CN104123447A - 一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，在传统数据包络分析模型基础上，考虑复杂制造系统中生产因素的不确定性和模糊性，引入三角模糊数对其进行表征，建立模糊数据包络分析评价模型。为了避免制造系统评价过程中对某些输入/输出因素过于依赖或被忽略，模型中引入保证域概念，保证各生产因素的权值处于合理范围，从而建立模糊数据包络分析/保证域模型。引入α截集以计算制造系统模糊有效性的上界和下界，公开一种排序方法对其上界和下界进行排序，排序指标最高即为相对最有效的制造系统。本发明提供的综合评价方法释放了制造系统在生产中规模收益不变的约束，在实际生产系统更具有实际意义。

Description

一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法

技术领域

本发明涉及制造系统的综合评价方法，特别是涉及到一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法技术。

背景技术

有效评价行业内制造系统的投入产出的相对有效性对生产企业决策具有指导意义。近年来，对于先进制造系统的评价和决策问题受到了广泛关注，主要体现在多目标数学规划、智能优化以及模糊决策等方法。上述方法需要建立精确地数学模型，因而不适用于难以建模的复杂制造系统评价。数据包络分析(Data Envelopment Analysis,DEA)是由运筹学家Charnes、Cooper和Rhodes于1978年提出的，用于多个同类型决策单元(Decision Making Unit,DMU)相对有效性评价。DEA作为一种线性规划方法，也被用于制造系统性能评价和决策问题。DEA方法结构简单，且无需建立精确的数学模型，因而在生产效率的评价中应用日趋广泛。目前，应用于制造系统中主要是确定的DEA方法。然而，对于某些输入/输出因素难以用精确数字来描述的复杂系统而言，确定的DEA方法不再适用。针对制造系统的模糊性和不确定性，已有技术中提出了模糊DEA评价方法，但其方法要求制造系统满足规模收益不变的约束。而实际的生产系统往往难以满足这一约束条件。因此，本发明提供一种适用于规模收益可变的基于改进数据包络分析的知识化制造系统综合评价方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对解决背景技术中的不足，提出一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，包括以下步骤：

步骤1)，针对每一个待评价制造系统，将其定义为决策单元，获取其输入因素以及输出因素的参数值；

步骤2)，根据每个决策单元的输入因素以及输出因素的参数值建立其模糊数据包络分析/保证域(Fuzzy Data Envelopment Analysis/Assurance Region,FDEA/AR)模型；

步骤3)，分别对每个模糊数据包络分析/保证域模型进行求解；

步骤4)，分别计算每个待评价制造系统的有效性边界值的排序指标，选择排序指标最高的制造系统为相对最有效系统。

作为本发明一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法进一步的优化方案，步骤2)中第i个模糊数据包络分析/保证域模型的决策单元DMUi的FDEA/AR模型的模糊相对有效性为：

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{ik}}.$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{rk}}-(\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2}......,s,\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,m,\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,n,\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0.\end{array}\right.---\left(I\right)$

其中，表示第i个决策单元的模糊有效性；ω_k为表示第k个输出因素的重要程度的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输出因素；υ_j为表示第j个输入重要程度的的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输入因素；υ₀为无符号约束的常数；s为决策单元的数量；m、n均为大于等于2的整数；为第p个输入因素的权重下界与第q个输入因素权重上界的比值；为第p个输入因素的权重上界与第q个输入因素权重下界的比值；为第p个输出因素的权重下界与第q个输出因素权重上界的比值；为第p个输出因素的权重上界与第q个输出因素权重下界的比值。

作为本发明一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法进一步的优化方案，所述步骤3)中引入α截集对模糊线性规划模型即式(Ⅰ)求解，则基于置信水平α的FDEA/AR模型为：

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{ik}}.$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{rk}}-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2},...,s,\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_p\&le;0,p<q=2,...,m,\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,p<q=2,...,n,\\ \begin{array}{ccc}{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;x_{\mathrm{rj}}\&le;{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& j=\mathrm{1,2},...m,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;y_{\mathrm{rk}}\&le;{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& k=\mathrm{1,2},...n,\end{array}\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0.\end{array}\right.---\left(\mathrm{II}\right)$

