CN105588984A - 一种混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法；将不同电压等级直流输电线路两极的首末端分别相连，同时测量混压双极直流输电线路首末两端的零序电压和零序电流，利用全球卫星定位系统技术，实现对混压双极直流输电线路双端电压和电流的同步采样；再计算得到混压双极直流输电线路零序自阻抗、零序互阻抗、零序自容抗和零序互容抗。本发明方法建立了混压双极直流输电线路的分布参数模型，考虑了分布电容对测量结果的影响，从而大大提高了混压双极直流输电线路零序参数测量的精度。

Description

一种混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法

技术领域

本发明属于电力系统测量技术领域，特别是涉及混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法。

背景技术

输电线路是电力系统主要的组成部分之一，也是电力输送的载体，在电力系统中所起的作用极大。输电线路参数是继电保护整定和故障定位的基础数据。对于直流线路来说，直流电阻应用于正常运行的过程之中；工频零序参数则应用在正常运行和故障两个方面。高压直流线路由于输电距离长，容易受到周围交流线路的影响，由于耦合作用，会在直流线路上产生工频电流；其次，末端阻抗不对称同样也会在直流线路上产生工频零序电流。因此，直流线路的零序参数用于防止在正常运行过程中可能出现的谐振；当发生故障时，零序参数还可以用于继电保护装置整定和故障定位。因此，获取准确的输电线路参数对电力系统安全、稳定、可靠运行具有十分重要的意义。

输电线路零序参数受到多种因素的影响，包括输电线路的几何形状、电流、环境温度、风速、避雷线架设方式和线路路径等，同时由于零序回路经过大地，无法确定回路电流在大地中的深度，并且大地土壤电阻率无法确定，因此我国相关规程规定，线路零序参数必须实测。

混压双极直流输电方式能够提高输电能力，降低杆塔建设成本，节约输电走廊等多个优点。混压直流输电由于电压等级特别高、输电距离特别长，耦合参数多，准确测量线路参数困难极大。现有的基于集中参数模型的输电线路参数测量方法，其测量误差随输电线路长度的增加而显著增加，因此必须考虑输电线路分布电容的影响。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术采用集中参数模型，忽略分布式电容的影响，无法应用于长距离输电线路参数测量的弊端，提出了一种基于分布参数模型的混压双极直流输电线路零序参数精确测量的方法。本方法既适用于短线路的零序参数测量，也适用于长线路的零序参数测量；可一次性测量出零序电阻、零序电感、零序电容参数。

本发明采用如下技术方案1.一种混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法，其特征在于基于定义混压双极直流输电线路由线路a、线路b组成，线路a和线路b具有不同长度；测量包括以下步骤：

步骤1，混压双极直流输电线路是在停电情况下进行工频参数测量；将两条双极直流输电线路首端末端双极分别短接；分别在两条线路首端施加单相电压源，不加单相电源的首端接地或悬空，末端接地或悬空，测量得到双极直流输电线路零序参数；具体测量方式包括：

测量方式一：线路a首端悬空，末端接地；线路b首端加压，末端接地；

测量方式二：线路a首端加压，末端接地；线路b首端悬空，末端接地；

测量方式三：线路a首端接地，末端悬空；线路b首端加压，末端悬空；

测量方式四：线路a首端加压，末端悬空；线路b首端接地，末端悬空；

步骤2，采用步骤1的测量方法对混压双极直流输电线路进行接线；利用全球卫星定位系统的同步授时功能，同时测量线路a和线路b首端和末端的零序电压数据和零序电流数据；

步骤3，对步骤2每个独立测量方式下得到的混压双极直流线路首末端的电压测量数据和电流测量数据，采用傅立叶算法得到该独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量；再根据四种独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量，就可以将混压直流输电线路的零序参数求解出来；所需求解的参数包括零序电阻R_a,R_b,R_m零序电导L_a,L_b,L_m和零序电容C_a,C_b,C_m，首端电压电流相量U_a1,I_a1，U_b1,I_b1，末端电压电流相量U_a2,I_a2，U_b3,I_b3，中间点电压电流相量U_b2,I_b2；

零序参数求解过程如下：

步骤3.1，由线路零序参数得到混压双极直流输电线路首末端电压和电流关系如下：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{a1}\\ U_{b1}\\ I_{a1}\\ I_{b1}\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{U}_{a2}\\ U_{b3}\\ I_{a2}\\ I_{b3}\end{array}\right],$

式中，

$P=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{aa}& A_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{aa}& A_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ A_{ba}& A_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{ba}& A_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{aa}& C_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{aa}& C_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{ba}& C_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{ba}& C_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}& P_{14}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}& P_{24}\\ P_{31}& P_{32}& P_{33}& P_{34}\\ P_{41}& P_{42}& P_{43}& P_{44}\end{array}\right]$

