CN104750941B - 基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法，其特征是：采用递推最小二乘法辨识异步电机的电气参数，构建异步电机的T形等效电路，获得异步电机输出功率；利用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，得到多级离心泵轴的预测功率；基于多级离心泵与异步电机的功率匹配构建异步电机多级离心泵系统。本发明可用于异步电机多级离心泵系统的高效耦合模型分析，增强多级离心泵与异步电机的匹配能力，进而实现其安全、经济运行，达到节能降耗的目的。

Description

基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法

技术领域

本发明涉及一种异步电机多级离心泵系统建模方法，可用于该复杂系统的高效耦合模型分析，增强多级离心泵与异步电机的匹配能力，进而实现其安全、经济运行，达到节能降耗的目的。

背景技术

泵是将原动机的机械能转化为液体能量，已广泛应用于国民经济的各个领域。据统计，我国每年各种泵的耗电量约占全国总耗电量的20％，耗油量大约占全国总耗油量的5％，是仅次于电机的应用最为广泛的通用机械。通常使用异步电机为多级离心泵提供原动力。但是在实际运行过程中，一般多级离心泵的整机效率只有50％-60％，节电潜能巨大。现有技术中异步电机拖动多级离心泵的运行情况可以归结为下列两种：一是配置的异步电机功率过大，多级离心泵运行效率较低，即“大马拉小车”，缺乏经济性。二是配置的异步电机功率过小，则容易发生异步电机过载及烧毁的现象，即“小马拉大车”。可见异步电机功率配置的合理与否，不仅影响着多级离心泵运行的经济性，而且直接影响着异步电机多级离心泵系统工作的安全性。

另外，国内外对于异步电机拖动多级离心泵的模型研究主要是将多级离心泵看成与转速平方成正比关系的简化通风机模型进行近似处理。同时，对于多级离心泵的分析大都采用最小二乘法进行曲线拟合，来与异步电机输出功率P₂进行匹配。该方案虽然方便分析，但由于多级离心泵本身是一个多变量、非线性、强耦合的系统，导致系统建模误差较大。而且作为提供源动力器械的电机，其电气参数很容易发生变化，进而影响异步电机输出功率P₂。

因此，要想减小异步电机多级离心泵系统的建模误差，进而实现其安全、经济运行，必须充分考虑各自的模型信息，使得异步电机输出功率P₂和多级离心泵轴的实际输入功率N相匹配，迄今未见相关报导。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法。该方法便于实时控制和在线辨识，可为研究机泵系统的耦合分析提供参考，实现机泵系统的安全、经济运行，达到节能降耗的目的。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案

本发明基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法，其特点是按如下步骤进行：

步骤1：根据异步电机的物理模型，建立由状态方程表达的异步电机数学模型；利用所述异步电机数学模型推导出以异步电机电气参数为未知变量的异步电机线性方程；对于所述异步电机线性方程，通过递推最小二乘法辨识所述异步电机电气参数，所述异步电机电气参数包括定子绕组电阻R_s、转子绕组电阻R_r、定子自感l_s、转子自感l_r以及定子与转子同轴等效绕组间互感l_m；

步骤2：以多级离心泵的实际输出扬程H、流量Q以及多级离心泵效率η作为输入变量，以多级离心泵轴的实际输入功率N作为输出变量，利用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，得到多级离心泵轴的预测功率N₁。

步骤3：按如下过程实现多级离心泵与异步电机的功率匹配。

a、利用步骤1所述的异步电机电气参数建立异步电机的T型等效电路，根据T型等效电路获得由式(1)所表征的异步电机输出功率P₂；

其中：x_sσ：为定子漏抗，x_sσ＝ωl_s；x'_rσ为转子漏抗，x'_rσ＝ωl_r；其中：ω＝2πf，f＝50Hz；U₁为设定的恒转速n下的异步电机定子侧输入电压，s为恒转速n下的异步电机转差率，极对数n_p＝2；

b、利用步骤2所建立的多级离心泵的性能预测模型获得多级离心泵轴的预测功率N₁，由式(2)获得传动效率η_c；

异步电机输出功率P₂×传动效率η_c＝多级离心泵轴的预测功率N₁ (2)

在所述设定的恒转速n状态下，实时测量获得异步电机效率η₁以及多级离心泵效率η，由式(3)获得机泵效率η₂：

传动效率η_c＝机泵效率η₂/(异步电机效率η₁×多级离心泵效率η) (3)

