WO2021019883A1 - 有限型の流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法 - Google Patents

有限型の流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法 Download PDF

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WO2021019883A1
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expression
word
streamline
flow
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知郎 横山
貴之 坂上
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国立研究開発法人科学技術振興機構
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    • G16H30/40—ICT specially adapted for the handling or processing of medical images for processing medical images, e.g. editing

Definitions

  • the present invention relates to a flow pattern word expression device, a word expression method, a program, a structure shape learning method, and a structure design method.
  • Patent Document 1 Disclosure of technology for giving many-to-one word expressions (maximum word expressions) to incompressible fluid flow patterns on curved surfaces, and methods for designing the shape of structures in fluids using word expressions and regular expressions.
  • Patent Document 2 a technique for acquiring transition information regarding a transition route from a structurally stable streamline pattern in a topological two-dimensional flow structure to another structurally stable streamline pattern that can be taken topologically is disclosed.
  • Patent Document 2 a technique for giving a word expression (regular expression) from a graph representation having a one-to-one correspondence to the flow pattern for the flow structure of an incompressible fluid on a curved surface, and a structure in the fluid using this technique.
  • a technique for optimizing the shape is disclosed (see, for example, Patent Document 3).
  • the above-mentioned prior art can give a word expression to the flow pattern of an incompressible fluid on a curved surface, but cannot give a word expression to a general flow pattern including a compressible fluid.
  • the present invention has been made in view of these problems, and one of the purposes thereof is to provide a word expression for a general fluid flow pattern including a compressible fluid.
  • Another object of the present invention is a design method for giving a shape of a structure so that the flow pattern around the structure existing in a general flow including such a compressible fluid becomes a desired pattern. Is to give.
  • the word expression device of a certain aspect of the present invention is a word expression device that expresses the streamline structure of a flow pattern in a two-dimensional region, and includes a storage unit, a word expression generation unit, and a word expression generation unit.
  • the storage unit stores the correspondence between each streamline structure and its characters with respect to a plurality of streamline structures constituting the flow pattern
  • the word expression generation unit stores a route determination means, a tree expression construction means, and a COT expression. It is provided with a generation means.
  • the route determining means determines the route of the given flow pattern
  • the tree expression constructing means extracts the streamline structure of the given flow pattern and extracts the extracted streamline based on the correspondence stored in the storage unit.
  • a tree representation of a given flow pattern is constructed by repeatedly executing the process of adding characters to the structure and deleting the extracted streamline structure from the innermost part of the flow pattern until the route is reached.
  • the COT expression generation means converts the tree expression composed by the tree expression constructing means into a COT expression, and generates a word expression of a given flow pattern.
  • the device can be used to give word expressions for general fluid flow patterns, including compressible fluids.
  • the basic structure ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ NOTE ⁇ , may be .phi.2 beta phi ⁇ and beta.
  • the two-dimensional structures may be b to ⁇ and b ⁇ .
  • zero-dimensional point structure ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ , may be interference sigma ⁇ ⁇ .
  • one-dimensional structure p ⁇ ⁇ , p ⁇ , a ⁇ , q ⁇ , b ⁇ , interference b ⁇ , ⁇ ⁇ , c ⁇ , c 2 ⁇ , a 2, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ , may be a ⁇ ⁇ and q ⁇ ⁇ .
  • the word expression generation unit may further include a combination structure extraction means.
  • the combination structure extraction means may generate a one-to-one correspondence word expression of the given flow pattern by extracting the combination structure from the given flow pattern.
  • This method is a word expression method for expressing the streamline structure of a flow pattern in a two-dimensional region, which is executed by a computer equipped with a storage unit and a word expression generation unit.
  • the word expression generation unit executes a route determination step, a tree expression composition step, and a COT expression generation step.
  • the route determination step determines the route of the given flow pattern
  • the tree representation configuration step extracts the streamline structure of the given flow pattern and extracts the extracted flow based on the correspondence stored in the storage unit.
  • a tree representation of a given flow pattern is constructed by repeating the process of adding characters to the line structure and deleting the extracted streamline structure from the innermost part of the flow pattern until the route is reached.
  • the COT expression generation step converts the tree expression composed of the tree expression composition steps into a COT expression to generate a word expression of a given flow pattern.
  • a computer can be used to give a word expression to a general fluid flow pattern including a compressible fluid.
  • Yet another aspect of the present invention is a program.
  • This program causes a computer equipped with a storage unit and a word expression generation unit to execute processing.
  • the storage unit stores the correspondence between each streamline structure and its characters with respect to a plurality of streamline structures constituting the flow pattern.
  • This program extracts the route determination step for determining the route of a given flow pattern and the streamline structure of the given flow pattern, and characters are added to the extracted streamline structure based on the correspondence stored in the storage unit. Is given, and the process of deleting the extracted streamline structure is repeatedly executed from the innermost part of the flow pattern until the route is reached, thereby constructing a tree representation of the given flow pattern.
  • the word expression generation unit is made to execute the COT expression generation step of converting the tree expression composed of the tree expression composition steps into the COT expression and generating the word expression of the given flow pattern.
  • a program that gives a word expression to a general fluid flow pattern including a compressible fluid can be implemented in a storage medium or the like.
  • This method is a learning method for learning the shape of a structure in a fluid in a two-dimensional region, and is a method of learning a flow pattern generated around a structure in a fluid by using the word expression device according to claim 1. It includes a step of expressing a streamline structure in words and a step of learning the relationship between the three-dimensional shape of the structure and the word expression by AI.
  • Yet another aspect of the present invention is also a method.
  • This method is a structure design method for designing a structure in a fluid in a two-dimensional region, and uses the word expression device according to claim 1 to obtain a flow pattern generated around the structure in the fluid.
  • a target flow pattern using the step of expressing a streamline structure in words, the step of learning the relationship between the three-dimensional shape of the structure and the word expression by AI, and the word expression device according to claim 1.
  • the optimum structure shape can be obtained for controlling the flow of the fluid.
  • the present invention it is possible to give a word expression to a flow pattern of a general fluid including a compressible fluid on a curved surface, and to calculate a structure shape that generates a desired flow pattern around the flow pattern. it can.
  • (B) shows the orbit of the heteroclinic saddle separarix. It is a figure which shows ss-coment as a one-dimensional structure and ss-separarix which connects them. It is a figure which shows the slideable saddle and slideable ⁇ -saddle as a one-dimensional structure.
  • (A) and (b) indicate a slide saddle.
  • (C) and (d) indicate slideable ⁇ -saddle. It is a figure which shows the two-dimensional structure.
  • (A) shows a trivial center disc.
  • (B) shows a trivial source disc.
  • (C) shows a periodic border annulus.
  • (D) shows limited annulus.
  • (E) indicates periodic annulus.
  • (F) shows a rotating sphere.
  • Reeb domain and rotating annulus As a two-dimensional structure.
  • (A) and (b) indicate Reeb domain.
  • (C) shows rotating annulus. It is a figure which shows four kinds of non-trivial limit cycles appearing in a finite type flow (flow of finish type). It is a figure which shows the classification of the orbit group in the region appearing in the complement of Bd (v) which is the set of boundary orbits of a finite type flow (flow of finety type) v.
  • A) shows an open rectangular region in which the orbital space is an open section.
  • (B) shows an open ring region in which the orbital space is the circumference.
  • (C) shows an open ring region in which the orbital space is an open section.
  • FIG. 1 It is a figure which shows the basic streamline structure of a structurally stable Hamiltonian vector field.
  • A shows a uniform flow in the unbounded region.
  • B shows the counterclockwise flow in the bounded region.
  • C shows the clockwise flow in the bounded region.
  • A shows the streamlined structure of the A series.
  • B shows a streamlined structure of the B series.
  • C shows a streamlined structure of C series.
  • Bd (v)) It is a figure which shows the structure (two-dimensional structure) which represents the orbital group of c .
  • (A) shows structures b to ⁇ .
  • (B) shows the structure b ⁇ .
  • No structure is given to (c), which is a trivial structure. It is a figure which shows the basic structure on the sphere S.
  • (A) shows the structure ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , the sigma phi ⁇ NOTE ⁇ .
  • (B) shows the structure ⁇ ⁇ ⁇ .
  • (C) shows the structure ⁇ ⁇ 2 . It is a figure which shows the example of the zero-dimensional point structure and one-dimensional structure of the flow of Bd (v).
  • (A) shows the structure ⁇ ⁇ as a one-dimensional structure.
  • (B) the structure sigma ⁇ as zero-dimensional point structure, ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ , shows a sigma ⁇ interference ⁇ .
  • (C) shows the structures p to ⁇ as a one-dimensional structure.
  • (D) shows the structure p ⁇ as a one-dimensional structure.
  • (S1) It is a figure which shows the one-dimensional structure of a series.
  • (A) shows the structure a ⁇ .
  • (B) shows the structure q ⁇ .
  • (S2) It is a figure which shows the one-dimensional structure of a series.
  • (A) shows the structure b ⁇ ⁇ .
  • (B) shows the structure b ⁇ dry .
  • (S4) It is a figure which shows the one-dimensional structure of a series.
  • (A) shows the structure ⁇ ⁇ .
  • (B) shows the structure c ⁇ .
  • (C) shows the structure c 2 ⁇ .
  • (S5) It is a figure which shows the one-dimensional structure of a series.
  • (A) shows the structure a 2.
  • (B) shows the structures ⁇ ⁇ to ⁇ .
  • (C) shows the structures ⁇ to ⁇ ⁇ .
  • (D) shows the structures ⁇ to ⁇ + .
  • (S3) It is a figure which shows the one-dimensional structure of a series.
  • (A) shows structures a to ⁇ .
  • (B) shows structures q to ⁇ . It is explanatory drawing of a tree expression. It is a functional block diagram of the word expression apparatus which concerns on 1st Embodiment.
  • the entire streamline structure can be expressed as a character string by sequentially assigning a character string that reflects the information of the streamline group entering the inside.
  • the streamline structure is extracted from the innermost (fine structure) in the given streamline group, characters are added, and the streamline structure on the outer side (large structure) is sequentially extracted to make the final. Achieve a simple characterization.
  • a unique expression can be obtained by adding an algorithm that specifies the connection condition of the streamline structure in a combinatorial manner.
  • the flow that is the target of the word expression is "flow v on the curved surface S".
  • the "curved surface S" refers to a two-dimensional structure, that is, a two-dimensional compact manifold (here, a spherical surface that allows the existence of a boundary in particular). Geometrically, a sphere can be equated with a plane with an infinity point added, so it can be considered essentially as a two-dimensional region with boundaries.
  • the "flow v on the curved surface S” is an R-action on the curved surface S such that v: R ⁇ S ⁇ S.
  • the orbit of the flow v on the curved surface S is (1) Proper (2) local sense (3) axial It is known that it is classified into three types.
  • the proper orbital set has three more types of orbital groups, that is, (I) Singular orbits (Ii) Periodic orbits (Iii) Non-closed orbits are categorized.
  • non-closed orbit in (iii) is derived from the fact that the singular point and the periodic orbit are closed as orbits.
  • the set of singular points of the flow v, the set of periodic orbits, and the set of non-closed orbits are written as Sing (v), Per (v), and P (v), respectively.
  • FIG. 1 shows all of the regular zero-dimensional point structures.
  • FIG. 1A shows a “center”.
  • the vortex center point represents a singular point with a periodic orbit around it.
  • FIG. 1 (b) shows a “saddle”.
  • the saddle point is connected to two separaterixes moving away from this point and two separaterixes approaching.
  • FIG. 1 (c) shows a “boundary saddle point ( ⁇ -saddle)” attached to the boundary.
  • ⁇ -saddle ⁇ -saddle
  • FIG. 1 (d) shows a “source”. At the well-out point, fluid springs out from one point.
  • FIG. 1A shows a “center”.
  • the vortex center point represents a singular point with a periodic orbit around it.
  • FIG. 1 (b) shows a “saddle”.
  • the saddle point is connected to two separaterixes moving away from this point and two separaterixes approaching.
  • FIG. 1 (c) shows a “boundary saddle point
  • FIG. 1 (e) shows a “boundary spring point ( ⁇ -source)”. At the boundary spring point, there is a spring point at the boundary.
  • FIG. 1 (f) shows a “sink”. The suction point is the reverse of the direction of the spring point.
  • FIG. 1 (g) shows a “boundary suction point ( ⁇ -sink)”. The boundary suction point is the reverse of the direction of the boundary spring point.
  • FIGS. 1 (a) to 1 (c) were observed even in an incompressible flow, and were treated by the word expression theory described in Patent Document 1 and the regular expression theory described in Patent Document 3.
  • the point structures shown in FIGS. 1 (d) to 1 (g) are newly added by the present inventors as the present embodiment deals with compressible flow.
  • FIG. 2 shows a "cycle” as a one-dimensional structure.
  • Circle means a one-point set or an immersion on S of the circumference.
  • the circle is a point, it is called a “trivial circle”, and when it is a circumference, it is called a "non-trivial circle”.
  • the non-trivial cycle is classified into two types according to the flow defined on the non-trivial cycle.
  • One is when the circumference becomes a periodic orbit, which is called a "circle”.
  • cycle is the source of Per (v).
  • FIG. 2A is an example of a cycle.
  • the other is a "circular orbit” composed of a saddle point (the element of Sing (v)) and a sepatrix (the element of P (v)) that connects them.
  • FIG. 2B is some examples of orbits.
  • the well-out point and the boundary well-out point are the repelling trivial cycle
  • the suction point and the boundary suction point are the tracing trivial cycle.
  • the limit cycle has at least one tracing / repelling busin.
  • FIG. 2 shows some examples of limit cycles.
  • FIG. 3 shows a “saddle sepatrix”.
  • the saddle separarix is an orbit in which the ⁇ limit set and the ⁇ limit set are saddle points or boundary saddle points.
  • saddle separarix is an element of P (v).
  • FIG. 3A shows an example of the orbit of the self-connected saddle separarix.
  • a saddle sepatrix that connects different saddle points or boundary saddle points on different boundaries is called a "heteroclinic saddle separarix”.
  • FIG. 3B shows an example of the orbit of the heteroclinic saddle separatrix.
  • the saddle connection diagram is a set of saddle points, boundary saddle points, and saddle separarix as a whole, and is dealt with in the word expression theory and the regular expression theory of the prior art.
  • the “ss-coment” refers to any one of (1) (boundary) spring point, (2) (boundary) suction point and (3) non-trivial limit cycle.
  • the sepatrix that connects the saddle point or boundary saddle point and the ss-coment is called “ss-separarix”.
  • FIG. 4 shows an example of ss-coment and ss-separarix connecting them.
  • the set of saddle points, boundary saddle points, saddle separarix, ss-coment and ss-separarix is called "ss-saddle connection diagram".
  • FIG. 5 shows "slideable saddle” and “slideable ⁇ -saddle” as one-dimensional structures.
  • FIGS. 5 (a) and 5 (b) show the point x of the slideable saddle.
  • This "saddle point x is sliding" means that " ⁇ ( ⁇ 1 ) is a suction point and ⁇ ( ⁇ 3 ) is a suction structure (in the figure, ⁇ is indicated by a circle).
  • Fig. 5 (a) or " ⁇ ( ⁇ 2 ) is the spring point and ⁇ ( ⁇ 4 ) is the spring structure (in the figure, + is indicated by a circled symbol). Refers to any of the cases (FIG. 5 (b)).
  • FIGS. 5 (c) and 5 (d) show points x of slideable ⁇ -saddle.
  • the boundary saddle point x is a slide (or x is a slide ⁇ -saddle)
  • the boundary saddle point x is a slide (or x is a slide ⁇ -saddle)
  • the structure in which the direction of this vector is inverted is also sliding ⁇ -saddle (FIG. 5 (d)).
  • spring / suction structure refers to the connection destination of ss-separarix that emerges from the (boundary) saddle point, and various suction / spring such as spring point / suction point / limit cycle / limit cycle. Note that the structure of the saddle is allowed. On the other hand, the other ss-separarix in the definition of slideable ⁇ -saddle allows only the point structure of spring / suction, and when it is called the slide saddle structure, the saddle point x and the ss-separarix and the spring point connected to it are allowed. Refers to the set of (suction points). When the saddle structure is called a slide ( ⁇ -) saddle structure, it refers to a pair of two boundary saddle points of x and y, ss-separarix ⁇ connected to x, and a spring point / suction point.
  • FIG. 6 shows some two-dimensional structures.
  • the "center disk” refers to a structure composed of one vortex center point and a periodic orbit that fills the periphery thereof.
  • the boundary of this center disk is one of the limit cycle; saddle and the self-connected saddle separation that connects it; two separate saddle points that connect two boundary saddle points on the same boundary, it is called “trivial center disk”.
  • FIG. 6A shows an example of a trivial center disk.
  • Sink (source) disk refers to a structure consisting of one suction point (welling point) and a non-closed orbit that fills the surrounding area.
  • a sink / source disc that does not have a common part with the separate sink is called a "trivial sink / source disc”.
  • FIG. 6B shows an example of a trivial source disk.
  • Period border annulus refers to a structure consisting of a boundary and a periodic orbit that fills the surrounding area.
  • periodic border annulus is a kind of periodic border annulus.
  • FIG. 6 (c) shows an example of a periodic border annulus.
  • “Limit annulus” refers to a structure in which an open ring region filled with a non-closed orbit of P (v) and the boundary thereof is a limit circle.
  • FIG. 6 (d) shows an example of limit annulus.
  • Period annulus is an open circular region filled with the periodic orbit of Per (v).
  • FIG. 6 (e) shows an example of periodic annulus. Note that if one boundary of the periodic annulus is a cycle (a non-trivial cycle of Per (v)), on the other side it must be a limit cycle. This is because if the opposite side is also filled with periodic orbitals, this cycle cannot be distinguished from normal periodic orbitals.
  • Rotating surface refers to a structure consisting of two vortex center points and a periodic orbit that fills the space between them in the flow of the entire spherical surface. This represents the basic flow of a two-dimensional sphere with no boundaries.
  • FIG. 6 (f) shows an example of a rotating sphere.
  • FIG. 7 shows Reeb domain and rotating annulus as a two-dimensional structure.
  • “Reeb domain” is Hirakien ring region U that is filled with a non-closed orbit, the boundaries of two limit Circuit gamma + and gamma - exist, U is W u ( ⁇ -) ⁇ W s It is a connected component of ( ⁇ + ) and refers to the same structure in which the rotation directions of ⁇ ⁇ are reversed.
  • 7 (a) and 7 (b) show an example of a Reeb domain.
  • the annular region is an annular region filled with non-closed orbits, and the flow directions at the inner boundary and the outer boundary are reversed. And the boundary on both sides is a limit cycle.
  • the inner and outer boundaries are saddles and self-connected separarix (limit cycles) connecting them.
  • FIG. 7 (c) shows an example of rotating annulus.
  • the inside is filled with non-closed orbits, but the flow directions at the outer and inner boundaries are aligned. This concludes the explanation of the flow structure of each dimension.
  • condition (1) has already been assumed. By imposing the condition (2), it can be seen that the number of singular points is finite and isolated.
  • condition (3) means that structures such as limit cycles do not accumulate indefinitely.
  • condition (4) it can be concluded that the non-trivial limit cycle composed of the separarix connecting the saddle points has only four patterns shown in FIG.
  • the conditions (1), (2), and (4) are satisfied by adding the mathematical limitation of structural stability to the flow. Since the incompressible condition is removed in the present embodiment, the structural stability condition cannot be imposed.
  • the classification theory of finite flow is a generalization of Poincare-Bendixon's theorem, including the global connection situation.
  • the flow v of the curved surface S is defined as a finite type flow (flow of finite type).
  • the ⁇ limit set ( ⁇ limit set) of the proper non-closed orbit of v is composed of the following. (1) Saddle point (2) Boundary saddle point (3) Suction point (4) Spring point (5) Boundary suction point (6) Boundary boiling point (7) Vortex center point (8) tracing (repelling) limit cycle (9) attracting (repelling) non-trivial limit cycle "
  • the orbital group of the finite type flow (flow of finite type) can be classified into the following three categories.
  • P sep (v) An orbital set consisting of saddle sepatrix and ss-separatrix in the interior point set of P (v) (2) ⁇ Per (v): A set of orbits at the boundary of the periodic orbital set (2) 3) ⁇ P (v): A set of orbits that is the boundary of a non-closed orbit set (4) ⁇ Per (v): A set of periodic orbits that orbit along the boundary ⁇ S of S ( ⁇ S ⁇ intPer (v)) "
  • P sep (v) is a set consisting of saddle sepatrix and ss-separarix and is located at the inner point of a propar orbit
  • the neighborhood of the structure is also a proper orbit, and it also refers to a set that is not a limit set. ..
  • the orbits of ⁇ P (v) and ⁇ Per (v) refer to limit cycles and non-trivial limit cycles.
  • the adjacency of is expressed as a graph, and a character string is assigned to it.
  • FIG. 9 shows the classification of the orbital groups in the region appearing in the complement of the boundary orbital set Bd (v) of the finite type flow (flow of finite type) v.
  • FIG. 9A shows an open rectangular region in which the orbital space is an open section. That is, when a flow such as a uniform flow enters in parallel in the rectangular open set T as shown in FIG. 9A, the orbital space becomes an open section.
  • FIG. 9B shows an open ring region in which the orbital space is circumferential.
  • FIG. 9C shows an open ring region in which the orbital space is an open section. As shown in FIGS. 9B and 9C, the orbital space of the orbital group in the open ring region comprises a circumference and an open section, respectively.
  • Theorem 1 below asserts that "there are only three types of orbits shown in FIG. 9 that fill the open domain divided by Bd (v)". The proof of this theorem was given by the present inventor.
  • Theorem 1 For any finite type flow (flow of finish type) v on the curved surface S ⁇ S 2 , the orbit of the region entering the complementary set (Bd (v)) c of the boundary set is the following 3 It is one of the types. (1) An open rectangular region filled with P (v) non-closed orbitals. The orbital space is an open section (Fig. 9 (a)). This is the flow in the vicinity of ss-separatrix. (2) The open ring region is filled with P (v) non-closed orbitals.
  • COT expression The algorithm used in the embodiment described later converts the phase structure of the orbital group of the compressible flow into a "partial circular order rooted tree representation" (hereinafter, referred to as "COT representation”.
  • COT partially Cyclically Ordered Tree representation). Is what you do.
  • the COT representation was newly devised by the present inventors from a computer science point of view as a data structure for implementing the characterization of the streamline phase structure of an incompressible flow in a computer program.
  • the word expression theory see, for example, Patent Document 1
  • the normal expression theory see, for example, Patent Document 3
  • Patent Document 3 which are previous studies, are correct in theory, but they will be described later from the viewpoint of data structures for programming. There is some ambiguity like this.
  • FIG. 10 shows the basic streamline structure of a structurally stable Hamiltonian vector field.
  • FIG. 11 shows a local streamline structure entering a structurally stable Hamiltonian vector field.
  • ⁇ in a show that local streamline structure A sequence given in Figure 11 (a) is entered.
  • ⁇ b + and ⁇ b- indicate that the streamlined structure of the B series given in FIG. 11 (b) is contained therein.
  • ⁇ c + and ⁇ c ⁇ indicate that any number of streamline structures of the C series given in FIG. 11 (c) may be contained.
  • the numbers written on the right shoulder of ⁇ indicate the order in which they are arranged in the COT expression.
