CN104898562A - 数控机床热误差补偿的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种数控机床热误差补偿的建模方法，步骤为：A、在机床关键位置布置n个温度传感器，形成n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,在机床定位误差测量处设置位移传感器；B、采集温度信号和位移信号，得到n个温度传感器测得的温度T随时间t的变化量﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜，以及机床定位误差量Y(t)；C、将所测数据﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜以及Y(t)进行减法聚类处理；D、经减法聚类处理后得到的聚类中心数量为c个，通过FCM聚类计算新的聚类中心点，确定新的聚类中心点为建模使用的热关键点；E、利用优化后的热关键点对热误差补偿系统进行建模。本发明具有更高的精度和鲁棒性，方法简便易行，可以广泛应用于数控机床的热误差补偿建模。

Description

数控机床热误差补偿的建模方法

技术领域

本发明属于精密机床加工技术领域，尤其涉及一种数控机床热误差补偿的建模方法。

背景技术

工件的加工精度取决于刀具和工件之间相对移动的精度。如果机床连接部件因温度变化而产生变形，则会影响到零件的加工精度，通常我们把由热变形引起的机床误差成为热误差。研究表明，热误差占到整个机床定位误差的65％-75％，因此对机床热误差进行补偿是提高机床精度的一种可行办法。

目前，较为常用的热误差补偿方法有限元建模补偿法、多元线性回归方法等，但是有限元建模法由于边界条件确定和获得精确的热传递特性困难的因素应用受到一定的限制；线性回归的方法建模容易但其鲁棒性差。近些年，虽然神经网络、模糊推理系统、自适应神经网络模糊推理系统(ANFIS)及以上几种方法的复合已经成功应用于热误差补偿系统的建模，但其训练网络时的数据过多造成对训练时间增加，且假如温度测点的位置和数量没有合理选取，还会照成系统的鲁棒性差，ANFIS随着输入点数目的增加，模糊规则数目会指数级的递增，对计算机的要求会大幅度地提高。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提供一种可使训练时间短、鲁棒性好的数控机床热误差补偿的建模方法。

为解决上述技术问题本发明所采用的技术方案是：数控机床热误差补偿的建模方法，步骤为：

A、在机床关键位置布置n个温度传感器，形成n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,在机床定位误差测量处设置位移传感器；

B、采集温度信号和位移信号，得到n个温度传感器测得的温度T随时间t的变化量﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜，以及机床定位误差量Y(t)；

C、将所测数据﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜以及Y(t)进行减法聚类处理：

对于n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,数据点xj处的密度指标定义为：

$M_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\frac{{\left|\right|x_i-x_j\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_a/2)}^2})---\left(1\right),$

其中γ_a是一个正数，常数γ_a定义了数据点x_j的一个邻域；

在计算每个数据点的密度指标后，选择具有最高密度指标的数据点作为第一个聚类中心，令x_c1为选中的第一个聚类中心，M_c1为其密度指标，那么每个数据点x_i的密度指标可以用公式：

$M_{\mathrm{ik}}=M_i-M_{c1}\exp (-\frac{{\left|\right|x_i-x_{c1}\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_b/2)}^2})---\left(2\right)$

进行修正，其中M_ik为修正后的密度指标；γ_b是一个正数，常数γ_b定义了一个密度指标显著减小的邻域，且γ_b大于γ_a；

修正了每个数据点的密度指标后，选定下一个聚类中心x_c2，再次修正数据点的所有密度指标，该过程不断反复，直到产生需要数量的聚类中心。

D、经减法聚类处理后得到的聚类中心数量为c个，通过FCM聚类计算新的聚类中心点，确定新的聚类中心点为建模使用的热关键点，所采用的FCM聚类算法为：

用公式3计算新的隶属矩阵U，

$u_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ij}}}{d_{\mathrm{kj}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(3\right);$

其中，u_ij的值介于0和1之间，且满足公式4要求：

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}=1,(\∀j=1,...,n)---\left(4\right),$