最终获得满足式(2)的异步电机多级离心泵系统，实现复杂系统的建模。

本发明基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法，其特点是所述步骤1中通过递推最小二乘法辨识所述异步电机电气参数是按如下过程进行：

a、所述由状态方程表达的异步电机数学模型为ABC三相坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(4)和式(5)所示：

u_A、u_B和u_C分别为定子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

u_a、u_b和u_c分别为转子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

i_A、i_B和i_C分别为定子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

i_a、i_b和i_c分别为转子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

ψ_A、ψ_B和ψ_C为定子侧A相、B相和C相的各相绕阻全磁链；

ψ_a、ψ_b和ψ_c为转子侧A相、B相和C相的各相绕组全磁链；

L_AA、L_BB、L_CC、L_aa、L_bb和L_cc为各绕组的自感；

L_AB、L_AC、L_Aa、L_Ab、L_Ac、L_BA、L_BC、L_Ba、L_Bb、L_Bc、L_CA、L_CB、L_Ca、L_Cb、L_Cc、L_aA、L_aB、L_aC、L_ab、L_ac、L_bA、L_bB、L_bC、L_ba、L_bc、L_cA、L_cB、L_cC、L_ca和L_cb为各绕组之间的互感；

p为微分算子，p＝d/dt；

利用3/2坐标变换，将由式(4)和式(5)表达的异步电机电压、磁链状态方程转换为αβ两相静止坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(6)和式(7)所示：

u_sα和u_sβ分别为定子侧α相和β相各相电压瞬时值；

u_rα和u_rβ分别为转子侧α相和β相各相电压瞬时值；

i_sα和i_sβ分别为定子侧α相和β相各相电流瞬时值；

i_rα和i_rβ分别为转子侧α相和β相各相电流瞬时值；

ψ_sα和ψ_sβ分别为定子侧α相和β相各相全磁链；

ψ_rα和ψ_rβ分别为转子侧α相和β相各相全磁链；

l_s＝l_l1+l_m，l_r＝l_l2+l_m，其中：l_s为定子自感、l_r为转子自感，l_m为定子与转子同轴等效绕组间互感；l_l1为定子漏感，l_l2为转子漏感；

由式(6)和式(7)得到式(8)：

其中，为设定的恒定角速度；

利用式(8)推导得出由式(9)和式(10)表达的异步电机线性方程：

其中，

σ为电机漏磁系数，τ_r为转子电磁时间常数，则有式(11)：

b、设定离散化采样周期为T，对由式(9)和式(10)表征的异步电机线性方程进行离散化处理，得到由式(12)所表征的异步电机的离散线性方程：

其中，u_sα(k)和u_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电压值；i_sα(k)、i_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电流值；

令：θ_k为第k个采样周期的待估参数，θ_k＝[2+k₅T 1-k₁T²-k₅T 1+k₂T k₄ k₃-k₄T]^T；根据递推最小二乘法进行参数辨识的线性系统标准形式对式(12)进行拓展，得式(13)：

Y(k)＝Φ(k)θ_k (13)

其中，Y(k)＝[y(1)，y(2),...,y(k)]^T，根据递推最小二乘估计原理，利用k+1次采样数据所得的待估参数值为：

其中，I为单位矩阵，P(k)＝[Φ^T(k)Φ(k)]^-1；

选取前m次采样数据，m＜k；利用式(15)计算获得初始值和P(0)：

当递推最小二乘法的参数估计满足精度要求时，停止递推运算，并由式(11)计算得到建立异步电机T型等效电路需要的电气参数R_s、R_r、l_s、l_r以及l_m。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

1、本发明采用递推最小二乘法对异步电机的电气参数进行辨识，一方面可为电机设计及其优化提供参考依据，提高异步电机建模的准确性。另一方面，通过所述异步电机电气参数精确估算异步电机输出功率P₂，有助于实现异步电机的实时控制和高效运行。

2、本发明利用BP神经网络对有限的试验样本进行分析，进而实现多级离心泵的黑箱建模。一方面可简化多级离心泵的内在机理分析。另一方面，能快速、准确的预测多级离心泵轴的输入功率N₁，进一步缩短试验时间，降低试验成本。

