CN104662542A - 流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及程序 - Google Patents

Abstract

本发明为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语，对所赋予的用语反复赋予规定在流动形式中加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

Description

流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及程序

技术领域

本发明涉及流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及程序。

背景技术

过去，为了进行气流或水流等的流场中的最佳的结构物的设计，除了风洞实验以外，还使用基于大规模的数值计算的流体模拟。

例如，开发了以下最优化技术，使用退火法(Simulated Annealing法)或遗传算法等，来一边使结构物的设计变量变化，一边反复进行针对该结构物的流体模拟。

另外，近年来，开发了能构建流体等的数理模型来数理地处置流动的形式的拓扑的算法和程序。

先行技术文献

非专利文献

非专利文献1：Tomasz Kaczynski、Konstantin Mischaikow、MarianMrozek著“Computational Homology”Springer、2000年

发明内容

发明要解决的课题

但是，在现有的结构物设计的最优化手法中，由于反复进行的大规模计算会招致计算时间和设计成本的增大化，在这些的制约上，有不得不限定搜索范围、不能排除导出的最佳的结构物是局部最佳的结构物的可能性的问题点。即，过去，将搜索范围放在哪里，不得不依赖技术者的经验和直觉，存在根据将搜索范围设定在哪里而左右导出的结构物的最优化结果的问题。

本发明鉴于上述问题点而提出，目的在于，提供在进行流场中的结构物设计时能不依赖经验或直觉容易地处置对结构物能采用的流动形式的流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及程序。

用于解决课题的手段

为了达成这样的目的，本发明的流动形式的用语表现方法是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现方法，其特征在于，包含如下步骤：形式用语赋予步骤，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语；和操作用语赋予步骤，对在上述形式用语赋予步骤赋予的用语反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述具有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现方法，操作用语赋予步骤，反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；形式用语赋予步骤，对在上述操作用语赋予步骤赋予的用语赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法在上述记载的流动形式的用语表现方法的基础上，特征在于，上述形式用语赋予步骤赋予除了规定在上述有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语以外、还追加在有2个孔的二重连结外部区域中没有吸入涌出对的形式的合计3个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法在上述记载的流动形式的用语表现方法的基础上，特征在于，上述合计3个种类的流动形式是如下形式：1)具有吸入涌出对、具有2个ss--鞍连接的形式I；2)具有上述吸入涌出对、具有1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式II；以及3)没有上述吸入涌出对的形式O。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法在上述记载的流动形式的用语表现方法的基础上，特征在于，上述形式用语赋予步骤包含：I分类步骤，判定在会形成上述具有N个孔的多重连结外部区域的流线图中是否存在ss--鞍连接，在存在ss--鞍连接的情况下赋予上述形式I的用语；和II/O分类步骤，在上述I分类步骤不存在ss--鞍连接的情况下，判定在上述流线图中是否存在ss-鞍连接，在存在ss-鞍连接的情况下赋予上述形式II的用语，另一方面，在不存在ss-鞍连接的情况下赋予上述形式O的用语。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法在上述记载的流动形式的用语表现方法的基础上，特征在于，上述相位几何学上能采用的5个种类的操作是如下操作：1)将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的A₀操作；2)将1条ss-orbit置换为2个ss--鞍连接和新追加的边界上的2个-saddle的A₂操作；3)将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的B₀操作；4)将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个-saddle并以1条-鞍连接相连那样的轨道的B₂操作；以及5)在已经具有2k个(k＞0)-saddle的边界新添加2个-saddle并以1条-鞍连接相连、并在内部放置新添加的孔的C操作。

另外，本发明的流动形式的用语表现方法在上述记载的流动形式的用语表现方法的基础上，特征在于，上述操作用语赋予步骤在赋予规定上述5个种类的操作的用语的情况下，1)以存在1条ss-orbit为条件，赋予规定上述A₀操作或上述A₂操作的用语；2)以存在1条封闭轨道为条件，赋予规定上述B₀操作或上述B₂操作的用语；3)以存在具有-saddles的边界为条件，赋予规定上述C操作的用语。

另外，本发明涉及流动形式的用语表现装置，本发明的流动形式的用语表现装置是至少具备控制部、相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现装置，上述控制部具备：形式用语赋予单元，其赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语；和操作用语赋予单元，其对由上述形式用语赋予单元赋予的用语反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述具有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

另外，本发明的流动形式的用语表现装置是至少具备控制部、相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现装置，其特征在于，上述控制部具备：操作用语赋予单元，其反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述具有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；和形式用语赋予单元，其对由上述操作用语赋予单元赋予的用语赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语。

另外，本发明涉及程序，本发明的程序是用于使至少具备控制部的计算机执行的程序，其特征在于，在上述控制部中执行如下步骤：形式用语赋予步骤，为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语；和操作用语赋予步骤，对在上述形式用语赋予步骤赋予的用语反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

另外，本发明的程序是用于使至少具备控制部的计算机执行的程序，其特征在于，在上述控制部中执行如下步骤：操作用语赋予步骤，为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，反复赋予规定在上述流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；和形式用语赋予步骤，对在上述操作用语赋予步骤赋予的用语赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语。

另外，本发明涉及记录介质，特征在于，记录上述记载的程序。

发明的效果

根据本发明，为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语，对所赋予的用语，反复赋予规定在流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一者的用语，由此形成与有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。由此，本发明起到能不依赖经验或直觉容易地用用语表现处置对结构物能采用的流动形式的效果。例如，在假定均匀流的桥梁、列车、汽车或航空器等的结构物的设计中，能不依赖经验或直觉地导出对结构物能采用的全部流动形式，并且能通过用语表现的一致来确认某流动形式与能采用的全部流动形式的哪一者对应。由此，在结构物的设计中，能掌握包罗哪个范围。另外，能预先在能采用的全部流动形式当中决定最佳的流动形式(例如在围油栏的设计中能封入的流动形式)，在合适的搜索范围进行基于有效率的模拟的最佳设计。

另外，根据本发明，在上述中，赋予规定除了在有1个孔的单连结外部区域相位几何学上能采用的2个种类的流动形式以外还追加在有2个孔的二重连结外部区域没有吸入涌出对的形式的合计3个种类的流动形式的用语当中的任意一者的用语。由此，本发明起到能包含假定均匀流的流场和未假定均匀流的流场都包含在内，容易地处置全部能采用的流动形式的效果。

另外，根据本发明，在上述中，合计3个种类的流动形式是如下形式：1)具有吸入涌出对、具有2个ss--鞍连接的形式I；2)具有上述吸入涌出对、具有1个鞍点、将其连结的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式II；以及3)没有上述吸入涌出对的形式O。由此，本发明起到能对成为基本的全部流动形式赋予形式用语、能处置具体的流动形式的用语表现的效果。

另外，根据本发明，在上述中，判定在会形成有N个孔的多重连结外部区域的流线图中判定是否存在ss--鞍连接，在存在ss--鞍连接的情况下赋予形式I的用语，在不存在ss--鞍连接的情况下，判定在流线图是否存在ss-鞍连接，在存在ss-鞍连接的情况下赋予形式II的用语，另一方面，在不存在ss-鞍连接的情况下赋予形式O的用语。由此，本发明起到能容易地掌握某流动形式属于成为基本的3个种类的流动形式当中的哪一者。

另外，根据本发明，在上述中，相位几何学上能采用的5个种类的操作是如下操作：1)将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的A₀操作；2)将1条ss-orbit置换为2个ss--鞍连接和新追加的边界上的2个-saddle的A₂操作；3)将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的B₀操作；4)将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个-saddle并以1条-鞍连接相连那样的轨道的B₂操作；以及5)在已经具有2k个(k＞0)-saddle的边界新添加2个-saddle并以1条-鞍连接相连、并在内部放置新添加的孔的C操作。由此，本发明起到在进行在流动形式附加相位几何学上的孔的操作的情况下，能处置具体的操作用语的用语表现这样的效果。

另外，根据本发明，在上述中，在赋予规定5个种类的操作的用语的情况下，1)以存在1条ss-orbit为条件，赋予规定A₀操作或A₂操作的用语；2)以存在1条封闭轨道为条件，赋予规定B₀操作或B₂操作的用语；3)以存在具有-saddles的边界为条件，赋予规定C操作的用语。由此，起到能形成能相位几何学地进行操作的在操作中限定的用语表现的效果。

附图说明

图1是在本实施方式的概要中示出的流程图。

图2是示意地表示结构稳定的流动的形式的图。

图3是记述全部进行区域中的结构稳定的流动的相位上的分类的特征性的轨道(流线)的图。

图4是示意地表示成为初始结构的3个种类的流动形式的图。

图5是示意地表示附加1个孔来构成结构稳定的流动的5个种类的操作的图。

图6是表示有2个结构物和均匀流的情况下的流动形式的全分类的图。

图7是表示运用本实施方式的本用语表现装置100的一例的框图。

图8是表示形式用语的分配处理的一例的流程图。

图9是表示算法B中的I序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。

图10是表示算法B中的I序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。

图11是表示算法B中的II序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。

图12是表示算法B中的O序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。

图13是表示算法B(I、II-Word alg)中的I、II序列的操作用语的分配处理的其它示例的流程图。

图14是表示算法B(I、II-Word alg)中的I、II序列的操作用语的分配处理的其它示例的流程图。

图15是表示算法B(0-Word alg)中的O序列的操作用语的分配处理的其它示例的流程图。

图16是表示I序列中的算法A的处理的一例的流程图。

图17是表示II序列中的算法A的处理的一例的流程图。

图18是表示O序列中的算法A的处理的一例的流程图。

具体实施方式

以下基于附图来详细说明本发明所涉及的流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及、程序的实施方式。另外，并非通过本实施方式限定本发明。

特别在以下的实施方式中，对在二维流体的模拟中运用本发明的示例进行说明，但并不限于这种情况，对三维流体的模拟中的任意的截面(结构物的截面等)也同样能运用本发明。

[本发明的实施方式的概要]

以下参考图1来说明本发明的实施方式的概要，之后详细说明本实施方式的构成以及处理等。在此，图1是本实施方式的概要所示的流程图。

如图1所示，首先，本实施方式为了形成相位几何学上具有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中在相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语(步骤SA-1)。在此，本实施方式也可以赋予规定除了上述的2个种类的流动形式以外再追加了在有2个孔的二重连结外部区域没有吸入涌出对的形式的合计3个种类的流动形式的用语(称作「形式用语」)当中的任意一者的用语。另外，关于在没有均匀流的湖等的封闭水域的结构物的设计，也可以仅使用在有2个孔的二重连结外部区域没有吸入涌出对的形式。

并且，本实施方式对步骤SA-1所赋予的用语赋予规定在流动形式加上孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语(称作「操作用语」)当中的任意一者的用语(步骤SA-2)，通过反复进行该步骤SA-2的处理直到孔的数量成为N个为止(步骤SA-3)，来形成与有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

在此，在本实施方式中，所谓「多重连结外部区域」，是指在处于二维(平面)中的区域开多个孔的区域。在此所指的「孔」这样的表现是数学上的抽象表现，在应用上可以是多种多样的表现形态。例如，在关注河川的表面的流动的情况下，若是在那里有多个沙洲的情况、或者插着几个桥墩的状況，则就能将该区域作为多重连结外部区域来处置。此外，海洋上有岛屿的情况下也是多重连结外部区域。换言之，将「在流动当中有多个障碍物」这样的流动在本实施方式中作为多重连结外部区域中的流动来处置。另外，孤立的涡结构或在周围具有周期轨道这样的流动结构(椭圆型的驻点等)也能视作「孔」。