根据公式5计算价值函数，

$J(U,c_{1,}...,c_c)=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{J}_i=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2---\left(5\right),$

其中c_i为模糊组i的聚类中心，d_ij＝||c_i-x_j||为第i个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离，m∈[1,∞)为加权指数，然后根据公式6构造新的目标函数，可求得使公式5达到最小值的必要条件：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,c_1,...,c_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,c_1,...,c_c)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\\ =\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_1(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\end{array}---\left(6\right),$

其中λ_j是公式4中的n个约束式的拉格朗日乘子，然后对所有输入参量求导，使公式5达到最小值的必要条件为：

$c_i=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{x}_j}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m}---\left(7\right),$

根据公式5计算价值函数J，若J小于某个确定的阈值或J相对于上次价值函数值的改变量小于某个阈值，则算法停止，否则用公式3计算新的隶属矩阵U，循环往复可得到优化后的热关键点；

E、利用优化后的热关键点对热误差补偿系统进行建模。

进一步的是：步骤E中对热误差补偿系统进行建模时，采用灰色系统进行建模，根据灰模型得到的热误差预测值进行补偿；

灰色系统建模方法为：

设置一阶的灰模型GM(1，N)，其具有N个变量x_i(i＝1,2，…，N)，每个变量有n个初始序列值

$x_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(n\right)\},(i=\mathrm{1,2},...,N);$

进行一阶累加运算后序列为：

$x_i^{\left(1\right)}=\{x_i^{\left(1\right)}\left(1\right),x_i^{\left(1\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(1\right)}\left(n\right)\},$

其中 $x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^0\left(j\right),(k=\mathrm{1,2},...,n);$

灰模型可表达为：

$x_1^0\left(k\right)+{\mathrm{az}}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{x}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)=b_2{x}_2^{\left(1\right)}\left(k\right)+b_3{x}_3^{\left(1\right)}\left(k\right)+...+b_N{x}_N^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(8\right),$

其中定义为：

$z_1^{\left(1\right)}\left(k\right)={0.5x}_1^{\left(1\right)}(k-1)+{0.5x}_1^{\left(1\right)}\left(k\right),(k=\mathrm{2,3,4},...,n);$

分别称系数a和b_j为系统发展参数和驱动参数；

参数列根据最小二乘法可得到：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y---\left(9\right),$

其中

$\widehat{\mathrm{\θ}}=\left[\begin{array}{c}a\\ b_2\\ .\\ .\\ .\\ b_n\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x_1^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}{z}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ z_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ z_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& & x_N^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right];$

灰模型GM(1，N)的近似时间响应式为：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)=(x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1))e^{-\mathrm{ak}}+\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1)---\left(10\right),$

其中 $x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right);$

通过公式10得出序列后，通过公式11进行一次累减还原，可得到GM(1，N)模型对于热误差的预测值，

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(11\right).$

本发明的有益效果是：经过减法聚类处理后，可以获得初步分组，可以减少FCM聚类处理的运算时间，提高系统的响应性能，同时经过FCM聚类处理后，具有更好的鲁棒性；利用减法聚类处理后，不会出现在单独使用FCM聚类处理时出现的局部最小点，使系统具有更高的精度；本发明的方法简便易行，可以很方便的移植到其他的数控机床上，可以广泛应用于数控机床的热误差补偿建模。

附图说明

图1是本发明的工作流程图；

图2是FCM聚类处理的流程图；

图3是本发明实施后的补偿效果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明，文中提到的“FCM聚类”全称为“模糊C平均聚类”。

如图1、图2所示，本发明步骤为：

A、在机床关键位置布置n个温度传感器，形成n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,在机床定位误差测量处设置位移传感器；布置温度传感器时，应该在机床关键位置及其附近布置尽量多的温度传感器，以保证样本空间足够大；