矩阵P中的所有元素P₁₁～P₄₄为通过测量获取的数值，用于计算线路的零序参数；式中，A_aa、A_ab、A_ba、A_bb、B_aa、B_ab、B_ba、B_bb、C_aa、C_ab、C_ba、C_bb、D_aa、D_ab、D_ba、D_bb这16个参数是与线路参数有关的中间变量，r₂是线路b的传播系数，z₂是线路b的波阻抗；l₁表示BC段直流线路长度；符号sh(·)表示双曲正弦函数，ch(·)表示双曲余弦函数，arch(·)表示反双曲余弦函数；

步骤3.2，利用步骤1中四种测量方式所对应的首末端零序基波电压、电流相量(上标为测量方式)，得到矩阵P中的所有元素P₁₁～P₄₄；

$\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{U_{a1}}^3& {U_{a1}}^4\\ {U_{b1}}^3& {U_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}$

$\left[\begin{array}{cc}{P}_{31}& P_{32}\\ P_{41}& P_{42}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I_{a1}}^3& {I_{a1}}^4\\ {I_{b1}}^3& {I_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}$

步骤3.3，利用P矩阵计算r₂和z₂；

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2=\frac{1}{l_1}arch\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\ z_2=\frac{P_{43}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{21}}{P_{32}{\mathrm{shr}}_2{l}_1}\end{array}\right.$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}a=P_{12}{P}_{34}-P_{14}{P}_{32}\\ b=-(P_{12}{P}_{21}+P_{34}{P}_{43})\\ c=P_{14}{P}_{32}+P_{21}{P}_{43}\end{array}\right.$

步骤3.4，利用r₂和z₂计算矩阵A和B；

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{aa}& A_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{43}\\ P_{21}& A_{bb}\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{aa}& B_{ab}\\ B_{ba}& B_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{13}& B_{ab}\\ P_{23}& B_{bb}\end{array}\right]$

矩阵中的未知元素A_bb、B_ab、B_bb计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{bb}=P_{22}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{24}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ B_{ab}=P_{14}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{12}{z}_2{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ B_{bb}=P_{24}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{22}{z}_2{\mathrm{chr}}_2{l}_1\end{array}\right.$

步骤3.5，计算特征根p₁和p₂；

$\left\{\begin{array}{c}ch{p}_{1}l+ch{p}_{2}l=A_{aa}+A_{bb}\\ {\mathrm{chp}}_{1}l-{\mathrm{chp}}_{2}l=-\sqrt{{(A_{aa}-A_{bb})}^2+4A_{ab}{A}_{ba}}\end{array}\right.$

式中，l₂为AB同塔段直流线路的长度；

再根据p₁和p₂求解中间变量A₁、A₂、B₁、B₂；

$A_1=\frac{{\mathrm{chp}}_{1}x}{{p_1}^2-{p_2}^2},A_2=\frac{{\mathrm{chp}}_{2}x}{{p_1}^2-{p_2}^2}$

$B_1=\frac{{\mathrm{shp}}_{1}x}{p_1({p_1}^2-{p_2}^2)},B_2=\frac{{\mathrm{shp}}_{2}x}{p_2({p_1}^2-{p_2}^2)}$

步骤3.6，将矩阵A、p₁、p₂、A₁、A₂代入下式，获得矩阵M；

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{aa}\\ A_{ab}\\ A_{ba}\\ A_{bb}\end{array}\right]=A_1\left[\begin{array}{c}{p_1}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_1}^2-M_1\end{array}\right]-A_2\left[\begin{array}{c}{p_2}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_2}^2-M_1\end{array}\right]$

步骤3.7，将矩阵B、p₁、p₂、B₁、B₂代入下式，获得零序阻抗矩阵Z；

$B=\left[\begin{array}{c}{B}_{aa}\\ B_{ab}\\ B_{ba}\\ B_{bb}\end{array}\right]=B_1\left[\begin{array}{c}\left({p_1}^2-M_4\right)Z_a+M_2{Z}_m\\ \left({p_1}^2-M_4\right)Z_m+M_2{Z}_b\\ \left({p_1}^2-M_1\right)Z_m+M_3{Z}_a\\ \left({p_1}^2-M_1\right)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]-B_2\left[\begin{array}{c}\left({p_2}^2-M_4\right)Z_a+M_2{Z}_m\\ \left({p_2}^2-M_4\right)Z_m+M_2{Z}_b\\ \left({p_2}^2-M_1\right)Z_m+M_3{Z}_a\\ \left({p_2}^2-M_1\right)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]$

步骤3.8，将矩阵Z和矩阵M代入下式获得零序导纳矩阵Y；

Y＝MZ^-1

步骤3.9，由所求得的阻抗矩阵Z和导纳矩阵Y计算混压双极直流输电线路的零序电阻R_a,R_b,R_m、零序电感L_a,L_b,L_m、零序电容参数C_a,C_b,C_m；

