CN105700347A - 一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含磁滞补偿的液压马达位置伺服系统预设性能跟踪控制方法，属于电液伺服控制领域，控制方法原理示意图见摘要附图。该方法同时考虑了系统参数不确定性、未建模外干扰以及磁滞非线性，设计了优良的跟踪控制器；针对磁滞非线性，将磁滞非线性建模为线性项和有界干扰项之和，极大的方便了后续运动控制器的设计；针对系统参数不确定性和未建模干扰项，采用自适应鲁棒控制方法，同时保证了较好的参数估计和鲁棒有界稳定；针对预设性能需求，采用预设性能函数，实现了对跟踪误差收敛速度和最大超调量的合理规划，通过对转换误差设计了优良的跟踪控制器，进而保证了跟踪误差满足预设的性能需求。对比仿真结果验证了控制器的有效性。

Description

一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及一种控制方法，具体涉及一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法。

背景技术

电液伺服系统具有功率密度大、响应快、输出力/力矩大等突出优点，在工业和国防领域得到了广泛的应用，例如机械手、飞行器操控、负载模拟器等。而这之中，液压伺服马达由于可以直接输出力矩，在有旋转运动需求的场合应用广泛。然而电液伺服系统广泛存在诸多的模型不确定性，包括参数不确定性(如伺服阀的流量增益、液压油的体积模量、马达的泄露系数等)和不确定非线性(如未建模外干扰、非线性摩擦、磁滞等)，这些都给控制器的设计带来很大难度。

针对参数不确定性，自适应控制是常用的手段，其对参数不确定性和不确定非线性中的可参数化部分，可以有效的估计并实现一定的模型补偿，然而对于不可参数化的不确定非线性项，自适应控制无能为力，且在存在较强外干扰的场合，自适应控制甚至面临发散的危险。针对不确定非线性，滑膜、鲁棒控制、神经网络控制都得到尝试，且取得了较好的控制效果，然而滑膜控制器中不连续符号函数所带来的颤振现象，易导致系统控制性能的衰减，造成系统失稳，现有的改善滑膜抖动措施的控制方法较少且复杂；鲁棒控制实现好的控制性能常常伴随高增益反馈的风险；神经网络控制的计算量较大，实时性受到影响，与电液伺服系统的高响应速度特性存在冲突，导致其在实际工程的应用出现瓶颈。

对于一些特殊的场合，如转台、飞行器舵机等，电液伺服系统的跟踪性能不仅需要满足一定的稳态指标，而且跟踪误差的收敛速度、超调量等瞬态指标，有时也必须满足预先设定的界限。此外，电液伺服阀中的力矩马达普遍存在磁滞非线性特性，虽然其对阀控马达伺服系统的稳定性不构成严重威胁，但是却极易导致系统在低频时的相位滞后，从而影响控制器的最终性能。

总的来说，现有电机伺服系统控制技术的不足之处主要有以下几点：

一、对于系统的预设性能关注较少。当工程实际中对于系统存在预设性能需求时，如何在控制器设计中融合进这些预设需求，如何保证跟踪误差的收敛速度、超调量等瞬态指标，同时又兼顾稳态跟踪精度等稳态指标，是时下面临的棘手问题；

二、未考虑磁滞非线性。磁滞非线性作为力矩马达的固有特性，在控制器设计中如果不加以考虑，却极易导致阀控马达伺服系统在低频段的相位滞后，影响所设计运动控制器的最终性能；

三、高增益反馈。这在传统鲁棒控制器中较为常见，以不确定项的最大上界作为负反馈来减小跟踪误差，虽然能取得较好的跟踪性能，却不得不面临高增益反馈的风险，容易激发系统高频未建模动态，造成系统失稳。

发明内容

本发明为解决现有电液伺服系统未充分考虑预设性能需求、系统磁滞非线性和存在高增益反馈的问题，以双叶片液压马达位置伺服系统为例，提出一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：本发明的具体步骤如下：

