CN105806367A - 无陀螺惯性系统误差标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种无陀螺惯性系统误差标定方法，该方法可在没有外部设备提供基准的情况下，利用重力矢量模值的唯一性，通过改变无陀螺惯性系统基准坐标系的空间指向形成多个位置的加速度计输出组合，采用非线性迭代方法估计无陀螺惯性系统所有加速度计零偏、标度因数误差和安装误差。该方法具有无需精密外部设备、操作简单、成本低廉的特点，可用于无陀螺惯性系统在实验室或外场环境下的标定。

Description

无陀螺惯性系统误差标定方法

技术领域

本发明涉及惯性导航技术领域，具体的涉及一种无陀螺惯性系统误差标定方法。

背景技术

无陀螺捷联惯性导航系统是一种只用加速度计作为测量敏感元件的惯性系统，载体的角速度和线加速度都从加速度计输出获取。虽然其理论基础早在上世纪六十年代已经提出，但是由于各种条件的限制并没有进行系统研制。随着近年来微电子、微机械制造技术的突破，制造低成本、高精度的微加速度计成为可能，而且，从技术角度看，制造微型加速度计比制造微型陀螺仪容易，成本也低。

海湾战争以后的多个局部战争表明，现代战争是非常昂贵的，在考虑战争的军事目的的同时，经济因素已成为现代战争中不得不重视的问题。在保证武器系统精度的同时，降低武器成本成为各国军方关注的重要问题，而惯性制导系统通常是其中最昂贵的部件之一。从应用角度讲，与传统的由陀螺仪和加速度计组成的捷联系统相比，无陀螺惯性系统具有寿命长、可靠性高和便于维护、维修等特点，特别适用于具有大角速度和大角加速度动态范围载体的导航。传统的惯性测量系统包括三个陀螺仪，以测量载体角速度，三个加速度计测量三个方向比力，直接积分角速度可用得于载体姿态上，因而导航计算中姿态误差随着时间线性增长，而位置误差随着时间的立方增长。在无陀螺惯性系统下，不能直接测量角速度，只能得到载体的角加速度，因此需要进行两次积分方可得到载体的姿态信息，姿态与比力之后经过两次积分得到位置，因此，无陀螺惯性导航系统的姿态误差与时间的平方成正比，而位置误差与时间的四次方成正比，所以无陀螺惯性系统的误差累积速度比传统惯性系统的更快。

惯性测量系统的系统级地面标定是提高惯性测量系统的重要手段，标定方法一直是惯性系统领域研究的重点，惯性系统的地面标定一般需要借助大型精密设备，如三轴精密转台、精密离心机等来完成，这些设备成本高昂，使用环境苛刻，无法适应无陀螺惯性系统这类低成本惯性系统的标定。不依赖于外部设备的惯性系统标定方法受到了人们的重视。模标定技术是一种完全摆脱外部大型设备的新兴标定手段，以测量系统的输出为观测量，基于某一确定矢量模值在惯性空间内保持不变的特性，采用最小二乘法或Kalman滤波等数值手段，得到参数估计。2002年，Shin和EI-Sheimy完成了对三轴加速度计和三轴陀螺仪组合测量系统的标定，尽管他们只考虑了加速度计、陀螺仪的标度因子和零偏等共12项误差系数，但该方法为惯性测量系统的标定提供了一种全新的思路，在相关领域得到了广泛关注。之后，许多人都深入讨论利用模标定方法实现惯性测量系统中三个陀螺仪和三个加速度计误差系数的标定。陀螺仪误差系数标定的模矢量基准是地球自转角速度，由于地球自转角速度太小，利用模标定技术标定陀螺仪误差系数仍需转台支持，而加速度计误差系数标定的模矢量基准是重力加速度，则完全可行。无陀螺惯性器件敏感器件全部为加速度计，非常适合采用基于重力矢量的模标定方法。

与传统的三轴加速度计模标定不同，无陀螺惯性系统重力矢量模标定有许多需要重点研究的地方：(1)无陀螺惯性系统加速度计个数一般大于6个，需要将加速度计组合成多个三轴正交系统；(2)除基准方向加速度计外，其余每个加速度计方向上都存在两个安装误差，因此按照每三个加速度计组成的正交系统，正交系统安装误差个数超过3个，而在经典模标定估计方法中，不能估计超过3个的安装误差；(3)为估计所有的加速度计误差系数，在构成三轴正交系统时，部分加速度计需重复使用，同时还需要使用上一步的参数估计结果，如何保持参数估计结果的稳定性，需要重点考虑。

发明内容

本发明的目的在于提供一种无陀螺惯性系统误差标定方法，该发明解决了无陀螺惯性系统加速度计多个安装误差无法估计的技术问题。

本发明提供一种无陀螺惯性系统误差标定方法，包括以下步骤：

1)假设无陀螺惯性系统包含N＝3n个加速度计，将3n个加速度计分为n组，n为正整数，每组3个加速度计，且3个加速度计敏感轴方向理论上相互垂直，形成笛卡尔右手坐标系，根据无陀螺惯性系统特征定义基准坐标系及安装误差，根据第一组3个加速度计敏感轴方向定义基准坐标系，OX方向与第一组1号加速度计的敏感轴重合，OY轴在1号加速度计与2号加速度计敏感轴所确定的平面内并与OX轴垂直，OZ轴由右手坐标系确定，加速度计本身的误差系数考虑零偏b_i和标度因子误差系数k_i，无陀螺惯性系统包含N个零偏系数、N个标度因子和2N-3个敏感轴方向安装误差；

2)根据无陀螺惯性系统待估误差系数个数，设置无陀螺惯性系统基准坐标系相对地面的姿态位置组合，共设置16个标定位置，每一个标定位置下对应无陀螺惯性系统所有N个加速度计都得到一个测量输出，共得到16×N个加速度计输出；

3)获得所有标定位置下加速度计的输出后，首先估计第一组3个加速度计的零偏(b₁,b₂,b₃)、标度因子误差(k₁,k₂,k₃)、安装误差(η₂,η_3u,η_3v)共9个误差系数，采用迭代算法得到第一组加速度计所有误差系数的估计；