其中：表示置信水平α下X_ij的下界；表示置信水平α下X_ij的上界；表示置信水平α下Y_ij的下界；表示置信水平α下Y_ij的上界。

将模糊线性规划模型即式(Ⅱ)转化为一对传统线性规划模型以获得其有效性的上界和下界

作为本发明一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法进一步的优化方案，所述有效性的上界和下界的获取方法如下：

DMU_i的模糊相对有效性取得上界当且仅当DMU_i的模糊输入取下界，其模糊输出取上界；同时，其他DMU的模糊输入取上界，且其模糊输出取下界；

DMU_i的模糊相对有效性取得上界当且仅当DMU_i的模糊输入取上界，其模糊输出取下界；同时，其他DMU的模糊输入取下界，且其模糊输出取上界。

作为本发明一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法进一步的优化方案，DMU_i在置信水平α_I＝I/K(I＝1,2,…,K为传统取点数)有效性边界值的指标为：

$I\left({\tilde{E}}_i\right)=\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I({\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^L+{\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^U)/2\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I$

其中:表示DMU_i的模糊有效性；为DMU_i的模糊有效性的排序指标；α_I表示置信水平；为在置信水平α_I下的下界；为在置信水平α_I下的上界。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

1.本发明针对生产实际中生产因素的不确定性和模糊性，引入模糊数表征生产因素的参数值，更符合制造系统的实际生产要求；

2.为了避免评价结果过度依赖或忽略某些生产因素，根据先验知识或专家评估限定不同生产因素的权重值，使各生产因素的权重处于合理范围之内，保证评价结果的客观性；

3.本发明提供的FDEA/AR评价决策方法释放了已有技术中对制造系统规模收益不变的约束，为生产实际中规模收益可变的制造系统性能评价提供了理论依据，评价决策方法在实际生产系统中具有更应用价值。

附图说明

图1是本发明的评价决策方法结构图；

图2是本发明实施例的制造系统排序结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

如图1所示，本发明公开了一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，具体步骤如下：

1.定义决策单元及决策单元的输入输出因素，计算其因素值。具体实施为：以待评价的制造系统为决策单元。输入因素为制造系统对资源的消耗，表现为生产成本、生产时间、占地面积；输出因素为制造系统消耗资源后的产出，表现为产品质量、产量和利润。其中，成本包括设备成本、原材料成本、研发成本及管理调度成本等；时间包括产品研发时间、加工时间和销售时间。

2.建立FDEA/AR模型。

(a)在传统的BCC有效性性评价模型中，DMU_i的相对有效性为E_i

$E_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{Y}_{\mathrm{ik}}.$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{Y}_{\mathrm{rk}}-(\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{X}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2}......,s,\\ \underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{X}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ {\mathrm{\&omega;}}_k\&GreaterEqual;0,\\ {\mathrm{\&upsi;}}_j\&GreaterEqual;0.\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，表示第i个决策单元的模糊有效性；ω_k为表示第k个输出因素的重要程度的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输出因素；υ_j为表示第j个输入重要程度的的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输入因素；υ₀为无符号约束的常数；s为决策单元的数量。

(b)在模型(1)中，权重ω_k和υ_j都是变量。因此，每一个决策单元都需要为其输入和输出确定一个合适的权重。传统DEA求解通过引入一个非阿基米德无穷小量ε来排除0权重的情况，以使所有的输入和输出都能用于评价决策单元的有效性。然而，如何确定非阿基米德无穷小量成为了一个问题，不同的数值可能产生不同的结果。为此，借鉴Thompson提出的保证域(AR)概念构建DEA/AR模型以避免非阿基米德无穷小量取值影响问题。假设从专家经验和知识中得到的输出1的权重范围在L_O1到U_O1，输出2的权重范围为L_O2到U_O2。则相应的约束条件表示为：L_O1/U_O2≤ω₁/ω₂≤U_O1/L_O2，对于所有的输入和输出可表示为：

