CN106096138A - 一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，包括如下步骤：S1.根据待分析模型的输入参数和输出参数，确定关键输入参数与关键输出参数；S2.构建用于表征所述关键输入参数与关键输出参数之间函数关系的满足预设条件的混沌多项式展开；S3.计算所述混沌多项式展开的可靠度数值；S4.根据所述可靠度数值，构建可靠性混沌多项式展开；S5.基于Sobol’指标，解析计算可靠性全局灵敏度指标。本发明具有可大幅减少全局灵敏度分析的计算量，分析结果精确度高，更加符合工程实际，可体现不同输入参数间对全局可靠性交叉影响等优点。

Description

一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法

技术领域

本发明涉及一种可靠性灵敏度分析方法，尤其涉及一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法。

背景技术

灵敏度分析研究的是模型输出受输入参数变化的影响。由于其预测性和诊断性，通常将其作为建模及模型分析的首要条件。可靠性灵敏度分析将可靠性作为研究对象，主要分析模型输入变量分布参数的变化引起失效概率变化的程度，借助可靠性灵敏度分析可以找到对可靠性影响较大/小的因素，从而为可靠性建模分析、参数识别、可靠性优化设计等工作提供支持。

传统的可靠性灵敏度分析，计算的仅是在输入参数的均值点或者标准差的微小变动对可靠性的影响，是一种典型的局部灵敏度分析方法。具有下列局限性：(1)无法探索输入参数的整个取值空间对可靠性的影响，从而无法找到输入参数的最佳变化区域；(2)在某参数的概率分布变化范围内，各个点处的偏导数是不同的，甚至差距甚大，仅选择定义域内某个点处的偏导数来作为灵敏度判据是不恰当的；(3)在对某一参数进行可靠性灵敏度指标计算的时候，需假定其余参数为定值，无法考虑输入参数同时变化的情形，从而不能研究各输入参数的交叉作用对可靠性的影响，无法找到影响可靠性的风险因子，该风险因子的不确定性会掩盖其他参数对可靠性的影响，导致其他参数难以识别。

发明内容

本发明要解决的技术问题就在于：针对现有技术存在的技术问题，本发明提供一种可大幅减少全局灵敏度分析的计算量，分析结果精确度高，更加符合工程实际，可体现不同输入参数间对全局可靠性交叉影响的基于混沌多项式展开(PCE)的可靠性全局灵敏度分析方法。

为解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，包括如下步骤：

S1.根据待分析模型的输入参数和输出参数，确定关键输入参数与关键输出参数；

S2.构建用于表征所述关键输入参数与关键输出参数之间函数关系的满足预设条件的混沌多项式展开；

S3.计算所述混沌多项式展开的可靠度数值；

S4.根据所述可靠度数值，构建可靠性混沌多项式展开；

S5.基于Sobol’指标，解析计算可靠性全局灵敏度指标。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S1中确定所述关键输入参数与关键输出参数的步骤包括：

S1.1.计算所述输入参数和输出参数的概率分布、随机变量特性和随机过程特性；

S1.2.判断是否满足任意一个预设的判定准则，是则判定所述输入参数为关键输入参数，所述输出参数为关键输出参数；

所述预设的判定准则包括：

T1.所述概率分布是否满足预设的分布条件；

T2.所述随机变量特性是否满足预设的特性阈值；

T3.所述随机过程特性是否满足预设的过程特性阈值。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S2的具体步骤包括：

S2.1.根据所述关键输入参数的概率密度函数分布，结合Wiener-Askey方案，确定关键输入参数的基底类型，所述基底类型为标准随机变量的函数；

S2.2.将所述关键输入参数与关键输出参数表征为所述基底类型的混沌多项式展开，所述混沌多项式展开的阶数为n，n≥2，n的初始值为2，如式(1)所示：

$y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(1\right)$

式(1)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；

S2.3.从所述关键输入参数中随机采样，生成第一关键输入参数集，将所述第一关键输入参数集中的关键输入参数表示为所述标准随机变量的转换函数，将n+1阶混沌多项式展开所确定的基底类型的根作为随机配点输入至所述转换函数，计算得到第一输入参数；所述第一关键输入参数集中元素个数至少为所述n阶混沌多项式展开中系数个数的2倍；

