CN106405536A - 一种mimo雷达多目标跟踪资源管理方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于MIMO雷达技术领域，具体提供一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法；首先将可控参数组合进行遍历，判断其是否能满足检测概率与波束指向的约束，从而形成MIMO雷达控制向量可行集；接下来在可行集中每个控制向量下，计算目标的预测跟踪误差协方差与期望协方差之间的偏差代价与能量资源消耗代价；综合两种代价，依据综合代价最小的准则获得最优雷达控制向量。在多目标环境下，本发明可以充分发挥MIMO雷达利用单个波束照射多个目标的优势，增加对各目标的采样次数，有效提高雷达的时间资源利用率并减小目标的实际跟踪误差协方差与期望协方差之间的偏差，并且该方法能够通过调整期望的跟踪误差协方差来控制方法的跟踪精度。

Description

一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法

技术领域

本发明属于MIMO雷达技术领域，具体涉及一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法。

背景技术

MIMO雷达是目前广泛研究和发展的一种新体制雷达。MIMO雷达可以对阵列天线进行灵活的子阵划分，使其既可以发射低增益的宽波束，也可以发射高增益的窄波束，或者介于两者之间，因此MIMO雷达在干扰抑制、目标检测性能和目标参数估计性能等方面具有比其他雷达更好的性能。为有效分配MIMO雷达的各类资源，使得雷达系统资源和整个任务负载相匹配，以充分发挥雷达性能，就需要对MIMO雷达实施有效的调度管理。对于MIMO雷达而言，其灵活可变的子阵个数使雷达发射波束更加多样化，但同时也使MIMO雷达的资源管理更加复杂。

MIMO雷达跟踪资源管理问题是指在进行目标跟踪时，如何有效地分配雷达系统的时间-能量资源，其中涉及MIMO雷达的工作方式、波形选择、波束调度以及子阵划分。现有的雷达跟踪资源管理研究成果大多集中在控阵雷达。如文献：“W.H.Gilson.Minimum powerrequirements for tracking[C].IEEE International Radar Conference,New York,1990:417-421”中W.H.Gilson在充分考虑了目标机动特性的前提下，给出了跟踪方式下系统所消耗的最小功率与目标跟踪精度、跟踪采样周期以及信噪比之间的函数关系。又如文献：“Krishnamurthy V,Evans R J.Hidden Markov model multiarm bandits:amethodology for beam scheduling in multitargettracking[J].IEEE Transactionson Signal Processing,2001,49(12):2893-2908”中V.Krishnamurthy等基于部分观测的马尔可夫决策模型提出了一种多目标跟踪中的波束调度方法，该方法将相控阵雷达多目标跟踪管理问题转化为一种隐马尔可夫Multiarm Bandit问题，以此提出了一种多目标跟踪下的资源分配方法。又如文献：“T.Kirubarajan,Y.Bar-Shalom,W.D.Blair,et al.IMMPDFfor radar management and tracking benchmark with ECM[J].IEEE Transactions onAerospace and Electronic Systems,1998,34(4):1115-1134”中Kirubarajan等人研究了在虚警和电子干扰环境下雷达跟踪时的资源管理问题，采用恒虚警概率的方法自适应选择检测门限和雷达波形，即要求回波信噪比超过一定的门限，而回波信噪比是与目标的RCS、距离和发射波形有关的量。又如文献：“卢建斌,肖慧,席泽敏,等.相控阵雷达波束波形联合自适应调度方法[J].系统工程与电子技术,2011,33(1):84-88”中提出了一种基于协方差控制思想的联合波束波形自适应调度方法，对多个目标设置期望的协方差，计算当前时刻跟踪偏差的代价和波形能量的代价，来确定下个时刻波束的工作方式和选择的波形。又如文献：“张贞凯,汪飞,周建江等.多目标跟踪中自适应时间资源调度[J].航空学报,2011,32(3):522-530”中提出的一种基于IMMPDA方法的自适应时间资源调度方法，首先定义了每个目标的期望跟踪精度，用灰色关联度理论设计目标函数，用粒子群方法求解模型中的采样周期和驻留时间。以上方法中均针对相控阵雷达，对不同的任务参数进行了优化配置。

