CN106354962A - 基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法，考虑到锂电池材料的不规整性和不对称性，采用基于Caputo定义的分数阶微分方法来表示锂电池的电路特性，由于分数阶微分的记忆特性使得该等效电路模型获得了更高的自由度和平稳度。然后在对分数阶电路模型求解时，考虑到了活化极化和浓差极化的阻抗频率差异，对中频段和低频段分别采用Oustaloup近似逼近滤波器进行离散近似，从而使模型获得更高的近似精度和动态性能。最后通过脉冲充放电实验对该分频分数阶等效电路模型的参数进行辨识，提高了锂电池等效电路模型的稳定性、动态性和精度，具有实际的工程意义。

Description

基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法

技术领域

本发明涉及磷酸铁锂电池电路等效技术。

背景技术

锂电池等效电路模型用于通过电路理论的知识客观来描述动力电池能量状态、内部特性和响应特性。准确的电池等效电路模型是纯电动汽车电池荷电状态和健康状态估计精确度的基础和保证。由于锂电池内部要发生锂离子扩散、电解液迁移、电池热量的产生与传导等一系列复杂的非线性动态反应，所以建立一个准确并且易于工程实现的锂电池等效电路模型还存在诸多挑战。

在目前研究的等效电路模型中，二阶RC模型使用最为广泛。二阶RC模型阶次合理，使得计算电池响应和估算动力电池的内部状态时效率更高，并且可以对电池进行大数据量的参数辨识实验，使得具体工程实现是可行并且有价值的。

但是目前二阶RC模型存在初值拟合差、电池动态特性表征不完美、模型精度不够高等问题，所以研究二阶RC模型的改进方法存在实际意义。电容理论指出由于在实际生产过程中电容极板表面不规整和不对称等因素的影响，电容器模型更适合使用分数阶导数来描述，中国发明专利申请(申请号CN201410797302.6)提出了一种锂电池分数阶变阶等效电路模型及其辨识方法，通过将传统的整数阶二阶RC网络推广到分数阶，并且对模型的参数和阶次进行了辨识。但是将等效电路模型的各个组件分别与锂电池的荷电状态进行拟合，这种方法忽略了模型组件之间的联系，使得锂电池模型的表征精度存在局限性。同时现有的等效电路模型进行参数辨识时也没有考虑到活化极化和浓差极化的不同频率阻抗特征，导致锂电池的极化特性表征存在较大拟合误差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种表征精度更高的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法。

本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是，基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法，包括以下步骤：

步骤1：建立磷酸铁锂电池的二阶RC等效电路模型，二阶RC等效电路模型由欧姆内阻、活化极化单元、浓差极化单元与电压源串联组成；活化极化单元由活化极化内阻和活化极化电容并联组成，浓差极化单元由浓差极化内阻与浓差极化电容并联组成；

步骤2：根据Caputo分数阶微分建立活化极化单元的分数阶阻抗模型以及浓差极化单元的分数阶阻抗模型，再根据活化极化单元的分数阶阻抗模型与浓差极化单元的分数阶阻抗模型得到磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型的传输方程；

步骤3：根据磷酸铁锂电池的阻抗特性确定活化极化频段和浓差极化的频段划分；

步骤4：将活化极化频段作为中频段的Oustaloup离散递推滤波器的逼近频段对分数阶模型的活化极化单元进行近似，将浓差极化的频段作为低频段的Oustaloup离散递推滤波器的逼近频段对分数阶模型的浓差极化单元进行近似，完成磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型的传输方程的离散化处理，得到磷酸铁锂电池的离散阻抗模型；

步骤5：对磷酸铁锂电池进行脉冲充放电实验，并记录磷酸铁锂电池的电流和电压数据；根据磷酸铁锂电池的电流和电压数据，应用自回归各态历经ARX模型的最小二乘法对磷酸铁锂电池离散阻抗模型行参数辨识，得到锂电池模型内阻、活化极化内阻、活化极化电容、浓差极化内阻和浓差极化电容的参数值；

