CN105891671A - 一种基于故障行波沿线分布特性的含statcom线路单端行波测距方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，属于电力系统继电保护技术领域。当线路发生故障时，由量测端高速采集装置获得量测端故障电流行波数据，并利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波；其次，通过含故障相的相模变换运算来获取线模电压行波和线模电流行波；根据线模电流和线模电压，沿线计算步长取0.1m，应用贝杰龙传输方程计算电压和电流行波突变的沿线分布；最后，于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内，对行波突变取绝对值再进行积分可获取测距函数f_uI(x)和f_uII(x)，并根据测距函数沿线突变分布规律实现故障测距。

Description

一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波 测距方法

技术领域

本发明涉及一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，属于电力系统继电保护技术领域。

背景技术

在超高压输电线路上装设补偿设备，可以通过不同的补偿方式来增强线路的稳态输送功率能力以及提高系统的暂态稳定裕度，优化线路潮流和降低线路损耗等。由于线路中含有补偿装置就破坏了输电线全线阻抗的均匀性，因此利用工频量的单端阻抗法测距往往不能获得正确的故障位置。通常可将STATCOM视为通过一个连接电感(通常是变压器)与系统连接，并向系统输出功率为其中为系统电压、为STATCOM输出电压，L为连接电感。当STATCOM输出电压幅值大于系统电压幅值，流过连接电感的补偿电流超前系统电压，STATCOM向系统输出容性功率；当STATCOM输出电压幅值小于系统电压幅值，流过连接电感的补偿电流滞后系统电压，STATCOM向系统输出感性功率。可见，STATCOM通过幅值和相位的调控，向系统输入容性功率或感性功率。当输电线路发生故障后，STATCOM所处的状态与故障前相同。对于STATCOM在行波层次的等效主要取决于连接变压器一次侧漏感，以及开关损耗等效电阻，相比较无功功率而言，STATCOM向系统吸收的有功功率很小，一般都忽略，因此STATCOM在行波层次上其一次侧可以视为等效为电感，其电感值与STATCOM的容量有关。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提出一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，用以解决上述问题。

本发明的技术方案是：一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，当线路发生故障时，首先，由量测端高速采集装置获得量测端故障电流行波数据，并利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波；其次，通过含故障相的相模变换运算来获取线模电压行波和线模电流行波；再次，根据线模电流和线模电压，沿线计算步长取0.1m，应用贝杰龙传输方程计算电压和电流行波突变的沿线分布；最后，于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内，对行波突变取绝对值再进行积分可获取测距函数f_uI(x)和f_uII(x)，并根据测距函数沿线突变分布规律实现故障测距。

具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由量测端高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据；其中，l为含有STATCOM的输电线路的全长；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c (1)

式(1)中u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：根据步骤(1)和步骤(2)得到的电流行波和电压行波，利用贝杰龙公式计算在[t₀,t₀+l/v]时窗长度电压行波和电流行波沿线分布；

其中，t₀为故障初始行波到达量测端的时刻，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})-i_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4})\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})+i_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}-r_{s}x)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}(t+x/v_s)-i_{M,s}(t+x/v_s)\·(Z_{c,s}+r_{s}x/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}(t-x/v_s)+i_{M,s}(t-x/v_s)\·(Z_{c,s}-r_{s}x/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)(r_{s}x/4)\]\end{array}---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2...，u_M,s为量测端线模电压，i_M,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2 (4)

反向电压行波为:

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2 (5)

u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、提取正向行波和反向行波的突变：首先，采用式(6)和(7)差分运算得到

和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{-}\left(t\right)-u_{x,s}^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(7\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式(8)中为正向行波在一段时间内的能量，式(9)中，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构建测距函数：根据式(8)和式(9)得到和于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，按照式(10)得到测距函数f_uI(x)、f_uII(x)，即：

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10b\right)$

第七步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗和[0,l/2]范围内测距函数f_uI(x)的突变点记为突变点解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]；

将[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗和[l/2,l]内测距函数f_uII(x)的突变点记为突变点解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