  • the simplest flow in the unbounded region is the uniform flow from left to right shown in FIG. 10 (a).
  • the ⁇ a and the dotted line in the figure indicate that the streamline structure of the A series (class-a) shown in FIG. 11 (a) may be included in this flow field.
  • the COT expression corresponding to this flow is written as a ⁇ ( ⁇ as ).
  • FIG. 10B and FIG. 10C depending on the difference between the counterclockwise rotation direction and the clockwise rotation direction.
  • the direction of flow is also accurately classified in this characterization theory.
  • FIG. 11 shows all the local streamline topological structures generated by the structurally stable Hamiltonian vector field and the associated symbols. Add + or-signs according to the orientation of the generated streamline structure (counterclockwise and clockwise), respectively.
  • FIG. 11A shows a streamlined structure of the A series.
  • the COT representation of the structure a + is a + ( ⁇ b + ). This, ⁇ b + counterclockwise inside the B series (positive) direction of flow local partial structure b ++, b + -, indicating that the beta + either is contained therein.
  • the COT representation of the structure a ⁇ is a ⁇ ( ⁇ b ⁇ ). This indicates that inside ⁇ b- , the flow in the clockwise (negative) direction of the B series is contained in any of the local partial structures b -- , b ⁇ + , and ⁇ ⁇ .
  • the structure of the C sequence is any number attached to and below the physical boundaries.
  • counterclockwise ⁇ c + is on the upper side
  • clockwise ⁇ c- is on the lower side. Therefore, the COT expression is a 2 ( ⁇ c + s , ⁇ c ⁇ s ).
  • FIG. 11B shows a streamlined structure of the B series.
  • the B-series structure is a structure having a self-connected separarix.
  • the COT expressions can be written in compound cotangent order as b ⁇ ⁇ ⁇ b ⁇ , ⁇ b ⁇ ⁇ , b ⁇ dry ( ⁇ b ⁇ , ⁇ b dry ), ⁇ ⁇ ⁇ c ⁇ s ⁇ .
  • FIG. 11C shows a streamlined structure of the C series.
  • the C-series shows a streamlined structure within a region surrounded by ⁇ -saddle separarix, that is, a structure having an arbitrary number of ⁇ -saddle separarix and a large ⁇ -saddle separarix surrounding them at a physical boundary.
  • ⁇ -saddle separarix a structure having an arbitrary number of ⁇ -saddle separarix and a large ⁇ -saddle separarix surrounding them at a physical boundary.
  • its COT representation is c ⁇ ( ⁇ b ⁇ , ⁇ c dry s ) in the same complex order.
  • the structure of the B series is always entered in ⁇ b ⁇ .
  • ⁇ In c ⁇ s an arbitrary number of C-series structures are added to the internal structure.
  • the maximal word expression of the flow pattern described in Patent Document 1 is assigned a character string based on the basic flow and the local streamline structure, but its expressive power is not always sufficient.
  • the four B-series patterns of b ++ , b ⁇ , b + ⁇ , and b ⁇ + shown in FIG. 11 (b) are all expressed as B 0 in the maximal word expression. This was a factor in the lack of one-to-one correspondence between word expressions.
  • the regular expression described in Patent Document 3 distinguishes such a structure, it does not express the information of the local structure that can enter inside. Therefore, the expression of the structure corresponding to ⁇ ⁇ or c ⁇ should be specified in advance. I can't.
  • Table 1 shows the correspondence between the maximum word expression, the regular expression, and the COT expression corresponding to the streamline topological structure shown in FIGS. 10 and 11.
  • ⁇ c + s and ⁇ c ⁇ s represent that non-negative integers (s ⁇ 0) of ⁇ c + and ⁇ c ⁇ are contained, respectively.
  • This notation represents the local stream line structure ⁇ c ⁇ s the C series can enter the lower structure of the structure, more as the terminal symbol not including the structural and substituting lambda ⁇ in ⁇ c ⁇ s To do.
  • Such a COT expression is a more rigorous version of the regular expression. This is extremely useful because it can symbolize everything, including the direction of the flow and the situation of the local streamline structure that can enter inside.
  • this flow has a local substructure of a + in a uniform flow within the unbounded region.
  • the structure of a + ( ⁇ b + ) must always include the structure of the B series as a substructure.
  • ⁇ b + contains the structure of b +- ( ⁇ b + , ⁇ b- ). Therefore, the structure up to this point is expressed as a ⁇ (a + (b +- ( ⁇ b + , ⁇ b- ))) in the COT expression.
  • ⁇ b- since ⁇ b- has a genus element of a counterclockwise physical boundary, it represents a physical boundary with a clockwise periodic orbit around it.
  • ⁇ b- : beta - add - ⁇ lambda ⁇ .
  • ⁇ b + contains the structure of ⁇ + ⁇ c + s ⁇ , and there are two C series c +, but there is one physical boundary with a periodic orbit inside c + on the left side. because it reaches the end, the symbol is c + ( ⁇ + ⁇ + ⁇ , ⁇ -) become.
  • the c + is to the right, further c - structure is in the lower part.
  • Theorem 1 shows that three types of flows enter the two-dimensional region divided by the set Bd (v) of the boundary orbits in the ss-saddle connection diagram D ss (v).
  • the two-dimensional region structure is first defined, and then the corresponding characters (COT representation) are given.
  • the open rectangular region shown in FIG. 9A includes a group of non-closed orbits in the vicinity of ss-separarix connecting the well-out structure and the suction structure, but no symbol is given to this in this conversion algorithm. That is, the default structure is used.
  • Characters (COT representation) are assigned to the other two two-dimensional structures. These forms an element of the class-b ⁇ and class-b ⁇ ⁇ as shown in Table 3.
  • FIG. 13 shows a structure (two-dimensional structure) representing the orbital group of (Bd (v)) c given in Theorem 1.
  • ⁇ a to ⁇ s are the same as the notation in the case of ⁇ as of incompressible flow.
  • ⁇ a to ⁇ s : ⁇ 1 a to ⁇ ... ⁇ s a to ⁇ (s> 0)
  • the symbol of ⁇ ⁇ is used as in the case of the structurally stable Hamiltonian vector field.
  • FIG. 9C shows a situation in which the inside of the open disk region is filled with periodic orbits.
  • the streamlined structure corresponding to this is the structure b ⁇ shown in FIG. 13 (b).
  • the sign assigns + when the periodic orbit is counterclockwise (forward rotation) and-when the periodic orbit is clockwise (negative rotation).
  • the structure that enters this interior is also the source of Bd (v), but since it is the orbital structure of class- ⁇ that enters there, it is written as ⁇ ⁇ ⁇ , and its definition is given in Table 3.
  • the periodic orbit does not contain a structure like ⁇ a , so this COT expression is given as b ⁇ ( ⁇ ⁇ ⁇ ) in the same order of compound.
  • the structure of the orbital group that can be included in the region divided by Bd (v) is selected from the above.
  • the sets defined from the structure of (Bd (v)) c ⁇ b ⁇ , ⁇ b + , ⁇ b ⁇ , ⁇ b to + , ⁇ b to- are defined as follows.
  • FIG. 14 shows the basic structure on the spherical surface S.
  • ⁇ b ⁇ ⁇ b ⁇ ( ⁇ ⁇ ⁇ ).
  • the COT expression is the orbit around the source point / suction point.
  • ⁇ ⁇ to dry 0 ( ⁇ b ⁇ to ⁇ )
  • ⁇ ⁇ to dry ⁇ ⁇ b ⁇ to ⁇
  • ⁇ ⁇ to dry ⁇ b ⁇ to ⁇
  • FIG. 14B shows a flow that is a child of the root and has no gushing / sucking structure at the outer physical boundary. This COT expression is given as ⁇ ⁇ - ( ⁇ b + , ⁇ c-s ⁇ ) when the flow direction of the outer boundary is counterclockwise.
  • a basic flow structure is shown in which there is at least one gushing / sucking structure connected to the outer physical boundary shown in FIG. 14 (c).
  • the basic structure ⁇ ⁇ 2 is the basic flow structure shown in FIG. 14 (c).
  • any number of class-c ⁇ orbital structures can be attached to the left and right along the boundary.
  • this situation is represented by ⁇ to ⁇ for a special spring point-suction point pair, and ⁇ ⁇ s for any number of class- ⁇ ⁇ s orbital structures. Specifically, it should be written as follows.
  • the COT representation of this basic structure is to arrange each structure on the outer boundary counterclockwise in a circular order. ⁇ ⁇ 2 ( ⁇ c + s , ⁇ ⁇ + , ⁇ c-s , ⁇ ⁇ - , ⁇ ⁇ s ⁇ , ⁇ as ) Given like.
  • the source of Sing (v) ⁇ D ss (v) is a zero-dimensional point structure (isolated structure). Point structures can be classified by their orbits. If the point is a vortex center point with a counterclockwise or clockwise periodic orbit around it, its COT representations are given by ⁇ + and ⁇ ⁇ , respectively. On the other hand, when the point is out points or suction point springing, COT representation, each sigma ⁇ ⁇ 0 together with the rotational direction of the orbit around, ⁇ ⁇ ⁇ , given by sigma ⁇ ⁇ interference (Table 2 and FIG. 15 (b)). These point structures fall into the class- to ⁇ structure.
  • the COT expression is p to ⁇ ( ⁇ b to ⁇ ).
  • the latter structure is represented by the symbol p ⁇ .
  • the structure of the two-dimensional limit orbit group inside may be any. Therefore, the COT expression can be expressed by p ⁇ ( ⁇ b ⁇ ) in the same order of compound.
  • FIG. 16 shows the one-dimensional structure of the (S1) series. These structures are classified according to the positional relationship between the spring structure, the suction structure, and the self-connected saddle separarix.
  • FIG. 16A that is, the structure in which the spring / suction structure exists outside the area surrounded by the self-connected saddle sepatrix is written as a ⁇ .
  • a periodic orbital or non-closed orbital can enter inside the self-connected saddle separarix.
  • a + contains the structural set defined by ⁇ b +
  • a ⁇ contains the structural set defined by ⁇ b ⁇ . Note that this is the same structure as the A-series orbital structure (FIG. 11 (a)) that appears in the structurally stable Hamiltonian vector field, so the same COT representation is assigned.
  • the structure shown in FIG. 16B that is, the structure in which the spring / suction structure exists inside the area surrounded by the self-connected saddle separarix is written as q ⁇ .
  • the orientation of the outer self-connected saddle separatrix is q + when counterclockwise, when the clockwise q - and writing.
  • the COT expression is q ⁇ ( ⁇ ⁇ + , ⁇ ⁇ - , ⁇ as ).
  • FIG. 17 shows the one-dimensional structure of the (S2) series. This is the same structure used in the classification of the structurally stable Hamiltonian vector field, that is, the structure shown in FIG. 11 (b). Therefore, the same COT expression is given. That is, the structure is classified according to the positional relationship between the two self-connected saddle separarix.
  • FIG. 17A that is, the structure in which the regions surrounded by the two self-connected saddle separarix are outside each other is written as b ⁇ ⁇ in the same order of compounding.
  • the code when the rotational directions of the two self-connected saddle separatrix is counterclockwise b ++, when the clockwise b - written as.
  • a two-dimensional structure can be contained in the internal region surrounded by these two self-connected saddle separarix.
  • the direction of rotation is automatically determined, and since there is a degree of freedom in the order in which the two regions are arranged, these are enclosed in ⁇ and the COT expression is b ++ ⁇ b + , ⁇ . b + ⁇ and b - ⁇ b-, and ⁇ b- ⁇ .
  • FIG. 17 (b) that is, the structure in which another self-connected saddle sepatrix is included inside the area surrounded by one self-connected saddle separarix is written as b ⁇ dry in the same order of compound. ..
  • the code when the orientation of the self-connected saddle separatrix outside the counterclockwise b + -, when clockwise b - + to write. From this method of determining the sign, when the internal orbital group is a periodic orbital, it is automatically determined that the rotation directions are opposite to each other. Therefore, the COT expressions are b +- ( ⁇ b + , ⁇ b- ) and b- + ( ⁇ b- , ⁇ b + ). Here, it is decided to order the arrangement of the internal structures so as to match the code under b.
  • FIG. 18 shows the one-dimensional structure of the (S4) series.
  • One-dimensional structure: ⁇ ⁇ The structure shown in FIG. 18 (a) corresponds to a physical boundary with an arbitrary number of ⁇ -saddle separarix. If ⁇ -saddle separarix was not attached, the form was shown in FIG. 15 (a), and the COT expression was ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ . On the other hand, when one or more ⁇ -saddle separarix are attached to the boundary, the structure is the same as that of FIG. 11 (b) ⁇ ⁇ given in the structurally stable Hamiltonian vector field.
  • FIG. 19 shows the one-dimensional structure of the (S5) series.
  • This one-dimensional structure basically corresponds to a slideable ⁇ -saddle that connects a pair of spring / suction structures at the boundary. If there are multiple such structures, one of them is treated as special for the convenience of later algorithm configuration.
  • Structure shown in FIG. 19 (a) is a structure that represents one particular of slidable saddle that connects the pair of gush / suction structure, write this as a 2.
  • an arbitrary number (s ⁇ 0) of structures ⁇ c ⁇ surrounded by ⁇ -saddle separation can be attached depending on the direction of flow on the boundary. This is expressed as ⁇ c ⁇ s .
  • any number of other slideable ⁇ -saddle structures can be attached, but if the lowermost slideable ⁇ -saddle is selected, the structure of other slideable ⁇ -saddle ⁇ ⁇ - is s ⁇ 0 only on the upper side. It will exist. This is expressed as ⁇ ⁇ -s .
  • the COT representation of each structure reads the structure counterclockwise from left to right (that is, clockwise when viewed from the outside), so ⁇ ⁇ to + ( ⁇ c + s , ⁇ to + , ⁇ c-s ) and ⁇ ⁇ - ( ⁇ c + s , ⁇ c-s , ⁇ -- ).
  • suction suction
  • the existing suction (suction) structure is connected to the boundary saddle point that is different from the boundary saddle point that connects to the added spring (suction) structure.
  • the structures of slideable ⁇ -saddle attached to the boundaries at a 2 and c 2 are the structure added from the downstream side of the flow along the boundary (Fig. 19 (c)) and the structure added from the upstream side (Fig.). There are two types (19 (d)). These each ⁇ ⁇ ⁇ -, ⁇ ⁇ ⁇ + and write. After that, the sign is determined by whether the newly added structure is a spring structure or a suction structure.
  • the corresponding COT representation reads the structure counterclockwise at the internal boundary, so ⁇ ⁇ +- ( ⁇ c-s , ⁇ -+ , ⁇ c + s ), ⁇ ⁇ - ( ⁇ c-s , ⁇ c + s) , ⁇ ⁇ - ), ⁇ ⁇ ++ ( ⁇ c + s , ⁇ c-s , ⁇ ⁇ + ) and ⁇ ⁇ -+ ( ⁇ c + s , ⁇ ⁇ - , ⁇ c-s ). It is shown that the ⁇ ⁇ + s introduced here has s ⁇ 0 structures of ⁇ to ⁇ + , and the ⁇ ⁇ ⁇ s has s ⁇ 0 structures of ⁇ to ⁇ ⁇ .
  • FIG. 20 shows the one-dimensional structure of the (S3) series. They have two identical gushing / sucking structures at the saddle point, resulting in a saddle saddle. The structure is classified according to the positional relationship of the ss-component connected to this slide saddle. At this time, since the orbits in the vicinity are all two-dimensional regions (open rectangular regions) filled with non-closed orbits, they are always the source of P sep (v).
  • the structures corresponding to the slide saddle in FIG. 20 (a) existing outside the ss-coment to which the slide saddle is connected are written as a to ⁇ .
  • FIG. 21 shows an example of a general tree representation.
  • the tree representation is a graph with a structure in which vertices are connected by lines.
  • the vertices of trees are roughly divided into two types: those located at the end of the tree ( ⁇ ) and those not located ( ⁇ ).
  • the former (d, e, g, h, j) is called a terminal vertex (“leaf” or “leaf”), and the latter (a, b, c, f, i) is called a non-terminal vertex.
  • the non-terminal vertex (a) at the top is called the "root”.
  • the one closer to the root (upper in the figure) is called the "parent” and the one closer to the leaf is called the "child”.
  • the root is the only parentless vertex in the tree structure. Vertices other than the root always have only one parent. For example, in FIG. 21, b is a child of a and a parent of c, d is a child of c, and so on.
  • the first embodiment of the present invention is a word expression device that expresses the streamline structure of a flow pattern in a two-dimensional region.
  • FIG. 22 shows a functional block diagram of the word expression device 1 according to the first embodiment.
  • the word expression device 1 includes a storage unit 10 and a word expression generation unit 20.
  • the word expression generation unit 20 includes a route determination means 21, a tree expression construction means 22, and a COT expression generation means 23.
  • the storage unit 10 relates to a plurality of streamline structures or vector fields (hereinafter, collectively referred to as "streamline structure") constituting a finite type flow (hereinafter, simply referred to as "flow") pattern. Memorize the correspondence between the structure and its characters.
  • the basic structure ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ ⁇ NOTE ⁇ , may be .phi.2 beta phi ⁇ and beta.
  • the two-dimensional structures may be b to ⁇ and b ⁇ .
  • zero-dimensional point structure sigma ⁇ and ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ , may be at interference sigma ⁇ ⁇ .
  • one-dimensional structure p ⁇ ⁇ , p ⁇ , a ⁇ , q ⁇ , b ⁇ , interference b ⁇ , ⁇ ⁇ , c ⁇ , c 2 ⁇ , a 2
  • It may be ⁇ ⁇ to ⁇ , ⁇ to ⁇ ⁇ , ⁇ to ⁇ dry , a to ⁇ and q to ⁇ .
  • the route determining means 21 determines the route of the given flow pattern.
  • the direction of rotation of the flow is the direction of rotation when the root singular point or boundary is viewed as the center.
  • the "internal structure” of a structure is the connected component of the complement that does not contain a root.
  • the “innermost structure” is a structure having no internal structure or a structure having no internal structure other than a flow box (rectangle composed of orbits in the shape of an open section) as shown in FIG. 9A. It means that.
  • the "boundary component” means a connected component of the boundary.
  • the route is one of the following: 1.
  • the point at infinity is the vortex center point where the orbit around it is counterclockwise. 3.
  • the point at infinity is the vortex center point where the orbit around it is clockwise.
  • the point at infinity is the suction point where the surrounding orbit is not rotating. 5.
  • the suction point where the point at infinity is "the orbit around it is counterclockwise”.
  • the suction point where the point at infinity is "clockwise around the orbit”.
  • the point at infinity is the spring point where the surrounding orbits are not rotating.
  • the point at infinity is the spring point where the surrounding orbit is counterclockwise.
  • the point at infinity is the spring point where the orbit around it is clockwise.
  • a boundary component consisting of a counterclockwise orbit and a boundary saddle point when viewed from the point at infinity (in this case, there is no boundary saddle point having a separation that connects to the spring structure in the child of the root.
  • the boundary component that becomes the root If you think that the point at infinity is included in, the boundary that becomes the root seems to rotate clockwise when viewed from the origin at ⁇ b ⁇ ⁇ - ).
  • a boundary component consisting of a clockwise orbit and a boundary saddle point when viewed from the point at infinity in this case, there is no boundary saddle point having a separarix connected to the spring point).
  • a boundary saddle point with a separarix connected to the suction point and a boundary saddle point and a boundary component having a separate saddle connected to the adjacent spring point in a counterclockwise direction when determining the rotation direction of the suction point / spring point at the point at infinity from finite data, the boundary of the data area may be crushed to one point and that point may be regarded as the point at infinity to determine the rotation direction. ..
  • the threshold value ⁇ and the probability p are set and the ratio of "a vector that touches the boundary in the (counterclockwise) direction with an angle error ⁇ or less" is greater than or equal to the probability p, the rotation is (counterclockwise).
  • the direction of rotation may be determined by making a judgment and making a criterion for judging that the other parts are not rotating.
  • the direction of the flow such as the periodic orbit is determined as follows, and the sign of the local structure of the flow is determined. 1. 1. Consider the route as a point at infinity or a boundary at infinity, and consider the rest of the structure in a plane. 2. 2. Look at the direction of the structure of the flow to be extracted, and define the sign as + for counterclockwise and-for clockwise.
  • the codes ⁇ ⁇ ⁇ and ⁇ ⁇ drying regarding the direction and suction spring are determined as follows. 1. 1. When the structure of the flow is pulled out, if the parent structure is the suction structure and the non-closed orbit is rotating counterclockwise in the vicinity, the sign is defined as ⁇ -+. 2. 2. When the structure of the flow is pulled out, if the parent structure is the suction structure and the non-closed orbit is rotating clockwise in the vicinity, the code is defined as. 3. 3. When the structure of the flow is pulled out, if the parent structure is the suction structure and the non-closed orbit is not rotating in the vicinity, the sign is defined as ⁇ -0. 4.
  • the parent structure When the structure of the flow is pulled out, the parent structure is the spring structure, and if the non-closed orbit is rotating counterclockwise in the vicinity, the code is defined as ⁇ ++.
  • the parent structure When the structure of the flow is pulled out, the parent structure is the spring structure, and if the non-closed orbit is rotating counterclockwise in the vicinity, the sign is defined as ⁇ +-. 6.
  • the parent structure When the structure of the flow is pulled out, the parent structure is the spring structure, and if the non-closed orbit is not rotating in the vicinity, the sign is defined as ⁇ + 0.
  • the tree expression forming means 22 extracts the streamline structure of the given flow pattern, adds characters to the extracted streamline structure based on the correspondence stored in the storage unit 10, and obtains the extracted streamline structure.
  • a tree representation of a given flow pattern is constructed by repeating the process of deleting from the innermost part of the flow pattern until the route is reached. The construction of the tree representation is carried out based on the following principles. 1. 1. Extract the streamline structure from a given flow pattern. 2. 2. When extracting a streamline structure, a character (COT expression) corresponding to the streamline structure is added as the apex of the tree. Then, the streamline structure is deleted.
  • COT expression character
  • extracting the structure is collectively referred to as “extracting the structure”. 3. 3.
  • the innermost structure corresponds to the leaf. 3.2.
  • the structure to be pulled out last corresponds to the route. That is, the process of removing the structure is repeated until the route of the given flow pattern is reached. 3.3.
  • When pulling out a structure replace it with ⁇ and link ⁇ with that structure to correspond (so that when pulling out the upper structure containing this ⁇ , this structure is the "child" of the upper structure. Can be a structure).
  • the tree expression constructing means 22 constructs a tree expression by sequentially adding vertices from the leaves toward the root. Specifically, in the process of pulling out from the innermost flow structure, a tree expression is constructed by adding vertices to the leaves. That is, a tree expression is constructed by adding new vertices while checking two points, "what is the child of the newly added vertex" and "how to arrange them”.
  • the tree representation construction means 22 constructs a tree representation by executing the processes of steps S10 to S53.
  • FIG. 23 is a flow chart showing the processes of steps S10 to S53.
  • FIG. 23A shows the flow of steps S10 to S20.
  • FIG. 23B shows the flow of steps S21 to S31.
  • FIG. 23C shows the flow of steps S32 to S43.
  • FIG. 23D shows the flow of steps S44 to S53.
  • the construction of the tree representation starts with the route determined by the given flow pattern.
