CN105372559A - 一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，属于电力系统故障测距技术领域。首先，由上级线路量测端高速采集装置获取的量测端故障电流行波数据。其次，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，并采用构造电压行波和电流行波以及贝杰龙线路传递方程计算沿线电压和电流。再次，根据方向行波公式计算正向行波和反向行波，并在两个相继行波分析时窗内，沿最长线路计算测距函数。最后根据测距函数沿线分布的突变点，得到故障距离。理论分析和仿真结果表明本方法效果良好。

Description

一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法

技术领域

本发明涉及一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，属于电力系统故障测距技术领域。

背景技术

故障测距的任务就是当线路的某一点发生故障时，通过线路两端的实测电流、电压及线路阻抗等参数计算出故障距离。通常，输电线故障测距方法主要有两类，一类是阻抗法，是直接计算故障阻抗或其百分比的算法；另一类是行波法，利用高频故障暂态电流、电压的行波等来间接判定故障点的距离。

输电线路行波故障测距经历了早期行波故障测距和现代行波故障测距两个阶段。近年来随着硬件制造水平以及计算机技术的飞速发展，现代行波测距技术在很多方面遇到的困境都得到了突破，但仍存在一些尚未解决或者急需要改进的问题，这些问题主要有：故障行波的辨识准确度如何提高，行波波头到达测量端时刻如何准确的捕捉，不同输电线路及电压等级对应的波速怎样选取，利用其它健全线路含有的故障信息怎样实现广域行波测距等方面。因此，现代行波故障测距在未来发展之路中还要面对许多技术和原理层面上的挑战。现提出一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，用以解决上述问题。

本发明的技术方案是：一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，首先，由上级线路量测端高速采集装置获取的量测端故障电流行波数据；其次，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，并采用构造电压行波和电流行波以及贝杰龙线路传递方程计算沿线电压和电流；再次，根据方向行波公式计算正向行波和反向行波，并在两个相继行波分析时窗内，沿最长线路计算测距函数；最后根据测距函数沿线分布的突变点，得到故障距离。

具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l′/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l′/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据，其中l′＝max(l₁,l)；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c(1)

式中，u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：

若本级线路长度l₁小于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]内的方向行波沿线分布；

若本级线路长度l₁大于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l₁/(2v)]和[t₀+l₁/(2v),t₀+l₁/v]内的方向行波沿线分布，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)-i_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4}\right)\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)+i_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}-r_{s}x\right)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t+x/v_s\right)-i_{M,s}\left(t+x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}+r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t-x/v_s\right)+i_{M,s}\left(t-x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}-r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)\left(r_{s}x/4\right)\]\end{array}---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2，u_M,s为量测端线模电压，i_M,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s为线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2(4)

反向电压行波为：

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2(5)

式中，u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、采用式(4)和式(5)提取正向行波和反行波的突变：

首先，采用差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{-}\left(t\right)-u_{x,s}^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(7\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构造测距函数：在[t₀,t₀+l′/(2v)]和[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]，l′＝max(l₁,l)，行波分析时窗内，计算测距函数，即：

$f_u\left(x\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}{S}_{2u}^{+}(x,t)\×S_{2u}^{-}(x,t)dt,x\∈\[0,l^{\′}\]---\left(10\right)$

t₁,t₂为积分上、下限；

第七步、确定故障距离：

首先计算[t₀,t₀+l′/(2v)]和[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]两个相继时窗内的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并记[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗内测距函数沿线的突变点f_uI(x)＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗内的测距函数的沿线的突变点f_uII(x)＝[x_II1,x_II2,……]；

若f_uI(x)和f_uII(x)存在一对有突变点满足x^* _I+x^* _II＝l；

若x^* _I的极性为负，则故障距离M端x^* _I，

若x^* _I的极性为正，则故障距离M端x^* _II；

其中，t₀为故障初始行波到达时刻。

本发明的有益效果是：

(1)不需要辨识故障点反射波，易于实现单端测距的自动化。

(2)利用贝杰龙线路模型具有沿线长维度上的高通滤波器作用，使得测距方法更具鲁棒性和普适性。

附图说明

图1是本发明实施例1、实施例2、实施例3的输电线路结构图；

图2是本发明实施例1中所述的故障条件下量测端电流行波；

图3是本发明实施例1中所述的故障条件下测距函数沿线分布，其中(a)为[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布，(b)为[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布；

图4是本发明实施例2中所述的故障条件下量测端电流行波；

图5是本发明实施例2中所述的故障条件下测距函数沿线分布，其中(a)为[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布，(b)为[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布；

图6是本发明实施例2中所述的故障条件下量测端电流行波；

图7是本发明实施例3中所述的故障条件下测距函数沿线分布，其中(a)为[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布，(b)为[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步说明。

一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，首先，由上级线路量测端高速采集装置获取的量测端故障电流行波数据；其次，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，并采用构造电压行波和电流行波以及贝杰龙线路传递方程计算沿线电压和电流；再次，根据方向行波公式计算正向行波和反向行波，并在两个相继行波分析时窗内，沿最长线路计算测距函数；最后根据测距函数沿线分布的突变点，得到故障距离。

