CN105932670A - 一种基于半定规划的配电网状态估计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是包括：步骤一、建立WLS估计问题的数学描述；步骤二、建立WLS估计问题的半定规划模型；步骤三、确定半定规划模型的系数矩阵；步骤四、求解。本方法具有超线性收敛性和良好的精度，其计算结果与一般WLS方法的计算结果一致，可保证求出的解全局最优，既提高了存储效率又大大减少了计算复杂度的基于半定规划的配电网状态估计方法。

Description

一种基于半定规划的配电网状态估计方法

技术领域

本发明涉及一种基于半定规划的配电网状态估计方法。

背景技术

目前，配电网状态估计中使用最广泛的是最小二乘(WLS)估计器，估计具备最优一致且无偏等优良统计特性。在不存在坏数据的情况下，该方法的估计效果非常好。非线性最小二乘问题一般没有封闭解，通常是预先给定迭代初始值，利用某种迭代方法求解。而迭代方法多数建立在搜索算法的基础上，其中高斯-牛顿法因其格式简洁且计算量小而广为应用。但这一迭代算法的主要缺点是其收敛性常常强烈地依赖于初值的选取和函数的非线性强度。当初值足够靠近最优解时，该方法可以获得超线性收敛率乃至二次收敛率，但当初值远离最优解，则很可能只收敛到一个局部最优解。接下来，对于牛顿法求解最小二乘问题的全局最优性进行讨论。

电力系统中，在给定的网络结构、支路参量和量测条件下，非线性的量测方程为：，简称式（a）或公式（a），式（a）中，z为m维量测量矢量；h(x)为m维量测函数矢量；x为n维状态向量；v为m维量测偏差向量。

一般假设误差是服从正态分布（均值为零）的相互独立的随机变量。测量误差的方差可用来度量量测量的精度，方差大表示相应的测量误差大。求解式（b）的最小二乘问题所得到的解就是系统状态的最大似然估计。，简称式（b）或公式（b），其中，。将遥测量、伪量测和虚拟量测按适当的权重因子统一在式（b）中处理。式（b）的最优性一阶必要条件，即求的极小点，用如下方程组进行求解：，简称式（c）或公式（c），

式（c）中，为阶Jacobian矩阵。式（c）是一个非线性方程组，其解的存在个数较难确定。一般采用牛顿法进行迭代求解，从而得到迭代过程中需要求解的线性方程组为：，简称式（d）或公式（d），其中，系数矩阵为n阶方阵；为状态量第k次迭代的修正量。

牛顿法（包括高斯牛顿法、阻尼高斯牛顿法等）在线性搜索可靠执行时，常常是全局收敛的。公知的，牛顿法产生的点列收敛于的稳定点即极小点。但全局收敛并不等同于全局最优，这是由于极小点的个数，也即式（c）的解的个数往往难以确定，因而有可能选择不同的迭代初始点，会求解得到不同的局部最优解。

另外，WLS估计对各遥测量按其精度加权，伪量测数据一般误差比较大，所以赋予的权值一般较小，而虚拟量测则绝对准确，一般赋予很大的权值。量测权值的悬殊，包含大量的注入量测等，都会导致系数矩阵出现病态。对于病态的非线性最小二乘问题，用牛顿法求解时，会存在许多没有意义的局部极小点。

根据上面的分析可知，用牛顿法求解非线性最小二乘状态估计问题，理论上所求得的最优解可能是局部最优解，而不是全局最优解。

发明内容

本发明创造就是针对上述技术问题提出一种具有超线性收敛性和良好的精度，其计算结果与一般WLS方法的计算结果一致，可保证求出的解全局最优，既提高了存储效率又大大减少了计算复杂度的基于半定规划的配电网状态估计方法。

为了解决上述技术问题，本发明的具体方法为：

步骤一、建立WLS估计问题的数学描述

根据式（a），基于加权最小二乘的配电网状态估计就是求解如下目标函数：

，简称式（1）或公式（1），式（1）中，状态相量，其中、为节点i电压的实部和虚部，n为节点电压数目；m为测点总数目；为第i个测点的量测值；为第i个测点的估计值；为第i个测点的权重，；所考虑量测量的量测方程包括：1、节点电压幅值量测；2、支路电流幅值量测；3、节点注入功率量测；4、支路首端功率量测；5、支路末端功率量测；