目前，针对MIMO雷达跟踪资源管理的研究尚在起步阶段，研究成果较少，且大多为单目标场景下的跟踪资源管理；但由于MIMO雷达波束宽度跨度范围较大，可以通过单个波束同时照射多个目标，在多目标跟踪背景下更具有优势。所以本发明提出一种多目标环境下MIMO雷达跟踪资源管理方法，联合MIMO雷达的工作方式、波束调度、子阵划分以及波形选择来分配雷达系统的时间-能量资源。基于协方差控制的思想，综合考虑目标的跟踪精度以及雷达资源消耗，通过使其综合代价最小化，获得最优的参数集合。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法，该方法对每个目标预设期望的跟踪精度，在保证目标的检测概率以及波束指向满足约束的条件下，通过使目标的跟踪偏差与资源消耗的综合代价最小化获得最优的调度参数集合，包括雷达的工作方式、波形选择、波束指向以及子阵个数。

首先对本发明常用的概念进行解释：

MIMO雷达工作方式：MIMO雷达工作方式表示通常情况下，MIMO雷达监视区域内有多个目标存在，因此MIMO雷达必须在发现新目标的同时维持对已知目标的跟踪，即MIMO雷达在某一时刻的工作方式可能为搜索也可能为跟踪。而在跟踪方式下，由于MIMO雷达可以通过单个波束同时照射多个目标，随着对目标选择的不同，在跟踪方式下的MIMO雷达的工作方式也将分为多种。例如：当前目标个数为2时，MIMO雷达工作方式如下：

工作方式	0	1	2	3
					含义	搜索	只跟踪目标1	只跟踪目标2	同时跟踪目标1,2

当目标个数为D时，MIMO雷达的工作方式集合为：其中表示从D个目标中任取1个目标的所有组合，其余以此类推。

本发明的技术方案为：

一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法，

假设当前跟踪时刻为t_k，当前跟踪目标个数为D，t_k时刻之前所有目标的滤波更新状态为{t_k(i),X(t_k(i)),P(t_k(i))}，其中t_k(i)为第i个目标的更新时刻，且t_k(i)≤t_k，i＝1,2,…,D；X(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态向量，P(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态误差协方差矩阵。

假设MIMO雷达工作方式的可选参数集合为I_S，发射波形可选参数集合为雷达波形库中所有发射波形组成的集合、记为J，子阵划分个数可选参数集合为S；假设t_k时刻雷达的控制向量ν(t_k)，现在需要确定t_k+1时刻MIMO雷达的最优控制矢量ν_opt(t_k+1)，方法步骤如下：

步骤一：遍历子阵划分个数可选参数集合，在每个子阵划分个数参数s下，确定波束指向可选参数集合U_S；雷达波束指向的可选参数集合U_S为：

当波束内仅包含一个目标时，预测波束指向为u_pre，在区间[u_pre-0.5φ,u_pre+0.5φ]内以间隔Δu遍历寻找最佳波束指向；当波束内包含目标个数大于1时，将各目标波束指向合成向量u_pre，在区间[minu_pre,maxu_pre]内以间隔Δu遍历寻找最佳波束指向；其中，φ为半功率波束宽度，M为雷达阵元总数；

步骤二：遍历可控参数{I_S,J,U_S,S}的组合，每种可控参数组合形成雷达控制向量ν(t_k+1)＝(I,j,u_s,s)，I∈I_S，j∈J，u_s∈U_S，s∈S，遍历所有控制向量判断其是否满足约束：

其中，第一个约束表示在控制向量ν(t_k+1)下目标的检测概率要高于门限，P_d ^TH表示目标检测概率的门限，P_d(ν(t_k+1))表示控制向量ν(t_k+1)下目标的检测概率；例如，当目标的RCS服从Swerling I型分布时，其检测概率计算如下：

