CN103885386A - 一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法。首先采用卡尔曼滤波对实验所测得的热误差数据进行滤波处理，然后建立灰色热误差模型，并根据滤波后的热误差数据利用灰色热误差模型进行预测。实验结果表明，与直接对热误差实验数据进行预测的现有方法相比，本发明所述方法获得的热误差预测值与实测值吻合得很好，可消除或减弱实验所获得的热误差数据中含有的系统及测量噪声等因素的影响，从而获得更加准确的热误差预测值，对精密卧式加工中心高速电主轴热误差建模和热误差补偿具有重要意义。

Description

一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法

技术领域

本发明涉及数控机床误差补偿技术，具体涉及一种基于卡尔曼滤波的精密卧式加工中心高速电主轴的灰色模型热误差数据处理方法。

背景技术

热误差是指由机床温度升高引起机床零部件热变形，并且导致工件与刀具间相对位置变化而产生的加工误差。有关热误差的研究内容主要有热误差的机理分析、热误差补偿中的测量、温度关键点优化、热误差建模和热误差补偿实施五大部分。热误差是数控机床最大的误差源，也是加工精度重要的影响因素。因此，必须合理有效地控制因温度升高导致的热误差，对热误差补偿中所测得的热误差数据的测量噪声进行相应的处理，以此建立精度较高的热误差模型，是实现热误差补偿和提高机床加工精度重要的关键技术。

随着数控机床的不断发展，实现机床的高速精密加工，这就需要较高的机床加工精度，而影响机床加工精度的误差项不再是简单的导轨的直线度和滚珠丝杠的误差，主要是高速电主轴以及其他各部件的发热导致的热变形误差。近年来国内外学者对于高速电主轴热误差进行了大量的研究。其中，在对所使用的热误差数据的测量方面，主要使用了诸如位移传感器和温度传感器、球杆仪、坐标测量机、激光干涉仪等精密测量仪器作为机床加工精度的检测工具。

关于热误差数据的滤波技术有很多。2013年6月刘志峰等发表在《高技术通讯》上的论文“基于灰色线性回归组合模型的机床热误差建模方法”，公开了一种热误差数据处理技术，该技术采用灰色线性回归组合模型对所测得的热误差原始数据进行预测，并利用BP神经网络对该模型的热误差残差进行了修正，取得了一定的预测效果。但是，该技术只是直接采用灰色线性回归组合模型对实验所测得的热误差数据进行建模和预测，并没有考虑热误差数据的前期处理，这样会减弱热误差数据的预测效果。因为这些实验所测得的热误差数据有测量噪声、环境等因素的影响，需要对所测得的热误差数据进行前期处理，来获得更好的热误差的预测值。

发明内容

针对现有技术中存在的因对实验所测量的热误差数据缺少前期处理而造成热误差预测值误差较大的问题，本发明提供一种基于卡尔曼滤波的高速电主轴灰色模型的热误差数据处理方法，通过卡尔曼滤波方法获得比较准确的热误差测量值，然后采取灰色热误差模型对滤波后的热误差数据做进一步处理，获得更加精确的热误差预测值。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：采用卡尔曼滤波对实验所测得的热误差数据进行滤波处理，然后再根据滤波后的热误差数据利用灰色热误差模型进行预测。灰色热误差模型是一种通过少量样本热误差数据建立的预测模型。其基本思想是通过热误差数据组成原始序列，经过累加生成法生成另一种热误差数据序列，这样可以减弱热误差原始数据的随机性。通过生成序列的热误差数据建立微分方程模型，从而获得具有较强规律性的热误差预测值。

基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法，包括下列步骤：

步骤一，对实验测量所获得的热误差数据进行卡尔曼滤波处理。

（1）由热误差的差分方程和测量方程获得热误差测量值。

热误差的差分方程和测量方程分别为：

Ay(k)＝Bu(k)+w(k)

z(k)＝Cy(k)+v(k)