根据本实施方式，通过对流动形式分配用语表现，能进行多重连结外部区域中的流动的相位上的分类。所谓“相位上”是数学的专门用语，是指也被称作拓扑(相位几何学)的几何学的一个领域。在古典几何学中，三角形和四角形因其角的数量的不同而被视作不同的图形，但在相位几何学的立场上，不去看这样这样的细节的信息，站在例如使橡皮圈变形而使三角形和四角形能相互转换的立场上，将它们视作相同图形。即将全部的多角形都视作和圆相同。另一方面，在存在在圆中挖通另一个圆这样的圆环区域时，由于圆和圆环区域在1个橡皮圈的变形不能相互变形，因此视作不同的图形。在多重连结外部区域中，若开的孔的数量不同，则视作这些图形在相位上不同，只要孔形状相同，则不管该孔的形状是圆、是三角形、还是线段，都视作在相位上相同。根据这样的理由，由于给流动的区域加上特征的仅是孔的数量，因此在本实施方式中，对孔的数M+1，将多重连结外部区域表现为D_ζ(M)。例如，在孔仅有1个的情况下，是单连结外部区域D_ζ(0)，在孔有2个的情况下，成为二重连结外部区域D_ζ(1)。

在对流动的相位上的分类进行处置时捕捉对流动加上特征的某个特定的结构(称作「相位结构」)，在具有该特定的结构的流动有2个时，在不能通过特定的结构的连续的(即没有中断或粘连)变形使其双方变形时，将该双方视作不同的流动。在这样的流动的分类中，在本实施方式也是主要处置结构稳定的流动。所谓结构稳定，是指即使在所给出的流动中加入小的扰乱(错乱)，流动的特定的相位结构也不发生变化。虽然这对全部会出现的流动的形式加入某种限制，但由于结构稳定的流动在实用上重要，因此该限制不会特别成为问题。即，这是因为，通常在观测流动的样子、或者通过计算机将流动的样子可视化的情况下，由于会带入观测误差或计算误差，因此易于观测到不依赖于这样的误差的流动结构。

[流动的构成要素的说明]

在此，参考图2～图4来说明在本实施方式中处置的流动的构成要素。本实施方式中的所谓「流动」是非压缩流动。所谓流体的非压缩性，是指即使施加力也几乎不改变其体积的性质。通常的水和大气的流动在以日常生活的尺度来考虑的情况下，在这样的流动框架下考虑大致也没关系。另外，本发明并不限于此，也可以在计算上处置有压缩性的流动。

本实施方式中处置的流动的构成要素是以下3个。一个是障碍物，一个是涡(vortex)，一个是均匀流(uniform flow)。障碍物是多重连结外部区域中的孔，其形状即使在考虑相位上的分类的基础上设为圆，也能从一般的流体的数学理论推导出不会对数学上给出的结果带来影响。在此，图2是示意地表示结构稳定的流动的形式的图。另外，图2(c)示意地表示具有4个鞍点的边界。

如图2(a)所示那样，涡是做出绕其旋转的流动的要素。所谓均匀流，若以河的流动来说，则是基本的流动，是横穿区域整体那样的流动。将构成均匀流的要素称作吸入涌出对(1-source-sink)(参考数学的定义Definition 2.1)。

[数式1]

定义2.1：如果满足以下条件，则点p∈D_ζ(M)被称为n-源-汇点：是由复势生成的D_ζ(M)\{p}上的向量场，该复势的流函数用ψ来表示，针对ψ，存在由p的邻域U与从U到单位圆的同胚映射h(其中，h(p)＝0)构成的对，使得在与该圆D相关联的极坐标下

在此，不称作均匀流而是称作吸入涌出对是有理由的。为了该理由的说明而要在以下进行几个数学上的解说。在存在均匀流时，认为的流动的区域是无限扩展的平面，是在这当中埋入多个孔(障碍物)的多重连结外部区域，但这样示意地(Schematic)表现这样的流动上，难以进行处置。为此，通过数学中的被称作立体图形投影(立体投影)的投影法将平面投影到球面上。这种情况下，能使平面中的无限远点与球面的北极对应，使平面的原点与南极对应。

若设为这样，则均匀流成为球面成为北极中的流动的涌出和吸入的对这样的流动结构，在数学上示出与图2(b)这样的流场对应。进而为了示意地表现流场，由于利用球面是对称性高的形状这一点，可以将北极和南极的位置适当错开，因此若在将无限远点对到南极，将某圆形的孔(障碍物)的中心对到北极后，再度使用立体图形投影投影到平面，则靠近与南极对应的原点附近能进行图2(b)那样的流动。由于进一步将在无限远点具有中心的圆边界投影到平面的外侧圆边界，因此作为结果，平面整体的流场例如能表现为图2那样形态的有界的区域。因此，图2那样的表现通过合适的投影法而与在平面整体中进入均匀流的流动等价。在本实施方式的说明中，由于在示意地表示流动上便利，因此使用这样的投影法在图中表现。

图3是记述全部进行这样的区域中的结构稳定的流动的相位上的分类的特征性的轨道(流线)的图。如图3(a)所示那样，首先将从吸入涌出对出来又返回自己自身的轨道称作ss-orbit。接下来，如图3(b)所示那样，将从吸入涌出对出来在边界上相连的轨道称作ss-connection，如图3(c)所示那样，将该轨道相连的边界上的点称作ss--saddle。

另外，如图3(e)所示那样，将不是从吸入涌出对、而是从某边界上的点出来并与相同的边界上的点相连的轨道称作-鞍连接，如图3(d)所示那样，将由此而相连的边界上的点称作-saddle。另外，将图3(h)所示那样的不在边界上的点称作鞍点(鞍点)，如图3(f)所示那样，在从吸入涌出对出来的轨道中，将与该鞍点相连的轨道称作ss--鞍连接。另外，如图3(g)所示那样，将做出边界和涡的旋转的封闭曲线轨道称作封闭轨道，如图3(i)所示那样，将从鞍点出来并返回其自身那样的轨道称作同宿鞍连接。能在数学上证明，成为对象的结构稳定的流动只能通过这些轨道的组合来表现。

在本实施方式中，在上述的步骤SA-2，通过孔是数量有M个的多重连结外部区域D_ζ(M-1)的流动添加1个孔和与其相伴的流动的结构，来归纳地构成多出1个孔的多重连结外部区域D_ζ(M)的结构稳定的流场。由此，能在步骤SA-1用最简单的孔为1个的单连结外部区域D_ζ(0)、二重连结外部区域D_ζ(1)来给出成为它们的归纳的构成的初始结构的区域。

具体地，上述的合计3个种类的流动形式是如下形式：

1)具有吸入涌出对、具有2个ss--鞍连接的形式I；

2)具有吸入涌出对、具有1个鞍点、将它们相连的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式II；以及

3)没有吸入涌出对的形式O。

在此，图4是示意地表示成为初始结构的3个种类的流动形式的图。

即，如图4(a)和(b)所示那样，处于孔为一个的单连结外部区域D_ζ(0)的结构稳定的流动存在形式I和形式II这2个种类。这些形式都具有吸入涌出对，在数学上能证明只有这2个种类。由于对假定均匀流的具有吸入涌出对那样的流动，原则上二重连结外部区域D_ζ(1)由它们构成，但是从这里起不构成没有吸入涌出对的流动，因此为了构成该流动所需要的初始流动是图4(c)中示意地示出的形式O。另外，这些相位结构为了表现的简便度，将吸入涌出对图示为被圆包围的S，ss-orbit和封闭轨道由于存在于无限处，因此不予表现，以后示意地如图4(d)或(e)那样简略表征。另外，如图4(c)所示那样，将没有吸入涌出对的二重连结外部D_ζ(1)中的结构稳定的流动的形式“封闭轨道”也全都不标出，如图4(f)那样简略记述。

[操作用语的说明]

为了归纳地构成结构稳定的流动，参考图5以及图6来说明追加1个孔和与其相伴的流动的结构这样的「操作」。即，对在孔的数量有M个的多重连结外部区域D_ζ(M-1)的流动中加进1个孔来求取多重连结外部区域D_ζ(M)的流动的操作进行说明。

在上述的步骤SA-2中，相位几何学上能采用的5个种类的操作是如下操作：

1)将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的A₀操作；

2)将1条ss-orbit置换为2个ss--鞍连接和新追加的边界上的2个-saddle的A₂操作；

3)将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的B₀操作；

4)将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个-saddle并以1条-鞍连接相连这样的轨道的B₂操作；以及

5)在已经具有2k个(k＞0)-saddle的边界新添加2个-saddle并以1条-鞍连接相连、并在内部放置新添加的孔的C操作。

在此，图5是示意地表示添加1个孔来构成结构稳定的流动的5个种类的操作的图。

如图5(a)所示那样，操作A₀和A₂对1条ss-orbit进行。另外，如图5(b)所示那样，操作B₀和B₂对1条封闭轨道进行。另外，如图5(c)所示那样，操作C对已经具有-saddles的边界进行。另外能在数学上证明，能在维持结构稳定性的同时能够实现其的操作只有上述这5个种类(Theorem3.1、Corollary3.1、Theorem3.2参考)。

[数式2]

定理3.1(定理2.3.8，第74页[11])：假定V是紧致可定向曲面上的C^r-哈米顿向量场。当且仅当V是正则的且所有(-)鞍连接是自连接的，V在中结构稳定。

[数式3]

推论3.1：假定哈密顿向量场V在中结构稳定。则可以用从初始模式O开始的操作序列来表示V。

证明：根据定理3.1，鞍连接图由同宿鞍连接和将两个-鞍在相同边界处加以连接的-鞍连接构成。请回忆：D_ζ(M)的欧拉数是1-M。由于V是正则的，我们可以假定存在k₁个鞍以及k₂个-鞍。根据庞加莱-霍普夫定理，这些数满足M-1＝k₁+k₂/2。

我们将通过在M上的归纳来证明上述断言。假定M＝1。则k₁＝k₂＝0且因此不存在鞍和-鞍。因此，V是正则的且我们得到O。假定M＞1。我们称如果满足以下条件则鞍连接中的连接分量是最内侧的：其不将其它鞍和-鞍作为边界。如果在D_ζ(M)中V的鞍连接图中的最内侧分量是同宿鞍连接(相应地，具有两个-鞍的-鞍连接)则从D_ζ(M-1)上的结构稳定的哈密顿向量场中通过操作B₀(相应地，B₂)来获得V。通过归纳假设，假定表示为OO₁...O_M-2，则V具有用语表现OO₁...O_M-2B₀(相应地OO₁...O_M-2B₂)。否则所有最内侧分量是具有多于两个-鞍的-鞍连接。则从D_ζ(M-1)上的结构稳定的哈密顿向量场中通过操作C(相应地，B₂)来获得V。因此，V具有用语表现OO₁...O_M-2C。

[数式4]

定理3.2：当且仅当满足以下条件，哈密顿向量场是结构稳定的：

(1)V对1-源-汇点的补的约束是正则的，

(2)所有鞍连接是同宿连接，

(3)所有-鞍连接对位于相同边界处的两个-鞍加以连接。

证明：显然正则性是必要的。因此，我们可以假定V对1-源-汇点p的补的约束是正则的。现在假定在两个不同鞍p和q之间存在异宿鞍连接。则满足H(p)＝H(q)，其中，H表示的哈密顿算符。我们将证明当我们对向量场进行扰动时，能量等式不成立。为了实现这点，我们如下引入哈密顿向量场。令b：[0，1]→[0，1]是光滑非增函数，使得对于对于b(r)＝0，对于在该情况下，我们通过在单位元U的极坐标(r，θ)下的f(r，θ)：＝b(r)来定义轴对称函数f：U→[0，1]。令V_f是根据f定义的U上的哈密顿向量场。则对于任何f(r，θ)的轮廓线是闭合轨道。对于任意ε＞0，我们通过在p周围的开单位圆U上的来定义D_ζ(M)上的函数以及在其他情况下则是光滑函数且因此定义了哈密顿向量场由于因此不存在连接p和q的轨道。因此，V不是结构稳定的。