S2.4.将所述第一输入参数输入预设的第一蒙特卡洛仿真(MCS)模型，计算得到与所述第一输入参数对应的第一输出参数，生成由第一输入参数与第一输出参数构成的第一样本数据；

S2.5.计算所述第一样本数据的条件数，并判断所述条件数是否小于预设的条件数阈值，是则跳转到步骤S2.6；否则跳转到步骤S2.3；

S2.6.根据所述第一样本数据，通过改进的概率配点法和回归分析法计算如式(1)所示的n阶和n+1阶混沌多项式展开的系数，计算n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值，并判断所述n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值和所述第一输出参数值之间的误差是否小于预设的误差阈值，是则确定所述混沌多项式展开的阶为n，否则，将所述混沌多项式展开的阶数加1，跳转至步骤S2.2。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S3包括如下步骤：

S3.1.对所述关键输入参数采用内外表直积法进行水平组合，得到2倍于由所述步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数；

S3.2.计算所述组合数中各关键输入参数的水平偏离中心值的大小Δh，对于每一个组合数，将所述如式(1)所示的混沌多项式展开变形为如式(2)所示的形式；

$\begin{array}{c}y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1})+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}\left)\right)+\\ \mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}),\mathrm{..},({\mathrm{\ξ}}_{i_n}+{\mathrm{\Δh}}_{i_n}\left)\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为变形后的基底类型，均为标准随机变量，均为各关键输入参数的水平偏离中心值的大小；

将所述式(2)展开合并，变形为如式(3)所示形式：

$y\left(n\right)=a_0^{\′}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(3\right)$

式(3)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；

S3.3.对于每一个变形的混沌多项式展开，构建基于该混沌多项式展开的MCS仿真模型，分别进行MCS仿真，计算每一个变形的混沌多项式展开的可靠度数值。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S3.1的具体步骤包括：

S3.1.1.从所述关键输入参数中随机采样，生成第二关键输入参数集；

S3.1.2.确定所述第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值的离散水平数；

S3.1.3.根据预设的误差影响比例，计算第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值对于离散水平数的误差影响值，对所述误差影响值进行正交组合，生成2倍于由所述步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S4包括如下步骤：

S4.1.根据步骤S2.6中所确定的混沌多项式展开的阶数，将如式(1)所示的混沌多项式展开表示为如式(4)所示的缩减形式，

$R\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\Σ}}{\hat{f}}_j{\mathrm{\ψ}}_j\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(4\right)$

式(4)中，R(ξ)为可靠度估计值，是混沌多项式展开的系数，为p阶混沌多项式展开的基底类型，N_c为混沌多项式展开所包含系数的总个数；

S4.2.根据所述可靠度数值，通过加归分析求解方法，计算如式(4)所示的混沌多项式展开的系数，得到可靠性混沌多项式展开。

作为本发明的进一步改进，所述步骤S5的具体步骤包括：

S5.1.将式(4)按照Sobol’形式展开，并按照变量的个数进行分组，得到分组后的混沌多项式展开；

S5.2.计算分组后的混沌多项式展开中各组分的方差，以及式(4)的总方差；

S5.3.根据Sobol’计算公式，计算混沌多项式展开各阶的可靠性全局灵敏度指标和单个输入变量的总的可靠性全局灵敏度指标。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

1、本发明采用混沌多项式展开来建立可靠性与输入参数之间的函数关系，仅需要少量仿真作为基础，便可解析计算Sobol’指标，能够在保证精确性的前提下，大幅减少全局灵敏度分析的计算量。

2、本发明摒弃传统基于参数定义域内某一点来作为可靠性灵敏度大小的评判标准，本发明考虑不确定性的存在，输入参数的变化区域通常为一个不确定性区间，从整个变化区间出发去评价可靠性灵敏度，更符合工程实际。