1、一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法，其特征在于：所述一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤一、建立含磁滞的双叶片马达位置伺服系统数学模型，根据牛顿第二定律、电液伺服阀的特性以及液压马达工作特性，双叶片马达位置伺服系统数学模型可由下式给出：

$J\stackrel{\·\·}{y}=P_L{D}_m-B\stackrel{\·}{y}+f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\β}}_e}{\stackrel{\·}{P}}_L=-D_m\stackrel{\·}{y}-C_t{P}_L+Q_L+\tilde{Q}---\left(2\right)$

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-sign\left(u\right)P_L}---\left(3\right)$

u＝cv(t)+d(v)(4)

公式(1)为惯性负载的动力学方程，其中J为惯性负载，和分别为系统位置、速度和加速度，P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，P₁和P₂为马达两腔压力，D_m为马达体积排量，B为总的粘性阻尼系数(包含负载部分和马达部分)，为所有未建模干扰项。公式(2)为马达的压力流量方程，其中V_t为马达两腔的总包容体积，β_e为液压油的有效体积模量，C_t为马达的总泄露系数，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2为负载流量，Q₁和Q₂分别为进油和回油流量，表示压力流量方程中所有未建模干扰项。公式(3)中给出了负载流量Q_L和控制输入u的关系，且忽略了伺服阀的动态过程，k_t＝k_ik_q为相对于控制输入电压u的总流量增益，k_i为电压-阀芯位移增益系数，C_d为伺服阀节流孔系数，w为伺服阀节流孔面积梯度，ρ为液压油密度，P_s为系统供油压力，系统回油压力P_r＝0，sign(u)为符号函数。公式(4)为简化后的磁滞模型，其中u为磁滞模型输出，即有效控制输入，c为磁滞特性参数，v为控制器的输出控制量，d(v)为由非线性磁滞产生的有界干扰。定义状态变量 则动力学方程转化为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=x_3-{\mathrm{\θ}}_1{x}_2+d_1---\left(5\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3={\mathrm{\θ}}_{2}gv-{\mathrm{\θ}}_3{f}_1-{\mathrm{\θ}}_4{f}_2+d_2$

公式(5)中θ₁＝B/J，θ₂＝cβ_ek_t/J，θ₃＝β_e/J，θ₄＝β_eC_t，g,f₁,f₂,d₂定义如下：

$g=\frac{4D_m}{V_t}\sqrt{P_s-sign\left(u\right)\frac{J}{D_m}{x}_3},f_1=\frac{4D_m^2}{V_t}{x}_2---\left(6\right)$

$f_2=\frac{4x_3}{V_t},d_2=\frac{{\mathrm{\θ}}_2{\mathrm{gd}}_h\left(v\right)}{c}+\frac{4{\mathrm{\β}}_e{D}_m\tilde{Q}}{V_{t}J}$

步骤二、设计含磁滞补偿的预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤二(一)、定义预设性能函数：

定义跟踪误差e＝x₁-x_1d，假设其需满足以下性能指标：

$-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)<e\left(t\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right),\&ForAll;t>0---\left(7\right)$

公式(7)中δ和为正的可设计参数，ρ(t)为正的递增光滑函数，显然公式(7)式对于跟踪误差具有约束作用，通过参数δ和以及函数ρ(t)的合理选取，可以保证跟踪误差e的收敛速度、超调量和稳态精度满足的一定的要求；

定义如下函数S(z₁)：

$S\left(z_1\right)=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{z_1}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{-z_1}}{e^{z_1}+e^{-z_1}}=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}=\mathrm{\&lambda;}---\left(8\right)$

可知公式(7)等价于e(t)＝ρ(t)S(z₁)，z₁为转换误差量，用于控制器设计，可知z₁有界时公式(7)始终满足；

通过对公式(8)求反函数可得：

$z_1=\frac{1}{2}ln\frac{\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;}}---\left(9\right)$