如果在具有相同能量水平H(p)＝H(q)的不同边界处的两个-鞍p和q之间存在-鞍连接。则我们可以如下证明向量场V不是结构稳定的。考虑在具有p的圆形边界周围的[0，∞)×S²中的环[0，1)×S¹，我们可以定义扰动哈密顿向量场其是通过在该环中使用函数b(r)对H进行扰动根据H来获得的，其能量等式不再成立。

相反，假定(1)、(2)和(3)成立。通过推论2.1，V在1-源-汇点处局部结构稳定。令是V的小扰动向量场。则我们可以假定存在1-源-汇点的小邻域U，在其上V及其小扰动是相同的。因此，足以证明固定了U的的任何小扰动与是拓扑等价的。由于1-源-汇点的邻域中的流线可以通过识别中心根据两个中心周围的流线获得，我们可以将V|_U替换为具有两个中心的U上的某个向量场。则所有ss-(-)鞍连接被-鞍连接所替代。根据定理3.1，作为结果的向量场V是结构稳定的。因此，与是拓扑等价的。

由于通过进行这些操作从在步骤SA-1给出的初始结构的3个种类的流动形式I、II、O起1个1个地增加孔(M→M+1)，归纳地构成具有众多孔的区域中的流动，因此在本实施方式中，通过将表征该操作的操作用语的串视作字符串来列举，能得到流场的用语表现(Word represetnation)。在此，图6是表示有2个结构物和均匀流的情况下的流动形式的全分类的图。如图6所示那样，通过对单连结外部区域D_ζ(0)中的初始结构的形式I、II赋予操作用语，能记述二重连结外部区域D_ζ(1)中的全部流动形式。其中，图6所示的全部流动形式并未成为2个种类(I、II)×5个种类(A₀、A₂、B₀、B₂、C)共计10个种类。即，操作用语并非能任意排列5个种类的操作用语，出于数学上的理由而加上了各种制约。

这里，如以下那样对制约进行说明。即，使用图5而如上述那样，由于操作A₀和A₂对1条ss-orbit进行，因此作为进行该操作的前提，1条ss-orbit的存在不可或缺。另外，由于操作B₀和B₂对1条封闭轨道进行，因此作为进行该操作的前提，1条封闭轨道的存在不可或缺。另外，由于操作C对具有-saddles的边界进行，因此作为进行该操作的前提，具有-saddles的边界的存在不可或缺。由此，根据从I、II、O的哪里起开始形式用语，排列方法的规则有所不同。以下说明基于上述的制约条件而导出的从各形式用语I、II、O起开始的字符串的排列方法的规则。

首先，在从没有涌出吸入对的O的形式用语起开始的情况下，有下面那样的规则。对从O起开始的用语表现而言，为了使其表征结构稳定的流动，以下是充分必要的。

O-1)实际能实施的操作仅是B₀、B₂、C，其结果，从O起开始的用语表现列举这3个用语。

O-2)为了在操作串的用语表现中包含C的用语，在这以前必须存在B₂。

将这样的字符串称作O序列的用语(O-Word)，能在数学上证明该规则的正确性(参考Lemma 3.1)。

[数式5]

引理3.1：令OO₁...O_M-1是操作序列，其中，O_i∈{B₀，B₂，C}。则以下是等价的。

1)该序列是D_ζ(M)中结构稳定的哈密顿向量场的用语表现。

2)对于满足O_i＝C的任何i，存在某个j＜i，使得O_j＝B₂。

接下来，对从形式用语I起开始的用语表现而言，需要以下的规则成立。

I-1)能实施的操作是A₀、A₂、B₀、B₂、C的全部，其结果，从I起开始的用语表现列举这5个种类的操作用语。

I-2)为了在操作串的用语表现中包含B₀或B₂的用语，在这以前必须存在C或A₂。

将这样的字符串称作I序列的用语(I-Word)，能在数学上证明该规则的正确性(参考Lemma3.3)。

[数式6]

引理3.3：令IO₁...O_k是运算序列，其中，对于i＝1，...，k，O_i∈{A₀，A₂，B₀，B₂，C}。则以下是等价的。

1)该序列是D_ζ(M)中具有1-源-汇点的结构稳定的哈密顿向量的用语表现。

2)对于满足O_i＝B₀或B₂的任何i＞1，存在某个j＜i，使得O_j＝A₀或C。

最后，对从形式用语II起开始的用语表现而言，需要以下的规则成立。

II-1)能实施的操作是A₀、B₀、B₂、C，其结果，从I起开始的用语表现列举4个用语。

II-2)为了在操作串的用语表现中包含C的用语，在这以前必须存在B₂。

将这样的字符串称作II序列的用语(II-Word)，能在数学上证明该规则的正确性(参考Lemma 3.4)。

[数式7]

引理3.4：令是运算序列，其中，对于i＝1，...，k，则以下是等价的。

1)该序列是D_ζ(M)中具有1-源-汇点的结构稳定的向量场的用语表现。

2)对于满足的任何i＞1，存在某个j＜i，使得

接下来，以下详细说明用于通过计算机实施上述的本实施方式的方法的装置构成和处理的细节。另外，也可以通过人或者计算机来实施基于以上的本实施方式，在由人实施的情况下也可以使用基于以下的实施方式的处理等。

[用语表现装置的构成]

接下来参考图7来说明本实施方式中的用语表现装置的构成。图7是表示运用本实施方式的本用语表现装置100的一例的框图，仅概念性地示出该构成当中的与本实施方式相关的部分。

如图7所示，本实施方式中的用语表现装置100概略地至少具备控制部102和存储部106，在本实施方式中还具备输入输出控制接口部108和通信控制接口部104。在此，控制部102是总括地控制用语表现装置100的整体的CPU等。另外，通信控制接口部104与连接到通信线路等的路由器等的通信装置(未图示)连接的接口，输入输出控制接口部108是与输入装置112和输出装置114连接的接口。另外，存储部106是容纳各种数据库和表等的装置。这些用语表现装置100的各部经由任意的通信路径连接成能进行通信。进而，该用语表现装置100经由路由器等的通信装置以及专用线等的有线或无线的通信线路与网络300可通信地连接。

容纳在存储部106中的各种的数据库和表(模拟结果文件106a、流线图文件106b、以及用语表现文件106c等)是固定盘装置等的存储单元。例如，存储部106容纳在各种处理中使用的各种程序、表、文件、数据库、以及Web页面等。

这些存储部106的各构成要素当中的模拟结果文件106a是存储由模拟部102a数理地模拟的表示模拟结果的数据的模拟结果存储单元。例如，模拟结果文件106a也可以是表示结构物的形状的设计变量的值、或者表示针对该结构物的给定的流体(海流或气流等)的流体力学的模拟结果(各空间坐标下的流体的压力或流动的方向等)的数据。另外，模拟结果文件106a也可以存储通过在风洞实验等的实验室内的模型测量等而事前经由输入装置112输入的数据，作为模拟结果。

另外，流线图文件106b是存储表示流线图等的流线数据的流线数据存储单元。例如，存储在流线图文件106b中的流线数据也可以是表示基于表示模拟结果的数据而由流线解析部102b解析的流线的数据。

另外，用语表现文件106c是存储用语表现数据的用语表现存储单元。例如，存储在用语表现文件106c中的用语表现数据是由形式用语和操作用语的组合构成的字符串等。

返回图7，输入输出控制接口部108进行输入装置112和输出装置114的控制。在此，作为输出装置114，除了监视器(包含家庭用电视机)以外，还能使用扬声器(另外，以下有将输出装置114记载为监视器的情况)。另外，作为输入装置112，能使用键盘、鼠标、以及麦克风等。

另外，在图7中，控制部102具有用于容纳OS(Operating System，操作系统)等的控制程序、规定各种处理过程等的程序、以及所需要数据的内部存储器。并且，控制部102通过这些程序等来进行用于执行各种处理的信息处理。控制部102功能概念上具备模拟部102a、流线解析部102b、形式用语赋予部102c、操作用语赋予部102d、以及、极大用语表现部102e。

这当中，模拟部102a是进行针对结构物的流体的模拟的模拟单元。在此，模拟部102a并不限于二维平面中的模拟，也可以进行三维空间中的流体的模拟。另外，模拟部102a也可以使用公知的最优化手法来进行结构物的最优化。例如，模拟部102a可以一边使用退火法或遗传算法等使决定结构物的形状的设计变量反复变化一边进行针对该结构物的流体模拟，来求取合适的结构物的形状(例如相对于水流的阻力较少的桥墩的形状等)。另外，在本实施方式中，模拟部102a将表示模拟结果的数据容纳在模拟结果文件106a中。例如，模拟部102a也可以容纳表示结构物的形状的设计变量的值、表示对于该结构物的给定的流体(海流或气流等)的流体力学的模拟结果(各空间坐标下的流体的压力、流动的方向、阻力等)的数据。

另外，流线解析部102b是进行流线解析的流线解析单元。在此，流线解析部102b也可以对模拟部102a的模拟结果进行流线解析来导出流线图。例如，流线解析部102b根据存储于模拟结果文件106a中的数值模拟或实验的数据，使用公知的手法来创建流线图。具体地，流线解析部102b在根据数值模拟结果计算全部鞍点和source-sink等之后，描绘全部具有与该点下的流动函数的值相同的值的流动函数的等高线，另外描绘全部具有与边界(boundary)上的流动函数的值相同的值的流动函数的等高线，由此能创建流线图。另外，在三维的模拟结果的情况下，流线解析部102b也可以在变换成结构物中截面中的二维的数据后再进行流线解析。设为截面的平面是任意的，但也可以适当地由流线解析部102b以沿流体的流动方向(均匀流)的方向的截面来变换成二维数据。例如，在列车、汽车或航空器等的交通工具中，也可以沿行进方向生成截面。另外，流线解析部102b也可以使用Computational Homology(非专利文献1)所记载的技术等，从流场提取满足条件的特征性的结构。另外，在本实施方式中，流线解析部102b将创建的流线图数据容纳在流线图文件106b中。

另外，形式用语赋予部102c是赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中在相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语(例如形式用语I、II)当中的任意一者的用语的形式用语赋予单元。在此，形式用语赋予部102c也可以赋予除了上述以外还追加了在有2个孔的二重连结外部区域没有吸入涌出对的形式的合计3个种类的流动形式的用语(即形式用语I、II、O)当中的任意一者的用语。更具体地，3个种类的流动形式是如下形式：

1)具有吸入涌出对、具有2个ss--鞍连接的形式I；

2)具有吸入涌出对、具有1个鞍点、将其连结的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式II；以及

3)没有吸入涌出对的形式O。

在此，形式用语赋予部102c可以进行I分类步骤和II/O分类步骤，其中，在I分类步骤中，在根据流线图求取用语表现的算法(称作「算法B」)中，判定在流线图中是否存在ss--鞍连接，在存在ss--鞍连接的情况下给出形式I的用语；在II/O分类步骤中，在I分类步骤中不存在ss--鞍连接的情况下，判定在流线图中是否存在ss-鞍连接，在存在ss-鞍连接的情况下给出形式II的用语，另一方面，在不存在ss-鞍连接的情况下给出形式O的用语。由此，形式用语赋予部102c能适当地判别流线图所属的序列(I序列、II序列、O序列)。

另外，操作用语赋予部102d是操作用语赋予单元，通过反复赋予规定在流动形式加进1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语(例如操作用语A₀、A₂、B₀、B₂、C)当中的任意一者的用语，来形成与有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。更具体地，5个种类的操作是如下操作：

