CN113994338A - 有限型的流谱的词表示装置、词表示方法、程序、结构物形状的学习方法及结构物设计方法 - Google Patents

Abstract

词表示装置具备存储部和词表示生成部，存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，词表示生成部具备根决定机构、树表示构成机构和COT表示生成机构，根决定机构决定给定的流谱的根，树表示构成机构从给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成给定的流谱的树表示，其中，所述处理是提取给定的流谱的流线结构、基于存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理，COT表示生成机构将由树表示构成机构构成的树表示变换成COT表示来生成给定的流谱的词表示。而且，使学习完成AI计算使其周围产生所希望的流谱的结构物形状。

Description

有限型的流谱的词表示装置、词表示方法、程序、结构物形状 的学习方法及结构物设计方法

技术领域

本发明涉及流谱(flow pattern)的词表示装置、词表示方法、程序、结构物形状的学习方法及结构物设计方法。

背景技术

公开了对于曲面上的非压缩性流体的流谱赋予多对一的词表示(极大词表示)的技术以及使用了词表示和正规表示的流体中的结构物的形状的设计方法(例如，参照专利文献1)。而且，公开了取得与从相位几何学的二维流动结构中的结构稳定的流线形态向相位几何学上能取得的其他的结构稳定的流线形态的转变路径相关的转变信息的技术(例如，参照专利文献2)。此外，公开了对于曲面上的非压缩性流体的流动结构，根据与流谱一对一地对应的图形表示来赋予词表示(正规表示)的技术及利用该技术实现流体中的结构物的形状的最优化的技术(例如，参照专利文献3)。

在先技术文献

专利文献

专利文献1：国际公开第2014/041917号

专利文献2：国际公开第2015/068784号

专利文献3：国际公开第2016/072515号

发明内容

发明的概要

发明要解决的课题

前述的在先技术虽然能够向曲面上的非压缩性流体的流谱赋予词表示，但是对于包含压缩性流体的通常的流谱无法赋予词表示。

本发明是鉴于这样的课题而作出的发明，其目的之一在于对包含压缩性流体的通常的流体的流谱赋予词表示。而且，本发明的另一目的在于提供赋予如下那样的结构物的形状的设计方法，所述结构物是使上述的包含压缩性流体的一般的流动之中存在的结构物的周围的流谱成为所希望的形态的结构物。

用于解决课题的方案

为了解决上述课题，本发明的一方案的词表示装置将二维区域中的流谱的流线结构进行词表示，其具备存储部和词表示生成部。存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，词表示生成部具备根决定机构、树表示构成机构和COT表示生成机构。根决定机构决定给定的流谱的根，树表示构成机构从给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成给定的流谱的树表示，其中，所述处理是提取给定的流谱的流线结构、基于存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理，COT表示生成机构将由树表示构成机构构成的树表示变换成COT表示，生成给定的流谱的词表示。

根据该方案，能够使用装置来对包含压缩性流体的通常的流体的流谱赋予词表示。

构成流谱的流线结构中的基本结构可以为σ_φ±、σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±及β_φ2。

构成流谱的流线结构中的二维结构可以为b_～±及b_±。

构成流谱的流线结构中的0维点结构可以为σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干。

构成流谱的流线结构中的一维结构可以为p_～±、p_±、a_±、q_±、b_±±、b_±干、β_±、c_±、c_2±、a₂、γ_φ～±、γ_～±±、a_～±及q_～±。

词表示生成部可以还具备组合结构提取机构。组合结构提取机构可以通过从给定的流谱中提取组合结构，生成给定的流谱的一对一对应的词表示。

本发明的另一方案是词表示方法。该方法由具备存储部和词表示生成部的计算机执行，将二维区域中的流谱的流线结构进行词表示，其中，存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，词表示生成部执行根决定步骤、树表示结构步骤和COT表示生成步骤，在根决定步骤中，决定给定的流谱的根，在树表示构成步骤中，从给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成给定的流谱的树表示，其中，所述处理是提取给定的流谱的流线结构、基于存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理，在COT表示生成步骤中，将通过树表示构成步骤构成的树表示变换成COT表示来生成给定的流谱的词表示。

根据该方案，能够使用计算机对包含压缩性流体的通常的流体的流谱赋予词表示。

本发明的又一方案是程序。该程序使具备存储部和词表示生成部的计算机执行处理。存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系。该程序使词表示生成部执行：决定给定的流谱的根的根决定步骤；从给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理来构成给定的流谱的树表示的树表示构成步骤，其中，所述处理是提取给定的流谱的流线结构、基于存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理；以及将通过树表示构成步骤构成的树表示变换成COT表示来生成给定的流谱的词表示的COT表示生成步骤。

根据该方案，能够将对包含压缩性流体的通常的流体的流谱赋予词表示的程序安装于存储介质等。

本发明的再一方案是方法。该方法学习二维区域中的流体内的结构物的形状，其包括：使用一方案的词表示装置，将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示的步骤；通过AI学习该结构物的三维形状与所述词表示的关系的步骤。

本发明的再一方案也是方法。该方法是设计二维区域中的流体内的结构物的结构物设计方法，其包括：使用一方案的词表示装置，将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示的步骤；通过AI学习该结构物的三维形状与所述词表示的关系的步骤；使用一方案的词表示装置，将目标的流谱的流线结构进行词表示的步骤；将该目标的流谱的词表示向AI输入的步骤；通过AI计算并输出实现该目标的流谱的结构物的三维形状的步骤。

根据该方案，能够得到为了控制流体的流动而最优的结构物形状。

需要说明的是，以上的构成要素的任意的组合、将本发明的构成要素或表述在方法、装置、程序、记录有程序的易失或非易失的存储介质、系统等之间相互置换的方案作为本发明的方案也是有效的。

发明效果

根据本发明，能够对曲面上的包含压缩性流体的通常的流体的流谱赋予词表示，能够计算使其周围产生所希望的流谱的结构物形状。

附图说明

图1是表示0维的点结构的图。(a)表示center(涡心点)。(b)表示鞍点(saddle)。(c)表示边界鞍点

(d)表示源点(source)。(e)表示边界源点

(f)表示汇点(sink)。(g)表示边界汇点

图2是表示作为一维结构的circuit的图。(a)表示cycle(循环)。(b)表示环绕轨道。

图3是表示作为一维结构的saddle separatrix的图。(a)表示self-connectedsaddle separatrix的轨道。(b)表示heteroclinic saddle separatrix的轨道。

图4是表示作为一维结构的ss-component和将它们连结的ss-separatrix的图。

图5是表示作为一维结构的slidable saddle及slidable

的图。(a)、(b)表示slidable saddle。(c)、(d)表示slidable

图6是表示二维结构的图。(a)表示trivial center disk。(b)表示trivialsource disk。(c)表示periodic border annulus。(d)表示limit annulus。(e)表示periodic annulus。(f)表示rotating sphere。

图7是表示作为二维结构的Reeb domain和rotating annulus的图。(a)、(b)表示Reeb domain。(c)表示rotating annulus。

图8是表示有限型的流动(flow of finite type)之中出现的4个种类的non-trivial limit circuits的图。

图9是表示有限型的流动(flow of finite type)v的边界轨道的集合Bd(v)的补集所表示的区域内的轨道组的分类的图。(a)表示在开矩形区域内轨道空间为开区间的情况。(b)表示在开圆环区域内轨道空间为圆周的情况。(c)表示在开圆环区域内轨道空间为开区间的情况。

图10是表示结构稳定的哈密顿(Hamilton)向量场的基本流线结构的图。(a)表示非有界区域的平滑流。(b)表示有界区域内的逆时针流动。(c)表示有界区域内的顺时针流动。