其中，A＝1+a₁x^-1+a₂x^-2+…+a_nx^-n，B＝1+b₁x^-1+b₂x^-2+…+b_nx^-n，a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n为系数，x为多项式中的未知标量元，n为多项式的次数，且为不小于1的正整数，y(k)是热误差估计值，u(k)是传感器带来的测量噪声，w(k)是系统噪声，z(k)是热误差测量值，C是与热误差估计值相对应的单元矩阵，v(k)是测量噪声，k＝1,2,…,N，表示数据元素的次序，N为k的最大值。

将热误差测量值写成如下形式：

φ＝[a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n]^T

其中，

为测量噪声序列，φ为参数矩阵。

（2）利用最小二乘法估计误差测量方程中的参数。

根据热误差数据z(k)及测量噪声序列

构造热误差数据向量矩阵Z及含有测量噪声的向量矩阵Ψ分别为：

Ζ＝[z(1),z(2),…,z(k)]^T

$\mathrm{\Ψ}=\left[\begin{array}{cccc}-z\left(0\right),& -z(-1),...,-z(1-n),& u\left(0\right),& u\left(1\right),...,u(1-n)\\ -z\left(1\right),& -z\left(0\right),...,-z(2-n),& u\left(1\right),& u\left(2\right),...,u(2-n)\\ & ......& & \\ -z(k-1),& -z(k-2),...,-z(k-n),& u(k-1),& u(k-2),...,u(k-n)\end{array}\right]$

其中，n＝1,2,…,N。

利用最小二乘法估计求解参数矩阵φ的估计值：

$\widehat{\mathrm{\φ}}={\left({\mathrm{\Ψ}}^T\mathrm{\Ψ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}^{T}Z$

（3）求热误差测量值的卡尔曼滤波值。

卡尔曼滤波的递推公式为：

$\hat{x}\left(k\right|k-1)=A\hat{x}(k-1|k-1)+\mathrm{Bu}\left(k\right)$

P(k|k-1)＝AP(k-1)A^T+BQB^T

K(k)＝P(k|k-1)C^T[CP(k|k-1)C^T+R]^-1

$\hat{x}\left(k\right|k)=\hat{x}\left(k\right|k-1)+K\left(k\right)[z\left(k\right)-C\hat{x}\left(k\right|k-1)]$

P(k)＝[I-K(k)C]P(k|k-1)

其中，Q、R分别表示系统噪声和测量噪声的协方差即Q＝Var(w)，R＝Var(v)，

表示状态一步预测估计值，

表示状态预测估计值，P(k|k-1)表示预测的误差方差阵，K(k)为滤波增益。

当测量噪声v(k)较小时，利用最小二乘算法求解热误差测量方程参数可以获得较理想的结果。随着测量噪声v(k)的增加，滤波效果将会变差。先滤掉热误差数据测量值z(k)中的噪声，然后再用于热误差数据处理，将会取得较好的效果。可通过均值法滤掉z(k)中的噪声，即用y(k)的估计值

代替测量值z(k)，其中，E表示求数学期望，将y(k)的估计值代入差分方程和测量方程得：

$\widetilde{\mathrm{Ay}\left(k\right)}=\mathrm{Bu}\left(k\right)+\widetilde{\mathrm{Av}\left(k\right)}+w\left(k\right)$

其中，

因此，热误差数据预测精度会得到提高。

步骤二，建立灰色热误差模型，对滤波后的热误差数据作进一步处理，获得热误差的预测值。

（1）求紧邻均值生成序列。

设X⁽⁰⁾＝(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n))是一个卡尔曼滤波后热误差数据序列，X⁽¹⁾为X⁽⁰⁾的累加序列，X⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(n))，其中，

令 $z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}(k-1)),k=\mathrm{2,3},...,n,$ 则紧邻均值生成序列为：

z⁽¹⁾＝(z⁽¹⁾(2),z⁽¹⁾(3),…,z⁽¹⁾(k))

（2）建立灰色热误差模型，由模型求热误差预测值。

灰色热误差模型的微分方程为：

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=b$

式中，a为发展系数，b为灰色作用量。

假设

为参数列，利用灰色模型方程x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b，通过最小二乘估计算法得到参数列

