CN104200019A - 一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，解决了现有重型数控机床热态特性有限元数值分析方法的分析结果不准确、精度低的问题。该数字仿真方法将机床作为一个整体进行热特性数值仿真，再结合对各零部件结合面的接触热阻和静压导轨油膜的产热，有效地提高了分析结果的准确性和精度。本发明分析结果准确性和精度高，为其大范围的推广应用，奠定了坚实的基础。

Description

一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法

技术领域

本发明涉及一种分析方法，具体的说，是涉及一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法。

背景技术

重型数控机床是我国能源、航天航空、大型舰船、汽车等行业发展的急需，是衡量一个国家技术水平和综合国力的战略物资。随着精密机械加工制造技术的发展，关于重型机床机械加工精度的要求越来越高。然而，仅就重型机床的加工精度而言，国内的产品与国际企业的产品还存在较大差距，重型机床精度差距制约了我国制造业的发展，提高重型机床加工精度已经成为亟待解决的我国机械制造业关键问题之一。经过研究分析表明热变形最终导致刀尖点偏移误差占重型机床加工误差的25％～75％。因此，控制热变形误差是机床的加工精度的保证，也是提高其加工精度的关键保障技术。

目前，利用有限元方法对于中小型数控机床的热变形特性分析研究较多，但针对重型数控落地铣镗床整机的的热特性分析研究较少，主要是重型机床所处的工况较为恶劣及多变，外界环境条件与内部发热状况与中小型机床相比更复杂，现有技术并没有专门针对重型机床热变化特性的准确定量计算的成熟、可行的方法。目前的重型数控机床热态特性有限元数值分析方法主要有：

(1)关键零件热特性数值分析方法，主要是针对关键零件(如主轴、主轴箱、滑枕、立柱)进行温度场和变形场数值仿真，或将关键部件的若干零件通过布尔运算粘成一个零件，不考虑零件之间的配合进行数值仿真。该方法仅仅能分析单个零件的温度场和变形场，并且忽略了其他零件对它的影响，数值分析结果精度低，无法预知整体部件或者整机的温度场与变形场情况。

(2)关键部件热特性数值分析方法，主要计算重型数控落地铣镗床的关键部件(如主轴部件、滚珠丝杠部件)的温度场和热变形。该方法首先将零件模型进行装配，并对装配体进行整体求解，其结果精度可大为提高。所以这种是重型数控落地铣镗床热特性数值仿真的常用方法。

(3)整机热特性数值分析方法，主要针对重型数控落地铣镗床整机的温度场和热变形进行数值仿真。该方法首先建立整机的装配体模型，并对三维模型进行简化求解运算，充分考虑零件之间的热传递，各构件之间的约束与配合，确保数值仿真的准确度。这种方法对重型数控落地铣镗床热特性数值仿真也更符合实际情况。

现有技术存在的缺陷主要包括以下三个方面：

(1)忽略静压导轨油膜产热。对于重型数控落地铣镗床，滑座在床身上的移动、主轴箱沿立柱移动和滑枕在主轴箱内移动，均装配有静压导轨。在重型数控落地铣镗床热源分析和计算中，目前上述方法均忽略了静压导轨油膜产热。但在工程实践过程中，以上部件在静压导轨上移动会因为油膜粘性阻力产生热量，由此引发在静压导轨配合处产生温度升高，进而导致静压导轨处的热变形。忽略静压导轨油膜发热，会导致对重型数控落地铣镗床热特性的数值仿真与实际不符，影响其温度场和热变形结果的准确性。

(2)忽略构件结合面换热的热量损失。在重型数控落地铣镗床温度场计算中，装配体的结合面都认为是充分接触没有热量损失的。然而，在亚微观的角度上，任何金属物质的表面都不可能是绝对光滑的。在结合面的热传递方面，实际接触面积仅占理论接触面积的很小一部分(约为1/1000)。因为结合面的非充分接触，实际结合面的接触是通过离散点完成的，在结合面会有明显的温度下降。忽略结合面的热量损失，影响温度场的数值分析结果的精度。

