CN106407528A - 一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，包括：1)将机床主轴结构简化为轴承‐转子系统；2)建立机床主轴的动力学模型；3)根据机床主轴的动力学模型计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度，进而得到各个滚珠作用下的轴承产热情况；4)将轴承内部各个滚球的产热量进行叠加，得到整个轴承各部件的产热情况，即轴承内圈、外圈和滚珠的产热情况；本发明通过动力学建模的方式，准确的计算出在主轴系统在稳定运行状态下轴承内部产热情况；同时通过动力学模型的特性，可以分析在不同工况下如不同转速、负载和预紧力作用下的轴承产热情况，这为主轴结构的热分析提供了很好的分析基础，同时对于准确的热误差预测提供依据，进而保证机床的加工精度。

Description

一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法

技术领域

本发明属于机床主轴优化分析设计领域，涉及一种机床主轴轴承产热计算方法，特别是涉及一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法。

背景技术

机床主轴是机床的核心部件，其性能直接关系到机床的加工性能。目前，机床主轴朝着高速、高精度、高效的高性能电主轴方向发展。国内高性能机床主轴和发达国家高性能主轴还有很大差距，加工精度的差距是其中最明显的。根据相关的研究，机加工中，由热膨胀变形引起的误差占到整个加工误差的40％‐70％,尤其是对于铣削、磨削等对加工精度要求比较高的切削工艺，机床主轴热误差的所占比例更高。而对于传统机床主轴的产热问题的热源包括主轴轴承旋转摩擦产热和切削产热，而其中轴承产热是最重要的热源，轴承的产热在轴系系统内产生的温度场是非均匀场，因此在这种温度梯度下电主轴内部各部件会产生不同程度的热变形。因此在整个机床主轴的结构设计中，针对主轴轴承的产热对整个主轴热特性的影响分析变得必不可少。

而目前，从现有检索文献来看，针对轴承产热计算，都是基于传统的拟静力学模型的轴承产热计算方法，首先通过Jones等(Jones A B.The machematical theory ofrolling elements bearings[M].Mechanical Design and Systems Handbook.New York:Mc GrawHill,1966.)的轴承模型计算出轴承内部元件的相对速度和载荷，再通过Palmgren(Palmgren R.Ball and Roller Bearing Engineering.3^rd ed[M].Burbank:philadephia,1959)整体法计算出轴承的整体产热。然而Jones轴承模型基于“套筒控制理论”，即滚珠在轴承内部运动是相对于内圈/外圈的纯滚动，这与滚珠实际中的运动状态是不一致的；同时利用Palmgren整体法计算轴承总体的摩擦力矩仅仅考虑了载荷、转速、润滑剂粘度的影响，只适用于低速重载轴承，而对于电主轴轻载高速的工况，整体法计算的热量往往偏低。

发明内容

本发明的目的在于克服现有的技术缺陷，提出一种适用于中高转速主轴的基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，来对整个主轴的热分析提供指导作用。

本发明是通过以下技术方案实现上述目的：

一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，包括下述步骤：

(1)根据轴承参数、轴承各部件材料参数、转子参数和转子材料参数将机床主轴结构简化为轴承‐转子系统：

(2)根据简化的轴承‐转子系统，利用Gupta轴承模型建立主轴轴承的动力学模型，然后利用刚体单元建立转子刚体单元模型，将主轴轴承动力学模型和转子刚体单元模型耦合，建立机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型；

(3)根据机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度，进而得到各个滚珠作用下的轴承产热情况；

(4)将轴承内部各个滚珠的产热量进行叠加，得到整个轴承各部件的产热情况，即轴承内圈、外圈和滚珠的产热情况。

进一步，步骤(1)中，所述轴承参数包括轴承内径、外径、滚动体个数和滚动体直径；所述轴承各部件材料参数包括内圈、外圈、滚动体和保持架的弹性模量E及泊松比ν；所述转子参数包括转子各部分长度和内外直径；所述转子材料参数包括弹性模量E和泊松比ν。