  • step S10 this method determines whether or not a singular point exists in the innermost part of the given flow pattern. If the determination in step S10 is affirmative, the process proceeds to step S11. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S18.
  • step S11 this method determines whether or not the specific point existing in the innermost part is the route. If the determination in step S11 is affirmative, the process proceeds to step S12. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S15.
  • step S12 this method determines whether or not the structure of the child of the singularity described above is the structure shown in FIG. 13 (b). If the determination in step S12 is affirmative, the process proceeds to step S13. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S14.
  • step S13 the method assigns the character ⁇ ⁇ ⁇ to the above-mentioned singular point and removes this singular point from the flow pattern. When all the singular points are extracted, the process ends.
  • step S14 the singularity of the foregoing, in accordance with the rotational direction, the character ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , by applying one of the sigma phi ⁇ ⁇ interference flows through this singular point Pull out of the pattern. That is, when the non-closed orbital group is not rotating around the spring point / suction point, which is the point of infinity, ⁇ ⁇ to ⁇ 0 in the same order of compound, and when it is rotating counterclockwise. sigma phi ⁇ NOTE +, when rotating clockwise sigma phi ⁇ NOTE - to impart, pull from the pattern of the singularity stream.
  • step S15 this method determines whether or not the structure of the parent of the above-mentioned singularity is the structure shown in FIG. 13 (b). If the determination in step S15 is affirmative, the process proceeds to step S16. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S17.
  • step S16 the method assigns the character ⁇ ⁇ to the above-mentioned singular point and removes this singular point from the flow pattern. If there are multiple same singular points, the process of adding the character ⁇ ⁇ to each singular point and removing it from the flow pattern is repeated. When all the singular points are extracted, the process returns to step S10.
  • step S17 is the singularity described above, in accordance with the rotational direction, the character ⁇ ⁇ ⁇ 0, ⁇ ⁇ ⁇ , by applying one of the sigma ⁇ ⁇ interference, disconnect from the pattern of the singularity flow .. That is, around the spring point / suction point, when the non-closed orbital group is not rotating, ⁇ to ⁇ 0 in the same compound order, and when it is rotating counterclockwise, ⁇ to dry + , clockwise. When rotating to, ⁇ ⁇ dry- is added to remove this singular point from the flow pattern.
  • step S10 If there are multiple same singular points, the process of adding letters ⁇ to ⁇ 0 , ⁇ to ⁇ ⁇ , and ⁇ to ⁇ dry to each singular point and removing them from the flow pattern is repeated. When all the singular points are extracted, the process returns to step S10.
  • step S18 this method determines whether or not there is a boundary inside the given flow pattern. If the determination in step S18 is affirmative, the process proceeds to step S19. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S22.
  • step S19 this method determines whether or not the innermost boundary is the root. If the determination in step S19 is affirmative, the process proceeds to step S20. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S21.
  • step S20 the method imparts the character ⁇ ⁇ ⁇ to the above boundary and removes this boundary from the flow pattern. When all the boundaries are cut out, the process ends.
  • step S21 the method adds the character ⁇ ⁇ to the above-mentioned boundary and removes this boundary from the flow pattern. If there are multiple same boundaries, the process of adding the character ⁇ ⁇ to each boundary and removing it from the flow pattern is repeated. When all the boundaries are cut out, the process returns to step S10.
  • step S22 this method determines whether or not a periodic orbit exists in the innermost part of the given flow pattern. If the determination in step S22 is affirmative, the process proceeds to step S23. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S26.
  • step S23 this method determines whether or not the structure of the parent of the above-mentioned periodic orbit is the structure shown in FIG. 13 (b). If the determination in step S23 is affirmative, the process proceeds to step S24. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S25.
  • step S24 the present method assigns letters p to ⁇ to the above-mentioned periodic orbits and pulls out the periodic orbits from the flow pattern.
  • the process of adding letters p to ⁇ to each periodic orbit and removing from the flow pattern is repeated.
  • the process returns to step S10.
  • step S25 the present method adds the letter p ⁇ to the above-mentioned periodic orbit and pulls out this periodic orbit from the flow pattern.
  • the process of adding the character p ⁇ to each periodic orbit and removing it from the flow pattern is repeated.
  • the process returns to step S10.
  • step S26 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 17 (a) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S26 is affirmative, the process proceeds to step S27. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S28.
  • step S27 the method adds the letters b ⁇ ⁇ to the structure shown in FIG. 17 (a) above to remove this structure from the flow pattern. If there are multiple identical structures, the process of adding letters b ⁇ ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. After removing all the structures shown in FIG. 17 (a), the process returns to step S10.
  • step S28 the method determines whether or not the structure shown in FIG. 17B exists inside the given flow pattern. If the determination in step S28 is affirmative, the process proceeds to step S29. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S30.
  • step S29 the method adds the letters b ⁇ dry to the structure shown in FIG. 17 (b) above to remove this structure from the flow pattern. If there are multiple identical structures, the process of adding the letters b ⁇ dry to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. When all the structures shown in FIG. 17B are cut out, the process returns to step S10.
  • step S30 the method determines whether or not the structure shown in FIG. 18 (b) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S30 is affirmative, the process proceeds to step S31. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S32.
  • step S31 the method adds the letter c ⁇ to the structure shown in FIG. 18B described above to remove this structure from the flow pattern. If there are a plurality of the same structure, the process of adding the character c ⁇ to each structure and removing it from the flow pattern is repeated. When all the structures shown in FIG. 18B are cut out, the process returns to step S10.
  • step S32 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 13B exists inside the given flow pattern. If the determination in step S32 is affirmative, the process proceeds to step S33. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S34.
  • step S33 the method adds the letter b ⁇ to the structure shown in FIG. 13 (b) above to remove this structure from the flow pattern.
  • the process of adding the letters b ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated.
  • the process returns to step S10.
  • step S34 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 13A exists inside the given flow pattern. If the determination in step S34 is affirmative, the process proceeds to step S35. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S36.
  • step S35 the method adds letters b to ⁇ to the structure shown in FIG. 13 (a) and removes this structure from the flow pattern.
  • the process of adding letters b to ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. After removing all the structures shown in FIG. 13 (a), the process returns to step S10.
  • step S36 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 20A exists inside the given flow pattern. If the determination in step S36 is affirmative, the process proceeds to step S37. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S38.
  • step S37 the method adds letters a to ⁇ to the structure shown in FIG. 20 (a) and removes this structure from the flow pattern.
  • the process of adding letters a to ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated.
  • the process returns to step S10.
  • step S38 the method determines whether or not the structure shown in FIG. 20 (b) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S38 is affirmative, the process proceeds to step S39. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S40.
  • step S39 in this method, the characters q to ⁇ are added to the structure shown in FIG. 20B described above, and this structure is removed from the flow pattern. If there are multiple identical structures, the process of adding letters q to ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. When all the structures shown in FIG. 20 (b) are cut out, the process returns to step S10.
  • step S40 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 16A exists inside the given flow pattern. If the determination in step S40 is affirmative, the process proceeds to step S41. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S42.
  • step S41 the method adds the letter a ⁇ to the structure shown in FIG. 16 (a) above to remove this structure from the flow pattern. If there are a plurality of the same structures, the process of adding the letters a ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. After cutting out all the structures shown in FIG. 16A, the process returns to step S10.
  • step S42 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 16B exists inside the given flow pattern. If the determination in step S42 is affirmative, the process proceeds to step S43. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S44.
  • step S43 the method adds the letter q ⁇ to the structure shown in FIG. 16B above to remove this structure from the flow pattern. If there are a plurality of the same structures, the process of adding the character q ⁇ to each structure and removing it from the flow pattern is repeated. After cutting out all the structures shown in FIG. 16B, the process returns to step S10.
  • step S44 the method determines whether or not the structure shown in FIG. 14 (c) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S44 is affirmative, the process proceeds to step S45. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S46.
  • step S45 the method adds the letter ⁇ ⁇ 2 to the structure shown in FIG. 14 (c) above and removes this structure from the flow pattern. When all the boundaries are cut out, the process ends.
  • step S46 the method determines whether or not the structure shown in FIG. 19A exists inside the given flow pattern. If the determination in step S46 is affirmative, the process proceeds to step S47. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S48.
  • step S47 is to impart letters a 2 in the structure shown in the aforementioned FIG. 19 (a), the pull out from the pattern of this structure flow. If the same structure there are a plurality repeats the process of disconnecting from the flow pattern by applying a character a 2 to each structure. After cutting out all the structures shown in FIG. 19 (a), the process returns to step S10.
  • step S48 this method determines whether or not the structure shown in FIG. 18 (c) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S48 is affirmative, the process proceeds to step S49. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S50.
  • step S49 the method adds the letter c 2 ⁇ to the structure shown in FIG. 18 (c) above to remove this structure from the flow pattern. If there are a plurality of the same structures, the process of adding the letters c 2 ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. After cutting out all the structures shown in FIG. 18 (c), the process returns to step S10.
  • step S50 the method determines whether or not any of the structures shown in FIGS. 19 (b), (c), and (d) exists inside the given flow pattern. If the determination in step S50 is affirmative, the process proceeds to step S51. On the other hand, if it is negative, characters cannot be added to the structure, so error processing is performed and then processing is terminated.
  • step S51 the method determines whether or not the parent of any of the structures shown in FIGS. 19 (b), 19 (c), and (d) described above is the root. If the determination in step S51 is affirmative, the process proceeds to step S52. On the other hand, if it is negative, the process proceeds to step S53.
  • step S52 the method adds letters ⁇ ⁇ to ⁇ to the structure shown in FIG. 19B described above, and removes this structure from the flow pattern. If there are multiple identical structures, the process of adding letters ⁇ ⁇ to ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. When all the structures shown in FIG. 19B are cut out, the process returns to step S10.
  • step S53 the method assigns the letters ⁇ to ⁇ ⁇ or ⁇ to ⁇ to any of the structures shown in FIGS. 19 (c) and 19 (d) above, and removes this structure from the flow pattern. .. If there are multiple identical structures, the process of adding letters ⁇ to ⁇ ⁇ or ⁇ to ⁇ to each structure and removing them from the flow pattern is repeated. After cutting out all the structures shown in FIGS. 19C and 19D, the process returns to step S10.
  • the tree expression construct means 22 adds characters to the flow pattern on the arbitrary curved surface S, and obtains an abstract tree expression of the flow pattern.
  • the abstract tree representation of the flow pattern obtained as described above includes the structure as an abstract graph of the ss-saddle connection diagram, but in order to convert it to the COT representation, the combination as a curved surface graph of the ss-saddle connection diagram Since a structure is required, the required combination structure of the combination structure as a curved surface graph of the ss-saddle connection diagram is extracted.
  • the COT expression generation means 23 converts the tree representation configured by the tree representation construction means 22 into a COT representation. Specifically, the COT expression is constructed by converting the tree expression into the expression using parentheses. However, the conversion is realized by using curly braces ⁇ when the elements are arranged in a circular order, and by using parentheses () when the elements are arranged in a total order. The generation of the COT expression will be described later using an example.
  • a COT representation of the flow pattern can be obtained, that is, the flow pattern can be converted into characters.
  • FIG. 24A shows an example of the flow pattern. It is shown that the COT representation of this flow pattern can be obtained by performing the procedure shown below according to the first embodiment.
  • the corresponding characters are b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + , ⁇ a ⁇ + s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b + . Word is generated at this time is p - (b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + -, ⁇ ⁇ +)) is. 4. Since innermost is the periodic orbit clockwise, the corresponding character p - is - ( ⁇ b). Remove this structure and replace it with ⁇ ⁇ - . Word is generated at this time is b ⁇ - (p - (b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + -, ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ -) is. 5.
  • the corresponding characters are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - , ⁇ a ⁇ -s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b ⁇ ⁇ - .
  • Word is generated at this time is ⁇ ⁇ ⁇ ++ (b ⁇ - (p - (b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + -, ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ -)) is. 6.
  • the innermost part is the root, and the corresponding characters are ⁇ ⁇ to +- ( ⁇ b ⁇ to- ).
  • the generated word ⁇ ⁇ ⁇ ++ (b ⁇ - (p - (b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + -, ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ -)) is.
  • FIG. 24B shows another example of the flow pattern. It is shown that the COT representation of this flow pattern can be obtained by performing the procedure shown below according to the first embodiment.
  • the corresponding characters are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - , ⁇ a ⁇ -s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b- .
  • the words generated at this time are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - , ⁇ ⁇ - ). 4. Since innermost is the periodic orbit clockwise, the corresponding character p - a ( ⁇ b-). Remove this structure and replace it with ⁇ ⁇ - . Word is generated at this time is p - (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ -, ⁇ ⁇ -)) is. 5.
  • Word is generated at this time is b ⁇ + (p - (b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p - (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ -, ⁇ ⁇ -)), ⁇ ⁇ -)), ⁇ ⁇ - )), ⁇ ⁇ - ). 10.
  • the innermost part is the root, and the corresponding characters are ⁇ ⁇ to ⁇ + ( ⁇ b ⁇ to + ).
  • the generated words are ⁇ ⁇ ⁇ - + (b ⁇ + (p - (b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p - (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ -- , ⁇ ⁇ - ))), ⁇ ⁇ - )), ⁇ ⁇ - )), ⁇ ⁇ - )).
  • FIG. 24 (c) shows another example of the flow pattern. It is shown that the COT representation of this flow pattern can be obtained by performing the procedure shown below according to the first embodiment.
  • the corresponding characters are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - , ⁇ a ⁇ -s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b- .
  • the words generated at this time are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ -+ , ⁇ ⁇ - ). 4. Since the innermost part has a counterclockwise periodic orbit, the corresponding character is p + ( ⁇ b + ). Remove this structure and replace it with ⁇ to + . The word generated at this time is p + (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ -+ )). 5.
  • the corresponding characters are b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - , ⁇ a ⁇ -s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b- . Word is generated at this time is b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p + (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - +, ⁇ ⁇ -)), ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ -) is. 8. Since the innermost part has a counterclockwise periodic orbit, the corresponding character is p + ( ⁇ b + ). Remove this structure and replace it with ⁇ to + .
  • This time word is generated p + (b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p + (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - +, ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ -)), ⁇ ⁇ -)) Is.
  • the innermost part is a well-flowing and open ring region, the corresponding characters are b ⁇ + ( ⁇ ⁇ + , ⁇ a ⁇ + s ⁇ ). Remove this structure and replace it with ⁇ b + .
  • Word is generated at this time is b ⁇ + (p + (b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p + (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - +, ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ +)), ⁇ ⁇ - )), ⁇ ⁇ - ). 10.
  • the innermost part is the root, and the corresponding characters are ⁇ ⁇ ⁇ - ( ⁇ b ⁇ ⁇ + ).
  • the generated words are ⁇ ⁇ ⁇ -- (b ⁇ + (p + (b ⁇ - (p - (b ⁇ + (p + (b ⁇ - ( ⁇ ⁇ - + , ⁇ ⁇ - ))), ⁇ ⁇ + )), ⁇ ⁇ - )), ⁇ ⁇ + )).
  • FIG. 25 (a) shows another example of the flow pattern. It is shown that the COT representation of this flow pattern can be obtained by performing the procedure shown below according to the first embodiment.
  • v 1 -v 4 v word generated corresponding to the containing 7 two c + (b + ( ⁇ + ), ⁇ -) and three c - (b - ( ⁇ - ), ⁇ + ), A total of five. 6. Since the innermost part is ⁇ + , this structure is removed and replaced with ⁇ c ⁇ s . In this case, the word which is generated corresponding to c 3 ⁇ + ⁇ c + ( b + ( ⁇ +), ⁇ -) ⁇ is. 7. Since the innermost part is an open ring consisting of periodic orbits, the corresponding character is b + ( ⁇ ⁇ ⁇ ).
  • FIG. 25 (a) COT expressed ⁇ ⁇ - (b + to flow pattern of the ( ⁇ + ⁇ c + (b + ( ⁇ +), ⁇ -) ⁇ c + (b + ( ⁇ + ⁇ c + (b + (b ++ ⁇ b + (b + - (b + ( ⁇ +), b - ( ⁇ -))), b + ( ⁇ + ⁇ c + (b + ( ⁇ + ), ⁇ -) ⁇ ) ⁇ )) ⁇ ), c - (b - ( ⁇ -))) ⁇ ), ⁇ c + (b + ( ⁇ +), ⁇ -) ⁇ c + (b + ( ⁇ + ), ⁇ -) ⁇ ) Is shown to be given.
  • FIG. 25 (b) shows another example of the flow pattern. It is shown that the COT representation of this flow pattern can be obtained by performing the procedure shown below according to the first embodiment.
  • this structure is omitted and replaced with ⁇ b- .
  • v 4 v word generated corresponding to an open ring consisting of periodic orbits around 5 b - (b - ⁇ b - ( ⁇ -), b -) - ( ⁇ ) is .. 6. Since the innermost part is c ⁇ , the corresponding characters are c ⁇ ( ⁇ b ⁇ , ⁇ c dry s ). Remove this structure and replace it with ⁇ c ⁇ .
  • v 1, v 2, v 6 v word generated corresponding to the structure containing 7 c + (b + ( ⁇ + ), ⁇ -) and c - (b - ( ⁇ - ), ⁇ + ). 7. Since the innermost part is a ⁇ , the corresponding character is a ⁇ ( ⁇ b ⁇ ). This structure is removed, but since class-a 2 remains, it is not replaced with ⁇ . In this case, v 3 and v 4, v 5 and word generated corresponding the a + a (b + ( ⁇ +)) a - (b - (b - ⁇ b - ( ⁇ -), b - ( ⁇ -) ⁇ )) it is. 8.
  • the corresponding characters are c 2- ( ⁇ c-s , ⁇ -+ , ⁇ c + s , ⁇ -- , ⁇ ⁇ -s , ⁇ c-s , ⁇ as ). Remove this structure and replace it with ⁇ c- .
  • the words generated corresponding to the structure including s 3 and s 4 are c 2- ( ⁇ + , ⁇ ⁇ 0 , ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ + 0 , ⁇ ⁇ , ⁇ + , ⁇ ⁇ ). 10.
  • the second embodiment of the present invention is a word expression device that expresses the streamline structure of a flow pattern in a two-dimensional region.
  • FIG. 26 shows a functional block diagram of the word expression device 2 according to the second embodiment.
  • the word expression generation unit 20 of the word expression device 2 includes a combination structure extraction means 24 between the tree expression construction means 22 and the COT expression generation means 23. Other configurations and operations are common to the word expression device 1.
  • the combination structure extraction means 24 extracts the combination structure from the given flow pattern.
  • the COT expression generated by the word expression device 1 of the first embodiment has a many-to-one correspondence, but in the second embodiment, a one-to-one correspondence can be obtained by adding a combination structure to the COT expression.
  • the COT representation can uniquely represent the arrangement of local structures, it does not have information on one-dimensional global connections. Therefore, the COT expression is a many-to-one expression. Note that the zero-dimensional and two-dimensional structures are uniquely defined by the COT representation. Information on one-dimensional global connection is hereinafter referred to as "combination structure”. There is a ss-saddle connection diagram that has sufficient information on this structure.
  • the COT representation completely describes the local structure. However, when there are two structures, even if these local structures are the same, the overall structure does not always match. Therefore, by adding a combinatorial structure to the COT expression, the global structure is also determined, and as a result, the structure is determined to be one-to-one.
  • the combinatorial structure has only the information of the structure of the global connection, and has no information about the zero-dimensional point structure and the two-dimensional structure. Therefore, by combining these two pieces of information, both the local structure and the global structure are determined, and as a result, the structure is determined on a one-to-one basis.
  • the combination structure extraction means 24 extracts as a graph structure what kind of ss-coment the ss-separarix connected to the saddle is connected to.
  • the vertices are "saddle connected to ss-component” and “ss-coment connected to saddle”, and the sides are ss-separarix connected to saddle.
  • the "ss-coment connected to the saddle” had a structure of any of sink, source, and limit cycle / limit cycle.
  • This graph is an abstract graph in which the number of vertices and edges is finite. When the limit cycle / limit cycle is not included, this abstract graph is realized as a curved surface graph.
  • the abstract graph is not realized as a curved surface graph because these vertices are realized as a periodic orbit or a cycle. Therefore, considering the complement of limit cycle / limit cycle, and considering the curved surface in which the limit cycle / limit graph on the newly created boundary is crushed to one point, "ss-coment connected to saddle" is only sink and source.
  • a new abstract graph obtained by cutting the vertices corresponding to the limit cycle / limit cycle of the abstract graph into two is realized as a curved surface graph.
  • the newly obtained curved surface graph shows how ss-separarix wraps around ss-coment. I have complete information. Therefore, this set of curved surface graph and COT representation has the information of the original ss-saddle connection diagram completely. Therefore, this curved surface graph is extracted.
  • FIGS. 27A and 27B are examples of flow patterns having the same COT representation but different global structures (combination structures) and therefore having different streamline topologies.
  • the curved surface graph is constructed by the method of the above "when the limit cycle / limit cycle is not included". Further, the vertices derived from the limit cycle / limit cycle are given information as a label indicating which point was originally the same point.
  • FIG. 28 shows a procedure for extracting a combination structure from the flow pattern of FIG. 27.
  • FIG. 28 obtained by extracting saddle and sink, source and ss-separarix shows a combination structure to be extracted from the flow pattern of FIG. 27. It is a figure.
  • a complement of limit cycle / limit cycle is considered, and a new curved surface is constructed by crushing each of the limit cycle / limit cycle on the new boundary to one point, and the label of the newly crushed vertex is formed.
  • the set of curved surface graphs on the curved surface is a combinational structure to be extracted from the flow pattern.
  • a third embodiment of the present invention is a word expression method for expressing the streamline structure of a flow pattern in a two-dimensional region. This method is performed by a computer equipped with a storage unit and a word expression generation unit.
  • FIG. 30 shows the flow of the word expression method according to the third embodiment. The method includes step S1 for determining the route of a given flow pattern, step S2 for constructing a tree representation of the flow pattern, and step S3 for generating a COT representation of the flow pattern.
  • step S1 this method determines the route of the given flow pattern. Since the specific process of route determination is the same as that described in the first embodiment, detailed description thereof will be omitted.
  • step S2 this method constitutes a tree representation of a given flow pattern. Since the specific processing of the tree representation configuration is common to steps S10 to S53 of the first embodiment, detailed description thereof will be omitted.
  • step S3 this method converts the tree representation composed in step S2 into a COT representation.
  • a COT representation of the flow pattern can be obtained, that is, the flow pattern can be converted into characters.
  • a fourth embodiment of the present invention is a program for causing a computer including a storage unit and a word expression generation unit to execute processing.
  • This program causes the computer to execute the flow shown in FIG. That is, this program causes the computer to execute step S1 for determining the route of the given flow pattern, step S2 for constructing the tree representation of the flow pattern, and step S3 for generating the COT representation of the flow pattern. ..
  • a program for obtaining a COT representation of the flow pattern that is, characterizing the flow pattern can be implemented in software, and therefore a computer is used. It is possible to realize highly accurate word expressions.
  • a fifth embodiment of the present invention is a method for learning the shape of a structure.
  • a river will be described as an example of a fluid.
  • FIG. 31 shows a flow pattern obtained by simulation based on a topographic map of a river and its COT expression.
  • vortices accompanied by suction and springing occur in the flow on the surface of the river.
  • Such vortices can, for example, interfere with river traffic.
  • new suction or springing may occur in an unexpected place due to the complexity of the shape of the river.