图11是表示进入结构稳定的哈密顿向量场的局部流线结构的图。(a)表示A系列的流线结构。(b)表示B系列的流线结构。(c)表示C系列的流线结构。

图12是表示设为字符化的对象的流谱的例子的图。

图13是表示(Bd(v))^c的轨道组的结构(二维结构)的图。(a)表示结构b_～±。(b)表示结构b_±。向作为自明的结构的(c)未赋予结构。

图14是表示球面S上的基本结构的图。(a)表示结构σ_φ±、σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干。(b)表示结构β_φ±。(c)表示结构β_φ2。

图15是表示Bd(v)的流动的0维点结构和一维结构的例子的图。(a)表示作为一维结构的结构β_±。(b)表示作为0维点结构的结构σ_±、σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干。(c)表示作为一维结构的结构p_～±。(d)表示作为一维结构的结构p_±。

图16是表示(S1)系列的一维结构的图。(a)表示结构a_±。(b)表示结构q_±。

图17是表示(S2)系列的一维结构的图。(a)表示结构b_±±。(b)表示结构b_±干。

图18是表示(S4)系列的一维结构的图。(a)表示结构β_±。(b)表示结构c_±。(c)表示结构c_2±。

图19是表示(S5)系列的一维结构的图。(a)表示结构a₂。(b)表示结构γ_φ～±。(c)表示结构γ_～±-。(d)表示结构γ_～±+。

图20是表示(S3)系列的一维结构的图。(a)表示结构a_～±。(b)表示结构q_～±。

图21是树表示的说明图。

图22是第一实施方式的词表示装置的功能框图。

图23是第一实施方式的构成树表示的处理的流程图。

图24是表示曲面上的流谱的例子的图。

图25是表示曲面上的流谱的另一例的图。

图26是第二实施方式的词表示装置的功能框图。

图27是表示虽然具有相同的COT表示但是具有不同的流线拓扑的流谱的例子的图。

图28是表示从图27的流谱中提取组合结构的步骤的图。

图29是表示从流谱中应提取的组合结构的图。

图30是第三实施方式的词表示方法的流程图。

图31是表示根据河川的地形图通过模拟得到的流谱和其COT表示的图。

图32是第五实施方式的结构物形状的学习方法的流程图。

图33是第六实施方式的结构物设计方法的流程图。

图34是使用者对于图31的地形图描绘的希望的流谱和其COT表示的图。

具体实施方式

以下，以优选的实施方式为基础，参照各附图来说明本发明。在实施方式及变形例中，对于相同或同等的构成要素、部件标注同一符号，适当省略重复的说明。而且，各附图中的部件的尺寸为了便于理解而适当放大、缩小地表示。而且，在各附图中，在说明实施方式上不重要的要素的一部分省略表示。而且，包含第一、第二等序数的用语为了说明多样的构成要素而使用，但是该用语仅在将一个构成要素与其他的构成要素区分的目的下使用，构成要素不受该用语限定。

[概要]

在专利文献1记载的结构稳定的哈密顿向量场(非压缩向量场)的分类理论中，通过将由特征性的5个种类的一维的流线结构分割的区域的相邻关系进行图形化而字符信息化。为了将其向压缩性流体扩展，在以下的实施方式中，向上述的5个种类新追加14个种类的一维结构，连同与填埋由它们分割的二维区域的内部的轨道组对应的3个种类的分类一起进行字符化。即，确认将这些二维区域分割的特征性的一维流线结构是否存在，如果存在，则向其分配对应的字符。进而顺次分配反映了进入内部的流线组的信息的字符串，由此能够将整体的流线结构表达为字符串。在这里使用的算法中，从给定的流线组中的最内侧(细小的结构)提取流线结构而赋予字符，并顺次提取外侧(大的结构)的流线结构，由此实现最终的字符化。而且，通过向压缩性流体扩展，仅仅是字符串的话，无法唯一地表示结构，因此通过加入组合论地指定流线结构的关联状况的算法而得到唯一的表示。

在专利文献3记载的结构稳定的哈密顿向量场的正规表示中，其内部的流线组的结构(平滑流或周期轨道)根据将这些区域分割的一维结构而自动确定。因此，为了对该内部的流线组的信息进行正规表示，只要仅赋予+、-、○这样的记号表示即可。而且，相当于压缩成分的流动在平滑流(无穷远点处的汇和源的成对结构(1-source-sink point))以外不存在，因此也不需要表示关联状况。在将以下的实施方式使用的算法适用于结构稳定的哈密顿向量场的情况下，从通过算法得到的字符中删除表示内部的流线组的结构，由此能够自动地向正规表示变换。因此，本实施例可以说包含对于专利文献3记载的非压缩流的技术。

[用语的定义]

以下，对本说明书中使用的数学用语进行说明。在以下的实施方式中成为词表示的对象的流动是“曲面S上的流动v”。在此，“曲面S”是指二维结构，即二维的紧凑多样体(在此为特别容许边界的存在的球面)。在几何学上，球面可以看作向平面添加了无穷远点的结构，因此在本质上可认为是具有边界的二维区域。“曲面S上的流动v”设为v：R×S→S的曲面S上的R-作用。使用该流动v，对于t∈R，将S上的映像v_t：＝S→S定义为v_t：＝v(t,·)。在此，对于S上的点x，将O(x)＝{v_t(x)∈S|t∈R}称为“通过x的轨道”。本实施方式的算法对该S上的O(x)的集合的相位的结构进行分类。在此定义的流动v完全是抽象的对象。然而，根据流体力学的类推，这些轨道组对应于由于给定的流场而使粒子流动的轨道(流线)组，因此只要没有特别混乱，以下就称为“轨道组”或“流线组”。

根据数学的一般理论(拓扑的一领域的叶状结构理论)，可知曲面S上的流动v的轨道被分类成

(1)proper

(2)locally dense

(3)exceptional

这3个种类。相对于此，在本说明书中，预设以下的假定。

(假定)“轨道集合仅由proper的轨道构成”

该假定通过本发明的实施方式设为对象的“容许边界的存在的球面上”满足，因此应注意的是不会成为本质性的限制的点。proper的轨道集合还被分类成3个种类的轨道组，即，

(i)奇点(singular orbits)

(ii)周期轨道(periodic orbits)

(iii)非闭轨道(non-closed orbits)

这三种。它们的数学的定义如以下所述。

(定义1)“对于通过曲面S上的流动v定义的proper的轨道，

(i)奇点(singular orbit)

(ii)周期轨道(periodic orbits)

(iii)非闭轨道(non-closed orbits)

如下定义。

(i)x∈S为奇点(singular orbit)是指对于全部的t∈R而x＝v_t(x)成立，即，O(x)＝{x}。

(ii)轨道O(x)为周期性的(periodic)是指存在某T>0，v_T(x)＝x且相对于0<t<T而v_t(x)≠x。

(iii)将既不是奇点也不是周期轨道的轨道称为非闭轨道(non-closedorbit)。”

(iii)的非闭轨道这样的用语由奇点和周期轨道作为轨道而成为闭集(closed)的情况得来。为了今后的方便起见，将流动v的奇点的集合、周期轨道的集合及非闭轨道的集合分别写为Sing(v)、Per(v)及P(v)。

接下来，为了说明流动的流线结构而示出若干的数学的定义。其中，A上标注有长音符(-)的记号表示集合A的闭包。

(定义2)相对于通过由曲面S上的流动v定义的x∈S的proper的轨道，ω极限集(ω-limit set)ω(x)及α极限集(α-limit set)α(x)如下定义。

[式1]

[式2]

separatrix(分界线环)γ为连结(connecting)是指ω(γ)及α(γ)为奇点时。separatrix的定义在后文叙述。需要说明的是，ω(x)、α(x)不受轨道O(x)上的点x的选取方式的影响，因此作为记号有时也写为ω(O)、α(O)。