B、采集温度信号和位移信号，得到n个温度传感器测得的温度T随时间t的变化量﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜，以及机床定位误差量Y(t)；

C、将所测数据﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜以及Y(t)进行减法聚类处理：

对于n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,数据点x_j处的密度指标定义为：

$M_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\frac{{\left|\right|x_i-x_j\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_a/2)}^2})---\left(1\right),$

其中γ_a是一个正数，常数γ_a定义了数据点x_j的一个邻域；显然如果一个数据点若有多个临近的数据点，则该数据点具有高密度值，半径γ_a以外的数据点对该点的密度指标贡献甚微。

在计算每个数据点的密度指标后，选择具有最高密度指标的数据点作为第一个聚类中心，令x_c1为选中的第一个聚类中心，M_c1为其密度指标，那么每个数据点x_i的密度指标可以用公式：

$M_{\mathrm{ik}}=M_i-M_{c1}\exp (-\frac{{\left|\right|x_i-x_{c1}\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_b/2)}^2})---\left(2\right)$

进行修正，其中M_ik为修正后的密度指标；γ_b是一个正数，显然靠近第一个聚类中心x_c1的数据点的密度指标将显著减小，这样使得这些点不太可能成为下一个聚类中心。常数γ_b定义了一个密度指标显著减小的邻域，γ_b应大于γ_a，以避免出现相聚很近的聚类中心。

修正了每个数据点的密度指标后，选定下一个聚类中心x_c2，再次修正数据点的所有密度指标，该过程不断反复，直到产生需要数量的聚类中心。

D、经减法聚类处理后得到的聚类中心数量为c个，通过FCM聚类计算新的聚类中心点，确定新的聚类中心点为建模使用的热关键点，所采用的FCM聚类算法为：

用公式3计算新的隶属矩阵U，

$u_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ij}}}{d_{\mathrm{kj}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(3\right);$

其中，u_ij的值介于0和1之间，且满足公式4要求：

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}=1,(\∀j=1,...,n)---\left(4\right),$

根据公式5计算价值函数，

$J(U,c_{1,}...,c_c)=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{J}_i=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2---\left(5\right),$

其中c_i为模糊组i的聚类中心，d_ij＝||c_i-x_j||为第i个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离，m∈[1,∞)为加权指数，然后根据公式6构造新的目标函数，可求得使公式5达到最小值的必要条件：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,c_1,...,c_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,c_1,...,c_c)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\\ =\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_1(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\end{array}---\left(6\right),$

其中λ_j是公式4中的n个约束式的拉格朗日乘子，然后对所有输入参量求导，使公式5达到最小值的必要条件为：

$c_i=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{x}_j}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m}---\left(7\right),$

根据公式5计算价值函数J，若J小于某个确定的阈值或J相对于上次价值函数值的改变量小于某个阈值，则算法停止，否则用公式3计算新的隶属矩阵U，循环往复可得到优化后的热关键点；FCM聚类算法具体流程如图2所示；

E、利用优化后的热关键点对热误差补偿系统进行建模。

本发明可应用现有技术中常见的神经网络、ANFIS系统等进行建模，作为对本发明的改进，步骤E中对热误差补偿系统进行建模时，采用灰色系统进行建模，根据灰模型得到的热误差预测值进行补偿，可使热误差补偿系统具有更高的精度和鲁棒性。

灰色系统建模方法为：

设置一阶的灰模型GM(1，N)，其为一个多变量(即多个输入量)的灰模型，GM(1，N)意味着这个灰模型包含一个因变量和N-1个自变量，即具有N个变量x_i(i＝1,2，…，N)，每个变量有n个初始序列值

$x_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(n\right)\},(i=\mathrm{1,2},...,N);$

为了使序列有规律性，进行累加生成运算，为了简化，进行一阶累加运算后序列为：

$x_i^{\left(1\right)}=\{x_i^{\left(1\right)}\left(1\right),x_i^{\left(1\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(1\right)}\left(n\right)\},$