步骤二(二)、定义辅助误差量：

定义辅助误差量z₃＝x₃-α₂，其中k₁为可设计的反馈增益，α₂为虚拟控制量，则由公式(5)和公式(9)可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ =(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;\\ +\mathrm{\&beta;}\&lsqb;z_3+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_2+d_1\&rsqb;\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中设计虚拟控制量α₂为：

α₂＝(α_2a+α_2s1+α_2s2)/β

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_{2a}={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\mathrm{\&beta;x}}_2+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;-\\ (\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})\end{array}---\left(11\right)$

α_2s1＝-k₂z₂

${\mathrm{\&alpha;}}_{s2}=z_2{h}_1^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right),h_1\&GreaterEqual;\left|{\mathrm{\&theta;}}_1\right|\left|\mathrm{\&beta;}\right|\left|x_2\right|+\left|\mathrm{\&beta;}\right|\&CenterDot;{\left|d_1\right|}_{max}$

公式(11)中k₂>0为待设计的反馈增益，α_2a为模型补偿项，α_2s为鲁棒项，ε₁>0为任意小的可设计参数。进一步可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{2}gv-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4{f}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2u}+d_2---\left(12\right)$

公式(12)中和分别表示虚拟控制量α₂的导数中的可计算部分和不可计算部分。

步骤二(三)、确定实际控制器输入v：

则根据(12)式，设计最终控制器如下：

$v=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{2}g}(v_a+v_{s1}+v_{s2})$

$v_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3{f}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4{f}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}$

v_s1＝-k₃z₃(13)

$v_{s2}=z_3{h}_2^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right)$

公式(13)中v_a表示模型补偿控制器，v_s表示鲁棒控制器，表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，均表示参数回归器，k₃为正的反馈增益，ε₂为可设计参数，θ_M＝θ_max-θ_min表示参数的最大摄动量，θ_max和θ_min分别表示各参数的估计上界和估计下界；

步骤二(四)、验证系统稳定性：

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2---\left(11\right)$

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(10)、(11)、(12)、(13)最终可证明控制器稳定，即当时间趋近于无穷时，转换误差z₁可保证有界稳定，从而使得跟踪误差e始终满足预设性能需求；

步骤三、合理的设计参数k₁,k₂,k₃,δ和以及函数ρ(t)，保证在系统实现精确跟踪的前提下，跟踪性能满足预先设定的特性。上述参数的选取见具体实施方式相关部分。

本发明的有益效果是：本发明选用双叶片液压马达位置伺服系统作为研究对象，同时考虑了系统参数不确定性、未建模外干扰以及磁滞非线性，设计了优良的跟踪控制器；针对磁滞非线性，将磁滞非线性建模为线性项和有界干扰项之和，极大的方便了后续运动控制器的设计；针对系统参数不确定性和未建模干扰项，采用自适应鲁棒控制方法，同时保证了较好的参数估计和鲁棒有界稳定；针对预设性能需求，采用预设性能函数，实现了对跟踪误差收敛速度和最大超调量的合理规划，通过对转换误差设计优良的跟踪控制器，进而保证了跟踪误差满足预设的性能需求。对比仿真结果验证了控制器的有效性。

附图说明

图1是本发明的双叶片液压马达位置伺服系统示意图；图2是本发明控制方法原理示意图；图3系统跟踪的位置指令曲线；图4是系统跟踪误差对比曲线；图5式系统速度输出对比曲线；图6是系统各参数估计值曲线；图7系统控制输入曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式所述一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤一(一)、磁滞特性模型。由于传统间隙类磁滞模型的不连续特性，对于非线性系统的控制器设计十分不利，本发明使用以下磁滞模型：

$\frac{du}{dt}=\mathrm{\&alpha;}\left|\frac{dv}{dt}\right|(cv-u)+B_1\frac{dv}{dt}---\left(1\right)$

公式(1)中u为磁滞模型输出，即有效控制输入，c,α和B₁为磁滞特性参数，且满足c＞B₁，v为控制器的输出控制量，将在后续的控制器设计中给出具体表达式。公式(1)可转化为：

u＝cv(t)+d(v)