1)将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的A₀操作；

2)将1条ss-orbit置换为2个ss--鞍连接和新追加的边界上的2个-saddle的A₂操作；

3)将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的B₀操作；

4)将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个-saddle并以1条-鞍连接相连这样的轨道的B₂操作；以及

5)在已经具有2k个(k＞0)-saddle的边界新添加2个-saddle并以1条-鞍连接相连、并在内部放置新添加的孔的C操作。

在此，操作用语赋予部102d也可以遵循以下的制约条件来赋予操作用语。即，操作用语赋予部102d在赋予5个种类的操作用语的情况下，也可以

1)以存在1条ss-orbit为条件，赋予操作用语A₀或A₂，

2)以存在1条封闭轨道为条件，赋予操作用语B₀或B₂，

3)以存在具有-saddles的边界为条件，赋予操作用语C。

另外，关于遵循该制约条件的操作用语赋予部102d的具体的处理的详细，参考流程图在后面叙述。另外，在本实施方式中，操作用语赋予部102d将对形式用语赋予的操作用语的字符串即用语表现容纳在用语表现文件106c中。

另外，极大用语表现部102e是将由形式用语赋予部102c以及操作用语赋予部102d形成的用语表现(由形式用语以及操作用语的组合构成的字符串)变换成极大用语的极大用语表现单元。即，在标出全部能采用的流动形式的算法(以下称作「算法A」)中，由形式用语赋予部102c以及操作用语赋予部102d形成的用语表现群虽然将流动形式全部标出，但存在规定相互相同的流动形式的用语表现、规定相互成为包含关系的流动形式的用语表现。由此，极大用语表现部102e进行处理，通过对这些用语表现群排除重复的用语表现、包含的用语表现等，来设为极大用语表现(maximal word representation)。例如，极大用语表现部102e遵循以下的表中示出的包含关系，交换用语表现来形成极大用语表现。另外，在下表中「＝」表示一致关系，「≤」或「≥」表示包含关系。唯一的例外是B₂和C，由于将其交换包含关系也不成立，因此不能将这两者交换，因而将这种情况象征性地表征为B₂C||CB₂。另外，关于遵循该关系式的极大用语表现部102e的具体的处理的详细，参考流程图在后面叙述。

[表1]

	A0	A2	B0	B2	C
						A0	＝	＝	≤	≤	＝
A2		＝	＝	＝	≤
						B0			＝	≤	≥
B2				＝	||
						C					＝

以上是本实施方式中的用语表现装置100的构成的一例。另外，用语表现装置100也可以经由网络300与外部系统200连接。这种情况下，通信控制接口部104进行用语表现装置100与网络300(或路由器等的通信装置)间的通信控制。即，通信控制接口部104具有经由通信线路与其它端末通信数据的功能。另外，网络300具有将用语表现装置100和外部系统200相互连接的功能，例如是因特网等。

另外，外部系统200经由网络300与用语表现装置100相互连接，具有提供与模拟结果数据或流线图数据等各种数据相关的外部数据库、用于使所连接的信息处理装置执行用语表现方法的程序等的功能。

在此，外部系统200也可以构成为WEB服务器或ASP服务器等。另外，外部系统200的硬件构成一般也可以由市售的工作站、个人计算机等的信息处理装置以及其附属装置构成。另外，外部系统200的各功能由外部系统200的硬件构成中的CPU、盘装置、存储器装置、输入装置、输出装置、通信控制装置等以及对它们进行控制的程序等实现。

以上，结束本实施方式的构成的说明。

[用语表现装置100的处理]

接下来，关于如此构成的本实施方式中的用语表现装置100的处理的一例，以下参考附图来详细说明。

[基本处理]

首先，再度参考上述的图1来说明由用语表现装置100执行的基本处理的一例。另外，以下的基本处理是不管在标出全部能采用的流动形式的算法A还是在根据流线图求取用语表现的算法B中都成为基本的处理。另外，在以下的示例中，先进行形式用语的赋予(步骤SA-1)，后进行操作用语的赋予(步骤SA-2)，但并不限于此，也可以先进行操作用语的赋予，后进行形式用语的赋予。

如图1所示那样，首先，形式用语赋予部102c赋予形式用语I、II当中的任意一者的用语(步骤SA-1)。在此，形式用语赋予部102c也可以赋予除了上述以外还追加了形式O的合计3个种类的形式用语I、II、O当中的任意一者的用语。更具体地，3个种类的形式用语是如下用语：

1)规定具有吸入涌出对、具有2个ss--鞍连接的形式的形式的用语I；

2)规定具有吸入涌出对、具有1个鞍点、将其连结的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式的形式用语II；以及

3)规定没有吸入涌出对的形式的形式用语O。

并且，操作用语赋予部102d对由形式用语赋予部102c赋予的形式用语赋予5个种类的操作用语A₀、A₂、B₀、B₂、C当中的任意一者的用语(步骤SA-2)。更具体地，5个种类的操作用语是如下用语：

1)规定将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的操作的操作用语A₀；

2)规定将1条ss-orbit置换为2个ss--鞍连接和新追加的边界上的2个-saddle的操作的操作用语A₂；

3)规定将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的操作的操作用语B₀；

4)规定将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个-saddle并以1条-鞍连接相连这样的轨道的操作的操作用语B₂；以及

5)规定在已经具有2k个(k＞0)-saddle的边界新添加2个-saddle并以1条-鞍连接相连、并在内部放置新添加的孔的操作的操作用语C。

另外，由于上述的操作是规定追加孔的情况下的操作，在对某流线图分配操作用语的算法B中，对该流线图进行与上述操作相反的操作(相反的置换操作)。

在此，由于上述的操作以ss-orbit或封闭轨道等的存在为前提，因此操作用语赋予部102d也可以遵循以下的制约条件来赋予操作用语。即，在操作用语赋予部102d赋予5个种类的操作用语的情况下，可以

1)以存在1条ss-orbit为条件，赋予操作用语A₀或A₂，

2)以存在1条封闭轨道为条件，赋予操作用语B₀或B₂，

3)以存在具有-saddles的边界为条件，赋予操作用语C。

然后，操作用语赋予部102d判定孔的数量是否达到N个(步骤SA-3)。例如，操作用语赋予部102d判定是否对孔为1个的单连结外部区域D_ζ(0)中的形式用语I、II直到孔成为N个为止赋予完(N-1)个操作用语。另外，操作用语赋予部102d判定是否对孔为2个的二重连结外部区域D_ζ(1)中的形式用语O直到孔成为N个为止赋予完(N-2)个操作用语。另外，在算法A中，将求取的多重连结外部区域的孔的数量设定为N个，但也可以不在算法B中预先设定孔的数量。在算法B的情况下，操作用语赋予部102d根据是否通过遵循针对流线图的操作用语的置换操作而流线图达到初始形式(I、II或O)，来判定孔的数量是否达到N个。

在孔的数量未达到N个的情况下(步骤SA-3“否”)，操作用语赋予部102d对到此为止创建的字符串进一步赋予操作用语(步骤SA-2)。

另一方面，在孔的数量达到N个的情况下(步骤SA-3“是”)，操作用语赋予部102d将到此为止创建的字符串作为用语表现容纳在用语表现文件106c中，并结束处理。

以上是本实施方式中的用语表现装置100的基本处理的一例。通过如此形成用语表现，能在结构物设计的最优化手法中利用。例如，用语表现装置100在算法A中将规定结构物能采用的全部流动形式的用语表现群存储在用语表现文件106c中，在算法B中，用用语表现来表征模拟结果与哪个流动形式对应。由此，能通过用语表现的一致来掌握由模拟部102a进行的搜索范围进行到全部流动形式当中的哪个范围。也可以在按照用语表现的一致不一致判断为搜索范围被限定在一部分的流动形式的情况下，模拟部102a进行在最优化手法中扩展搜索范围的处理。

例如，模拟部102a为了在退火法中摆脱局部极小，也可以将全局性参数T(温度)设定得较高，以使得相对于设计变量容许大的变更。除此以外，作为其它用途，也可以由利用者从用算法A导出的全部流动形式中设定所期望的形式(例如在围油栏的设计中能封入的流动形式)。这种情况下，模拟部102a也可以按照与规定所设定的所期望的形式的用语表现的一致不一致来进行调整，以使得搜索范围成为该所期望的形式。例如，也可以与上述同样，在退火法中，在搜索范围与所期望的形式不一致的情况下，模拟部102a将全局性参数T(温度)设定得较高，以使得相对于设计变量容许大的变更，另一方面，在搜索范围与所期望的形式一致的情况下，模拟部102a将全局性参数T(温度)设定得较低，来相对于设计变量谋求小的变更。

[算法B]

接下来，以上述的基本处理为基础，关于根据流线图来求取用语表现的算法B的处理的详细，以下参考图8～图15进行说明。

[B-1.形式用语的分配处理]

参考图8，以下说明上述的基本处理的步骤SA-1中的形式用语的分配处理。图8是表示形式用语的分配处理的一例的流程图。

在此，给出的流线图如图6所示那样，为了描绘的方便而描述记载为圆内的区域，但本算法本来是具有均匀流的非有界的区域中的流动的判定算法。由于通过数值模拟或实际的测量得到的流动是非有界的流场(从中切出需要的部分)的流线图，因此是否需要向圆内的区域的变换成为问题，但是从本申请的发明者们的锐意研讨的结果可知，在运用本算法时，不需要那样的变换。基于此，若对给出的流线图实施以下的处理，则获知了该流线图是I序列、II序列还是O序列。即，在实施以下的处理的情况下，不需要通过立体投影法等将流线图向圆内的区域的变换。

如图8所示那样，形式用语赋予部102c在根据流线图求取用语表现的算法B中，判定在在给出的流线图中是否存在ss--鞍连接(步骤SA-11)。

在判断为存在ss--鞍连接的情况下(步骤SA-11“是”)，形式用语赋予部102c赋予形式用语I(步骤SA-12)。即，将给出的流线图判定为I序列。

另一方面，在存在ss--鞍连接的情况下(步骤SA-11“否”)，形式用语赋予部102c判定在流线图中是否存在ss-鞍连接(步骤SA-13)。

然后，在判断为存在ss-鞍连接的情况下(步骤SA-13“是”)，形式用语赋予部102c赋予形式用语II(步骤SA-15)。即，将给出的流线图判定为II序列。

另一方面，在不存在ss-鞍连接的情况下(步骤SA-13“否”)，形式用语赋予部102c赋予形式用语O(步骤SA-14)。即，将给出的流线图判定为O序列。

以上是形式用语的分配处理的一例。

[B-2.I序列中的操作用语的分配处理]

接下来，关于算法B中的I序列的操作用语的分配处理的一例，参考图9以及图10来进行说明。图9以及图10是表示算法B中的I序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。

如图9所示那样，流线解析部102b根据存储于模拟结果文件106a的数值模拟和实验数据，通过流线解析创建流线图(步骤SB-1)。具体地，流线解析部102b在根据数值模拟结果计算全部鞍点和source-sink等之后，描绘全部具有与该点下的流动函数的值相同的值的流动函数的等高线，另外描绘全部具有与边界(boundary)上的流动函数的值相同的值的流动函数的等高线，由此能创建流线图。此外，流线解析部102b也可以使用Computational Homology(非专利文献1)所记载的技术等从流场提取满足条件的特征性的结构。另外，在本实施方式中，流线解析部102b将创建的流线图数据容纳在流线图文件106b中。另外，在数据管理上，也可以流线解析部102b给得到的全部线或鞍点、ss-orbits、-saddle、boundary、soure-sink赋予编号来处置流线图数据。由此，通过带上它们的包含关系并赋予其顺位来决定数据结构，以后的前处理和各序列的算法在计算机上变得易于处置。