步骤二、建立WLS估计问题的半定规划模型；

步骤三、确定半定规划模型的系数矩阵；

步骤四、求解。

作为一种实现方式，所述节点电压幅值量测方法为，

对于支路s-t，s为首端节点，t为末端节点；节点s的电压量测用电压幅值平方的量测表示：，简称式（2）或公式（2），其中，为节点s的电压幅值。

作为一种实现方式，所述支路电流幅值量测方法为，

支路s-t上的电流，表示形式为：，简称式（3）或公式（3），其中，g和b为支路s-t的电导和电纳；电流幅值量测用电流幅值平方的量测表示为：，简称式（4）或公式（4）。

作为一种实现方式，所述节点注入功率量测方法为，

节点s的注入功率为，简称式（5）或公式（5），，简称式（6）或公式（6），其中，S为与节点s相连的所有支路的集合；、分别为支路s-t的电导和电纳；、为节点s的注入有功和注入无功。

作为一种实现方式，所述支路首端功率量测方法为，

支路s-t首节点s端的功率为，简称式（7）或公式（7），，简称式（8）或公式（8），其中，、为支路s-t首节点s端的有功功率和无功功率。

作为一种实现方式，所述支路末端功率量测方法为，

支路s-t末节点t端的功率为，简称式（9）或公式（9），，简称式（10）或公式（10），其中，、为支路s-t末节点t端的有功功率和无功功率。

作为一种实现方式，所述建立WLS估计问题的半定规划模型方法包括，

将所有量测量作为求解变量，将量测方程作为约束；选取节点r作为参考节点，式（1）的WLS问题变为如下形式：，简称式（11）或公式（11），转换为SDP模型时，将变量矩阵X分为m+1块，如下式所示；，简称式（12）或公式（12）， ，简称式（14）或公式（14），此时，X为维的半正定矩阵，即，其中；同时引入变量，相应地添加约束，；由此，式（11）的WLS问题可以直接写为SDP的原问题形式：，简称式（15）或公式（15），其中对应目标函数中的系数；对应量测约束(2)~(10)；对应常数1约束,;对应参考电压约束；矢量b和约束右边常数项相对应，维数为2m+2n,;X矩阵采用分块形式，仅有对角块矩阵有非零元，其他部分为0；矩阵和矩阵变量X同维，且具有相同的稀疏模式，即：矩阵变量X为0的位置，中对应位置的元素一定也为0；其对角线上为m+1个子矩阵，分别为，其中为维，剩余m个子矩阵均为维；式（15）的等价形式为：，简称式（16）或公式（16）。

作为一种实现方式，所述确定半定规划模型的系数矩阵方法为，

系数矩阵与WLS问题中各系数的关系；

(1) 与目标函数系数的关系；

根据式（11）中的目标函数，可得，简称式（17）或公式（17），，简称式（18）或公式（18），计算时，；由于值比较小，导致值很大，计算时容易出现数值问题;因而在计算过程中，将乘以相应的系数（取或）；

(2) 与量测方程系数的关系; 对应第k个测点的量测方程约束;以始端功率量测为例，若第k个测点为线路s-t的始端有功量测，根据量测方程（7）可得：，简称式（19）或公式（19），，简称式（20）或公式（20），的其余子矩阵均为零矩阵；同理，其它类型的测点对应的系数矩阵可由式（2）~（10）表示的量测方程获得；需要注意的是，对于式（3）的电流幅值量测，由于配电网支路短阻抗小，因而导纳很大，其对应的系数矩阵与其他系数矩阵的元素相比差别较大，可能发生数值问题；因而将其矩阵的系数均除以，即变为如下形式：

，简称式（21）或公式（21）;

(3) 与常数约束1的关系;

根据约束,，可得，简称式（22）或公式（22），的其余子矩阵均为零矩阵；

(4)与参考电压约束的关系;