这里，R_a是线路a的零序自电阻，R_b是线路b的零序自电阻，R_m是线路a与线路b之间的零序互电阻；L_a是线路a的零序自电感，L_b是线路b的零序自电感，L_m是线路a与线路b之间的零序互电感；C_a是线路a的零序自电容，C_b是线路b的零序自电容，C_m是线路a与线路b之间的零序互电容。

本发明所提供技术方案给出了混压双极直流输电线路的分布参数模型，通过同时测量双极双极直流输电线路首末两端的电压和电流，再通过首末两端电压、电流的关系式求解出中间变量，最后通过这些中间变量与线路零序参数的关系求解出线路的所有工频零序参数。这种建模和求解方法计及了输电线路上的分布电容对参数测量的影响，从而大大提高了输电线路零序参数测量结果的精度。

本发明具有以下特点：

(1)本发明特别适合长距离混压双极直流输电线路零序参数的测量。

(2)本发明方法测量利用GPS技术解决了异地信号测量的同时性问题。

(3)本发明方法可一次性测量零序电阻、零序电感、零序电容参数，并且具有很高的测量精度。

附图说明

图1为待测线路模型图。

图2为AB同塔段分布式参数模型。

图3为BC段分布式参数模型。

图4为BC段双极直流线路分布式模型。

图5为导线排列方式图。

图6为线路b不同长度时误差对比图。

图7为线路a长度为500km和线路b长度为700km时的测量误差图。

图8为零序电阻随线路长度变化时的误差图。

图9为零序电感随线路长度变化时的误差图。

图10为零序电容随线路长度变化时的误差图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例详细说明本发明技术方案。

实施例包括以下步骤：

步骤1，选择停电方式测量混压双极直流线路参数，所述混压双极直流线路由线路a和线路b组成，每条线路均是双极输电方式，线路模型如附图1所示。

选择停电测量，采用以下四种独立测量方式测量混压直流输电线路的零序参数：

(1)线路a首端两极短接悬空，末端两极短接接地；线路b首端两极短接并施加单相电源，末端两极短接接地。

(2)线路a首端两极短接并施加单相电源，末端两极短接接地；线路b首端两极短接悬空，末端两极短接接地。

(3)线路a首端两极短接接地，末端两极短接悬空；线路b首端两极短接并施加单相电源，末端两极短接悬空。

(4)线路a首端两极短接并施加单相电源，末端两极短接悬空；线路b首端两极短接接地，末端两极短接悬空。

步骤2，采用步骤1所选择的各独立方式分别测量，利用全球卫星定位系统的同步授时功能，同步测量线路a、线路b首末端的零序电压数据和零序电流数据；

利用GPS的授时功能获得误差小于1微秒的时间基准，在GPS时间同步下，实施例同时采集混压输电线路首末两端的零序电压和输电线路首末两端的零序电流，并以文件的方式将测量数据保存。

步骤3，对步骤2所得的电压测量数据和电流测量数据，采用傅立叶算法得到该独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量；再根据四种独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量，就可以将混压双极直流输电线路的工频零序参数求解出来。

实施例在将步骤1中的各种独立测量方式下的测量完成后，将各种独立测量方式下所得测量数据保存成的文件汇总到一台计算机中，在各独立测量方式下，首末端均取线路加压后若干时间内(例如0.2秒至0.4秒间)的测量数据，采用傅立叶算法分别得到各个独立测量方式下输电线路首末两端的零序基波电压相量和零序基波电流相量，然后进行零序参数求解。傅立叶算法为现有技术，本发明不予赘述。

实施例混压双回双极输电线路的零序参数求解过程如下：

设线路a和线路b的首端电压相量和电流相量分别为U_a1,I_a1，U_b1,I_b1，末端电压相量和电流相量分别为U_a2,I_a2，U_b3,I_b3，中间点电压相量和电流相量分别为U_b2,I_b2

传统的零序说法是针对三相线路，由于直流线路只有两极，考虑使用克拉克变换进行转换，获得直流线路零序参数的表达式。附图4给出了双极直流输电的分布式参数模型。

Z_αβ0＝Q^-1Z'Q(A1)

$Z_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}0}=\left[\begin{array}{cc}{Z}_s+Z_{m1}& 0\\ 0& Z_s-Z_{m1}\end{array}\right]---\left(A2\right)$