然后，流线解析部102b对流线图实施前处理(步骤SB-2)。例如，流线解析部102b对给出的流线图实施以下3个前处理。另外，将实施这些操作的次数称作错误数，这成为能够用用语表现表征何种程度流线的指标。例如在旋流中，由于不仅有平面上的流体的运动，在平面的垂直方向上海流也在移动，因此通过进行以下的前处理，近似为平面状的流动，作为从真实值偏离进行了前处理的次数(错误次数)的指标。

1.若-saddle的稳定多样体、不稳定多样体或者极限集合包含sink、source的有限循环，则将其封闭并消去sink、source、有限循环。

2.将sink的(吸引)区域置换为中心/盘和同宿(-)鞍连接。

3.将source的(发散)区域置换为中心/盘和同宿(-)鞍连接。

然后，操作用语赋予部102d针对由流线解析部102b实施了前处理的流线图，判定是否存在-saddle(步骤SB-3)。

在存在-saddle的情况下(步骤SB-3“是”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界是否有具有ss--鞍连接的边界(步骤SB-5)。

在包含刚好存在2个-saddle的边界的具有ss--鞍连接的边界有k个的情况下(步骤SB-5“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语A₂(步骤SB-6)，流线解析部102b在流线图上消去这2个-saddles和边界(boundary)并置换为1条ss-orbit，进行k次这样的操作(步骤SB-7)。

另一方面，在没有包含刚好存在2个-saddle的边界的具有ss--鞍连接的边界的情况下(步骤SB-5“否”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界上是否有具有相同的边界上的-鞍连接的流动(步骤SB-8)。

在包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界有k个的情况下(步骤SB-8“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₂(步骤SB-9)，流线解析部102b在流线图上将以相同的边界上的-鞍连接连结的-saddle和边界(boundary)消去，并置换为1条周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SB-10)。

另一方面，在没有包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SB-8“否”)，操作用语赋予部102d判定在具有4个以上的-saddle的边界中，在相同的边界上的-鞍连接上是否有其内侧为中心/盘的边界(步骤SB-11)。

在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接中有k个其内侧为中心/盘这样的边界的情况下(步骤SB-11“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语C(步骤SB-12)，流线解析部102b在流线图上消去相同的边界上的-鞍连接、和通过其而连结的2个-saddle、被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SB-13)。

另一方面，在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接中没有其内侧为中心/盘这样的边界的情况下(步骤SB-11“否”)，由于存在最靠内侧的图样8(即在-saddle-connection中，其内侧的至少单方为中心/盘的边界)，因此将其数量设为k个，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SB-14)，流线解析部102b在流线图上从位于最靠内侧的图样8消去1个saddle和边界，并置换为包围中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SB-15)。在此，「图样8」由1个鞍点和将其相连的2个同宿connections构成，各同宿connection是指在其内部包围中心/盘那样的(设为8字那样的形状)的流动的结构。

然后，在进行过以上的处理后，将处理返回步骤SB-3，在还存在-saddle的情况下(步骤SB-3“是”)，用语表现装置100反复上述的处理。

另一方面，在没有了-saddle的情况下(步骤SB-3“否”)，如图10所示那样，操作用语赋予部102d判定是否存在鞍点(鞍点)(步骤SB-16)。

在存在鞍点的情况下(步骤SB-16“是”)，操作用语赋予部102d判定是否有存在于图样8形式中的鞍点(步骤SB-17)。

在有k个存在于图样8形式中的鞍点的情况下(步骤SB-17“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SB-18)，流线解析部102b在流线图上将位于最靠内侧的图样8形式置换为围绕1个中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SB-19)。

另一方面，在没有存在于图样8形式中的鞍点的情况下(步骤SB-17“否”)，操作用语赋予部102d赋予操作用语A₀(步骤SB-20)，流线解析部102b消去鞍点(鞍点)和将其连结的同宿connection以及被它们包围的中心/盘(步骤SB-21)。

然后，在进行过以上的处理后，处理返回到步骤SB-16，在还存在鞍点的情况下(步骤SB-16“是”)，用语表现装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有鞍点的情况下(步骤SB-16“否”)，用语表现装置100结束算法B中的I序列的操作用语的分配处理。另外，若从获得的字符串中选择1个A₂，将其置换为I并使之移动到字符串的排头，遵循规则将剩余的字符串排序，则能变换为极大用语(maximal word)。

[B-3.II序列中的操作用语的分配处理]

接下来，参考图11来说明算法B中的II序列的操作用语的分配处理的一例。图11是表示算法B中的II序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。另外，也可以与I序列的操作用语的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，通过流线解析进行流线图的创建和前处理。

如图11所示那样，操作用语赋予部102d对给出的流线图判定是否存在-saddle(步骤SC-1)。

在存在-saddle的情况下(步骤SC-1“是”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界中是否有具有该边界上的-鞍连接的边界(步骤SC-2)。

在有k个包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SC-2“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₂(步骤SC-3)，流线解析部102b在流线图上将相同的边界上的-saddle和-鞍连接置换为1条周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SC-4)。

另一方面，在没有包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SC-2“否”)，操作用语赋予部102d判定在具有4个以上的-saddle的边界中，在相同的边界上的-鞍连接是否有其内侧为中心/盘的边界(步骤SC-5)。

在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接有k个其内侧为中心/盘这样的边界的情况下(步骤SC-5“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语C(步骤SC-6)，流线解析部102b在流线图上消去相同的边界上的-鞍连接、和通过其而连结的2个-saddle、被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SC-7)。

另一方面，在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接没有其内侧为中心/盘那样的边界的情况下(步骤SC-5“否”)，由于存在位于最靠内侧的图样8，因此将其数量设为k个，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SC-8)，流线解析部102b在流线图上上将位于最靠内侧的图样8形式置换为包围1个中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SC-9)。

然后，在进行了以上的处理后，将处理返回到步骤SC-1，在还存在-saddle的情况下(步骤SC-1“是”)，用语表现装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有-saddle的情况下(步骤SC-1“否”)，操作用语赋予部102d判定是否存在鞍点(鞍点)(步骤SC-10)。

在存在鞍点的情况下(步骤SC-10“是”)，操作用语赋予部102d判定是否有存在于图样8形式中的鞍点(步骤SC-11)。

在有k个存在于图样8形式中的鞍点的情况下(步骤SC-11“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SC-12)，流线解析部102b在流线图上将位于最靠内侧的图样8形式置换为围绕1个中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SC-13)。

另一方面，在没有存在于图样8形式中的鞍点的情况下(步骤SC-11“否”)，由于存在鞍点和将其连结的同宿connection、以及被它们包围的中心/盘，因此将其数量设为k个，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语A₀(步骤SC-14)，流线解析部102b消去鞍点(鞍点)和将其连结的同宿connection、以及被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SC-15)。

然后，在进行过以上的处理后，将处理返回步骤SC-10，在还存在鞍点的情况下(步骤SC-10“是”)，用语表现装置100反复进行上述的处理。

另一方面，在已经没有鞍点的情况下(步骤SC-10“否”)，用语表现装置100结束算法B中的II序列的操作用语的分配处理。另外，若从获得的字符串中选择1个A₀，将其置换为II并使之移动到字符串的前端，如果遵循规则将剩余的字符串排序，则能变换成极大用语(maximal word)。

[B-4.O序列中的操作用语的分配处理]

接下来，参考图12来说明算法B中的O序列的操作用语的分配处理的一例。图12是表示算法B中的O序列的操作用语的分配处理的一例的流程图。另外，也可以与I序列的操作用语的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，通过流线解析进行流线图的创建和前处理。

如图12所示那样，操作用语赋予部102d对给出的流线图判定是否存在-saddle(步骤SD-1)。

在存在-saddle的情况下(步骤SD-1“是”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界是否有具有相同的边界上的-鞍连接的边界(步骤SD-2)。

在有k个包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SD-2“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₂(步骤SD-3)，流线解析部102b在流线图上消去以相同的边界上的-鞍连接连结的-saddle和边界(boundary)并置换为1条周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SD-4)。

另一方面，在没有包含刚好存在2个-saddle的边界的具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SD-2“否”)，操作用语赋予部102d判定在具有4个以上的-saddle的边界中，在相同的边界上的-鞍连接是否有其内侧为中心/盘的边界(步骤SD-5)。

在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接有k个其内侧为中心/盘这样的边界的情况下(步骤SD-5“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语C(步骤SD-6)，流线解析部102b在流线图上消去相同的边界上的-鞍连接、和通过其而连结的2个-saddle、被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SD-7)。

另一方面，在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接没有其内侧为中心/盘这样的边界的情况下(步骤SD-5“否”)，由于存在位于最靠内侧的图样8，因此将其数量设为k个，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SD-8)，流线解析部102b在流线图上将位于最靠内侧的图样8形式置换为包围1个中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SD-9)。

然后，在进行了以上的处理后，将处理返回到步骤SD-1，在还存在-saddle的情况下(步骤SD-1“是”)，用语表现装置100反复进行上述的处理。

另一方面，在已经没有-saddle的情况下(步骤SD-1“否”)，操作用语赋予部102d判定是否存在鞍点(鞍点)(步骤SD-10)。

在存在k个鞍点的情况下(步骤SD-10“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₀(步骤SD-11)，流线解析部102b在流线图上将位于最靠内侧的图样8形式置换为围绕1个中心/盘的周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SD-12)。

然后，在进行了以上的处理后，将处理返回到步骤SD-10，在还存在鞍点的情况下(步骤SD-10“是”)，用语表现装置100反复进行上述的处理。

另一方面，在已经没有鞍点的情况下(步骤SD-10“否”)，用语表现装置100结束算法B中的O序列的操作用语的分配处理。另外，若将O放在获得的字符串的排头，并遵循规则对其进行排序，则能变换为极大用语(maximal word)。

以上是从流线图求取用语表现的算法B的处理的细节的示例。由此能合适地求取与任意的流线图对应的用语表现。另外，以上的算法B的处理只是一例，本发明并不限定于上述的算法。例如，作为算法B的处理的其它示例，也可以进行以下的处理。

[B-5.I、II序列中的操作用语的分配处理(亚种算法)]

在此，参考图13以及图14来说明算法B中的I、II序列的操作用语的分配处理(亚种算法)的一例。图13以及图14是表示算法B(I、II-Word alg)中的I、II序列的操作用语的分配处理的其它示例的流程图。另外，与上述的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，也可以通过流线解析进行流线图的创建和前处理。另外，在以下的操作用语的分配处理中，在赋予操作用语的情况下，设为从后向前进行赋予。

如图13以及图14所示那样，操作用语赋予部102d对流线解析部102b实施过前处理的流线图，判定是否存在不与吸入涌出对(source-sink)相连的saddle，或者是否存在-鞍连接(步骤SI-1)。

在存在不与吸入涌出对(source-sink)相连的saddle、或者存在-鞍连接的情况下(步骤SI-1“是”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界是否有具有-鞍连接的边界(步骤SI-2)。

在刚好存在2个-saddle的边界有k个具有-鞍连接的边界的情况下(步骤SI-2“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₂(步骤SI-3)，流线解析部102b在流线图上消去以相同的边界上的-鞍连接连结的-saddle和边界(boundary)并置换为1条周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SI-4)。

在刚好存在2个-saddle的边界没有具有-鞍连接的边界(步骤SI-2“否”)、有位于最靠内侧的图样8形式的情况下(步骤SI-5“是”)，操作用语赋予部102d赋予操作用语B₀，操作用语赋予部102d进行在流线图上将位于最靠内侧的图样8形式置换为围绕1个中心/盘的周期性轨道的操作(步骤SI-6)。另外，该操作(赋予操作用语B₀、置换为周期性轨道的操作)尽可能反复执行。