$\hat{a}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y$

其中，

$Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$

由灰色热误差模型的微分方程求得时间响应序列为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)=(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a})e^{-\mathrm{ak}}+\frac{b}{a},k=\mathrm{1,2},...,n$

通过时间响应序列作累减运算得到还原值：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)$

从而得到灰色热误差模型的预测方程：

$x^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^a)(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a})e^{-\mathrm{ak}}=C_1{e}^{\mathrm{vk}}+C_2,k=\mathrm{1,2},...,n$

其中，C₁、C₂、v为待求参数。

根据灰色热误差模型的预测方程就可得到热误差预测值。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

本发明所述方法采用卡尔曼滤波对热误差数据进行处理，然后再利用灰色热误差模型进行预测。实验表明，与直接对热误差实验数据进行预测的现有方法相比，本发明所述方法可消除或减弱实验所获得的热误差数据中含有的系统及测量噪声等因素的影响，从而获得更加准确的热误差预测值，对精密卧式加工中心高速电主轴热误差建模和热误差补偿具有重要意义。

附图说明

图1为本发明所涉及方法流程图；

图2为本发明实施例灰色热误差模型预测值与实测值的对比图；

图3为本发明实施例获得的热误差模型预测值与热误差实测值的对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

图1是本发明所述方法的流程图，包括以下步骤：

1.对实验测量所获得的热误差数据进行卡尔曼滤波处理。

（1）由热误差的差分方程和测量方程获得热误差测量值。

（2）利用最小二乘法估计误差测量方程中的参数。

（3）求热误差测量值的卡尔曼滤波值。

2.建立灰色热误差模型，对滤波后的热误差数据作进一步处理，获得热误差的预测值。

（1）求紧邻均值生成序列。

（2）建立灰色热误差模型，由模型求热误差预测值。

下面通过实验验证本发明所述方法的有效性。

应用灰色热误差模型对未经滤波处理的热误差实测值进行热误差预测，预测值与实测值的对比图如图2所示。采用卡尔曼滤波对热误差数据进行处理，然后再利用灰色热误差模型根据热误差滤波值进行热误差预测，预测值与实测值的对比图如图3所示。由图2和图3可知，应用灰色热误差模型直接对热误差实测值进行热误差预测，得到的预测值与实测值的误差较大；而对经滤波处理后的热误差实测值进行热误差预测，得到的预测值与实测值吻合得很好。因此，与现有技术相比，本发明所述方法消除了噪声等因素的影响，可以获得高精度的热误差预测值。

Claims (1)

1.一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法，其特征在于，首先对热误差测量值进行卡尔曼滤波，然后采取灰色热误差模型对滤波后的热误差数据做进一步处理，获得更加精确的热误差预测值；所述方法包括以下步骤：

步骤一，对实验测量所获得的热误差数据进行卡尔曼滤波处理；

（1）由热误差的差分方程和测量方程获得热误差测量值；

热误差的差分方程和测量方程分别为：

Ay(k)＝Bu(k)+w(k)

z(k)＝Cy(k)+v(k)

其中，A＝1+a₁x^-1+a₂x^-2+…+a_nx^-n，B＝1+b₁x^-1+b₂x^-2+…+b_nx^-n，a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n为系数，x为多项式中的未知标量元，n为多项式的次数，且为不小于1的正整数，y(k)是热误差估计值，u(k)是传感器带来的测量噪声，w(k)是系统噪声，z(k)是热误差测量值，C是与热误差估计值相对应的单元矩阵，v(k)是测量噪声，k＝1,2,…,N，表示数据元素的次序，N为k的最大值；