3、本发明不仅可以计算某输入参数对可靠性的影响，还可以计算输入参数间的交叉作用对可靠性的影响，从而可以识别风险因子，为参数识别工作提供支持。

4、本发明可以用于校准影响可靠性的输入参数的最佳变化区域，从而可以指导参数的容差控制等工作。

附图说明

图1为本发明具体实施例流程示意图。

图2为本发明具体实施例中组合数示意图。

具体实施方式

以下结合说明书附图和具体优选的实施例对本发明作进一步描述，但并不因此而限制本发明的保护范围。

如图1所示，本实施例一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，包括如下步骤：S1.根据待分析模型的输入参数和输出参数，确定关键输入参数与关键输出参数；S2.构建用于表征关键输入参数与关键输出参数之间函数关系的满足预设条件的混沌多项式展开；S3.计算混沌多项式展开的可靠度数值；S4.根据可靠度数值，构建可靠性混沌多项式展开；S5.基于Sobol’指标，解析计算可靠性全局灵敏度指标。

在本实施例中，步骤S1中确定关键输入参数与关键输出参数的步骤为：S1.1.计算输入参数和输出参数的概率分布、随机变量特性和随机过程特性；S1.2.判断是否满足任意一个预设的判定准则，是则判定输入参数为关键输入参数，输出参数为关键输出参数；在本实施例中，预设的判定准则为：T1.概率分布是否满足预设的分布条件；T2.随机变量特性是否满足预设的特性阈值；T3.随机过程特性是否满足预设的过程特性阈值。

在本实施例中，步骤S2的具体步骤为：S2.1.根据关键输入参数的概率密度函数分布，结合Wiener-Askey方案，确定关键输入参数的基底类型，基底类型为标准随机变量的函数；S2.2.将关键输入参数与关键输出参数表征为基底类型的混沌多项式展开，混沌多项式展开的阶数为n，n≥2，n的初始值为2，如式(1)所示：

$y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(1\right)$

式(1)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；S2.3.从关键输入参数中随机采样，生成第一关键输入参数集，将第一关键输入参数集中的关键输入参数表示为标准随机变量的转换函数，将n+1阶混沌多项式展开所确定的基底类型的根作为随机配点输入至转换函数，计算得到第一输入参数；第一关键输入参数集中元素个数至少为n阶混沌多项式展开中系数个数的2倍；在初始情况下，混沌多项式展开的阶数为n＝2，则第一关键输入参数集中元素的个数至少为3阶混沌多项式展开中系数个数的2倍；S2.4.将第一输入参数输入预设的第一蒙特卡洛仿真模型，计算得到与第一输入参数对应的第一输出参数，生成由第一输入参数与第一输出参数构成的第一样本数据；S2.5.计算第一样本数据的条件数，并判断条件数是否小于预设的条件数阈值，是则跳转到步骤S2.6；否则跳转到步骤S2.3；S2.6.根据第一样本数据，通过改进的概率配点法(EPCM，Extension of probabilistic collocation method)和回归分析法计算如式(1)所示的n阶和n+1阶混沌多项式展开的系数，计算n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值，并判断n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值和第一输出参数值之间的误差是否小于预设的误差阈值，是则确定混沌多项式展开的阶为n，否则，将混沌多项式展开的阶数加1，跳转至步骤S2.2。

在本实施例中，步骤S3的具体步骤为：S3.1.对关键输入参数采用内外表直积法进行水平组合，得到2倍于由步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数；S3.2.计算组合数中各关键输入参数的水平偏离中心值的大小Δh，对于每一个组合数，将如式(1)所示的混沌多项式展开变形为如式(2)所示的形式；

$\begin{array}{c}y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1})+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}\left)\right)+\\ \mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}),\mathrm{..},({\mathrm{\ξ}}_{i_n}+{\mathrm{\Δh}}_{i_n}\left)\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为变形后的基底类型，均为标准随机变量，均为各关键输入参数的水平偏离中心值的大小；将式(2)展开合并，变形为如式(3)所示形式：

$y\left(n\right)=a_0^{\′}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(3\right)$