根据式（11），节点r为参考电压节点，则，简称式（23）或公式（23），的其余子矩阵均为零矩阵。

作为一种实现方式，所述求解方法为，建立如上的状态估计半定规划模型后，按如下过程求解：

1)利用半定规划问题中各系数，形成状态估计WLS问题中系数矩阵A和常量矩阵b；

2)选取初值;

3)调用Matlab中支持分块矩阵运算的内点法解半定规划模型的计算软件包求解即可；

4)根据软件包得到的SDP问题的最优解，得到原WLS问题的解空间；

由于,，所以第i个测点的估计值等同于式（12）的最优解的子矩阵中非对角元;的值；

节点S的电压实部等于最优解的子矩阵中对角元的平方根;节点电压虚部数值上等于的子矩阵中对角元的平方根，其值的正负与相同，其中是已有量测数据（比如节点注入有功量测、节点注入无功量测、支路有功量测、支路无功量测）对应的量测方程中包含的因子，即中第2t-1行第2s列元素。

本发明所能达到的有益效果是具有超线性收敛性和良好的精度，其计算结果与一般WLS方法的计算结果一致；同时由于半定规划是凸问题，可保证求出的解全局最优。同时采用成熟的计算软件包，既提高了存储效率又大大减少了计算复杂度。

附图说明

下面结合附图对本发明做进一步详细说明，其中

图1为IEEE 33和69节点系统互补间隙收敛曲线；

图2为IEEE 33节点系统测点估计值与真值的偏差图；

图3为IEEE 69节点系统测点估计值与真值的偏差图；

图4为IEEE 33和69节点系统互补间隙收敛曲线；

图5为IEEE 33系统测点估计值与量测值的偏差；

图6为IEEE 33系统测点估计值与真值的偏差；

图7为IEEE 69系统测点估计值与量测值的偏差图；

图8为IEEE 69系统电压幅值的估计值与真值的偏差图；

图9为IEEE 33系统电压幅值的估计值和真值对比图；

图10为IEEE 69系统电压幅值的估计值和真值对比图；

图11为表1，即IEEE 33和69节点系统的SDP计算结果；

图12为表3，即IEEE 33和69节点系统的SDP计算结果；

图13为表4，即IEEE 33和69节点系统的计算结果对比表。

具体实施方式

如图所示，在本实施例中，仿真计算在HP-PC机上进行，CPU为3.0GHz，在Matlab7.0环境下调用基于稀疏技术的SDPA-M半定规划软件包进行计算。

算例基于IEEE 33节点和IEEE 69节点三相平衡的配电网进行。选取功率基值为100MW，电压基值为12.66KV。

本发明的具体方法为：

步骤一、建立WLS估计问题的数学描述

根据式（a），基于加权最小二乘的配电网状态估计就是求解如下目标函数：

，简称式（1）或公式（1），式（1）中，状态相量，其中、为节点i电压的实部和虚部，n为节点电压数目；m为测点总数目；为第i个测点的量测值；为第i个测点的估计值；为第i个测点的权重，；所考虑量测量的量测方程包括：1、节点电压幅值量测；2、支路电流幅值量测；3、节点注入功率量测；4、支路首端功率量测；5、支路末端功率量测；

步骤二、建立WLS估计问题的半定规划模型；

步骤三、确定半定规划模型的系数矩阵；

步骤四、求解。

所述节点电压幅值量测方法为，

对于支路s-t，s为首端节点，t为末端节点；节点s的电压量测用电压幅值平方的量测表示：，简称式（2）或公式（2），其中，为节点s的电压幅值。

所述支路电流幅值量测方法为，

支路s-t上的电流，表示形式为：，简称式（3）或公式（3），其中，g和b为支路s-t的电导和电纳；电流幅值量测用电流幅值平方的量测表示为：，简称式（4）或公式（4）。

所述节点注入功率量测方法为，

节点s的注入功率为，简称式（5）或公式（5），，简称式（6）或公式（6），其中，S为与节点s相连的所有支路的集合；、分别为支路s-t的电导和电纳；、为节点s的注入有功和注入无功。

