CN106012721B - 一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法 - Google Patents

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Abstract

一种用于道路路线平面线形设计的“两点”线元法，属于道路路线平面线形设计曲线法技术领域。其特征是含切直线、圆曲线、正/反向完整型回旋线、正/反向非完整型回旋线6种基本线元类型，含与线元起、终点相关的坐标、切向角、半径以及线元偏转角、长度8个基本参数；4个典型独立参数是起点坐标、起点切向角、起点半径和终点坐标。在线元设计过程中，与起点相关的3个参数是已知的，故只需再拟定终点坐标，即可惟一确定6种基本型线元曲线，均如同两点惟一确定一条直线。效果和益处是：通过两点可惟一确定6种线元类型，线元终点位置、线元形状及路线走向易于控制，强调坐标位置对线元的控制作用，符合路线设计及施工放线的坐标控制习惯。

Description

一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法
技术领域
本发明属于道路路线平面线形设计技术领域，涉及到平面线形设计的曲线法，特别涉及到一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法。
技术背景
目前，我国平面线形设计方法主要有导线法和曲线法，导线法为传统的设计方法，其特征是基于首尾相连的直线导线设计确定圆曲线、缓和曲线等平曲线形，因此导线在路线设计及路线走向中起主控作用，圆曲线、缓和曲线的作用是保证线形的平滑顺畅性。
传统的导线设计方法难以满足复杂的平面线形设计要求，尤其是山区平面线形设计及互通式立交匝道线形设计。由此，曲线法逐渐得以发展应用。曲线法包括曲直法、拟合法、闭合导线法、线元积木法等，其中线元积木法应用较为广泛。
曲直法是采用直线控制路线走向和总体方向，而曲线控制具体线位，基于直线、曲线组合形成线形的骨架再设置合理的缓和曲线，该方法发展较早、灵活简单。
拟合法是基于路线走向，获得一系列平面控制点的坐标数据，再采用光滑曲线连接起来形成平面线形。根据拟合曲线对平面控制点接近程度的不同，拟合问题分为“插值”和“逼近”两种类型。不能直观地体现平曲线要素值是该方法的主要缺点。
闭合导线法是在高等级公路或立交匝道某段线形组合的主线已知条件下，利用主线与各段线元形成的闭合线路，进行统一计算分析从而获得平曲线形参数，分为弦切线闭合导线法和圆心连线闭合导线法。
线元积木法在曲线法平面线形设计中应用较为广泛。该方法采用直线、圆曲线、回旋线等基本线元，将路线离散为首尾相连的若干个线形单元，各单元在连接点处保持线形、曲线切向及曲率的连续性。线元积木法进行线形设计时，总是从已知点开始，在新线元主控参数确定的条件下，计算确定新线元其余参数，并将新线元逐步添加到设计线形中，如同搭建积木一样。线元积木法的缺点是线元终点位置难以有效控制，线形参数的确定具有较大盲目性；另外，对于已设计好的线形，当需要调整其中某条线元的参数时，将对众多相邻线元产生影响。
基于线元积木法的动态交互式路线设计方法在众多商业软件中得以广泛应用。假定路线AB段已完成设计，则B点坐标、切线方向及曲线半径均为已知值。采用动态交互式线元积木法设计新线元BE的方法过程是：先确定拟添加线元的类型(直线、圆曲线及回旋线之一)，当鼠标拖动时，程序将变化的坐标点E′(x,y)作为拟添加线元终点E的参考位置，动态计算、确定线元相关参数，再实时绘制出相应线元曲线。动态交互式线元积木法简便、直观，可较大地提升设计效果及设计效率，其不足之处在于：①由于采用曲线长度或终点半作为控制参数，通常情况下设计的新线元终点E与鼠标在拖动过程中的参考坐标点E′不重合，致使新设计线元的形状、终点位置及终点切线方向难以有效控制。②一般只预先设定1种线元类型(直线、圆曲线及回旋线之一)，在动态设计过程中仅实时显示满足约束条件的1种既定线元曲线，设计者无选择余地、缺少灵活机动性。
发明内容
本发明提供了一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法，该方法强调坐标位置对线元线形的控制作用，线元含起点B坐标、终点E坐标、起点切向角αB、终点切向角αE、起点半径RB、终点半径RE、线元偏转角β、线元长度L等8个基本参数，含切直线、圆曲线、正向完整型回旋线、反向完整型回旋线、正向非完整型回旋线、反向非完整型回旋线6种基本型线元类型。在8个基本参数中，最多只有4个参数是独立的。当已知线元起点B坐标、起点切向角αB和起点半径RB共3个参数的条件下，只需再拟定终点E的坐标，要求点E不在起点切向线上，即可惟一计算确定6种基本型线元的其余基本参数，并可绘制6种基本型线元曲线。采用“两点”线元法进行路线平面线形设计，线元终点、线元形状及路线走向均易于控制。
本发明的技术方案如下：
一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法，包括以下步骤：
(1)建立线元基本参数、基本类型及典型独立参数
在传统线元法积木法中，线元端点(起点、终点)不作为基本参数，而“两点”线元法强调坐标位置对线元形状的控制作用，将线元起点、终点坐标均作为重要基本参数之一。
建立8个基本参数，分别为：起点B坐标、终点E坐标、起点切向角αB、起点半径RB、终点切向角αE、终点半径RE、线元偏转角β和线元长度L。其中，起点B坐标、终点E坐标、起点切向角αB和起点半径RB是四个独立参数，其余的四个参数通过四个独立参数计算得到。
(2)通过以上8个基本参数，将基本线元类型分为切直线线元、圆曲线线元、正向完整型回旋线线元、反向完整型回旋线线元、正向非完整型回旋线线元和反向非完整型回旋线线元共6种。