公式(2)中u₀和v₀表示初值。分析公式(2)可知，转换后的磁滞模型由斜率为c的线性项和干扰项d(v)组成，且d(v)项的界可知。

步骤一(二)、建立含磁滞的双叶片液压马达位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，惯性负载动力学方程为：

$J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=P_L{D}_m-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}+f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(3\right)$

公式(3)中J为惯性负载，和分别为系统位置、速度和加速度，P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，P₁和P₂为马达两腔压力，D_m为马达体积排量，B为总的粘性阻尼系数(包含负载部分和马达部分)，为所有未建模干扰项。马达的压力流量方程为：

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_L=-D_m\stackrel{\&CenterDot;}{y}-C_t{P}_L+Q_L+\tilde{Q}---\left(4\right)$

公式(4)中V_t为马达两腔的总包容体积，β_e为液压油的有效体积模量；C_t为马达的总泄露系数，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2为负载流量，Q₁和Q₂分别为进油和回油流量，表示压力流量方程中所有未建模干扰项。负载流量Q_L和伺服阀阀芯位移x_v的关系为：

$Q_L=k_q{x}_v\sqrt{P_s-sign\left(x_v\right)P_L}---\left(5\right)$

公式(5)中流量增益k_q和sign(x_v)如下式：

$k_q=C_{d}w\sqrt{1/\mathrm{\&rho;}},sign\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1,& if& x_v>0\\ -1,& if& x_v<0\end{array}\right.---\left(6\right)$

公式(6)中C_d为伺服阀节流孔系数；w为伺服阀节流孔面积梯度；ρ为液压油密度；P_s为系统供油压力，系统回油压力P_r＝0。由于伺服阀的频宽较高，达几百Hz，远远大于工作时系统的频宽，因此建模时我们忽略伺服阀的动态过程，将阀的控制输入和阀芯位移视为比例环节，即x_v＝k_iu，其中u为控制输入电压，k_i为电压-阀位移增益系数，因此公式(6)转化为：

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-sign\left(u\right)P_L}---\left(7\right)$

公式(7)中k_t＝k_ik_q为相对于控制输入电压u的总流量增益。定义状态变量结合公式(3)、公式(4)和公式(7)，同时代入磁滞模型(2)，系统总的数学模型可以表示为以下状态空间形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_2+d_1---\left(8\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3={\mathrm{\&theta;}}_{2}gv-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4{f}_2+d_2$

公式(8)中θ₁＝B/J，θ₂＝cβ_ek_t/J，θ₃＝β_e/J，θ₄＝β_eC_t，g,f₁,f₂,d₂定义如下：

$g=\frac{4D_m}{V_t}\sqrt{P_s-sign\left(u\right)\frac{J}{D_m}{x}_3},f_1=\frac{4D_m^2}{V_t}{x}_2---\left(9\right)$

$f_2=\frac{4x_3}{V_t},d_2=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{gd}}_h\left(v\right)}{c}+\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e{D}_m\tilde{Q}}{V_{t}J}$

在控制器设计之前，先作如下假设：系统参数θ₁,θ₂,θ₃,θ₄均为未知常值；非线性干扰项d₁和有界，分析公式(9)中d₂表达式，在实际系统中，总可以保证g项有界，又由(3)式知d_h(v)项有界，从而可知非线性干扰项d₂有界，即||d₁||≤δ₁,||d₂||≤δ₂，δ₁和δ₂均为已知常数。下一步控制器设计的目标是保证系统输出x₁尽可能地跟踪指令x_1d。

步骤二、设计含磁滞补偿的预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤二(一)、定义预设性能函数：

定义跟踪误差e＝x₁-x_1d，假设其需满足以下性能指标：

$-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)<e\left(t\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right),\&ForAll;t>0---\left(10\right)$