进一步，所述步骤(2)建立机床主轴动力学模型的过程可分为建立机床主轴轴承动力学模型、转子刚体单元模型和轴承与转子模型耦合模型三部分；

1)利用Gupta轴承模型建立主轴轴承的动力学模型:

滚球和套圈之间的合力为：

式中，为滚球垂直于套圈接触面的接触力；为与接触面平行的牵引力；c_br为由于接触区域的润滑引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；为滚球和套圈在接触点处的相对速度。

作用在转子上的合力可以表示为：

式中，n为装配在转子上轴承的个数；T_ci为从接触坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第k个轴承的滚球作用在内圈上的合力；为转子的重力；为轴承第j个滚球与套圈之间的接触力。

作用在转子质心的合力矩可表示为：

式中，为由第k个轴承滚球和内圈之间的合力引起的力矩；为套圈质心的合力矩；T_cr为从接触坐标系到转子定体坐标系的转换矩阵；O_r和O_rk分别为在转子定体坐标系和套圈定体坐标系的原点。

2)建立转子刚体单元模型：

第j个刚体单元的平动运动方程为：

式中，m_j为第j个刚体单元的质量/kg；(x_j,y_j,z_j)为质心O_rj在惯性坐标系中的坐标分量；G_j为刚体单元的重力/N；和由拉伸弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力；和分别是由不平衡质量产生的不平衡力和施加在第j个刚体单元上的外力。

不平衡力可以表示为：

式中，m_ujr_uj为不平衡质量和其半径的乘积/kg.m；α_j为不平衡质量的初始方位角/rad；T_rj,i为从刚体单元定体坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第j个刚体单元姿态角。

假设第j个刚体单元的角速度为ω_j(ω_jx,ω_jy,ω_jz)，则刚体单元的旋转运动方程可以表示为

式中，施加在第j个刚体单元上的外部力矩和是由和产生的力矩，可以表示为：

式中，T_i,rj为从惯性坐标系到刚体单元定体坐标系的变换矩阵；I_jx、I_jy、I_jz分别为第j个单元在x,y,z方向上的转动惯量；和由扭转弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力矩；是由不平衡质量产生的不平衡力矩；M_j和N_j分别为第j个刚体单元左右截面的几何中心点。

3)建立轴承与转子耦合模型：

将滚球和内圈的合力和合力矩直接施加到刚体单元上，得到第k个轴承和第j个刚体单元之间的相互作用关系：

式中，c_bx、c_by和c_bz分别为三个平动方向由轴承引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；c_brx、c_bry和c_brz分别为三个转动方向由轴承引起的阻尼系数/N.m.s.rad^‐1。

进一步，步骤(3)中，根据机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力F_bi/F_bo与相对速度，通过下式得到：

相对摩擦力公式：

式中，Q_i/Q_o分别为滚球与内/外圈接触力；T_i/T_o分别为与内/外圈零滑动线位置相关的系数。

相对速度公式：

第j各滚球产热功率W^j可表示为：

进一步，步骤(4)中，将轴承内部各个滚珠的产热量进行叠加，通过下式得到：

相对于现有技术，本发明具有以下优点：

本发明的基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，利用机床主轴的动力学模型，从而准确的计算出在稳定运行状态下滚动轴承内部产热情况，从而为整个主轴轴系的热分析提供准确的依据，同时通过动力学模型，也可以准确的计算出在不同运行参数如转速、负载、预紧力下的轴承产热情况。