(3)缺乏针对重型数控落地铣镗床整机热特性数值仿真。针对重型数控落地铣镗床，目前常用的研究方法都是针对于机床中关键零部件(如主轴部件、滑枕、立柱)，但是缺少对重型数控落地铣镗床整机的热特性数值仿真的准确方法。对于整机的热特性的数值仿真，考虑的热源分布众多，模型庞大且复杂，数值仿真的效率，但是整机的热特性数值仿真更符合工程实践的实际状况，数值仿真结果更准确和完整，其分析结果可以作为数控系统的实时热变形补偿产生直接参考和借鉴作用。

发明内容

本发明的目的在于克服上述缺陷，提供一种分析结果准确性及精度高的重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法。

本发明针对现有技术的缺陷，主要从以下三方面进行了改进：

一、考虑静压导轨油膜发热，主要针对滑枕、立柱和滑座处装配的静压导轨油膜产热。以上构件在静压导轨上移动会因为油膜粘性阻力产生热量，根据经验公式，可以计算出静压导轨摩擦副在实际工作过程中摩擦功率损失。将静压导轨的油膜产热看作相应部位的热源，进行重型数控落地铣镗床热特性数值仿真，提高数值仿真结果的准确性。

二、考虑结合面的传热系数，主要针对装配体结合面的非充分接触导致热量损失的状况。影响结合面的接触热传导过程的因素有很多，通常结合面的传热系数通常由实验确定，进一步的，可根据重型数控落地铣镗床关键零部件的加工工艺和装配过程的公差状况，同时参考工艺系统常用表面间的结合面换热系数取值表，可确定机床中各结合面的换热系数经验取值。换热系数经验取值确定后，可通过有限元软件进行接触热阻的模拟，并在模型接触属性中设置换热系数值，其结果较为真实地反映了模型配合处的热流量传导状况。

三、以重型数控落地铣镗床整机作为研究对象，主要是将重型数控落地铣镗床作为整体进行热特性数值仿真，而非现有技术中，仅仅单独考虑某个关键零部件的温度场和变形场。通过充分考虑各构件的相互配合和约束，考虑各热源之间的相互影响以及热量在各构件之间的传递，对于重型数控落地铣镗床热特性的数值仿真指标上考虑更加全面和完整，其温度场和热变形的数值仿真结果准确度更高。

为了实现上述目的，，本发明采用了技术方案如下：

一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，包括以下步骤：

(1)确定重型数控落地铣镗床的热源分布，分析机床与环境之间的热交换；

(2)在三维建模软件PRO/E中建立重型数控落地铣镗床装配体模型，并对装配体模型进行简化；

(3)通过PRO/E和有限元软件workbench的无缝接口，将简化后的装配体模型导入有限元软件workbench中，并进行网络划分；

(4)根据重型数控落地铣镗床中各个轴承的径向和轴向刚度计算等效圆柱环的等效径向弹性模量和轴向弹性模量，并将等效径向弹性模量和轴向弹性模量导入workbench中；

(5)根据重型数控落地铣镗床的材料设置零部件物理性能参数，计算步骤(1)中所确定的各热源大小和对流传热系数，将计算结果作为边界条件施加在机床上，然后利用有限元软件workbench对重型数控落地铣镗床分别进行稳态温度场分析和瞬态温度场分析，得出重型数控落地铣镗床温度分布和温升的变化情况，为重型数控落地铣镗床的热位移分析奠定基础；

(6)根据重型数控落地铣镗床的实际安装位置，在床身底面施加固定约束，将重型机床温度场分析的温度作为载荷，采用间接法，基于热—结构耦合分析重型数控落地铣镗床的变形场，通过在有限元软件workbench中求解计算，得到重型数控落地铣镗床的热变形场云图。