步骤6：将欧姆内阻、活化极化内阻、活化极化电容、浓差极化内阻和浓差极化电容的参数值带入磷酸铁锂电池的二阶RC等效电路模型完成模型建立。

本发明考虑到锂电池材料的不规整性和不对称性，采用基于Caputo定义的分数阶微分方法来表示锂电池的电路特性，由于分数阶微分的记忆特性使得该等效电路模型获得了更高的自由度和平稳度。然后在对分数阶电路模型求解时，考虑到了活化极化和浓差极化的阻抗频率差异，对中频段和低频段分别采用Oustaloup近似逼近滤波器进行离散近似，从而使模型获得更高的近似精度和动态性能。最后通过脉冲充放电实验对该分频分数阶等效电路模型的参数进行辨识。

本发明的有益效果是，针对于当前锂电池等效电路模型中存在的精度问题，对于传统的二阶RC等效电路模型做了分数阶的推广，提出了一种锂电池的活化极化和浓差极化不同的频率阻抗特征划分方法，并且根据划分的频段完成等效电路模型的离散滤波器近似，提高了锂电池等效电路模型的稳定性、动态性和精度，具有实际的工程意义。

附图说明

图1为本发明方法的具体实施方式流程图。

图2锂电池分数阶等效电路模型图。

图3锂电池的阻抗谱曲线。

图4温度与极值频率的拟合曲线。

图5锂电池的活化极化内阻近似滤波器波特图。

图6锂电池的浓差极化内阻近似滤波器波特图。

图7锂电池的两种极化近似滤波器对比图。

图8锂电池欧姆内阻辨识图。

图9锂电池极化内阻和电容辨识图。

图10分频分数阶模型与普通分数阶模型对比图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例程作详细说明，本实施例程在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例程。实施例程主要可以分为如图1所示的几个步骤：

1.磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型的建立

根据磷酸铁锂电池的工作原理和阻抗特性，建立锂电池二阶RC等效电路模型如图2所示，等效电路模型由欧姆内阻、活化极化单元、浓差极化单元与电压源串联组成；并且基于基尔霍夫电压定律建立等效电路模型的电压电流方程，方程中电阻R₀表示锂电池的欧姆内阻，V₀(t)表示欧姆极化的分压，电阻R₁和电容C₁并联表示磷酸铁锂电池的活化极化现象，电阻R₁为活化极化内阻，电容C₁为活化极化电容，V₁(t)表示活化极化的分压；电阻R₂和电容C₂并联表示的锂电池浓差极化现象，电阻R₂为浓差极化内阻，电容C₂为浓差极化电容，V₁(t)表示活化极化的分压，V₂(t)表示浓差极化的分压，V_t(t)为开路电压。如附图2所示的二阶RC模型的状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{oc}\left(t\right)=V_1\left(t\right)+V_2\left(t\right)+V_0\left(t\right)+V_t\left(t\right)\\ V_0\left(t\right)=I\left(t\right)\×R_0\\ C_1{\×}_a^{Caputo}{D}_t^{{\mathrm{\λ}}_1}{V}_1\left(t\right)+\frac{V_1\left(t\right)}{R_1}=I\left(t\right)\\ C_2{\×}_a^{Caputo}{D}_t^{{\mathrm{\λ}}_2}{V}_2\left(t\right)+\frac{V_2\left(t\right)}{R_2}=I\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

V_oc(t)为二阶RC等效电路模型的KVL方程

V₀(t)为锂电池欧姆内阻上的分压

V₁(t)为锂电池活化极化内阻上的分压

V₂(t)为锂电池浓差极化内阻上的分压

I(t):为流过锂电池的电流

为采用Caputo分数阶微分定义对极化电容的表征，λ表示分数阶阶次，λ₁为活化极化部分的分数阶阶次，λ₂浓差极化部分的分数阶阶次，下标α和t表示积分的下界和上届；