公式(7)中δ和为正的可设计参数，ρ(t)为正的递增光滑函数，具形式如下：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-kt+ρ_∞(11)

lim_t→∞ρ(t)＝ρ_∞＞0

公式(11)中ρ₀,ρ_∞和k均为正的可设计参数。显然，公式(10)对跟踪误差的性能给出了具体的规划，-δρ₀和分别约束了误差的最大下冲量和最大超调量；参数k约束了跟踪误差的收敛速度；ρ_∞约束了跟踪误差的稳态。为了便于随后的控制器设计，定义如下递增函数S(z₁)：

$\left\{\begin{array}{c}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}<S\left(z_1\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}},\&ForAll;t>0\\ {\lim }_{z_1\&RightArrow;+\mathrm{\&infin;}}S\left(z_1\right)=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\\ {\lim }_{z_1\&RightArrow;-\mathrm{\&infin;}}S\left(z_1\right)=-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\end{array}\right.---\left(12\right)$

公式(12)中z₁为转换误差量，用于随后的控制器设计，分析公式(12)可知，公式(10)等价于e(t)＝ρ(t)S(z₁)，且z₁有界时公式(10)始终满足，S(z₁)的具体选取形式如下：

$S\left(z_1\right)=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{z_1}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{-z_1}}{e^{z_1}+e^{-z_1}}=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}=\mathrm{\&lambda;}---\left(13\right)$

通过对公式(13)求反函数，可得：

$z_1=\frac{1}{2}ln\frac{\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;}}---\left(14\right)$

步骤二(二)、定义辅助误差变量：

对于公式(14)，求导可知：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=\frac{1}{2}\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}{(\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}})(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;})}\&CenterDot;\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}\\ =\mathrm{\&beta;}(\stackrel{\&CenterDot;}{e}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})\\ =\mathrm{\&beta;}(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})\end{array}---\left(15\right)$

公式(15)中 $\mathrm{\&beta;}=(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}})/\&lsqb;2\mathrm{\&rho;}(\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}})(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;,$ 进一步可得：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_1=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;+\mathrm{\&beta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2---\left(16\right)$

定义辅助误差量z₃＝x₃-α₂，其中α₂为虚拟控制量，则：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ =(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;\\ +\mathrm{\&beta;}\&lsqb;z_3+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_2+d_1\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

设计虚拟控制量α₂为：

α₂＝(α_2a+α_2s1+α_2s2)/β

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_{2a}={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\mathrm{\&beta;x}}_2+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;-\\ (\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})\end{array}---\left(18\right)$

α_2s1＝-k₂z₂

公式(18)中k₂>0为待设计的反馈增益；α_2a为模型补偿项，用于补偿相应的系统动态分量和预设性能函数部分；α_2s为鲁棒项。将公式(18)代入公式(17)可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=-k_2{z}_2+{\mathrm{\&beta;z}}_3+({\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}+{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1{\mathrm{\&beta;x}}_2+{\mathrm{\&beta;d}}_1)---\left(19\right)$

设计鲁棒项α_2s2满足如下镇定条件：

$\left.\begin{array}{c}{z}_2({\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}+{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1{\mathrm{\&beta;x}}_2+{\mathrm{\&beta;d}}_1)\&le;{\mathrm{\&epsiv;}}_1\\ z_2{\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}\&le;0\end{array}\right\}---\left(20\right)$

公式(20)中ε₁>0为任意小的可设计参数，满足公式(20)的α_2s2设计如下：

${\mathrm{\&alpha;}}_{s2}=z_2{h}_1^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right),h_1\&GreaterEqual;\left|{\mathrm{\&theta;}}_1\right|\left|\mathrm{\&beta;}\right|\left|x_2\right|+\left|\mathrm{\&beta;}\right|\&CenterDot;{\mathrm{\&delta;}}_1---\left(21\right)$

由公式(8)和辅助误差量z₃的定义，进一步有：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{2}gv-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4{f}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2u}+d_2---\left(22\right)$