其中，P_fa为虚警概率，SNR(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下目标的信噪比：

其中，M为雷达阵元数，P_t为信号总峰值功率，η_e为天线有效面积占空比，为t_k时刻目标平均RCS的估计值，λ为波长，τ^j为波形j的脉宽，Rⁱ为目标i距雷达的径向距离，N₀为噪声功率谱密度，N₀＝kT₀F₀，k为波尔兹曼常数，T₀为雷达接收机温度，F₀为雷达接收机噪声系数，s为MIMO雷达子阵个数，为雷达的增益方向图：

其中，c₀＝-2ln2，u_s为天线波束指向，u_pre为目标的预测波束指向，φ为半功率波束宽度。第二个约束表示要求目标所在位置在波束指向的半功率波束宽度内；

步骤三：对于满足约束式(2)的控制向量ν(t_k+1)，计算其在t_k+1时刻下对各目标的预测跟踪误差协方差：

其中，Pⁱ(t_k+1|t_k,ν(t_k+1))表示当控制矢量为ν(t_k+1)时，目标i的预测跟踪误差协方差；

如果表示t_k+1时刻不会对目标i进行滤波，则对其跟踪误差协方差进行预测：

其中，为目标i的采样间隔， 为目标i的状态转移矩阵，Pⁱ(t_k(i))为目标i在t_k(i)时刻的估计误差协方差矩阵，为目标i的输入分布矩阵，Qⁱ(t_k(i))为目标i的系统状态噪声协方差矩阵；

如果i∈I，表示t_k+1时刻将对目标i进行跟踪，则目标i的预测的估计误差协防差矩阵Pⁱ(ν(t_k+1))为：

其中，K(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下的卡尔曼增益矩阵：

其中，Hⁱ为观测矩阵，R(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下的观测噪声协方差矩阵，

R(ν(t_k+1))＝J·diag(σ^r(ν(t_k+1))²,σ^b(ν(t_k+1))²,σ^e(ν(t_k+1))²)·J^T (10)

其中，从球坐标系到直角坐标系的Jacobian转换矩阵，σ^r(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下径向距离测量的标准差，σ^b(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下方位角测量的标准差，σ^e(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下俯仰角测量的标准差，其计算如下：

其中，Δr(ν(t_k+1))为距离分辨力，与为波束宽度，常数c的典型取值为1.57；

步骤四：对于满足约束式(2)的控制向量ν(t_k+1)，计算其在t_k+1时刻下跟踪误差偏差与雷达资源消耗的综合代价值C(ν(t_k+1))：

其中，为目标跟踪误差与其期望值的偏差代价，其计算如下：

D表示目标个数，f(A,B)表示矩阵A与矩阵B之间的差异性度量，可取矩阵2-范数，列范数，行范数等。E_j工作在波形j的资源消耗；ψ{x_m}为归一化函数，

ψ{x_m}＝x_m/max(x_m) (14)

α和β分别为跟踪偏差代价和资源消耗代价归一化后的加权值，且α+β＝1；

步骤五：按照综合代价最小的准则确定t_k+1时刻MIMO雷达的控制向量：

步骤六：若I_opt＝0，则在t_k+1时刻执行搜索任务；否则利用最优波形j_opt，最优子阵个数s_opt以及最优波束指向更新集合I_opt中的目标的状态以及估计目标平均RCS；假设目标的RCSσ(t_k)服从均值为σ_ave的Swerling型分布，即：

E{σ(t_k)}＝σ_ave (16)

t_k+1时刻的目标RCS值可依据雷达方程进行推算，基于此观测值，可设计如下的α滤波器对目标RCS均值进行估计：

上式中，为t_k+1时刻目标RCS的均值估计，α_t为滤波器增益；

步骤七：令k＝k+1，返回步骤一，重复以上步骤直至跟踪过程结束。

本发明的工作原理是：

多目标场景下，MIMO雷达在每个调度时刻，都需要决策执行跟踪任务还是执行搜索任务，而在执行跟踪任务时，需要从多个目标中选择要进行跟踪的目标，这对应着MIMO雷达的工作方式选择问题；同时，MIMO雷达一般都有多种工作波形，每次照射时采用哪种波形对应着MIMO雷达的波形选择问题；由于MIMO雷达的子阵个数可以灵活划分，MIMO雷达需要决策是采用单个宽波束照射到多个目标还是采用窄波束依次完成对多个目标的照射，这对应着MIMO雷达的子阵划分问题；此外，在对目标进行跟踪是时确定雷达的波束指向也是MIMO雷达需要解决的问题；所以MIMO雷达在每个调度时刻的可控参数有：工作方式，波形选择，子阵划分个数，波束指向。