根据分数阶微分的Caputo定义，推导Caputo定义的阶数为ν的分数阶微分拉氏变换表达式：

Caputo定义是先进行n阶的微分，然后再进行n-ν阶的积分运算。Caputo定义便于对初始值得物理意义进行描述，更适合与工程实用，Caputo定义如式(2)所示。

$D_i^v{}_{\mathrm{\&alpha;}}{}^{Caputo}f\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}(n-v)}{\&Integral;}_{\mathrm{\&alpha;}}^t{(t-\mathrm{\&tau;})}^{n-v-1}{f}^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}.0\&le;n-1<v<n,n\&Element;R---\left(2\right)$

其中，Γ(·)为gamma函数，R表示实数；

将分数阶微积分的定义简记为D^-vf(t)，f(t),t∈[0,t]为实信号，则可以得到Caputo定义阶数为ν的分数阶微分的拉氏变换LT的表达式如式(3)所示。

$D^{v}f\left(t\right)\stackrel{LT}{\&LeftRightArrow;}{s}^v\hat{f}\left(s\right)-\underset{i=0}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}{s}^{v-i-1}{\&lsqb;D^{i}f\left(t\right)\&rsqb;}_{t=0},n-1\&le;v<n---\left(3\right)$

其中，s表示复频域，表示f(t)拉氏变换；

将等效电路模型方程中的活化极化部分和浓差极化部分根据Caputo定义进行分数阶变换得到分数阶模型方程，然后将分数阶模型方程做拉氏变换得到电路模型的传输方程：

根据式(1)的模型可以推导出磷酸铁锂电池的二阶RC分数阶模型的传输方程如下所示：

$H\left(s\right)=\frac{V\left(s\right)}{I\left(s\right)}=R_0+\frac{R_1}{1+R_1{C}_1{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1}}+\frac{R_2}{1+R_2{C}_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_2}}---\left(4\right)$

由上式，令活化极化时间常数τ₁＝R₁C₁和浓差极化时间常数τ₂＝R₂C₂可以得到：

$H\left(s\right)=\frac{(R_0+R_1+R_2)+(R_2{\mathrm{\&tau;}}_1+R_0{\mathrm{\&tau;}}_1)s^{{\mathrm{\&lambda;}}_1}+(R_0{\mathrm{\&tau;}}_2+R_1{\mathrm{\&tau;}}_2)s^{{\mathrm{\&lambda;}}_2}+R_0{\mathrm{\&tau;}}_1{\mathrm{\&tau;}}_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2}}{1+{\mathrm{\&tau;}}_1{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1}+{\mathrm{\&tau;}}_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_2}+{\mathrm{\&tau;}}_1{\mathrm{\&tau;}}_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2}}---\left(5\right)$

s表示复频域，令a₀＝R₀+R₁+R₂a₁＝R₂τ₁+R₀τ₁a₂＝R₀τ₂+R₁τ₂a₃＝R₀τ₁τ₂b₀＝τ₁b₁＝τ₂b₃＝τ₁τ₂则：

$H\left(s\right)=\frac{a_0+a_1{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1}+a_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_2}+a_3{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2}}{1+b_0{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1}+b_1{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_2}+b_2{s}^{{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2}}---\left(6\right)$

2.锂电池极化特性频率区域划分方法

为了确定活化极化和浓差极化的频段划分规则，本发明提供了一种基于温度和荷电状态的频率划分方法。根据如图3所示的阻抗谱频带特性，将阻抗谱分为三个区域：高频部分、中频部分和低频部分。高频率区域表征的是锂电池的欧姆极化内阻，中频率区域可以表示锂电池的活化极化内阻，低频率区域表示锂电池浓差极化内阻。根据频段的划分将具有分数阶特性的两种极化内阻分别采取分频段的近似方式，以提高分数阶等效电路模型表征的准确性。