接下来，导入压缩流动的流线组的分类所需的流动结构，按照0维点结构、一维结构、二维结构进行说明。

[0维点结构]

图1示出regular(有规律)的0维的点结构的全部。图1的(a)表示“center(涡心点)”。涡心点表示在周围伴有周期轨道的奇点。图1的(b)表示“鞍点(saddle)”。鞍点与从该点分离的两个separatrix和接近的两个separatrix连结。图1的(c)表示关于边界的“边界鞍点

在边界鞍点处，一个separatrix从边界向S的内部延伸，两个separatrix成为沿着边界的轨道。图1的(d)表示“源点(source)”。在源点处，流体从一个点涌出。图1的(e)表示“边界源点

在边界源点处，在边界存在源点。图1的(f)表示“汇点(sink)”。汇点是使源点的方向相反的点。图1的(g)表示“边界汇点

”。边界汇点是使边界源点的方向相反的点。

图1的(a)～(c)所示的点结构在非压缩流动中也能观察到，通过专利文献1记载的词表示理论、专利文献3记载的正规表示理论来处理。另一方面，图1的(d)～(g)所示的点结构是伴随着本实施方式处理压缩性流动的情况而由本发明人等本次新追加的结构。

[一维结构]

(circuit)

图2示出作为一维结构的“circuit(环形)”。circuit是指一点集合或向圆周的S上的浸入(immersion)。circuit在为点时称为“trivial circuit”，在为圆周时称为“non-trivial circuit”。而且，non-trivial circuit根据在其基础上定义的流动而分类成两种。一种是圆周成为周期轨道时，将其称为“cycle(循环)”。cycle为Per(v)的源。图2的(a)为cycle的例子。当前，一个是由鞍点(Sing(v)的源)和将其连接的separatrix(P(v)的元)构成的“环绕轨道”。图2的(b)是环绕轨道的若干例子。

对附随于circuit的若干概念进行定义。circuitγ为“attracting”是指circuit的单侧附近A(将其称为γ的attracting basin)存在而该一方的边界为γ，且

(γ)时的情况。另一方面，circuitγ为“repelling”是指circuit的单侧附近A(将其称为γ的repelling basin)存在而该一方的边界为γ，且

时的情况。在此，W^s(γ)及W^u(γ)分别表示γ的稳定多样体及不稳定多样体。当使用此概念时，可知源点、边界源点为repelling trivial circuit，汇点、边界汇点为attracting trivial circuit。轨道γ为“limit circuit”是指在某点x(不包含于γ)处α(x)＝γ或ω(x)＝γ那样的non-trivialcircuit时的情况。从该定义也可知，在奇点仅为有限个的情况下，limit circuit具有至少一个attracting/repelling basin。图2示出limit circuits的若干例子。

((ss)-saddle separatrix结构)

图3示出“saddle separatrix(鞍形分界线环结构)”。saddle separatrix是指其α极限集和ω极限集为鞍点或边界鞍点那样的轨道。saddle separatrix为P(v)的源。

在saddle separatrix将相同的saddle连结时，将其称为“self-connectedsaddle separatrix”。而且，saddle separatrix将处于相同边界上的两个不同的

连结时，将其称为“self-connected

separatrix”。图3的(a)示出self-connected saddle separatrix的轨道的例子。将不同的鞍点或处于不同的边界上的边界鞍点连结的saddle separatrix称为“heteroclinic saddle separatrix”。图3的(b)示出heteroclinic saddle separatrix的轨道的例子。

在哈密顿向量场假定了结构稳定性时表示的saddle separatrix被证明仅为self-connected。“saddle connection diagram”是指鞍点、边界鞍点及saddleseparatrix的整体所成的集合，这通过在先技术的词表示理论、正规表示理论来处理。

接下来，对压缩性流动结构定义特有的saddle separatrix进行定义。“ss-component”是指(1)(边界)源点、(2)(边界)汇点及(3)non-trivial limit circuit中的任一个。将鞍点或边界鞍点与ss-component连结的separatrix称为“ss-separatrix”。图4示出ss-component和将它们连结的ss-separatrix的例子。将鞍点、边界鞍点、saddleseparatrix、ss-component及ss-separatrix聚集的集合称为“ss-saddle connectiondiagram”。以下，将曲面S上的流动v生成的ss-saddle connection diagram写为D_ss(v)。

(slidable

saddle结构)

图5示出作为一维结构的“slidable saddle”及“slidable

图5的(a)、(b)示出slidable saddle的点x。鞍点x根据其定义而与四个separatrix连结。如果将它们写为γ₁、γ₂、γ₃、γ₄，则α(γ₁)＝α(γ₃)＝ω(γ₂)＝ω(γ₄)＝x。该“鞍点x为slidable”是指“ω(γ₁)为汇点且ω(γ₃)为汇结构(在图中通过用○包围-的记号表示)”的情况(图5的(a))或者“α(γ₂)为源点且α(γ₄)为源结构(在图中通过用○包围+的记号表示)”的情况(图5的(b))中的任一者。

图5的(c)、(d)示出slidable

的点x。“边界鞍点x为slidable(或者x为slidable

)”是指成为

沿着边界的separatrixμ和与一个x处于相同的边界且与汇结构连结的边界鞍点y≠x存在，ω(γ)＝x，α(γ)为源点，α(μ)＝x，ω(μ)＝y这样的结构时的情况(图5的(c))。使该向量的朝向翻转的结构也是slidable

(图5的(d))。

在此导入的源/汇结构这样的用语表示从(边界)鞍点出来的ss-separatrix的连结目的地，应注意的是容许源点/汇点/limit cycle/limit circuit等各种的汇/源的结构。另一方面，slidable

的定义中的另一个ss-separatrix仅容许源/汇的点结构，称为slidable saddle结构的情况是指鞍点x、与之连结的ss-separatrix和源点(汇点)的组。而且，称为slidable

saddle结构时是指x和y这两个边界鞍点及与x连结的ss-separatrixγ、源点/汇点的组。

[二维结构]

图6示出若干的二维结构。

“center disk”是指由一个涡心点和将其周围填埋的周期轨道构成的结构。该center disk的边界成为limit cycle；saddle和将其连结的self-connected saddleseparatrix；将处于相同边界上的两个边界鞍点连结的两个separatrix中的任一者时称为“trivial center disk”。图6的(a)示出trivial center disk的例子。

“sink(source)disk”是指由一个汇点(源点)和将其周围填埋的非闭轨道构成的结构。将不具有与separatrix共通的部分的sink/source disk称为“trivial sink/sourcedisk”。图6的(b)示出trivial source disk的例子。

“periodic border annulus”是指由边界和将其周围填埋的周期轨道构成的结构。特别是periodic border annulus为periodic annulus的一种。图6的(c)示出periodicborder annulus的例子。

“limit annulus”是指在由P(v)的非闭轨道填埋的开圆环区域中其边界成为limit circuit的结构。图6的(d)示出limit annulus的例子。

“periodic annulus”是由Per(v)的周期轨道填埋的开圆环区域。图6的(e)示出periodic annulus的例子。应注意的是，在periodic annulus的一方的边界成为cycle(Per(v)的non-trivial circuit)的情况下，在其相反侧，其必须为limit cycle。其原因是，如果相反侧也由周期轨道s填埋，则该cycle无法与通常的周期轨道进行区分。

“rotating sphere”是指在球面整体的流动中由两个涡心点和将它们之间填埋的周期轨道构成的结构。这表示不具有边界的二维球面的基本流动。图6的(f)示出rotatingsphere的例子。