4)第二组加速度计误差模型中3个零偏误差(b₄,b₅,b₆)、3个标度因子误差(k₄,k₅,k₆)和6个安装误差(η_4u,η_4v,η_5u,η_5v,η_6u,η_6v)，将6个安装误差分解为3个正交分量(α₂,β₂,γ₂)和3个非正交分量(η′₅,η′_6u,η′_6v)，使用步骤3)中相同的算法，可得到零偏误差、刻度因数误差和3个非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v的估计；

5)估计第二组加速度计安装误差正交分量(α₂,β₂,γ₂)部分：

第j个标定位置下第一组加速度计输出在基准坐标系OXYZ的分量表示为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_1& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_2& 1+{\hat{k}}_2& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3u}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3v}& 1+{\hat{k}}_3\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_1^j\\ y_2^j\\ y_3^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\\ {\hat{b}}_3\end{array}\right]\right)---\left(21\right)$

第二组加速度计输出在基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂的分量表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_4& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}& 1+{\hat{k}}_5& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_6\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_4^j\\ y_5^j\\ y_6^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_4\\ {\hat{b}}_5\\ {\hat{b}}_6\end{array}\right]\right)---\left(22\right)$

则在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(23\right)$

忽略C(α₂,β₂,γ₂)中的二阶小量，得到：

$C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\α}}_2& {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\α}}_2& 1& -{\mathrm{\γ}}_2\\ -{\mathrm{\β}}_2& {\mathrm{\γ}}_2& 1\end{array}\right]---\left(24\right)$

则式(23)变为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j-f_{x1}^j\\ f_{y2}^j-f_{y1}^j\\ f_{z2}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(25\right)$

令将多个标定位置下的方程组合后，得到：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ \mathrm{...}\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ \mathrm{...}\\ F^{16}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(26\right)$

使用最小二乘方法求解，得到α₂,β₂,γ₂的估计，所得为安装误差中正交分量的估计；

6)根据得到的安装误差正交分量α₂,β₂,γ₂和非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v的估计后，计算第二组加速度计安装误差；

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{4u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{4v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}\end{array}---\left(35\right)$

7)对于第i组加速度计(i＝3,4,…n)，定义第i(i＝3,4,…n)组加速度计的基准坐标系O_iX_iY_iZ_i，其O_iX_i轴方向与第i组3i-2号加速度计的敏感轴重合，基准坐标系的O_iY_i轴在第3i-2号加速度计与3i-1号加速度计敏感轴所确定的平面内并与O_iX_i轴垂直，基准坐标系的O_iZ_i轴由右手坐标系规则确定，则坐标系OXYZ到坐标系O_iX_iY_iZ_i之间旋转矩阵表示为：

$C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& -{\mathrm{sin\β}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i-{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i+{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i+{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i-{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i\end{array}\right]---\left(27\right)$

第i组三个加速度计敏感轴方向与基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为：

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)}^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)---\left(28\right)$

其中α_i,β_i,γ_i为第i组加速度计的正交安装误差，η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v第i组加速度计的非正交安装误差，使用步骤3)中相同的算法，可得到零偏误差b_3i-2,b_3i-1,b_3i、刻度因数误差k_3i-2,k_3i-1,k_3i和3个非正交分量η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v的估计；

同时根据无陀螺惯性系统第i组三个加速度计安装误差的定义，A_i可表示为：

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)u}& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)v}\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)u}& 1& {\mathrm{\η}}_{(3i-1)v}\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}& 1\end{array}\right]---\left(29\right)$

第i组加速度计输出在基准坐标系O_iX_iY_iZ_i的分量表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_{3i-2}& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i-1}& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i}\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_{3i-2}^j\\ y_{3i-1}^j\\ y_{3i}^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_{3i-2}\\ {\hat{b}}_{3i-1}\\ {\hat{b}}_{3i}\end{array}\right]\right)---\left(30\right)$

则在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(31\right)$

忽略C(α_i,β_i,γ_i)中的二阶小量，可得到：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j-f_{x1}^j\\ f_{yi}^j-f_{y1}^j\\ f_{zi}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(32\right)$

令将多个标定位置下的方程组合后，得到：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ \mathrm{...}\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ \mathrm{...}\\ F^{16}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(33\right)$

使用最小二乘方法求解，得到α_i,β_i,γ_i的估计，所得为安装误差中正交分量的估计，则安装误差估计为

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-2)u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-2)v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-1)u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-1)v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}\end{array}---\left(34\right).$

进一步地，步骤1)中还包括以下步骤：

1.1将所有加速度计依序编号；

1.2根据第一组3个加速度计敏感轴方向定义基准坐标系，基准坐标系的OX方向与第一组1号加速度计的敏感轴重合，基准坐标系的OY轴在1号加速度计与2号加速度计敏感轴所确定的平面内并与OX轴垂直，基准坐标系的OZ轴由右手坐标系规则确定；

1.3在基准坐标系中，1号加速度计没有方向安装误差，2号加速度计存在XY平面内的方向安装误差η₂，3号加速度计存在两个方向安装误差η_3u和η_3v；

1.4无陀螺惯性系统中的余下的加速度计均存在两个方向的安装误差η_iu和η_iv，i＝4,5,…N，无陀螺惯性系统中包含N个零偏系数、N个标度因数和2N-1个敏感轴安装误差。

进一步地，步骤4)中还包括以下步骤：

4.1定义一个新的基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂，并将第二组加速度计的误差模型设为：

$\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_5\\ y_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+k_4& 0& 0\\ 0& 1+k_5& 0\\ 0& 0& 1+k_6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& {\mathrm{\η}}_{4v}\\ {\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& {\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_4\\ b_5\\ b_6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_4\\ {\mathrm{\ϵ}}_5\\ {\mathrm{\ϵ}}_6\end{array}\right]---\left(16\right)$

4.2在基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂下，第4号加速度计没有安装误差，第5号加速度计存在一个安装误差η＇₅，第6号加速度计存在两个安装误差η＇_6u,η＇_6v，基准坐标系OXYZ和基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间不重合，其关系用三个欧拉角确定，其旋转顺序为“321”，即坐标系OXYZ到坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间旋转矩阵可表示为：

$C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& -{\mathrm{sin\β}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2+{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2+{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2-{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2\end{array}\right]---\left(17\right)$

则第二组加速度计敏感轴方向与基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为：

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_5^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{6u}^{\′}& {\mathrm{\η}}_{6v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)---\left(18\right)$