首先是中频率频段的确定，设中频率的频率范围为(w₁,w₂)，其中w₁表示中频段低频端点，w₂表示中频段高频端点。在同一温度下，锂粒子的活化程度受电池的荷电状态影响较小，从锂电池同一温度下不同荷电状态的阻抗谱中可以看出曲线在中频率段的末端会接近相交于一点，在该点的基础上通过标准的阻抗分析实验方法得到相应的频率值，以该频率值作为中频段的高频端点值w₂。

接下来确定w₁，在温度较低时锂电池的内阻与荷电状态无关，本实施例设定温度的临界值T＝20℃，频率划分策略根据温度临界值T做不同的选取方法：

当T≤20℃时，不同荷电状态下锂电池的阻抗谱曲线会与横坐标轴相交于几乎重合的点，表示不同的内阻。将不同荷电状态下的内阻值所对应的频率求算术平均作为中频率段的中频段低频端点值w₁。锂电池荷电状态的区间划分取M＝11，则w₁值如下式计算所得。

$\begin{array}{c}SOC=\left(\begin{array}{ccccccccccc}0& 0.1& 0.2& 0.3& 0.4& 0.5& 0.6& 0.7& 0.8& 0.9& 1\end{array}\right)\\ w_1=\frac{\underset{m=0}{\overset{M}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_m}{M}\end{array}---\left(7\right)$

其中λ_m表示锂电池的SOC在第m个状态时所对应的频率。

当T≥20℃时，不同荷电状态下锂电池的阻抗谱曲线会与横坐标轴相交于不同的点，此时将不同的温度值和荷电状态与w₁做曲线拟合，得到三者之间的函数关系，就可以根据温度值和荷电状态值求得w₁的值。

w₁＝f(T,SOC) (8)

然后是低频段的确定，设低频率的频率范围为(w₃,w₄)，其中w₃表示低频段的低频端点，取w₃＝0.01，由于是低频段的最小值，取趋近为0的值即可，w₄表示低频段的高频端点值。从锂电池的阻抗谱曲线可以看出浓差极化代表的低频段没有受到电池荷电状态的影响，而与温度呈现线性化的趋势。

接下来确定w₄的值，忽略该极值点受锂电池荷电状态的影响，将锂电池的极值频率与锂电池的温度做高阶的拟合，得到拟合曲线的函数关系，则可以求得极值频率w₄。

以4阶拟合为例，温度与极值频率的4阶拟合曲线如图4所示，拟合得到的函数关系式如下式所示：

w₄＝0.6029e^-5*T⁴-0.6326e^-3*T³+0.2619e^-1*T²-0.5530*T+5.334 (9)

e为自然常数；

3.分数阶等效电路模型传输方程的离散滤波器近似处理

为了解决锂电池分数阶微分方程组的求解问题，本发明采用Oustaloup离散递推滤波器将分数阶因子的s^λ的传输方程首先近似为整数阶的传输方程，然后再针对整数阶因子的传输方程做离散化处理。对于逼近频段(w_a,w_b)，Oustaloup滤波器如下式：

$G_f\left(s\right)=K\underset{k=-N}{\overset{N}{\&Pi;}}\frac{s+w_k^{\&prime;}}{s+w_k}---\left(10\right)$

上式中，s表示复频域，λ表示分数阶的阶次，w'_k、w_k和K的定义如下：

$\begin{array}{c}{w}_k^{\&prime;}=w_a{\left(\frac{w_b}{w_a}\right)}^{\frac{k+N+1/2(1-\mathrm{\&lambda;})}{2N+1}}\\ w_k=w_a{\left(\frac{w_b}{w_a}\right)}^{\frac{k+N+1/2(1+\mathrm{\&lambda;})}{2N+1}}\\ K=w_b^{\mathrm{\&lambda;}}\end{array}---\left(11\right)$