式(A1)中，Q是两相克拉克变换矩阵，Z'是线路的阻抗矩阵，Z_S＝R_S+jωL_S，单极线路的自阻抗。Z_m1是双极线路之间的互阻抗。

$Q=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],$

$Z^{\′}=\left[\begin{array}{cc}{Z}_s& Z_{m1}\\ Z_{m1}& Z_s\end{array}\right].$

将式(A1)中的Z'用Y'代替。

$Y^{\′}=\left[\begin{array}{cc}{Y}_s& -Y_{m1}\\ -Y_{m1}& Y_s\end{array}\right]$

Y'是线路的导纳矩阵，是线路的自导纳，Y_m1是双极之间的互导纳，其中ω＝2πf是系统的角频率，f是工频50Hz。

双极直流输电的零序阻抗Z_b和零序导纳Y_b表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_b=Z_s+Z_{m1}\\ Y_b=Y_s-Y_{m1}\end{array}\right.---\left(A3\right)$

对于线路中的BC段，如附图3所示。

$\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_{x+}}{dx}=z_s{\stackrel{\·}{I}}_{x+}+z_{m1}{\stackrel{\·}{I}}_{x-}---\left(A4\right)$

$\frac{d{\stackrel{\·}{I}}_{x+}}{dx}=(y_s-y_{m1}){\stackrel{\·}{U}}_{x+}+y_{m1}({\stackrel{\·}{U}}_{x+}-{\stackrel{\·}{U}}_{x-})---\left(A5\right)$

是正极上的电压和电流，是负极上的电压和电流。由于使用分布式参数模型，因此以上四个参数沿着传输线变化。

由于C端线路b双极直接相连并接地，因此有

${\stackrel{\·}{U}}_{x+}={\stackrel{\·}{U}}_{x-},{\stackrel{\·}{I}}_{x+}={\stackrel{\·}{I}}_{x-}$

将式(A4)和式(A5)变换为如下形式

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_{x+}}{dx}=(z_s+z_{m1}){\stackrel{\·}{I}}_{x+}=z_b{\stackrel{\·}{I}}_{x+}\\ \frac{d{\stackrel{\·}{I}}_{x+}}{dx}=(y_s-y_{m1}){\stackrel{\·}{U}}_{x+}=y_b{\stackrel{\·}{U}}_{x+}\end{array}\right.---\left(A6\right)$

该形式和单回输电线路分布式参数模型具有相同的表达式，双极直流输电的零序参数测量模型可以用单回交流输电线路的分布式模型来等效，如图3所示。因此其正弦稳态解的矩阵形式如式(A7)所示。

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{b2}\\ {\stackrel{\·}{I}}_{b2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{chr}}_2{l}_1& z_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ \frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& {\mathrm{chr}}_2{l}_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{b3}\\ {\stackrel{\·}{I}}_{b3}\end{array}\right]---\left(A7\right)$

式中，r₂和z₂分别代表线路b的传播系数和波阻抗。l₁是BC段直流电路的长度。

对于AB同塔部分，参数模型如附图2所示，由于双极的直流输电模型可以用单回交流输电线路模型进行等效，因此AB同塔部分的四级线路可以等效为双回交流输电线路。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{dU}}_{ax}=(z_a{I}_{ax}+z_m{I}_{bx})dx\\ {\mathrm{dU}}_{bx}=(z_m{I}_{ax}+z_b{I}_{bx})dx\end{array}\right.---\left(A8\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{dI}}_{ax}=(y_a{U}_{ax}-y_m{U}_{bx})dx\\ {\mathrm{dI}}_{bx}=(-y_m{U}_{ax}+y_b{U}_{bx})dx\end{array}\right.---\left(A9\right)$

式中：U_ax和I_ax分别是线路a上的电压和电流；U_bx和I_bx分别是线路b在AB段上的电压和电流。Z_a和Z_b分别是线路a和线路b零序自阻抗，Z_m为线路a与线路b之间的零序互阻抗，y_a和y_b分别是线路a和线路b零序自导纳，y_m为线路a与线路b之间的零序互导纳。

设

$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_a& Z_m\\ Z_m& Z_b\end{array}\right],$

$Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_a& -Y_m\\ -Y_m& Y_b\end{array}\right].$

对式(A8)继续做一阶微分，得到二阶微分形式：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_{ax}}{{\mathrm{dx}}^2}\\ \frac{d^2{\stackrel{\·}{U}}_{bx}}{{\mathrm{dx}}^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_a{Y}_a-Z_m{Y}_m& -Z_a{Y}_m+Z_m{Y}_b\\ -Z_b{Y}_m+Z_m{Y}_a& Z_b{Y}_b+Z_m{Y}_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{ax}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{bx}\end{array}\right]---\left(A10\right)$

设：

$M=\left[\begin{array}{cc}{Z}_a{Y}_a-Z_m{Y}_m& -Z_a{Y}_m+Z_m{Y}_b\\ -Z_b{Y}_m+Z_m{Y}_a& Z_b{Y}_b+Z_m{Y}_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]---\left(A11\right)$