同时根据无陀螺惯性系统第4、5、6号加速度计安装误差的定义，A₂可表示为

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& {\mathrm{\η}}_{4v}\\ {\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& {\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]---\left(19\right)$

4.3无陀螺惯性系统中第二组加速度计的6个安装误差可以分为旋转正交分量α₂,β₂,γ₂和非正交分量η＇₅,η＇_6u,η＇_6v，使用模标定方法估计非正交分量η＇₅,η＇_6u,η＇_6v，正交分量无论为何值，始终满足下式：

||C(α₂,β₂,γ₂)||＝1(20)

基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂的定义方法：O₂X₂轴指向第4号加速度计的敏感轴，O₂Y₂轴位于第4号加速度计和第5号加速度计敏感轴所在平面内并垂直于O₂X₂轴，O₂Z₂轴由右手坐标系确定。

本发明的技术效果：

本发明提供无陀螺惯性系统误差标定方法，该方法得到了所有加速度计零偏、标度因子误差和敏感轴安装误差的估计，该方法实施方便、成本低廉且结果稳定。通过本发明提供的方法能够得到无陀惯性系统的所有加速度计零偏、标度因子误差、安装误差等系数的估计。

具体请参考根据本发明的无陀螺惯性系统误差标定方法提出的各种实施例的如下描述，将使得本发明的上述和其他方面显而易见。

附图说明

图1是本发明优选实施例中用于估计无陀螺系统加速度计所有误差系数的16位置加速度计标定设置示意图，图中括号中的角度表示各位置相对于位置1所旋转的角度，其中表示绕位置1中x轴转动的角度，φ表示绕位置1中y轴转动的角度，λ表示绕位置1中z轴转动的角度，位置1给出的无陀螺惯性系统基准坐标系OXYZ相对于地面的姿态角可以是任意的，上述各角度均并不需精确给定，只需大致符合即可；

图2是本发明优选实施例的无陀螺惯性系统误差标定方法流程示意图；

图3是本发明优选实施例的仿真实验中所用12加速度计无陀螺惯性系统实物构型几何放置位置示意图，图中的箭头方向表示加速度计敏感轴指向，加速度计中心在立方体棱的中点位置，共设有四组12个加速度计。

具体实施方式

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

本发明提供的方法利用地球上任一点重力矢量模值不变的特点，通过改变无陀螺惯性系统三轴相对地面的姿态，得到了多个姿态位置下的所有加速度输出组合，采用非线性迭代方法估计出所有加速度计的零偏系数、标度因子误差和安装误差。为描述方便，本发明提供方法仅适用于无陀螺惯性系统包含N＝3n(n为正整数，且n≥2)个加速度计的情况。

参见图2，本发明提供的方法包括以下步骤：

1)对于无陀螺惯性系统中的3n个加速度计，按照如下要求将其分为n组：每组3个加速度计，且3个加速度计敏感轴方向理论上相互垂直，形成笛卡尔右手坐标系，同时定义无陀螺惯性系统基准坐标系：根据第一组3个加速度计敏感轴方向定义基准坐标系，OX方向与第一组1号加速度计的敏感轴重合，OY轴在1号加速度计与2号加速度计敏感轴所确定的平面内并与OX轴垂直，OZ轴由右手坐标系确定；基准坐标系确定后，可以看出，1号加速度计没有方向安装误差，2号加速度计存在一个XY平面内的方向安装误差η₂，3号加速度计存在两个方向安装误差η_3u和η_3v；所述无陀螺惯性系统中的剩余加速度计均存在两个方向安装误差η_iu和η_iv(i＝4,5,…N)；所述加速度计本身的误差系数考虑零偏b_i和标度因子误差系数k_i，所述无陀螺惯性系统包含N个零偏系数、N个标度因子和2N-3个敏感轴方向安装误差。

2)加速度计测量输出与加速度计误差系数以及重力加速度在无陀螺系统基准坐标系中三个方向的分量有关，即无陀螺惯性系统基准坐标系OXYZ相对于地面的相对姿态不同，加速度计输出将有所不同，每一个不同的姿态称之为一个标定位置。由于重力加速度计的模值是一定的，因此要获得所有加速度计误差系数的估计，需要利用多个标定位置下加速度计输出。根据无陀螺惯性系统的一般特点，设置无陀螺惯性系统基准坐标系相对地面的姿态位置组合共16位置的标定方案，每一个位置下每个加速度计可以得到一个测量输出，共有16×N个加速度计输出，图1描述了一种无陀螺惯性系统的16个标定位置，实现无陀螺系统误差系数标定的多位置方案并不是唯一的，还可以是其它标定位置组合方案。

3)获得16个位置下所有加速度计的输出后，首先估计第一组3个加速度计的零偏(b₁,b₂,b₃)、标度因子误差(k₁,k₂,k₃)、安装误差(η₂,η_3u,η_3v)共9个误差系数，采用迭代算法可以得到第一组加速度所有误差系数的估计。

4)第二组加速度计误差模型中包括3个零偏误差(b₄,b₅,b₆)、3个标度因子误差(k₄,k₅,k₆)和6个安装误差(η_4u,η_4v,η_5u,η_5v,η_6u,η_6v)，此时需将6个安装误差分解为3个正交分量和3个非正交分量，利用步骤3)中的计算方法得到3个非正交分量η＇₅,η＇_6u,η＇_6v的估计。

5)估计第二组加速度计中的非正交分量α₂,β₂,γ₂。

6)得到安装误差的正交分量和非正交分量后，可以进一步得到加速度计安装误差的估计计算过程如下：

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{4u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{4v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}\end{array}---\left(35\right)$

7)估计剩余第i(i＝3,…,n)组加速度计所有误差系数。

为完成无陀螺惯性系统基于重力矢量模的标定方法，首先需根据加速度计误差模型选定标定方案，根据该方案摆放无陀螺惯性系统基准坐标系OXYZ相对于地面的姿态位置，得到各个标定位置下加速度计输出；其次利用迭代方法估计第一组3个加速度计误差系数；然后将第二组3个加速度计中的6个安装误差分解为正交误差和非正交安装误差，利用迭代方法估计非正交误差，利用欧拉角关系估计正交误差，据此得到6个安装误差；最后剩余加速度计误差系数的标定可以参照此方法完成。