图7示出作为二维结构的Reeb domain和rotating annulus。

(Reeb domain)

“Reeb domain”是指在由非闭轨道填埋的开圆环区域U中，在其边界存在两个limit circuitγ₊和γ_-，U为W^u(γ_-)∩W^s(γ₊)的连结成分，γ_±的旋转方向相反的相同结构。图7的(a)、(b)示出Reeb domain的例子。在图7的(a)的Reeb domain中，圆环区域是由非闭轨道填埋的圆环区域，内侧边界与外侧边界处的流动的朝向翻转。并且，两侧边界成为limit cycle。在图7的(b)的Reeb domain中，内侧和外侧边界成为saddle和将其连结的self-connected separatrix(limit circuits)。

(rotating annulus)

另一方面，将γ_±的旋转方向相同的结构称为“rotating annulus”。由于容许这样的结构，因此在由非闭轨道将开圆环区域内填埋的情况下，能够独立地决定其外侧、内侧边界上的轨道的方向。图7的(c)示出rotating annulus的例子。在该例中，与Reeb domain同样，内部由非闭轨道填埋，但是外侧与内侧的边界处的流动的方向一致。

以上，结束各纬度的流动结构的说明。

[曲面S上的流动v的流线组的相位分类理论]

本发明人等反复进行了仔细研究的结果是，在以下所示那样的条件下赋予了球面S上的流动v生成的轨道组的理论的分类。

(定义3)“在曲面S上的流动v满足以下的5个条件时，将其称为“有限型的流动(flow of finite type)”。

(1)由v生成的轨道全部为proper。

(2)全部的奇点为非退化(non degenerate)。

(3)limit cycle的个数为有限个。

(4)将鞍点、边界鞍点连结的全部的saddle separatrix为self-connected。”

(1)的条件已经假定。如果加以(2)的条件，则可知奇点的个数有限且孤立。(3)的条件是指limit cycle那样的结构未无限地集成。如果立足于(4)的条件，则能够得出由将鞍点连结的separatrix构成的non-trivial limit circuit仅为图8所示的4个形态的结论。在现有研究的哈密顿向量场的分类理论中，表现出通过向流动加入结构稳定这样的数学限制而满足条件(1)、(2)、(4)的情况。在本实施方式中，由于去除非压缩性的条件，因此无法加以结构稳定的条件。然而，在通过应用得到的压缩流动作成的流线中，具有退化那样的奇点、无限集成那样的limit cycle、heteroclinic轨道的结构由于观测噪声或模拟错误等而在generic中未观察到。因此，本实施方式中的分类理论或基于该理论的算法的适用范围未被强烈限制。

有限型的流动(flow of finite type)的分类理论成为将Poincare-Bendixon(环域)定理以包含全局的连接状况的形式进行了一般化的理论。首先，关于ω-极限集，以下情况成立。

(引理1)“将曲面S的流动v设为有限型的流动(flow of finite type)。此时，v的proper的非闭轨道的ω极限集(α极限集)由以下构成。

(1)鞍点

(2)边界鞍点

(3)汇点

(4)源点

(5)边界汇点

(6)边界源点

(7)涡心点

(8)attracting(repelling)limit cycle

(9)attracting(repelling)non-trivial limit circuit」

在本发明的实施方式中，假定为(5)和(6)不存在。实际上，边界汇点和边界源点由于观测噪声或模拟错误等而在generic中未观察到，因此这不是强的制约。而且，可以去除该条件，但是结果是局部结构增加而表示变得烦杂。

根据引理1，可知有限型的流动(flow of finite type)的轨道组可以分类成以下的3个类别。

(i)limit set和将它们连结的non-closed proper orbit

(ii)涡心点、S的边界

上的cycle、或者circuit及其周边的周期轨道

(iii)进入intP(v)的非闭轨道组

接下来，基于此进行轨道组的分类。构成有限型的流动(flow of finite type)v的ss-saddle connection diagram D_ss(v)和S的边界

的一维以下的结构的集合称为“边界轨道(border orbits)”，如以下那样加上特征。

(定义4)“曲面S上的flow of finite type v的边界轨道的集合Bd(v)由以下给出。

其中，各集合是以下给出的轨道集合。

(1)P_sep(v)：由处于P(v)的内点集合的saddle separatrix和ss-separatrix构成的轨道集合

(2)

(v)：成为周期轨道集合的边界的轨道的集合

(3)

(v)：成为非闭轨道集合的边界的轨道的集合

(4)

(v)：沿着S的边界

绕圈的周期轨道的集合

需要说明的是，P_sep(v)是在由saddle separatrix、ss-separatrix构成的集合中处于proper的轨道的内点的结构，因此该结构的附近也是proper的轨道，也指未成为极限集的情况。而且，应注意的是，

(v)及

(v)的轨道是指limit cycle或non-triviallimit circuit的情况。在在先研究的结构稳定的哈密顿向量场的流线相位结构的正规表示理论中，将由该边界轨道分割的区域(在数学上写为(Bd(v))^c＝S-Bd(v))的相邻关系表示为图形，向其分配字符串。此时，被分割的区域内部包含的轨道组根据非压缩性的条件而唯一决定，因此不需要进一步的信息。相对于此，在压缩性流动的情况下，进入分割的二维区域之中的轨道组也存在种类，因此必须也包含该信息在内进行字符化。由于赋予该内部轨道的分类，因此导入向轨道组导入某种的同值关系而得到的“orbit space(轨道空间)”的概念。

(定义5)“设在由曲面S上的流动v生成的proper的轨道组中通过开部分集合T

的内部。此时，T的orbit space(轨道空间)T/～是根据下一同值关系“如果任意的x、y∈T，O(x)＝O(y)，则x～y”而导入的商集。”

定义5的商集是指将处于相同轨道上的点压扁成1个点而同等看待这样的操作。图9示出有限型的流动(flow of finite type)v的边界轨道的集合Bd(v)的补集所表示的区域内的轨道组的分类。图9的(a)是在开矩形区域中轨道空间为开区间的图。即，在图9的(a)所示那样的呈矩形的开集T之中平滑流那样的流动平行的情况下，其轨道空间成为开区间。图9的(b)是在开圆环区域中轨道空间为圆周的图。图9的(c)是在开圆环区域中轨道空间为开区间的图。如图9的(b)、(c)所示，处于开圆环区域的轨道组的轨道空间分别由圆周和开区间构成。

以下的定理1主张“将由Bd(v)分割的开区域填埋的轨道组仅为图9所示的3个种类”。该定理的证明由本发明者给出。

(定理1)“相对于曲面

上的任意的有限型的流动(flow of finite type)v，进入边界集合的补集(Bd(v))^c的区域的轨道为以下的3个种类的任一者。

(1)在开矩形区域中由P(v)的非闭轨道填埋。该轨道空间为开区间(图9的(a))。这是ss-separatrix的附近区域的流动。

(2)在开圆环区域中由P(v)的非闭轨道填埋。该轨道空间为圆周((图9的(b))。这是source(sink)disk/limit annulus的附近区域的流动。

(3)在开圆环区域中由intPer(v)的周期轨道填埋。该轨道空间为开区间((图9的(c))。这是center disk/periodic annulus/rotating sphere的附近区域的流动。”

[COT表示]

后述的实施方式中使用的算法将该压缩性流动的轨道组的相位结构变换成“部分循环有序有根树表示”(以下，称为“COT表示”。COT：partially Cyclically Orderedrooted Tree representation)。COT表示作为用于将非压缩性流动的流线相位结构的字符化安装于计算机程序的数据结构，是本发明人等根据计算机科学的见解而新提案的技术。在先研究的词表示理论(例如，参照专利文献1)或正规表示理论(例如，参照专利文献3)虽然作为理论来说是正确的，但是从编程用的数据结构这样的观点观察时，如后所述存在些许不明确。该不明确度通过采用COT表示能够完全去除。以下，参照图10、图11，对用于表示结构稳定的哈密顿向量场的流线结构的COT表示进行解说。需要说明的是，本说明书中说明的有限型的流动(flow of finite type)的COT表示是将图10、图11所示的表示以能够对应于压缩流动的方式以自然的形式扩展的表示。