利用拉普拉斯变换的二阶形式用于求解(A10)。

L[f”(x)]＝s²F(s)-sf(0)-f'(0)(A12)

F(s)＝L[f(x)]

得到：

$\left[\begin{array}{cc}{s}^2& 0\\ 0& s^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{ax}\left(s\right)\\ {\stackrel{\·}{U}}_{bx}\left(s\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{b2}\end{array}\right]-{\left[\begin{array}{c}\frac{d{\stackrel{\·}{U}}_{ax}}{dx}\\ \frac{d{\stackrel{\·}{U}}_{bx}}{dx}\end{array}\right]}_{|x=0}=M\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{ax}\left(s\right)\\ {\stackrel{\·}{U}}_{bx}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(A13\right)$

整理得到：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{ax}\left(s\right)\\ {\stackrel{\·}{U}}_{bx}\left(s\right)\end{array}\right]=\frac{s}{s^{2}E-M}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{b2}\end{array}\right]+\frac{Z}{s^{2}E-M}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{I}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{I}}_{b2}\end{array}\right]---\left(A14\right)$

E是二阶单位矩阵。

设

$T=s^{2}E-M=\left[\begin{array}{cc}{s}^2-M_1& -M_2\\ -M_2& s^2-M_4\end{array}\right]$

det(T)＝(s²-M₁)(s²-M₄)-M₂M₃(A15)

＝(s²-p₁ ²)(s²-p₂ ²)

对式(A14)进行拉普拉斯反变换，得到

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{ax}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{bx}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{aa}& A_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{b2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_{aa}& B_{ab}\\ B_{ba}& B_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{I}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{I}}_{b2}\end{array}\right]---\left(A16\right)$

式(A16)中所有中间变量表示如下：

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{aa}\\ A_{ab}\\ A_{ba}\\ A_{bb}\end{array}\right]=A_1\left[\begin{array}{c}{p_1}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_1}^2-M_1\end{array}\right]-A_2\left[\begin{array}{c}{p_2}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_2}^2-M_1\end{array}\right]---\left(A17\right)$

$B=\left[\begin{array}{c}{B}_{aa}\\ B_{ab}\\ B_{ba}\\ B_{bb}\end{array}\right]=B_1\left[\begin{array}{c}\left({p_1}^2-M_4\right)Z_a+M_2{Z}_m\\ \left({p_1}^2-M_4\right)Z_m+M_2{Z}_b\\ \left({p_1}^2-M_1\right)Z_m+M_3{Z}_a\\ \left({p_1}^2-M_1\right)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]-B_2\left[\begin{array}{c}\left({p_2}^2-M_4\right)Z_a+M_2{Z}_m\\ \left({p_2}^2-M_4\right)Z_m+M_2{Z}_b\\ \left({p_2}^2-M_1\right)Z_m+M_3{Z}_a\\ \left({p_2}^2-M_1\right)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]---\left(A18\right)$

其中：

$A_1=\frac{{\mathrm{chp}}_{1}x}{{p_1}^2-{p_2}^2},A_2=\frac{{\mathrm{chp}}_{2}x}{{p_1}^2-{p_2}^2}$

$B_1=\frac{{\mathrm{shp}}_{1}x}{p_1({p_1}^2-{p_2}^2)},B_2=\frac{{\mathrm{shp}}_{2}x}{p_2({p_1}^2-{p_2}^2)}$

同理，对式(A9)采用相同的计算方式，得到：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{ax}\\ I_{bx}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{C}_{aa}& C_{ab}\\ C_{ba}& C_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{b2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{D}_{aa}& D_{ab}\\ D_{ba}& D_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{I}}_{a2}\\ {\stackrel{\·}{I}}_{b2}\end{array}\right]---\left(A19\right)$

代入AB部分首末端的电压电流数据，得到如下矩阵：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{a1}\\ U_{b1}\\ I_{a1}\\ I_{b1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{aa}& A_{ab}& B_{aa}& B_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}& B_{ba}& B_{bb}\\ C_{aa}& C_{ab}& D_{aa}& D_{ab}\\ C_{ba}& C_{bb}& D_{ba}& D_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_{a2}\\ U_{b2}\\ I_{a2}\\ I_{b2}\end{array}\right]---\left(A20\right)$

通过计算可知：

$\left[\begin{array}{cc}{D}_{aa}& D_{ab}\\ D_{ba}& D_{bb}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{A}_{aa}& A_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}\end{array}\right]}^T$

将式(A7)代入式(A20)消去中间变量U_b2和I_b2，得到以下等式，写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{a1}\\ U_{b1}\\ I_{a1}\\ I_{b1}\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{U}_{a2}\\ U_{b3}\\ I_{a2}\\ I_{b3}\end{array}\right]---\left(A21\right)$