按照式(11)进行匹配，得到故障距离：

将测距函数f_u(x)含有突变点的个数定义为测距函数f_u的长度，比较f_uI和f_uII的长度，并将长度较长的f_u作为基准，则将另一个测距函数中含有突变点依次与基准函数的突变点按照式(11)进行匹配，并采用欧式距离度量匹配误差；匹配误差最小对应的突变点即为反映故障位置的突变点，且若x^* _I的极性为负，则故障点离开量测端x^* _I，若x^* _I的极性为正，则故障点离开量测端l-x^* _I；

x^* _I+x^* _II＝l x^* _I∈f_uI,x^* _II∈f_uII (11)

若存在多于一对突变点满足线长x^* _I+x^* _II＝l约束，则按照下面所述，实现故障突变点的辨识；

首先将[t₀，t₀+l/(2v)]时窗内测距函数沿线分布的突变点解集中满足式x^* _I+x^* _II＝l的突变点对应的距离记为x＝[x₁,x₂,……x_n]；

其次，依次假设x＝[x₁,x₂,……x_n]中的x_k＝x_f(k＝1,2,……n)，并在行波观测窗[t₀,t₀+t_k]内计算测距函数f_uk(x)在[0,l/2]范围内的突变分布；

若测距函数f_uk(x)沿线范围内只存在一个突变点，则该突变点为反映故障位置或对偶故障位置的突变点，且若该突变点突变极性为负，则故障距离x_f＝x₁，若该突变点突变极性为正，则故障距离x_f＝l-x₁；

若测距函数沿线范围内没有突变点，或多余一个突变点，则该突变点不是反映故障位置或对偶故障位置的突变点；

其中t_k的取值范围为[x₁/v,(x₁+l_Mk1)/v]，l_Mk1为量测端最短健全线路的全长。

本发明的有益效果是：

(1)无需考虑补偿装置的动作特性，测距算法更可靠有效；

(2)利用贝杰龙线路模型具有沿线长维度上的高通滤波器作用，使得测距方法更具鲁棒性和普适性，易于实现单端测距的实用化。

附图说明

图1为本发明实施例1、实施例2和实施例3中的线路结构图，线路全长为100km；

图2(a)为本发明实例1中，于[t₀,t₀+l/(2v)]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布；

图2(b)为本发明实例1中，于[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布；

图3(a)为本发明实例2中，于[t₀,t₀+l/(2v)]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布；

图3(b)为本发明实例2中，于[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布；

图4(a)为本发明实例2中，于[t₀,t₀+x₁/v]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布；

图4(b)为本发明实例2中，于[t₀,t₀+x₂/v]时窗长内，量测端(M端)测距函数沿线长范围内的突变分布。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步说明。

一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，当线路发生故障时，首先，由量测端高速采集装置获得量测端故障电流行波数据，并利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波；其次，通过含故障相的相模变换运算来获取线模电压行波和线模电流行波；再次，根据线模电流和线模电压，沿线计算步长取0.1m，应用贝杰龙传输方程计算电压和电流行波突变的沿线分布；最后，于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内，对行波突变取绝对值再进行积分可获取测距函数f_uI(x)和f_uII(x)，并根据测距函数沿线突变分布规律实现故障测距。

具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由量测端高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据；其中，l为含有STATCOM的输电线路的全长；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c (1)

式(1)中u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：根据步骤(1)和步骤(2)得到的电流行波和电压行波，利用贝杰龙公式计算在[t₀,t₀+l/v]时窗长度电压行波和电流行波沿线分布；

其中，t₀为故障初始行波到达量测端的时刻，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})-i_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4})\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})+i_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}-r_{s}x)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}(t+x/v_s)-i_{M,s}(t+x/v_s)\·(Z_{c,s}+r_{s}x/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}(t-x/v_s)+i_{M,s}(t-x/v_s)\·(Z_{c,s}-r_{s}x/4)\]\end{array}$

$-\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)(r_{s}x/4)\]---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2...，u_M,s为量测端线模电压，i_M,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2 (4)

反向电压行波为:

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2 (5)

u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、提取正向行波和反向行波的突变：首先，采用式(6)和(7)差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{-}\left(t\right)-u_{x,s}^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(7\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式(8)中为正向行波在一段时间内的能量，式(9)中，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构建测距函数：根据式(8)和式(9)得到和于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，按照式(10)得到测距函数f_uI(x)、f_uII(x)，即：