3、本发明通过功率匹配建立异步电机多级离心泵机泵系统模型，可为后续的机泵系统耦合分析提供参考，进而在此基础上探讨该复杂系统的机泵效率，具有十分重要的意义。

附图说明

图1为本发明的基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法示意图；

图2为本发明采用的递推最小二乘法的流程图；

图3为本发明基于BP神经网络的多级离心泵性能预测模型建模流程图；

图4为本发明所设计的BP神经网络结构图；

具体实施方式

本实施例中基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法的基本方案如图1所示：首先，根据实测的输入电压U、输入电流I，通过坐标变换和递推最小二乘法辨识异步电机的电气参数R_s、R_r、l_s、l_r、l_m，构建异步电机的T形等效电路模型，计算获得异步电机输出功率P₂；然后，采用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，得到多级离心泵轴的预测功率N₁；最后，在设定的恒转速n下，基于式(2)建立功率匹配构建异步电机多级离心泵系统。本实施例中建模方法按如下步骤进行：

步骤1：根据异步电机的物理模型，建立由状态方程表达的异步电机数学模型；利用异步电机数学模型推导出以异步电机电气参数为未知变量的异步电机线性方程；对于异步电机线性方程，通过递推最小二乘法辨识异步电机电气参数，异步电机电气参数包括定子绕组电阻R_s、转子绕组电阻R_r、定子自感l_s、转子自感l_r以及定子与转子同轴等效绕组间互感l_m。

步骤2：以多级离心泵的实际输出扬程H、流量Q以及多级离心泵效率η作为输入变量，以多级离心泵轴的实际输入功率N作为输出变量，利用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，得到多级离心泵轴的预测功率N₁。

步骤3：按如下过程实现多级离心泵与异步电机的功率匹配。

a、利用步骤1所获得的异步电机电气参数建立异步电机的T型等效电路，根据T型等效电路获得由式(1)所表征的异步电机输出功率P₂；由于异步电机的机械功率近似等于电磁功率，即等于异步电机的输入功率减去电机中的铜耗、铁耗以及附加损耗。其中，输入功率为铜耗为p_cu，定子的铁耗为p_Fe附加损耗p_ad,机械损耗p_m。因此，异步电机转轴上的输出功率P₂等于：

其中：x_sσ为定子漏抗，x_sσ＝ωl_s；x'_rσ为转子漏抗，x'_rσ＝ωl_r；其中：ω＝2πf，f＝50Hz；U₁为设定的恒转速n下的异步电机定子侧输入电压，s为恒转速n下的异步电机转差率，极对数n_p＝2；

b、利用步骤2所建立的多级离心泵的性能预测模型获得多级离心泵轴的预测功率N₁，按功率匹配原则，由式(2)获得传动效率η_c；

异步电机输出功率P₂×传动效率η_c＝多级离心泵轴的预测功率N₁ (2)

在设定的恒转速n状态下，实时测量获得异步电机效率η₁以及多级离心泵效率η，由式(3)获得机泵效率η₂：

传动效率η_c＝机泵效率η₂/(异步电机效率η₁×多级离心泵效率η) (3)

最终获得满足式(2)的异步电机多级离心泵系统，实现复杂系统的建模。

本实施例中，步骤1中通过递推最小二乘法辨识异步电机电气参数是按如下过程进行：

a、由状态方程表达的异步电机数学模型为ABC三相坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(4)和式(5)所示：

其中，各字符的下标A、B和C分别表示ABC三相坐标系下定子侧的A相、B相和C相；下标a、b和c分别表示ABC三项坐标系下转子侧的a相、b相和c相；

u_A、u_B和u_C分别为ABC三相坐标系下定子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

u_a、u_b和u_c分别为ABC三相坐标系下转子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

i_A、i_B和i_C分别为ABC三相坐标系下定子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

i_a、i_b和i_c分别为ABC三相坐标系下转子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

ψ_A、ψ_B和ψ_C为ABC三相坐标系下定子侧A相、B相和C相的各相绕阻全磁链；

ψ_a、ψ_b和ψ_c为ABC三相坐标系下转子侧A相、B相和C相的各相绕组全磁链；

L_AA、L_BB、L_CC、L_aa、L_bb和L_cc为各绕组的自感；

L_AB、L_AC、L_Aa、L_Ab、L_Ac、L_BA、L_BC、L_Ba、L_Bb、L_Bc、L_CA、L_CB、L_Ca、L_Cb、L_Cc、L_aA、L_aB、L_aC、L_ab、L_ac、L_bA、L_bB、L_bC、L_ba、L_bc、L_cA、L_cB、L_cC、L_ca和L_cb为各绕组之间的互感；

p为微分算子，p＝d/dt；

利用3/2坐标变换和旋转静止变换，将由式(4)和式(5)表达的异步电机电压、磁链状态方程转换为αβ两相静止坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(6)和式(7)所示：