其中，所述步骤(3)中装配体模型的简化内容如下：

(31)去除零件中对分析结果影响不大的孔，去掉螺钉和螺栓孔；

(32)只考虑机床的热变形，而不考虑结构中热应力影响，故去除大型铸件的倒角和小的阶梯孔，忽略结构中影响小的台阶；

(33)轴承和滚珠丝杠副结构复杂，工作原理类似，向有限元结构转化时，将轴承和滚珠丝杠副简化成一个相同尺寸的等截面圆柱体；有限元分析中材料属性的弹性模量用等效弹性模量代替，以此降低模型简化对计算精度的影响；

(34)去除主轴部件内部的拉刀机构；

(35)去除机床各进给传动电机。

考虑到重型数控落地镗铣床整机装配体模型庞大结构复杂，故网络划分采用自由分网的方式，对于关键的零件(如主轴，滑枕)控制网格大小，提高网格质量。

所述等效圆柱环的弹性模量的确定方法为：

径向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型外圈施加全约束，并在轴与轴承内圈定义接触类型；其次，对轴施加径向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式获得轴承有限元计算径向刚度；当轴承有限元计算径向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的径向等效弹性模量；

轴向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型的一侧约束自由度，轴承模型的外圈约束出轴向以外的自由度；其次，对轴承模型的另外一侧施加轴向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承轴向的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式，获得轴承有限元计算轴向刚度；当滚动轴承有限元计算轴向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的轴向等效弹性模量。

进一步的，所述步骤(5)中机床承受的热载荷还包括由于重型数控落地铣镗床各零部件结合面不完全接触而产生的热量损失。具体的说，通过分析重型数控落地铣镗床的各零件的结合面的加工和装配工艺，确定各结合面的换热系数，然后通过采用在有限元软件中对装配体模型的接触属性设置换热系数的方法仿真热量损失。

更进一步的，重型数控落地铣镗床零部件之间的接触类型定义如下：主轴轴承与主轴及轴套之间的接触为绑定，立柱与滑座之间的接触类型为绑定，其余零部件之间接触类型均为不分离。

本发明中，所确定的热源分布包括：滚动轴承产热、滚珠丝杠副产热、电机产热、静压导轨油膜发热，进一步的，热源和对流传热系数的计算方式如下：

a.滚动轴承产热计算

Q₁＝1.047·M·n   (1)

式中：n为轴承转速，单位为r/min；M为滚动轴承摩擦力矩，单位为N·m，其中，M＝M₀+M₁，M₀反映和轴承所受载荷无关的损失的摩擦力矩；M₁反映与轴承所受载荷滑动摩擦相关的损失的摩擦力矩；

b.滚珠丝杠副产热计算

Q₂＝1.2π·n·M   (2)

式中：n为滚珠丝杠转速，单位为r/min；M为螺母的摩擦力矩，单位为N·m；在实际工程应用中，滚珠丝杠副近一般被看作仅有轴向负载下的向心推力球轴承。对于滚珠丝杠副，螺母的摩擦力矩M由丝杠的驱动力矩M_D与滚珠螺旋的阻力矩M_P组成，即M＝M_D+M_P；

c.电机产热计算

$\mathrm{\Φ}=N_m(1-\mathrm{\η})=\left(\frac{M_{m}n}{9550}\right)\left(\frac{1-\mathrm{\η}}{\mathrm{\η}}\right)---\left(3\right)$

式中：N_m是驱动电机的功率，单位为W；η是驱动电机的效率；M_m为驱动电机输出力矩，单位为N·m；n为驱动电机转速，单位为r/min；

d.静压导轨油膜发热计算

支承滑动面上的剪切应力为

τ＝μν/h   (4)

支承滑动面上的摩擦力为

F_f＝Aτ＝μAν/h   (5)

摩擦功率损失为

ΔP_f＝F_fτ＝μAν²/h   (6)