L_Op/U_Oq≤ω_p/ω_q≤U_Op/L_Oq,p＜q＝2,……,n           (2a)

L_Ip/U_Iq≤υ_p/υ_q≤U_Ip/L_Iq,p＜q＝2,……,m           (2b)

分别令， $C_{\mathrm{pq}}^L=L_{\mathrm{Ip}}/U_{\mathrm{Iq}},C_{\mathrm{pq}}^U=U_{\mathrm{Ip}}/L_{\mathrm{Iq}},D_{\mathrm{pq}}^L=L_{\mathrm{Op}}/U_{\mathrm{Oq}}$ 和 $D_{\mathrm{pq}}^U=U_{\mathrm{Op}}/L_{\mathrm{Oq}},$ 则模型(1)可改写为以下包含保证域在内的形式：

$E_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{Y}_{\mathrm{ik}}.$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{X}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{Y}_{\mathrm{rk}}-(\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{X}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2}......,s,\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,m,\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,n,\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0.\end{array}\right.---\left(3\right)$

(c)模型(3)中的输入和输出均为确定性的。实际上，制造系统中的输入和输出因素往往难以用确定的数值进行描述。因此，利用三角模糊数表征制造系统投入-产出中难以精确描述的因素。将三角模糊数表征的模糊输入量和模糊输出量代替模型(3)中的确定的输入和输出，则将其转化为FDEA/AR模型：

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{ik}}$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{rk}}-(\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2}......,s\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,m\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,n\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0\end{array}\right.---\left(4\right)$

3.求解模糊数据包络分析/保证域模型。

(a)由模型(4)确定的相对有效性指数也应是一个模糊数，而且当输入和输出介于不同的模糊范围时将产生不同的模糊有效性指数。因此，针对模型(4)的模糊线性规划问题，引入α截集对其进行求解。

以和分别表示和的集合，则和的α截集为：

${\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}=[{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L,{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U]=[\underset{x_{\mathrm{ij}}}{\min }\{x_{\mathrm{ij}}\&Element;X_{\mathrm{ij}}|{\mathrm{\&mu;}}_{{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}}\left(x_{\mathrm{ij}}\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\},\underset{x_{\mathrm{ij}}}{\max }\{x_{\mathrm{ij}}\&Element;X_{\mathrm{ij}}|{\mathrm{\&mu;}}_{{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}}\left(x_{\mathrm{ij}}\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\left\}\right]---\left(5a\right)$

${\left(Y_{\mathrm{ik}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}=[{\left(Y_{\mathrm{ik}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L,{\left(Y_{\mathrm{ik}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U]=[\underset{y_{\mathrm{ik}}}{\min }\{y_{\mathrm{ik}}\&Element;Y_{\mathrm{ik}}|{\mathrm{\&mu;}}_{{\tilde{Y}}_{\mathrm{ik}}}\left(y_{\mathrm{ik}}\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\},\underset{y_{\mathrm{ik}}}{\max }\{y_{\mathrm{ik}}\&Element;Y_{\mathrm{ik}}|{\mathrm{\&mu;}}_{{\tilde{Y}}_{\mathrm{ik}}}\left(y_{\mathrm{ik}}\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\left\}\right]---\left(5b\right)$

其中， ${\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{\mathrm{ij}}+(1-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}){\underset{\&OverBar;}{X}}_{\mathrm{ij}},{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\underset{\&OverBar;}{X}}_{\mathrm{ij}}+(1-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}){\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{\mathrm{ij}},$ 与分别表示三角模糊数的上界和下界。

由此可推出DMU_i在置信水平α上的相对模糊有效性模型为:

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{ik}}$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{rk}}-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2},...,s\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_p\&le;0,p<q=2,...,m\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,p<q=2,...,n\\ \begin{array}{ccc}{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;x_{\mathrm{rj}}\&le;{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& j=\mathrm{1,2},...m\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;y_{\mathrm{rk}}\&le;{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& k=\mathrm{1,2},...n\end{array}\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0\end{array}\right.---\left(6\right)$