另一方面，在没有存在于位于最靠内侧的图样8形式中的鞍点的情况下(步骤SI-5“否”)，即在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接有其内侧为中心/盘这样的边界的情况下，操作用语赋予部102d赋予操作用语C，流线解析部102b在流线图上消去该边界上的-鞍连接、和通过其而连结的2个-saddle、被它们包围的中心/盘，反复进行这样的操作(步骤SI-7)。另外，该操作(赋予操作用语C、消去中心/盘的操作)尽可能反复执行。

然后，在进行过以上的处理后，将处理返回步骤SI-1，在还存在不与吸入涌出对(source-sink)相连的saddle、或者存在-鞍连接的情况下(步骤SI-1“是”)，用语表现装置100反复进行上述的处理。

另一方面，在仅存在与吸入涌出对(source-sink)相连的saddle、且已经没有-鞍连接的情况下(步骤SI-1“否”)，如图14所示那样，操作用语赋予部102d判定是否存在ss--saddle(步骤SH-1)。

然后，在不存在ss--saddle的情况下(步骤SH-1“否”)，流线解析部102b消去鞍点(鞍点)和将其连结的同宿鞍连接、以及被它们包围的中心/盘，进行1次这样的操作(步骤SH-2)。

然后，在ss-saddle有k个时，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语A₀(步骤SH-3)。

然后，流线解析部102b消去鞍点(鞍点)和将其连结的同宿鞍连接、以及被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SH-4)。

然后，形式用语赋予部102c赋予形式用语II(步骤SH-5)，用语表现装置100结束算法(I、II-Word alg)中的I、II序列的操作用语的分配处理。另外，获得的字符串是极大用语(maximal word)。

另一方面，在上述的步骤SH-1中，在存在ss--saddle的情况下(步骤SH-1“是”)，流线解析部102b在流线图上消去这2个-saddles和边界(boundary)，并置换为1条ss-orbit，进行1次这样的操作(步骤SH-7)。

然后，在ss--saddle有k个时，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语A₂(步骤SH-8)。

然后，流线解析部102b在流线图上消去这2个-saddles和边界(boundary)，并置换为1条ss-orbit，进行k次这样的操作(步骤SH-9)。

然后，操作用语赋予部102d在ss-saddle有k个时，赋予k个操作用语A₀(步骤SH-10)。

然后，流线解析部102b消去鞍点(鞍点)和将其连结的同宿鞍连接、以及被它们包围的中心/盘，进行k次这样的操作(步骤SH-11)。

然后，形式用语赋予部102c赋予形式用语I(步骤SH-12)，用语表现装置100结束算法B(I、II-Word alg)中的I、II序列的操作用语的分配处理。另外，获得的字符串是极大用语(maximal word)。

[B-6.O序列中的操作用语的分配处理(亚种算法)]

接下来，参考图15来说明算法B中的O序列的操作用语的分配处理(亚种算法)的一例。图15是表示算法B(0-Word alg)中的O序列的操作用语的分配处理的其它示例的流程图。另外，也可以与上述的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，通过流线解析进行流线图的创建和前处理。另外，在以下的操作用语的分配处理中，在赋予操作用语的情况下，设为从后向前进行赋予。

如图15所示那样，操作用语赋予部102d对给出的流线图判定是否存在saddle或-saddle(步骤SJ-1)。

在存在saddle或-saddle的情况下(步骤SJ-1“是”)，操作用语赋予部102d判定在刚好存在2个-saddle的边界是否有具有相同的边界上的-鞍连接的边界(步骤SJ-2)。

在有k个具有将刚好存在2个-saddle的边界相连的-鞍连接的边界的情况下(步骤SJ-2“是”)，操作用语赋予部102d赋予k个操作用语B₂(步骤SJ-3)。

然后，流线解析部102b在流线图上消去以该边界上的-鞍连接连结的-saddle和边界(boundary)，并置换为1条周期性轨道，进行k次这样的操作(步骤SJ-4)。

另一方面，没有具有将刚好存在2个-saddle的边界相连的边界上的-鞍连接的边界的情况下(步骤SJ-2“否”)，操作用语赋予部102d判定是否有位于最靠内侧的图样8(步骤SJ-5)。

在有位于最靠内侧的图样8的边界(即在-鞍连接其内侧的至少单方是中心/盘的边界)的情况下(步骤SJ-5“是”)，操作用语赋予部102d赋予操作用语B₀，流线解析部102b在流线图上进行置换为包围1个中心/盘的周期性轨道的操作(步骤SJ-6)。另外，该操作(赋予操作用语B₀、置换为周期性轨道的操作)尽可能反复执行。

另一方面，在没有位于最靠内侧的图样8的情况下(步骤SJ-5“否”)，即在包含4个以上-saddle的边界上的-鞍连接有其内侧为中心/盘这样的边界的情况下，操作用语赋予部102d赋予操作用语C，流线解析部102b在流线图上消去该边界上的-鞍连接、和通过其而连结的2个-saddle、被它们包围的中心/盘(步骤SJ-7)。另外，该操作(赋予操作用语C、消去中心/盘的操作)尽可能反复执行。

然后，在进行过以上的处理后，将处理返回到步骤SJ-1，在还存在saddle或-saddle的情况下(步骤SJ-1“是”)，用语表现装置100反复进行上述的处理。

另一方面，在已经没有saddle或-saddle的情况下(步骤SJ-1“否”)，用语表现装置100结束算法B(0-Word alg)中的O序列的操作用语的分配处理。另外，将O放在获得的字符串的排头，其是极大用语(maximalword)。

以上是根据流线图求取用语表现的算法B的处理(亚种算法)的详细的示例。由此能合适地求取与任意的流线图对应的用语表现。

[算法A]

接下来，以上述的基本处理为基础，关于求取在有M+1个孔的多重连结外部区域D_ζ(M)能采用的全部用语表现的算法A的处理的详细的一例，以下参考图16～图18来进行说明。

另外，在以下例示的本实施方式的算法A中，成为如下算法：在从形式用语的组合生成全字符串后，判定各字符串是否成为极大用语，若成为极大用语表现则标出。

即，若遵循赋予操作用语的情况下的制约条件，则原则上全部结构稳定的流动的相位结构都能通过列举操作用语来表现。其中，要注意的点在于「表现1个流动形式的用语有多个」，另一方面在于「以1个用语表现表征的流动的形式也有多个」这一点。该实例能看作IA₀A₂和IA₂A₀等。若从用语表现这样的观点触发，后一点不是特别大的问题。这是因为，只不过是某1个用语表现某流动形式的集合(组)。另一方面，前面的点是多个用语表现1个流动，变得冗长，易混淆，因此是问题。为此，能使用「极大用语表现(maximal word representation)」来解决该问题。

该极大用语表现通过交换表征在I序列、II序列、O序列给出的操作的字符串的顺序来调查其所表现的流动的集合变得如何，由此被导入。例如，关于字符IA₀A₂とIA₂A₀这2个用语表现，由于它们所表征的流动的形式相同，因此将A₀和A₂交换而表现的形式不发生变化。为此，追加「A₀比A₂更先在用语表现中出现」这样的规则，来排除重复的IA₂A₀这样的表现。将关于交换这样的字符而引起的用语表现的形式的变化象征性地表现为A₀A₂＝A₂A₀。即使如此交换用语，其所表征的形式也不发生变化的组合在Lemma3.5和Lemma3.6给出。

[数式8]

引理3.5：具有用语表现O₀O₁...O_iA₀CO_i+3...O_k和O₀O₁...O_iCA₀O_i+3...O_k(其中，O₀∈{I，II})的流线形式是等价的。即，A₀和C在用语表现中满足交换律。

证明：由于A₀不增加具有-鞍的边界，且C正好对具有-鞍的边界进行改变，因此这些运算是独立应用的。

[数式9]

引理3.6：具有用语表现IO₁...O_iA₂O_i+2...O_k和IO₁...A₂O_iO_i+2...O_k(其中，O_i∈{A₀，B₀，B₂})的流线形式是等价的。

证明：由于向ss轨道独立应用A₀和A₂，A₀和A₂满足交换律。运算A₂不增加被应用B₀和B₂的闭合轨道。相反，B₀和B₂不增加ss轨道。因此B₀和B₂与A₂满足交换律。

另一方面，也有通过交换用语而其所表现的形式的集合发生变化的情况。例如关于IB₀A₀个IA₀B₀，前者所表征的形式的集合有包含在后者所表征的形式的集合中的包含关系。即，若使用集合的记号则成为(IB₀A₀)(IA₀B₀)。在通过如此进行替换而使一方包含一方的形式的集合的情况下，排除被包含侧的用语表现，仅采用更大的用语表现。将该关系式象征性地表现为B₀A₀≤A₀B₀。产生这样的包含关系的用语的交换的组合在Lemma3.7给出。

[数式10]

引理3.7：包含关系B₀A₀≤A₀B₀，B₂A₀≤A₀B₂，CA₂≤A₂C，B₂B₀≤B₀B₂，B₀C≤CB₀对于序列中两个操作的交换是成立的。

证明：首先，即使B₀和B₂在序列中存在于A₀之前，A₀也被独立的应用于ss轨道。另一方面，A₀添加了被应用B₀和B₂的闭合轨道。因此，我们有B₀A₀≤A₀B₀和B₂A₀≤A₀B₂。其次，C不影响A₂，因为C不创建新的ss轨道。相对地，A₂添加了可以被应用C的具有两个-鞍的新边界。从而，CA₂≤A₂C成立。再次，B₀增加了被应用B₂的新的闭合轨道，但是B₂不增加。因此，我们有B₂B₀≤B₀B₂。最后，CB₀≥B₀C成立，因为C增加了新的闭合轨道，而B₀不增加具有-鞍的边界。

将基于这些用语的交换的包含关系式汇总而得到下面的表。另外，由于即使将B₂和C交换包含关系也不成立，因此B₂C||CB₂表征不能将B₂和C交换。

[表2]

	A0	A2	B0	B2	C
						A0	＝	＝	≤	≤	＝
A2		＝	＝	＝	≤
						B0			＝	≤	≥
B2				＝	||
						C					＝

另外，在固定1个某合适的算法时，能在数学上证明，通过这些用语表现的交换而做出的极大用语表现对于一个形式必然只有1个(Lemma 3.8参考)。

[数式11]

引理3.8：D_ζ(M)上每个结构稳定的流线形式具有极大用语用语表现。

证明：注意到关系≤暗示了与O用语(相应地，I用语、II用语)集合相关的自反关系和传递关系。由于O用语(相应地，I用语、II用语)的数目是有穷的，每个用语小于等于某个极大用语。

进而，基于此来求取极大用语表现的标准形。给出针对O序列的极大用语表现的标准形的是Theorem3.3，给出针对I序列的极大用语表现的标准形的是Theorem3.4，给出针对II序列的极大用语表现的标准形的是Theorem3.5。

[数式12]

定理3.3：对于D_ζ(M)中结构稳定的流线形式的任何极大O用语来说，存在整数k≥1，s_m，t_m≥0，(其中，m＝1，...，k)，以及u_m＞0，(其中，m＝1，...，k-1)，使得该极大O用语表达为：

OW(s₁，t₁，u₁)…W(s_k-1，t_k-1，u_k-1)W(s_k，t_k，0)      (2)

其中，对于任何m＜k，t_m＞0，且 $M=1+{\mathrm{\Σ}}_{m=1}^{k-1}(s_m+t_m+u_m)+s_k+t_k.$

证明：让我们首先注意到：由于B₂C||CB₂以及B₀C≥CB₀，因此不可能在任何O用语序列中交换B₀C和B₂C来获得其极大O用语。我们证明了可以用归纳方式如下将分配给D_ζ(M)中结构稳定的流线形式的每个O用语化简到极大O用语。