假设当前跟踪时刻为t_k，当前跟踪目标个数为D，t_k时刻之前所有目标的滤波更新状态为{t_k(i),X(t_k(i)),P(t_k(i))}，其中t_k(i)为第i个目标的更新时刻，且t_k(i)≤t_k，i＝1,2,…,D；X(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态向量，P(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态误差协方差矩阵。假设MIMO雷达工作方式的可选参数集合为I_S，发射波形可选参数集合为J，波束指向可选参数集合为U_S，子阵划分个数可选参数集合为S；假设t_k时刻雷达的控制向量ν(t_k)，现在需要确定t_k+1时刻MIMO雷达的最优控制矢量I_opt∈I_S，j_opt∈J，s_opt∈S。

MIMO雷达对目标进行跟踪时，所选控制向量必须使目标检测概率高于一定的门限；同时需要对波束指向进一步约束，要求目标所在位置在波束指向的半功率波束宽度内，两个约束条件如式(2)所示。

在MIMO雷达对目标的跟踪中，通常都希望能够调节目标的跟踪精度，采用协方差控制技术可以有效的对目标跟踪精度进行控制。所谓协方差控制技术，就是对每个目标预先设定一个期望的跟踪精度，即期望协方差阵，然后调节雷达的可控参数在某种度量及准则下使得目标实际协方差逼近其期望值。另一方面，目标跟踪精度越高往往意味着雷达所消耗的系统资源越高，比如跟踪采样率的提高以及波形精度的提升可以提高目标的跟踪精度但同时会增加雷达的时间资源与能量资源的消耗。所以在决策雷达的可控参数时需要综合考虑目标跟踪时协方差控制效果以及雷达的资源消耗。

t_k+1时刻下MIMO雷达跟踪误差偏差与能量资源消耗的综合代价如式(12)所示，式中表示在控制矢量ν(t_k+1)下目标的预测的估计误差协方差与期望协方差的差异度；针对F[·]的选取可以有协方差偏差均值和最大协方差偏差两种准则，分别记为F-1准则和F-2准则，在这两种准则下F[·]的表达式分别为：

F-1准则：

F-2准则：

其中函数f(A,B)表示的是矩阵A和矩阵B之间的差异性度量，它可以根据需要选组多种不同的具体表示形式，如常用的矩阵2-范数、列范数、行范数、Frobenius范数、矩阵的迹以及矩阵的奇异值分解等；式(12)中，E_j为工作在波形j的资源消耗，这里表示为雷达波形的平均功率；由于跟踪误差协方差偏差值和波形功率是代价函数中两个完全不同的因素，量纲也不相同，不能对其直接进行加权求和，所以设计归一化函数ψ{x_m}＝x_m/max(x_m)对所有自变量的对最大值max(x_m)进行归一化处理；则MIMO雷达跟踪资源管理方法的控制向量最优调度模型为：

根据t_k+1时刻MIMO雷达总代价最小的原则，可以得到MIMO雷达的最优控制向量，如式(15)所示；式(20)中，目标的预测跟踪误差协方差的计算如式(6)-(10)所示；检测概率P_d(ν(t_k+1))的计算如式(3)所示。

综上所述，本发明提供一种多目标环境下MIMO雷达跟踪资源管理方法，根据跟踪误差偏差与雷达资源消耗的综合代价值的准则，每个时刻对MIMO雷达的工作方式、波形选择、波束指向以及子阵划分进行最优分配。本发明提出的方法首先将可控参数组合进行遍历，判断其是否能满足检测概率与波束指向的约束，从而形成MIMO雷达控制向量可行集；接下来在可行集中每个控制向量下，计算目标的预测跟踪误差协方差与期望协方差之间的偏差代价与能量资源消耗代价；综合两种代价，依据综合代价最小的准则获得最优雷达控制向量。在多目标环境下，该方法可以充分发挥MIMO雷达利用单个波束照射多个目标的优势，增加对各目标的采样次数，有效提高雷达的时间资源利用率并减小目标的实际跟踪误差协方差与期望协方差之间的偏差，并且该方法能够通过调整期望的跟踪误差协方差来控制方法的跟踪精度。