图10示出结构稳定的哈密顿向量场的基本流线结构。图11示出进入结构稳定的哈密顿向量场的局部流线结构。在此，说明在这些图及后述的说明中使用的记号。□_a表示通过图11的(a)给出的A系列的局部的流线结构进入其中的情况。□_b+或□_b-表示通过图11的(b)给出的B系列的流线结构进入其中的情况。□_c+或□_c-表示通过图11的(c)给出的C系列的流线结构可进入任意的个数的情况。在□的右肩上书写的编号表示在COT表示中排列的顺序。

作为非有界区域中的最单纯的流动，存在图10的(a)所示的从左向右的平滑流。图中的□_a和虚线的部分分别表示图11的(a)所示的A系列(class-a)的流线结构可以进入该流场之中的情况。将与该流动对应的COT表示写为a_φ(□_as)。在此，□_as的记法是指□_a的结构为s个。当具体书写时，成为

□_as：＝□¹ _a…□^s _a (s>0)

□_as：＝λ_～(s＝0)

这样。需要说明的是，在没有□_a的流线结构时，预先决定为加入表示“没有结构”的记号λ_～。关于A系列的排列方式，在平滑流从左向右流动时，对其结构从下方依次加上编号。反之，在平滑流从右向左流动的情况下，由于与将图的上下替换的结构相同，因此从上方依次加上编号。

接下来，在平滑流不存在时，有界区域内部的单纯旋转流存在。这根据逆时针与顺时针的旋转方向的差异而存在图10的(b)、(c)这两个种类。该流动的COT表示在外侧物理边界的流动的方向为逆时针时写为β_φ-(□_b+,{□_c-s})，在外侧物理边界的流动的方向为顺时针时写为β_φ+(□_b-,{□_c+s})。由此可知，在本字符化理论中，应注意的是流动的朝向也准确地分类。在COT表示中出现的□_b+加入b₊₊、b_+-、β₊的任一个，在□_b-加入b_--、b_-+、β_-的任一个。□_c±s表示边界带有的图11的(c)的C系列的结构可以加入任意的个数。具体而言，以正负号相同顺序的方式如下这样表示。

□_c±s：＝□¹ _C±…□^s _C± (s>0)

□_c±s：＝λ_±(s＝0)

在此如果特别是没有任何结构进入，则以正负号相同顺序的方式使用λ_±的记号来表示。而且，在该C系列的结构中，逆时针地赋予编号来排列，但是将哪个选为第一个(cyclic)存在任意性。为了将其表示，在COT表示中，预先将由{}包围的结构决定作为规则。

图11表示结构稳定的哈密顿向量场所生成的全部的局部性的流线相位结构和附随于其的记号。根据生成的流线结构的朝向(逆时针和顺时针)而分别标注+或-的符号。

图11的(a)示出A系列的流线结构。结构a₊的COT表示为a₊(□_b+)。这表示在□_b+的内部，B系列的逆时针(正)方向的流动局部部分结构b₊₊、b_+-、β₊中的任一个包含于其中。结构a_-的COT表示为a_-(□_b-)。这表示在□_b-的内部，B系列的顺时针(负)方向的流动局部部分结构b_--、b_-+、β_-中的任一个包含于其中。在结构a₂中，在物理边界的上下带有任意个C系列的结构。关于朝向，逆时针的□_c+进入上侧，顺时针的□_c-进入下侧。因此，该COT表示成为a₂(□_c+s，□_c-s)。

图11的(b)示出B系列的流线结构。B系列的结构是具有self-connected的separatrix的结构。该COT表示能够以正负号相同顺序的方式写为b_±±{□_b±,□_b±},b_±干(□_b±,□_b干),β_±{□_c±s}。圆序列的结构由{}包围，顺序确定的结构由()包围，没有作为□_c±s而带有的结构的情况下使用□_c±s：＝λ_±的记号，这一点与前述同样。

图11的(c)示出C系列的流线结构。C系列表示由

separatrix包围的区域内的流线结构，即在物理边界上具有任意的个数的

separatrix和将它们包围的大的

separatrix的结构。根据

separatrix的旋转方向而该COT表示以正负号相同顺序的方式成为c_±(□_b±，□_c干s)。在此，B系列的结构必然进入□_b±。在□_c±s，C系列的结构在内部结构带有任意的个数。在带有的结构不存在的情况下写为λ_±。如以上所述，通过递归地填埋从基本的结构进入□之中的局部流线结构，由此能够构成任意的结构稳定的哈密顿向量场所生成的流线结构。应注意的是，局部流线结构的下部结构表示更细微的流动的细微结构。

专利文献1所记载的流谱的极大词表示是基于基本流动和局部流线结构来分配字符串的表示，但是其表现力未必充分。例如图11的(b)所示的b₊₊、b_--、b_+-、b_-+这四个B系列的形态在极大词表示中全部表现为B₀。该情况成为词表示未一一对应的主要原因。而且，专利文献3所记载的正规表示虽然是区分这样的结构的表示，但是未表示出能进入内部的局部结构的信息，因此无法预先明示与β_±或c_±对应的结构的表现。其缺点是在构成用于实现流线结构的字符化的算法这方面难以实现作为其数据结构的表示。例如，在图10的(b)那样的结构中，需要与□_b+对应的局部结构(也包含加入genus element(亏格元素)的情况)，但是在genus element进入时，也无法区分是涡心点进入此处还是物理边界进入此处。因此，在point genus element(点亏格元素)进入的情况下，作为“点”进入的记号而向□_b±赋予“σ_±”的字符(符号对应于该点周围的周期轨道的旋转方向)，在什么结构也未进入而仅genus element进入的情况下，向□_b±赋予表示β_±的结构完全不带有C系列的结构的COT表示β_±{λ_±}的字符。而且与□_c-对应的结构可以存在也可以不存在，因此该“什么也未进入”这样的信息在正规表示中未被明确表示。

表1示出与图10及图11所示的流线相位结构对应的极大词表示、正规表示及其COT表示的对应关系。

[表1]

在此□_c+s及□_c-s分别表示非负整数(s≥0)个的□_c+及□_c-进入的情况。在该记法中，通过□_c±s表示能进入各结构的下部结构的C系列的局部流线结构，作为不含有进一步的结构的终端记号而向□_c±s代入λ_±。这样的COT表示是将正规表示进一步严密化的表示。这能够将包含流动的朝向、能进入内部的局部流线结构的状况为止全部进行记号化，因此极其有用。需要说明的是，关于b₊₊、b_--的下方的两个局部内部结构□_b±，由于表示双方等价的结构，因此将哪个左右排列存在任意性。而且，如上述所注意的那样，处于β_±的C系列的局部结构的标识符的决定方式、即排列方式也存在任意性，因此在这样的任意性存在的情况下，通过中括弧{}将各个结构包围。另一方面，顺序自然决定的局部结构由圆括弧()包围。通过采用该COT表示，能够在排除了不明确度的基础上，将流线相位结构精密地标记作数据结构。需要说明的是，非压缩向量场的在先研究中的self-connected separatrix改读为homoclinic saddle connection，