  • the flow is controlled by expressing the flow pattern generated around the structure into words and letting artificial intelligence (hereinafter referred to as “AI”) learn the relationship between the word expressions and the shape of the structure.
  • AI artificial intelligence
  • the purpose is to calculate the optimum structure shape for this purpose.
  • FIG. 32 shows the flow of the structure shape learning method according to the fifth embodiment.
  • step S110 for expressing the streamline structure of the flow pattern generated around the structure in the fluid in words and the word expression are input, and AI is used to learn so that the three-dimensional shape of the structure is output.
  • this method verbalizes the streamline structure of the flow pattern generated around the structure in the fluid.
  • the fluid is, for example, a river
  • the structure is, for example, the riverbed, riverbank, reef, etc. of the river.
  • the word expression is a COT expression obtained by inputting a flow pattern into the word expression device 1 of FIG. 22, for example.
  • this method takes the word expression as an input and learns with AI so that the three-dimensional shape of the structure is output.
  • the specific method of AI is not particularly limited, but for example, a convolutional neural network (CNN), a recursive neural network (RNN), an LSTM network (Long Short Term Memory), etc.
  • CNN convolutional neural network
  • RNN recursive neural network
  • LSTM Long Short Term Memory
  • different neural networks may be mixed for each calculation model after sharing the input layer.
  • a large number of sets of three-dimensional shapes of structures and word expressions of flow patterns are prepared, and AI is made to learn these as learning data.
  • the AI can calculate and output the three-dimensional shape of the structure that realizes the flow pattern.
  • step S120 even if the AI is to directly learn the three-dimensional shape and flow pattern of the structure as learning data, it is actually difficult to learn. This is because the flow pattern itself is too complicated as a data structure.
  • the present embodiment is characterized in that the streamline structure of the flow pattern is once expressed in words, and then the word expression and the three-dimensional shape of the structure are used as learning data. That is, by expressing a complicated flow pattern with a finite character string such as a COT expression, the data structure becomes simple, and learning by AI becomes possible. As described above, according to the present embodiment, it is possible to obtain the optimum structure shape for controlling the flow of the fluid by utilizing the learning by AI.
  • a sixth embodiment of the present invention is a method for designing the shape of a structure.
  • FIG. 33 shows the flow of the structure design method according to the sixth embodiment.
  • the word expression device described in the first embodiment is used to express the streamline structure of the target flow pattern in words, and the word expression of the target flow pattern is expressed in the fifth embodiment.
  • the step S140 is input to the described learned AI, and the step S150 is to calculate and output the three-dimensional shape of the structure that realizes the target flow pattern by the learned AI.
  • this method uses the word expression device described in the first embodiment to express the streamline structure of the target flow pattern in words.
  • the user may draw a desired flow pattern on the topographic map of the river using drawing software, and have the word expression device 1 of FIG. 22 read the flow pattern to obtain the COT expression.
  • FIG. 34 shows a desirable flow pattern drawn by the user with respect to the topographic map of FIG. 31 and a COT representation thereof.
  • step S140 this method inputs the word expression (COT expression) of the target flow pattern created in step S130 into the learned AI described in the fifth embodiment.
  • COT expression word expression
  • step S150 the present method has learned the optimum shape of the structure for realizing the word expression from the word expression of the target flow pattern input in step S140 based on the learning result in step S120.
  • Output from AI Based on this output result, for example, dredging, sediment injection, wave-dissipating block, etc. are installed to form the target structure, so that the current three-dimensional shape of the river is corrected and a desired flow pattern is obtained. be able to.
  • the shape of this structure has an error with respect to the ideal shape output by AI. May have.
  • the flow pattern realized by the formed structure may be drawn by simulation and the streamline structure may be expressed in words.
  • this word expression may be compared with the word expression of the streamline structure of the flow pattern obtained from the ideal shape output by AI.
  • the desired flow pattern may be drawn on the shape drawing at that time, and the processes of steps S130 to S150 may be performed again.
  • the method described above is not limited to the control of river flow. If AI is made to learn the relationship between the shape of the structure and the COT expression of the fluid flow around it, and then the COT expression of the target fluid flow pattern is input to AI, the desired structure shape Can be output. This can also be applied to, for example, the design of an engine having high combustion efficiency and the design of a screw shape having high thrust.
  • the word expression device of the first or second embodiment may include an image acquisition unit (for example, a camera or the like) that acquires an image of a given flow pattern.
  • the image acquired by the image acquisition unit is transmitted to the word expression generation unit, and the word expression is given by the above-mentioned processing.
  • this modification when an image of a flow pattern is given, it can be taken in to obtain a word expression.
  • the word expression device of the first or second embodiment may include an image recognition unit in addition to the image acquisition unit of the first modification.
  • the image acquired by the image acquisition unit is transmitted to the image recognition unit, and the fluid structure in the image is recognized.
  • the recognized fluid structure is transmitted to the word expression unit, and the word expression is given by the above-mentioned processing.
  • this modification when an image of a flow pattern is given, an accurate word expression can be obtained by recognizing the fluid structure in the image.
  • the modified example has the same action and effect as the embodiment.
  • the present invention can be used for analysis of medical images, design of buildings and industrial products, weather prediction, disaster countermeasures by fluid analysis of rivers and sea surfaces, and fisheries.
  • Step S140 to express the streamline structure of the target flow pattern in words using the device described in the first embodiment.
  • ⁇ ⁇ Step to input the word expression of the target flow pattern into the learned AI described in the fifth embodiment S150 ⁇ ⁇ Calculate and output the three-dimensional shape of the structure that realizes the target flow pattern by AI.

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Abstract

語表現装置は、記憶部と、語表現生成部とを備え、記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段とを備え、ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成手段は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成手段は、木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して与えられた流れパターンの語表現を生成する。また、所望の流れパターンをその周囲に発生させる構造物形状を学習済みＡＩに計算させる。

Description

有限型の流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法
　本発明は、流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法に関する。
　曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに対して、多対１の語表現（極大語表現）を与える技術、および語表現と正規表現を使った流体中の構造物の形状の設計方法が開示されている（例えば、特許文献１参照）。また、位相幾何学的な二次元流れ構造における構造安定な流線パターンから、位相幾何学的にとり得る別の構造安定な流線パターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する技術が開示されている（例えば、特許文献２参照）。さらに、曲面上の非圧縮性流体の流れ構造に対して、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現から語表現（正規表現）を与える技術、およびこれを利用して流体中の構造物の形状を最適化する技術が開示されている（例えば、特許文献３参照）。
国際公開第２０１４／０４１９１７号 国際公開第２０１５／０６８７８４号 国際公開第２０１６／０７２５１５号
　前述の先行技術は、曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに語表現を与えることができるが、圧縮性流体を含む一般的な流れパターンに対しては語表現を与えることができない。
　本発明はこうした課題に鑑みてなされたものであり、その目的の１つは、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることにある。また、本発明の別の目的は、このような圧縮性流体を含む一般的な流れの中に存在する構造物の周囲の流れパターンが所望のパターンとなるような構造物の形状を与える設計方法を与えることにある。
　上記課題を解決するために、本発明のある態様の語表現装置は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備える。記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備える。ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成手段は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成手段は、木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成する。
　この態様によれば、装置を用いて、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができる。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干、βφ±およびβφ2であってもよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ～±およびｂ±であってもよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ～±０、σ～±±、σ～±干であってもよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ～±、ｐ±、ａ±、ｑ±、ｂ±±、ｂ±干、β±、ｃ±、ｃ２±、ａ２、γφ～±、γ～±±、ａ～±およびｑ～±であってもよい。
　語表現生成部は、組合せ構造抽出手段をさらに備えてもよい。組合せ構造抽出手段は、与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出することにより、与えられた流れパターンの一対一対応の語表現を生成してもよい。
　本発明の別の態様は、語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成ステップは、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成ステップは、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成する。
　この態様によれば、コンピュータを用いて、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができる。
　本発明のさらに別の態様は、プログラムである。このプログラムは、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させる。記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶する。このプログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を語表現生成部に実行させる。
　この態様によれば、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えるプログラムを記憶媒体等に実装することができる。
　本発明のさらに別の態様は、方法である。この方法は、二次元領域における流体内の構造物の形状を学習する学習方法であって、請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該構造物の三次元形状と前記語表現との関係をＡＩで学習するステップと、を備える。
　本発明のさらに別の態様もまた、方法である。この方法は、二次元領域における流体内の構造物を設計する構造物設計方法であって、請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該構造物の三次元形状と前記語表現との関係をＡＩで学習するステップと、請求項１に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該目的とする流れパターンの語表現をＡＩに入力するステップと、当該目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状をＡＩで計算して出力するステップと、を備える。
　この態様によれば、流体の流れを制御するために最適な構造物形状を得ることができる。
　なお、以上の構成要素の任意の組み合わせや、本発明の構成要素や表現を方法、装置、プログラム、プログラムを記録した一時的なまたは一時的でない記憶媒体、システムなどの間で相互に置換したものもまた、本発明の態様として有効である。
　本発明によれば、曲面上の圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができ、所望の流れパターンをその周囲に発生させる構造物形状を計算することができる。
[規則91に基づく訂正 03.06.2020]　
ゼロ次元の点構造を示す図である。（ａ）はｃｅｎｔｅｒ（渦心点）を示す。（ｂ）はサドル点（ｓａｄｄｌｅ）を示す。（ｃ）は境界サドル点（∂－ｓａｄｄｌｅ）を示す。（ｄ）は湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）を示す。（ｅ）は境界湧き出し点（∂－ｓｏｕｒｃｅ）を示す。（ｆ）は吸い込み点（ｓｉｎｋ）を示す。（ｇ）は境界吸い込み点（∂－ｓｉｎｋ）を示す。 一次元構造としてのｃｉｒｃｕｉｔを示す図である。（ａ）はｃｙｃｌｅ（サイクル）を示す。（ｂ）は周回軌道を示す。 一次元構造としてのｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを示す図である。（ａ）はｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道を示す。（ｂ）はｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道を示す。 一次元構造としてのｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを示す図である。 一次元構造としてのｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅおよびｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅを示す図である。（ａ）、（ｂ）はｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅを示す。（ｃ）、（ｄ）は、ｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅを示す。 二次元構造を示す図である。（ａ）はｔｒｉｖｉａｌ　ｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋを示す。（ｂ）はｔｒｉｖｉａｌ　ｓｏｕｒｃｅ　ｄｉｓｋを示す。（ｃ）はｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｒｄｅｒ　ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｄ）はｌｉｍｉｔ　ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｅ）はｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｆ）はｒｏｔａｔｉｎｇ　ｓｐｈｅｒｅを示す。 二次元構造としてのＲｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎとｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓを示す図である。（ａ）、（ｂ）はＲｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎを示す。（ｃ）はｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓを示す。 有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）の中に現れる４種類のｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔｓを示す図である。 有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す図である。（ａ）は開矩形領域で軌道空間が開区間であるものを示す。（ｂ）は開円環領域で軌道空間が円周であるものを示す。（ｃ）は開円環領域で軌道空間が開区間であるものを示す。 構造安定なハミルトンベクトル場の基本流線構造を示す図である。（ａ）は非有界領域における一様流を示す。（ｂ）は有界領域内の反時計回り流れを示す。（ｃ）は有界領域内の時計回り流れを示す。 構造安定なハミルトンベクトル場に入る局所流線構造を示す図である。（ａ）はＡ系列の流線構造を示す。（ｂ）はＢ系列の流線構造を示す。（ｃ）はＣ系列の流線構造を示す。 文字化の対象とする流れパターンの例を示す図である。 （Ｂｄ（ｖ））ｃの軌道群を表す構造（二次元構造）を示す図である。（ａ）は構造ｂ～±を示す。（ｂ）は構造ｂ±を示す。自明な構造である（ｃ）には構造を付与しない。 球面Ｓ上の基本構造を示す図である。（ａ）は構造σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干を示す。（ｂ）は構造βφ±を示す。（ｃ）は構造βφ2を示す。 Ｂｄ（ｖ）の流れのゼロ次元点構造と一次元構造の例を示す図である。（ａ）は一次元構造としての構造β±を示す。（ｂ）はゼロ次元点構造としての構造σ±、σ～±０、σ～±±、σ～±干を示す。（ｃ）は一次元構造としての構造ｐ～±を示す。（ｄ）は一次元構造としての構造ｐ±を示す。 （Ｓ１）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ±を示す。（ｂ）は構造ｑ±を示す。 （Ｓ２）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ｂ±±を示す。（ｂ）は構造ｂ±干を示す。 （Ｓ４）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造β±を示す。（ｂ）は構造ｃ±を示す。（ｃ）は構造ｃ２±を示す。 （Ｓ５）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ２を示す。（ｂ）は構造γφ～±を示す。（ｃ）は構造γ～±－を示す。（ｄ）は構造γ～±＋を示す。 （Ｓ３）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ～±を示す。（ｂ）は構造ｑ～±を示す。 木表現の説明図である。 第１実施形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。 第１実施形態における木表現を構成する処理のフロー図である。 曲面上の流れパターンの例を示す図である。 曲面上の流れパターンの別の例を示す図である。 第２実施形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。 同じＣＯＴ表現を持つが、異なる流線トポロジーを持つ流れパターンの例を示す図である。 図２７の流れパターンから組合せ構造を抽出する手続きを示す図である。 流れパターンから抽出すべき組合せ構造を示す図である。 第３実施形態に係る語表現方法のフロー図である。 河川の地形図からシミュレーションにより得られた流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す図である。 第５実施形態に係る構造物形状の学習方法のフロー図である。 第６実施形態に係る構造物設計方法のフロー図である。 図３１の地形図に対してユーザが描画した望ましい流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す図である。
　以下、本発明を好適な実施の形態をもとに各図面を参照しながら説明する。実施の形態および変形例では、同一または同等の構成要素、部品には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、各図面における部品の寸法は、理解を容易にするために適宜拡大、縮小して示される。また、各図面において実施の形態を説明する上で重要ではない要素の一部は省略して表示する。また、第１、第２などの序数を含む用語は多様な構成要素を説明するために用いられるが、この用語は１つの構成要素を他の構成要素から区別する目的でのみ用いられ、この用語によって構成要素が限定されるものではない。
［概要］
　特許文献１に記載の構造安定なハミルトンベクトル場（非圧縮ベクトル場）の分類理論では、特徴的な５種類の一次元の流線構造によって分割される領域の隣接関係をグラフ化することにより文字情報化した。これを圧縮性流体に拡張するために、以下の実施形態では上記の５種類に１４種類の一次元構造を新たに追加し、これらによって分割される二次元領域の内部を埋め尽くしている軌道群に対応した３種類の分類もあわせて文字化する。すなわち、これらの二次元領域を分割する特徴的な一次元流線構造が存在するか否かを確認し、存在すればそれに対応する文字を割り当てる。さらに内部に入る流線群の情報を反映した文字列を順次割り当てることにより、全体の流線構造を文字列として表現することができる。ここで用いるアルゴリズムでは、与えられた流線群における最も内側（細かい構造）から流線構造を抜き出して文字を付与し、順次外側（大きな構造）の流線構造を抜き出していくことにより、最終的な文字化を達成する。また、圧縮性流体に拡張したことにより、文字列だけでは構造を一意に表現できないため、流線構造のつながり具合を組み合わせ論的に指定するアルゴリズムを加えることで一意な表現を得る。
　特許文献３に記載の構造安定なハミルトンベクトル場の正規表現においては、その内部の流線群の構造（一様流または周期軌道）は、これらの領域を分割する一次元構造から自動的に定まった。従ってこの内部の流線群の情報を正規表現するためには、単純に＋、－、○ という記号表現を与えるだけで十分であった。また圧縮成分に相当する流れは、一様流（無限遠点での吸い込みと湧き出しのペア構造（１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔ））以外に存在しなかったため、つながり具合を表現する必要もなかった。以下の実施形態で用いるアルゴリズムを構造安定なハミルトンベクトル場に適用した場合は、アルゴリズムによって得られた文字から内部の流線群を表す構造を削除することにより、自動的に正規表現へと変換することができる。従って本実施例は、特許文献３に記載の非圧縮流に対する技術を包含しているといえる。
［用語の定義］
　以下、本明細書で用いる数学的用語について説明する。以下の実施形態において語表現の対象となる流れは「曲面Ｓ上の流れｖ」である。ここで「曲面Ｓ」とは、二次元構造、すなわち二次元のコンパクト多様体（ここでは特に境界の存在を許す球面）のことをいう。幾何学的には、球面は平面に無限遠点を付け加えたものと同一視できるので、本質的には境界を持つ二次元領域と考えてよい。「曲面Ｓ上の流れｖ」とは、ｖ：Ｒ×Ｓ→Ｓなる曲面Ｓ上のＲ－作用とする。この流れｖを用いて、ｔ∈Ｒ に対してＳ上の写像ｖｔ：＝Ｓ→Ｓを、ｖｔ：＝ｖ（ｔ，・）のように定義する。ここでＳ上の点ｘに対して、Ｏ（ｘ）＝｛ｖｔ（ｘ）∈Ｓ｜ｔ∈Ｒ｝を「ｘを通る軌道」と呼ぶ。本実施形態のアルゴリズムは、このＳ上のＯ（ｘ）の集合の位相的構造を分類する。ここで定義した流れｖは、完全に抽象的な対象である。しかしながら流体力学のアナロジーによれば、これらの軌道群は与えられた流れ場により粒子が流される軌道（流線）群に対応するので、特に混乱がない限り、以下では「軌道群」または「流線群」と呼ぶ。
　数学の一般論 (トポロジーの一分野の葉層構造理論) によれば、曲面Ｓ上の流れｖの軌道は、
（１）ｐｒｏｐｅｒ
（２）ｌｏｃａｌｌｙ　ｄｅｎｓｅ
（３）ｅｘｃｅｐｔｉｏｎａｌ
の３種類に分類されることが知られている。これに対して本明細書では以下の仮定を置く。
（仮定）「軌道集合はｐｒｏｐｅｒな軌道のみからなる」
この仮定は本発明の実施形態が対象とする「境界の存在を許す球面上」で満たされているので、本質的な制限とはならない点に注意する。ｐｒｏｐｅｒな軌道集合は、さらに３種類の軌道群、すなわち、
（ｉ）特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉ）周期軌道（ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉｉ）非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔｓ）
に分類される。これらの数学的な定義は以下で与えられる。
　（定義１）「曲面Ｓ上の流れｖで定義されているｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、
（ｉ）特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｏｒｂｉｔ）
（ｉｉ）周期軌道（ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉｉ）非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔｓ）
を以下で定義する。
（ｉ）ｘ∈Ｓが特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｏｒｂｉｔ）であるとは、すべてのｔ∈Ｒに対してｘ＝ｖｔ（ｘ）が成り立つ、すなわち、Ｏ（ｘ）＝｛ｘ｝であることをいう。
（ｉｉ）軌道Ｏ（ｘ）が周期的（ｐｅｒｉｏｄｉｃ） とは、あるＴ＞０が存在して、ｖＴ（ｘ）＝ｘかつ０＜ｔ＜Ｔに対してｖｔ（ｘ）≠ｘであることをいう。
（ｉｉｉ）特異点でも周期軌道でもない軌道を非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔ） という。」