1)切直线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)惟一确定切直线线元，已知的独立参数为3个。其余线元基本参数确定如下：起点半径RB＝∞、终点半径RE＝∞，终点E切向角αE＝αB，线元偏转角β＝0，线元长度当终点E在起点切线方向上时，独立参数为起点B、终点E，线元参数的确定方法相同。
2)圆曲线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定圆曲线线元，已知独立参数为3个。线元其余基本参数计算步骤如下：
第一步：计算矢量的方向角α1。
根据起点B、终点E的坐标，由式(2.1)计算确定。
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0。
α0＝α1-αB (2.2)
由已知条件有α0≠0且α0≠±π，采用式(2.3)将α0标准化。
α0标准化后，满足条件α0∈(-π,+π)且α0≠0。
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值。
采用式(2.4)判定线元曲线的左右转方向，确定转向符号δ0的数值。
第四步：计算圆曲线对应的圆心角。
设C为圆曲线的圆心，可由式(2.5)获得圆曲线对应的圆心角∠BCE。
∠BCE＝2α2＝2|α0| (2.5)
式(2.5)中，α2为圆曲线圆心角的一半。
第五步：计算圆曲线线元偏转角β。
线元终点E处的切线方向相对于线元起点B处的切线方向的旋转角度，称为线元偏转角，用β表示。β是“两点线元法”重要参数，由式(2.6)确定圆曲线线元偏转角β。
β＝2|α0| (2.6)
第六步：由式(2.7)计算圆曲线半径RC。
第七步：计算圆曲线线元其他参数。
线元终点E切向角αE由式(2.8)计算：αE＝αB+δ0β (2.8)
线元长度L由式(2.9)计算：L＝RCβ (2.9)
圆心C坐标(XC,YC)由式(2.10)、式(2.11)计算：αC＝αB+0.5πδ0 (2.10)
3)正向完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定正向完整型回旋线线元，其中线元起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB＝∞、RE∈(0,∞)，起点B亦为正向完整型回旋线的原点O'，已知独立参数为4个。线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1。
与“圆曲线线元”完全相同，由式(2.1)确定。
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)确定。
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定。
第四步：建立相对坐标系O'X'Y'，计算线元终点E的相对坐标(X'EB,Y'EB)。
以完整型回旋线原点O'为相对坐标系原点，以起点切线方向为相对坐标系+X'轴，以+X'轴逆时针旋转90゜方向为相对坐标系+Y'轴方向，建立相对坐标系O'X'Y'。
在相对坐标系O'X'Y'下，由式(3.1)计算线元终点E的相对坐标(X'EB,Y'EB)。
第五步：采用迭代方法计算线元偏转角β。
设点P为回旋线上任意一点，在点P处的切线方向相对于回旋线原点O'处的切线方向的旋转角度为偏转角β，点P处相应的回旋线半径为R。依据回旋线基本特性，在相对坐标系O'X'Y'下，获得回旋线上任意点P的相对坐标(DX',DY')计算公式如式(3.2)、式(3.3)所示。
由式(3.2)、式(3.3)可得：
由式(3.4)可得：
线元终点E为回旋线上的确定点，且已由式(3.1)获得相对坐标值(X'EB,Y'EB)，应有：
X'EB＝DX'，Y'EB＝DY' (3.6)
因k为可计算确定的常数，故式(3.5)为的显示迭代计算公式。通常，道路路线平面线形设计的回旋线总偏转角β不超过π，迭代式(3.5)总收敛。可设定初始值β0＝0.5或β0＝1.0，通常迭代5～50步即可获得满足精度要求的线元偏转角β。
第六步：正向完整型回旋线线元其他参数计算。
由式(3.8)计算线元终点E处的切向角αE：αE＝αB+δ0β(3.8)
由式(3.9)计算线元终点E处的曲线半径RE：
由式(3.10)计算线元长度L：L＝2REβ (3.10)
4)反向完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定反向完整型回旋线线元。其中线元起点半径RB未知、终点半径RE已知，且有RB∈(0,∞)、RE＝∞，终点E亦为反向完整型回旋线的原点O'，已知独立参数为4个。线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1。
与“圆曲线线元”完全相同，由式(2.1)计算确定。
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定。
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定。
第四步：采用二分法试算确定线元偏转角β。
对于反向完整型回旋线，线元偏转角β为线元起点B切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的旋转角度，应有β>βmin＝|α0|，且通常情况下β<βmax＝π。
第1次试算时，令待求的线元偏转角β0＝(βmax+βmin)/2，则在线元终点E处的切线方向角αE可由式(4.1)计算得到：αE＝αB+δ0β0 (4.1)
回旋线原点O'处的切线方向角α'O'可由式(4.2)计算得到：α'O'＝αE+π (4.2)