separatrix改读为

connection。

作为一例，使用该COT表示，对于图12的流线图所示的流谱，尝试赋予词表示。首先，在该流动中存在处于非有界区域内的平滑流的中a₊的局部下部结构。如图11的(a)所示，在a₊(□_b+)的结构之中，B系列的结构必然被包含作为下部结构。实际上，当观察图12时可知，b_+-(□_b+,□_b-)的结构进入□_b+。因此，到此为止的结构在COT表示中表示为a_φ(a₊(b_+-(□_b+,□_b-)))。而且，观察b_+-的内部结构时，在□_b-存在逆时针的物理边界的genuselement，因此向此处加入表示环绕地伴有顺时针的周期轨道的物理边界的□_b-：＝β_-{λ_-}。β₊{□_c+s}的结构进入□_b+，向此附加两个C系列c₊，但是在处于左侧的c₊的内部存在伴有周期轨道的一个物理边界而到达终端，因此该记号成为c₊(β₊{λ₊},λ_-)。在处于右侧的c₊中，c_-的结构进入下部。因此，作为c₊的COT表示c₊(□_b+,□_c-s)中的□_b+的结构，意味着伴有逆时针的周期轨道的点的σ₊进入，c_-(β_-{λ_-},λ₊)进入□_c-s。因此，β₊{□_c±s}之中可以设为□_c+s＝c₊(β₊{λ₊},λ_-)·c₊(σ₊,c_-(β_-{λ_-},λ₊))。

对以上进行总结时，图12的流谱的COT表示由

a_φ(a₊(b_+-(β₊{c₊(β₊{λ₊},λ_-)·c₊(σ₊,c_-(β_-{λ_-},λ₊))},β_-{λ_-})))给出。在此，表示“结构未进入”的记号λ_±在程序上重要，但是作为字符表现时冗长。因此，该λ_±可以省略，即使简记为

a_φ(a₊(b_+-(β₊{c₊(β₊)·c₊(σ₊,c_-(β_-))},β_-)))

，也可以没有混乱地表示。本发明人等发现了，由于存在从该COT表示变换成正规表示的算法，而且正规表示能够变换成极大词表示，因此能够根据COT表示自动地得到全部的表示。实际上，根据图12的流谱的COT表示，能得到正规表示○_φ(○₂(+₀(+₀(+₀,+₀(+₀),-₀))))和极大词表示IA₀B₀B₂CC。

基于前述的理论，以下，对相位几何学上能取得的全部的流线结构进行分类，向其分配字符(COT表示)。

[二维结构]

定理1表示3个种类的流动进入由ss-saddle connection diagram D_ss(v)中的边界轨道的集合Bd(v)分割的二维区域的情况。在此，首先定义该二维区域结构，接下来赋予与之对应的字符(COT表示)。图9的(a)所示的开矩形区域是包含将源结构与汇结构连结的ss-separatrix的附近的非闭轨道组的区域，但是在本变换算法中未向其赋予记号。即，成为缺省的结构。向除此以外的两个二维结构分配字符(COT表示)。它们如表3所示成为class-b_±及class-b_～±的要素。图13示出表示由定理1给出的(Bd(v))^c的轨道组的结构(二维结构)。

(二维结构：b_～±)

图9的(b)所示的开圆环区域的结构处于由从外侧朝向内侧的非闭轨道填埋的状况。针对此，如图13的(a)那样分配b_～±这样的记号。关于记号带有的符号_～±，在轨道组从圆环的外侧边界向内侧边界流动时，为了表示流动被吸入中心而设为～-。相反在轨道组从内侧边界向外侧边界扩展的情况下，设为～+。汇/源结构必然进入该内侧边界，将这样的Bd(v)的结构的集合预先写为□_～±。而且，对于填埋区域的一个个非闭轨道，能够加入任意个数(s≥0个)的由□_a～±表示的Bd(v)的class-a_～±的轨道结构，因此将表示其的记号预先写为□_a～±s。与该□_a～±s对应的结构的排列按照圆序列而未唯一决定。基于以上的考察，COT表示成为b_～±(□_～±,{□_a～±s})(正负号相同顺序)这样。需要说明的是，关于能进入□_～±或□_a～±s的class-～±及class-a_～±的结构组的定义，请参照表3。而且，□_a～±s与非压缩流的□_as的情况的记法同样，预先设为

□_a～±s：＝□¹ _a～±…□^s _a～± (s>0)

□_a～±s：＝λ_～(s＝0)

这样，为了表示“什么也未进入”的情况，与结构稳定的哈密顿向量场时同样地使用λ_～的记号。

(二维结构：b_±)

图9的(c)表示开圆板区域内部由周期轨道填埋的状况。与之对应的流线结构是图13的(b)所示的结构b_±。符号在周期轨道为逆时针(正向旋转)时分配+，在周期轨道为顺时针(反向旋转)时分配-。进入其内部的结构也同样地为Bd(v)的源，但是向此进入的是class-α的轨道结构，因此预先写为□_α±，其定义由表3给出。与非闭轨道不同，□_a那样的结构未进入周期轨道，因此该COT表示以正负号相同顺序的方式给出b_±(□_α±)。

以下，从上述之中选择由Bd(v)分割的区域所能包含的轨道组的结构。在此，为了在对Bd(v)定义的COT表示中使用，如以下那样确定根据(Bd(v))^c的结构而定义的集合□_bφ、□_b+、□_b-、□_b～+、□_b～-。

□_b+＝{b_～±,b₊}

□_b-＝{b_～±,b_-}

□_b～+＝{b_～+}

□_b～-＝{b_～-}

[基本结构]

在拓扑学上，平面可以看作为去除了无穷远点的球面S。在该球面S上存在以下那样的基本的流动。以下，将这些流体结构称为“基本结构”或“根结构”。图14示出球面S上的基本结构。

(基本结构：σ_φ±、σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干)

在平面内完全不存在物理边界时的流场可以看作为图14的(a)所示那样的球面的流动。该球面上的有限型的流动(flow of finite type)给出除了两极的两个0维点结构之外的圆环区域内的流动。此时，该结构的COT表示需要根据何种轨道结构进入内部来分类。该圆环区域由通过结构b_±给出的周期轨道所构成的轨道组结构b_±填埋时，分配σ_φ干(□_bφ±)这样的表示。其中，□_bφ±＝b_±(□_α±)。另一方面，在圆环区域由源点/汇点的class-～±的非闭的轨道组结构b_～±填埋时，该COT表示根据源点/汇点的周边的轨道的旋转方向而成为σ_φ～干0(□_bφ～±)、σ_φ～干±(□_bφ～±)、σ_φ～干干(□_bφ～±)中的任一个。即，在作为无穷远点的点的源点/汇点的周围，在非闭的轨道组未旋转时以正负号相同顺序的方式为σ_φ～干0(□_bφ～±)，在非闭的轨道组逆时针旋转时，以正负号相同顺序的方式为σ_φ～干+(□_bφ～±)，在非闭的轨道组顺时针旋转时，以正负号相同顺序的方式为σ_φ～干-(□_bφ～±)。在此，□_bφ～±＝b_～±(□_～±,{□_as})。需要说明的是，σ_φ～±0，σ_φ～干干，σ_φ～干±这样的记号带有的符号与进入之中的二维轨道组结构的COT表示的符号相反是由于相当于无穷远点的点的周围的流动的结构带有符号的缘故。例如，为了使b₊的表现进入内部而填埋逆时针(即+的方向)的周期轨道，在无穷远点的点的周围必须产生顺时针(即-的方向)的流动。因此，具体的COT表示成为

σ_φ-(□_bφ+)

□_bφ+＝b₊(□_α+)。

(基本结构：β_φ±、β_φ2)