附图说明

图1是本发明的方法流程图；

图2是本发明某磨削主轴结构装配图；

图3是图2所示的某磨削主轴动力学模型单元划分简图；

图4是主轴稳定运行时某个滚动体作用下，轴承内部各组件产热情况示意图；

图5是整合轴承内部所有滚动体的作用，得到主轴稳定运行时轴承内部各组件的产热情况示意图。

图中：1‐后端轴承，2‐转子，3‐电机转子，4‐电机定子，5‐前端轴承，6‐砂轮。

具体实施方式

下面结合一个实施例对本发明的基于动力学模型的主轴轴承产热计算方法作进一步详细说明，但本实施例并不用于限制本发明。

本发明基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，方法流程如图1，包括以下步骤：

(1)根据机床主轴结构，提取主轴内部的转子与主轴支撑轴承，同时将其它旋转部件如套筒等固结在转子系统中，将其简化为轴承‐转子系统，省略其它主轴内部非旋转功能性部件，为建立机床主轴的动力学模型做准备。进一步，根据轴承参数、轴承各部件材料参数、转子参数和转子材料参数将机床主轴简化为轴承‐转子系统。轴承参数包括轴承内径、外径、滚动体个数、滚动体直径；轴承各部件材料参数包括内圈、外圈、滚动体和保持架的弹性模量E及泊松比ν；转子参数包括转子各部分长度和内外直径；转子材料参数包括弹性模量E和泊松比ν。

(2)根据步骤(1)中简化的轴承‐转子系统，建立机床主轴的动力学模型。

建立机床主轴动力学模型的过程可分为主轴轴承动力学建模、转子刚体单元建模和轴承与转子模型耦合建模三部分。

首先，利用Gupta轴承模型建立轴承的动力学模型。

滚球和套圈之间的合力为：

式中，为滚球垂直于套圈接触面的接触力；为与接触面平行的牵引力；c_br为—为由于接触区域的润滑引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；为滚球和套圈在接触点处的相对速度。

作用在转子上的合力可以表示为：

式中，n为装配在转子上轴承的个数；T_ci为从接触坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第k个轴承的滚球作用在内圈上的合力；为转子的重力；为轴承第j个滚球与套圈之间的接触力。

作用在转子质心的合力矩可表示为：

式中，为由第k个轴承滚球和内圈之间的合力引起的力矩；为套圈质心的合力矩；T_cr为从接触坐标系到转子定体坐标系的转换矩阵；O_r和O_rk分别为在转子定体坐标系和套圈定体坐标系的原点。

然后，建立转子刚体单元模型。

第j个刚体单元的平动运动方程为：

式中，m_j为第j个刚体单元的质量/kg；(x_j,y_j,z_j)为质心O_rj在惯性坐标系中的坐标分量；G_j为刚体单元的重力/N；和由拉伸弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力；和分别是由不平衡质量产生的不平衡力和施加在第j个刚体单元上的外力。

不平衡力可以表示为：

式中，m_ujr_uj为不平衡质量和其半径的乘积/kg.m；α_j为不平衡质量的初始方位角/rad；T_rj,i为从刚体单元定体坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第j个刚体单元姿态角。

假设第j个刚体单元的角速度为ω_j(ω_jx,ω_jy,ω_jz)，则刚体单元的旋转运动方程可以表示为

式中，施加在第j个刚体单元上的外部力矩和是由和产生的力矩，可以表示为：

式中，T_i,rj为从惯性坐标系到刚体单元定体坐标系的变换矩阵；I_jx、I_jy、I_jz分别为第j个单元在x,y,z方向上的转动惯量；和由扭转弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力矩；是由不平衡质量产生的不平衡力矩；M_j和N_j分别为第j个刚体单元左右截面的几何中心点。

最后，将建立的轴承与转子模型进行耦合，将滚球和内圈的合力和合力矩直接施加到刚体单元上，得到第k个轴承和第j个刚体单元之间的相互作用关系：

式中，c_bx、c_by和c_bz分别为三个平动方向由轴承引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；c_brx、c_bry和c_brz分别为三个转动方向由轴承引起的阻尼系数/N.m.s.rad^‐1。

(3)根据步骤(2)得到的机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型，计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度：

式中，Q_i/Q_o分别为滚球与内/外圈接触力；T_i/T_o分别为与内/外圈零滑动线位置相关的系数。

相对速度公式：

(4)根据步骤(3)得到的轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度，进一步计算出第j各滚球产热功率，