公式(22)中和分别表示虚拟控制量α₂的导数中的可计算部分和不可计算部分，分别定义如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2u}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}=\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{\&part;t}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{\&part;x_1}{x}_2+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{\&part;x_2}{\widehat{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}}_2+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{\&part;{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_1---\left(23\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2u}=\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{\&part;x_2}{\widetilde{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}}_2,{\widehat{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}}_2=x_3-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{x}_2,{\widetilde{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}}_2=-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_1{x}_2+d_1$

步骤二(三)、确定实际控制器输入v：

根据公式(22)，可以设计最终运动控制器如下：

$v=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{2}g}(v_a+v_{s1}+v_{s2})$

$v_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3{f}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4{f}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}$

v_s1＝-k₃z₃(24)

$v_{s2}=z_3{h}_2^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right)$

公式(13)中v_a表示模型补偿控制器，v_s表示鲁棒控制器，表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，均表示参数回归器，k₃为正的反馈增益，ε₂为可设计参数，θ_M＝θ_max-θ_min表示参数的最大摄动量，θ_max和θ_min分别表示各参数的估计上界和估计下界；

将公式(24)代入公式(22)可得：

步骤二(三)、验证系统稳定性：

选取系统初始条件满足 $-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&mu;}\left(0\right)<e\left(0\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&mu;}\left(0\right),$ 即 $-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}<\mathrm{\&lambda;}\left(0\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}.$

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}(z_1^2+z_2^2+z_3^2)---\left(26\right)$

对公式(26)求导，并代入公式(19)、(25)可得：

公式(22)中Z＝[z₁,z₂,z₃]^T，ε＝ε₁+ε₂。矩阵Λ定义如下：

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& 1/2& 0\\ 1/2& k_2& \mathrm{\&beta;}/2\\ 0& \mathrm{\&beta;}/2& k_3\end{array}\right]---\left(28\right)$

显然，通过合理的设计参数k₁,k₂使矩阵Λ为正定矩阵，可使下式满足：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-2{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(\mathrm{\&Lambda;}\right)V+\mathrm{\&epsiv;}$

$V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)\exp (-2{\mathrm{\&lambda;}}_{min}t)+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{min}}\&lsqb;1-\exp (-2{\mathrm{\&lambda;}}_{min}t)\&rsqb;---\left(29\right)$

公式(29)中λ_min(Λ)表示矩阵Λ的最小特征值，分析公式(29)可知，控制器(24)最终可保证转换误差z₁稳态有界，进一步通过合理的设计参数δ和以及函数ρ(t)，可以保证在系统实现精确跟踪的前提下，跟踪性能满足预先设定的特性。

实施例：

双叶片液压马达位置伺服系统参数为惯性负载：J＝0.2kg·m²；B＝90N·m·s/rad；k_t＝1.1969×10^-8m²/s/V/Pa^-1/2，V_t＝1.16×10^-4m³；β_e＝700MPa；C_t＝1×10¹²m³/s/Pa；D_m＝5.8×10^-5m³/rad；P_s＝10MPa；P_r＝0。

为了充分验证本文所设计控制器的有效性，选取传统自适应鲁棒控制(ARC)进行作为对比，传统ARC控制器的设计步骤类似于本文设计的控制器，但是缺少了预设性能函数的规划作用，相应的参数选取为k₁＝150，k₂＝1000，k₃＝30。

本文设计控制器(记为PPARC)，即公式(24)：参数选取为：k₁＝150，k₂＝2000，k₃＝30，ρ₀＝0.3，ρ_∞＝0.001，k＝0.5，δ＝5，自适应律参数选取为Γ₁＝0.01，Γ₂＝8e-6，Γ₃＝1000，Γ₄＝1e-10。系统参数估计范围选取为：θ_min＝[100,10,2e9,1e-4]^T，θ_max＝[1000,100,5e9,4e-3]^T。

系统干扰的选取为d＝0.1sin(2πt)(图3)，系统初始位置选取为x₁(0)＝0.1rad，该初始位置显然满足选取跟踪指令为x_1d＝0.8sin(t)。

控制方法作用效果：

图4为跟踪误差对比曲线，图中可以看出，由于初始位置不匹配，在跟踪初始段，两控制器作用下，跟踪误差均以较快速度收敛，然而传统ARC控制器出现了较大的超调量，本文设计PPARC控制在预设性能函数的作用下，无明显超调出现，且收敛速度快于ARC。