(b)评价DMU_i在置信水平α上的相对有效性，在模型(4)中取 $\&ForAll;j=\mathrm{1,2},...,m,$ 取 $x_{\mathrm{ij}}={\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L,$ 且 $\&ForAll;r=\mathrm{1,2},...,s,$ r≠i,取 $r_{\mathrm{rj}}={\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U,y_{\mathrm{rk}}={\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L,$ 则DMU_i在置信水平α上的相对有效性获得上界即

${\left(E_i\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{ik}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2},...,s,r\&NotEqual;i\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,...,m\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,...,n\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0\end{array}\right.---\left(7\right)$

(c)评价DMU_i在置信水平α上的相对有效性，在模型(4)中取 $\&ForAll;j=\mathrm{1,2},...,m,$ 取 $x_{\mathrm{ij}}={\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U,$ 且 $\&ForAll;r=\mathrm{1,2},...,s,$ r≠i,取 $r_{\mathrm{rj}}={\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L,y_{\mathrm{rk}}={\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U,$ 则DMU_i在置信水平α上的相对有效性获得下界即

${\left(E_i\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{ik}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2},...,s,r\&NotEqual;i\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\left(Y_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{\left(X_{\mathrm{ij}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,...,m\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,...,n\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0\end{array}\right.---\left(8\right)$

对于一个给定的α值，模型(7)和(8)表示的是传统的DEA/AR模型，易于利用线性规划求解器求解。

5.计算有效性的边界值的排序指标，选择排序指标最高的决策单元相对最有效的制造系统。由分析过程可知对于确定的α，DMU_i的相对有效性是介于和之间的模糊数。与越接近说明相对有效性的模糊程度越低，反之，说明模糊程度越高。为了定量表征各决策单元的相对有效性，给出一种相对有效性模糊数的排序方法。DMU_i在置信水平α_I＝I/K(I＝1,2,…,K为传统取点数)排序指标为：

$I\left({\tilde{E}}_i\right)=\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I({\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^L+{\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^U)/2\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I---\left(9\right)$

其中:表示DMU_i的模糊有效性；α_I表示置信水平；为在置信水平α_I下的下界；为在置信水平α_I下的上界。根据计算每个DMU的排序指标，从而选择排序指标最高的DMU作为最有效的制造系统。

综上，本发明由四部分组成，即评价目标、评价模型、模型求解与评价结果。

实施例：

利用汽车车灯生产行业的现有制造系统评价来为例验证本发明提供方法的有效性。每种制造系统的生产数据如表1所示。

表1制造系统生产数据

根据专家打分法确定生产成本、占地面积和生产时间输入量的权重取值范围分别为：ω₁＝[0.3523,0.3835],ω₂＝[0.1318,0.1996]和ω₃＝[0.4547,0.4838],质量、产量和利润的权值取值范围分别为：U₁＝[0.6105,0.6895],υ₂＝[0.0855,0.1895]和U₃＝[0.2013,0.2387]。令α＝0.1,0.2,…,1.0时，分别计算每种制造系统的相对有效的上界和下界。表2给出了10个α离散值下8种制造系统的和

表2 基于α截集的8种制造系统模糊有效性

注：L为模糊有效性下界U为模糊有效性上界

由表2可知，α值越大，不确定性越低。特别地，当α＝1.0时与最为接近，均为确定值；当α＝0.1时，制造系统1最大的有效性指数仅为0.8732，而制造系统2的最小有效性指数达到0.9256，显然，制造系统2相对制造系统1是有效的。此外，制造系统2和系统6在不同的置信水平α下有效性指数都达到了1.0，它们都为置信水平α下DEA有效。为了从中寻求相对最为有效的制造系统，利用公式(9)对表2中的8种制造系统的有效性进行排序，结果如图2所示。计算结果表明，制造系统2最为有效，其次为制造系统6，而制造系统1相对最无效。应用实例结果表明，本发明提供的基于改进的数据包络分析的制造系统的评价决策方法是有效的。

Claims (5)

1.一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1)，针对每一个待评价制造系统，将其定义为决策单元，获取其输入因素以及输出因素的参数值；