式(3)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；S3.3.对于每一个变形的混沌多项式展开，构建基于该混沌多项式展开的MCS仿真模型，分别进行MCS仿真，计算每一个变形的混沌多项式展开的可靠度数值。

在本实施例中，步骤S3.1的具体步骤为：S3.1.1.从关键输入参数中随机采样，生成第二关键输入参数集；S3.1.2.确定第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值的离散水平数；S3.1.3.根据预设的误差影响比例，计算第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值对于离散水平数的误差影响值，对误差影响值进行正交组合，生成2倍于由步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数。

在本实施例中，假定所研究的模型具有三个设计变量，三个设计变量分别所对应的标准随机变量为：ξ₁,ξ₂,ξ₃，每个标准随机变量具有关于零点对称的两个离散水平数，分别为±a,±b,±c，选定的正交表类型为L₄(2³)，预设的误差影响比例为±10％，则对离散水平数的误差影响值采用内外表直积法，可得到16组组合数，如图2所示。

在本实施例中，步骤S4的具体步骤为：S4.1.根据步骤S2.6中所确定的混沌多项式展开的阶数，将如式(1)所示的混沌多项式展开表示为如式(4)所示的缩减形式，

$R\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\Σ}}{\hat{f}}_j{\mathrm{\ψ}}_j\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(4\right)$

式(4)中，R(ξ)为可靠度估计值，是混沌多项式展开的系数，为p阶混沌多项式展开的基底类型，N_c为混沌多项式展开所包含系数的总个数；S4.2.根据可靠度数值，通过加归分析求解方法，计算如式(4)所示的混沌多项式展开的系数，得到可靠性混沌多项式展开(RPCE)，即RPCE的最终形式。

在本实施例中，步骤S5的具体步骤为：S5.1.将式(4)按照Sobol’形式展开，并按照变量的个数进行分组，得到分组后的混沌多项式展开；S5.2.计算分组后的混沌多项式展开中各组分的方差，以及式(4)的总方差；S5.3.根据Sobol’计算公式，计算混沌多项式展开各阶的可靠性全局灵敏度指标和单个输入变量的总的可靠性全局灵敏度指标。

在本实施例中，步骤S5.1中按照变量的个数进行分组的具体步骤为：对被加项不展开，将单独的各个变量的各次项分为一组，将具有两个变量的被加项的各次项分为一组，依此类推，得到分组后的混沌多项式展开，其数学表达式为：

式(5)中，β＝(β₁,…,β_n)是一个整数序列，且满足β_i≥0，p为PCE的阶数，的定义为： 为混沌多项式展开的系数，ψ_β(ξ₁,…ξ_n)为混沌多项式展开所选择的基底类型；

计算分组后的混沌多项式展开中各组分的方差，如式(6)所示，

式(6)中，为输入参数组合{i₁,…,i_s}的方差，β＝(β₁,…,β_n)是一个整数序列，且满足β_i≥0，p为PCE的阶数，的定义为： 为混沌多项式展开的系数，为混沌多项式展开所选择基底类型的数学期望。

混沌多项式展开的总方差如式(7)所示，

$D_R=Var\[R\left(\mathrm{\ξ}\right)\]=\underset{j=1}{\overset{N_c-1}{\Σ}}{\hat{f}}_j^{2}E\[{\mathrm{\ψ}}_j^2\left(\mathrm{\ξ}\right)\]---\left(7\right)$

式(7)中，D_R为混沌多项式展开的方差，Var[R(ξ)]为可靠度估计值R(ξ)的方差，为混沌多项式展开的系数，为混沌多项式展开所选择基底类型的数学期望；N_c为混沌多项式展开所包含系数的总个数。

根据如式(8)所示各阶Sobol’计算公式，

$S_{i_1,...,i_s}=D_{i_1,...,i_s}/D---\left(8\right)$

式(8)中，为输入参数组合{i₁,…,i_s}的全局灵敏度指标，为输入参数组合{i₁,…,i_s}的方差，D为混沌多项式展开的总方差。

将式(6)和式(7)代入式(8)，即可计算混沌多项式展开各阶的可靠性全局灵敏度指标，如式(9)所示，

式(8)中，表示输入参数组合{i₁,…,i_s}的全局灵敏度，β＝(β₁,…,β_n)是一个整数序列，且满足β_i≥0，p为PCE的阶数，的定义为： 为混沌多项式展开的系数，为混沌多项式展开所选择基底类型的数学期望。