假定为球面包含若干的物理边界。此时，可以从其中选择一个作为特别的边界，导入北极包含在该边界内部那样的球面极坐标。此时，透过附随于该坐标系的立体投影(Stereographic projection)，可以将球面上的流动看作为二维有界区域的内部流动。图14的(b)以根之子示出在外侧物理边界完全不存在源/汇结构的流动。该COT表示在外侧边界的流动的方向为逆时针时，给出为β_φ-(□_b+,{□_c-s})。应注意的是该流动与图10的(b)所示的结构稳定的哈密顿向量场的基本结构相同。该结构在□_b+处必须始终包含class-b₊结构，但是在外侧边界可以带有任意的个数class-c_-的轨道结构。在外侧边界的流动的方向为顺时针时，使全部的符号翻转而成为具有β_φ+(□_b-,{□_c+s})的COT表示的基本结构。需要说明的是，在双方，意味着s≥0个的class-c轨道结构的□_c±s具体而言以正负号相同顺序的方式如以下那样书写。

[式3]

图14的(c)示出与外侧物理边界相连的源/汇结构至少存在一个的基本流动结构。基本结构β_φ2是该图14的(c)所示的基本流动结构。从该源/汇结构中选择处于最左侧的对作为class-～±的特别的轨道结构，向其他的源/汇结构分配class-γ_φ的轨道结构(表3)。此外，能够沿着边界而在左右带有任意的个数的class-c_±的轨道结构。该状况在COT表示中，通过□_～±表示特别的源点-汇点的对，通过□_γφs表示任意的个数的class-γ_φs轨道结构。具体而言，只要如以下那样书写即可。

[式4]

由于特别的源点-汇点的对存在，因此将它们连结的class-a的轨道结构可以带有任意的个数。它们在COT表示中表示为□_as。需要说明的是，关于能进入□_as的class-a的结构组的定义，请参照表3。□_as与非压缩流的情况的记法同样地，确定为

□_as：＝□¹ _a…□^s _a (s>0)

□_as：＝λ_～(s＝0)

。总结的话，该基本结构的COT表示将外侧边界带有的各结构逆时针地以圆序列排列，如

β_φ2({□_c+s,□_～+,□_c-s,□_～-,□_γφs},□_as)

那样给出。

[Bd(v)的流动的0维点结构及一维结构]

接下来，给出构成曲面S上的有限型的流动(flow of finite type)v确定的ss-saddle connection diagram D_ss(v)的Bd(v)的0维点结构及一维结构的分类及与之对应的COT表示。根据前述的理论，由于表述为

因此对应于各个集合地导入实现Bd(v)的0维点结构及一维结构。在此，应注意的是，各一维结构根据其周边的轨道组信息而进入哪个集合是会变化的。图15示出Bd(v)的0维点结构和一维结构的例子。

[

(v)、Sing(v)的结构]

(一维结构：β_±)

根据该定义，

的流动是指沿着物理边界流动的周期轨道。在结构稳定的哈密顿向量场中，对物理边界如图11的(b)所示那样赋予了记号β。为了获得与之的匹配性，利用相同的记号表示在物理边界完全未带有由

separatrix包围的class-c的结构的情况。即，如在物理边界的流动为逆时针时成为β₊{λ₊}，在顺时针时成为β_-{λ_{_}}那样赋予COT表示(参照图15的(a))。这些物理边界进入class-～±及class-α±的结构。

(0维点结构：σ_±、σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干)

Sing(v)\D_ss(v)的源为0维的点结构(孤立结构)。点结构可以根据其周围的轨道进行分类。如果点为涡心点，在其周围伴有逆时针或顺时针的周期轨道时，该COT表示分别由σ₊及σ_-给出。另一方面，在点为源点或汇点时，COT表示对应于其周围的轨道的旋转方向而分别由σ_～±0，σ_～±±，σ_～±干给出(参照表2及图15的(b))。这些点结构进入class-～±的结构。

[表2]

	逆时针	顺时针	无旋转
				源	σ<sub>～++</sub>	σ<sub>～+-</sub>	σ<sub>～+0</sub>
汇	σ<sub>～-+</sub>	σ<sub>～--</sub>	σ<sub>～-0</sub>

[进入

的结构]

(一维结构：p_～±、p_±)

集合

及

分别是作为非闭轨道及周期轨道的边界集合而被定义的一维结构。而且，limit cycle是其内侧和外侧中的任一方成为非闭轨道的极限轨道的周期轨道。这不是intP(v)的源，因此是不会成为集合P_sep(v)的源的结构。此时，需要根据limit cycle的外侧和内侧的结构而分情况。即，一个是在图15的(c)所示的limit cycle的外侧区域中成为周期轨道的结构，当前一个是图15的(c)所示的limit cycle成为处于外侧区域的非闭轨道的ω(α)极限集的结构。将前者的结构写为p_～±。此时，该周期轨道成为limit cycle，因此其必须成为从内侧的非闭轨道的极限轨道(即边界轨道)。因此，向内部加入b_～±的二维结构。因此，该COT表示为p_～±(□_b～±)。用记号p_±表示后者的结构。此时由于成为从外侧的极限周期轨道，因此内部的二维极限轨道组的结构可以任意。因此，该COT表示能够以正负号相同顺序的方式由p_±(□_b±)表示。

[进入

P_sep(v)的结构]

能进入

P_sep(v)中的任一个的结构集合的一维结构具有图8所示那样的包含saddle separatrix、ss-separatrix的结构的非闭轨道。进入其内部和外部的二维结构必须考虑一方为非闭轨道且另一方为由周期轨道填埋的区域的情况(此时，

或

)、两侧为由非闭轨道填埋的区域的情况(此时，设为P_sep(v)的源)。

首先，与鞍点相连的separatrix存在四根，因此如果考虑该separatrix的局部的流动的方向，则存在以下的3个可能性。

(S1)1个与源结构相连，1个与汇结构相连，其余2个为self-connected saddleseparatrix。

(S2)存在2个self-connected saddle connection。

(S3)2个与源(汇)结构相连。应注意的是，其余2个从流动的方向来说不会成为self-connected separatrix。

其中，(S3)的情况不具有图8所示的非闭轨道，因此这里仅考虑(S1)和(S2)即可。另一方面，边界鞍点存在3根separatrix，但是，其中两个需要在边界上移动，因此自由度仅为一根。因此，其连结的结构的可能性成为以下的两个。

(S4)具有与处于相同边界上的其他的边界鞍点相连的

separatrix。

(S5)与处于区域内部的源/汇结构相连。

(S4)的情况由于明确地形成非闭轨道，因此没有问题，但是(S5)的情况取决于周围的状况。即，该情况下，非闭轨道不会单独地产生。然而，由于与Euler数的关系，必须承认一个边界鞍点和至少一个不同的边界鞍点的存在。因此，如果该边界鞍点具有

separatrix，则结构整体包含非闭轨道。根据以上的情况，以下，考虑与(S1)(S2)(S4)(S5)对应的4个结构。

(一维结构：a_±、q_±)

图16示出(S1)系列的一维结构。根据源结构和汇结构、及self-connected saddleseparatrix的位置关系，对这些结构进行分类。

首先，将图16的(a)所示的结构、即在self-connected saddle separatrix的包围区域的外侧存在的源/汇结构的结构写为a_±。就该符号而言，相对于从左向右的流动，将self-connected saddle separatrix处于下侧的情况决定为a₊，将处于上侧的情况决定为a_-。在该结构中，周期轨道或非闭轨道会进入self-connected saddle separatrix的内部。其中，在周期轨道进入的情况下，由于其旋转方向自动决定，因此由□_b+定义的结构集合进入a₊，由□_b-定义的结构集合进入a_-。这是与结构稳定的哈密顿向量场中出现的A系列的轨道结构(图11的(a))相同的结构，因此应注意分配相同的COT表示。