已知完整型回旋线原点O'坐标(XE,YE)、回旋线原点O'处的切向角α'O'、回旋线上确定点B坐标(XB,YB)，可采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角迭代计算方法(第五步)，获得第1次试算条件下回旋线端点B切线方向相对于原点O'切线方向的线元偏转角β。计算差值Δβ＝β0-β，并应用以下法则：
若|Δβ|≤ξ＝1.0e-6，则获得线元偏转角β的准确解，第四步计算完成；
若|Δβ|>ξ＝1.0e-6，如果Δβ>0，则令βmax＝β；如果Δβ<0，则令βmin＝β；再令β0＝(βmax+βmin)/2并进入第2次试算，获得第2次试算的线元偏转角β，再计算差值Δβ＝β0-β，…，如此反复计算，直至满足结束条件|Δβ|≤ξ＝1.0e-6，获得线元偏转角β的准确解，完成第四步计算。
第五步：计算线元终点E的切向角αE。
由式(4.3)计算得到线元终点E(即回旋线原点O')的切向角αE：
αE＝αB+δ0β (4.3)
第六步：建立相对坐标系O'X'Y'，计算线元起点B的相对坐标(X'BE,Y'BE)。
根据获得的线元偏转角β准确解，由式(4.1)、式(4.2)计算回旋线原点O'(即线元终点E)的切线方向(沿路线后退方向)角α'O'。
以回旋线原点O'为相对坐标系原点，以回旋线原点O'切线方向为相对坐标系+X'轴，以+X'轴逆时针旋转90゜方向为相对坐标系+Y'轴方向，建立相对坐标系O'X'Y'。
按式(4.4)计算线元起点B在相对坐标系O'X'Y'下的相对坐标(X'BE,Y'BE)。
第七步：计算反向完整型回旋线线元其余各参数。
由式(4.5)计算线元起点半径RB:
由式(4.6)计算线元长度L:L＝2RBβ (4.6)
5)正向非完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB、起点半径RB及终点E(XE,YE)可惟一确定正向非完整型回旋线线元。其中起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB∈(0,∞)、RE∈(0,∞)并满足RB>RE，回旋线原点O'在靠近线元起点B的一侧，已知独立参数为4个。线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1。
与“圆曲线线元”完全相同，由式(2.1)计算确定。
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定。
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定。
第四步：确定回旋线原点O'的总体坐标(XO',YO')，以及线元起点B处的切线方向相对于回旋线原点O'处切线方向的偏转角βB。
采用二分法试算确定。根据道路路线平面线形设计的回旋线偏转角一般范围，有βBmin＝0、βBmax＝π。
第1次试算时，令偏转角由式(5.1)获得回旋线在原点O'处的切向角α'O'：
以回旋线原点O'为相对坐标原点，以回旋线原点O'切线方向为相对坐标系+X'轴、以+X'逆时针旋转90°方向为+Y'轴，建立回旋线局部坐标系O'X'Y'。
线元起点B(XB,YB)为回旋线上的确定点，且已知点B处的回旋线曲线半径R＝RB、已知点B处的切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角按“正向完整型回旋线线元”相对坐标计算方法，采用式(3.2)、式(3.3)可得到相对坐标系O'X'Y'下点B的相对坐标(DX',DY')。
根据点B的相对坐标(DX',DY')数值、点B的总体坐标(XB,YB)以及回旋线原点O'处的切向角α'O'，采用极坐标法即式(5.2)-式(5.5)可计算得到回旋线原点O'的总体位置坐标(XO',YO')。其中(XQ,YQ)为点Q的整体坐标，而点Q为通过点B向局部坐标系的+X'轴作垂线所得的垂足点。
α'1＝α'O'+0.5πδ0+π (5.2)
α'2＝α'O'+π (5.4)
已知完整型回旋线的原点O'坐标(XO',YO')、回旋线原点O'切向角α'O'，以及回旋线上的确定点E坐标(XE,YE)，采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角β参数的迭代计算方法(第五步)式(3.5)-式(3.7)，可获得点E切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角进而采用“正向完整型回旋线线元”其他参数计算方法(第六步)式(3.9)，获得点E处的曲线半径RE。
再按式(5.6)计算参数μ：
若|μ|≤ξ＝1.0e-3，则已获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成；
若|μ|>ξ＝1.0e-3，如果μ>0，则令如果μ<0，则令再令进入第2次试算，获得第2次试算的回旋线原点O'坐标、新偏转角再计算参数μ，...，直至满足条件|μ|≤ξ＝1.0e-3，获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成。
第五步：线元偏转角β确定及线元终点E的曲线半径RE计算。
根据第四步计算最后获得的由式(5.7)计算线元偏转角β：
第四步计算最后获得的RE，即为线元终点E的曲线半径RE。
第六步：计算正向非完整型回旋线线元其余各参数。
按式(5.8)计算线元终点E的切向方向角αE：αE＝αB+δ0β (5.8)
由式(5.9)计算线元长度L：