式中：μ为油液的动力粘度，单位为Pa·s；A为密封带部分的支承面积，单位为m²；滑枕、立柱和滑座处的静压导轨油膜产热的大小均由式(4)至(6)计算；

e.对流传热系数计算

$N_u=\frac{\mathrm{\αd}}{\mathrm{\λ}}---\left(7\right)$

式中：N_u为努谢尔特准则数；α为对流传热系数，单位为W/(m²·℃)；λ为流体的导热系数，单位为W/(m·℃)；d为放热壁面的定型尺寸，单位为m。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

(1)本发明将重型数控落地铣镗床作为一个整体进行热特性数值仿真，避免了单独针对关键零部件热特性数值仿真的局限性，充分考虑机床复杂的构建配合和热源分布，更准确的预测重型数控落地铣镗床整体的温度及热变形趋势，可为控制重型数控机床的热变形误差比如结构优化改进、关键部位温度控制等可靠的技术数据。

(2)本发明针对重型数控落地铣镗床温度场和热变形数值仿真时，通过计算滑枕、立柱和滑座处的静压导轨油膜产热，充分考虑重型数控落地铣镗床在工作工程中的热源，减少理论分析中不合理简化热源产生的对重型数控落地铣镗床温度场和热变形数值仿真结果分析的影响，提高了重型数控落地铣镗床热特性数值仿真的准确性。

(3)本发明通过分析重型数控落地铣镗床的各零件的结合面的加工和装配工艺，确定各结合面的换热系数；然后，采用在有限元软件中对装配体模型的接触属性设置换热系数的方法，其仿真结果能直接反映模型配合处的热流量传导状况，有效地克服了忽略结合面的接触热阻对重型数控落地铣镗床的热特性数值分析结果不符合工程实际的缺点，进而提高了温度场数值分析结果的精度。

附图说明

图1为TK6916DA热源分布示意图。

图2为对流换热类型示意图。

附图中所对应的附图标记名称如下：1-主轴箱进给驱动系统，2-主传动系统，3-镗轴进给系统，4-滑枕进给系统，5-立柱进给系统。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明。本发明的实施方式包括但不限于下列实施例。

实施例

本发明提供了一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，该数字仿真方法将机床作为一个整体进行热特性数值仿真，再结合对各零部件结合面的接触热阻和静压导轨油膜的产热，有效地提高了分析结果的准确性和精度。下面以TK6916DA型重型数控落地铣镗床为例，结合该方法进行详解：

首先，分析TK6916DA的热源分布，如图1所示，其热源分布包括：主轴轴承摩擦产热、滑座进给传动摩擦产热、立柱静压导轨产热和主轴箱部件产热。分析TK6916DA与环境之间的热交换，如图2所示。

其次，根据以下公式计算各热源分布的产热：

a.滚动轴承产热计算

Q₁＝1.047·M·n   (1)

b.滚珠丝杠副产热计算

Q₂＝1.2π·n·M   (2)

c.电机产热计算

$\mathrm{\Φ}=N_m(1-\mathrm{\η})=\left(\frac{M_{m}n}{9550}\right)\left(\frac{1-\mathrm{\η}}{\mathrm{\η}}\right)---\left(3\right)$

d.静压导轨油膜发热计算

ΔP_f＝F_fτ＝μAν²/h   (6)

e.对流传热系数计算

$N_u=\frac{\mathrm{\αd}}{\mathrm{\λ}}---\left(7\right)$

根据TK6916DA的二维图纸，在三维建模软件PRO/E中建立其装配体模型，并对装配体模型进行合理的简化；其简化内容包括：1、去除零件中的小孔和对分析结果影响不大的孔，去掉螺钉和螺栓孔；2、只考虑机床的热变形，而不考虑结构中热应力影响，故去除大型铸件的倒角，小的阶梯孔，忽略结构中影响小的台阶；3、轴承和滚珠丝杠副结构复杂，工作原理类似，向有限元结构转化时，将轴承和滚珠丝杠副简化成一个相同尺寸的等截面圆柱体；有限元分析中材料属性的弹性模量用等效弹性模量代替，以此降低模型简化对计算精度的影响；4、去除主轴部件内部的拉刀机构；5、去除机床各进给传动电机。