其中，

$P=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{aa}& A_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{aa}& A_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ A_{ba}& A_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{ba}& A_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{aa}& C_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{aa}& C_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{ba}& C_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{ba}& C_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\end{array}\right]$

四种独立测量方式下获得的电压电流相量，用于求解矩阵P中的所有元素。具体过程如下，矩阵P中一共有16个元素，分别为P₁₁～P₄₄，写成如下形式。

$P=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}& P_{14}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}& P_{24}\\ P_{31}& P_{32}& P_{33}& P_{34}\\ P_{41}& P_{42}& P_{43}& P_{44}\end{array}\right]$

计算过程如下

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{U_{a1}}^3& {U_{a1}}^4\\ {U_{b1}}^3& {U_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}\\ \left[\begin{array}{cc}{P}_{31}& P_{32}\\ P_{41}& P_{42}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I_{a1}}^3& {I_{a1}}^4\\ {I_{b1}}^3& {I_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}\end{array}---\left(A22\right)$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{P}_{13}& P_{14}\\ P_{23}& P_{24}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{U_{a1}}^1& {U_{a1}}^2\\ {U_{b1}}^1& {U_{b1}}^2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{I_{a2}}^1& {I_{a2}}^2\\ {I_{b3}}^1& {I_{b3}}^2\end{array}\right]}^{-1}\\ \left[\begin{array}{cc}{P}_{33}& P_{34}\\ P_{43}& P_{44}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I_{a1}}^1& {I_{a1}}^2\\ {I_{b1}}^1& {I_{b1}}^2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{I_{a2}}^1& {I_{a2}}^2\\ {I_{b3}}^1& {I_{b3}}^2\end{array}\right]}^{-1}\end{array}---\left(A23\right)$

各矩阵元素的上标表示测量方式。

通过矩阵P计算r₂和z₂。

$A_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1=P_{12}---\left(A24\right)$

A_abz₂shr₂l₁+B_abchr₂l₁＝P₁₄(A25)

$C_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1=P_{32}---\left(A26\right)$

C_abz₂shr₂l₁+D_abchr₂l₁＝P₃₄(A27)

可得

$A_{ab}=P_{12}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{14}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1=D_{ba}=P_{43}---\left(A28\right)$

D_ab＝P₃₄chr₂l₁-P₃₂z₂shr₂l₁＝A_ba＝P₂₁(A29)

从式(A28)得到：

$z_2=\frac{P_{43}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{21}}{P_{32}{\mathrm{shr}}_2{l}_1}$

代入式(A29)得到：

P₁₂P₃₄ch²r₂l₁-P₁₄P₃₂sh²r₂l₁-(P₁₂P₂₁+P₃₄P₄₃)chr₂l₁+P₂₁P₄₃＝0(A30)

由于

sh²r₂l₁＝ch²r₂l-1

化简式(A30)可得：

ach²r₂l₁+bchr₂l₁+c＝0(A31)

其中，

$\left\{\begin{array}{c}a=P_{12}{P}_{34}-P_{14}{P}_{32}\\ b=-(P_{12}{P}_{21}+P_{34}{P}_{43})\\ c=P_{14}{P}_{32}+P_{21}{P}_{43}\end{array}\right.$

式(A31)是一个简单的一元二次方程，其通过求根公式计算它的根(另一个根是错误的，所以被舍去)。

${\mathrm{chr}}_2{l}_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

获得线路b传播系数和波阻抗的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2=\frac{1}{l_1}arch\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\ z_2=\frac{P_{43}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{21}}{P_{32}{\mathrm{shr}}_2{l}_1}\end{array}\right.---\left(A32\right)$

将r₂和z₂代入下式求解矩阵A和B。

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{bb}=P_{22}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{24}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ B_{ab}=P_{14}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{12}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ B_{bb}=P_{24}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{22}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1\end{array}\right.---\left(A33\right)$

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{aa}& A_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{43}\\ P_{21}& A_{bb}\end{array}\right]---\left(A34\right)$

$B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{aa}& B_{ab}\\ B_{ba}& B_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{13}& B_{ab}\\ P_{23}& B_{bb}\end{array}\right]---\left(A35\right)$

通过式(A36)计算p₁和p₂，再计算中间参数A₁、A₂、B₁和B₂。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{chp}}_1{l}_2+{\mathrm{chp}}_2{l}_2=A_{aa}+A_{bb}\\ {\mathrm{chp}}_1{l}_2-{\mathrm{chp}}_2{l}_2=-\sqrt{{\left(A_{aa}-A_{bb}\right)}^2+4A_{ab}{A}_{ba}}\end{array}\right.---\left(A36\right)$