6)反向非完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB、起点半径RB及终点E(XE,YE)可惟一确定反向非完整型回旋线。其中起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB∈(0,∞)、RE∈(0,∞)并满足RB<RE，回旋线原点O'在靠近线元终点E的一侧，已知独立参数为4个。线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1。
与“圆曲线线元”完全相同，由式(2.1)计算确定。
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定。
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定。
第四步：确定回旋线原点O'的总体坐标(XO',YO')，以及线元起点B处的切线方向(沿路线后退方向)相对于回旋线原点O'处切线方向(沿路线后退方向)的偏转角βB(非负值)。
采用二分法试算确定。根据反向非完整型回旋线的特点，以及道路路线平面线形设计的回旋线偏转角一般范围，有βBmin＝|α0|、βBmax＝π。
第1次试算时，令偏转角由式(6.1)获得回旋线在原点O'处的切向角α'O'(沿路线后退方向)：
以回旋线原点O'为相对坐标原点，以回旋线原点O'切线方向(沿路线后退方向，方向角α'O')为相对坐标系+X'轴、以+X'逆时针旋转90°方向为+Y'轴，建立回旋线局部坐标系O'X'Y'。
线元起点B(XB,YB)为回旋线上的确定点，且已知点B处的回旋线曲线半径R＝RB、已知点B处的切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角按“正向完整型回旋线线元”相对坐标计算方法，采用式(3.2)、式(3.3)可得到相对坐标系O'X'Y'下点B的相对坐标(DX',DY')。
根据点B的相对坐标(DX',DY')、点B的总体坐标(XB,YB)以及回旋线原点O'处的切向角α'O'，采用极坐标法即式(6.2)-式(6.5)可计算得到回旋线原点O'的总体位置坐标(X'O',Y'O')。其中(XQ,YQ)为点Q的整体坐标，而点Q为通过点B向局部坐标系的+X'轴作垂线所得的垂足点。
α'1＝α'O'-π-0.5πδ0 (6.2)
α'2＝α'O'+π (6.4)
已知完整型回旋线的原点O'坐标(XQ,YQ)、回旋线原点O'切线方向α'O'，以及回旋线上的确定点E坐标(XE,YE)，采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角β参数的迭代计算方法(第五步)式(3.5)-式(3.7)，获得点E切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角进而采用“正向完整型回旋线线元”其他参数计算方法式(3.9)，获得点E处的曲线半径RE，再按式(6.6)计算参数μ：
若|μ|≤ξ＝1.0e-3，则已获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成；
若|μ|>ξ＝1.0e-3，如果μ>0，则令如果μ<0，则令再令进入第2次试算，获得第2次试算的回旋线原点O'坐标、新偏转角再计算参数μ，...，直至满足条件|μ|≤ξ＝1.0e-3，获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成。
第五步：线元偏转角β确定及线元终点E的曲线半径RE计算。
根据第四步计算最后获得的由式(6.7)计算线元偏转角β：
第四步计算最后获得的RE，即为线元终点E的曲线半径RE。
第六步：计算反向非完整型回旋线线元其余各参数。
按式(6.8)计算线元终点E的切向方向角αE：αE＝αB+δ0β (6.8)
由式(6.9)计算线元长度L：
本发明的效果和益处是通过“两点”即可惟一确定6种基本型线元，均如同“两点”惟一确定一条直线一样，使设计过程简便、数据输入简化；始终以拟定终点位置坐标作为线元设计控制条件，符合路线设计及施工放线的坐标控制习惯；同时给出满足线形约束条件的多条备选线元类型及线元曲线，为设计者提供了丰富的选择余地；线形设计过程更加直观明了，线元形状、终点位置及终点切线方向控制更为有效。
附图说明
图1切直线线元示意图。
图2圆曲线线元。
图3正向完整型回旋线线元。
图4反向完整型回旋线线元。
图5正向非完整型回旋线线元。
图6反向非完整型回旋线线元。
图7“两点”线元法设计流程图。
图8a“两点”线元法设计过程示例。
图8b“两点”线元法设计结果示例。
具体实施方式
第一步：确定线元起点B相关参数
需确定线元的起点B坐标(xB,yB)、起点切向角αB及起点半径RB共3个独立参数。
如果是首条线元，则起点B坐标采用路段起点A的坐标，即xB＝xA、yB＝yA；需另行单独设定起点切向角αB和起点半径RB。
对于其余线元，依据线形连续原则，只需将前一条已完成线元的终点E位置、终点切向角αE及终点半径RE作为当前设计线元的起点参数，即令：xB＝xE、yB＝yE，αB＝αE，RB＝RE。
其中切直线、圆曲线和正向/反向完整型回旋线，RB均有特定要求而将自行重新设定。
第二步：拟定线元终点E位置坐标(xE,yE)
根据路线走向，拟定终点E位置坐标(xE,yE)，作为设计线元终点。除非旨意设计切直线线元，点E应不在起点B的切向直线上。
第三步：计算线元参数，绘制线元曲线
根据设计线元的起点B坐标(xB,yB)、起点切向角αB、起点半径RB及终点E坐标(xE,yE)，可惟一计算确定6种基本型线元的其余参数，并可绘制相应的线元曲线。
第四步：选择确定1种适合的线元类型，保存设计参数
结合绘制的6种基本型线元曲线形状，考虑路线走向及线形主要参数(半径、长度、偏转角等)的协调性、一致性等设计要求，选择确定适合的1种线元类型及线元；必要时可重复第二步骤～第三步骤，并重新设定计算参数，以获得最佳的设计线元。