下面对发明的技术方案进行详细说明。

1对于加速度计误差模型和标定位置的说明

针对本发明提供方法中所述的步骤(2)中，以第一组三个加速度计为例，在地面静止状态下，忽略地球自转，此时角加速度及角速度均为零，加速度计输出可表示为

$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+k_1& 0& 0\\ 0& 1+k_2& 0\\ 0& 0& 1+k_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_2& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{3u}& -{\mathrm{\η}}_{3v}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_3\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中f_x,f_y,f_z为重力加速度矢量在基准坐标系OXYZ三轴上的分量，y₁,y₂,y₃分别为1号、2号、3号加速度计输出，b₁,b₂,b₃分别1、2、3号加速度计零偏误差系数，k₁,k₂,k₃分别1、2、3号加速度计标度因子误差，η₂是2号加速度计方向安装误差，η_3u,η_3v是3号加速度计的两个方向安装误差，ε_i为第i号加速度计输出噪声，可认为是零均值高斯白噪声。

图1给出的包括16个位置的标定方案可完成无陀螺系统加速度计所有误差系数的估计，图中括号中的角度表示各位置相对于位置1所旋转的角度，其中表示绕位置1中x轴转动的角度，其中φ表示绕位置1中y轴转动的角度，λ表示绕位置1中z轴转动的角度，其中位置1给出的无陀螺惯性系统基准坐标系OXYZ相对于地面的姿态角可以是任意的。值得注意的是，上述角度并不需要精确给定，只需要大致符合即可，甚至可以使用人工摆放完成，不需要外部设备。

2对于第一组加速度计误差系数的迭代标定算法说明

针对本发明提供方法中所述步骤3)中，加速度计模标定参数估计的迭代算法如下：式(1)可改写为

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]={\left(\left[\begin{array}{ccc}1+k_1& 0& 0\\ 0& 1+k_2& 0\\ 0& 0& 1+k_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_2& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{3u}& -{\mathrm{\η}}_{3v}& 1\end{array}\right]\right)}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_3\end{array}\right]\right)---\left(2\right)$

加速度计误差系数及安装误差可认为是一阶小量，即|k_i|≤1，|η_3u|,|η_3v|,|η₂|≤1，显然上述逆矩阵是可逆的。忽略二阶小量，上式可简化为

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+k_1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_2& 1+k_2& 0\\ {\mathrm{\η}}_{3u}& -{\mathrm{\η}}_{3v}& 1+k_3\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_3\end{array}\right]\right)---\left(3\right)$

令

$A={\left[\begin{array}{ccc}1+k_1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_2& 1+k_2& 0\\ {\mathrm{\η}}_{3u}& -{\mathrm{\η}}_{3v}& 1+k_3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{11}& 0& 0\\ k_{21}& k_{22}& 0\\ k_{31}& k_{32}& k_{33}\end{array}\right]---\left(4\right)$

为测量噪声。

则式(3)可改写为

f＝Ay+B+C(5)

由于f是重力加速度的分量，所有

||Ay+B+C||＝g₀(6)

其中g₀为当地点重力加速度值。式(6)是一个非线性方程，同时考虑到测量噪声，定义如下的目标函数

$G\left(k\right)={(Ay+B)}^T(Ay+B)-g_0^2---\left(7\right)$

其中G(k)为标定函数，k＝[k₁₁k₂₁k₂₂k₃₁k₃₂k₃₃b₁b₂b₃]^T是待估参数，共9项，获得k的估计值后，根据式(4)可获得比例因子和安装误差估计值。将G(k)展开后可以得到：

G(k)＝(k₁₁y₁+b₁)²+(k₂₁y₁+k₂₂y₂+b₂)²+(k₃₁y₁+k₃₂y₂+k₃₃y₃+b₃)²(8)

使得G(k)达到最小值时的k^*即为误差系数的估计值，即求解k^*使得

G(k^*)＝minG(k)(9)

可以看出，式(9)中待估参数有9个，而约束方程仅有1个，单独利用式(9)不能获得所有误差系数的估计，所以需要采用多位置标定方法。通过改变无陀螺系统基准坐标系OXYZ的指向，可以获得多个位置下的约束方程，在多个约束方程组合下，可以通过迭代方法求解误差系数。在步骤(2)中给出16位置标定方案下，则有目标函数

{G_i(k^*)＝minG_i(k)},i＝1,2…16(10)

使上述每一个目标函数取最小值即可得到关于k的估计，i表示第i个标定位置。迭代算法如下：

假设k⁰为初始迭代参数，k^j为第j步迭代值，对标定函数G(k)一阶Taylor展开，即：

$G\left(k^1\right)=G(k^0+\mathrm{\Δ}k)=G\left(k^0\right)+\frac{\∂G}{\∂k}\mathrm{\Δ}k---\left(11\right)$

又因为目标函数的最终值要求每一步G(k^j)＝0，故有

$\frac{\∂G}{\∂k}{|}_{k^0}\mathrm{\Δ}k=G\left(k^0\right)---\left(12\right)$

G(k)对各误差参数的偏导数为

$\frac{\∂G}{\∂k_{11}}=2(k_{11}{y}_1+b_1)y_1$

$\frac{\∂G}{\∂k_{21}}=2(k_{21}{y}_1+k_{22}{y}_2+b_2)y_1$

$\frac{\∂G}{\∂k_{22}}=2(k_{21}{y}_1+k_{22}{y}_2+b_2)y_2$

$\frac{\∂G}{\∂k_{31}}=2(k_{31}{y}_1+k_{32}{y}_2+k_{33}{y}_3+b_3)y_1$

$\frac{\∂G}{\∂k_{32}}=2(k_{31}{y}_1+k_{32}{y}_2+k_{33}{y}_3+b_3)y_2$

$\frac{\∂G}{\∂k_{33}}=2(k_{31}{y}_1+k_{32}{y}_2+k_{33}{y}_3+b_3)y_3$

$\frac{\∂G}{\∂b_1}=2(k_{11}{y}_1+b_1)$

$\frac{\∂G}{\∂b_2}=2(k_{21}{y}_1+k_{22}{y}_2+b_2)$

$\frac{\∂G}{\∂b_3}=2(k_{31}{y}_1+k_{32}{y}_2+k_{33}{y}_3+b_3)$

将多个位置下的方程组合起来，写成如下形式

HΔk＝Z(13)