将热误差测量值写成如下形式：

φ＝[a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n]^T

其中，

为测量噪声序列，φ为参数矩阵；

（2）利用最小二乘法估计误差测量方程中的参数；

根据热误差数据z(k)及测量噪声序列

构造热误差数据向量矩阵Z及含有测量噪声的向量矩阵Ψ分别为：

Ζ＝[z(1),z(2),…,z(k)]^T

$\mathrm{\Ψ}=\left[\begin{array}{cccc}-z\left(0\right),& -z(-1),...,-z(1-n),& u\left(0\right),& u\left(1\right),...,u(1-n)\\ -z\left(1\right),& -z\left(0\right),...,-z(2-n),& u\left(1\right),& u\left(2\right),...,u(2-n)\\ & ......& & \\ -z(k-1),& -z(k-2),...,-z(k-n),& u(k-1),& u(k-2),...,u(k-n)\end{array}\right]$

其中，n＝1,2,…,N；

利用最小二乘法估计求解参数矩阵φ的估计值：

$\widehat{\mathrm{\φ}}={\left({\mathrm{\Ψ}}^T\mathrm{\Ψ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}^{T}Z$

（3）求热误差测量值的卡尔曼滤波值；

卡尔曼滤波的递推公式为：

$\hat{x}\left(k\right|k-1)=A\hat{x}(k-1|k-1)+\mathrm{Bu}\left(k\right)$

P(k|k-1)＝AP(k-1)A^T+BQB^T

K(k)＝P(k|k-1)C^T[CP(k|k-1)C^T+R]^-1

$\hat{x}\left(k\right|k)=\hat{x}\left(k\right|k-1)+K\left(k\right)[z\left(k\right)-C\hat{x}\left(k\right|k-1)]$

P(k)＝[I-K(k)C]P(k|k-1)

其中，Q、R分别表示系统噪声和测量噪声的协方差即Q＝Var(w)，R＝Var(v)，

表示状态一步预测估计值，表示状态预测估计值，P(k|k-1)表示预测的误差方差阵，K(k)为滤波增益；

当测量噪声v(k)较小时，利用最小二乘算法求解热误差测量方程参数可以获得较理想的结果；随着测量噪声v(k)的增加，滤波效果将会变差；先滤掉热误差数据测量值z(k)中的噪声，然后再用于热误差数据处理，将会取得较好的效果；可通过均值法滤掉z(k)中的噪声，即用y(k)的估计值

代替测量值z(k)，其中，E表示求数学期望，将y(k)的估计值代入差分方程和测量方程得：

$\widetilde{\mathrm{Ay}\left(k\right)}=\mathrm{Bu}\left(k\right)+\widetilde{\mathrm{Av}\left(k\right)}+w\left(k\right)$

其中，

因此，热误差数据预测精度会得到提高；

步骤二，建立灰色热误差模型，对滤波后的热误差数据作进一步处理，获得热误差的预测值；

（1）求紧邻均值生成序列；

设X⁽⁰⁾＝(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n))是一个卡尔曼滤波后热误差数据序列，X⁽¹⁾为X⁽⁰⁾的累加序列，X⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(n))，其中，

令 $z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}(k-1)),k=\mathrm{2,3},...,n,$ 则紧邻均值生成序列为：

z⁽¹⁾＝(z⁽¹⁾(2),z⁽¹⁾(3),…,z⁽¹⁾(k))

（2）建立灰色热误差模型，由模型求热误差预测值；

灰色热误差模型的微分方程为：

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=b$

式中，a为发展系数，b为灰色作用量；

假设

为参数列，利用灰色模型方程x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b，通过最小二乘估计算法得到参数列

$\hat{a}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y$

其中，

$Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$

由灰色热误差模型的微分方程求得时间响应序列为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)=(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a})e^{-\mathrm{ak}}+\frac{b}{a},k=\mathrm{1,2},...,n$

通过时间响应序列作累减运算得到还原值：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)$

从而得到灰色热误差模型的预测方程：

$x^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^a)(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a})e^{-\mathrm{ak}}=C_1{e}^{\mathrm{vk}}+C_2,k=\mathrm{1,2},...,n$

其中，C₁、C₂、v为待求参数；

根据灰色热误差模型的预测方程就可得到热误差预测值。

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