开始于初始用语O，我们寻找在O用语序列中第一次出现的位置。如果序列中不存在操作C，即u₁＝0，则O用语由运算B₀和B₂构成，且从而可以通过由于B₂B₀≤B₀B₂而交换B₀和B₂，将其化简为(其中，某些s₁，t₁≥0)，证明结束。另一方面，如果u₁≠0，我们可以通过块分量W(s₁，t₁，u₁)(其中，某些t₁＞0)重新排列序列使得B₀和B₂在O和之间。这是因为如果t₁＝0，由于 ${\left(B_0\right)}^{s_1}{\left(C\right)}^{u_1}\≥{\left(C\right)}^{u_1}{\left(B_0\right)}^{s_1},$ 我们有 $O{\left(B_0\right)}^{s_1}{\left(C\right)}^{u_1}...\≥$ $O{\left(C\right)}^{u_1}{\left(B_0\right)}^{s_1}...,$ 其不是O用语。因此，将O用语表达为OW(s₁，t₁，u₁)，且t₁，u₁＞0。

现在假定u_m≠0且将O用语化简为，OW(s₁，t₁，u₁)…W(s_m，t_m，u_m)…且对于任何i≤m，t_i＞0。则我们寻找序列中超过W(s_m，t_m，u_m)的的位置。如果u_m+1＝0，则可以通过交换B₀和B₂，针对某些s_m+1，t_m+1≥0，将O用语化简为：

OW(s₁，t₁，u₁)…W(s_m，t_m，u_m)W(s_m+1，t_m+1，0)

证明结束。否则，对于某些s_m+1≥0和t_m+1＞0，将W(s_m，t_m，u_m)和之间B₀和B₂的序列化简为块分量W(s_m+1，t_m+1，u_m+1)。如下确保t_m+1的正性。如果t_m+1＝0，由于B₀C≤CB₀，我们有

$\begin{array}{c}\mathrm{OW}(s_1,t_1,u_1)...W(s_m,t_m,u_m){\left(B_0\right)}^{s_{m+1}}{\left(C\right)}^{u_{m+1}}...\\ \≤\mathrm{OW}(s_1,t_1,u_1)...W(s_m,t_m,u_m+u_{m+1}){\left(B_0\right)}^{s_{m+1}}...\end{array}$

然后在的情况下，序列被化简为

$\mathrm{OW}(s_1,t_1,u_1)...W(s_m,t_m,{\tilde{u}}_m)...$

对此我们可以再次重复该过程。

[数式13]

定理3.4：令p，q，r为非负整数。则对于D_ζ(M)中结构稳定的流线形式的任何最大I用语来说，存在整数k≥1，s_m，t_m≥0，(其中，m＝1，...，k)，以及u_m＞0，(其中，m＝1，...，k-1)，使得该最大I用语表达为：

I(A₀)^p(A₂)^q(C)^rW(s₁，t₁，u₁)…W(sm_-1，t_m-1，u_m-1)W(s_m，t_m，0)      (3)

其中，对于任何m＜k，t_m＞0，且如果p+r＞0， $M=p+q+r+{\mathrm{\Σ}}_{m=1}^{k-1}(s_m+t_m+u_m)+s_k+t_k.$ 否则，其表示为I(A₂)^q，且M＝q。

证明：对于表示D_ζ(M)中结构稳定的流线形式的给定I用语，由于A₀A₂＝A₂A₀，CA₂≤A₂C，B₂A₂＝A₂B₂，B₀A₂＝A₂B₀，CA₀＝A₀C，B₀A₀≤A₀B₀，以及B₂A₀≤A₀B₂，我们可以通过交换运算的顺序将操作序列中的所有A₀和A₂移动到B₀、B₂和C之前。因此，对于某些p，q≥0，将I用语化简为I(A₀)^p(A₂)^qO_p+q+1…O_M，其中，对于p+＜i≤M，O_i∈{B₀，B₂，C}。

首先假定p＝0。如果O_q+1≠C，即r＝0，则以下序列中不包含B₀和B₂，因为由于引理3.3它们不能在I用语序列中没有A₀和C的情况下被应用。因此，如果q+r＝0，则I用语表现为I(A₂)^q且M＝q。另一方面，如果O_q+1＝C，则存在r＞0使得I用语表现为，I(A₂)^q(C)^rO_q+r+1…O_M，其中，对于q+r＜i≤M，O_i∈{B₀，B₂，C}。可以在使用与定理3.3中针对O用语的相同过程的情况下，将剩余序列O_q+r+1…O_M化简为B₀、B₂和C的某个块分量。这就是说，存在整数k≥1，s_m，t_m≥0，(其中，m＝1，...，k)，以及u_m＞0，(其中，m＝1，...，k-1)，使得该I用语表达为：

I(A₂)^q(C)^rW(s₁，t₁，u₁)…W(S_k-1，t_k-1，u_k-1)W(S_k，t_k，0)      (3)

其中，对于任何m＜k，t_m＞0。这是针对p＝0和r＞0的I用语的最大表达式。

接下来，我们假定p≠0。则B₀和B₂可以存在于序列I(A₀)^p(A₂)^q…的剩余部分中，我们可以对其应用与针对O用语使用的B₀、B₂和C的剩余序列相同的过程。因此，我们有最大表达式(3)。

[数式14]

定理3.5：令p是非负整数。则对于D_ζ(M)中结构稳定的流线形式的任何最大II用语来说，存在整数k≥1，s_m，t_m≥0，(其中，m＝1，...，k)，以及u_m＞0，(其中，m＝1，...，k-1)，使得该最大II用语表达为：

II(A₀)^pW(s₁，t₁，u₁)…W(s_m-1，t_m-1，u_m-1)W(s_m，t_m，0)      (4)

其中，对于任何m＜k，t_m＞0，且 $M=p+{\mathrm{\Σ}}_{m=1}^{k-1}(s_m+t_m+u_m)+s_k+t_k.$

证明：该证明类似于定理3.4的证明，因为引理3.4表明II用语在予列中B₀、B₂和C的运算顺序方面具有与O用语相同的规则。

基于上述的理论来判定字符串是否成为极大用语，若成为极大用语表现，则标出，关于这样的算法A，参考图面以下具体进行说明。

[A-1.I序列的极大用语判定处理]

首先说明I序列的极大用语判定处理。在此，图16是表示I序列中的算法A的处理的一例的流程图。

如图16所示那样，首先，操作用语赋予部102d生成由A₀、A₂、B₀、B₂、C构成的M的长度的字符串O1、O2、…OM(步骤SE-1)。由于将5个种类的形式用语排列M个，因此做出5^M种排列方法。

然后，极大用语表现部102e将字符串当中设为判定对象的字符位置i设定为1(步骤SE-2)。

然后，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是A₀(步骤SE-3)。

在判定对象的字符Oi是A₀的情况下(步骤SE-3“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝A₀，就使设为判定对象的字符位置i递增(步骤SE-4)。

然后，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是A₂(步骤SE-5)。

在判定对象的字符Oi是A₂的情况下(步骤SE-5“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝A₂，就使设为判定对象的字符位置i递增(步骤SE-6)。

然后，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是C(步骤SE-7)。

在判定对象的字符Oi是C的情况下(步骤SE-7“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝C，就使设为判定对象的字符位置i递增(步骤SE-8)。

然后，极大用语表现部102e在字符位置i到达M+1的情况下(步骤SE-9“是”)，维持该字符串作为极大用语，在用语表现文件106c标出(步骤SE-10)。

另一方面，在上述中，在判定对象的字符Oi不是A₂的情况下(步骤SE-5“否”)，在判定对象的字符Oi不是C的情况下(步骤SE-7“否”)，或者在字符位置i未到达M+1的情况下(步骤SE-9“否”)，将i置换为i-1，对剩余的字符串的全部将Oj置换为Oj-1，并移转到O序列的流程图的SG-3。

另外，在上述步骤SE-3判定对象的字符Oi不是A₀的情况下(步骤SE-3“否”)，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是A₂(步骤SE-11)，只要是Oi＝A₂，就使判定对象的字符位置i递增(步骤SE-12)。另外，在判定对象的字符Oi不是A₂的情况下(步骤SE-11“否”)，就这么移转到接下来的处理。

然后，极大用语表现部102e判定字符位置i是否到达M+1(步骤SE-13)，在字符位置i到达M+1的情况下(步骤SE-13“是”)，维持该字符串作为极大用语(步骤SE-14)。

另一方面，在字符位置i未到达M+1的情况下(步骤SE-13“否”)，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是C(步骤SE-15)。另外，在判定对象的字符Oi不是C的情况下(步骤SE-15“否”)，排除该字符串(步骤SE-16)。

在判定对象的字符Oi是C的情况下(步骤SE-15“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝C，就使设为判定对象的字符位置i递增(步骤SE-17)。

然后，判定字符位置i是否到达M+1(步骤SE-18)，在字符位置i到达M+1的情况下(步骤SE-18“是”)，维持该字符串作为极大用语(步骤SE-19)。

另一方面，在字符位置i未到达M+1的情况下(步骤SE-18“否”)，将i置换为i-1，对剩余的字符串的全部将Oj置换为Oj-1，并移转到O序列的流程图的步骤SG-3。

[A-2.II序列的极大用语判定处理]

接下来说明II序列的极大用语判定处理。在此，图17是表示II序列中的算法A的处理的一例的流程图。

如图17所示那样，首先，操作用语赋予部102d生成由A₀、B₀、B₂、C构成的M的长度的字符串O1、O2、…OM(步骤SF-1)。由于将4个种类的形式用语排列M个，因此做出4^M种字符串。

然后，极大用语表现部102e将字符串当中设为判定对象的字符位置i设定为1(步骤SF-2)。

然后，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是A₀(步骤SF-3)。

在判定对象的字符Oi是A₀的情况下(步骤SF-3“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝A₀，就使设为判定对象的字符位置i递增(步骤SF-4)。

然后，判定字符位置i是否到达M+1(步骤SF-5)，在字符位置i到达M+1的情况下(步骤SF-5“是”)，维持该字符串作为极大用语(步骤SF-6)。

另一方面，在字符位置i未到达M1的情况下(步骤SF-5“否”)，或者在步骤SF-3中，判定对象的字符Oi不是A₀的情况下(步骤SF-3“否”)，将i置换为i-1，对剩余的字符串的全部将Oj置换为Oj-1，移转到O序列的流程图的SG-3。

[A-3.O序列的极大用语判定处理]

最后，说明O序列的极大用语判定处理。在此，图18是表示O序列中的算法A的处理的一例的流程图。

如图18所示那样，首先，操作用语赋予部102d生成由B₀、B₂、C构成的M-1的长度的字符串(步骤SG-1)。由于将3个种类的形式用语排列(M-1)个，因此做出3^M-1种字符串。

然后，极大用语表现部102e将字符串当中设为判定对象的字符位置i设定为1(步骤SG-2)。

然后，极大用语表现部102e判定字符位置i是否不足M(步骤SG-3)。另外，若字符位置i达到M(步骤SG-3“否”)，则维持该字符串作为极大用语(步骤SG-14)。

在字符位置i不足M的情况下(步骤SG-3“是”)，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是B₀(步骤SG-4)。

在判定对象的字符Oi是B₀的情况下(步骤SG-4“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝B₀，就使判定对象的字符位置i递增(步骤SG-5)，将处理返回步骤SG-3，反复上述的处理。

另一方面，在判定对象的字符Oi不是B₀的情况下(步骤SG-4“否”)，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是B₂(步骤SG-6)。