其中 $x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^0\left(j\right),(k=\mathrm{1,2},...,n);$

灰模型可表达为：

$x_1^0\left(k\right)+{\mathrm{az}}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{x}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)=b_2{x}_2^{\left(1\right)}\left(k\right)+b_3{x}_3^{\left(1\right)}\left(k\right)+...+b_N{x}_N^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(8\right),$

其中定义为：

$z_1^{\left(1\right)}\left(k\right)={0.5x}_1^{\left(1\right)}(k-1)+{0.5x}_1^{\left(1\right)}\left(k\right),(k=\mathrm{2,3,4},...,n);$

分别称系数a和b_j为系统发展参数和驱动参数；

参数列根据最小二乘法可得到：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y---\left(9\right),$

其中

$\widehat{\mathrm{\θ}}=\left[\begin{array}{c}a\\ b_2\\ .\\ .\\ .\\ b_n\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x_1^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}{z}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ z_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ z_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& & x_N^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right];$

灰模型GM(1，N)的近似时间响应式为：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)=(x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1))e^{-\mathrm{ak}}+\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1)---\left(10\right),$

其中 $x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right);$

通过公式10得出序列后，通过公式11进行一次累减还原，可得到GM(1，N)模型对于热误差的预测值，

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(11\right).$

本发明采用经减法聚类处理和FCM聚类处理得到的热关键点，以及灰色系统建模技术实施，补偿效果如图3所示。

本发明经减法聚类处理后再进行FCM聚类，避免了单独使用FCM聚类时，随机输入初始中心点，耽误了大量的处理时间，通过减法聚类，可以在最短时间内将类分好，确定好聚类中心，然后把预处理好的分类和聚类中心交给FCM聚类处理，从而减少处理时间；另外一方面使用减法聚类极好的解决了FCM聚类中的收敛性能严重依赖于聚类的初始点问题，FCM聚类的收敛速度随初始点选择的不同有很大变化，且可能陷入局部极小点，从而影响精密数控机床制造精度与加工效率。本发明具有更高的精度和鲁棒性，方法简便易行，可以很方便的移植到其他的数控机床上，可以广泛应用于数控机床的热误差补偿建模。

Claims (2)

1.数控机床热误差补偿的建模方法，其特征在于，步骤为：

A、在机床关键位置布置n个温度传感器，形成n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,在机床定位误差测量处设置位移传感器；

B、采集温度信号和位移信号，得到n个温度传感器测得的温度T随时间t的变化量﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜，以及机床定位误差量Y(t)；

C、将所测数据﹛T₁(t),T₂(t),…,T_n(t)﹜以及Y(t)进行减法聚类处理：

对于n个数据点﹛x₁,x₂,…,x_n﹜,数据点x_j处的密度指标定义为：

$M_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\frac{{\left|\right|x_i-x_j\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_a/2)}^2})---\left(1\right),$

其中γ_a是一个正数，常数γ_a定义了数据点x_j的一个邻域；

在计算每个数据点的密度指标后，选择具有最高密度指标的数据点作为第一个聚类中心，令x_c1为选中的第一个聚类中心，M_c1为其密度指标，那么每个数据点x_i的密度指标可以用公式：

$M_{\mathrm{ik}}=M_i-M_{c1}\exp \left(\frac{{\left|\right|x_i-x_{c1}\left|\right|}^2}{{({\mathrm{\γ}}_b/2)}^2}\right)---\left(2\right)$

进行修正，其中M_ik为修正后的密度指标；γ_b是一个正数，常数γ_b定义了一个密度指标显著减小的邻域，且γ_b大于γ_a；

修正了每个数据点的密度指标后，选定下一个聚类中心x_c2，再次修正数据点的所有密度指标，该过程不断反复，直到产生需要数量的聚类中心。

D、经减法聚类处理后得到的聚类中心数量为c个，通过FCM聚类计算新的聚类中心点，确定新的聚类中心点为建模使用的热关键点，所采用的FCM聚类算法为：

用公式3计算新的隶属矩阵U，

$u_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ij}}}{d_{\mathrm{kj}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(3\right);$