通过PRO/E和有限元软件workbench的无缝接口，将简化后的装配体模型导入有限元软件workbench中，并进行自由分网。

然后，根据各个轴承的径向和轴向刚度计算等效圆环的等效径向和轴向弹性模量，并在workbench中修改各个等效圆环的弹性模量。其中，圆柱环的弹性模量的确定方法为：

径向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型外圈施加全约束，并在轴与轴承内圈定义接触类型；其次，对轴施加径向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式，获得轴承有限元计算径向刚度；当轴承有限元计算径向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的径向等效弹性模量；

轴向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型的一侧约束自由度，轴承模型的外圈约束出轴向以外的自由度；其次，对轴承模型的另外一侧施加轴向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承轴向的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式，获得轴承有限元计算轴向刚度；当滚动轴承有限元计算轴向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的轴向等效弹性模量。

根据TK6916DA的材料设置零部件物理性能参数，根据计算的热源大小和对流传热系数，确定机床承受的热载荷，求解运算，对TK6916DA分别进行稳态温度场分析和瞬态温度场分析。

根据TK6916DA的实际安装位置，在床身底面施加固定约束，采用间接法，基于热—结构耦合分析TK6916DA的热变形，将热载荷施加在机床上，通过求解计算，可得到机床热变形场云图。

按照上述实施例，便可很好地实现本发明。值得说明的是，基于上述设计原理的前提下，为解决同样的技术问题，即使在本发明所公开的结构基础上做出的一些无实质性的改动或润色，所采用的技术方案的实质仍然与本发明一样，故其也应当在本发明的保护范围内。

本发明公开了一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，解决了现有重型数控机床热态特性有限元数值分析方法的分析结果不准确、精度低的问题。该数字仿真方法将机床作为一个整体进行热特性数值仿真，再结合对各零部件结合面的接触热阻和静压导轨油膜的产热，有效地提高了分析结果的准确性和精度。本发明分析结果准确性和精度高，为其大范围的推广应用，奠定了坚实的基础。

Claims (8)

1.一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)确定重型数控落地铣镗床的热源分布，分析机床与环境之间的热交换；

(2)在三维建模软件PRO/E中建立重型数控落地铣镗床装配体模型，并对装配体模型进行简化；

(3)通过PRO/E和有限元软件workbench的无缝接口，将简化后的装配体模型导入有限元软件workbench中，并进行网络划分；

(4)根据重型数控落地铣镗床中各个轴承的径向和轴向刚度计算等效圆柱环的等效径向弹性模量和轴向弹性模量，并将等效径向弹性模量和轴向弹性模量导入workbench中；

(5)根据重型数控落地铣镗床的材料设置零部件物理性能参数，计算步骤(1)中所确定的各热源大小和对流传热系数，将计算结果作为边界条件施加在机床上，然后利用有限元软件workbench对重型数控落地铣镗床分别进行稳态温度场分析和瞬态温度场分析，得出重型数控落地铣镗床温度分布和温升的变化情况，为重型数控落地铣镗床的热位移分析奠定基础；

(6)根据重型数控落地铣镗床的实际安装位置，在床身底面施加固定约束，将重型机床温度场分析的温度作为载荷，采用间接法，基于热—结构耦合分析重型数控落地铣镗床的变形场，通过在有限元软件workbench中求解计算，得到重型数控落地铣镗床的热变形场云图。

2.根据权利要求1所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，所述步骤(3)中装配体模型的简化内容如下：