具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l′/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l′/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据，其中l′＝max(l₁,l)；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c(1)

式中，u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：

若本级线路长度l₁小于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]内的方向行波沿线分布；

若本级线路长度l₁大于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l₁/(2v)]和[t₀+l₁/(2v),t₀+l₁/v]内的方向行波沿线分布，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)-i_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4}\right)\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)+i_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}-r_{s}x\right)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t+x/v_s\right)-i_{M,s}\left(t+x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}+r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t-x/v_s\right)+i_{M,s}\left(t-x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}-r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)\left(r_{s}x/4\right)\]\end{array}---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2，u_M,s为量测端线模电压，i_M,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s为线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2(4)

反向电压行波为：

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2(5)

式中，u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、采用式(4)和式(5)提取正向行波和反行波的突变：

首先，采用差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{-}\left(t\right)-u_{x,s}^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(7\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构造测距函数：在[t₀,t₀+l′/(2v)]和[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]，l′＝max(l₁,l)，行波分析时窗内，计算测距函数，即：

$f_u\left(x\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}{S}_{2u}^{+}(x,t)\×S_{2u}^{-}(x,t)dt,x\∈\[0,l^{\′}\]---\left(10\right)$

t₁,t₂为积分上、下限；

第七步、确定故障距离：

首先计算[t₀,t₀+l′/(2v)]和[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]两个相继时窗内的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并记[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗内测距函数沿线的突变点f_uI(x)＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗内的测距函数的沿线的突变点f_uII(x)＝[x_II1,x_II2,……]；

若f_uI(x)和f_uII(x)存在一对有突变点满足x^* _I+x^* _II＝l；

若x^* _I的极性为负，则故障距离M端x^* _I，

若x^* _I的极性为正，则故障距离M端x^* _II；

其中，t₀为故障初始行波到达时刻。

实施例1：以图1所示的输电线路为例，本级线路Q端为多出线的接线形式，且健全新路l_k1＝30km，l_k2＝200km。本级线路与下级线路系“一进二出”的接线形式，现假设l_MN线路距离M端64km处发生A相接地故障。

根据说明书中步骤一通过量测端获取到3l′/v时窗长度的行波数据；根据步骤二利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波u_M＝i_k×Z_c；根据步骤三计算电压和电流行波沿线路分布u_x,s(x,t)和i_x,s(x,t)；根据步骤四计算正向行波与反向行波u⁺ _x,s和u^- _x,s；根据步骤五计算提取正向行波和反行波的突变和以及能量和根据步骤六构建测距函数f_u(x)。[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布如图3(a)所示，[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布如图3(b)所示。根据步骤七获取故障距离。由图3可知，f_I(x)＝[9.639.763.969.9]km，f_II(x)＝[63.985.9]km，则x_I3+x_II2＝63.9+85.9＝149.8≈l，且x_I3突变点的极性为负，可知故障位置离开M端63.9km。

实施例2：以图1所示的输电线路为例，本级线路Q端为多出线的接线形式，且健全新路l_k1＝30km，l_k2＝200km。本级线路与下级线路系“一进二出”的接线形式，现假设l_MN线路距离M端86km处发生A相接地故障。

根据说明书中步骤一通过量测端获取到3l′/v时窗长度的行波数据；根据步骤二利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波u_M＝i_k×Z_c；根据步骤三计算电压和电流行波沿线路分布u_x,s(x,t)和i_x,s(x,t)；根据步骤四计算正向行波与反向行波u⁺ _x,s和u^- _x,s；根据步骤五计算提取正向行波和反行波的突变和以及能量和根据步骤六构建测距函数f_u(x)。[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布如图5(a)所示，[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布如图5(b)所示。根据步骤七获取故障距离。根据步骤七获取故障距离。由图5可知，f_I(x)＝[39.763.9]km，f_II(x)＝[23.833.679.585.6103.8125.7]km，则x_I2+x_II4＝63.9+85.6＝149.5≈l，且x_I2突变点的极性为正，可知故障位置离开M端85.6km。

实施例3：以图1所示的输电线路为例，本级线路Q端为多出线的接线形式，且健全新路l_k1＝30km，l_k2＝200km。本级线路与下级线路系“一进二出”的接线形式，现假设l_MN线路距离M端94km处发生A相接地故障。

根据说明书中步骤一通过量测端获取到3l/v时窗长度的行波数据；根据步骤二利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波u_M＝i_k×Z_c；根据步骤三计算电压和电流行波沿线路分布u_x,s(x,t)和i_x,s(x,t)；根据步骤四计算正向行波与反向行波u⁺ _x,s和u^- _x,s；根据步骤五计算提取正向行波和反行波的突变和以及能量和根据步骤六构建测距函数f_u(x)。[t₀,t₀+l′/(2v)]时窗长下测距函数在全长的分布如图7(a)所示，[t₀+l′/(2v),t₀+l′/v]时窗长下测距函数在全长的分布如图7(b)所示。根据步骤七获取故障距离。根据步骤七获取故障距离。由图7可知，f_I(x)＝[39.755.8]km，f_II(x)＝[16.025.780.093.7111.8133.9]km，则x_I2+x_II4＝55.8+93.7＝149.5≈l，且x_I2突变点的极性为正，可知故障位置离开M端93.7km。