其中为16维向量，为16×9维矩阵，由最小二乘可知

Δk＝(H^TH)^-1H^TZ(14)

则第二次迭代值可表示为

k¹＝k⁰+Δk(15)

总结上述过程，基本模标定的标定算法流程如下：

Step1：首先，采集三轴加速度计测量系统在多个静态位置下的输出，求取每个位置下输出的平均值，作为当前位置下加速度输出；

Step2：设置待估参数k的初值k^j；

Step3：计算每个标定位置下的偏导数组成偏导数矩阵H；

Step4：计算观测量

Step5：根据式(14)计算待估参数的修正量Δk；

Step6：根据式(15)计算待估参数的更新值k^j+1，作为下一步迭代的初值；

Step7：重复Step3至Step6，直到精度达到要求为止；

Step8：得到k的估计后，根据(4)式计算标度因子误差k₁,k₂,k₃以及安装误差η₂,η_3u,η_3v，这样就得到了第一组加速度计9个误差系数的估计值。

该算法迭代过程比较简单，但需要事先给定初值，是一种比较有效的迭代参数估计方法。

3对于第二组加速度计安装误差正交分解的说明

针对本发明提供方法中所述的步骤4)，对于第二组三轴加速度计(包括图3中的4、5、6号加速度计)，相对于无陀螺系统基准坐标系OXYZ，每个加速度计包括两个安装误差，其误差模型为，

$\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_5\\ y_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+k_4& 0& 0\\ 0& 1+k_5& 0\\ 0& 0& 1+k_6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& -{\mathrm{\η}}_{4v}\\ -{\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& -{\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_4\\ b_5\\ b_6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_4\\ {\mathrm{\ϵ}}_5\\ {\mathrm{\ϵ}}_6\end{array}\right]---\left(16\right)$

该模型不能直接使用模标定方法，因为无法估计全部6个安装误差系数。定义一个新的基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂：O₂X₂轴指向4号加速度计敏感轴，O₂Y₂轴位于4号加速度计和5号加速度计敏感轴所在的平面内并垂直与O₂X₂轴，O₂Z₂轴由右手坐标系确定。这样在O₂X₂Y₂Z₂坐标系下，4号加速度计没有安装误差，5号加速度计存在一个安装误差η′₅，6号加速度计存在两个安装误差η′_6u,η′_6v。但是基准坐标系OXYZ和坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间是不重合的，其关系可用三个欧拉角确定，其旋转顺序为“321”，即坐标系OXYZ到坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间旋转矩阵可表示

$C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& -{\mathrm{sin\β}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2+{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2+{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2-{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2\end{array}\right]---\left(17\right)$

则第二组加速度计敏感轴方向与基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_5^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{6u}^{\′}& -{\mathrm{\η}}_{6v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)---\left(18\right)$

同时根据无陀螺系统第4、5、6号加速度计安装误差的定义，A₂又可表示为

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& -{\mathrm{\η}}_{4v}\\ -{\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& -{\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]---\left(19\right)$

即无陀螺系统中第二组三轴加速度计6个安装误差可以分为两部分，一部分是旋转正交分量α₂,β₂,γ₂，另一部分是非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v。显然直接使用模标定方法只能估计非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v，而无法估计正交分量，因为无论α₂,β₂,γ₂为何值，始终有

||C(α₂,β₂,γ₂)||＝1(20)

4对于正交分量的估计

针对本发明提供方法中的步骤5)中正交分量估计的说明。

在第j个标定位置下第一组三轴加速度计输出在基准坐标系OXYZ的分量可表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_1& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_2& 1+{\hat{k}}_2& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3u}& -{\widehat{\mathrm{\η}}}_{3v}& 1+{\hat{k}}_3\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_1^j\\ y_2^j\\ y_3^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\\ {\hat{b}}_3\end{array}\right]\right)---\left(21\right)$

第二组三轴加速度计输出在基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂的分量可表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_4& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}& 1+{\hat{k}}_5& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}& -{\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_6\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_4^j\\ y_5^j\\ y_6^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_4\\ {\hat{b}}_5\\ {\hat{b}}_6\end{array}\right]\right)---\left(22\right)$

则根据(17)式，在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(23\right)$

由于α₂,β₂,γ₂都为一阶小量，忽略C(α₂,β₂,γ₂)中的二阶小量，有

$C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\α}}_2& {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\α}}_2& 1& -{\mathrm{\γ}}_2\\ -{\mathrm{\β}}_2& {\mathrm{\γ}}_2& 1\end{array}\right]---\left(24\right)$

则式(23)变为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j-f_{x1}^j\\ f_{y2}^j-f_{y1}^j\\ f_{z2}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(25\right)$

令在不同的标定位置下，F^j并不都是可逆的，因为在标定位置的选择中很容易使两个水平加速度计输出为零，但可以将多个标定位置下的方程组合在一起，满足

${\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ \mathrm{...}\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]}_{48\×1}={\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ \mathrm{...}\\ F^{16}\end{array}\right]}_{48\×3}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(26\right)$

使用最小二乘方法很容易得到θ₂＝[α₂β₂γ₂]^T的估计。

5对于剩余第i(i＝3,…,n)组加速度计误差系数的估计

针对本发明提供方法中的步骤7)剩余加速度计误差系数估计的说明。

定义第i(i＝3,…,n)组加速度计的基准坐标系O_iX_iY_iZ_i，其O_iX_i轴方向与所述第i组3i-2号加速度计的敏感轴重合，所述基准坐标系的O_iY_i轴在第3i-2号加速度计与3i-1号加速度计敏感轴所确定的平面内并与所述O_iX_i轴垂直，所述基准坐标系的O_iZ_i轴由右手坐标系规则确定。则坐标系OXYZ到坐标系O_iX_iY_iZ_i之间旋转矩阵可表示为

$C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& -{\mathrm{sin\β}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i-{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i+{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i+{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i-{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i\end{array}\right]---\left(27\right)$

所述第i组三个加速度计敏感轴方向与所述基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为：

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)}^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)---\left(28\right)$

其中α_i,β_i,γ_i为第i组加速度计的正交安装误差，η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v第i组加速度计的非正交安装误差。使用所述步骤3)中相同的算法，可得到零偏误差b_3i-2,b_3i-1,b_3i、刻度因数误差k_3i-2,k_3i-1,k_3i和所述3个非正交分量η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v的估计。