其中，各字符的下标sα和sβ分别表示αβ两相静止坐标系下定子侧的α相和β相；下标rα和rβ分别表示αβ两相静止坐标系下转子侧的α相和β相；

u_sα和u_sβ分别为两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电压瞬时值；

u_rα和u_rβ分别为两相静止坐标系下转子侧α相和β相各相电压瞬时值，针对异步电机，u_rα＝u_rβ＝0；

i_sα和i_sβ分别为两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电流瞬时值；

i_rα和i_rβ分别为两相静止坐标系下转子侧α相和β相各相电流瞬时值；

ψ_sα和ψ_sβ分别为两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相全磁链；

ψ_rα和ψ_rβ分别为两相静止坐标系下转子侧α相和β相各相全磁链；

l_s＝l_l1+l_m，l_r＝l_l2+l_m，其中：l_s为定子自感、l_r为转子自感，l_m为定子与转子同轴等效绕组间互感；l_l1为定子漏感，l_l2为转子漏感；

由式(6)和式(7)得到式(8)：

其中，为设定的恒定角速度；展开式(8)，得到式(9)～(12)：

其中，

由于转子磁链ψ_rα和ψ_rβ不能直接测量得出，因此为消除转子磁链的影响，对式(9)和(10)分别求导，得式(13)和式(14)：

联立式(11)、式(12)、式(13)和式(14)，消除转子磁链微分项，得到式(15)和式(16)：

为了消除转子磁链ψ_rα和ψ_rβ，改写式(15)和式(16)，得到式(17)和式(18)：

在式(17)和式(18)中，只有和中包含转子磁链ψ_rα和ψ_rβ，当电机转速稳定或只有较小变化时，则所以

基于上述推导过程，利用式(8)推导得出由式(19)和式(20)表达的异步电机线性方程：

其中，k₁、k₂、k₃、k₄和k₅为异步电机线性方程系数，

σ为电机漏磁系数，τ_r为转子电磁时间常数，则有式(21)：

b、设定离散化采样周期为T。本实施例中，采样周期T为10ms。采用由式(22)表征的离散公式对由式(19)和式(20)表征的异步电机线性方程进行离散化处理，得到由式(23)所表征的异步电机的离散线性方程：

其中，u_sα(k)和u_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电压值；i_sα(k)、i_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电流值；

令：θ_k为第k个采样周期的待估参数，θ_k＝[2+k₅T 1-k₁T²-k₅T 1+k₂T k₄ k₃-k₄T]^T；根据递推最小二乘法进行参数辨识的线性系统标准形式对式(23)进行拓展，得式(24)：

Y(k)＝Φ(k)θ_k(24)

本实施例中，首先生成输入数据Φ(k)和输出数据Y(k)。其中，Y(k)＝[y(1)，y(2),...,y(k)]^T，根据递推最小二乘估计原理，利用k+1次采样数据所得的待估参数值为：

其中，I为单位矩阵，P(k)＝[Φ^T(k)Φ(k)]^-1；

选取前m次采样数据，m＜k；利用式(26)计算获得初始值和P(0)：

当递推最小二乘法的参数估计满足精度要求(＜最小值)或递推次数达到最大(本实施例中设置k＝1001，因此递推次数为999)时，停止递推运算，并由式(21)计算得到建立异步电机T型等效电路需要的电气参数R_s、R_r、l_s、l_r以及l_m，否则返回运算。具体递推过程如图2所示。