所述支路首端功率量测方法为，

支路s-t首节点s端的功率为，简称式（7）或公式（7），，简称式（8）或公式（8），其中，、为支路s-t首节点s端的有功功率和无功功率。

所述支路末端功率量测方法为，

支路s-t末节点t端的功率为，简称式（9）或公式（9），，简称式（10）或公式（10），其中，、为支路s-t末节点t端的有功功率和无功功率。

将前述量测方程h(x)的表达式代入到目标函数式（1）后，式（1）中将包含大量的四次项，因而状态估计的最小二乘问题是一个非凸规划问题。而半定规划是一种凸规划问题，为构造WLS问题的半定规划模型，我们将所有量测量作为求解变量，将量测方程作为约束。选取节点r作为参考节点，

式（1）的WLS问题变为如下形式：，简称式（11）或公式（11），此时，WLS问题中的目标函数和约束中各项均为线性或二次的。转换为SDP模型时，要求变量矩阵X为半正定矩阵。同时，为提高计算速度和存储效率，需采用内点半定规划稀疏技术，尽可能使变量矩阵X成为准对角矩阵。为此，可将变量矩阵X分为m+1块，如下式所示。，简称式（12）或公式（12），，简称式（13）或公式（13），，简称式（14）或公式（14），此时，X为维的半正定矩阵，即，其中；同时引入变量，相应地添加约束，；由此，式（11）的WLS问题可以直接写为SDP的原问题形式：，简称式（15）或公式（15），其中对应目标函数中的系数；对应量测约束(2)~(10)；对应常数1约束,;对应参考电压约束；矢量b和约束右边常数项相对应，维数为2m+2n,;X矩阵采用分块形式，仅有对角块矩阵有非零元，其他部分为0；矩阵和矩阵变量X同维，且具有相同的稀疏模式，即：矩阵变量X为0的位置，中对应位置的元素一定也为0；其对角线上为m+1个子矩阵，分别为，其中为维，剩余m个子矩阵均为维；式（15）的等价形式为：，简称式（16）或公式（16）。

确定半定规划模型的系数矩阵方法为，

先推导系数矩阵与WLS问题中各系数的关系。

(1)与目标函数系数的关系；

根据式（11）中的目标函数，可得，简称式（17）或公式（17），，简称式（18）或公式（18），计算时，；由于值比较小，导致值很大，计算时容易出现数值问题;因而在计算过程中，将乘以相应的系数（取或）；

(2) 与量测方程系数的关系；

对应第k个测点的量测方程约束;以始端功率量测为例，若第k个测点为线路s-t的始端有功量测，根据量测方程（7）可得：，简称式（19）或公式（19），，简称式（20）或公式（20），的其余子矩阵均为零矩阵；同理，其它类型的测点对应的系数矩阵可由式（2）~（10）表示的量测方程获得；需要注意的是，对于式（3）的电流幅值量测，由于配电网支路短阻抗小，因而导纳很大，其对应的系数矩阵与其他系数矩阵的元素相比差别较大，可能发生数值问题；因而将其矩阵的系数均除以，即变为如下形式：，简称式（21）或公式（21）;

(3) 与常数约束1的关系；

根据约束,，可得，简称式（22）或公式（22），的其余子矩阵均为零矩阵；

(4)与参考电压约束的关系；

根据式（11），节点r为参考电压节点，则，简称式（23）或公式（23），的其余子矩阵均为零矩阵。

求解方法

建立如上的状态估计半定规划模型后，按如下过程求解：

1)利用半定规划问题中各系数，形成状态估计WLS问题中系数矩阵A和常量矩阵b；

2)选取初值;

3)调用Matlab中支持分块矩阵运算的内点法解半定规划模型的计算软件包求解即可；

4)根据软件包得到的SDP问题的最优解，得到原WLS问题的解空间；

由于,，所以第i个测点的估计值等同于式（12）的最优解的子矩阵中非对角元;的值；

节点S的电压实部等于最优解的子矩阵中对角元的平方根;节点电压虚部数值上等于的子矩阵中对角元的平方根，其值的正负与相同，其中是已有量测数据（比如节点注入有功量测、节点注入无功量测、支路有功量测、支路无功量测）对应的量测方程中包含的因子，即中第2t-1行第2s列元素。