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10b\right)$

第七步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗和[0,l/2]范围内测距函数f_uI(x)的突变点记为突变点解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]；

将[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗和[l/2,l]内测距函数f_uII(x)的突变点记为突变点解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

按照式(11)进行匹配，得到故障距离：

将测距函数f_u(x)含有突变点的个数定义为测距函数f_u的长度，比较f_uI和f_uII的长度，并将长度较长的f_u作为基准，则将另一个测距函数中含有突变点依次与基准函数的突变点按照式(11)进行匹配，并采用欧式距离度量匹配误差；匹配误差最小对应的突变点即为反映故障位置的突变点，且若x^* _I的极性为负，则故障点离开量测端x^* _I，若x^* _I的极性为正，则故障点离开量测端l-x^* _I；

x^* _I+x^* _II＝l x^* _I∈f_uI,x^* _II∈f_uII (11)

若存在多于一对突变点满足线长x^* _I+x^* _II＝l约束，则按照下面所述，实现故障突变点的辨识；

首先将[t₀，t₀+l/(2v)]时窗内测距函数沿线分布的突变点解集中满足式x^* _I+x^* _II＝l的突变点对应的距离记为x＝[x₁,x₂,……x_n]；

其次，依次假设x＝[x₁,x₂,……x_n]中的x_k＝x_f(k＝1,2,……n)，并在行波观测窗[t₀,t₀+t_k]内计算测距函数f_uk(x)在[0,l/2]范围内的突变分布；

若测距函数f_uk(x)沿线范围内只存在一个突变点，则该突变点为反映故障位置或对偶故障位置的突变点，且若该突变点突变极性为负，则故障距离x_f＝x₁，若该突变点突变极性为正，则故障距离x_f＝l-x₁；

若测距函数沿线范围内没有突变点，或多余一个突变点，则该突变点不是反映故障位置或对偶故障位置的突变点；

其中t_k的取值范围为[x₁/v,(x₁+l_Mk1)/v]，l_Mk1为量测端最短健全线路的全长。

所述量测端也可以表述为M端。

实施例1：以图1所示的输电线路为例，在STATCOM元件左侧距离M端30km处发生接地故障。

根据说明书中步骤一，于M端获取到1.5l/v时窗长度的行波数据；根据步骤二，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波得到u_M＝i_k×Z_c；根据步骤三，计算电压行波和电流行波沿线路分布u_x,s(x,t)和i_x,s(x,t)；根据步骤四计算正向行波与反向行波u⁺ _x,s和u^- _x,s；根据步骤五，计算提取正向行波和反行波的突变和以及能量和根据步骤六，构建测距函数。得到测距函数f_uI(x)、f_uII(x)。根据步骤七，获取故障距离。f_uI＝[30.2 39.8]km，f_uII＝[69.8]km，x_I1+x_II1＝30.2+69.8＝100.0＝l，且x_I1处突变的极性为负，可知故障位于STATCOM左侧半线长之内，且距离M端30.2km。

实施例2：以图1所示的输电线路为例，在TCSC元件右侧距离M端70km处发生接地故障。

根据说明书中步骤一，于量测端M获取到1.5l/v时窗长度的行波数据；根据步骤二，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波得到u_M＝i_k×Z_c；根据步骤三，计算电压行波和电流行波沿线路分布u_x,s(x,t)和i_x,s(x,t)；根据步骤四计算正向行波与反向行波u⁺ _x,s和u^- _x,s；根据步骤五，计算提取正向行波和反行波的突变和以及能量和根据步骤六，构建测距函数。得到测距函数f_uI(x)、f_uII(x)。根据步骤七，获取故障距离。根据步骤七，获取故障距离。f_uI＝[20.2 29.8]km，f_uII＝[59.9 70.781.0]km，因x_I1+x_II3＝20.2+81.0＝101.2≈l，同时x_I2+x_II2＝29.8+70.7＝100.5≈l。同样，存在多于一对突变点满足式x^* _I+x^* _II＝l，因此按照上述步骤，得到x＝[20.2 29.8]。现假设x_f＝x₁＝20.2km，并在行波观测时窗[t₀,t₀+x₁/v]内计算测距函数f_u(x)在全线长范围内的行波突变分布，测距函数沿线长范围内没有突变点，故假设不成立，x_f≠x₁。接着假设x_f＝x₂＝29.8km，在行波观测时窗[t₀,t₀+x₂/v]]内计算测距函数f_u(x)在全线长范围内的行波突变分布，测距函数沿线长范围内只有一个突变点，且该突变点对应的距离为x₂，其突变极性为正，则假设成立，且故障点离开M端70.2km处。