单个输入变量的总的可靠性全局灵敏度指标，如式(10)所示，

在式(10)中，为单个输入变量的总的可靠性全局灵敏度，j₁,…,j_t为一个给定的整数序列，的定义为：

在本实施例中，采用混沌多项式展开来建立可靠性与输入参数之间的函数关系，仅需要少量仿真作为基础，便可解析计算Sobol’指标，能够在保证精确性的前提下，大幅减少全局灵敏度分析的计算量；摒弃传统基于参数定义域内某一点来作为可靠性灵敏度大小的评判标准，本发明考虑不确定性的存在，输入参数的变化区域通常为一个不确定性区间，从整个变化区间出发去评价可靠性灵敏度，更符合工程实际。同时，本实施例不仅可以计算某输入参数对可靠性的影响，还可以计算输入参数间的交叉作用对可靠性的影响，从而可以识别风险因子，为参数识别工作提供支持；可以用于校准影响可靠性的输入参数的最佳变化区域，从而可以指导参数的容差控制等工作。

上述只是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制。虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化及修饰，均应落在本发明技术方案保护的范围内。

Claims (7)

1.一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1.根据待分析模型的输入参数和输出参数，确定关键输入参数与关键输出参数；

S2.构建用于表征所述关键输入参数与关键输出参数之间函数关系的满足预设条件的混沌多项式展开；

S3.计算所述混沌多项式展开的可靠度数值；

S4.根据所述可靠度数值，构建可靠性混沌多项式展开；

S5.基于Sobol’指标，解析计算可靠性全局灵敏度指标。

2.根据权利要求1所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S1中确定所述关键输入参数与关键输出参数的步骤包括：

S1.1.计算所述输入参数和输出参数的概率分布、随机变量特性和随机过程特性；

S1.2.判断是否满足任意一个预设的判定准则，是则判定所述输入参数为关键输入参数，所述输出参数为关键输出参数；

所述预设的判定准则包括：

T1.所述概率分布是否满足预设的分布条件；

T2.所述随机变量特性是否满足预设的特性阈值；

T3.所述随机过程特性是否满足预设的过程特性阈值。

3.根据权利要求2所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于：所述步骤S2的具体步骤包括：

S2.1.根据所述关键输入参数的概率密度函数分布，结合Wiener-Askey方案，确定关键输入参数的基底类型，所述基底类型为标准随机变量的函数；

S2.2.将所述关键输入参数与关键输出参数表征为所述基底类型的混沌多项式展开，所述混沌多项式展开的阶数为n，n≥2，n的初始值为2，如式(1)所示：

$y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(1\right)$

式(1)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；

S2.3.从所述关键输入参数中随机采样，生成第一关键输入参数集，将所述第一关键输入参数集中的关键输入参数表示为所述标准随机变量的转换函数，将n+1阶混沌多项式展开所确定的基底类型的根作为随机配点输入至所述转换函数，计算得到第一输入参数；所述第一关键输入参数集中元素个数至少为所述n阶混沌多项式展开中系数个数的2倍；

S2.4.将所述第一输入参数输入预设的第一蒙特卡洛仿真模型，计算得到与所述第一输入参数对应的第一输出参数，生成由第一输入参数与第一输出参数构成的第一样本数据；

S2.5.计算所述第一样本数据的条件数，并判断所述条件数是否小于预设的条件数阈值，是则跳转到步骤S2.6；否则跳转到步骤S2.3；

S2.6.根据所述第一样本数据，通过改进的概率配点法和回归分析法计算如式(1)所示的n阶和n+1阶混沌多项式展开的系数，计算n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值，并判断所述n阶混沌多项式展开的值、n+1阶混沌多项式展开的值和所述第一输出参数值之间的误差是否小于预设的误差阈值，是则确定所述混沌多项式展开的阶为n，否则，将所述混沌多项式展开的阶数加1，跳转至步骤S2.2。