附图说明

图1为目标的真实运动轨迹。

图2为X方向位置上的实际滤波误差协方差。

图3为Y方向位置上的实际滤波误差协方差。

图4为MIMO雷达工作方式。

图5为MIMO雷达波形编号。

图6为MIMO雷达波束指向。

图7为MIMO雷达子阵划分个数。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。

基于本发明详细技术方案，在每个时刻获得MIMO雷达的最优控制向量，同样场景下，通过与相控阵雷达的对比，来展现本发明的效果。

假定雷达的工作参数如下表所示，

表1雷达工作参数

假设雷达跟踪两个在平面内做匀速运动的目标，目标1的运动时间为0-100s，初始位置为[122,122]km，速度为[45,50]m/s；目标2的运动时间为20-100s，初始位置为[123,124]km，速度为[70,0]m/s。两个目标在的运动轨迹如图1所示。两个目标的过程噪声自相关矩阵均为：

两个目标均为Swerling I型分布目标，其RCS均值均为1m²。

MIMO雷达工作方式的可选参数集合I_S＝{0,1,2,3}，工作方式0表示MIMO雷达处于搜索方式，工作方式1表示MIMO雷达对目标1进行跟踪，工作方式2表示MIMO雷达对目标2进行跟踪，工作方式3表示同时对目标1，2进行跟踪。

MIMO雷达发射波形可选参数如下表所示，其中τ_e为脉冲宽度，τ_s为脉冲压缩宽度，Δr为距离分辨率，E为每种波形的发射能量。其中波形编号为7的波形为搜索波形。

表2雷达发射波形参数

在仿真中，雷达波束指向的可选参数集合U_S的离散间隔为Δu＝0.002rad。

雷达子阵划分个数的可选参数集合为：

S＝{1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048} (22)

目标的检测概率门限设置为0.95，虚警概率为10^-6，MIMO雷达执行搜索或跟踪任务的间隔为0.1s，代价函数中协方差偏差与能量消耗的代价分别为α＝0.9，β＝0.1。对于代价函数中的矩阵度量这里只考虑X与Y方向位置上的跟踪误差协方差偏差。

其中，表示矩阵在(1,1)位置上的元素，其余类似。目标1与目标2在X和Y方向位置上的期望跟踪误差方差均为30m。

绘制目标1与目标2在X和Y方向位置上的实际滤波误差方差变化曲线，P₁₁和P₃₃分别表示目标跟踪时在X方向与Y方向位置上的方差，如图2与图3所示。从图中可以看出，本发明提出的方法可以有效地控制目标的跟踪精度，目标1与目标2的跟踪协方差控制基本上都达到了预期的要求。

绘制单次蒙特卡洛下MIMO雷达的控制向量变化曲线。图4给出了方法对MIMO雷达工作方式的控制结果，图中Y轴的’0’表示执行搜索任务，’1’表示执行对目标1的跟踪，’2’表示执行对目标2的跟踪，’3’同时执行对目标1与目标2的跟踪。从图中可以看出，MIMO雷达可以实现同时对两个目标的跟踪。

图5为方法对MIMO雷达波形选择的结果，图中Y轴的’1-6’代表雷达的6种波形，’7’表示搜索波形。从图中可以看出，随着目标与雷达径向距离的逐渐增大，MIMO雷达所选择的波形精度呈现逐渐增高的趋势。

图6为方法对波束指向调度的结果，图中·点表示目标1的波束指向，+点表示目标2的波束指向，·点与+点的重合表示该波束同时对两个目标进行跟踪。

图7为方法对子阵划分个数选择的结果。

为了进一步展示本发明提出方法的性能，将本发明提出的方法与相控阵雷达的跟踪性能进行对比，仿真场景参数设置与MIMO雷达相同，区别在于相控阵雷达子阵个数固定为1，其每个时刻只对一个目标进行跟踪，波束指向为目标的预测波束指向。