保存所选择确定的线元基本参数，并计算桩号、逐桩坐标等。

Claims (1)

1.一种道路路线平面线形设计的“两点”线元法，包括以下步骤
(1)建立线元基本参数、基本类型及典型独立参数
建立8个基本参数，分别为：起点B坐标、终点E坐标、起点切向角αB、起点半径RB、终点切向角αE、终点半径RE、线元偏转角β和线元长度L；其中，起点B坐标、终点E坐标、起点切向角αB和起点半径RB是四个独立参数，其余的四个参数通过四个独立参数计算得到；
(2)通过以上8个基本参数，将基本线元类型分为切直线线元、圆曲线线元、正向完整型回旋线线元、反向完整型回旋线线元、正向非完整型回旋线线元和反向非完整型回旋线线元共6种；
1)切直线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)惟一确定切直线线元，已知的独立参数为3个；其余线元基本参数确定如下：起点半径RB＝∞、终点半径RE＝∞，终点E切向角αE＝αB，线元偏转角β＝0，线元长度当终点E在起点切线方向上时，独立参数为起点B、终点E 2个，线元参数的确定方法相同；
2)圆曲线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定圆曲线线元，已知独立参数为3个；线元其余基本参数计算步骤如下：
第一步：计算矢量的方向角α1；
根据起点B、终点E的坐标，由式(2.1)计算确定；
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0；
α0＝α1-αB (2.2)
由已知条件有α0≠0且α0≠±π，采用式(2.3)将α0标准化；
α0标准化后，满足条件α0∈(-π,+π)且α0≠0；
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值；
采用式(2.4)判定线元曲线的左右转方向，同时确定转向符号δ0的数值；
第四步：计算圆曲线对应的圆心角；
设C为圆曲线的圆心，由式(2.5)获得圆曲线对应的圆心角∠BCE；
∠BCE＝2α2＝2|α0| (2.5)
式(2.5)中，α2为圆曲线圆心角的一半；
第五步：计算圆曲线线元偏转角β；
线元终点E处的切线方向相对于线元起点B处的切线方向的旋转角度，称为线元偏转角，用β表示；由式(2.6)确定圆曲线线元偏转角β；
β＝2|α0| (2.6)
第六步：由式(2.7)计算圆曲线半径RC；
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2.7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第七步：计算圆曲线线元其他参数；
线元终点E切向角αE由式(2.8)计算：
αE＝αB+δ0β (2.8)
线元长度L由式(2.9)计算：
L＝RCβ (2.9)
圆心C坐标(XC,YC)由式(2.10)、式(2.11)计算：
αC＝αB+0.5πδ0 (2.10)
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2.11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3)正向完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定正向完整型回旋线线元，其中线元起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB＝∞、RE∈(0,∞)，起点B亦为正向完整型回旋线的原点O'，已知独立参数为4个；线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1，由式(2.1)确定；
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)确定；
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定；
第四步，建立相对坐标系O'X'Y'，计算线元终点E的相对坐标(X'EB,Y'EB)；
以完整型回旋线原点O'为相对坐标系原点，以起点切线方向为相对坐标系+X'轴，以+X'轴逆时针旋转90゜方向为相对坐标系+Y'轴方向，建立相对坐标系O'X'Y'；
在相对坐标系O'X'Y'下，由式(3.1)计算线元终点E的相对坐标(X'EB,Y'EB)；
<mrow> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <msup> <mi>X</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>E</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <msup> <mi>Y</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>E</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>B</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>B</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第五步：采用迭代方法计算线元偏转角β；
设点P为回旋线上任意一点，在点P处的切线方向相对于回旋线原点O'处的切线方向的旋转角度为偏转角β，点P处相应的回旋线半径为R；依据回旋线基本特性，在相对坐标系O'X'Y'下，获得回旋线上任意点P的相对坐标(DX',DY')计算公式如式(3.2)、式(3.3)所示；