以上结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (2)

1.一种基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，其特征在于：首先，由上级线路量测端高速采集装置获取的量测端故障电流行波数据；其次，利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，并采用构造电压行波和电流行波以及贝杰龙线路传递方程计算沿线电压和电流；再次，根据方向行波公式计算正向行波和反向行波，并在两个相继行波分析时窗内，沿最长线路计算测距函数；最后根据测距函数沿线分布的突变点，得到故障距离。

2.根据权利要求1所述的基于故障行波沿线分布特性的链式输电线路单端故障测距有限延拓方法，其特征在于具体步骤为：

第一步、读取行波数据：由高速采集装置获得的量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前l'/(2v)时窗长度和故障初始行波到达后l'/v时窗长度，即总共1.5l/v时窗长度的行波数据，其中l'＝max(l₁,l)；

第二步、利用相邻健全线路电流行波和波阻抗来构造电压行波，即：

u_M＝i_k×Z_c(1)

式中，u_M为量测端电压，i_k为最长健全线路量测端电流，Z_c为线路波阻抗；

第三步、计算方向行波沿线路分布：

若本级线路长度l₁小于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]内的方向行波沿线分布；

若本级线路长度l₁大于下级线路长度l，利用贝杰龙公式计算在行波观测时窗[t₀,t₀+l₁/(2v)]和[t₀+l₁/(2v),t₀+l₁/v]内的方向行波沿线分布，即：

$\begin{array}{c}{u}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)-i_{M,s}\left(t+\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}+\frac{r_{s}x}{4}\right)\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2\[u_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)+i_{M,s}\left(t-\frac{x}{v_s}\right)\left(Z_{c,s}-r_{s}x\right)\]\\ -{\left(\frac{r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)}^2{u}_{M,s}\left(t\right)-\frac{r_{s}x}{4}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)i_{M,s}\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{x,s}\left(x,t\right)=\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}+r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t+x/v_s\right)-i_{M,s}\left(t+x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}+r_{s}x/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_{c,s}}\left(\frac{Z_{c,s}-r_{s}x/4}{Z_{c,s}}\right)\[u_{M,s}\left(t-x/v_s\right)+i_{M,s}\left(t-x/v_s\right)\·\left(Z_{c,s}-r_{s}x/4\right)\]\end{array}$

$-\frac{1}{2Z_{c,s}}\·\frac{r_{s}x}{2Z_{c,s}}\[u_{M,s}\left(t\right)-i_{M,s}\left(t\right)(r_{s}x/4)\]---\left(3\right)$

式中，下标s表示模量，s＝1,2，u_M,s为量测端线模电压，i_M,s为量测端线模电流，x为离开量侧端的距离，r_s单位长度的线模电阻，Z_c,s为线模波阻抗，v_s为线模波速度；

第四步、计算正向行波与反向行波：

正向电压行波为：

u⁺ _x,s＝(u_x,s+Z_c,si_x,s)/2(4)

反向电压行波为：

u^- _x,s＝(u_x,s-Z_c,si_x,s)/2(5)

式中，u⁺ _x,s为距离量测端x处的正向行波，u^- _x,s为距离量测端为x处的反向行波，u_x,s为距离量测端x处的电压行波，i_x,s为距离量测端x处的电流行波；

第五步、采用式(4)和式(5)提取正向行波和反行波的突变：

首先，采用差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{+}\left(t\right)-u_{x,s}^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_{x,s}^{-}\left(t\right)-u_{x,s}^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(7\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

其次，计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(9\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

第六步、构造测距函数：在[t₀,t₀+l'/(2v)]和[t₀+l'/(2v),t₀+l'/v]，l'＝max(l₁,l)，

行波分析时窗内，计算测距函数，即：

$f_u\left(x\right)={\∫}_{t_1}^{t_2}{S}_{2u}^{+}(x,t)\×S_{2u}^{-}(x,t)dt,x\∈\[0,l^{\′}\]---\left(10\right)$

t₁,t₂为积分上、下限；

第七步、确定故障距离：

首先计算[t₀,t₀+l'/(2v)]和[t₀+l'/(2v),t₀+l'/v]两个相继时窗内的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并记[t₀,t₀+l'/(2v)]时窗内测距函数沿线的突变点f_uI(x)＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l'/(2v),t₀+l'/v]时窗内的测距函数的沿线的突变点f_uII(x)＝[x_II1,x_II2,……]；

若f_uI(x)和f_uII(x)存在一对有突变点满足x^* _I+x^* _II＝l；

若x^* _I的极性为负，则故障距离M端x^* _I，

若x^* _I的极性为正，则故障距离M端x^* _II；

其中，t₀为故障初始行波到达时刻。