最后将轴承内部各个滚珠的产热量进行叠加，通过下式得到：

下面结合具体实施方式对本发明进行说明：

参考图2，某型号磨齿机电主轴轴承，该主轴用于齿轮的磨削加工。主轴结构包括电机定子4、电机转子3和在电机转子3内的转子2，在转子2上装有后端轴承1和前端轴承5，砂轮6安装在电机主轴上。

具体按照以下步骤对该主轴轴承产热进行计算：

(1)根据机床主轴结构，将其简化为轴承‐转子系统；如图2为某磨齿机主轴的几何结构，将其简化为如图3所示的轴承‐转子模型，包括转子和轴承a1‐a6，并对其进行动力学模型单元划分，为主轴动力学建模做准备。

(2)根据步骤(1)中简化的轴承‐转子模型，建立该主轴的动力学模型。主轴转子的单元划分如图3所示。轴承1和轴承2的型号为：SKF‐7013ACD.T.P4A.DB.B；轴承3、轴承4、轴承5和轴承6的型号为：SKF‐7016ACD.T.P4A.QBC.B。轴承参数以及主轴转子参数和单元划分尺寸如下表格所示：

表1 SKF 7013ACD.T.P4A.DB.B轴承相关参数

表2 SKF 7016ACD.T.P4A.QBC.B轴承相关参数

表3 转子单元尺寸

将轴承的Gupta动力学模型和转子刚体单元模型耦合并考虑各个轴承外圈与轴承座之间的相互作用，建立主轴的动力学模型。

(3)根据建立好的机床主轴的动力学模型基础上，计算出轴承各个滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度。这里设定主轴转速为4000r/min,零负载空转，由于摩擦产热可以由摩擦接触面之间的相对运动速度和摩擦力相乘得到，因此通过动力学模型计算出的轴承滚动体与内外圈之间的相对速度与摩擦力，可以得到轴承内部各个滚动体与轴承内、外圈的摩擦产热量。同时由于，在滚动体与内/外圈的摩擦产热通过50％‐50％分配到滚动体和内/外圈内，因此，可以得到各个滚珠作用下的轴承产热情况，其中以某一个轴承滚动体为例，产热曲线如图4，通过曲线可以发现，产热率呈调幅的高频波动，这与滚动体在轴承内部既存在自旋转动又存在绕转轴轴心的公转相一致；

(4)根据步骤(3)计算的流程，可以得到轴承内部各个滚动体的产热情况，将各个滚球的产热量进行叠加，得到整个轴承各部件的产热情况，即轴承内圈、外圈和滚珠的产热情况，可以发现，由于各个滚动体之间的相位叠加的原因，轴承各组件整体的产热率近似为稳定曲线，如图5。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详尽说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。

Claims (5)

1.一种基于动力学模型的机床主轴轴承产热计算方法，其特征在于，包括下述步骤：

(1)根据轴承参数、轴承各部件材料参数、转子参数和转子材料参数将机床主轴结构简化为轴承‐转子系统；

(2)根据简化的轴承‐转子系统，利用Gupta轴承模型建立主轴轴承的动力学模型，然后利用刚体单元建立转子刚体单元模型，将主轴轴承动力学模型和转子刚体单元模型耦合，建立机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型；

(3)根据机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力与相对速度，进而得到各个滚珠作用下的轴承产热情况；

(4)将轴承内部各个滚珠的产热量进行叠加，得到整个轴承各部件的产热情况，即轴承内圈、外圈和滚珠的产热情况。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(1)中，所述轴承参数包括轴承内径、外径、滚动体个数和滚动体直径；所述轴承各部件材料参数包括内圈、外圈、滚动体和保持架的弹性模量E及泊松比ν；所述转子参数包括转子各部分长度和内外直径；所述转子材料参数包括弹性模量E和泊松比ν。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(2)中，建立机床主轴动力学模型的过程可分为建立主轴轴承动力学模型、转子刚体单元模型和轴承与转子耦合模型三部分；

1)利用Gupta轴承模型建立主轴轴承的动力学模型:

滚球和套圈之间的合力为：

${F_k}^c={Q_k}^c+{f_k}^c-c_{br}{v}_{rbk}^c$

式中，为滚球垂直于套圈接触面的接触力；为与接触面平行的牵引力；c_br为由于接触区域的润滑引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；为滚球和套圈在接触点处的相对速度；

作用在转子上的合力可以表示为：

$F_r^i=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{F}_{rk}^i+\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{z_k}{\Σ}}{T}_{ci}{F_{kj}}^c+G_r^i$

式中，n为装配在转子上轴承的个数；T_ci为从接触坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第k个轴承的滚球作用在内圈上的合力；为转子的重力；为轴承第j个滚球与套圈之间的接触力；

作用在转子质心的合力矩可表示为：

式中，为由第k个轴承滚球和内圈之间的合力引起的力矩；为套圈质心的合力矩；T_cr为从接触坐标系到转子定体坐标系的转换矩阵；O_r和O_rk分别为在转子定体坐标系和套圈定体坐标系的原点；

2)建立转子刚体单元模型：

第j个刚体单元的平动运动方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_j{\stackrel{\·\·}{x}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^x+F_{{\mathrm{\β}}_j}^x+F_{cj}^x+F_{ej}^x\\ m_j{\stackrel{\·\·}{y}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^y+F_{{\mathrm{\β}}_j}^y+F_{cj}^y+F_{ej}^y\\ m_j{\stackrel{\·\·}{z}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^z+F_{{\mathrm{\β}}_j}^z+F_{cj}^z+F_{ej}^z+G_j\end{array}\right.$

式中，m_j为第j个刚体单元的质量/kg；(x_j,y_j,z_j)为质心O_rj在惯性坐标系中的坐标分量；G_j为刚体单元的重力/N；和由拉伸弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力；和分别是由不平衡质量产生的不平衡力和施加在第j个刚体单元上的外力；

不平衡力可以表示为：

$F_{cj}^i=T_{rj,i}\left\{\begin{array}{c}0\\ m_{uj}{r}_{uj}{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_j^2{\mathrm{cos\α}}_j\\ m_{uj}{r}_{uj}{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_j^2{\mathrm{sin\α}}_j\end{array}\right\}$

式中，m_ujr_uj为不平衡质量和其半径的乘积/kg.m；α_j为不平衡质量的初始方位角/rad；T_rj,i为从刚体单元定体坐标系到惯性坐标系的变换矩阵；为第j个刚体单元姿态角；

假设第j个刚体单元的角速度为ω_j(ω_jx,ω_jy,ω_jz)，则刚体单元的旋转运动方程可以表示为

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{jx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jx}-(I_{jy}-I_{jz}){\mathrm{\ω}}_{jy}{\mathrm{\ω}}_{jz}=M_j^{ax}+M_j^{\mathrm{\β}x}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}x}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}x}+M_{ej}^x\\ I_{jy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jy}-(I_{jz}-I_{jx}){\mathrm{\ω}}_{jz}{\mathrm{\ω}}_{jx}=M_j^{ay}+M_j^{\mathrm{\β}y}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}y}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}y}+M_{ej}^y\\ I_{jz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jz}-(I_{jx}-I_{jy}){\mathrm{\ω}}_{jx}{\mathrm{\ω}}_{jy}=M_j^{az}+M_j^{\mathrm{\β}z}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}z}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}z}+M_{ej}^z\end{array}\right.$

式中，施加在第j个刚体单元上的外部力矩和是由和产生的力矩，可以表示为：

式中，T_i,rj为从惯性坐标系到刚体单元定体坐标系的变换矩阵；I_jx、I_jy、I_jz分别为第j个单元在x,y,z方向上的转动惯量；和由扭转弹簧产生的作用在第j个刚体单元上和第j+1个刚体单元接触面上的相互作用力矩；是由不平衡质量产生的不平衡力矩；M_j和N_j分别为第j个刚体单元左右截面的几何中心点；