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>DX</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>R&amp;beta;f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>DY</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>R&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(3.2)、式(3.3)可得：
<mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>DY</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>DX</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(3.4)可得：
<mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>DY</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>DX</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;times;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
线元终点E为回旋线上的确定点，且已由式(3.1)获得相对坐标值(X'EB,Y'EB)，应有：
X'EB＝DX'，Y'EB＝DY'
(3.6)
k为可计算确定的常数，式(3.5)为的显示迭代计算公式；道路路线平面线形设计的回旋线总偏转角β不超过π，迭代式(3.5)总收敛；设定初始值β0＝0.5或β0＝1.0，通常迭代5～50步即获得满足精度要求的线元偏转角β；
第六步：正向完整型回旋线线元其他参数计算；
由式(3.8)计算线元终点E处的切向角αE：
αE＝αB+δ0β (3.8)
由式(3.9)计算线元终点E处的曲线半径RE：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>DX</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;beta;f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <msup> <mi>X</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>E</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;beta;f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3.9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(3.10)计算线元长度L：L＝2REβ (3.10)
4)反向完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB及终点E(XE,YE)可惟一确定反向完整型回旋线线元；其中线元起点半径RB未知、终点半径RE已知，且有RB∈(0,∞)、RE＝∞，终点E亦为反向完整型回旋线的原点O'，已知独立参数为4个；线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1，由式(2.1)计算确定；
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定；
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定；
第四步：采用二分法试算确定线元偏转角β；
对于反向完整型回旋线，线元偏转角β为线元起点B切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的旋转角度，应有β>βmin＝|α0|，且通常情况下β<βmax＝π；
第1次试算时，令待求的线元偏转角β0＝(βmax+βmin)/2，则在线元终点E处的切线方向角αE由式(4.1)计算得到：
αE＝αB+δ0β0 (4.1)
回旋线原点O'处的切线方向角α'O'可由式(4.2)计算得到：
α'O'＝αE+π (4.2)
已知完整型回旋线原点O'坐标(XE,YE)、回旋线原点O'处的切向角α'O'、回旋线上确定点B坐标(XB,YB)，可采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角迭代计算方法，获得第1次试算条件下回旋线端点B切线方向相对于原点O'切线方向的线元偏转角β；计算差值Δβ＝β0-β，并应用以下法则：
若|Δβ|≤ξ＝1.0e-6，则获得线元偏转角β的准确解，第四步计算完成；
若|Δβ|>ξ＝1.0e-6，如果Δβ>0，则令βmax＝β；如果Δβ<0，则令βmin＝β；再令β0＝(βmax+βmin)/2并进入第2次试算，获得第2次试算的线元偏转角β，再计算差值Δβ＝β0-β，…，如此反复计算，直至满足结束条件|Δβ|≤ξ＝1.0e-6，获得线元偏转角β的准确解，完成第四步计算；
第五步：计算线元终点E的切向角αE；
由式(4.3)计算得到线元终点E的切向角αE：
αE＝αB+δ0β (4.3)