本实施例中，步骤2中利用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，其建模流程图如图3所示，其基本步骤为：

a、采用模式识别的方法，对水泵厂家提供的13组所述多级离心泵的实际输出扬程H、流量Q、效率η以及多级离心泵轴的实际输入功率N数据进行三次样条差值，获得110组数据。

b、随机选取100组作为样本数据，并结合影响多级离心泵性能变化的主要因素(输出扬程H、流量Q、效率η以及多级离心泵轴的实际输入功率N)，实现多级离心泵BP神经网络的初始化，进而建立多级离心泵BP神经网络的性能预测模型；

c、本实施例中，设定BP神经网络训练误差e为1e-5。通过对三次样条差值法获得的另外10组测试数据和所述BP神经网络的性能预测模型的实际输出进行比较，若小于BP神经网络训练误差e则证实BP神经网络的性能预测模型的正确性。否则，继续优化训练直至满足训练误差e要求。

图4为BP神经网络结构图。本实施例中，BP神经网络由输入层、输出层和隐层组成，上、下层之间各神经元实现全连接，即下层的每一单元与上层的每一单元都实现权连接，而每层各神经元之间无连接。其中输入是多级离心泵的实际输出流量Q、扬程H以及效率η，输出是多级离心泵轴的实际输入功率N。如图所示，共有11个隐层节点，其中隐含层以及输出层均使用光滑且连续的阈值函数-Sigmoid函数，可以将输出值限制在[0,1]。训练算法使用Levenberg-Marquardt(LM)算法，使得收敛速度加快，均方误差较小。且在BP神经网络训练时，尽量多的选择训练数据，使得最终的网络预测值和测试值接近。

其基本思想：学习过程由信号的正向传播和误差的反向传播两个过程组成。正向传播时，输入样本从输入层传入，经各隐层逐层处理后，传向输出层。若输出层的实际输出与期望输出(教师信号)不符，则转入误差的反向传播阶段。误差反传是把输出误差以某种形式通过隐层向输入层逐层反传，并将误差分摊给各层的所有单元，从而获得各层单元的误差信号，此误差信号即作为修正各单元权值的依据。这种信号正向传播和误差反向传播的各层权值调整过程，是周而复始地进行的。权值不断调整的过程，也就是网络的学习训练过程。此过程一直进行到网络输出的误差减少到可接受的程度，或是进行到预先设定的学习次数为止。

本实施例中采用MATLAB工具箱实现基于BP神经网络的多级离心泵性能预测模型。BP神经网络采用的是3-11-1的网络结构。经过训练的BP网络能够根据输入得到多级离心泵轴的预测功率N₁。

实际操作中经过5次迭代，BP神经网络的训练误差收敛于1.5886e-6，其均方误差为0.0351，这时网络性能达到要求，网络自动停止训练。可见将BP神经网络应用于多级离心泵的性能预测建模取得良好的效果。

Claims (2)

1.一种基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法，其特征是按如下步骤进行：

步骤1：根据异步电机的物理模型，建立由状态方程表达的异步电机数学模型；利用所述异步电机数学模型推导出以异步电机电气参数为未知变量的异步电机线性方程；对于所述异步电机线性方程，通过递推最小二乘法辨识所述异步电机电气参数，所述异步电机电气参数包括定子绕组电阻R_s、转子绕组电阻R_r、定子自感l_s、转子自感l_r以及定子与转子同轴等效绕组间互感l_m；

步骤2：以多级离心泵的实际输出扬程H、流量Q以及多级离心泵效率η作为输入变量，以多级离心泵轴的实际输入功率N作为输出变量，利用BP神经网络建立多级离心泵的性能预测模型，得到多级离心泵轴的预测功率N₁；

步骤3：按如下过程实现多级离心泵与异步电机的功率匹配；

a、利用步骤1所述的异步电机电气参数建立异步电机的T型等效电路，根据T型等效电路获得由式(1)所表征的异步电机输出功率P₂；

<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>U</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>s</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>s</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <msup> <mi>x</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：x_sσ：为定子漏抗，x_sσ＝ωl_s；x'_rσ为转子漏抗，x'_rσ＝ωl_r；其中：ω＝2πf，f＝50Hz；U₁为设定的恒转速n下的异步电机定子侧输入电压，s为恒转速n下的异步电机转差率，极对数n_p＝2；

b、利用步骤2所建立的多级离心泵的性能预测模型获得多级离心泵轴的预测功率N₁，由式(2)获得传动效率η_c；

异步电机输出功率P₂×传动效率η_c＝多级离心泵轴的预测功率N₁ (2)