步骤2)，根据每个决策单元的输入因素以及输出因素的参数值建立其模糊数据包络分析/保证域模型；

步骤3)，分别对每个模糊数据包络分析/保证域模型进行求解；

步骤4)，分别计算每个待评价制造系统的有效性边界值的排序指标，选择排序指标最高的制造系统为相对最有效系统。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，其特征在于，步骤2)中第i个模糊数据包络分析/保证域模型的决策单元的模糊有效性为：

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{ik}}.---\left(I\right)$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\tilde{Y}}_{\mathrm{rk}}-(\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{\tilde{X}}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2}......,s,\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,m,\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,\&ForAll;p<q=2,......,n,\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0.\end{array}\right.$

其中，表示第i个决策单元的模糊有效性；ω_k表示第k个输出因素的重要程度的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输出因素；υ_j表示第j个输入重要程度的的权重系数；表示第i个决策单元的第j个模糊输入因素；υ₀为无符号约束的常数；s为决策单元的数量；m、n均为大于等于2的整数；为第p个输入因素的权重下界与第q个输入因素权重上界的比值；为第p个输入因素的权重上界与第q个输入因素权重下界的比值；为第p个输出因素的权重下界与第q个输出因素权重上界的比值；为第p个输出因素的权重上界与第q个输出因素权重下界的比值。

3.根据权利要求2所述的一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，其特征在于，所述步骤3)中引入α截集对模糊线性规划模型即式(Ⅰ)求解，则基于置信水平α的模糊数据包络分析/保证域模型为：

${\tilde{E}}_i=\max \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{ik}}.$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0=1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_k{y}_{\mathrm{rk}}-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&upsi;}}_j{x}_{\mathrm{rj}}+{\mathrm{\&upsi;}}_0)\&le;0,r=\mathrm{1,2},...,s,\\ -{\mathrm{\&upsi;}}_p+C_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&upsi;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&upsi;}}_p-C_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&upsi;}}_p\&le;0,p<q=2,...,m,\\ -{\mathrm{\&omega;}}_p+D_{\mathrm{pq}}^L{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,{\mathrm{\&omega;}}_p-D_{\mathrm{pq}}^U{\mathrm{\&omega;}}_q\&le;0,p<q=2,...,n,\\ \begin{array}{ccc}{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;x_{\mathrm{rj}}\&le;{\left(X_{\mathrm{rj}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& j=\mathrm{1,2},...m,\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^L\&le;y_{\mathrm{rk}}\&le;{\left(Y_{\mathrm{rk}}\right)}_{\mathrm{\&alpha;}}^U& r=\mathrm{1,2},...s& k=\mathrm{1,2},...n,\end{array}\\ {\mathrm{\&omega;}}_k,{\mathrm{\&upsi;}}_j>0.\end{array}\right.$

其中，表示置信水平α下X_ij的下界；表示置信水平α下X_ij的上界；表示置信水平α下Y_ij的下界；表示置信水平α下Y_ij的上界。

将模糊线性规划模型转化为一对传统线性规划模型以获得其有效性的上界和下界

4.根据权利要求3所述的一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，其特征在于，所述有效性的上界和下界的获取方法如下：

第i个决策单元的模糊相对有效性取得上界当且仅当第i个决策单元的模糊输入取下界，其模糊输出取上界；同时，其他决策单元的模糊输入取上界，模糊输出取下界；

第i个决策单元的模糊相对有效性取得上界当且仅当第i个决策单元的模糊输入取上界，其模糊输出取下界；同时，其他决策单元的模糊输入取下界，模糊输出取上界。

5.根据权利要求4所述的一种基于改进数据包络分析的制造系统综合评价方法，其特征在于，第i个决策单元在置信水平α_I＝I/K(I＝1,2,…,K为传统取点数)下排序指标为：

$I\left({\tilde{E}}_i\right)=\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I({\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^L+{\left(E_i\right)}_{{\mathrm{\&alpha;}}_I}^U)/2\underset{I=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_I$

其中，表示第i个决策单元的模糊有效性；α_I表示置信水平；为在置信水平α_I下的下界；为在置信水平α_I下的上界。