　（ｉｉｉ）の非閉軌道という用語は、特異点と周期軌道とが軌道として閉集合 （ｃｌｏｓｅｄ）となっていることに由来する。今後の便宜のため、流れｖの特異点の集合、周期軌道の集合、および非閉軌道の集合を、それぞれＳｉｎｇ（ｖ）、Ｐｅｒ（ｖ）およびＰ（ｖ）と書く。
　次に、流れの流線構造を説明するため、いくつかの数学的な定義を示す。ただし、Ａの上にマクロン（￣）を付した記号は集合Ａの閉包を表す。
　（定義２）曲面Ｓ上の流れｖで定義されたｘ∈Ｓを通るｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、ω極限集合（ω－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔ）ω（ｘ）およびα極限集合（α－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔ）α（ｘ）を以下で定義する。
・
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 ・
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 ・ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（セパラトリクス）γが連結（ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ）であるとは、ω(γ) および α(γ) が特異点であるときのことをいう。
ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの定義は後述する。なお、ω（ｘ）やα（ｘ）は軌道Ｏ（ｘ）上の点ｘの取り方によらないので、記号としてω（Ｏ）やα（Ｏ）と書くこともある。
　次に、圧縮流れの流線群の分類に必要な流れ構造を導入し、ゼロ次元点構造、一次元構造、二次元構造ごとに説明する。
［ゼロ次元点構造］
　図１に、ｒｅｇｕｌａｒなゼロ次元の点構造のすべてを示す。図１（ａ）は「ｃｅｎｔｅｒ（渦心点）」を示す。渦心点は、周囲に周期軌道を伴う特異点を表す。図１（ｂ）は「サドル点（ｓａｄｄｌｅ）」を示す。サドル点は、この点から離れていく２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと、近づいていく２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。図１（ｃ）は境界についている「境界サドル点（∂－ｓａｄｄｌｅ）」を示す。境界サドル点では、１本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが境界からＳの内部に伸びており、２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘが境界に沿った軌道になっている。図１（ｄ）は「湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）」を示す。湧き出し点では、１点から流体が湧き出す。図１（ｅ）は「境界湧き出し点（∂－ｓｏｕｒｃｅ）」を示す。境界湧き出し点では、境界に湧き出し点がある。図１（ｆ）は「吸い込み点（ｓｉｎｋ）」を示す。吸い込み点は、湧き出し点の方向を逆にしたものである。図１（ｇ）は「境界吸い込み点（∂－ｓｉｎｋ）」を示す。境界吸い込み点は、境界湧き出し点の方向を逆にしたものである。
　図１（ａ）～（ｃ）に示される点構造は非圧縮流れでも観察され、特許文献１に記載の語表現理論や特許文献３に記載の正規表現理論で扱われたものである。一方図１（ｄ）～（ｇ）に示される点構造は、本実施形態が圧縮性流れを扱うことに伴い、本発明者らによって今回新たに加えられたものである。
［一次元構造］
（ｃｉｒｃｕｉｔ）
　図２に、一次元構造としての「ｃｉｒｃｕｉｔ（サーキット）」を示す。ｃｉｒｃｕｉｔは、一点集合か円周のＳ上へのはめ込み（ｉｍｍｅｒｓｉｏｎ）を意味する。ｃｉｒｃｕｉｔが点のときは「ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ」と呼び、円周のときは「ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ」と呼ぶ。さらにｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔは、その上で定義されている流れによって２種類に分類される。１つは円周が周期軌道になるときであり、これを「ｃｙｃｌｅ（サイクル）」と呼ぶ。ｃｙｃｌｅはＰｅｒ（ｖ）の元である。図２（ａ）は、ｃｙｃｌｅの例である。いま１つは、サドル点（Ｓｉｎｇ（ｖ）の元）と、それをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（Ｐ（ｖ）の元）から構成される「周回軌道」である。図２（ｂ）は、周回軌道のいくつかの例である。
　ｃｉｒｃｕｉｔに付随していくつかの概念が定義される。ｃｉｒｃｕｉｔ　γが「ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ」であるとは、ｃｉｒｃｕｉｔ の片側近傍Ａ（これをγのａｔｔｒａｃｔｉｎｇ　ｂａｓｉｎと呼ぶ）が存在して、この一方の境界がγであり、かつＡ⊆Ｗｓ（γ）となっているときのことをいう。一方ｃｉｒｃｕｉｔ　γが「ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ」であるとは、ｃｉｒｃｕｉｔ の片側近傍Ａ（これをγのｒｅｐｅｌｌｉｎｇ　ｂａｓｉｎと呼ぶ）が存在して、この一方の境界がγであり、かつＡ⊆Ｗｕ（γ）となっているときのことをいう。ここで、Ｗｓ（γ）およびＷｕ（γ）は、それぞれγの安定多様体および不安定多様体を示す。この概念を用いると、湧き出し点や境界湧き出し点はｒｅｐｅｌｌｉｎｇ　ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔであり、吸い込み点や境界吸い込み点はａｔｔｒａｃｔｉｎｇ　ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔであることが分かる。軌道γが「ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔ」であるとは、ある点ｘ（γに含まれていない）でα（ｘ）＝γあるいはω（ｘ）= γとなるようなｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔであるときのことをいう。この定義からも分かるように、特異点が有限個しかない場合、ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔは、少なくとも１つのａｔｔｒａｃｔｉｎｇ／ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ　ｂａｓｉｎを持つ。図２に、ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔｓのいくつかの例を示す。
（（ｓｓ）－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ構造）
　図３に「ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（サドルセパラトリクス構造）」を示す。ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとは、そのα極限集合とω極限集合がサドル点または境界サドル点であるような軌道をいう。ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはＰ（ｖ）の元である。
　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが同じｓａｄｄｌｅをつなぐとき、これを「ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。また、ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが同じ境界上にある２つの異なる∂－ｓａｄｄｌｅをつなぐとき、これを「ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図３（ａ） に、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道の例を示す。異なるサドル点や、異なる境界の上にある境界サドル点をつなぐｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを「ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図３（ｂ）に、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道の例を示す。
　ハミルトンベクトル場に構造安定性を仮定したときに表れるｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄなもののみであることが証明されている。「ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ」とは、サドル点、境界サドル点およびｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの全体がなす集合であり、これは先行技術の語表現理論や正規表現理論で扱われたものである。
　次に、圧縮性流れ構造に特有のｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを定義する。「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」とは、（１）（境界）湧き出し点、（２）（境界）吸い込み点および（３）ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔのいずれかを指す。サドル点あるいは境界サドル点とｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘを「ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図４に、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの例を示す。サドル点、境界サドル点、ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔおよびｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを集めた集合を「ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ」と呼ぶ。以下、曲面Ｓ上の流れｖが生成するｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍを、Ｄｓｓ（ｖ）と書く。
（ｓｌｉｄａｂｌｅ　（∂－）ｓａｄｄｌｅ構造）
　図５に、一次元構造としての「ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅ」および「ｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅ」を示す。
　図５（ａ）、（ｂ）は、ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。サドル点ｘは、その定義から、４つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。これらをγ１、γ２、γ３、γ４と書くと、α（γ１）＝α（γ３）＝ω（γ２）＝ω（γ４）＝ｘである。この「サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅ」であるとは、「ω（γ１）が吸い込み点であり、ω（γ３）が吸い込み構造（図中では－を○で囲んだ記号で示される）である」場合（図５（ａ））、あるいは「α（γ２）が湧き出し点であり、α（γ４）が湧き出し構造である（図中では＋を○で囲んだ記号で示される）」場合（図５（ｂ））のいずれかを指す。
　図５（ｃ）、（ｄ）に、ｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。「境界サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅである（あるいはｘがｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅである）」とは、ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ　γ　⊂ ｉｎｔＳと境界に沿ったｓｅｐａｒａｔｒｉｘ　μと１つのｘと同じ境界にあって吸い込み構造につながる境界サドル点ｙ≠ｘがあって、ω（γ）＝ｘ、α（γ）が湧き出し点、α（μ）＝ｘ、ω（μ）＝ｙとなる構造を持つときのことをいう（図５（ｃ））。このベクトルの向きを反転させた構造もｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅである（図５（ｄ））。
　ここで導入した湧き出し／吸い込み構造という用語は、（境界）サドル点から出るｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの連結先を表しており、湧き出し点／吸い込み点／ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔなどの様々な吸い込み／湧き出しの構造を許容することに注意する。一方ｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅの定義におけるもう１つのｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは、湧き出し／吸い込みの点構造しか許しておらず、ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅ構造と呼ぶ場合は、サドル点ｘとそれにつながるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと湧き出し点（吸い込み点）の組を指す。また、ｓｌｉｄａｂｌｅ　（∂－）ｓａｄｄｌｅ構造と呼ぶときは、ｘとｙの２つの境界サドル点およびｘとつながるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ　γと湧き出し点／吸い込み点の組を指す。
［二次元構造］
　図６にいくつかの二次元構造を示す。
　「ｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋ」とは、１個の渦心点とその周りを埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。このｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋの境界が、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ；ｓａｄｄｌｅとそれを結ぶｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ；同じ境界上にある２つの境界サドル点を結ぶ２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘのいずれかになっているとき「ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋ」と呼ぶ。図６（ａ）に、ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋの例を示す。
　「ｓｉｎｋ（ｓｏｕｒｃｅ）ｄｉｓｋ」とは、１つの吸い込み点（湧き出し点）とその周りを埋め尽くす非閉軌道からなる構造をいう。ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと共通部分を持たないｓｉｎｋ／ｓｏｕｒｃｅ　ｄｉｓｋを「ｔｒｉｖｉａｌ　ｓｉｎｋ／ｓｏｕｒｃｅ　ｄｉｓｋ」という。図６（ｂ）に、ｔｒｉｖｉａｌ　ｓｏｕｒｃｅ　ｄｉｓｋの例を示す。
　「ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｒｄｅｒ　ａｎｎｕｌｕｓ」とは、境界とその周りを埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。特に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｒｄｅｒ　ａｎｎｕｌｕｓはｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓの一種である。図６（ｃ）に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｒｄｅｒ　ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。
　「ｌｉｍｉｔ　ａｎｎｕｌｕｓ」とは、Ｐ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされた開円環領域で、その境界がｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔとなっている構造をいう。図６（ｄ）に、ｌｉｍｉｔ　ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。
　「ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓ」とは、Ｐｅｒ（ｖ）の周期軌道で埋め尽くされた開円環領域である。図６（ｅ）に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓの一方の境界がｃｙｃｌｅ　（Ｐｅｒ（ｖ）のｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ）になっている場合、その反対側では、これはｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅでなければならないことに注意する。なぜなら、もし反対側も周期軌道ｓで埋め尽くされていれば、このｃｙｃｌｅは通常の周期軌道と区別できないからである。
　「ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｓｐｈｅｒｅ」とは、球面全体の流れで２つの渦心点とその間を埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。これは、境界を持たない二次元球面の基本流れを表している。図６（ｆ）に、ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｓｐｈｅｒｅの例を示す。
　図７に、二次元構造としてのＲｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎとｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓを示す。
（Ｒｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎ）
　「Ｒｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎ」とは、非閉軌道で埋め尽くされた開円環領域Ｕで、その境界に２つのｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔ　γ＋とγ－が存在して、ＵがＷｕ（γ－) ∩Ｗｓ（γ＋）の連結成分であり、γ±の回転方向が逆になっている同じ構造を指す。図７（ａ）、（ｂ）に、Ｒｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎの例を示す。図７（ａ）のＲｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎでは、円環領域は非閉軌道で埋め尽くされる円環領域であり、内側境界と外側境界での流れの向きが反転している。そして両側境界はｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅとなっている。図７（ｂ）のＲｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎでは、内側と外側境界がｓａｄｄｌｅとそれを結ぶｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔｓ）になっている。
（ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓ）
　一方、γ±の回転方向が同じになっている構造を「ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓ」と呼ぶ。このような構造が許されることから、開円環領域内を非閉軌道で埋め尽くす場合、その外側、内側境界上の軌道の方向を独立に決めることができる。図７（ｃ）に、ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。この例では、Ｒｅｅｂ　ｄｏｍａｉｎと同様、内部は非閉軌道で埋め尽くされているが、外側と内側の境界での流れの方向がそろっている。
　以上で各次元の流れ構造の説明を終える。
［曲面Ｓ上の流れｖの流線群の位相分類理論］
　本発明者らは、鋭意研究を重ねた結果、以下に示すような条件の下で球面Ｓ上の流れｖが生成する軌道群の理論的分類を与えた。
（定義３）「曲面Ｓ上の流れｖが以下の５つの条件を満たすとき、これを「有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）」であるという。
（１）ｖによって生成される軌道はすべてｐｒｏｐｅｒである。
（２）すべての特異点は非退化（ｎｏｎ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）である。
（３）ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅの数は有限個である。
（４）サドル点や境界サドル点を結ぶすべてのｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄである。」
　（１）の条件は既に仮定した。（２）の条件を課すと、特異点の数は有限で孤立していることが分かる。（３）の条件は、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅのような構造が無限に集積しないことを意味する。（４）の条件を踏まえれば、サドル点をつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって構成されるｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔは、図８に示す４つのパターンしかないことも結論できる。既存研究のハミルトンベクトル場の分類理論では、流れに構造安定という数学的制限を加えることにより条件（１）、（２）、（４）が満たされることを示した。本実施形態では非圧縮性の条件を外すので、構造安定の条件を課すことはできない。しかし応用で得られる圧縮流れが作る流線においては、退化するような特異点や、無限に集積するようなｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ軌道を持つ構造は、観測ノイズやシミュレーションエラーなどのため、ｇｅｎｅｒｉｃには観察されない。従って、本実施形態おける分類理論やこの理論に基づくアルゴリズムの適用範囲が強く制限されることはない。
　有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）の分類理論は、Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｏｎの定理を大域的な接続状況を含む形で一般化したものとなっている。まず、ω－極限集合に関して以下が成立する。
（補題１）「曲面Ｓの流れｖを有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）とする。このとき、ｖのｐｒｏｐｅｒな非閉軌道のω極限集合（α極限集合）は以下で構成される。
（１）サドル点
（２）境界サドル点
（３）吸い込み点
（４）湧き出し点
（５）境界吸い込み点
（６）境界沸きだし点
（７）渦心点
（８）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ）ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ
（９）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ）　ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔ」
　本発明の実施形態では、（５）と（６）は存在しないものと仮定する。実際、境界吸い込み点と境界湧き出し点は、観測ノイズやシミュレーションエラーなどのため、ｇｅｎｅｒｉｃには観察されないため、これは強い制約ではない。また、この条件を外すことは可能ではあるが、結果的に局所構造が増えて表現が煩雑になる。
　補題１によれば、有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）の軌道群は以下の３つのカテゴリに分類できることが分かる。
（ｉ）ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔとそれらをつなぐｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ　ｐｒｏｐｅｒ　ｏｒｂｉｔ
（ｉｉ）渦心点、Ｓの境界∂Ｓ上のｃｙｃｌｅ、またはｃｉｒｃｕｉｔとその周りの周期軌道
（ｉｉｉ）ｉｎｔＰ（ｖ）に入っている非閉軌道群
　次に、これに基づいて軌道群の分類を行う。有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）　ｖのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄｓｓ（ｖ）とＳの境界∂Ｓを構成する一次元以下の構造の集合は「境界軌道（ｂｏｒｄｅｒ　ｏｒｂｉｔｓ）」と呼ばれ、以下のように特徴付けられる。
（定義４）「曲面Ｓ上のｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ　ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）は以下で与える。
Ｂｄ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
（１）Ｐｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ）の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合
（２）∂Ｐｅｒ（ｖ）：周期軌道集合の境界となる軌道の集合
（３）∂Ｐ（ｖ）：非閉軌道集合の境界となる軌道の集合
（４）∂Ｐｅｒ（ｖ）：Ｓの境界∂Ｓに沿って回る周期軌道の集合（∂Ｓ∩ｉｎｔＰｅｒ（ｖ））」
　なお、Ｐｓｅｐ（ｖ）はｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘからなる集合でｐｒｏｐｅｒな軌道の内点にある構造なので、その構造の近傍もｐｒｏｐｅｒな軌道であり、極限集合にはなっていないものも指す。また、∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）の軌道は、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅやｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔのことを指すことに注意する。先行研究の構造安定なハミルトンベクトル場の流線位相構造の正規表現理論では、この境界軌道によって分割される領域（数学的には（Ｂｄ（ｖ））ｃ＝Ｓ－Ｂｄ（ｖ）と書ける）の隣接関係をグラフとして表現し、これに文字列を割り当てた。このとき、分割された領域内部に含まれる軌道群は非圧縮性の条件から一意に決まるため、これ以上の情報は不要であった。これに対し圧縮性流れの場合は、分割した二次元領域の中に入っている軌道群にも種類があるため、その情報も含めて文字化しなければならない。この内部軌道の分類を与えるため、軌道群にある種の同値関係を導入して得られる「ｏｒｂｉｔ　ｓｐａｃｅ（軌道空間）」の概念を導入する。
（定義５）「曲面Ｓ上の流れｖによって生成されるｐｒｏｐｅｒな軌道群で開部分集合Ｔ（⊂Ｓ）の内部を通るものとする。このときＴのｏｒｂｉｔ　ｓｐａｃｅ（軌道空間）Ｔ／～は次の同値関係「任意のｘ、ｙ∈Ｔ、Ｏ（ｘ）＝Ｏ（ｙ）ならばｘ～ｙ」から導入される商集合である。」
　定義５の商集合は、同じ軌道上にある点を１つの点につぶして同一視するという操作を意味する。図９は、有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）　ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す。図９（ａ）は、開矩形領域で軌道空間が開区間であるものである。すなわち図９（ａ）に示されるような矩形をした開集合Ｔの中に一様流のような流れが平行に入る場合、その軌道空間は開区間となる。図９（ｂ）は、開円環領域で軌道空間が円周であるものである。図９（ｃ）は、開円環領域で軌道空間が開区間であるものである。図９（ｂ）、（ｃ）に示されるように、開円環領域にある軌道群の軌道空間は、それぞれ円周と開区間とからなる。
　以下の定理１は「Ｂｄ（ｖ）によって分割される開領域を埋め尽くす軌道群は図９に示される３種類しかない」ことを主張する。この定理の証明は、本発明者によって与えられた。
（定理１）「曲面Ｓ⊆Ｓ２上の任意の有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）　ｖに対して、境界集合の補集合 （Ｂｄ（ｖ））ｃ に入る領域の軌道は以下の３種類のいずれかである。
（１）開矩形領域でＰ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間（図９（ａ））。これは、ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍領域の流れである。
（２）開円環領域で Ｐ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は円周（（図９（ｂ））。これは、ｓｏｕｒｃｅ（ｓｉｎｋ）　ｄｉｓｋ／ｌｉｍｉｔ　ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れである。
（３）開円環領域でｉｎｔＰｅｒ（ｖ）の周期軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間（（図９（ｃ））。これは、ｃｅｎｔｅｒ　ｄｉｓｋ／ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ａｎｎｕｌｕｓ／ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｓｐｈｅｒｅの近傍領域の流れである。」
［ＣＯＴ表現］
　後述する実施形態で用いるアルゴリズムは、この圧縮性流れの軌道群の位相構造を、「部分円順序根付き木表現」（以下、「ＣＯＴ表現」と呼ぶ。ＣＯＴ：ｐａｒｔｉａｌｌｙ　Ｃｙｃｌｉｃａｌｌｙ　Ｏｒｄｅｒｅｄ　ｒｏｏｔｅｄ　Ｔｒｅｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）に変換するものである。ＣＯＴ表現は、非圧縮性流れの流線位相構造の文字化を計算機プログラムに実装するためのデータ構造として、本発明者らが計算機科学的な見地から新たに考案したものである。先行研究である語表現理論（例えば、特許文献１参照）や正規表現理論（例えば、特許文献３参照）は、理論としては正しいが、プログラミングのためのデータ構造という観点で見たとき、後述のように若干曖昧なところがある。この曖昧さは、ＣＯＴ表現を採用することで完全に除去することができる。以下、図１０、図１１を参照して、構造安定なハミルトンベクトル場の流線構造を表現するＣＯＴ表現を解説する。なお、本明細書で説明する有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）のＣＯＴ表現は、図１０、図１１に示される表現を、圧縮流れに対応できるように自然な形で拡張したものである。
　図１０は、 構造安定なハミルトンベクトル場の基本流線構造を示す。図１１は、 構造安定なハミルトンベクトル場に入る局所流線構造を示す。ここで、これらの図および後述の説明で用いる記号について説明する。□ａの中には、図１１（ａ）で与えられるＡ系列の局所的流線構造が入ることを示す。□ｂ＋や□ｂ－は中には、図１１（ｂ）で与えられるＢ系列の流線構造が入ることを示す。□ｃ＋や□ｃ－には、図１１（ｃ）で与えられるＣ系列の流線構造が任意の個数入ってよいことを示す。□の右肩上に書いてある番号はＣＯＴ表現に並べる順序を示す。
　非有界領域における最も単純な流れとして、図１０（ａ）に示される左から右への一様流がある。それぞれ図中にある□ａと点線の部分は、この流れ場の中に図１１（ａ）に示されるＡ系列（ｃｌａｓｓ－ａ）の流線構造が入ってもよいことを表す。この流れに対応するＣＯＴ表現をａφ（□ａｓ）と書く。ここで、□ａｓの記法は□ａの構造がｓ個ついていることを意味している。具体的に書き下すと、
　□ａｓ：＝□１ ａ・・・□ｓ ａ　（ｓ＞０）
　□ａｓ：＝λ～　（ｓ＝０）
となる。なお、□ａの流線構造がないときは、「構造がない」ことを示す記号λ～を入れることに決めておく。Ａ系列の並べ方については、一様流が左から右へ流れているときにその構造を下から順に番号付けを行う。逆に、一様流が右から左に流れている場合は、図の天地を入れ替えたものと同じになるので、上から順に番号付けを行う。
　次に一様流が存在しないときは、有界領域内部における単純回転流がある。これには、反時計回りと時計回りの回転方向の違いに応じて、図１０（ｂ）、（ｃ）の２種類がある。この流れのＣＯＴ表現は外側物理境界における流れの方向が反時計回りのときβφ－（□ｂ＋，｛□ｃ－ｓ｝）と書き、時計回りのときはβφ＋（□ｂ－，｛□ｃ＋ｓ｝）のように書く。ここからも分かるように、本文字化理論では流れの向きも正確に分類することに注意する。ＣＯＴ表現に現れる□ｂ＋にはｂ＋＋、ｂ＋－、β＋のいずれかが入り、□ｂ－にはｂ－－、ｂ－＋、β－のいずれかが入る。□ｃ±ｓは、境界についている図１１（ｃ）にあるＣ系列の構造が任意の個数入ってもよいことを示す。具体的には複合同順で次のように表される。
　□ｃ±ｓ：＝□１ Ｃ±・・・□ｓ Ｃ±　（ｓ＞０）
　□ｃ±ｓ：＝λ±　（ｓ＝０）
ここでも特に何も構造が入っていなければ、複合同順でλ±の記号を用いて表現する。また、このＣ系列の構造には反時計回りに番号を付与して並べるが、どれを１番目に選ぶかについては（ｃｙｃｌｉｃ に）任意性がある。これを表現するために、ＣＯＴ表現では｛｝で囲むことをルールとして決めておく。
　図１１は、構造安定なハミルトンベクトル場が生成するすべての局所的な流線位相構造と、それに付随した記号と、を示す。生成される流線構造の向き（反時計回りと時計回り）に応じて、それぞれ＋や－の符号を付ける。
　図１１（ａ）は、Ａ系列の流線構造を示す。構造ａ＋のＣＯＴ表現は、ａ＋（□ｂ＋）である。これは、□ｂ＋の内部にＢ系列の反時計回り（正）方向の流れ局所部分構造ｂ＋＋、ｂ＋－、β＋のいずれかがその中に含まれることを示す。構造ａ－のＣＯＴ表現は、ａ－（□ｂ－）である。これは、□ｂ－の内部にＢ系列の時計回り（負）方向の流れ局所部分構造ｂ－－、ｂ－＋、β－のいずれかその中に含まれることを示す。構造ａ２では、物理境界の上下にＣ系列の構造が任意個つけられる。向きについては、上側には反時計回りの□ｃ＋が入り、下側には時計回りの□ｃ－が入る。従って、そのＣＯＴ表現はａ２（□ｃ＋ｓ、□ｃ－ｓ）となる。
　図１１（ｂ）は、Ｂ系列の流線構造を示す。Ｂ系列の構造は、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄなｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ構造である。そのＣＯＴ表現は、複合同順で、ｂ±±｛□ｂ±，□ｂ±｝，ｂ±干（□ｂ±，□ｂ干），β±｛□ｃ±ｓ｝と書くことができる。円順序の構造は｛｝で、順序確定の構造は（）で囲み、□ｃ±ｓとしてつける構造がない場合に□ｃ±ｓ：＝λ±の記号を用いる点は、前述と同様である。
　図１１（ｃ）は、Ｃ系列の流線構造を示す。Ｃ系列は、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって囲まれた領域内の流線構造、すなわち物理境界に任意の個数の∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとそれらを囲む大きな∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ構造を示す。∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの回転方向に応じて、そのＣＯＴ表現は複合同順で、ｃ±（□ｂ±、□ｃ干ｓ）となる。ここで、□ｂ±には必ずＢ系列の構造が入る。□ｃ±ｓには、さらにＣ系列の構造が、内部構造に任意の個数つけられる。つける構造が存在しない場合はλ±と書く。以上述べたように、基本的な構造から□の中に入りうる局所流線構造を再帰的に埋めこむことにより、任意の構造安定なハミルトニアンベクトル場が生成する流線構造を構成することができる。局所流線構造の下部構造は、より細かい流れの微細構造が表現することに注意する。