4.根据权利要求3所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S3包括如下步骤：

S3.1.对所述关键输入参数采用内外表直积法进行水平组合，得到2倍于由所述步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数；

S3.2.计算所述组合数中各关键输入参数的水平偏离中心值的大小Δh，对于每一个组合数，将所述如式(1)所示的混沌多项式展开变形为如式(2)所示的形式；

$\begin{array}{c}y\left(n\right)=a_0+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}{\mathrm{\Γ}}_1({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1})+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}{\mathrm{\Γ}}_2\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}\left)\right)+\\ \mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}{\mathrm{\Γ}}_n\left(\right({\mathrm{\ξ}}_{i_1}+{\mathrm{\Δh}}_{i_1}),({\mathrm{\ξ}}_{i_2}+{\mathrm{\Δh}}_{i_2}),\mathrm{...},({\mathrm{\ξ}}_{i_n}+{\mathrm{\Δh}}_{i_n}\left)\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为变形后的基底类型，均为标准随机变量，均为各关键输入参数的水平偏离中心值的大小；

将所述式(2)展开合并，变形为如式(3)所示形式：

$y\left(n\right)=a_n^{\′}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_{i_1}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_1\left({\mathrm{\ξ}}_{i_1}\right)+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_2({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2})+\mathrm{...}+\underset{i_1=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{i_2=1}{\overset{i_1}{\Σ}}\mathrm{...}\underset{i_n=1}{\overset{i_{n-1}}{\Σ}}{a}_{i_1{i}_2\mathrm{...}{i}_n}^{\′}{\mathrm{\Γ}}_n({\mathrm{\ξ}}_{i_1},{\mathrm{\ξ}}_{i_2},\mathrm{...},{\mathrm{\ξ}}_{i_n})---\left(3\right)$

式(3)中，y(n)为混沌多项式展开，n为混沌多项式展开的阶，均为混沌多项式展开的系数，均为所确定的基底类型，均为标准随机变量；

S3.3.对于每一个变形的混沌多项式展开，构建基于该混沌多项式展开的MCS仿真模型，分别进行MCS仿真，计算每一个变形的混沌多项式展开的可靠度数值。

5.根据权利要求4所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S3.1的具体步骤包括：

S3.1.1.从所述关键输入参数中随机采样，生成第二关键输入参数集；

S3.1.2.确定所述第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值的离散水平数；

S3.1.3.根据预设的误差影响比例，计算第二关键输入参数集中各关键输入参数的均值对于离散水平数的误差影响值，对所述误差影响值进行正交组合，生成2倍于由所述步骤S2.6中所确定的n阶混沌多项式展开中包含的未知系数个数的组合数。

6.根据权利要求5所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S4包括如下步骤：

S4.1.根据步骤S2.6中所确定的混沌多项式展开的阶数，将如式(1)所示的混沌多项式展开表示为如式(4)所示的缩减形式，

$R\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\Σ}}{\hat{f}}_j{\mathrm{\ψ}}_j\left(\mathrm{\ξ}\right)---\left(4\right)$

式(4)中，R(ξ)为可靠度估计值，是混沌多项式展开的系数，为p阶混沌多项式展开的基底类型，N_c为混沌多项式展开所包含系数的总个数；

S4.2.根据所述可靠度数值，通过加归分析求解方法，计算如式(4)所示的混沌多项式展开的系数，得到可靠性混沌多项式展开。

7.根据权利要求6所述的基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，其特征在于，所述步骤S5的具体步骤包括：

S5.1.将式(4)按照Sobol’形式展开，并按照变量的个数进行分组，得到分组后的混沌多项式展开；

S5.2.计算分组后的混沌多项式展开中各组分的方差，以及式(4)的总方差；

S5.3.根据Sobol’计算公式，计算混沌多项式展开各阶的可靠性全局灵敏度指标和单个输入变量的总的可靠性全局灵敏度指标。