在所述设定的恒转速n状态下，实时测量获得异步电机效率η₁以及多级离心泵效率η，由式(3)获得机泵效率η₂：

传动效率η_c＝机泵效率η₂/(异步电机效率η₁×多级离心泵效率η) (3)

最终获得满足式(2)的异步电机多级离心泵系统，实现复杂系统的建模。

2.根据权利要求1所述的基于功率匹配的异步电机多级离心泵系统建模方法，其特征是所述步骤1中通过递推最小二乘法辨识所述异步电机电气参数是按如下过程进行：

a、所述由状态方程表达的异步电机数学模型为ABC三相坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(4)和式(5)所示：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

u_A、u_B和u_C分别为定子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

u_a、u_b和u_c分别为转子侧A相、B相和C相的各相电压瞬时值；

i_A、i_B和i_C分别为定子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

i_a、i_b和i_c分别为转子侧A相、B相和C相的各相电流瞬时值；

ψ_A、ψ_B和ψ_C为定子侧A相、B相和C相的各相绕阻全磁链；

ψ_a、ψ_b和ψ_c为转子侧A相、B相和C相的各相绕组全磁链；

L_AA、L_BB、L_CC、L_aa、L_bb和L_cc为各绕组的自感；

L_AB、L_AC、L_Aa、L_Ab、L_Ac、L_BA、L_BC、L_Ba、L_Bb、L_Bc、L_CA、L_CB、L_Ca、L_Cb、L_Cc、L_aA、L_aB、L_aC、L_ab、L_ac、L_bA、L_bB、L_bC、L_ba、L_bc、L_cA、L_cB、L_cC、L_ca和L_cb为各绕组之间的互感；

p为微分算子，p＝d/dt；

利用3/2坐标变换，将由式(4)和式(5)表达的异步电机电压、磁链状态方程转换为αβ两相静止坐标系下的异步电机电压、磁链状态方程，如式(6)和式(7)所示：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

u_sα和u_sβ分别为定子侧α相和β相各相电压瞬时值；

u_rα和u_rβ分别为转子侧α相和β相各相电压瞬时值；

i_sα和i_sβ分别为定子侧α相和β相各相电流瞬时值；

i_rα和i_rβ分别为转子侧α相和β相各相电流瞬时值；

ψ_sα和ψ_sβ分别为定子侧α相和β相各相全磁链；

ψ_rα和ψ_rβ分别为转子侧α相和β相各相全磁链；

l_s＝l_l1+l_m，l_r＝l_l2+l_m，其中：l_s为定子自感、l_r为转子自感，l_m为定子与转子同轴等效绕组间互感；l_l1为定子漏感，l_l2为转子漏感；

由式(6)和式(7)得到式(8)：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>pl</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>pl</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>pl</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>pl</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>pl</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>pl</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>pl</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>pl</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为设定的恒定角速度；

利用式(8)推导得出由式(9)和式(10)表达的异步电机线性方程：

<mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>di</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>du</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>di</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>di</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>du</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>di</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

σ为电机漏磁系数，τ_r为转子电磁时间常数，则有式(11)：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

b、设定离散化采样周期为T，对由式(9)和式(10)表征的异步电机线性方程进行离散化处理，得到由式(12)所表征的异步电机的离散线性方程：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>Ti</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>Ti</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>Ti</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>Ti</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，u_sα(k)和u_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电压值；i_sα(k)、i_sβ(k)分别为第k个采样周期αβ两相静止坐标系下定子侧α相和β相各相电流值；

令：θ_k为第k个采样周期的待估参数，θ_k＝[2+k₅T 1-k₁T²-k₅T 1+k₂T k₄ k₃-k₄T]^T；根据递推最小二乘法进行参数辨识的线性系统标准形式对式(12)进行拓展，得式(13)：

Y(k)＝Φ(k)θ_k (13)

其中，Y(k)＝[y(1)，y(2),...,y(k)]^T，根据递推最小二乘估计原理，利用k+1次采样数据所得的待估参数值为：

其中，I为单位矩阵，P(k)＝[Φ^T(k)Φ(k)]^-1；

选取前m次采样数据，m＜k；利用式(15)计算获得初始值和P(0)：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

当递推最小二乘法的参数估计满足精度要求时，停止递推运算，并由式(11)计算得到建立异步电机T型等效电路需要的电气参数R_s、R_r、l_s、l_r以及l_m。