按照上述方法，本具体实施方式在以下几种情况下进行测试。

(1)选用真值作为量测值

在真值作为量测值的情况下，该问题的全局最优解即为真值。SDP计算结果如图11所示，此时各测点的权重都为1。从表中可看出目标函数的值非常接近于0。

一般来说，评价一个算法优秀与否的标准是其互补间隙能否单调快速地递减至0。从图1中可看出，基于SDP的WLS状态估计方法在给定误差范围内，其互补间隙在有限迭代步内能够快速单调地收敛趋于0，具有超线性收敛性。

如图1所示，为IEEE 33和69节点系统互补间隙收敛曲线

用估计值和真值之间的偏差s来衡量估计值和真值之间的距离。即：

IEEE33节点和IEEE69节点系统的偏差图如图2和3所示。可知，S的数值非常小，基本都在0~0.2%之间，即估计值及其接近于真值。在忽略误差的情况下，可认为基于SDP的状态估计可估计得到真值。

图2 为IEEE 33节点系统测点估计值与真值的偏差图；

图3 为IEEE 69节点系统测点估计值与真值的偏差图；

可求得各节点电压的实部和虚部，进而得到各电压节点的幅值。以33节点系统为例，如下表所示。

比较可知，二者的结果非常吻合。可知，此种情况下，计算可得潮流真值。

(2)将量测真值加上2%的高斯噪声作为量测量的量测值

SDP计算结果如图12所示，此时各测点的权重都为。将该方法得到的目标函数的值与一般的WLS方法、真值代入目标函数作对比，结果如图13。从表中可看出，本方法得到的结果合理且最优。

图4为互补间隙收敛曲线，可看出在给定误差范围内，互补间隙能够快速单调地收敛趋于0，方法具备超线性收敛性。

图5、图6、图7、图8分别表示IEEE33节点系统和IEEE69节点系统采用SDP方法得到的估计值和量测值、估计值和真值之间的偏差。从中可看出，估计值和量测值、真值都比较接近，基本都在0~2%之间，可说明此估计的合理性。从图7、8中可明显看出，估计后的结果与量测值的偏差分布比较分散，而与真值的偏差更加集中。

图4 为IEEE 33和69节点系统互补间隙收敛曲线。

图5为IEEE 33系统测点估计值与量测值的偏差。

图6为IEEE 33系统测点估计值与真值的偏差。

图7 为IEEE 69系统测点估计值与量测值的偏差图。

图8 为IEEE 69系统电压幅值的估计值与真值的偏差图。

图9 为IEEE 33系统电压幅值的估计值和真值对比图。

图10为IEEE 69系统电压幅值的估计值和真值对比图。

根据图1至图13，可以看出电压的估计幅值与真值也较为接近，采用此方法得到的估计状态合理。

Claims (9)

1.一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是包括：

步骤一、建立WLS估计问题的数学描述；

基于加权最小二乘的配电网状态估计就是求解如下目标函数：

，简称式（1）或公式（1），式（1）中，状态相量，其中、为节点i电压的实部和虚部，n为节点电压数目；m为测点总数目；为第i个测点的量测值；为第i个测点的估计值；为第i个测点的权重，；所考虑量测量的量测方程包括：1、节点电压幅值量测；2、支路电流幅值量测；3、节点注入功率量测；4、支路首端功率量测；5、支路末端功率量测；

步骤二、建立WLS估计问题的半定规划模型；

步骤三、确定半定规划模型的系数矩阵；

步骤四、求解。

2.如权利要求1所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述节点电压幅值量测方法为，

对于支路s-t，s为首端节点，t为末端节点；节点s的电压量测用电压幅值平方的量测表示：，简称式（2）或公式（2），其中，为节点s的电压幅值。

3.如权利要求2所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述支路电流幅值量测方法为，

支路s-t上的电流，表示形式为：，简称式（3）或公式（3），其中，g和b为支路s-t的电导和电纳；电流幅值量测用电流幅值平方的量测表示为：，简称式（4）或公式（4）。

4.如权利要求3所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述节点注入功率量测方法为，

节点s的注入功率为，简称式（5）或公式（5），，简称式（6）或公式（6），其中，S为与节点s相连的所有支路的集合；、分别为支路s-t的电导和电纳；、为节点s的注入有功和注入无功。