图4为两种控制器作用下的系统输出速度对比曲线，显然不匹配的初始位置使得两者在初始段均出现较大速度波动，PPARC很快收敛并趋于光滑，然而传统ARC控制器在大约0.25s处依然出现速度波动。

图5为本文设计PPARC控制器下各参数估计曲线，虽然初始段估计曲线出现较大抖动，然而各参数很快收敛，并趋于稳定。

图6为控制输入曲线，控制输入光滑且始终有界。

Claims (1)

1.一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法，其特征在于：所述一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤一、建立含磁滞的双叶片马达位置伺服系统数学模型，根据牛顿第二定律、电液伺服阀的特性以及液压马达工作特性，双叶片马达位置伺服系统数学模型可由下式给出：

$J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=P_L{D}_m-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}+f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

$\frac{V_t}{4{\mathrm{\&beta;}}_e}{\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_L=-D_m\stackrel{\&CenterDot;}{y}-C_t{P}_L+Q_L+\tilde{Q}---\left(2\right)$

$Q_L=k_{t}u\sqrt{P_s-sign\left(u\right)P_L}---\left(3\right)$

u＝cv(t)+d(v)(4)

公式(1)为惯性负载的动力学方程，其中J为惯性负载，y,和分别为系统位置、速度和加速度，P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，P₁和P₂为马达两腔压力，D_m为马达体积排量，B为总的粘性阻尼系数(包含负载部分和马达部分)，为所有未建模干扰项；

公式(2)为马达的压力流量方程，其中V_t为马达两腔的总包容体积，β_e为液压油的有效体积模量，C_t为马达的总泄露系数，Q_L＝(Q₁+Q₂)/2为负载流量，Q₁和Q₂分别为进油和回油流量，表示压力流量方程中所有未建模干扰项；

公式(3)中给出了负载流量Q_L和控制输入u的关系，且忽略了伺服阀的动态过程，k_t＝k_ik_q为相对于控制输入电压u的总流量增益，k_i为电压-阀芯位移增益系数，C_d为伺服阀节流孔系数，w为伺服阀节流孔面积梯度，ρ为液压油密度，P_s为系统供油压力，系统回油压力P_r＝0，sign(u)为符号函数；

公式(4)为简化后的磁滞模型，其中u为磁滞模型输出，即有效控制输入，c为磁滞特性参数，v为控制器的输出控制量，d(v)为由非线性磁滞产生的有界干扰；

定义状态变量则动力学方程转化为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_2+d_1---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3={\mathrm{\&theta;}}_{2}gv-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4{f}_2+d_2$

公式(5)中θ₁＝B/J，θ₂＝cβ_ek_t/J，θ₃＝β_e/J，θ₄＝β_eC_t，g,f₁,f₂,d₂定义如下：

$\begin{array}{c}g=\frac{4D_m}{V_t}\sqrt{P_s-sign\left(u\right)\frac{J}{D_m}{x}_3},f_1=\frac{4D_m^2}{V_t}{x}_2\\ f_2=\frac{4x_3}{V_t},d_2=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_2{\mathrm{gd}}_h\left(v\right)}{c}+\frac{4{\mathrm{\&beta;}}_e{D}_m\tilde{Q}}{V_{t}J}\end{array}---\left(6\right)$

步骤二、设计含磁滞补偿的预设性能跟踪控制方法的具体步骤如下：

步骤二(一)、定义预设性能函数：

定义跟踪误差e＝x₁-x_1d，假设其需满足以下性能指标：

$-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)<e\left(t\right)<\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&rho;}\left(t\right),\&ForAll;t>0---\left(7\right)$