　特許文献１に記載された流れパターンの極大語表現は、基本流れと局所流線構造に基づいて文字列を割り当てたものであるが、その表現力は必ずしも十分とはいえない。例えば図１１（ｂ）に示されるｂ＋＋、ｂ－－、ｂ＋－、ｂ－＋の４つのＢ系列のパターンは、極大語表現ではすべてＢ０と表現される。このことが、語表現が一対一対応にならないことの要因となった。また、特許文献３に記載の正規表現は、こうした構造を区別はするものの、内部に入りうる局所構造の情報までは表現されないため、β±やｃ±に対応する構造の表現を予め明示することができない。この欠点は、流線構造の文字化を実現するアルゴリズムを構成する上で、そのデータ構造としての表現を困難にしている。例えば、図１０（ｂ）にあるような構造では、□ｂ＋に対応する局所構造が（ｇｅｎｕｓ　ｅｌｅｍｅｎｔを入れることも含めて）必要だが、ｇｅｎｕｓ　ｅｌｅｍｅｎｔが入るとしたときにも、ここに渦心点が入るのか、あるいは物理境界が入るのかは区別できない。そこで、ｐｏｉｎｔ　ｇｅｎｕｓ　ｅｌｅｍｅｎｔが入る場合は 「点」 が入っている記号として□ｂ±に「σ±」の文字を（符号はこの点周りの周期軌道の回転方向に対応している）付与し、何の構造も入らずｇｅｎｕｓ　ｅｌｅｍｅｎｔのみが入る場合は、□ｂ±にはβ±の構造に全くＣ系列の構造がついていないことを意味するＣＯＴ表現β±｛λ±｝の文字を付与する。さらに□ｃ－に対応する構造はあってもなくてもよいので、この「何も入っていない」という情報は正規表現では陽的に表現されない。
　表１に、図１０および図１１に示された流線位相構造に対応する極大語表現、正規表現およびそのＣＯＴ表現の対応関係を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000003
　ここで□ｃ＋ｓおよび□ｃ－ｓは、それぞれ非負整数（ｓ≧０）個の□ｃ＋および□ｃ－が入ることを表す。この記法では、各構造の下部構造に入りうるＣ系列の局所流線構造を□ｃ±ｓによって表し、それ以上の構造を含まない終端記号としては□ｃ±ｓにλ±を代入することとする。このようなＣＯＴ表現は、正規表現をさらに厳密化したものである。これは流れの向きや内部に入りうる局所流線構造の状況までを含めてすべて記号化することができるため、極めて有用である。なおｂ＋＋、ｂ－－の下にある２つの局所内部構造□ｂ±については、双方等価な構造を表現するため、どちらを左右に並べるかには任意性がある。また上記で注意したように、β±にあるＣ系列の局所構造の識別番号の決め方、すなわち並べ方にも任意性があるため、こうした任意性がある場合は、それぞれの構造を中括弧｛｝で囲む。一方、順序が自然に決まる局所構造は、丸括弧（）で囲む。このＣＯＴ表現を採用することにより、曖昧さを排除した上で、流線位相構造をデータ構造として精密に表記することができる。なお、非圧縮ベクトル場の先行研究におけるｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと読み替え、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと読み替える。
　一例として、このＣＯＴ表現を使って、図１２の流線図で示される流れパターンに対して語表現を与えてみる。まずこの流れには、非有界領域内にある一様流の中ａ＋の局所下部構造がある。図１１（ａ） に示されるように、ａ＋（□ｂ＋）の構造の中には、Ｂ系列の構造が必ず下部構造として含まなければならない。実際、図１２を見ると、□ｂ＋にはｂ＋－（□ｂ＋，□ｂ－）の構造が入っていることが分かる。従って、ここまでの構造はＣＯＴ表現ではａφ（ａ＋（ｂ＋－（□ｂ＋，□ｂ－）））と表現される。さらにｂ＋－の内部構造を見ると、□ｂ－には反時計回りの物理境界のｇｅｎｕｓ　ｅｌｅｍｅｎｔがあるため、そこには時計回りの周期軌道を周りに伴う物理境界を表す□ｂ－：＝β－｛λ－｝を入れる。□ｂ＋には β＋｛□ｃ＋ｓ｝の構造が入っており、そこに２つのＣ系列ｃ＋が付いているが、左側にあるｃ＋の内部に周期軌道を伴う物理境界が１つあって終端に到達しているため、その記号はｃ＋（β＋｛λ＋｝，λ－）となる。右側にあるｃ＋には、さらにｃ－の構造が下部に入っている。そのため、ｃ＋のＣＯＴ表現ｃ＋（□ｂ＋，□ｃ－ｓ）における□ｂ＋の構造としては反時計回りの周期軌道を伴う点を意味するσ＋が入り、□ｃ－ｓにはｃ－（β－｛λ－｝，λ＋）が入る。従って、β＋｛□ｃ±ｓ｝の中は□ｃ＋ｓ＝ｃ＋（β＋｛λ＋｝，λ－）・ｃ＋（σ＋，ｃ－（β－｛λ－｝，λ＋））とできる。
　以上をまとめると、図１２の流れパターンのＣＯＴ表現は、
　ａφ（ａ＋（ｂ＋－（β＋｛ｃ＋（β＋｛λ＋｝，λ－）・ｃ＋（σ＋，ｃ－（β－｛λ－｝，λ＋））｝，β－｛λ－｝）））
で与えられる。ここで「構造が入っていない」ことを示す記号λ±は、プログラム上は重要であるが、文字として表現する場合は冗長である。従って、このλ±は省略することができ、
　ａφ（ａ＋（ｂ＋－（β＋｛ｃ＋（β＋）・ｃ＋（σ＋，ｃ－（β－））｝，β－）））
と略記しても混乱なく表現が可能である。本発明者らは、このＣＯＴ表現から正規表現に変換するアルゴリズムが存在し、さらに正規表現は極大語表現に変換することができるので、ＣＯＴ表現からすべての表現が自動的に得られることを見出した。実際、図１２の流れパターンのＣＯＴ表現から、正規表現○φ（○２（＋０（＋０（＋０，＋０（＋０），－０））））と、極大語表現ＩＡ０Ｂ０Ｂ２ＣＣ とが得られる。
　前述の理論に基づいて、以下では位相幾何学的に取り得るすべての流線構造を分類し、そこに文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。
［二次元構造］
　定理１には、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄｓｓ（ｖ）における境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）によって分割された二次元領域には３種類の流れが入ることが示されている。ここではまずこの二次元領域構造を定義し、次にこれらに対応する文字（ＣＯＴ表現）を与える。図９（ａ）に示される開矩形領域は、湧き出し構造と吸い込み構造とを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍の非閉軌道群を含むものであるが、本変換アルゴリズムではこれには記号を与えない。すなわちデフォルトの構造とする。これ以外の２つの二次元構造に文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。これらは、表３に示されるようにｃｌａｓｓ－ｂ±およびｃｌａｓｓ－ｂ～±の要素をなす。図１３に、定理１で与えられた（Ｂｄ（ｖ））ｃの軌道群を表す構造（二次元構造）を示す。
（二次元構造：ｂ～±）
　図９（ｂ）に示される開円環領域の構造は、外側から内側へ向かう非閉軌道で埋め尽くされている状況にある。これに対して、図１３（ａ）のようにｂ～±と記号を割り当てる。記号についている符号～±については、軌道群が円環の外側境界から内側境界へ流れるときは、流れが中心に吸い込まれていることを表現するために～－とする。反対に内側境界から外側境界に軌道群が広がるような場合は、～＋とする。その内側境界には吸い込み／湧き出し構造が必ず入るが、そのようなＢｄ（ｖ）の構造の集合を□～±と書いておく。また、領域を埋め尽くしている非閉軌道の１つ１つに対しては、□ａ～±で表されるＢｄ（ｖ）のｃｌａｓｓ－ａ～±の軌道構造を任意個数（ｓ≧０個）入れることができるので、これを表す記号を□ａ～±ｓと書いておく。この□ａ～±ｓに対応する構造の並びは円順序で一意に決まらない。以上の考察に基き、ＣＯＴ表現はｂ～±（□～±，｛□ａ～±ｓ｝）（複合同順）のようになる。なお、□～±や□ａ～±ｓに入りうるｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－ａ～±の構造群の定義については表３を参照されたい。また、□ａ～±ｓは、非圧縮流の□ａｓの場合の記法と同様に、
　□ａ～±ｓ：＝□１ ａ～±・・・ □ｓ ａ～±　（ｓ＞０）
　□ａ～±ｓ：＝λ～　（ｓ＝０）
としておき、「何も入っていない」ことを表現するのに構造安定なハミルトンベクトル場のときと同様にλ～の記号を用いる。
（二次元構造：ｂ±）
　図９（ｃ）は、開円板領域内部が周期軌道で埋め尽くされている状況を表す。これに対応する流線構造は、図１３（ｂ）に示される構造ｂ±である。符号は、周期軌道が反時計回り（正方向回転）であるときに＋を、時計回り（負方向回転）であるときに－を割り当てる。この内部に入る構造も同様にＢｄ（ｖ）の元であるが、そこに入るのはｃｌａｓｓ－αの軌道構造であるため、□α±と書いておき、その定義は表３で与える。非閉軌道と異なり周期軌道には□ａのような構造は入らないので、このＣＯＴ表現は複合同順で、ｂ±（□α±）と与えられる。
　以下、Ｂｄ（ｖ）によって分割された領域に含まれうる軌道群の構造を、上の中から選ぶ。ここで、Ｂｄ（ｖ）に対して定義されるＣＯＴ表現で用いるために、（Ｂｄ（ｖ））ｃ の構造から定義される集合□ｂφ、□ｂ＋、□ｂ－、□ｂ～＋、□ｂ～－を以下のように定める。
　□ｂ＋＝｛ｂ～±，ｂ＋｝
　□ｂ－＝｛ｂ～±，ｂ－｝
　□ｂ～＋＝｛ｂ～＋｝
　□ｂ～－＝｛ｂ～－｝
［基本構造］
　トポロジカルには平面は、無限遠点を取り除いた球面Ｓと同一視できる。この球面Ｓ上に、以下のような基本的な流れが存在する。以下、これらの流体構造を「基本構造」または「ルート構造」と呼ぶ。図１４に、球面Ｓ上の基本構造を示す。
（基本構造：σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干）
　平面内に物理境界が全く存在しないときの流れ場は、図１４（ａ）に示されるような球面の流れと同一視できる。この球面上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）は、両極の２つのゼロ次元点構造を除く円環領域内の流れを与える。このときこの構造のＣＯＴ表現は、内部にどのような軌道構造が入るかで分類する必要がある。この円環領域が構造ｂ±で与えられる周期軌道からなる軌道群構造ｂ±で埋め尽くされるとき、σφ干（□ｂφ±) の表現を割り当てる。ただし□ｂφ±＝ｂ±（□α±）である。一方、円環領域が湧き出し点／吸い込み点のｃｌａｓｓ－～±の非閉な軌道群構造ｂ～±で埋め尽くされているとき、そのＣＯＴ表現は、湧き出し点／吸い込み点の周辺の軌道の回転方向により、σφ～干０（□ｂφ～±）、σφ～干±（□ｂφ～±）、σφ～干干（□ｂφ～±）のいずれかとなる。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσφ～干０（□ｂφ～±）、反時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干＋（□ｂφ～±）、時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干－（□ｂφ～±）である。ここで□ｂφ～±＝ｂ～±（□～±，｛□ａｓ｝）である。なお、σφ~±０、σφ～干干、σφ～干±の記号についている符号と中に入る二次元軌道群構造のＣＯＴ表現の符号とが逆になっているのは、無限遠点に相当する点の周りの流れの構造に符号をつけていることによる。例えば、ｂ＋の表現が内部に入って反時計回り（すなわち＋の方向）の周期軌道を埋め込むためには、無限遠点の点の周りには時計回り（すなわち－の方向）の流れが生じなければならない。従って具体的なＣＯＴ表現は、
　σφ－（□ｂφ＋）
　□ｂφ＋＝ｂ＋（□α＋）
となる。
（基本構造：βφ±、βφ2）
　球面が物理境界をいくつか含んでいると仮定する。このとき、その中から１つを選んで特別な境界とし、北極がその境界内部に含まれるような球面極座標を導入することができる。このとき、この座標系に付随した立体射影（Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）を通して、球面上の流れを二次元有界領域の内部流れと同一視することができる。図１４（ｂ）に、ルートの子で外側物理境界に湧き出し／吸い込み構造が全く存在しない流れを示す。このＣＯＴ表現は、外側境界の流れの方向が反時計回りのときは、βφ－（□ｂ＋，｛□ｃ－ｓ｝）と与える。この流れは、図１０（ｂ）に示される構造安定なハミルトンベクトル場の基本構造と同じであることに注意する。この構造は、□ｂ＋のところに常にｃｌａｓｓ－ｂ＋構造を含まなければならないが、外側境界には任意の個数ｃｌａｓｓ－ｃ－ の軌道構造をつけることができる。外側境界の流れの方向が時計回りのときは、すべての符号を反転させてβφ＋（□ｂ－，｛□ｃ＋ｓ｝）なるＣＯＴ表現を持つ基本構造となる。なお、双方において、ｓ≧０個のｃｌａｓｓ－ｃ軌道構造を意味する□ｃ±ｓは、具体的には複合同順で以下のように書ける。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
　図１４（ｃ）に示される外側物理境界につながる湧き出し／吸い込み構造が少なくとも１つ存在する基本流れ構造を示す。基本構造βφ2は、この図１４（ｃ）に示される基本流れ構造である。この湧き出し／吸い込み構造から最も左側にあるペアを選んでｃｌａｓｓ－～±の特別な軌道構造とし、他の湧き出し／吸い込み構造にはｃｌａｓｓ－γφの軌道構造（表３）を割り当てる。他に境界に沿って、任意の個数のｃｌａｓｓ－ｃ±の軌道構造を左右につけることができる。この状況をＣＯＴ表現では、特別な湧き出し点－吸い込み点のペアを□～±で、任意の個数のｃｌａｓｓ－γφｓ 軌道構造を□γφｓで表す。具体的には以下のように書けばよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　特別な湧き出し点－吸い込み点のペアがあるため、それらを結ぶｃｌａｓｓ－ａの軌道構造を任意の個数つけることができる。それらを、ＣＯＴ表現では□asと表す。なお、□asに入りうるｃｌａｓｓ－ａの構造群の定義については表３を参照のこと。□as は、非圧縮流の場合の記法と同様に、
　□as：＝□１ a・・・□ｓ a　（ｓ＞０）
　□as：＝λ～　（ｓ＝０）
と定める。まとめると、この基本構造のＣＯＴ表現は、外側境界についている各構造を反時計回りに円順序で並べて、
　βφ2（｛□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ，□～－，□γφｓ｝，□ａｓ）
のように与えられる。
［Ｂｄ（ｖ）の流れのゼロ次元点構造および一次元構造］
　次に、曲面Ｓ上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）　ｖが定めるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄｓｓ（ｖ）を構成するＢｄ（ｖ）のゼロ次元点構造および一次元構造の分類とそれに対応するＣＯＴ表現を与える。前述の理論によれば、Ｂｄ（ｖ）＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂ｐｅｒ（ｖ）と表現されているので、それぞれの集合に対応させて Ｂｄ（ｖ）を実現するゼロ次元点構造および一次元構造を導入する。ここで、各一次元構造はその周辺の軌道群情報によって、どの集合に入るかが変わりうることに注意する。図１５に、Ｂｄ（ｖ）のゼロ次元点構造と一次元構造の例を示す。
［∂ｐｅｒ（ｖ）、Ｓｉｎｇ（ｖ）の構造］
（一次元構造：β±）
　その定義から∂ｐｅｒ（ｖ）の流れは物理境界に沿って流れる周期軌道を指す。構造安定なハミルトンベクトル場において、物理境界には図１１（ｂ）に示されるように記号βが与えられていた。これとの整合性をとり、物理境界に∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれたｃｌａｓｓ－ｃの構造が全くついていないことを同じ記号で表す。すなわち、物理境界の流れが反時計回りのときβ＋｛λ＋｝、時計回りのときβ－｛λ－｝のようにＣＯＴ表現を与える（図１５（ａ）参照）。これらの物理境界は、ｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－α±の構造に入る。
（ゼロ次元点構造：σ±、σ～±０、σ～±±、σ～±干）
　Ｓｉｎｇ（ｖ）＼Ｄｓｓ（ｖ）の元は、ゼロ次元の点構造（孤立構造）である。点構造は、その周りの軌道によって分類することができる。もし点が渦心点で、その周囲に反時計回りあるいは時計回りの周期軌道を伴うとき、そのＣＯＴ表現はそれぞれσ+ およびσ－ で与えられる。一方、点が湧き出し点または吸い込み点であるとき、ＣＯＴ表現は、その周囲の軌道の回転方向と合わせてそれぞれσ～±０、σ～±±、σ～±干で与える（表２および図１５（ｂ）参照）。これらの点構造はｃｌａｓｓ－～±の構造に入る。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000006
［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）に入る構造］
（一次元構造：ｐ～±、ｐ±）
　集合∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）は、それぞれ非閉軌道および周期軌道の境界集合として定義される一次元構造である。また、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅはその内側と外側のいずれかが非閉軌道の極限軌道となる周期軌道である。これはｉｎｔＰ（ｖ）の元ではないため、集合Ｐｓｅｐ（ｖ）の元にはなり得ない構造である。このとき、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅの外側と内側の構造によって場合分けが必要となる。すなわち、１つには図１５（ｃ）に示されるｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅの外側領域では周期軌道となる構造、いま１つには図１５（ｃ）に示されるｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅが外側領域にある非閉軌道のω（α）極限集合となる構造である。前者の構造をｐ～±と書く。このときこの周期軌道がｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅとなるためには、これが内側からの非閉軌道の極限軌道（すなわち境界軌道）となっていなければならない。そのため、内部にはｂ～±の二次元構造を入れる。従って、そのＣＯＴ表現はｐ～±（□ｂ～±）である。後者の構造を記号ｐ±で表す。このとき外側からの極限周期軌道になっているため、内部の二次元極限軌道群の構造はどのようなものでもよい。従って、そのＣＯＴ表現は複合同順でｐ±（□ｂ±）で表すことができる。
［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
　∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐｓｅｐ（ｖ）のいずれかの構造集合に入りうる一次元構造は、図８に示されるような、ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの構造を含む非閉軌道を持つ。その内部と外部に入る二次元構造は、一方が非閉軌道で、他方が周期軌道で埋め尽くされた領域である場合（このとき、∂Ｐ（ｖ）か∂Ｐｅｒ（ｖ））と、両側が非閉軌道で埋め尽くされた領域である場合（このときＰｓｅｐ（ｖ）の元とする）と、を考えなければならない。
　まず、サドル点につながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘは４本存在するので、このｓｅｐａｒａｔｒｉｘの局所的な流れの方向を考慮すれば、以下の３つの可能性がある。
（Ｓ１）１つが湧き出し構造、１つが吸い込み構造につながり、残り２つが ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。
（Ｓ２）２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎがある。
（Ｓ３）２つが湧き出し（吸い込み）構造につながっている。残り２つは、流れの方向からｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになりえないことに注意する。
　このうち（Ｓ３）の場合は、図８に示される非閉軌道を持ち得ないので、ここでは（Ｓ１）と（Ｓ２）だけを考えればよい。一方、境界サドル点は３本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが存在するが、そのうち２本は境界上を走る必要があるので自由度は１本しかない。従って、その連結する構造の可能性は以下の２つとなる。
（Ｓ４）同じ境界上にある別の境界サドル点とつながる∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ。
（Ｓ５）領域内部にある湧き出し／吸い込み構造につながる。
　（Ｓ４）の場合は明らかに非閉軌道を形成するので問題はないが、（Ｓ５）の場合は周囲の状況による。すなわち、この場合は単独で非閉軌道は生じない。しかしながらＥｕｌｅｒ数との関係で、１つの境界サドル点と、少なくとも１つの異なる境界サドル点との存在を認めなければならない。そのため、その境界サドル点が∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持てば、構造全体が非閉軌道を含みうる。以上のことから、以下、（Ｓ１）（Ｓ２）（Ｓ４）（Ｓ５）に対応する４つの構造を考える。
（一次元構造：ａ±、ｑ±）
　図１６に、（Ｓ１）系列の一次元構造を示す。湧き出し構造と吸い込み構造、およびｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で、これらの構造を分類する。
　まず、図１６（ａ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の外側に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をａ±と書く。その符号は、左から右の流れに対して、下側にｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがある場合をａ＋、上側にある場合をａ－と決める。この構造では、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの内部には周期軌道か非閉軌道が入りうる。このうち周期軌道が入る場合は、その回転方向が自動的に決まることから、ａ＋には□ｂ＋で定義された構造集合が、ａ－には□ｂ－で定義された構造集合が入る。これは構造安定なハミルトンベクトル場に現れるＡ系列の軌道構造（図１１（ａ））と同じ構造であるため、同じＣＯＴ表現を割り当てていることに注意する。
　次に図１６（ｂ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をｑ±と書く。符号については、外側のｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｑ＋、時計回りのときｑ－と書く。この構造の内部に、囲まれている湧き出し／吸い込み構造とそれらをつなぐ□ａｓの構造集合の元が任意個（ｓ≧０）存在しうるので、そのＣＯＴ表現はｑ±（□～＋，□～－，□ａｓ）となる。
（一次元構造：ｂ±±、ｂ±干）
　図１７に、（Ｓ２）系列の一次元構造を示す。これは、構造安定なハミルトンベクトル場の分類で用いられる構造、すなわち図１１（ｂ）に示される構造と同じ構造である。従って同じＣＯＴ表現を与える。すなわち、２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で構造を分類する。
　まず、図１７（ａ）に示される構造、すなわち２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域が互いの外側にある構造を、複合同順でｂ±±と書く。符号については、２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの回転方向が反時計回りのときｂ＋＋、時計回りのときｂ－－と書く。この２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれた内部領域には二次元構造が入りうる。周期軌道が入る場合はその回転方向が自動的に決まること、また２つの領域の並べる順番には自由度があることから、これらを｛｝で囲み、そのＣＯＴ表現をｂ＋＋｛□ｂ＋，□ｂ＋｝およびｂ－－｛□ｂ－，□ｂ－｝とする。
　次に、図１７（ｂ）に示される構造、すなわち１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部にもう１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが含まれる構造を、複合同順でｂ±干と書く。符号については、外側にあるｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｂ＋－、時計回りのときｂ－＋と書く。この符号の決め方から、内部にある軌道群が周期軌道の場合は、その回転方向が互いに反対方向となることが自動的に決まる。従ってそのＣＯＴ表現は、ｂ＋－（□ｂ＋，□ｂ－）およびｂ－＋（□ｂ－，□ｂ＋） となる。ここでは ｂの下についている符号と合うように内部の構造の並べ方の順序をつけると決める。
　図１８に、（Ｓ４）系列の一次元構造を示す。
（一次元構造：β±）
　図１８（ａ）に示される構造は、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが任意個数ついた物理境界に対応する。もし、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついていないときは、図１５（ａ）に示される形となり、そのＣＯＴ表現は β±｛λ±｝であった。一方、境界に１個以上の∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついているときは、構造安定なハミルトンベクトル場で与えた図１１（ｂ）β±と同じ構造となる。従ってこのときのＣＯＴ表現は、境界に沿って反時計回りの流れとなっている場合はβ＋｛□ｃ＋ｓ｝、時計回りの流れとなっている場合はβ－｛□ｃ－ｓ｝を与える（図１８（ａ）参照）。すなわち□ｃ±ｓには、各構造を円順序で反時計回りに並べた以下の記号が入る。
　□ｃ±ｓ：＝□１ ｃ±・・・□ｓ ｃ±　（ｓ＞０）
　□ｃ±ｓ：＝λ±・・・　（ｓ＝０）
（一次元構造：ｃ±、ｃ２±）
　一次元構造ｃ±、ｃ２±は（Ｓ４）系列に対応する。これらは、図１８（ｂ）、（ｃ）に示されるように、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた内部にどのような構造が入るかによって分類することができる。
　まず、周期軌道や非閉軌道で埋め尽くされた二次元構造が入るとき、すなわち、境界サドル点とつながる湧き出し／吸い込み構造が入らないときは、図１８（ｂ）に示される構造となる。これをｃ±と書く。符号については、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと境界に沿った軌道で回る方向が反時計回りのとき＋、時計回りのとき－とする。このとき、内部の軌道群が周期軌道からなれば、その方向は自動的に決まる。この内部にさらにｃ±の構造を任意個含みうるが、その場合は内部の回転方向が逆になることに注意する。このことを踏まえてｃ±構造の集合を、
　□ｃ＋＝｛ｃ＋｝
　□ｃ－＝｛ｃ－｝
と定義する。これが任意個（ｓ≧０）並ぶという意味で、□ｃ±ｓなる構造集合を複合同順で定義しておけば、そのＣＯＴ表現は複合同順でｃ±（□ｂ±，□ｃ干ｓ）となる。
　次に内部に湧き出し／吸い込み構造が入る場合、これらの構造はＥｕｌｅｒ数との関係で、同じ境界にある境界サドル点につながっている必要がある。すなわち図１８（ｃ）に示される構造、すなわちｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅが∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造となる。これをｃ２±と書く。一般にｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅはいくつでも境界につけることができるので、その最も右側にあるものを選出し、これに対応する湧き出し／吸い込み構造のペアを□～±と表す。また、この湧き出し／吸い込み構造をつなぐ構造集合□ａが任意個（ｓ≧０）存在しうることを示す構造集合□ａｓを含む。さらに境界の上には、ｃ±構造がその向きに応じて任意個（ｓ≧０）存在しうることに加えて、これ以外にも任意個（ｓ≧０）のｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅ構造を表す集合□γ干ｓが存在しうる。なお、□γ±ｓの構造が常に向かって左側についているのは、全部でｓ＋１個あるｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅ構造のうち最も右側にあるものを選出して□～±と表現しているためである。ここでこの構造のＣＯＴ表現を与えるために、内部構造の並べ方に１つのルールを決めておく。すなわち「内部にある円境界に∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造が存在する場合、その内部構造を境界の内部から見て反時計回りに回る方向に並べる。一方、さきほど現れたβφ２の外部境界につく場合は境界の内部からみて時計回り（逆に流体のある部分から見れば反時計回り）に構造を並べる」というルールである。このルールに従えば、図１８（ｂ）に示される構造のＣＯＴ表現は、この構造が内部境界につくことを踏まえれば、一番右から構造を並べればよく、ｃ２±（□ｃ干ｓ，□～±，□ｃ±ｓ，□～干，□γ干ｓ，□ｃ干ｓ，□ａｓ）となる。なお、このようにルールを決めておくと、構造は内部・外部の境界によらず必ず時計回りについている構造が並ぶ形となる。
（一次元構造：ａ２、γφ～±、γ～±±）
　図１９に、（Ｓ５）系列の一次元構造を示す。この一次元構造は、基本的に、境界にある湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅに対応する。後のアルゴリズム構成の便宜のため、このような構造が複数存在する場合は、その１つを特別なものとして扱う。
　図１９（ａ）に示される構造は、湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅのうち特別な１つを表す構造であり、これをａ２と書く。物理境界には∂－ｓａｄｄｌｅ　ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造□ｃ±がその境界上の流れの方向に応じて任意個（ｓ≧０）つきうる。これを□ｃ±ｓと表す。また、他のｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅ構造も任意個つきうるが、特に最も下側にあるｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅを選べば、その上側にのみ他のｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅの構造□γ－がｓ≧０個存在することになる。これを□γ－ｓと表現する。最終的にそのＣＯＴ表現は、内部円境界につく構造に対するＣＯＴ表現の構造の並べ方のルールに従い、構造を境界反時計回りに並べることにしてａ２（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□γ－ｓ）とできる。なお、□ｃ－ｓの左側にしか□γ－ｓが入っていないのは、後で導入する構造γ～±±の定義によるものである。
　特別な湧き出し／吸い込み構造をつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅを選出した後は、他のｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅはすべて同等に扱う必要がある。ここに追加する構造については、つける境界の構造で分類をしなければならない。まずβφ２ の外側円境界に任意個の構造をつけられるが、βφ２の定義では常に最も左側にある湧き出し点－吸い込み点のペア構造に□～±の記号を割り当てるため、他のものはすべて右側についていることになる。右側の境界に沿って流れは上から下へと進むのでｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅも同じ方向にｓ≧０個追加することができる。このときＥｕｌｅｒ数との関係で、２つの∂－ｓａｄｄｌｅが追加される。これによって、間に□ｃ±ｓの構造を挟むことが可能になる。図１４（ｄ）を参照すると、右側境界は流れに沿って□ｃ＋ｓの構造が入る。従ってこの先にｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅの構造を足すためには、図１９（ｂ）に示されるような構造である必要がある。この構造をγφ～±と書く。符号については、新たに足す構造が湧き出し構造である場合はγφ～＋、吸い込み構造である場合はγφ～－とする。各構造のＣＯＴ表現は、外部境界につく構造の場合は、左側から右へ反時計回り（つまり外部内部からみれば時計回り）構造を読むので、γφ～＋（□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ）およびγφ～－（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□～－）となる。なお、追加された湧き出し（吸い込み） 構造につながる境界サドル点とは異なる境界サドル点には、既存の吸い込み（湧き出し） 構造がつながっていることに注意する。
　最後に、ａ２やｃ２にある境界につくｓｌｉｄａｂｌｅ　∂－ｓａｄｄｌｅの構造は、境界に沿った流れの下流側から追加した構造（図１９（ｃ））と、上流側から追加する構造（図１９（ｄ））の２種類がある。これらをそれぞれγ～±－、γ～±＋と書く。あとは新規に追加するものが湧き出し構造か吸い込み構造かにより、その符号が決まる。これに対応するＣＯＴ表現は、内部境界を反時計回りに構造を読むので、γ～＋－（□ｃ－ｓ，□～＋，□ｃ＋ｓ），γ～－－（□ｃ－ｓ，□ｃ＋ｓ，□～－），γ～＋＋（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□～＋）およびγ～－＋（□ｃ＋ｓ，□～－，□ｃ－ｓ）となる。なおここで導入される□γ＋ｓにはγ～±＋の構造がｓ≧０個あり、□γ－ｓにはγ～±－の構造がｓ≧０個あることを示す。
［Ｐｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
（一次元構造：ａ～±、ｑ～±）
　図２０に、（Ｓ３）系列の一次元構造を示す。これらはサドル点に２つの同じ湧き出し／吸い込み構造がつくので、ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅとなる。このｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅにつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係により、構造を分類する。このとき近傍の軌道はすべて非閉軌道で埋め尽くされた二次元領域（開矩形領域）なので、常にＰｓｅｐ（ｖ）の元となる。ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの外側に存在する図２０（ａ）のｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅに対応する構造をａ～±と書く。ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの内側に存在する図２０（ｂ）の構造は、ｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅに対応する。これをｑ～±と書く。符号については、両側に湧き出し構造□～＋がついている場合ａ～＋、両側に吸い込み構造□～－がついている場合ａ～－と書く。これらの湧き出し／吸い込み構造の順序は自由に選べるので、そのＣＯＴ表現は複合同順でａ～±｛□～±、□～±｝とｑ～±（□～±）である。
　以上により、曲面Ｓの有限型の流れ（ｆｌｏｗ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｙｐｅ）が生成するすべての流線構造（すなわち、二次元領域における任意の流れパターンを構成する流線構造）とそれに対応する文字（ＣＯＴ表現）が与えられた。これらの流線構造に関し、各流線構造とその文字（ＣＯＴ表現）との対応関係を表２に示す。また、各ＣＯＴ表現に入る構造の集合のリストを表３に示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000007