从以下四个方面对其进行评估：对跟踪精度的控制、系统能量资源消耗、跟踪偏差与资源消耗的综合代价、以及对系统时间资源利用率。依次采用以下四个指标：

各目标平均协方差控制失调率：

其中，N为蒙特卡洛次数，K_n为第n次蒙特卡洛中执行跟踪任务的调度次数，为第n次蒙特卡洛中第k个采样时刻，为时刻的协方差控制失调率，其计算如下：

为时刻更新的目标个数，为时刻的协方差矩阵，f(·)为所选取的某种矩阵度量，表示第i个目标的期望协方差矩阵。

平均跟踪功率：

其中，为时刻发射波形的功率，为时刻发射波形的脉冲宽度，φ可以等效看为雷达对目标跟踪时所消耗的平均功率。

平均代价：

其中，为时刻目标函数的值。

相对于相控阵雷达，MIMO对时间资源利用率的改善度：

首先定义系统时间资源利用率：

N_s为一次蒙特卡洛中系统总的调度次数，为时刻更新的目标个数，当系统执行搜索任务时，令D为总的目标个数。对于相控阵雷达，由于其每个时刻只能对一个目标进行跟踪，其系统时间资源利用率为而MIMO雷达可以同时对多个目标进行跟踪，其系统时间资源利用率要高于相控阵，相对于相控阵，计算MIMO雷达对时间资源利用率的改善度。

其中，η_P为相控阵雷达的时间资源利用率，η_M为MIMO雷达的时间资源利用率。

在不同的代价函数系数下，将本发明提出的方法与相控阵雷达的跟踪性能进行对比，表3为性能比较结果。

表3 MIMO雷达与相控阵雷达的性能比较结果

由上表可以看出，在不同的代价系数下，MIMO雷达的协方差控制失调率均小于相控阵雷达，说明本发明提出的方法在对目标的跟踪精度的控制上优于相控阵雷达。比较MIMO雷达与相控阵雷达的平均跟踪功率，当代价系数更侧重于协方差偏差时，相控阵雷达的能量资源消耗更小；而代价系数为0.5，0.5时，MIMO雷达的能量资源消耗更小；当代价系数更侧重于能量资源消耗时，两种雷达的能量资源消耗基本相等。在不同的代价系数下，MIMO雷达的平均代价均小于相控阵雷达，说明在综合考虑协方差误差与能量资源消耗时，本发明提出的方法性能更优。在三种不同的目标函数系数下，MIMO雷达较相控阵雷达的时间利用率均有改善。当代价系数更侧重于协方差偏差时，MIMO雷达对时间资源利用率的改善度更明显。综上所述，本发明提出的方法可以在多目标环境下对所有目标的跟踪精度进行有效地控制。相较于相控阵雷达的跟踪，本发明提出的方法在对目标的跟踪精度的控制上，以及协方差控制与能量资源消耗的综合代价上优于相控阵雷达。且本发明提出的方法可以有效提高雷达的时间资源利用率。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，本说明书中所公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换；所公开的所有特征、或所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以任何方式组合。

Claims (1)

1.一种MIMO雷达多目标跟踪资源管理方法，包括以下步骤：

当前跟踪时刻为t_k，当前跟踪目标个数为D，t_k时刻之前所有目标的滤波更新状态为{t_k(i),X(t_k(i)),P(t_k(i))}，其中t_k(i)为第i个目标的更新时刻，且t_k(i)≤t_k，i＝1,2,…,D；X(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态向量，P(t_k(i))为第i个目标在t_k(i)时刻的状态误差协方差矩阵；

设定MIMO雷达工作方式的可选参数集合为I_S，发射波形可选参数集合为雷达波形库中所有发射波形组成的集合，记为J，子阵划分个数可选参数集合为S；t_k时刻雷达的控制向量ν(t_k)，现在需要求解t_k+1时刻MIMO雷达的最优控制矢量ν_opt(t_k+1)；