上式中，w_a表示频率范围的低频率，w_b表示频率范围的高频率，K表示滤波器的增益，N表示滤波器采用的阶数。

本发明对于锂电池的活化极化内阻，取中频率的逼近频段(0.1,21.7)作为oustaloup滤波器的通频带，用oustaloup滤波器的传输方程输入Matlab，参数输入λ＝0.5，N＝1,2则可以得到s^0.5的滤波器为：

$G_1\left(s\right)=\frac{4.658s^3+31.45s^2+29.59s+3.88}{s^3+16.55s^2+38.17s+12.27}---\left(12\right)$

$G_2\left(s\right)=\frac{4.658s^5+68.12s^4+251.1s^3+282.6s^2+97.17s+8.419}{s^5+25.05s^4+158.1s^3+304.7s^2+179.4s+26.62}---\left(13\right)$

上式中，G₁(s)和G₂(s)分别表示活化极化Oustaloup离散递推滤波器一阶和二阶的近似传输方程，该滤波器的波特图如图5所示。本实施例中设N＝1和N＝2，对应的是Oustaloup滤波器自身的阶次，决定滤波器自身的精度。在计算量允许的情况下可以选N＝3，4甚至更高。

对于锂电池的浓差极化部分，取低频率的逼近频段(0.01,0.2)作为oustaloup滤波器的通频带，用oustaloup滤波器的传输方程输入Matlab，参数输入λ＝0.5，N＝1,2则可以得到s^0.5的滤波器为：

$G_3\left(s\right)=\frac{0.4472s^3+0.08627s^2+0.004633s+0.00006678}{s^3+0.2808s^2+0.02196s+0.0004782}---\left(14\right)$

$G_4\left(s\right)=\frac{0.4472s^5+0.1573s^4+0.0201s^3+0.001164s^2+0.00003054s+0.000000291}{s^5+0.4407s^4+0.07055s^3+0.005117s^2+0.0001682s+0.000002008}---\left(15\right)$

上式中，G₃(s)和G₄(s)分别表示Oustaloup浓差极化离散递推滤波器一阶和二阶的近似传输方程，该滤波器的波特图如图6所示。

比较活化极化部分和浓差极化部分的滤波器，得到如图7所示的对比图。

4.分频分数阶等效电路模型的参数辨识

根据沃特玛32560号电池进行充放电实验，电池额定电压3.2V，额定容量5Ah-6Ah，6A充放工作电流，最大12.5A放电电流，以不同倍率的电流对该电池进行充放电实验，记录实验测得的电流值和电压值。

在实验测试实际工况数据的基础上，根据电池的端电压和工作电流，应用最小二乘法对电池等效电路模型的参数进行辨识。其中，最小二乘法采用的模型是带自回归各态历经的ARX模型。

本文在确定选用ARX模型的基础上，通过MATLAB的参数辨识工具箱采用最小二乘法对电池等效电路模型进行参数辨识。

磷酸铁锂电池的参数辨识实验的具体步骤如下：

步骤一：辨识向量数据导入工作空间以及采样周期和起始时间的确定。

步骤二：数据预处理。数据的预处理主要包括消除趋势项、数据滤波以及从采样。在本发明中主要是对采样的数据进行去趋势化的处理。

步骤三：选用ARX模型，确定模型的阶次并进行电池等效电路模型的估计。本实施例中，取ARX模型阶次na＝4,nb＝4,nk＝1，na和nb表示ARX模型的定阶，nk表示滞后时间阶数。

步骤四：得到系统辨识的传递函数，由运行最小二乘法得到的辨识结果。

A(s)＝1+0.1435s^-1-0.05332s^-2+1.07s^-3-1.006s⁴ (19)

B(s)＝-0.1487s^-1-0.03031s^-2+0.3464s^-3-0.2722s^-4 (20)