Figure JPOXMLDOC01-appb-T000008
［木表現］
　次に図２１を参照して、本明細書で用いる「木表現」についての基本的な事項を説明する。図２１は、一般的な木表現の一例を示す。図示されるように、木表現は頂点同士を線で結んだ構造を持つグラフである。木の頂点には大きく分けて、木の終端に位置するもの（○）と、そうでないもの（●）の２種類がある。前者（ｄ、ｅ、ｇ、ｈ、ｊ）を終端頂点（「葉」または「ｌｅａｆ」）、後者（ａ、ｂ、ｃ、ｆ、ｉ）を非終端頂点と呼ぶ。最上部にある非終端頂点（ａ）を「ルート」と呼ぶ。線で直接結ばれている2つの頂点のうち、ルートに近い方（図では上の方）を「親」と呼び、葉に近い方を「子」と呼ぶ。ルートは、木構造の中で親を持たない唯一の頂点である。ルート以外の頂点は、必ず親を1個だけ持つ。例えば図２１では、ｂはａの子でありｃの親である、ｄはｃの子である、といった具合である。
［第１実施形態］
　本発明の第１実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。
　図２２に、第１実施形態に係る語表現装置１の機能ブロック図を示す。語表現装置１は、記憶部１０と、語表現生成部２０と、を備える。語表現生成部２０は、ルート決定手段２１と、木表現構成手段２２と、ＣＯＴ表現生成手段２３と、を備える。
　記憶部１０は、有限型の流れ（以後単に「流れ」と書く）パターンを構成する複数の流線構造あるいはベクトル場（以後、これをあわせて「流線構造」と書く）に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶する。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干、βφ±およびβφ2であってよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ～±およびｂ±であってよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ±およびσ～±０、σ～±±、σ～±干であってよい。
　流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ～±、ｐ±、ａ±、ｑ±、ｂ±±、ｂ±干、β±、ｃ±、ｃ２±、ａ２、γφ～±、γ～±±、γ～±干、ａ～±およびｑ～±であってよい。
　ルート決定手段２１は、与えられた流れパターンのルートを決定する。このとき流れの回転の向きは、ルートとなる特異点または境界を中心と見たときの回転の向きとする。ある構造の「内部構造」とは、補集合の連結成分でルートを含まないもののことをいう。さらに、「最内部構造」とは、内部構造を持たない構造か、図９（ａ）のようなｆｌｏｗ　ｂｏｘ（開区間の形をしている軌道からなる長方形）以外の内部構造を持たない構造のことをいう。
　ルートに対応する流れの構造を無限遠点または無限遠境界とみなした場合で、かつルート以外の構造がある場合、ある構造が最内部であるとは、補集合の連結成分が空か図９（ａ）のようなｆｌｏｗ　ｂｏｘのみであることをいう。なお「境界成分」とは、境界の連結成分のことをいう。
　ルートは以下のいずれかである
１．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の渦心点
２．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の渦心点
３．無限遠点が「周りの軌道が回転していない」吸い込み点
４．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の吸い込み点
５．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の吸い込み点
６．無限遠点が「周りの軌道が回転していない」湧き出し点
７．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の湧き出し点
８．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の湧き出し点
９．無限遠点から見て反時計回りの軌道と境界サドル点からなる境界成分（この場合、ルートの子に湧き出し構造とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点が存在しない。この場合、ルートとなる境界成分に無限遠点が含まれていると思うと、□ｂφ～－にある原点から見たとき、ルートとなる境界は時計回りに回っているように見える）。
１０．無限遠点から見て時計回りの軌道と境界サドル点からなる境界成分（この場合、湧き出し点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点が存在しない）。
１１．吸い込み点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点とその反時計回りして隣にある湧き出し点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点と境界成分。
　ただし、有限データから無限遠点にある吸い込み点／湧き出し点の回転方向を判断する場合は、データ領域の境界を一点に潰してその点を無限遠点と思い回転方向を判断してもよい。たとえば、閾値δと確率ｐを定めて、「角度の誤差δ以下で境界に（反）時計回りの方向に接するベクトル」の割合が確率ｐ以上ある場合に（反）時計回りに回っていると判断し、それ以外は回転してないと判断する基準を作って、回転方向を判断してもよい。
　ルートの記号は、１の場合はσφ＋（□ｂφ－）、２の場合はσφ－（□ｂφ＋）、３の場合はσφ～－０（□ｂφ～＋）、４の場合はσφ～－＋（□ｂφ～＋）、５の場合はσφ～－－（□ｂφ～＋）、６の場合はσφ～＋０（□ｂφ～－）、７の場合はσφ～＋＋（□ｂφ～－）、８の場合はσφ～＋－（□ｂφ～－）、９の場合はβφ＋（□ｂφ～－，｛□ｃ＋ｓ｝）、１０の場合はβφ－（□ｂφ～＋，｛□ｃ－ｓ｝）、１１の場合はβ２φ（｛□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ，□～－，□γφｓ｝，□ａｓ）とする。
　ルートが決まると、以下のように周期軌道などの流れの向きが定まり、流れの局所構造の符号が定まる。
１．ルートを無限遠点または無限遠境界とみなし、残りの構造が平面上にあるとみなす。
２．抜き出す流れの構造の向きを見て、反時計回りの場合は＋、時計回りの場合は－と符号を定める。
　さらに、向きや吸い込み湧き出しに関する符号～±±と～±干は以下のようにして定められる。
１．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～－＋と符号を定める。
２．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が時計回りに回転している場合は～－－と符号を定める。
３．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が回転していない場合は～－０と符号を定める。
４．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～＋＋と符号を定める
５．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～＋－と符号を定める。
６．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が回転していない場合は～＋０と符号を定める。
　木表現構成手段２２は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部１０に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する。木表現の構成は、以下の原則に基づいて実行される。
１．与えられた流れパターンから流線構造を抜き出す。
２．流線構造を抜き出すとき、当該流線構造に対応する文字（ＣＯＴ表現）を木の頂点として付与する。そして当該流線構造を削除する。以下、「流れパターンから流線構造を抜き出し、当該流線構造に文字を付与し、当該流線構造を削除する」処理をまとめて「構造を抜く」と表記する。
３．構造を抜くとき、最内部の構造を抜き出すことから始めて、すべての構造がなくなるまで順次抜いていく。
　３．１．最内部の構造は葉に対応する。
　３．２．最後に抜く構造はルートに対応する。すなわち、与えられた流れパターンのルートに到達するまで構造を抜く処理を繰り返す。
　３．３．ある構造を抜くときに、その構造を□に置き換え、□とその構造をリンクさせて対応させる（これにより、この□を含む上の構造を抜くときに、この構造を上の構造の「子」構造とすることができる）。
　以下、図２３を参照して、木表現構成手段２２が木表現を構成する処理を詳細に説明する。木表現構成手段２２は、葉からルートに向けて順次頂点を付け加えることで木表現を構成する。具体的には、最内部の流れの構造から抜く過程で、葉に頂点を付け加えることで木表現を構成する。すなわち「新しく付け加える頂点の子が何であるか」と「その並び方」の２点を確認しながら新しい頂点を付け加えて、木表現を構成する。
　具体的には、木表現構成手段２２は、ステップＳ１０～ステップＳ５３の処理を実行することにより、木表現を構成する。図２３はステップＳ１０～ステップＳ５３の処理を示すフロー図である。図２３（ａ）は、ステップＳ１０～ステップＳ２０のフローを示す。図２３（ｂ）は、ステップＳ２１～ステップＳ３１のフローを示す。図２３（ｃ）は、ステップＳ３２～ステップＳ４３のフローを示す。図２３（ｄ）は、ステップＳ４４～ステップＳ５３のフローを示す。前述のように木表現の構成は、与えられた流れパターンにルートが決定された状態で開始する。
　ステップＳ１０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に特異点が存在するか否かを判断する。ステップＳ１０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１８に移行する。
　ステップＳ１１で本方法は、最内部に存在する特定点がルートであるか否かを判断する。ステップＳ１１における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１２に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１５に移行する。
　ステップＳ１２で本方法は、前述の特異点の子の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ１２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１４に移行する。
　ステップＳ１３で本方法は、前述の特異点に文字σφ±を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すべての特異点を抜き切ると、処理は終了する。
　ステップＳ１４で本方法は、前述の特異点に、回転方向に合わせて、文字σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干のいずれかを付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσφ～±０、反時計回りに回転しているときはσφ～干＋、時計回りに回転しているときはσφ～干－を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理は終了する。
　ステップＳ１５で本方法は、前述の特異点の親の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ１５における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１６に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１７に移行する。
　ステップＳ１６で本方法は、前述の特異点に文字σ±を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ１７で本方法は、前述の特異点に、回転方向に合わせて、文字σ～±０、σ～±±、σ～±干のいずれかを付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すなわち、湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσ～±０、反時計回りに回転しているときはσ～干＋、時計回りに回転しているときはσ～干－を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σ～±０、σ～±±、σ～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ１８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に境界が存在するか否かを判断する。ステップＳ１８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２２に移行する。
　ステップＳ１９で本方法は、最内部に存在する境界がルートであるか否かを判断する。ステップＳ１９における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２０に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２１に移行する。
　ステップＳ２０で本方法は、前述の境界に文字βφ±を付与して、この境界を流れパターンから抜く。すべての境界を抜き切ると、処理は終了する。
　ステップＳ２１で本方法は、前述の境界に文字β±を付与して、この境界を流れパターンから抜く。同じ境界が複数あった場合は、それぞれの境界に文字β±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての境界を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ２２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に周期軌道が存在するか否かを判断する。ステップＳ２２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２６に移行する。
　ステップＳ２３で本方法は、前述の周期軌道の親の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ２３における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２４に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２５に移行する。
　ステップＳ２４で本方法は、前述の周期軌道に文字ｐ～±を付与して、この周期軌道を流れパターンから抜く。同じ周期軌道が複数あった場合は、それぞれの周期軌道に文字ｐ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての周期軌道を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ２５で本方法は、前述の周期軌道に文字ｐ±を付与して、この周期軌道を流れパターンから抜く。同じ周期軌道が複数あった場合は、それぞれの周期軌道に文字ｐ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての周期軌道を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ２６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１７（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ２６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２８に移行する。
　ステップＳ２７で本方法は、前述の図１７（ａ）に示される構造に文字ｂ±±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ±±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１７（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ２８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１７（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ２８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３０に移行する。
　ステップＳ２９で本方法は、前述の図１７（ｂ）に示される構造に文字ｂ±干を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１７（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ３０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１８（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３２に移行する。
　ステップＳ３１で本方法は、前述の図１８（ｂ）に示される構造に文字ｃ±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｃ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１８（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ３２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１３（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３４に移行する。
　ステップＳ３３で本方法は、前述の図１３（ｂ）に示される構造に文字ｂ±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１３（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ３４で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１３（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３４における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３５に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３６に移行する。
　ステップＳ３５で本方法は、前述の図１３（ａ）に示される構造に文字ｂ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１３（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ３６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図２０（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３８に移行する。
　ステップＳ３７で本方法は、前述の図２０（ａ）に示される構造に文字ａ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図２０（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ３８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図２０（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４０に移行する。
　ステップＳ３９で本方法は、前述の図２０（ｂ）に示される構造に文字ｑ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｑ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図２０（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ４０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１６（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４２に移行する。
　ステップＳ４１で本方法は、前述の図１６（ａ）に示される構造に文字ａ±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１６（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ４２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１６（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４４に移行する。
　ステップＳ４３で本方法は、前述の図１６（ｂ）に示される構造に文字ｑ±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｑ±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１６（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ４４で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１４（ｃ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４４における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４５に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４６に移行する。
　ステップＳ４５で本方法は、前述の図１４（ｃ）に示される構造に文字βφ２を付与して、この構造を流れパターンから抜く。すべての境界を抜き切ると、処理は終了する。
　ステップＳ４６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１９（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４８に移行する。
　ステップＳ４７で本方法は、前述の図１９（ａ）に示される構造に文字ａ２を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ２を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ４８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１８（ｃ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ５０に移行する。
　ステップＳ４９で本方法は、前述の図１８（ｃ）に示される構造に文字ｃ２±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｃ２±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１８（ｃ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ５０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１９（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかが存在するか否かを判断する。ステップＳ５０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ５１に移行する。一方否定的であった場合、構造に文字を付与することができないため、エラー処理を行った上で処理を終了する。
　ステップＳ５１で本方法は、前述の図１９（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかの構造の親がルートであるか否かを判断する。ステップＳ５１における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ５２に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ５３に移行する。
　ステップＳ５２で本方法は、前述の図１９（ｂ）に示される構造に文字γφ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字γφ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　ステップＳ５３で本方法は、前述の図１９（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかの構造に文字γ～±±またはγ～±干を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字γ～±±またはγ～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ｃ）、（ｄ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。
　木表現構成手段２２は、以上のステップＳ１０－Ｓ５３の処理を実行することにより、任意の曲面Ｓ上の流れパターンに文字を付与し、当該流れパターンの抽象木表現を得る。
　以上によって得られた当該流れパターンの抽象木表現はｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの抽象グラフとしての構造を含んでいるが、ＣＯＴ表現に変換するためには、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造が必要なため、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造の必要な組み合わせ構造を抽出する。
　例えば、このｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造を抽出する方法として、以下のようなものがある:
１．ｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとｓａｄｄｌｅをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
３．これらの情報から得られる抽象グラフはｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの抽象グラフであり、曲面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、曲面グラフとしてｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍを構成する。
　以上の処理を実行することにより、任意の曲面Ｓ上の流れパターンに文字を付与し、当該流れパターンの木表現を得る。
　ＣＯＴ表現生成手段２３は、木表現構成手段２２により構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。具体的には、木表現を括弧を用いた表現に変換することにより、ＣＯＴ表現を構成する。ただし、円順序で並んだ要素を持つ場合は中括弧｛｝を用い、全順序で並んだ要素を持つ場合は丸括弧（）を用いることで変換が実現される。後述で、ＣＯＴ表現の生成を実例を用いて説明する。
　本実施形態によれば、二次元領域における任意の有限型の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。
　以下、具体的な流れパターンに対して語表現を与える手順を説明する。
（第１実施形態の例１）
　図２４（ａ）に、流れパターンの一例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。
手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は湧き出し点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σφ～＋＋（□ｂφ～－）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は湧き出し点であり、その近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、対応する文字はσ～＋－である。従って先ずこの構造を抜き、□～＋に置き換える。このとき生成された語はｂ～＋（σ～＋－，λ～＋）である。
３．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～＋（□～＋，｛□ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｐ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～＋））である。
４．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ－（□ｂ－）である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～＋）），λ～－）である。
５．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～－（□～－，｛□ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂφ～－に置き換える。このとき生成された語はσφ～＋＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～＋）），λ～－））である。
６．最内部はルートであり、対応する文字はσφ～＋－（□ｂφ～－）である。生成された語はσφ～＋＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～＋）），λ～－））である。
　以上の手順を実行することにより、図２４（ａ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σφ～＋＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～＋）），λ～－））
が与えられることが示された。
（第１実施形態の例２）
　図２４（ｂ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。
手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は吸い込み点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σφ～－＋（□ｂφ～＋）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は吸い込み点であり、その近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、対応する文字はσ～－－である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はσ～－－である。
３．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～－（□～－，｛□ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ～－（σ～－－，λ～－）である。
４．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ－（□ｂ－）である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－））である。
５．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～＋（□～＋，｛□ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）））である。
６．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ－（□ｂ－）である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－））である。
７．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～－（□～－，｛□ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－）），λ～－）である。
８．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ－（□ｂ－）である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はｐ－（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－）），λ～－））である。
９．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～＋（□～＋，｛□ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－）），λ～－）），λ～－）である。
１０．最内部はルートであり、対応する文字はσφ～－＋（□ｂφ～＋）である。生成された語はσφ～－＋（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－）），λ～－）），λ～－））である。
　以上の手順を実行することにより、図２４（ｂ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σφ～－＋（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ－（ｂ～－（σ～－－，λ～－）），λ～－）），λ～－，λ～－））
が与えられることが示された。
（第１実施形態の例３）
　図２４（ｃ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。
手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は吸い込み点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σφ～－－（□ｂφ～＋）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は吸い込み点であり、その近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、対応する文字はσ～－＋である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はσ～－＋である。
３．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～－（□～－，｛□ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ～－（σ～－＋，λ～－）である。
４．最内部は反時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ＋（□ｂ＋）である。この構造を抜き、□～＋に置き換える。このとき生成された語はｐ＋（ｂ～－（σ～－＋））である。
５．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～＋（□～＋，｛□ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋）））である。
６．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ－（□ｂ－）である。この構造を抜き、□～－に置き換える。このとき生成された語はｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～－）），λ～＋））である。
７．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ～－（□～－，｛□ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～－）），λ～＋）），λ～－）である。
