)|较小时即s(k)逐渐进入准滑动模态时，由于存在补偿，可以使得从而有效抑制滑模抖振；

步骤3.2)通过式(4)的一步延迟估计法近似求得可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(10)，其中

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (10)

步骤4)容错控制反馈校正设计：

步骤4.1)计算k时刻的预测误差为式(11)，其中s(k)为k时刻预测模型的实际输出，s(k|k-P)为(k-P)时刻对k时刻的预测输出，且满足式(12)；

e_s(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

$\begin{array}{c}s\left(k\right|k-P)=G\[A^{P}x(k-P)+\underset{i=1}{\overset{P}{\Σ}}{A}^{i-1}{A}_{d}x(k-i-\mathrm{\τ}(k-i\left)\right)\\ +\underset{i=1}{\overset{M-1}{\Σ}}{A}^{P-i}Bu(k-P+i-1)+\underset{i=1}{\overset{P-M}{\Σ}}{A}^{i}Bu(k-P+M-1)\]\\ -\mathrm{\σ}\left(k\right)-Gx\left(0\right)\end{array}---\left(12\right)$

步骤4.2)加入校正后，P步预测输出为其向量形式为其中，

E_S(k)＝[s(k)-s(k|k-1)，s(k)-s(k|k-2)，...，s(k)-s(k|k-P)]^T，h_p为校正系数，一般取h₁＝1，1＞h₂＞h₃＞…＞h_P＞0，即随着预测步数的增加，反馈校正的作用逐渐减弱；

步骤5)容错控制滚动优化设计：

步骤5.1)取式(13)为k时刻的优化性能指标，其中，λ_i、γ_l为非负权重，λ_i为采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为对控制量的限制；其向量形式为式(14)；

$j\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{P}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_i{\[s_{ref}(k+i)-\tilde{s}(k+1)\]}^2+\underset{l=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\γ}}_l{\[u(k+l-1)\]}^2---\left(13\right)$

$J\left(k\right)={\[S_{ref}\left(k\right)-{\tilde{S}}_{PM}\left(k\right)\]}^T{Q}_3\[S_{ref}\left(k\right)-{\tilde{S}}_{PM}\left(k\right)\]+{\[U\left(k\right)\]}^T{Q}_4\[U\left(k\right)\]---\left(14\right)$

其中，

步骤5.2)确定粒子群规模为L，粒子i的位置为u_i＝(u_i1，u_i2，...，u_iM)，速度为v_i＝(v_i1，v_i2，...，v_iM)，粒子环境范围δ，最大迭代次数t_max，学习因子c₁、c₂，加速收敛因子sin(α)^β中的α、β，搜索测度θ，粒子i的搜索空间向负方向的移动比例，混沌因子，选择优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ；

步骤5.3)根据邻近粒子信息，更新粒子位置；假设n为粒子i的邻近粒子中拥有最佳适应值的粒子，若粒子i的适应值优于n的适应值，则保持粒子i的位置不变；否则，根据式(15)更新粒子i的位置，其中ξ为[-1，1]的随机数；粒子i的邻近粒子取为位置位于{(n_i1，n_i2，...，n_iM)| |n_ij-u_ij|≤δ，j＝1，2，...，M}中不包括粒子i的所有粒子；

u_i′＝u_n+ξ(u_i-u_n) (15)

步骤5.4)根据式(16)的更新方程，迭代更新粒子的位置、速度，求出种群最优位置；

其中，历史最好位置为p_i＝(p_i1，p_i2，...，p_iM)，r₁、r₂为介于[0，1]之间的随机数，g＝(g₁，g₂，...，g_M)为整体最优位置，从该迭代公式不难看出，混沌运动与粒子群运动结合在一起，并可以通过混沌因子调节混沌程度；当时，主要为混沌运动发挥作用；当时，主要是粒子群运动发挥作用；

步骤5.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。