在判定对象的字符Oi不是B₂的情况下(步骤SG-6“否”)，极大用语表现部102e不将该字符串作为极大用语而予以排除(步骤SG-7)。

另一方面，在判定对象的字符Oi是B₂的情况下(步骤SG-6“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝B₂，就使判定对象的字符位置i递增(步骤SG-8)。

然后，判定字符位置i是否到达M(步骤SG-9)，在字符位置i到达M的情况下(步骤SG-9“是”)，极大用语表现部102e维持该字符串作为极大用语(步骤SG-10)。

另一方面，在字符位置i未到达M的情况下(步骤SG-9“否”)，极大用语表现部102e判定判定对象的字符Oi是否是C(步骤SG-11)。

在判定对象的字符Oi不是C的情况下(步骤SG-11“否”)，极大用语表现部102e不将该字符串作为极大用语而予以排除(步骤SG-13)。

另一方面，在判定对象的字符Oi是C的情况下(步骤SG-11“是”)，极大用语表现部102e只要是Oi＝C，就使判定对象的字符位置i递增(步骤SG-12)，将处理返回到步骤SG-3，反复进行上述的处理。

以上是伴随极大用语表现的判定的算法A的处理的一例。由此，能没有重复地用字符串列举在具有任意的孔的数量M+1的多重连结外部区域D_ζ(M)能采用的全部流动形式。

例如，本实施方式能用在桥梁的设计等中。首先决定桥梁的数量，能用上述的算法A全部标出此时会发生的全部流动的形式。接下来，在桥梁设计中，通过基于数值计算的模拟、或者实验室内中的模型测量等事前获得各种数据，能使这些数据可视化，或者用计算机等进行处理，表现为能捕捉流线图这样的流动的样子的快照。将其输入到上述的算法B，能掌握其相当于用算法A求得的哪一者。

过去，在通过各种试错来进行最佳的桥梁设计的情况下，在改变配置来设计最佳的流动的样子时，不能事前讨论是否穷尽全部情况、另外在这当中怎样的配置是桥梁设计后的流动中最期望的配置。根据本实施方式，用算法A能掌握全部流动形式，进而用算法B，在进行实际进行最优化设计这样的模拟或实验的情况下，获知所获得的形式具有怎样的极大用语表现，通过经由用于达成所期望的形式的配置变更的最有效率的用语表现，能飞跃性地缩减到此为止试错地进行最佳的桥梁设计的步骤。

另外，关于围油栏的设置，由于也是同样地输入围栏的个数，并用算法A标出这种情况下会达成的流动的形式，因此能立即确定能实现为了从那里有效率地收集油而能达成的能实现的流动。并且，在进行周边海流的测量或数值模拟以及实验等来试错地决定最佳配置时，将得到的实验测量或模拟结果作为流线图而标出，将其输入到算法B来获得用语表现。确认其与根据算法A求得的流动中的哪一者对应，其与想要的流动接近到何种程度，由此能以最短的搜索谋求最优化。

在现有的技术中，不知道会发生的全部形式，仅在适当的条件下进行受到限制的范围内的局部的最优化，但根据本实施方式，预先获知全部形式和其用语表现，进而获知表现当前的状況的用语表现，能有效率地进行全局的最优化。如此，能对河川或海洋、飞行等物体配置与流动的相互作用的最佳状态以短时间和低成本进行高精度的计算。另外，通过确定与目的相应的流线形式，能谋求结构物设计的省力化。

[其它实施方式]

到此为止说明了本发明的实施方式，但本发明除了上述的实施方式以外，还能在权利要求的范围所记载的技术的思想的范围内以各种不同的实施方式实施。

例如，将用语表现装置100以单机的形态进行处理的情况为一例进行了说明，但用语表现装置100也可以对应于来自客户终端的请求进行处理，将其处理结果返还给该客户终端。

另外，还能将实施方式中说明的各处理当中说明为自动进行的处理的全部或者一部分手动进行，或者将说明为手动进行的处理的全部或者一部分以公知的方法自动进行。

除此以外，关于上述文献中和图面中示出的处理次序、控制次序、具体的名称、包含各处理的登录数据和检索条件等的参数的信息、画面例、数据库构成，除了特别说明的情况以外，都能任意变更。

另外，关于用语表现装置100，图示的各构成要素是功能概念的要素，在物理上不一定需要如图示那样构成。

例如，关于用语表现装置100的各装置所具备的处理功能、特别是用控制部102进行的各处理功能，能将其全部或任意一部分用CPU(CentralProcessing Unit，中央处理器)以及以该CPU解释执行的程序实现，另外也可以作为基于布线逻辑的硬件实现。另外，程序记录在后述的记录介质中，根据需要机械地读取到用语表现装置100。即，在ROM或HD等的存储部106等中记录作为OS(Operating System，操作系统)来协动并对CPU给出命令、用于进行各种处理的计算机程序。该计算机程序通过载入到RAM来执行，与CPU协动来构成控制部102。

另外，该计算机程序也可以存储在经由任意的网络300与用语表现装置100连接的应用程序服务器中，还能根据需要下载其全部或者一部分。

另外，也可以将本发明所涉及的程序容纳在计算机可读的记录介质中，另外，还能构成为程序产品。在此，该「记录介质」包含存储卡、USB存储器、SD卡、软盘、光磁盘、ROM、EPROM、EEPROM、CD-ROM、MO、DVD、以及Blu-ray(注册商标)Disc等任意的「可移动物理介质」。

另外，所谓「程序」，是用任意的语言、记述方法记述的数据处理方法，不管源代码或二进制码等的形式。另外，「程序」并不一定限于单一地构成，也可以作为多个模块或库而分散构成，或者还包含与以OS(OperatingSystem，操作系统)为代表的另外的程序的协动来达成其功能的构成。另外，关于用于在实施方式所示的各装置中读取记录介质的具体的构成、读取次序、或者读取后的安装次序等，能使用周知的构成和次序。

容纳在存储部106的各种数据库等(模拟结果文件106a、流线图文件106b、用语表现文件106c等)是RAM、ROM等存储器装置、硬盘等的固定盘装置、软盘、以及光盘等的存储单元，容纳在各种处理或Web站点提供中使用的各种的程序、表、数据库、以及Web页面用文件等。

另外，用语表现装置100也可以构成已知的个人计算机、工作站等的信息处理装置，另外，也可以构成为在该信息处理装置连接任意的周边装置。另外，用语表现装置100也可以通过在该信息处理装置安装实现本发明的方法的软件(包含程序、数据等)来实现。

进而，装置的分散、合并的具体的形态并不限于图示，能对应于各种附加等，或者对应于功能负载，将其全部或一部分以任意的单位功能性或物理性地分散、合并来构成。即，既可以任意组合上述的实施方式来实施，也可以选择性地实施实施方式。

产业上的利用可能性

如以上详述说明那样，根据本发明，能提供在进行流场中的结构物设计时能不依赖经验或直觉地容易地处置能对结构物采用的流动形式的流动形式的用语表现方法、用语表现装置、以及程序。例如，如桥墩的设计、防波堤的配置、港湾的污染物的除去、风力发电的叶片的设计、列车的集电弓的结构、围油栏的最佳配置等那样，在与结构物设计和配置相伴的各种领域中极其有用。另外，如体育用品的结构设计等那样，还能应用在体育力学等的领域。

标号的说明

100  用语表现装置

102  控制部

102a 模拟部

102b 流线解析部

102c 形式用语赋予部

102d 操作用语赋予部

102e 极大用语表现部

104  通信控制接口部

106  存储部

106a 模拟结果文件

106b 流线图文件

106c 用语表现文件

108  输入输出控制接口部

112  输入装置

114  输出装置

200  外部系统

300  网络

Claims (11)

1.一种流动形式的用语表现方法，是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述流动形式的用语表现方法包含：

形式用语赋予步骤，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语；和

操作用语赋予步骤，对在上述形式用语赋予步骤中赋予的用语，反复赋予规定在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

2.一种流动形式的用语表现方法，是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述流动形式的用语表现方法包含：

操作用语赋予步骤，反复赋予规定在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此来形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；

形式用语赋予步骤，对在上述操作用语赋予步骤中赋予的用语赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语。

3.根据权利要求1或2所述的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述形式用语赋予步骤赋予除了规定上述在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语以外、追加了在有2个孔的二重连结外部区域中没有吸入涌出对的形式的合计3个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语。

4.根据权利要求3所述的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述合计3个种类的流动形式是如下形式：

1)具有上述吸入涌出对、具有2个鞍连接的形式I；

2)具有上述吸入涌出对、具有1个鞍点、将其相连的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的形式II；以及

3)没有上述吸入涌出对的形式O。

5.根据权利要求4所述的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述形式用语赋予步骤包含：

I分类步骤，判定在能形成上述有N个孔的多重连结外部区域的流线图中是否存在鞍连接，在存在鞍连接的情况下赋予上述形式I的用语；和

II/O分类步骤，在上述I分类步骤中不存在鞍连接的情况下，判定在上述流线图是否存在ss-鞍连接，在存在ss-鞍连接的情况下赋予上述形式II的用语，另一方面，在不存在ss-鞍连接的情况下赋予上述形式O的用语。

6.根据权利要求1～5中任一项所述的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述相位几何学上能采用的5个种类的操作是如下操作：

1)将1条ss-orbit置换为1个鞍点、将其连结并在内部具有孔的同宿鞍连接和2个ss-鞍连接的A₀操作；

2)将1条ss-orbit置换为2个鞍连接和新追加的边界上的2个的A₂操作；

3)将1条封闭轨道置换为追加1个孔和鞍点来构成8字状的2条同宿轨道的B₀操作；

4)将1条封闭轨道置换为在新追加的孔的边界上带有2个并以1条鞍连接相连这样的轨道的B₂操作；以及、

5)在已经具有2k个(k＞0)的边界新添加2个并以1条鞍连接相连、并在内部放置新追加的孔的C操作。

7.根据权利要求6所述的流动形式的用语表现方法，其特征在于，

上述操作用语赋予步骤在赋予规定了上述5个种类的操作的用语的情况下，

1)以存在1条ss-orbit为条件，赋予规定了上述A₀操作或上述A₂操作的用语，

2)以存在1条封闭轨道为条件，赋予规定了上述B₀操作或上述B₂操作的用语，

3)以存在具有的边界为条件，赋予规定了上述C操作的用语。

8.一种流动形式的用语表现装置，至少具备控制部，并且是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现装置，其特征在于，

上述控制部具备：

形式用语赋予单元，其赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语；和

操作用语赋予单元，其对由上述形式用语赋予单元赋予的用语，反复赋予规定了在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

9.一种流动形式的用语表现装置，至少具备控制部，并且是相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现装置，

上述控制部具备：

操作用语赋予单元，其反复赋予规定了在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；和

形式用语赋予单元，其对由上述操作用语赋予单元赋予的用语，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语。

10.一种程序，是用于使至少具备控制部的计算机执行的程序，其特征在于，

执行在上述控制部中执行的如下步骤：

形式用语赋予步骤，为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语；和

操作用语赋予步骤，对在上述形式用语赋予步骤中赋予的用语，反复赋予规定了在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此形成与上述有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现。

11.一种程序，是用于使至少具备控制部的计算机执行的程序，其特征在于，

执行在上述控制部中执行的如下步骤：

操作用语赋予步骤，为了形成相位几何学上有N个孔的多重连结外部区域中的流动形式的用语表现，反复赋予规定了在上述流动形式加入1个孔的情况下相位几何学上能采用的5个种类的操作的用语当中的任意一个用语，由此形成与上述具有N个孔的多重连结外部区域对应的用语表现；和

形式用语赋予步骤，对在上述操作用语赋予步骤中赋予的用语，赋予规定在有1个孔的单连结外部区域中相位几何学上能采用的2个种类的流动形式的用语当中的任意一个用语。