公式(7)中δ和为正的可设计参数，ρ(t)为正的递增光滑函数，显然公式(7)式对于跟踪误差具有约束作用，通过参数δ和以及函数ρ(t)的合理选取，可以保证跟踪误差e的收敛速度、超调量和稳态精度满足的一定的要求；

定义如下函数S(z₁)：

$S\left(z_1\right)=\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{z_1}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}{e}^{-z_1}}{e^{z_1}+e^{-z_1}}=\frac{e\left(t\right)}{\mathrm{\&rho;}\left(t\right)}=\mathrm{\&lambda;}---\left(8\right)$

可知公式(7)等价于e(t)＝ρ(t)S(z₁)，z₁为转换误差量，用于控制器设计，可知z₁有界时公式(7)始终满足；

通过对公式(8)求反函数可得：

$z_1=\frac{1}{2}ln\frac{\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;}}---\left(9\right)$

步骤二(二)、定义辅助误差量：

定义辅助误差量z₃＝x₃-α₂，其中k₁为可设计的反馈增益，α₂为虚拟控制量，则由公式(5)和公式(9)可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ =(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;\\ +\mathrm{\&beta;}\&lsqb;z_3+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_1{x}_2+d_1\&rsqb;\end{array}---\left(10\right)$

公式(10)中 $\mathrm{\&beta;}=(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}})/\&lsqb;2\mathrm{\&rho;}(\mathrm{\&lambda;}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}})(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;,$ 设计虚拟控制量α₂为：

α₂＝(α_2a+α_2s1+α_2s2)/β

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_{2a}={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\mathrm{\&beta;x}}_2+\mathrm{\&beta;}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+(\stackrel{\&CenterDot;}{e}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}+e\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{\&rho;}-e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}^2)/{\mathrm{\&rho;}}^2\&rsqb;-\\ (\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+k_1\mathrm{\&beta;})(x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}/\mathrm{\&rho;})\end{array}---\left(11\right)$

α_2s1＝-k₂z₂

${\mathrm{\&alpha;}}_{s2}=z_2{h}_1^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_1\right),h_1\&GreaterEqual;\left|{\mathrm{\&theta;}}_1\right|\left|\mathrm{\&beta;}\right|\left|x_2\right|+\left|\mathrm{\&beta;}\right|\&CenterDot;{\left|d_1\right|}_{max}$

公式(11)中k₂>0为待设计的反馈增益，α_2a为模型补偿项，α_2s为鲁棒项，ε₁>0为任意小的可设计参数，进一步可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{2}gv-{\mathrm{\&theta;}}_3{f}_1-{\mathrm{\&theta;}}_4{f}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2u}+d_2---\left(12\right)$

公式(12)中和分别表示虚拟控制量α₂的导数中的可计算部分和不可计算部分

步骤二(三)、确定实际控制器输入v：

则根据(12)式，设计最终控制器如下：

$v=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{2}g}(v_a+v_{s1}+v_{s2})$

$v_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3{f}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_4{f}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{2c}$

v_s1＝-k₃z₃(13)

$v_{s2}=z_3{h}_2^2/\left(4{\mathrm{\&epsiv;}}_2\right)$

公式(13)中v_a表示模型补偿控制器，v_s表示鲁棒控制器，表示系统各未知参数估计值，表示参数自适应律，Γ表示自适应回归参数矩阵，均表示参数回归器，k₃为正的反馈增益，ε₂为可设计参数，θ_M＝θ_max-θ_min表示参数的最大摄动量，θ_max和θ_min分别表示各参数的估计上界和估计下界；

步骤二(四)、验证系统稳定性：

定义李亚普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{z_2}^2---\left(11\right)$

对李亚普诺夫函数求导，结合公式(10)、(11)、(12)、(13)最终可证明控制器稳定，即当时间趋近于无穷时，转换误差z₁可保证有界稳定，从而使得跟踪误差e始终满足预设性能需求；

步骤三、合理的设计参数k₁,k₂,k₃,δ和以及函数ρ(t)，保证在系统实现精确跟踪的前提下，跟踪性能满足预先设定的特性。