步骤一：遍历子阵划分个数可选参数集合，在每个子阵划分个数参数s下，确定波束指向可选参数集合U_S，雷达波束指向的可选参数集合U_S为：

当波束内仅包含一个目标时，预测波束指向为u_pre，在区间[u_pre-0.5φ,u_pre+0.5φ]内以间隔Δu遍历寻找最佳波束指向；当波束内包含目标个数大于1时，将各目标波束指向合成向量u_pre，在区间[minu_pre,max u_pre]内以间隔Δu遍历寻找最佳波束指向；其中，φ为半功率波束宽度，M为雷达阵元总数；

步骤二：遍历可控参数{I_S,J,U_S,S}的组合，每种可控参数组合形成雷达控制向量ν(t_k+1)＝(I,j,u_s,s)，I∈I_S，j∈J，u_s∈U_S，s∈S，遍历所有控制向量判断其是否满足约束：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_d\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)\&GreaterEqual;{P_d}^H\\ u-0.5\mathrm{\&phi;}<u_s<u+0.5\mathrm{\&phi;}\end{array}\right.$

其中，第一个约束表示在控制向量ν(t_k+1)下目标的检测概率要高于门限，P_d ^TH表示目标检测概率的门限，P_d(ν(t_k+1))表示控制向量ν(t_k+1)下目标的检测概率；设定目标的RCS服从Swerling I型分布，其检测概率计算如下：

$P_d\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)={P_{fa}}^{1/(1+SNR(v\left(t_{k+1}\right)\left)\right)}$

其中，P_fa为虚警概率，SNR(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下目标的信噪比：

$SNR\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\frac{M^3{P}_t{\left({\mathrm{\&pi;\&eta;}}_e\right)}^2{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{ave}\left(t_k\right){\mathrm{\&lambda;}}^2{\mathrm{\&tau;}}^j{G_{t0}}^{u_s,s}}{{\left(4\mathrm{\&pi;}\right)}^3{\left(R^i\right)}^4{N}_{0}s}$

其中，M为雷达阵元数，P_t为信号总峰值功率，η_e为天线有效面积占空比，为t_k时刻目标平均RCS的估计值，λ为波长，τ^j为波形j的脉宽，Rⁱ为目标i距雷达的径向距离，N₀为噪声功率谱密度，N₀＝kT₀F₀，k为波尔兹曼常数，T₀为雷达接收机温度，F₀为雷达接收机噪声系数，s为MIMO雷达子阵个数，为雷达的增益方向图：

${G_{t0}}^{u_s,s}={\&lsqb;\exp \left(c_0\frac{{(u_{pre}-u_s)}^2}{{\mathrm{\&phi;}}^2}\right)\&rsqb;}^2$

其中c₀＝-2ln2，u_s为天线波束指向，u_pre为目标的预测波束指向，φ为半功率波束宽度；

第二个约束表示要求目标所在位置在波束指向的半功率波束宽度内；

步骤三：对于满足约束式的控制向量ν(t_k+1)，计算其在t_k+1时刻下对各目标的预测跟踪误差协方差：

$P^i\left(t_{k+1}\right|t_k,v\left(t_{k+1}\right))=\left\{\begin{array}{c}{P}^i\left(t_{k+1}^{-}\right),i\&NotElement;I\\ P^i\left(v\right(t_{k+1}\left)\right),i\&Element;I\end{array}\right.$

其中，Pⁱ(t_k+1|t_k,ν(t_k+1))表示当控制矢量为ν(t_k+1)时，目标i的预测跟踪误差协方差；

如果则对其跟踪误差协方差进行预测：

$P^i\left(t_{k+1}^{-}\right)=F^i\left(T_k^i\right)P^i\left(t_{k\left(i\right)}\right)F^{iT}\left(T_k^i\right)+G^i\left(T_k^i\right)Q^i\left(t_{k\left(i\right)}\right)G^{iT}\left(T_k^i\right)$