3)建立轴承与转子耦合模型：

将滚球和内圈的合力和合力矩直接施加到刚体单元上，得到第k个轴承和第j个刚体单元之间的相互作用关系：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_j{\stackrel{\·\·}{x}}_j+c_{bx}{\stackrel{\·}{x}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^x+F_{{\mathrm{\β}}_j}^x+F_{cj}^x+F_{ej}^x+F_{rk1}^i\\ m_j{\stackrel{\·\·}{y}}_j+c_{by}{\stackrel{\·}{y}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^y+F_{{\mathrm{\β}}_j}^y+F_{cj}^y+F_{ej}^y+F_{rk2}^i\\ m_j{\stackrel{\·\·}{z}}_j+c_{bz}{\stackrel{\·}{z}}_j=F_{{\mathrm{\α}}_j}^z+F_{{\mathrm{\β}}_j}^z+F_{cj}^z+F_{ej}^z+F_{rk3}^i+G_j\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{jx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jx}-(I_{jy}-I_{jz}){\mathrm{\ω}}_{jy}{\mathrm{\ω}}_{jz}+c_{brx}{\mathrm{\ω}}_{jx}=M_j^{ax}+M_j^{\mathrm{\β}x}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}x}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}x}+M_{ej}^x+M_{rk1}^{rk}\\ I_{jy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jy}-(I_{jz}-I_{jx}){\mathrm{\ω}}_{jz}{\mathrm{\ω}}_{jx}+c_{bry}{\mathrm{\ω}}_{jy}=M_j^{ay}+M_j^{\mathrm{\β}y}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}y}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}y}+M_{ej}^y+M_{rk2}^{rk}\\ I_{jz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{jz}-(I_{jx}-I_{jy}){\mathrm{\ω}}_{jx}{\mathrm{\ω}}_{jy}+c_{brz}{\mathrm{\ω}}_{jz}=M_j^{az}+M_j^{\mathrm{\β}z}+M_{Fj}^{\mathrm{\α}z}+M_{Fj}^{\mathrm{\β}z}+M_{ej}^z+M_{rk3}^{rk}\end{array}\right.$

式中，c_bx、c_by和c_bz分别为三个平动方向由轴承引起的阻尼系数/N.s.m^‐1；c_brx、c_bry和c_brz分别为三个转动方向由轴承引起的阻尼系数/N.m.s.rad^‐1。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，步骤(3)中，根据机床主轴轴承‐转子系统动力学耦合模型计算出轴承滚珠与内外圈之间的相对摩擦力F_bi/F_bo与相对速度，通过下式得到：

相对摩擦力公式：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{bi}=\frac{3}{2}{\mathrm{\μQ}}_i\[\frac{2}{3}+\left(T_{i1}-\frac{1}{3}{T_{i1}}^3\right)-\left(T_{i2}-\frac{1}{3}{T_{i2}}^3\right)\]\\ F_{bo}=\frac{3}{2}{\mathrm{\μQ}}_o\[\frac{2}{3}+\left(T_{o1}-\frac{1}{3}{T_{o1}}^3\right)-\left(T_{o2}-\frac{1}{3}{T_{o2}}^3\right)\]\end{array}\right.$

式中，Q_i/Q_o分别为滚球与内/外圈接触力；T_i/T_o分别为与内/外圈零滑动线位置相关的系数；

相对速度公式：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{bi}=v_{ball}-v_{inner}\\ v_{bo}=v_{ball}-v_{outer}\end{array}\right.$

第j各滚球产热功率W^j可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{W}_{bi}^j=F_{bi}\·v_{bi}\\ W_{bo}^j=F_{bo}\·v_{bo}\end{array}\right..$

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤(4)中，将轴承内部各个滚珠的产热量进行叠加，通过下式得到：

$\left\{\begin{array}{c}{W}_{bi}=\underset{j=0}{\overset{z}{\Σ}}{W}_{bi}^j\\ W_{bo}=\underset{j=0}{\overset{z}{\Σ}}{W}_{bo}^j\end{array}\right..$