同时根据所述无陀螺惯性系统第i组三个加速度计安装误差的定义，A_i可表示为

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)u}& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)v}\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)u}& 1& {\mathrm{\η}}_{(3i-1)v}\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}& 1\end{array}\right]---\left(29\right)$

所述第i组加速度计输出在所述基准坐标系O_iX_iY_iZ_i的分量表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_{3i-2}& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i-1}& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i}\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_{3i-2}^j\\ y_{3i-1}^j\\ y_{3i}^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_{3i-2}\\ {\hat{b}}_{3i-1}\\ {\hat{b}}_{3i}\end{array}\right]\right)---\left(30\right)$

则在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(31\right)$

忽略C(α_i,β_i,γ_i)中的二阶小量，可得到

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j-f_{x1}^j\\ f_{yi}^j-f_{y1}^j\\ f_{zi}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(32\right)$

令将多个标定位置下的方程组合后，得到

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ \mathrm{...}\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ \mathrm{...}\\ F^{16}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(33\right)$

使用最小二乘方法求解，得到α_i,β_i,γ_i的估计，所得为安装误差中正交分量的估计。则安装误差估计为：

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-2)u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-2)v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-1)u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{(3i-1)v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}\end{array}---\left(34\right)$

例如对于第2组加速度计，其安装误差估计值可表示为

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{4u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{4v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}\end{array}---\left(35\right)$

加速度计相关参数参考目前商业货架产品，所有加速度计参数都相同。加速度计零偏b_i＝1mg₀(0.001m/s²)，比例因子误差k_i＝0.0005(500ppm)，方向安装误差η_iu＝0.03°、η_iv＝0.03°。MEMS加速度计输出随机噪声假设为零均值高斯白噪声，噪声均方差为

以下结合具体实例说明本发明提供方法的技术效果：

以如图3所示的12加速度计无陀螺惯性系统为例，说明本发明的标定算法。根据定义，12加速度计无陀螺系统包含12个零偏系数、12个标度因子误差和21个安装误差。根据标定方案中的测量数据，求解45个误差系数。

步骤一：将12个加速度计分为4组，其中第3i-2号至3i(i＝1,2,3,4)号为一组，根据第一组加速度计(第1、2、3号加速度计)敏感轴方向定义基准坐标系OXYZ；

步骤二：采用如图1所示的16位置的标定方案；

步骤三：估计第一组3个加速度计的零偏(b₁,b₂,b₃)、标度因子误差(k₁,k₂,k₃)、安装误差(η₂,η_3u,η_3v)共9个误差系数，估计值分别为

${\hat{b}}_1=0.9806,{\hat{k}}_1=517.8626$

η_2u＝0.0299

η_3u＝0.0299,η_3v＝0.0312

步骤四：估计第二组3个加速度计误差系数，第二组三个加速度计共12个误差系数，首先估计其零偏(b₄,b₅,b₆)、标度因子误差(k₄,k₅,k₆)及非正交安装误差(η＇₅,η＇_6u,η＇_6v)，估计值分别为

${\hat{b}}_4=1.0038,{\hat{k}}_4=497.6492$

η＇₅＝0.0611

η＇_6u＝0.0626,η＇_6v＝0.0614

步骤五：估计第二组3个加速度计误差系数中的正交安装误差α₂,β₂,γ₂，需要利用已得到的第一组加速度计误差系数估计值和第二组加速度计零偏、标度因子误差以及非正交安装误差的估计值，

${\widehat{\mathrm{\α}}}_2=-0.0309,{\widehat{\mathrm{\β}}}_2=0.0297,{\widehat{\mathrm{\γ}}}_2=-0.0304$

步骤六：第二组加速度计安装误差的估计值为

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{4u}=0.0309$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{4v}=0.0297$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{5u}=0.0302$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{5v}=0.0304$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}=0.0329$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}=0.0311$

步骤7：估计第三组加速度计零偏、标度因子误差及非正交安装误差，估计值为

${\hat{b}}_7=0.9968,{\hat{k}}_7=484.1529$

η＇₈＝0.0601

η′_9u＝0.0610,η′_9v＝0.0595

正交安装误差估计值为

${\widehat{\mathrm{\α}}}_3=-0.0308,{\widehat{\mathrm{\β}}}_3=0.0306,{\widehat{\mathrm{\γ}}}_3=-0.0306$

则第三组加速度计安装误差估计值为

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{7u}=0.0308$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{7v}=0.0306$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{8u}=0.0293$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{8v}=0.0306$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{9u}=0.0304$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{9v}=0.0289$

进一步估计第四组加速度计零偏、标度因子误差及非正交安装误差，估计值为

${\hat{b}}_{10}=0.9659,{\hat{k}}_{10}=507.9311$

η′₁₁＝0.0591

η′_12u＝0.0606,η′_12v＝0.0614

正交安装误差估计值为

${\widehat{\mathrm{\α}}}_4=-0.0286,{\widehat{\mathrm{\β}}}_4=0.0312,{\widehat{\mathrm{\γ}}}_4=-0.0315$

则第四组加速度计安装误差估计值为

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{10u}=0.0286$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{10v}=0.0312$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{11u}=0.0305$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{11v}=0.0315$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{12u}=0.0296$

${\widehat{\mathrm{\η}}}_{12v}=0.0299$

这样就得到了所有45个误差系数的标定结果。

约束方程的求解实际上是一个多目标优化问题，无陀螺惯性系统标定过程涉及到多个优化问题求解，所以必须考虑计算效率的问题。对于本发明中的12加速度计无陀螺惯性系统例子，本算法只需要计算4个含16个约束方程的迭代问题，以及3个含3个待估参数的线性最小二乘估计问题。

上述算例结果表明，本发明所提出的一种无需外部设备的无陀螺惯性系统误差标定方法具有以下优点：(1)具体实施不需要精密外部设备，成本低；(2)标定过程对环境没有苛刻要求，操作简单易行。因此该方法可以有效解决无陀螺惯性系统标定问题。