5.如权利要求4所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述支路首端功率量测方法为，

支路s-t首节点s端的功率为，简称式（7）或公式（7），，简称式（8）或公式（8），其中，、为支路s-t首节点s端的有功功率和无功功率。

6.如权利要求5所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述支路末端功率量测方法为，

支路s-t末节点t端的功率为，简称式（9）或公式（9），，简称式（10）或公式（10），其中，、为支路s-t末节点t端的有功功率和无功功率。

7.如权利要求1-6任一权利要求所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述建立WLS估计问题的半定规划模型方法包括，

将所有量测量作为求解变量，将量测方程作为约束；选取节点r作为参考节点，式（1）的WLS问题变为如下形式：，简称式（11）或公式（11），转换为SDP模型时，将变量矩阵X分为m+1块，如下式所示；，简称式（12）或公式（12），，简称式（13）或公式（13），，简称式（14）或公式（14），此时，X为维的半正定矩阵，即，其中；同时引入变量，相应地添加约束，；由此，式（11）的WLS问题可以直接写为SDP的原问题形式：，简称式（15）或公式（15），其中对应目标函数中的系数；对应量测约束(2)~(10)；对应常数1约束,;对应参考电压约束；矢量b和约束右边常数项相对应，维数为2m+2n,;X矩阵采用分块形式，仅有对角块矩阵有非零元，其他部分为0；矩阵和矩阵变量X同维，且具有相同的稀疏模式，即：矩阵变量X为0的位置，中对应位置的元素一定也为0；其对角线上为m+1个子矩阵，分别为，其中为维，剩余m个子矩阵均为维；式（15）的等价形式为：，简称式（16）或公式（16）。

8.如权利要求7所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述确定半定规划模型的系数矩阵方法为，

系数矩阵与WLS问题中各系数的关系；

(1) 与目标函数系数的关系；

根据式（11）中的目标函数，可得，简称式（17）或公式（17），，简称式（18）或公式（18），计算时，；由于值比较小，导致值很大，计算时容易出现数值问题;因而在计算过程中，将乘以相应的系数（取或）；

(2) 与量测方程系数的关系; 对应第k个测点的量测方程约束;以始端功率量测为例，若第k个测点为线路s-t的始端有功量测，根据量测方程（7）可得：，简称式（19）或公式（19），，简称式（20）或公式（20），的其余子矩阵均为零矩阵；同理，其它类型的测点对应的系数矩阵可由式（2）~（10）表示的量测方程获得；需要注意的是，对于式（3）的电流幅值量测，由于配电网支路短阻抗小，因而导纳很大，其对应的系数矩阵与其他系数矩阵的元素相比差别较大，可能发生数值问题；因而将其矩阵的系数均除以，即变为如下形式：

，简称式（21）或公式（21）;

(3) 与常数约束1的关系;

根据约束,，可得，简称式（22）或公式（22），的其余子矩阵均为零矩阵；

(4)与参考电压约束的关系;

根据式（11），节点r为参考电压节点，则，简称式（23）或公式（23），的其余子矩阵均为零矩阵。

9.如权利要求8所述的一种基于半定规划的配电网状态估计方法，其特征是：所述求解方法为，

建立如上的状态估计半定规划模型后，按如下过程求解：

1)利用半定规划问题中各系数，形成状态估计WLS问题中系数矩阵A和常量矩阵b；

2)选取初值;

3)调用Matlab中支持分块矩阵运算的内点法解半定规划模型的计算软件包求解即可；

4)根据软件包得到的SDP问题的最优解，得到原WLS问题的解空间；

由于,，所以第i个测点的估计值等同于式（12）的最优解的子矩阵中非对角元;的值；

节点S的电压实部等于最优解的子矩阵中对角元的平方根;节点电压虚部数值上等于的子矩阵中对角元的平方根，其值的正负与相同，其中是已有量测数据（比如节点注入有功量测、节点注入无功量测、支路有功量测、支路无功量测）对应的量测方程中包含的因

子，即中第2t-1行第2s列元素。