第六步：建立相对坐标系O'X'Y'，计算线元起点B的相对坐标(X'BE,Y'BE)；
根据获得的线元偏转角β准确解，由式(4.1)、式(4.2)计算回旋线原点O'的切线方向角α'O'；
以回旋线原点O'为相对坐标系原点，以回旋线原点O'切线方向为相对坐标系+X'轴，以+X'轴逆时针旋转90゜方向为相对坐标系+Y'轴方向，建立相对坐标系O'X'Y'；
按式(4.4)计算线元起点B在相对坐标系O'X'Y'下的相对坐标(X'BE,Y'BE)；
<mrow> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <msup> <mi>X</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>B</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <msup> <mi>Y</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>B</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4.4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第七步：计算反向完整型回旋线线元其余各参数；
由式(4.5)计算线元起点半径RB：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <msup> <mi>X</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>B</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;beta;f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(4.6)计算线元长度L：
L＝2RBβ (4.6)
5)正向非完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB、起点半径RB及终点E(XE,YE)可惟一确定正向非完整型回旋线线元；其中起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB∈(0,∞)、RE∈(0,∞)并满足RB>RE，回旋线原点O'在靠近线元起点B的一侧，已知独立参数为4个；线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1，由式(2.1)计算确定；
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定；
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定；
第四步：确定回旋线原点O'的总体坐标(XO',YO')，以及线元起点B处的切线方向相对于回旋线原点O'处切线方向的偏转角βB；
采用二分法试算确定；根据道路路线平面线形设计的回旋线偏转角一般范围，有βBmin＝0、βBmax＝π；
第1次试算时，令偏转角由式(5.1)获得回旋线在原点O'处的切向角α'O'：
<mrow> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5.1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
以回旋线原点O'为相对坐标原点，以回旋线原点O'切线方向为相对坐标系+X'轴、以+X'逆时针旋转90°方向为+Y'轴，建立回旋线局部坐标系O'X'Y'；
线元起点B(XB,YB)为回旋线上的确定点，且已知点B处的回旋线曲线半径R＝RB、已知点B处的切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角按“正向完整型回旋线线元”相对坐标计算方法，采用式(3.2)、式(3.3)得到相对坐标系O'X'Y'下点B的相对坐标(DX',DY')；
根据点B的相对坐标(DX',DY')数值、点B的总体坐标(XB,YB)以及回旋线原点O'处的切向角α'O'，采用极坐标法即式(5.2)-式(5.5)计算得到回旋线原点O'的总体位置坐标(XO',YO')；其中(XQ,YQ)为点Q的整体坐标，而点Q为通过点B向局部坐标系的+X'轴作垂线所得的垂足点；
α'1＝α'O'+0.5πδ0+π (5.2)
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α'2＝α'O'+π (5.4)
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已知完整型回旋线的原点O'坐标(XO',YO')、回旋线原点O'切向角α'O'，以及回旋线上的确定点E坐标(XE,YE)，采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角β参数的迭代计算方法式(3.5)-式(3.7)，获得点E切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角进而采用“正向完整型回旋线线元”其他参数计算方法式(3.9)，获得点E处的曲线半径RE；
再按式(5.6)计算参数μ：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>/</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5.6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