以上结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (2)

1.一种基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，其特征在于：当线路发生故障时，首先，由量测端高速采集装置获得量测端故障电流行波数据，并利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波；其次，通过含故障相的相模变换运算来获取线模电压行波和线模电流行波；再次，根据线模电流和线模电压，沿线计算步长取0.1m，应用贝杰龙传输方程计算电压和电流行波突变的沿线分布；最后，于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内，对行波突变取绝对值再进行积分可获取测距函数f_uI(x)和f_uII(x)，并根据测距函数沿线突变分布规律实现故障测距。

2.根据权利要求1所述的基于故障行波沿线分布特性的含STATCOM线路单端行波测距方法，其特征在于具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由量测端高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据；其中，l为含有STATCOM的输电线路的全长；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c (1)

式(1)中u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：根据步骤(1)和步骤(2)得到的电流行波和电压行波，利用贝杰龙公式计算在[t₀,t₀+l/v]时窗长度电压行波和电流行波沿线分布；

其中，t₀为故障初始行波到达量测端的时刻，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})-i_{M,s}(t+\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4})\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})+i_{M,s}(t-\frac{x}{v_s})(Z_{c,s}-r_{s}x)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}(x,t)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}(t+x/v_s)-i_{M,s}(t+x/v_s)\·(Z_{c,s}+r_{s}x/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t-x/v_s\right)+i_{M,s}\left(t-x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}-r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)(r_{s}x/4)\]\end{array}---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2...，uM,s为量测端线模电压，iM,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2 (4)

反向电压行波为:

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2 (5)

u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、提取正向行波和反向行波的突变：首先，采用式(6)和(7)差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式(8)中为正向行波在一段时间内的能量，式(9)中，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构建测距函数：根据式(8)和式(9)得到和于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，按照式(10)得到测距函数f_uI(x)、f_uII(x)，即：

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(10b\right)$

第七步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗和[0,l/2]范围内测距函数f_uI(x)的突变点记为突变点解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]；

将[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗和[l/2,l]内测距函数f_uII(x)的突变点记为突变点解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

按照式(11)进行匹配，得到故障距离：

将测距函数f_u(x)含有突变点的个数定义为测距函数f_u的长度，比较f_uI和f_uII的长度，并将长度较长的f_u作为基准，则将另一个测距函数中含有突变点依次与基准函数的突变点按照式(11)进行匹配，并采用欧式距离度量匹配误差；匹配误差最小对应的突变点即为反映故障位置的突变点，且若x^* _I的极性为负，则故障点离开量测端x^* _I，若x^* _I的极性为正，则故障点离开量测端l-x^* _I；

x^* _I+x^* _II＝l x^* _I∈f_uI,x^* _II∈f_uII (11)

若存在多于一对突变点满足线长x^* _I+x^* _II＝l约束，则按照下面所述，实现故障突变点的辨识；

首先将[t₀，t₀+l/(2v)]时窗内测距函数沿线分布的突变点解集中满足式x^* _I+x^* _II＝l的突变点对应的距离记为x＝[x₁,x₂,……x_n]；

其次，依次假设x＝[x₁,x₂,……x_n]中的x_k＝x_f(k＝1,2,……n)，并在行波观测窗[t₀,t₀+t_k]内计算测距函数f_uk(x)在[0,l/2]范围内的突变分布；

若测距函数f_uk(x)沿线范围内只存在一个突变点，则该突变点为反映故障位置或对偶故障位置的突变点，且若该突变点突变极性为负，则故障距离x_f＝x₁，若该突变点突变极性为正，则故障距离x_f＝l-x₁；

若测距函数沿线范围内没有突变点，或多余一个突变点，则该突变点不是反映故障位置或对偶故障位置的突变点；

其中t_k的取值范围为[x₁/v,(x₁+l_Mk1)/v]，l_Mk1为量测端最短健全线路的全长。