８．最内部は反時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ＋（□ｂ＋）である。この構造を抜き、□～＋に置き換える。このとき生成された語はｐ＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～＋）），λ～－）），λ～－））である。
９．最内部は湧き出し流れで開円環領域なので、対応する文字はｂ～＋（□～＋，｛□ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～＋）），λ～＋）），λ～－）），λ～－）である。
１０．最内部はルートであり、対応する文字はσφ～－（□ｂφ～＋）である。生成された語はσφ～－－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～－）），λ～＋）），λ～－）），λ～＋））である。
　以上の手順を実行することにより、図２４（ｃ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σφ～－－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（ｐ－（ｂ～＋（ｐ＋（ｂ～－（σ～－＋，λ～－）），λ～＋）），λ～－）），λ～＋））
が与えられることが示された。
（第１実施形態の例４）
　図２５（ａ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。
手順：
１．ルートは物理境界であり、ルートに対応する文字は、βφ－（□ｂ＋，｛□ｃ＋ｓ｝）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は渦心点なので、対応する文字はσ±である。この構造を抜き、□±に置き換える。このときｖ１－ｖ７に対応して生成された語はσ＋とσ－の計 7 つである。
３．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ±（□α±）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□ｂ±に置き換える。このときｖ１－ｖ７の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語は３つのｂ＋（σ＋）と４つのｂ－（σ－）の計７つである。
４． 最内部はｂ＋－となるので、この構造を抜き、□α＋に置き換える。このときｖ５を含む構造に対応して生成された語はｂ＋－（ｂ＋（σ＋），ｂ－（σ－））である。
５．最内部はｃ±となるので、この構造を抜き、□ｃ±ｓに置き換える。このときｖ１－ｖ４、ｖ７を含むに対応して生成された語は２つのｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）と３つのｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）の計５つである。
６．最内部はβ＋となるので、この構造を抜き、□ｃ±ｓに置き換える。このとき、ｃ３に対応して生成された語はβ＋｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）｝である。
７．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ＋（□α±）である。さらに親がｂ＋＋であるので、この構造を抜き、□ｂ＋に置き換える。このときｖ５－ｖ７を含む開円環に対応して生成された語はｂ＋（ｂ＋－（ｂ＋（σ＋），ｂ－（σ－）））とｂ＋（β＋｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）｝）である。
８．最内部はｂ＋＋となるので、対応する文字はｂ＋＋｛□ｂ＋，□ｂ＋｝である。この時生成された語は、以下である。
ｂ＋＋｛ｂ＋（ｂ＋－（ｂ＋（σ＋），ｂ－（σ－））），ｂ＋（β＋｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）｝）｝
　以上と同様の手順を繰り返すことにより、図２５（ａ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
βφ－（ｂ＋（β＋｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）・ｃ＋（ｂ＋（β＋｛ｃ＋（ｂ＋（ｂ＋＋｛ｂ＋（ｂ＋－（ｂ＋（σ＋），ｂ－（σ－））），ｂ＋（β＋｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）｝）｝））｝），ｃ－（ｂ－（σ－）））｝），｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）・ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）｝）
が与えられることが示される。
（第１実施形態の例５）
　図２５（ｂ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。
手順:
１．ルートは物理境界とＳ１であり、ルートに対応する文字は、βφ２（｛□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ，□～－，□γφｓ｝，□ａｓ）となる。
２．最内部はＳ１、Ｓ２とｖ１－ｖ９なので、対応する文字はσ±とσ～±０である。この構造を抜き、□±と□～±に置き換える。
３．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ±（□α±）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□ｂ±に置き換える。このときｖ１－ｖ７の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語は３つのｂ＋（σ＋）と４つのｂ－（σ－）の計７つである。
４．最内部はｂ－－となるので、この構造を抜き、□α－に置き換える。このときｖ４、ｖ５を含む構造に対応して生成された語はｂ－－｛ｂ－（σ－），ｂ－（σ－）｝である。
５．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ－（□α－）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□ｂ－に置き換える。このときｖ４、ｖ５の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語はｂ－（ｂ－－｛ｂ－（σ－），ｂ－（σ－）｝）である。
６．最内部はｃ±となるので、対応する文字はｃ±（□ｂ±，□ｃ干ｓ）である。この構造を抜き、□ｃ±に置き換える。このときｖ１、ｖ２、ｖ６、ｖ７を含む構造に対応して生成された語はｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－）とｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）である。
７．最内部はａ±となるので、対応する文字はａ±（□ｂ±）である。この構造を抜くが、ｃｌａｓｓ－ａ２が残っているため□には置き換えない。このとき、ｖ３とｖ４、ｖ５と対応して生成された語はａ＋（ｂ＋（σ＋））とａ－（ｂ－（ｂ－－｛ｂ－（σ－），ｂ－（σ－）｝））である。
８．最内部はａ２となるので、対応する文字はａ２（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□γ－ｓ）である。この構造を抜き、□ａｓに置き換える。このときｃ１、ｃ２、ｃ３を含む構造に対応して生成された語はａ２（λ＋，λ－）とａ２（ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－），ｃ－（ｂ－（σ－），λ＋））である。
９．最内部はｃ２－となるので、対応する文字はｃ２－（□ｃーｓ，□～＋，□ｃ＋ｓ，□～ー，□γーｓ，□ｃーｓ，□ａｓ）である。この構造を抜き、□ｃ－に置き換える。このとき、ｓ３、ｓ４を含む構造に対応して生成された語は
ｃ２－（λ＋，σ－０，λ－，σ～＋０，λ～，λ＋，λ～）である。
１０．ここでルートが最内部になるので、以下の語を得る。
βφ２（｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－），σ～＋０，ｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）・ｃ２－（λ＋，σ－０，λ－，σ～＋０，λ～，λ＋，λ～），σ～－０，λ～｝，ａ２（λ＋，λ－）・ａ＋（ｂ＋（σ＋））・ａ２（λ＋，λ－）・ａ－（ｂ－（ｂ－－｛ｂ－（σ－），ｂ－（σ－）｝））・ａ２（ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－），ｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）））
　以上の手順を実行することにより、図２５（ｂ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
βφ２（｛ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－），σ～＋０，ｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）・ｃ２－（λ＋，σ－０，λ－，σ～＋０，λ～，λ＋，λ～），σ～－０，λ～｝，ａ２（λ＋，λ－）・ａ＋（ｂ＋（σ＋））・ａ２（λ＋，λ－）・ａ－（ｂ－（ｂ－－｛ｂ－（σ－），ｂ－（σ－）｝））・ａ２（ｃ＋（ｂ＋（σ＋），λ－），ｃ－（ｂ－（σ－），λ＋）））
が与えられることが示された。
［第２実施形態］
　本発明の第２実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。
　図２６に、第２実施形態に係る語表現装置２の機能ブロック図を示す。語表現装置２の語表現生成部２０は、図２２の語表現装置１の構成に加えて、木表現構成手段２２とＣＯＴ表現生成手段２３との間に、組合せ構造抽出手段２４を備える。その他の構成と動作は、語表現装置１と共通である。
　組合せ構造抽出手段２４は、与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出する。第１実施形態の語表現装置１が生成するＣＯＴ表現は多対一対応であるが、本第２実施形態はＣＯＴ表現に組み合わせ構造を付与することにより、一対一対応を得ることができる。
　ＣＯＴ表現は局所構造の配置を一意に表現することができる一方，一次元の大域的なつながりの情報を持たない。このため、ＣＯＴ表現は多対１の表現になっている。ここでゼロ次元および二次元の構造は、ＣＯＴ表現で一意に定まることに注意する。一次元の大域的なつながりの情報のことを、以下「組み合わせ構造」と呼ぶ。この構造の情報を十分持っているものとして、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍがある。
　ＣＯＴ表現は局所的な構造を完全に記述する。しかしながら、２つの構造があったとき、これらの局所構造が同じであっても、全体の構造が一致するとは限らない。そこでＣＯＴ表現に組合せ構造を付与することで，大域的な構造も決まる結果、構造が１対１に決まる。ただし前述のように、組合せ構造は大域的なつながりの構造の情報のみを持ち、ゼロ次元点構造や二次元構造については何の情報も持たない。従って、これら２つの情報を合わせることにより、局所構造と大域構造の両方が決まり、結果として１対１に構造が決まる。
　組合せ構造抽出手段２４は、ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようなｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔにつながっているかをグラフ構造として抜き出す。実際、頂点は、「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅ」と「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」であり、辺はｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。ここで、「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」は、ｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅ、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔのいずれかの構造であった。このグラフは、頂点と辺の数が有限であるような抽象グラフとなっている。ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合は、この抽象グラフは曲面グラフとして実現されている。一方、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含む場合は、これらの頂点が周期軌道またはｃｉｒｃｕｉｔとして実現されているため、抽象グラフは曲面グラフとして実現されていない。そのため、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔの補集合を考え、新しくできた境界上のｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ１点につぶした曲面を考えると、「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」は、ｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅのみからなり、抽象グラフのｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔに対応する頂点を２つに切って得られる新しい抽象グラフは、曲面グラフとして実現される。２つに切って得られた点の組にラベルを振って、切られたという情報を保持することで、新しく得られた曲面グラフはｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようにｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔに巻きつくかの情報を完全に持っている。従って、この曲面グラフとＣＯＴ表現の組は元のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの情報を完全に持っている。そこで、この曲面グラフを抽出する。
　例えば、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合は、この曲面グラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
４．これらの情報から得られる抽象グラフを、平面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、平面グラフを構成する。例えば、図２７の（ａ）と（ｂ）は、同じＣＯＴ表現を持つが、大域的な構造（組合せ構造）が異なるため、異なる流線トポロジーを持つ流れパターンの例である。
　 一方、一般のｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含む場合は、この曲面グラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
４．これらの情報から得られる抽象グラフを得る。
５．ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを除いて、新しい境界上のｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ一点につぶした曲面を考える。
６．抽象グラフのｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔに対応する点を切って二つの頂点にした抽象グラフを作る。
７．新しく得られた曲面上にはｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔが含まれないので、上記の「ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合」の方法で曲面グラフを構成する。さらに、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔ由来の頂点には、どの点と元々同じ点だったかという情報をラベルとして付与する。
　本実施形態によれば、曲面上の任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンの１対１表現を得ることができる。
（第２実施形態の例）
　以下、図２７を参照して、異なる流線トポロジーを持つ２つの流れパターンに対してＣＯＴ表現を与える手順を説明する。
手順：
１．物理境界がなく、ルートは無限遠点かつ吸い込みである。ルートに対応する文字は、σφ－となる。
２．はじめに、最内部は吸い込み点、湧き出し点であり、その近傍では非閉軌道が回転していないため、対応する文字はσ～±０である。そのため、この構造を抜き、□～±に置き換える。このとき生成された語はσ～＋０とσ～－０の計３つである。
３．次に、最内部はａ～＋に対応するｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅなので、対応する文字はａ～＋｛□～＋，□～＋｝である。このとき生成された語はａ～＋｛σ～＋０，σ～＋０｝である。
４．次に、最内部はｑ～－に対応するｓｌｉｄａｂｌｅ　ｓａｄｄｌｅなので、対応する文字はｑ～－（□～－）である。このとき生成された語はｑ～－（σ～－０）である。
５．このとき、ルートが最内部になるので、以下の語（ＣＯＴ表現）を得る。
σφ－（ｂ～＋（ａ～＋｛σ～＋，σ～＋｝，ｑ～－（σ～－０）））
　次に、図２７（ａ）、（ｂ）に示される流れパターンから組合せ構造を抽出する手順を説明する。図２８は、図２７の流れパターンから組合せ構造を抽出する手続きを示す。
手順：
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅであるｖ４、ｖ５を抜き出す。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔである２つのｓｏｕｒｃｅ　ｖ１、ｖ２と２つのｓｉｎｋ　ｖ３とｖ６を抽出する（ｖ６は無限遠点である）。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより、抽出すべき組合せ構造である曲面グラフが求まる。
　この手続きを実行することにより、組合せ構造が抽出される。
　このように、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合には、ｓａｄｄｌｅとｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより得られた図２８は、図２７の流れパターンから抽出すべき組合せ構造を示す図である。
　一般の場合には、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔの補集合を考えて、新しい境界上のｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ一点に潰すことにより新しい曲面を構成し、その新しく潰されてできた頂点のラベルと曲面上の曲面グラフの組が、流れパターンから抽出すべき組合せ構造である。
　次に、ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ　ｃｉｒｃｕｉｔが存在する場合について、図２９の左側に示される流れパターンから右側に示される組合せ構造を抽出する手順を説明する。
手順：
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅであるｖ４、ｖ５、ｖ９を抜き出す。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔである３つｓｏｕｒｃｅ　ｖ１、ｖ２、ｖ８と２つのｓｉｎｋ　ｖ３とｖ７とｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ　Ｏ６を抽出する。
３．ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ Ｏ６を取り除き中央図に示されるＯ６の補集合を得る。
４.　新しい２つの境界をそれぞれ１点に潰して、右図に示される新しい曲面を得る。
５． ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより、抽出すべき組合せ構造である曲面グラフが求まる。
［第３実施形態］
　本発明の第３実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される。
　図３０に、第３実施形態に係る語表現方法のフローを示す。本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、を備える。
　ステップＳ１で本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定する。ルート決定の具体的な処理は、第１実施形態で説明したものと共通であるので、詳細な説明は省略する。
　ステップＳ２で本方法は、与えられた流れパターンの木表現を構成する。木表現構成の具体的な処理は、第１実施形態のステップＳ１０～ステップＳ５３と共通であるので、詳細な説明は省略する。
　ステップＳ３で本方法は、ステップＳ２で構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。
　本実施形態によれば、二次元領域における任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。
［第４実施形態］
　本発明の第４実施形態は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムである。このプログラムは、図３０に示されるフローをコンピュータに実行させる。すなわち本プログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、をコンピュータに実行させる。
　本実施形態によれば、二次元領域における任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化するプログラムをソフトウェアに実装できるので、コンピュータを用いて精度の高い語表現を実現することができる。
［第５実施形態］
　本発明の第５実施形態は、構造物形状の学習方法である。以下、流体の例として河川を取り上げて説明する。
　図３１は、河川の地形図を基にシミュレーションにより得られた流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す。図３１に示される通り、河床の深さや形状が変化する場所では、川の表面の流れに吸い込みや湧き出しを伴う渦が発生する。このような渦は、例えば河川交通の障害となる場合がある。船の安全な航行や防災上の観点からは、こうした渦を除去し、できるだけ一様な流れに整流できることが望ましい。しかしながら、渦を消そうとして浚渫や土砂投入などを行っても、河川の形状の複雑さに起因して、予想外の場所に新たな吸い込みや湧き出しが発生してしまう場合がある。本実施形態は、構造物の周囲に発生する流れパターンを語表現化して、この語表現と構造物形状との関係を人工知能（以下、「ＡＩ」という）に学習させることにより、流れを制御するために最適な構造物形状を計算することを目的とする。
　図３２に、第５実施形態に係る構造物形状の学習方法のフローを示す。本方法は、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップＳ１１０と、当該語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習するステップＳ１２０と、を備える。
　ステップＳ１１０で本方法は、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現化する。流体は例えば河川等であり、構造物は例えば当該河川の河床、河岸、岩礁等である。語表現は、流れパターンを例えば図２２の語表現装置１に入力することによって得られるＣＯＴ表現である。
　ステップＳ１２０で本方法は、当該語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習する。ＡＩの具体的な手法は特に限定されないが、例えば畳み込みニューラルネットワーク（Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌ　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋ：ＣＮＮ）、再帰形ニューラルネットワーク（Ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋ：ＲＮＮ）、ＬＳＴＭネットワーク（Ｌｏｎｇ　Ｓｈｏｒｔ　Ｔｅｒｍ　Ｍｅｍｏｒｙ：ＬＳＴＭ）などのニューラルネットワークを用いてもよく、この場合入力層を共通にした上で計算モデルごとに異なるニューラルネットワークを混在させてもよい。本実施形態では、構造物の三次元形状と流れパターンの語表現との組を大量に用意し、これらを学習データとしてＡＩに学習させる。これによりＡＩは、流れパターンの語表現を入力したときに、当該流れパターンを実現する構造物の三次元形状を計算して出力することができる。
　本実施形態に係る構造物形状の学習方法の作用および効果を説明する。例えばステップＳ１２０において、構造物の三次元形状と流れパターンを学習データとして直接ＡＩに学習させようとしても、実際には学習は困難である。これは、流れパターンそのものはデータ構造として複雑すぎるためである。これに対して、本実施形態は、流れパターンの流線構造を一旦語表現した上で、この語表現と構造物の三次元形状とを学習データとするところに特徴を持つ。すなわち、複雑な流れパターンをＣＯＴ表現のような有限な文字列で表現することにより、データ構造がシンプルになるため、ＡＩによる学習が可能となる。このように、本実施形態によれば、ＡＩによる学習を利用して、流体の流れを制御するために最適な構造物形状を得ることができる。
［第６実施形態］
　本発明の第６実施形態は、構造物の形状設計方法である。図３３に、第６実施形態に係る構造物設計方法のフローを示す。本方法は、第１実施形態に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップＳ１３０と、当該目的とする流れパターンの語表現を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力するステップＳ１４０と、当該目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状を学習済みＡＩで計算して出力するステップＳ１５０と、を備える。
　ステップＳ１３０で本方法は、第１実施形態に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現化する。このとき、例えばユーザが描画ソフトを用いて河川の地形図に所望の流れパターンを描画し、この流れパターンを例えば図２２の語表現装置１に読み取らせることによってＣＯＴ表現を得てもよい。図３４に、図３１の地形図に対してユーザが描画した望ましい流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す。
　ステップＳ１４０で本方法は、ステップＳ１３０で作成された目的とする流れパターンの語表現（ＣＯＴ表現）を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力する。
　ステップＳ１５０で本方法は、ステップＳ１４０で入力された目的とする流れパターンの語表現から、ステップＳ１２０での学習結果に基づいて、当該語表現を実現するために最適な構造物の形状を学習済みＡＩから出力する。この出力結果に基づいて、例えば浚渫、土砂投入、消波ブロック等の設置などを行って目的とする構造物を形成することにより、現状の河川の三次元形状が修正され、望ましい流れパターンを得ることができる。
　本実施形態によれば、目的とする流れパターンを入力することにより、この流れパターンを実現する構造物の具体的な三次元形状を得ることができる。
　なお、ＡＩからの出力結果に基づいて、例えば多数の魚礁を設置して目的とする構造物を形成したような場合は、この構造物の形状がＡＩの出力した理想的な形状に対して誤差を持つことがある。このような場合、形成した構造物によって実現される流れパターンをシミュレーションにより描画し、その流線構造を語表現してもよい。その上でこの語表現を、ＡＩの出力した理想的な形状から得られる流れパターンの流線構造の語表現と比較してもよい。この比較の結果、所望の流れパターンの語表現が実現できていなかった場合は、その時点における形状図面に所望の流れパターンを描画し、再度ステップＳ１３０～ステップＳ１５０の処理を行ってもよい。このような確認・修正作業を必要に応じて繰り返し行うことにより、より精度の高い構造物設計をすることができる。
　以上述べた手法は河川の流れの制御に限定されない。構造物の形状とその周囲の流体の流れのＣＯＴ表現との関係をＡＩに学習させておいた上で、目標とする流体の流れパターンのＣＯＴ表現をＡＩに入力すれば、望ましい構造物の形状を出力することができる。これは、例えば燃焼効率の高いエンジンの設計や、推力の高いスクリュー形状の設計などに応用することも可能である。
　以上、本発明のいくつかの実施形態をもとに説明した。これらの実施形態は例示であり、いろいろな変形および変更が本発明の特許請求の範囲内で可能なこと、またそうした変形例および変更も本発明の特許請求の範囲にあることは当業者に理解されるところである。従って、本明細書での記述および図面は限定的ではなく例証的に扱われるべきものである。
［変形例１］
　第１または第２実施形態の語表現装置は、与えられた流れパターンの画像を取得する画像取得部（例えば、カメラ等）を備えてもよい。画像取得部により取得された画像は語表現生成部に送信され、前述の処理によって語表現が与えられる。本変形例によれば、流れパターンの画像が与えられたときに、これを取り込んで語表現を得ることができる。
［変形例２］
　第１または第２実施形態の語表現装置は、変形例１の画像取得部に加えて、画像認識部を備えてもよい。画像取得部により取得された画像は画像認識部に送信され、画像内の流体構造が認識される。認識された流体構造は、語表現部に送信され、前述の処理によって語表現が与えられる。本変形例によれば、流れパターンの画像が与えられたときに、画像内の流体構造を認識することにより、正確な語表現を得ることができる。
　変形例は実施の形態と同様の作用・効果を奏する。
　上述した各実施形態と変形例の任意の組み合わせもまた本発明の実施形態として有用である。組み合わせによって生じる新たな実施形態は、組み合わされる各実施形態および変形例それぞれの効果をあわせ持つ。
　本発明は、医療画像の解析、建築物や工業製品の設計、気象予測、河川や海面の流体分析による災害対策や漁業に利用可能である。
　１・・語表現装置
　２・・語表現装置
　１０・・記憶部
　２１・・ルート決定手段
　２２・・木表現構成手段
　２３・・ＣＯＴ表現生成手段
　２４・・組合せ構造抽出手段
　Ｓ１・・ルートを決定するステップ
　Ｓ２・・木表現を構成するステップ
　Ｓ３・・ＣＯＴ表現を生成するステップ
　Ｓ１１０・・流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップ
　Ｓ１２０・・語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようにＡＩで学習するステップ
　Ｓ１３０・・第１実施形態に記載の装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップ
　Ｓ１４０・・目的とする流れパターンの語表現を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力するステップ
　Ｓ１５０・・目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状をＡＩで計算して出力するステップ

Claims (10)

  1. 　二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備え、
    　前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
    　前記語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備え、
    　前記ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、
    　前記木表現構成手段は、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
    　前記ＣＯＴ表現生成手段は、前記木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成する語表現装置。
  2. 　前記流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干、βφ±およびβφ2である請求項１に記載の語表現装置。
  3. 　前記流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ～±およびｂ±である請求項１または２に記載の語表現装置。
  4. 　前記流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ～±０、σ～±±、σ～±干である請求項１乃至３のいずれかに記載の語表現装置。
  5. 　前記流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ～±、ｐ±、ａ±、ｑ±、ｂ±±、ｂ±干、β±、ｃ±、ｃ２±、ａ２、γφ～±、γ～±±、ａ～±およびｑ～±である請求項１乃至４のいずれかに記載の語表現装置。
  6. 　前記語表現生成部は、組合せ構造抽出手段をさらに備え、
    　前記組合せ構造抽出手段は、前記与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出することにより、前記与えられた流れパターンの一対一対応の語表現を生成する請求項１乃至５のいずれかに記載の語表現装置。
  7. 　記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータによって実行される、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、
    　前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
    　前記語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、
    　前記ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、
    　前記木表現構成ステップは、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
    　前記ＣＯＴ表現生成ステップは、前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成する語表現方法。
  8. 　記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムであって、
    　前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
    　与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、
    　前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、
    　前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を前記語表現生成部に実行させるプログラム。
  9. 　二次元領域における流体内の構造物の形状を学習する方法であって、
    　請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、
    　前記語表現を入力とし、前記構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習するステップと、を備える学習方法。
  10. 　二次元領域における流体内の構造物を設計する構造物設計方法であって、
    　請求項１に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップと、
    　前記目的とする流れパターンの語表現を請求項９に記載の学習済みＡＩに入力するステップと、
    　前記目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状を前記学習済みＡＩで計算して出力するステップと、を備える構造物設計方法。
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