其中，为目标i的采样间隔： 为目标i的状态转移矩阵，为目标i在t_k(i)时刻的估计误差协方差矩阵，为目标i的输入分布矩阵，为目标i的系统状态噪声协方差矩阵；

如果i∈I，则目标i的预测的估计误差协防差矩阵Pⁱ(ν(t_k+1))为：

$P^i\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\&lsqb;I_n-p_d\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)K\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)H^i\&rsqb;P^i\left(t_{k+1}^{-}\right)$

其中，K(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下的卡尔曼增益矩阵：

$K\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=P^i\left(t_{k+1}^{-}\right)H^{iT}{\{H^i{P}^i\left(t_{k+1}^{-}\right)H^{iT}+R\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)\}}^{-1}$

其中，Hⁱ为观测矩阵，R(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下的观测噪声协方差矩阵：

R(ν(t_k+1))＝J·diag(σ^r(ν(t_k+1))²,σ^b(ν(t_k+1))²,σ^e(ν(t_k+1))²)·J^T

其中，从球坐标系到直角坐标系的Jacobian转换矩阵，σ^r(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下径向距离测量的标准差，σ^b(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下方位角测量的标准差，σ^e(ν(t_k+1))为在控制向量ν(t_k+1)下俯仰角测量的标准差，其计算如下：

${\mathrm{\&sigma;}}^r\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\frac{\mathrm{\&Delta;}r\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)}{\sqrt{12}}$

${\mathrm{\&sigma;}}^b\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\frac{B_w^b\left(t_{k+1}\right)}{(c\&CenterDot;\sqrt{2SNR\left(v\left(t_{k+1}\right)\right)})}$

${\mathrm{\&sigma;}}^e\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\frac{B_w^e\left(t_{k+1}\right)}{(c\&CenterDot;\sqrt{2SNR\left(v\left(t_{k+1}\right)\right)})}$

其中，Δr(ν(t_k+1))为距离分辨力，与为雷达天线的波束宽度，常数c的典型取值为1.57；

步骤四：对于满足约束式的控制向量ν(t_k+1)，计算其在t_k+1时刻下跟踪误差偏差与雷达资源消耗的综合代价值C(ν(t_k+1))：

$C\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)=\mathrm{\&alpha;}\mathrm{\&psi;}\{F\&lsqb;{\stackrel{\&RightArrow;}{P}}_0,\stackrel{\&RightArrow;}{P}\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)\&rsqb;\}+\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&psi;}\left\{E_j\right\}$

其中，为目标跟踪误差与其期望值的偏差代价，其计算如下：

$F({\stackrel{\&RightArrow;}{P}}_0,\stackrel{\&RightArrow;}{P})=\underset{i=1}{\overset{D}{\&Sigma;}}f(P_o^i,P^i)/D$

D表示目标个数，f(A,B)表示矩阵A与矩阵B之间的差异性度量，E_j工作在波形j的资源消耗，ψ{x_m}为归一化函数：ψ{x_m}＝x_m/max(x_m)；

α和β分别为跟踪偏差代价和资源消耗代价归一化后的加权值、且α+β＝1；

步骤五：按照综合代价最小的准则确定t_k+1时刻MIMO雷达的控制向量：

$v_{opt}\left(t_{k+1}\right)=(I_{opt},j_{opt},u_{s_{opt}},s_{opt})=\arg \min C\left(v\right(t_{k+1}\left)\right)$

步骤六：若I_opt＝0，则在t_k+1时刻执行搜索任务；否则利用最优波形j_opt，最优子阵个数s_opt以及最优波束指向更新集合I_opt中的目标的状态以及估计目标平均RCS；设定目标的RCSσ(t_k)服从均值为σ_ave的Swerling型分布，即：

E{σ(t_k)}＝σ_ave

t_k+1时刻的目标RCS值可依据雷达方程进行推算，基于此观测值，设计如下的α滤波器对目标RCS均值进行估计：

${\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{ave}\left(t_{k+1}\right)={\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{ave}\left(t_k\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_t\left(\widehat{\mathrm{\&sigma;}}\right(t_{k+1})-{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{ave}(t_k\left)\right)$

其中，为t_k+1时刻目标RCS的均值估计，α_t为滤波器增益；

步骤七：令k＝k+1，返回步骤一，重复以上步骤直至跟踪过程结束。