A(s)对应传输方程的分母，B(s)对应传输方程的分子；

从而得到系统模型辨识的传输函数为：

$H\left(s\right)=\frac{-0.1487s^{-1}-0.03031s^{-2}+0.3464s^{-3}-0.2722s^{-4}}{1+0.1435s^{-1}-0.05332s^{-2}+1.07s^{-3}-1.006s^{-4}}---\left(21\right)$

基于得到的磷酸铁锂电池模型的传输函数，可以得到电池模型的动态参数R₀、R₁、R₂、C₁和C₂的辨识值，得到参数值辨识结果如图8-9所示。根据辨识系统的结果值，可以对锂电池等效电路模型的状态方程和观测方程进行动态的更新，为磷酸铁锂电池荷电状态估计和健康状态提供依据。

5.仿真模型验证

本模型算法的有效性验证如图10所示，通过恒流放电实验的电压参考值与分数阶模型值和分频分数阶模型值进行对比分析，可以看出模型值与参考值几乎重合，但是分频分数阶模型的误差要小于分数阶模型误差，证明了分频分数阶模型表征方法通过更好的近似锂电池极化反应的动态特性，具有更高的模型精度。

Claims (2)

1.基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立磷酸铁锂电池的二阶RC等效电路模型，二阶RC等效电路模型由欧姆内阻、活化极化单元、浓差极化单元与电压源串联组成；活化极化单元由活化极化内阻和活化极化电容并联组成，浓差极化单元由浓差极化内阻与浓差极化电容并联组成；

步骤2：根据Caputo分数阶微分建立活化极化单元的分数阶阻抗模型以及浓差极化单元的分数阶阻抗模型，再根据活化极化单元的分数阶阻抗模型与浓差极化单元的分数阶阻抗模型得到磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型的传输方程；

步骤3：根据磷酸铁锂电池的阻抗的温度和荷电状态特性确定活化极化频段和浓差极化频段的划分；

步骤4：将活化极化频段作为中频段的Oustaloup离散递推滤波器的逼近频段对分数阶模型的活化极化单元进行近似，将浓差极化的频段作为低频段的Oustaloup离散递推滤波器的逼近频段对分数阶模型的浓差极化单元进行近似，完成磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型的传输方程的离散化处理，得到磷酸铁锂电池的离散阻抗模型；

步骤5：对磷酸铁锂电池进行脉冲充放电实验，并记录磷酸铁锂电池的电流和电压数据；根据磷酸铁锂电池的电流和电压数据，应用自回归各态历经ARX模型的最小二乘法对磷酸铁锂电池离散阻抗模型行参数辨识，得到锂电池模型内阻、活化极化内阻、活化极化电容、浓差极化内阻和浓差极化电容的参数值；

步骤6：将欧姆内阻、活化极化内阻、活化极化电容、浓差极化内阻和浓差极化电容的参数值带入磷酸铁锂电池的二阶RC等效电路模型完成模型建立。

2.如权利要求1所述基于分频表征的磷酸铁锂电池分数阶等效电路模型建立方法，其特征在于，根据磷酸铁锂电池的阻抗的温度和荷电状态特性确定活化极化频段和浓差极化频段的划分的具体方法是：

活化极化频段范围为(w₁,w₂)，w₁表示活化极化频段的低频端点值，w₂表示活化极化频段的高频端点值；w₂为磷酸铁锂电池同一温度下不同荷电状态的阻抗谱中曲线在中频率段的末端交汇处所对应的频率值；w₁在当前温度小于等于临界值时，为不同荷电状态下的内阻所对应的频率值的算术平均，w₁在当前温度大于临界值时，通过当前温度、荷电状态与拟合函数计算得到；

浓差极化频段范围为(w₃,w₄)，w₃表示浓差极化频段的低频端点值，w₄表示浓差极化频段的高频端点值，w₃取一个趋近0的值，w₄通过将电池的极值频率与温度做高阶的拟合所得到的拟合曲线的函数关系得到。