将矩阵A、p₁、p₂、A₁和A₂代入式(A17)，得到矩阵M。

将矩阵M、p₁、p₂、B、B₁和B₂代入式(A18)，得到零序阻抗矩阵Z。

将矩阵M和Z代入Y＝MZ^-1，得到零序导纳矩阵Y。

利用阻抗矩阵Z和导纳矩阵Y，即可求解出零序电阻R_a,R_b,R_m,零序电感L_a,L_b,L_m和零序电容C_a,C_b,C_m。

为说明本发明效果起见，以800kV/500kV混压直流输电线路为例。

用本发明测量方法测量该混压直流线路的零序参数，线路长度从500km到1500km变化时，对于线路零序电阻，零序电感，零序电容误差始终在0.9％以内，可以满足工程实际需要。传统方法测量零序参数误差非常大，最大的误差超过了900％。因此对于长距离输电线路，传统方法是无法满足测量精度要求的。

用本发明技术方案对混压直流线路长度从500km到1500km变化时进行仿真测量，测量结果如表1所示。

表1零序参数理论值

表2利用本发明给出的测量方法得到的零序参数测量结果

表3利用传统测量方法得到的零序参数测量结果

将本发明所提供的测量方法得到的零序参数与传统测量方法得到的零序参数进行对比，从表2、表3、图6～图10可以看出，传统方法的零序参数误差几乎都是大于10％的，而且在零序互电容的测量误差上更是超过了900％。从表3可以看出，传统方法不适合用于测量长距离输电线路的零序参数。从表2可以看出，本发明方法测量结果的所有误差均在0.9％以内，可以满足工程测量的要求。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (1)

1.一种混压双极直流输电线路零序参数精确测量方法，其特征在于基于定义混压双极直流输电线路由线路a、线路b组成，线路a和线路b具有不同长度；测量包括以下步骤：

步骤1，混压双极直流输电线路是在停电情况下进行工频参数测量；将两条双极直流输电线路首端末端双极分别短接；分别在两条线路首端施加单相电压源，不加单相电源的首端接地或悬空，末端接地或悬空，测量得到双极直流输电线路零序参数；具体测量方式包括：

测量方式一：线路a首端悬空，末端接地；线路b首端加压，末端接地；

测量方式二：线路a首端加压，末端接地；线路b首端悬空，末端接地；

测量方式三：线路a首端接地，末端悬空；线路b首端加压，末端悬空；

测量方式四：线路a首端加压，末端悬空；线路b首端接地，末端悬空；

步骤2，采用步骤1的测量方法对混压双极直流输电线路进行接线；利用全球卫星定位系统的同步授时功能，同时测量线路a和线路b首端和末端的零序电压数据和零序电流数据；

步骤3，对步骤2每个独立测量方式下得到的混压双极直流线路首末端的电压测量数据和电流测量数据，采用傅立叶算法得到该独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量；再根据四种独立测量方式下首端和末端的基波电压相量和基波电流相量，就可以将混压直流输电线路的零序参数求解出来；所需求解的参数包括零序电阻R_a,R_b,R_m零序电导L_a,L_b,L_m和零序电容C_a,C_b,C_m，首端电压电流相量U_a1,I_a1，U_b1,I_b1，末端电压电流相量U_a2,I_a2，U_b3,I_b3，中间点电压电流相量U_b2,I_b2；

零序参数求解过程如下：

步骤3.1，由线路零序参数得到混压双极直流输电线路首末端电压和电流关系如下：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{a1}\\ U_{b1}\\ I_{a1}\\ I_{b1}\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{U}_{a2}\\ U_{b3}\\ I_{a2}\\ I_{b3}\end{array}\right],$

式中，

$P=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{aa}& A_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{aa}& A_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ A_{ba}& A_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+B_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& B_{ba}& A_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+B_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{aa}& C_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{ab}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{aa}& C_{ab}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{ab}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\\ C_{ba}& C_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1+D_{bb}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1& D_{ba}& C_{bb}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1+D_{bb}{\mathrm{chr}}_2{l}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}& P_{14}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}& P_{24}\\ P_{31}& P_{32}& P_{33}& P_{34}\\ P_{41}& P_{42}& P_{43}& P_{44}\end{array}\right]$

矩阵P中的所有元素P₁₁～P₄₄为通过测量获取的数值，用于计算线路的零序参数；式中，A_aa、A_ab、A_ba、A_bb、B_aa、B_ab、B_ba、B_bb、C_aa、C_ab、C_ba、C_bb、D_aa、D_ab、D_ba、D_bb这16个参数是与线路参数有关的中间变量，r₂是线路b的传播系数，z₂是线路b的波阻抗；l₁表示BC段直流线路长度；符号sh(·)表示双曲正弦函数，ch(·)表示双曲余弦函数，arch(·)表示反双曲余弦函数；

步骤3.2，利用步骤1中四种测量方式所对应的首末端零序基波电压、电流相量(上标为测量方式)，得到矩阵P中的所有元素P₁₁～P₄₄；

$\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{U_{a1}}^3& {U_{a1}}^4\\ {U_{b1}}^3& {U_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}$