其中，u_ij的值介于0和1之间，且满足公式4要求：

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}=1,(\∀j=1,...,n)---\left(4\right),$

根据公式5计算价值函数，

$J(U,c_1,...,c_c)=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{J}_i=\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2---\left(5\right),$

其中c_i为模糊组i的聚类中心，d_ij＝||c_i-x_j||为第i个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离，m∈[1,∞)为加权指数，然后根据公式6构造新的目标函数，可求得使公式5达到最小值的必要条件：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,c_1,...,c_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,c_1,...,c_c)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\\ =\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{d}_{\mathrm{ij}}^2+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_1(\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}-1)\end{array}---\left(6\right),$

其中λ_j是公式4中的n个约束式的拉格朗日乘子，然后对所有输入参量求导，使公式5达到最小值的必要条件为：

$c_i=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m{x}_j}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}^m}---\left(7\right),$

根据公式5计算价值函数J，若J小于某个确定的阈值或J相对于上次价值函数值的改变量小于某个阈值，则算法停止，否则用公式3计算新的隶属矩阵U，循环往复可得到优化后的热关键点；

E、利用优化后的热关键点对热误差补偿系统进行建模。

2.如权利要求1所述的数控机床热误差补偿的建模方法，其特征在于：步骤E中对热误差补偿系统进行建模时，采用灰色系统进行建模，根据灰模型得到的热误差预测值进行补偿；

灰色系统建模方法为：

设置一阶的灰模型GM(1，N)，其具有N个变量x_i(i＝1,2，…，N)，每个变量有n个初始序列值

$x_i^{\left(0\right)}=\{x_i^{\left(0\right)}\left(1\right),x_i^{\left(0\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(0\right)}\left(n\right)\},(i=\mathrm{1,2},...,N);$

进行一阶累加运算后序列为：

$x_i^{\left(1\right)}=\{x_i^{\left(1\right)}\left(1\right),x_i^{\left(1\right)}\left(2\right),...,x_i^{\left(1\right)}\left(n\right)\},$

其中 $x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^0\left(j\right),(k=\mathrm{1,2},...,n);$

灰模型可表达为：

$x_1^0\left(k\right)+a{z}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{j=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{x}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)=b_2{x}_2^{\left(1\right)}\left(k\right)+b_3{x}_3^{\left(1\right)}\left(k\right)+...+b_N{x}_N^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(8\right),$

其中定义为：

$z_1^{\left(1\right)}\left(k\right)=0.5x_1^{\left(1\right)}(k-1)+0.5x_1^{\left(1\right)}\left(k\right),(k=\mathrm{2,3,4},...,n);$

分别称系数a和b_j为系统发展参数和驱动参数；

参数列根据最小二乘法可得到：

$\widehat{\mathrm{\θ}}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y---\left(9\right),$

其中

$\widehat{\mathrm{\θ}}=\left[\begin{array}{c}a\\ b_2\\ .\\ .\\ .\\ b_n\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x_1^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ x_1^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{cccc}{z}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_B^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ z_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ z_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& x_1^{\left(1\right)}\left(n\right)& ...& x_N^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right];$

灰模型GM(1，N)的近似时间响应式为：

${\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)=(x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1))e^{-\mathrm{ak}}+\frac{1}{a}\underset{i=2}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{x}_i^{\left(1\right)}(k+1)---\left(10\right),$

其中 $x_1^{\left(1\right)}\left(0\right)=x_1^{\left(0\right)}\left(1\right);$

通过公式10得出序列后，通过公式11进行一次累减还原，可得到GM(1，N)模型对于热误差的预测值，

${\hat{x}}_1^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}_1^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}_1^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(11\right).$