本领域技术人员将清楚本发明的范围不限制于以上讨论的示例，有可能对其进行若干改变和修改，而不脱离所附权利要求书限定的本发明的范围。尽管己经在附图和说明书中详细图示和描述了本发明，但这样的说明和描述仅是说明或示意性的，而非限制性的。本发明并不限于所公开的实施例。

通过对附图，说明书和权利要求书的研究，在实施本发明时本领域技术人员可以理解和实现所公开的实施例的变形。在权利要求书中，术语“包括”不排除其他步骤或元素，而不定冠词“一个”或“一种”不排除多个。在彼此不同的从属权利要求中引用的某些措施的事实不意味着这些措施的组合不能被有利地使用。权利要求书中的任何参考标记不构成对本发明的范围的限制。

Claims (3)

1.一种无陀螺惯性系统误差标定方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)假设无陀螺惯性系统包含N＝3n个加速度计，将3n个加速度计分为n组，n为正整数，每组3个加速度计，且3个加速度计敏感轴方向理论上相互垂直，形成笛卡尔右手坐标系，根据无陀螺惯性系统特征定义基准坐标系及安装误差，根据第一组3个加速度计敏感轴方向定义基准坐标系，OX方向与第一组1号加速度计的敏感轴重合，OY轴在1号加速度计与2号加速度计敏感轴所确定的平面内并与OX轴垂直，OZ轴由右手坐标系确定，所述加速度计本身的误差系数考虑零偏b_i和标度因子误差系数k_i，所述无陀螺惯性系统包含N个零偏系数、N个标度因子和2N-3个敏感轴方向安装误差；

2)根据无陀螺惯性系统待估误差系数个数，设置无陀螺惯性系统基准坐标系相对地面的姿态位置组合，共设置16个标定位置，每一个标定位置下对应所述无陀螺惯性系统所有N个加速度计都得到一个测量输出，共得到16×N个加速度计输出；

3)获得所有标定位置下加速度计的输出后，首先估计第一组3个所述加速度计的零偏(b₁,b₂,b₃)、标度因子误差(k₁,k₂,k₃)、安装误差(η₂,η_3u,η_3v)共9个误差系数，采用迭代算法得到第一组加速度计所有所述误差系数的估计；

4)第二组加速度计误差模型中3个零偏误差(b₄,b₅,b₆)、3个标度因子误差(k₄,k₅,k₆)和6个安装误差(η_4u,η_4v,η_5u,η_5v,η_6u,η_6v)，将所述6个安装误差分解为3个正交分量(α₂,β₂,γ₂)和3个非正交分量(η′₅,η′_6u,η′_6v)，使用所述步骤3)中相同的算法，可得到零偏误差、刻度因数误差和所述3个非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v的估计；

5)估计第二组加速度计安装误差正交分量(α₂,β₂,γ₂)部分：

第j个标定位置下所述第一组加速度计输出在所述基准坐标系OXYZ的分量表示为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_1& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_2& 1+{\hat{k}}_2& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3u}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3v}& 1+{\hat{k}}_3\end{array}\right]}^{-1}(\left[\begin{array}{c}{y}_1^j\\ y_2^j\\ y_3^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\\ {\hat{b}}_3\end{array}\right])---\left(21\right)$

所述第二组加速度计输出在所述基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂的分量表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_4& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}& 1+{\hat{k}}_5& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_6\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_4^j\\ y_5^j\\ y_6^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_4\\ {\hat{b}}_5\\ {\hat{b}}_6\end{array}\right]\right)---\left(22\right)$

则在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j\\ f_{y2}^j\\ f_{z2}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(23\right)$

忽略C(α₂,β₂,γ₂)中的二阶小量，得到：

$C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)=\left[\begin{array}{ccc}1& -{\mathrm{\α}}_2& {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\α}}_2& 1& -{\mathrm{\γ}}_2\\ -{\mathrm{\β}}_2& {\mathrm{\γ}}_2& 1\end{array}\right]---\left(24\right)$

则式(23)变为：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{x2}^j-f_{x1}^j\\ f_{y2}^j-f_{y1}^j\\ f_{z2}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(25\right)$

令将多个标定位置下的方

程组合后，得到：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ ...\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ ...\\ F^{16}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\β}}_2\\ {\mathrm{\γ}}_2\end{array}\right]---\left(26\right)$

使用最小二乘方法求解，得到α₂,β₂,γ₂的估计，所得为安装误差中正交分量的估计；

6)根据得到的所述安装误差正交分量α₂,β₂,γ₂和非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v的估计后，计算第二组加速度计安装误差；

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{4u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{4v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_5^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{5v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{6u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_2\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_2+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{6v}^{\′}\end{array}---\left(35\right)$

7)对于第i组加速度计(i＝3,4,…n)，定义第i(i＝3,4,…n)组加速度计的基准坐标系O_iX_iY_iZ_i，其O_iX_i轴方向与所述第i组3i-2号加速度计的敏感轴重合，所述基准坐标系的O_iY_i轴在第3i-2号加速度计与3i-1号加速度计敏感轴所确定的平面内并与所述O_iX_i轴垂直，所述基准坐标系的O_iZ_i轴由右手坐标系规则确定，则坐标系OXYZ到坐标系O_iX_iY_iZ_i之间旋转矩阵表示为：

$C\left({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\β}}_i& -{\mathrm{sin\β}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i-{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i+{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i\\ {\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i+{\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{sin\α}}_i{\mathrm{sin\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i-{\mathrm{cos\α}}_i{\mathrm{sin\γ}}_i& {\mathrm{cos\β}}_i{\mathrm{cos\γ}}_i\end{array}\right]---\left(27\right)$

所述第i组三个加速度计敏感轴方向与所述基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为：

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)}^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)---\left(28\right)$

其中α_i,β_i,γ_i为第i组加速度计的正交安装误差，η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v第i组加速度计的非正交安装误差，使用所述步骤3)中相同的算法，可得到零偏误差b_3i-2,b_3i-1,b_3i、刻度因数误差k_3i-2,k_3i-1,k_3i和所述3个非正交分量η′_(3i-1),η′_(3i)u,η′_(3i)v的估计；

同时根据所述无陀螺惯性系统第i组三个加速度计安装误差的定义，A_i可表示为：

$A_i=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)u}& {\mathrm{\η}}_{(3i-2)v}\\ {\mathrm{\η}}_{(3i-1)u}& 1& {\mathrm{\η}}_{(3i-1)v}\\ {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)u}& {\mathrm{\η}}_{\left(3i\right)v}& 1\end{array}\right]---\left(29\right)$