$\left[\begin{array}{cc}{P}_{31}& P_{32}\\ P_{41}& P_{42}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I_{a1}}^3& {I_{a1}}^4\\ {I_{b1}}^3& {I_{b1}}^4\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{U_{a2}}^3& {U_{a2}}^4\\ {U_{b3}}^3& {U_{b3}}^4\end{array}\right]}^{-1}$

步骤3.3，利用P矩阵计算r₂和z₂；

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2=\frac{1}{l_1}arch\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\ z_2=\frac{P_{43}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{21}}{P_{32}{\mathrm{shr}}_2{l}_1}\end{array}\right.$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}a=P_{12}{P}_{34}-P_{14}{P}_{32}\\ b=-(P_{12}{P}_{21}+P_{34}{P}_{43})\\ c=P_{14}{P}_{32}+P_{21}{P}_{43}\end{array}\right.$

步骤3.4，利用r₂和z₂计算矩阵A和B；

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{aa}& A_{ab}\\ A_{ba}& A_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{43}\\ P_{21}& A_{bb}\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{aa}& B_{ab}\\ B_{ba}& B_{bb}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{13}& B_{ab}\\ P_{23}& B_{bb}\end{array}\right]$

矩阵中的未知元素A_bb、B_ab、B_bb计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{bb}=P_{22}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{24}\frac{1}{z_2}{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ B_{ab}=P_{14}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{12}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1\\ B_{bb}=P_{24}{\mathrm{chr}}_2{l}_1-P_{22}{z}_2{\mathrm{shr}}_2{l}_1\end{array}\right.$

步骤3.5，计算特征根p₁和p₂；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{chp}}_{1}l+{\mathrm{chp}}_{2}l=A_{aa}+A_{bb}\\ {\mathrm{chp}}_{1}l-{\mathrm{chp}}_{2}l=-\sqrt{{(A_{aa}-A_{bb})}^2+4A_{ab}{A}_{ba}}\end{array}\right.$

式中，l₂为AB同塔段直流线路的长度；

再根据p₁和p₂求解中间变量A₁、A₂、B₁、B₂；

$A_1=\frac{{\mathrm{chp}}_{1}x}{{p_1}^2-{p_2}^2},A_2=\frac{{\mathrm{chp}}_{2}x}{{p_1}^2-{p_2}^2}$

$B_1=\frac{{\mathrm{shp}}_{1}x}{p_1({p_1}^2-{p_2}^2)},B_2=\frac{{\mathrm{shp}}_{2}x}{p_2({p_1}^2-{p_2}^2)}$

步骤3.6，将矩阵A、p₁、p₂、A₁、A₂代入下式，获得矩阵M；

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{aa}\\ A_{ab}\\ A_{ba}\\ A_{bb}\end{array}\right]=A_1\left[\begin{array}{c}{p_1}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_1}^2-M_1\end{array}\right]-A_2\left[\begin{array}{c}{p_2}^2-M_4\\ M_2\\ M_3\\ {p_2}^2-M_1\end{array}\right]$

步骤3.7，将矩阵B、p₁、p₂、B₁、B₂代入下式，获得零序阻抗矩阵Z；

$B=\left[\begin{array}{c}{B}_{aa}\\ B_{ab}\\ B_{ba}\\ B_{bb}\end{array}\right]=B_1\left[\begin{array}{c}({p_1}^2-M_4)Z_a+M_2{Z}_m\\ ({p_1}^2-M_4)Z_m+M_2{Z}_b\\ ({p_1}^2-M_1)Z_m+M_3{Z}_a\\ ({p_1}^2-M_1)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]-B_2\left[\begin{array}{c}({p_2}^2-M_4)Z_a+M_2{Z}_m\\ ({p_2}^2-M_4)Z_m+M_2{Z}_b\\ ({p_2}^2-M_1)Z_m+M_3{Z}_a\\ ({p_2}^2-M_1)Z_b+M_3{Z}_m\end{array}\right]$

步骤3.8，将矩阵Z和矩阵M代入下式获得零序导纳矩阵Y；

Y＝MZ^-1

步骤3.9，由所求得的阻抗矩阵Z和导纳矩阵Y计算混压双极直流输电线路的零序电阻R_a,R_b,R_m、零序电感L_a,L_b,L_m、零序电容参数C_a,C_b,C_m；

这里，R_a是线路a的零序自电阻，R_b是线路b的零序自电阻，R_m是线路a与线路b之间的零序互电阻；L_a是线路a的零序自电感，L_b是线路b的零序自电感，L_m是线路a与线路b之间的零序互电感；C_a是线路a的零序自电容，C_b是线路b的零序自电容，C_m是线路a与线路b之间的零序互电容。