(31)去除零件中的孔，去掉螺钉和螺栓孔；

(32)去除大型铸件的倒角、阶梯孔，忽略结构中的台阶；

(33)将轴承和滚珠丝杠副简化成一个相同尺寸的等截面圆柱体；

(34)去除主轴部件内部的拉刀机构；

(35)去除机床各进给传动电机。

3.根据权利要求1所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，所述网络划分的方法为自由分网。

4.根据权利要求1所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，所述等效圆柱环的弹性模量的确定方法为：

径向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型外圈施加全约束，并在轴与轴承内圈定义接触类型；其次，对轴施加径向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式，获得轴承有限元计算径向刚度；当轴承有限元计算径向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的径向等效弹性模量；

轴向等效弹性模量的确定

首先，在workbench结构分析模块中，对轴承模型的一侧约束自由度，轴承模型的外圈约束出轴向以外的自由度；其次，对轴承模型的另外一侧施加轴向集中载荷，以材料参数中的弹性模量为输入参数，轴截面质心的位移为输出参数，进而确定轴承轴向的刚度变化；再其次，根据刚度计算公式，获得轴承有限元计算轴向刚度；当滚动轴承有限元计算轴向刚度与简化前轴承刚度之差最小时，轴承对应的弹性模量即为轴承的轴向等效弹性模量。

5.根据权利要求1所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，所述步骤(5)中机床承受的热载荷还包括由于重型数控落地铣镗床各零部件结合面不完全接触而产生的热量损失。

6.根据权利要求5所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，仿真热量损失的方法如下：通过分析重型数控落地铣镗床的各零件的结合面的加工和装配工艺，确定各结合面的换热系数，然后通过采用在有限元软件中对装配体模型的接触属性设置换热系数的方法仿真热量损失。

7.根据权利要求6所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，重型数控落地铣镗床零部件之间的接触类型定义如下：主轴轴承与主轴及轴套之间的接触为绑定，立柱与滑座之间的接触类型为绑定，其余零部件之间接触类型均为不分离。

8.根据权利要求1所述的一种重型数控落地铣镗床热特性数值仿真方法，其特征在于，所述热源包括：滚动轴承产热、滚珠丝杠副产热、电机产热、静压导轨油膜发热，热源和对流传热系数的计算方式如下：

a.滚动轴承产热计算

Q₁＝1.047·M·n   (1)

式中：n为轴承转速，单位为r/min；M为滚动轴承摩擦力矩，单位为N·m，其中，M＝M₀+M₁，M₀反映和轴承所受载荷无关的损失的摩擦力矩；M₁反映与轴承所受载荷滑动摩擦相关的损失的摩擦力矩；

b.滚珠丝杠副产热计算

Q₂＝1.2π·n·M   (2)

式中：n为滚珠丝杠转速，单位为r/min；M为螺母的摩擦力矩，单位为N·m；

c.电机产热计算

$\mathrm{\Φ}=N_m(1-\mathrm{\η})=\left(\frac{M_{m}n}{9550}\right)\left(\frac{1-\mathrm{\η}}{\mathrm{\η}}\right)---\left(3\right)$

式中：N_m是驱动电机的功率，单位为W；η是驱动电机的效率；M_m为驱动电机输出力矩，单位为N·m；n为驱动电机转速，单位为r/min；

d.静压导轨油膜发热计算

支承滑动面上的剪切应力为

τ＝μν/h   (4)

支承滑动面上的摩擦力为

F_f＝Aτ＝μAν/h   (5)

摩擦功率损失为

ΔP_f＝F_fτ＝μAν²/h   (6)

式中：μ为油液的动力粘度，单位为Pa·s；A为密封带部分的支承面积，单位为m²；

e.对流传热系数计算

$N_u=\frac{\mathrm{\αd}}{\mathrm{\λ}}---\left(7\right)$

式中：N_u为努谢尔特准则数；α为对流传热系数，单位为W/(m²·℃)；λ为流体的导热系数，单位为W/(m·℃)；d为放热壁面的定型尺寸，单位为m。