所述第i组加速度计输出在所述基准坐标系O_iX_iY_iZ_i的分量表示为

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1+{\hat{k}}_{3i-2}& 0& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i-1}& 0\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}& {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}& 1+{\hat{k}}_{3i}\end{array}\right]}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{y}_{3i-2}^j\\ y_{3i-1}^j\\ y_{3i}^j\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_{3i-2}\\ {\hat{b}}_{3i-1}\\ {\hat{b}}_{3i}\end{array}\right]\right)---\left(30\right)$

则在第j个标定位置下有

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j\\ f_{yi}^j\\ f_{zi}^j\end{array}\right]=C({\mathrm{\α}}_i,{\mathrm{\β}}_i,{\mathrm{\γ}}_i)\left[\begin{array}{c}{f}_{x1}^j\\ f_{y1}^j\\ f_{z1}^j\end{array}\right]---\left(31\right)$

忽略C(α_i,β_i,γ_i)中的二阶小量，可得到：

$\left[\begin{array}{c}{f}_{xi}^j-f_{x1}^j\\ f_{yi}^j-f_{y1}^j\\ f_{zi}^j-f_{z1}^j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-f_{y1}^j& f_{z1}^j& 0\\ f_{x1}^j& 0& -f_{z1}^j\\ 0& -f_{y1}^j& f_{x1}^j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(32\right)$

令将多个标定位置下的方程组合后，得到：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_f^1\\ {\mathrm{\Δ}}_f^2\\ ...\\ {\mathrm{\Δ}}_f^{16}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}^1\\ F^2\\ ...\\ F^{16}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\γ}}_i\end{array}\right]---\left(33\right)$

使用最小二乘方法求解，得到α_i,β_i,γ_i的估计，所得为安装误差中正交分量的估计，则安装误差估计为

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i-2\right)u}=-{\widehat{\mathrm{\α}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i-2\right)v}={\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i-1\right)u}={\widehat{\mathrm{\α}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{3i-1}^{\′}\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i-1\right)v}=-{\widehat{\mathrm{\γ}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}={\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)u}^{\′}-{\widehat{\mathrm{\β}}}_i\\ {\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}={\widehat{\mathrm{\γ}}}_i+{\widehat{\mathrm{\η}}}_{\left(3i\right)v}^{\′}\end{array}---\left(34\right).$

2.根据权利要求1所述的无陀螺惯性系统误差标定方法，其特征在于，所述步骤1)中还包括以下步骤：

1.1将所有加速度计依序编号；

1.2根据所述第一组3个加速度计敏感轴方向定义基准坐标系，所述基准坐标系的OX方向与所述第一组1号加速度计的敏感轴重合，所述基准坐标系的OY轴在1号加速度计与2号加速度计敏感轴所确定的平面内并与所述OX轴垂直，所述基准坐标系的OZ轴由右手坐标系规则确定；

1.3在所述基准坐标系中，所述1号加速度计没有方向安装误差，所述2号加速度计存在XY平面内的方向安装误差η₂，所述3号加速度计存在两个方向安装误差η_3u和η_3v；

1.4所述无陀螺惯性系统中的余下的加速度计均存在两个方向的安装误差η_iu和η_iv，i＝4,5,…N，所述无陀螺惯性系统中包含N个零偏系数、N个标度因数和2N-1个敏感轴安装误差。

3.根据权利要求2所述的无陀螺惯性系统误差标定方法，其特征在于，所述步骤4)中还包括以下步骤：

4.1定义一个新的基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂，并将所述第二组加速度计的误差模型设为：

$\left[\begin{array}{c}{y}_4\\ y_5\\ y_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+k_4& 0& 0\\ 0& 1+k_5& 0\\ 0& 0& 1+k_6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& {\mathrm{\η}}_{4v}\\ {\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& {\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_4\\ b_5\\ b_6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_4\\ {\mathrm{\ϵ}}_5\\ {\mathrm{\ϵ}}_6\end{array}\right]---\left(16\right)$

4.2在所述基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂下，第4号加速度计没有安装误差，第5号加速度计存在一个安装误差η′₅，第6号加速度计存在两个安装误差η′_6u,η′_6v，所述基准坐标系OXYZ和所述基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间不重合，其关系用三个欧拉角确定，其旋转顺序为“321”，即坐标系OXYZ到坐标系O₂X₂Y₂Z₂之间旋转矩阵可表示为：

$C\left({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\β}}_2& -{\mathrm{sin\β}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2-{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2+{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2\\ {\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2+{\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{sin\α}}_2{\mathrm{sin\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2-{\mathrm{cos\α}}_2{\mathrm{sin\γ}}_2& {\mathrm{cos\β}}_2{\mathrm{cos\γ}}_2\end{array}\right]---\left(17\right)$

则所述第二组加速度计敏感轴方向与所述基准坐标系OXYZ之间的关系可表示为：

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\mathrm{\η}}_5^{\′}& 1& 0\\ {\mathrm{\η}}_{6u}^{\′}& {\mathrm{\η}}_{6v}^{\′}& 1\end{array}\right]C({\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2)---\left(18\right)$

同时根据所述无陀螺惯性系统第4、5、6号加速度计安装误差的定义，A₂可表示为

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\η}}_{4u}& {\mathrm{\η}}_{4v}\\ {\mathrm{\η}}_{5u}& 1& {\mathrm{\η}}_{5v}\\ {\mathrm{\η}}_{6u}& {\mathrm{\η}}_{6v}& 1\end{array}\right]---\left(19\right)$

4.3所述无陀螺惯性系统中第二组加速度计的6个安装误差可以分为旋转正交分量α₂,β₂,γ₂和非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v，使用模标定方法估计所述非正交分量η′₅,η′_6u,η′_6v，所述正交分量无论为何值，始终满足下式：

||C(α₂，β₂，γ₂)||＝1(20)

所述基准坐标系O₂X₂Y₂Z₂的定义方法：O₂X₂轴指向第4号加速度计的敏感轴，O₂Y₂轴位于第4号加速度计和第5号加速度计敏感轴所在平面内并垂直于所述O₂X₂轴，O₂Z₂轴由右手坐标系确定。