若|μ|≤ξ＝1.0e-3，则已获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成；
若|μ|>ξ＝1.0e-3，如果μ>0，则令如果μ<0，则令再令进入第2次试算，获得第2次试算的回旋线原点O'坐标、新偏转角再计算参数μ，...，直至满足条件|μ|≤ξ＝1.0e-3，获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角完成第四步；
第五步：线元偏转角β确定及线元终点E的曲线半径RE计算；
根据第四步计算最后获得的由式(5.7)计算线元偏转角β：
<mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5.7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第四步计算最后获得的RE，即为线元终点E的曲线半径RE；
第六步：计算正向非完整型回旋线线元其余各参数；
按式(5.8)计算线元终点E的切向方向角αE：
αE＝αB+δ0β (5.8)
由式(5.9)计算线元长度L：
<mrow> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5.9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
6)反向非完整型回旋线线元的参数计算方法
当终点E不在起点切线方向上时，由起点B(XB,YB)、起点切向角αB、起点半径RB及终点E(XE,YE)可惟一确定反向非完整型回旋线；其中起点半径RB已知、终点半径RE未知，且有RB∈(0,∞)、RE∈(0,∞)并满足RB<RE，回旋线原点O'在靠近线元终点E的一侧，已知独立参数为4个；线元其余基本参数计算方法如下：
第一步：计算矢量的方向角α1，由式(2.1)计算确定；
第二步：计算起点切线方向与矢量的夹角α0，由式(2.2)、式(2.3)计算确定；
第三步：判定线元的左右偏转方向，确定转向符号δ0值，由式(2.4)确定；
第四步：确定回旋线原点O'的总体坐标(XO',YO')，以及线元起点B处的切线方向相对于回旋线原点O'处切线方向的偏转角βB；
采用二分法试算确定；根据反向非完整型回旋线的特点，以及道路路线平面线形设计的回旋线偏转角一般范围，有βBmin＝|α0|、βBmax＝π；
第1次试算时，令偏转角由式(6.1)获得回旋线在原点O'处的切向角α'O'：
<mrow> <msub> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>O</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6.1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
以回旋线原点O'为相对坐标原点，以回旋线原点O'切线方向为相对坐标系+X'轴、以+X'逆时针旋转90°方向为+Y'轴，建立回旋线局部坐标系O'X'Y'；
线元起点B(XB,YB)为回旋线上的确定点，且已知点B处的回旋线曲线半径R＝RB、已知点B处的切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角按“正向完整型回旋线线元”相对坐标计算方法，采用式(3.2)、式(3.3)可得到相对坐标系O'X'Y'下点B的相对坐标(DX',DY')；
根据点B的相对坐标(DX',DY')、点B的总体坐标(XB,YB)以及回旋线原点O'处的切向角α'O'，采用极坐标法即式(6.2)-式(6.5)可计算得到回旋线原点O'的总体位置坐标(X'O',Y'O')；其中(XQ,YQ)为点Q的整体坐标，而点Q为通过点B向局部坐标系的+X'轴作垂线所得的垂足点；
α'1＝α'O'-π-0.5πδ0 (6.2)
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α'2＝α'O'+π (6.4)
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已知完整型回旋线的原点O'坐标(XQ,YQ)、回旋线原点O'切线方向α'O'，以及回旋线上的确定点E坐标(XE,YE)，采用“正向完整型回旋线线元”总偏转角β参数的迭代计算方法式(3.5)-式(3.7)，获得点E切线方向相对于回旋线原点O'切线方向的偏转角采用“正向完整型回旋线线元”其他参数计算方法式(3.9)，获得点E处的曲线半径RE；
再按式(6.6)计算参数μ：
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若|μ|≤ξ＝1.0e-3，则已获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成；
若|μ|>ξ＝1.0e-3，如果μ>0，则令如果μ<0，则令再令进入第2次试算，获得第2次试算的回旋线原点O'坐标、新偏转角再计算参数μ，...，直至满足条件|μ|≤ξ＝1.0e-3，获得回旋线原点O'整体坐标(XO',YO')的准确解及点B处的偏转角第四步完成；
第五步：线元偏转角β确定及线元终点E的曲线半径RE计算；
根据第四步计算最后获得的由式(6.7)计算线元偏转角β：
第四步计算最后获得的RE，即为线元终点E的曲线半径RE；
第六步：计算反向非完整型回旋线线元其余各参数；
按式(6.8)计算线元终点E的切向方向角αE：
αE＝αB+δ0β (6.8)
由式(6.9)计算线元长度L：
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