接下来，将图16的(b)所示的结构、即在self-connected saddle separatrix的包围区域的内部存在源/汇结构的结构写为q_±。关于符号，在外侧的self-connected saddleseparatrix的朝向为逆时针时写为q₊，为顺时针时写为q_-。在该结构的内部，被包围的源/汇结构和将它们连结的□_as的结构集合的源存在任意个(s≥0)，因此该COT表示成为q_±(□_～+,□_～-,□_as)。

(一维结构：b_±±、b_±干)

图17示出(S2)系列的一维结构。这是在结构稳定的哈密顿向量场的分类中使用的结构，即与图11的(b)所示的结构相同的结构。因此，给出相同的COT表示。即，根据两个self-connected saddle separatrix的位置关系对结构进行分类。

首先，将图17的(a)所示的结构、即两个self-connected saddle separatrix的包围区域处于彼此的外侧的结构以正负号相同顺序的方式写为b_±±。关于符号，在两个self-connected saddle separatrix的旋转方向为逆时针时写为b₊₊，为顺时针时写为b_--。二维结构会进入由这两个self-connected saddle separatrix包围的内部区域。在周期轨道进入的情况下，由于其旋转方向自动决定且两个区域排列的顺序存在自由度，因此将它们用{}包围，将其COT表示设为b₊₊{□_b+,□_b+}及b_--{□_b-,□_b-}。

接下来，将图17的(b)所示的结构、即在一个self-connected saddle separatrix的包围区域的内部包含另一个self-connected saddle separatrix的结构以正负号相同顺序的方式写为b_±干。关于符号，在处于外侧的self-connected saddle separatrix的朝向为逆时针时写为b_+-，为顺时针时写为b_-+。根据该符号的决定方式，在处于内部的轨道组为周期轨道的情况下，其旋转方向彼此成为相反方向是自动决定的。因此，该COT表示成为b_+-(□_b+,□_b-)及b_-+(□_b-,□_b+)。在此，对应于b之下带有的符号地决定内部的结构的排列方式的顺序。

图18示出(S4)系列的一维结构。

(一维结构：β_±)

图18的(a)所示的结构对应于带有任意个数的

separatrix的物理边界。如果未带有

separatrix时，则成为图15的(a)所示的形式，其COT表示为β_±{λ_±}。另一方面，在边界带有1个以上的

separatrix时，成为与由结构稳定的哈密顿向量场给出的图11的(b)β_±相同的结构。因此，此时的COT表示在沿着边界成为逆时针的流动的情况下给出β₊{□_c+s}，在成为顺时针的流动的情况下给出β_-{□_c-s}(参照图18的(a))。即，将各结构以圆序列逆时针地排列的以下的记号进入□_c±s。

□_c±s：＝□¹ _c±…□^s _c± (s>0)

□_c±s：＝λ_±…(s＝0)

(一维结构：c_±、c_2±)

一维结构c_±、c_2±对应于(S4)系列。它们如图18的(b)、(c)所示那样，能够根据何种结构进入由

separatrix包围的内部来进行分类。

首先，在由周期轨道或非闭轨道填埋的二维结构进入时，即，与边界鞍点相连的源/汇结构未进入时，成为图18的(b)所示的结构。将其写为c_±。关于符号，在按照

separatrix和沿着边界的轨道环绕的方向为逆时针时设为+，顺时针时设为-。此时，如果内部的轨道组由周期轨道构成，则其方向自动决定。在其内部可以还包含任意个c_±的结构，但是应注意的是，该情况下，内部的旋转方向相反。立足于该情况，将c_±结构的集合定义为

□_c+＝{c₊}

□_c-＝{c_-}

。在其排列任意个(s≥0)这样的意思下将□_c±s的结构集合以正负号相同顺序的方式定义的话，则其COT表示以正负号相同顺序的方式成为c_±(□_b±,□_c干s)。

接下来，在源/汇结构进入内部的情况下，这些结构由于与Euler数的关系而需要与处于相同边界的边界鞍点相连。即，成为图18的(c)所示的结构，即slidable

由

separatrix包围的结构。将其写为c_2±。通常能够在边界带有若干slidable

因此选出处于其最右侧的slidable

将与之对应的源/汇结构的对表示为□_～±。而且，包含表示将该源/汇结构连结的结构集合□_a可存在任意个(s≥0)的情况的结构集合□_as。此外，在边界上，除了c_±结构根据其朝向可存在任意个(s≥0)之外，还可存在表示任意个(s≥0)的slidable

结构的集合□_γ干s。需要说明的是，□_γ±s的结构始终面对而附于左侧是选出全部有s+1个的slidable

结构中的处于最右侧的slidable

结构而表现为□_～±的缘故。在此，为了给出该结构的COT表示而对于内部结构的排列方式预先决定一个规则。即“在处于内部的圆边界存在由

separatrix包围的结构的情况下，将该内部结构排列成从边界的内部观察下逆时针地环绕的方向。另一方面，在附于刚才出现的β_φ2的外部边界的情况下，从边界的内部观察顺时针(反之如果从流体存在的部分观察则为逆时针)地排列结构”这样的规则。按照该规则，图18的(b)所示的结构的COT表示如果立足于该结构附于内部边界的情况，则只要从最右开始排列结构即可，成为c_2±(□_c干s,□_～±,□_c±s,□_～干,□_γ干s,□_c干s,□_as)。需要说明的是，当这样预先决定规则时，结构成为无论内部还是外部的边界都必然顺时针地附于的结构排列的形式。

(一维结构：a₂、γ_φ～±、γ_～±±)

图19示出(S5)系列的一维结构。该一维结构基本上对应于将处于边界的源/汇结构的对连结的slidabl

为了后文的算法结构的简便起见，在这样的结构存在多个的情况下，将其一个作为特别的结构来处理。

图19的(a)所示的结构是表示将源/汇结构的对连结的slidable saddle中的特别的一个的结构，将其写为a₂。在物理边界，由

separatrix包围的结构□_c±根据该边界上的流动的方向而带有任意个(s≥0)。将其表示为□_c±s。而且，其他的slidable

结构也带有任意个，但是如果特别选择处于最下侧的slidable

则仅在其上侧存在s≥0个其他的slidable

的结构□_γ-。将其表现为□_γ-s。最终，该COT表示能够遵照针对内部圆边界上附有的结构的COT表示的结构的排列方式的规则，将结构沿边界逆时针排列而作为a₂(□_c+s,□_c-s,□_γ-s)。需要说明的是，□_γ-s仅进入□_c-s的左侧基于在后文导入的结构γ_～±±的定义。

在选出了将特别的源/汇结构连结的slidable

之后，其他的slidable

全部需要同等地处理。关于向其追加的结构，在附有的边界的结构中必须进行分类。首先，在β_φ2的外侧圆边界附有任意个结构，但是在β_φ2的定义中向始终处于最左侧的源点-汇点的对结构分配□_～±的记号，因此其他的结构全部附于右侧。流动沿着右侧的边界从上向下前进，因此slidable

也能够向相同方向追加s≥0个。此时，由于与Euler数的关系而追加两个

由此，在之间能够夹持□_c±s的结构。参照图14的(d)，右侧边界沿着流动进入□_c+s的结构。因此，在此之前为了增加slidable

的结构而需要图19的(b)所示那样的结构。将该结构写为γ_φ～±。关于符号，在新增加的结构为源结构的情况下设为γ_φ～+，为汇结构的情况下设为γ_φ～-。各结构的COT表示在附于外部边界的结构的情况下，从左侧向右读取逆时针(即，如果从外部内部观察则为顺时针)结构，因此成为γ_φ～+(□_c+s,□_～+,□_c-s)及γ_φ～-(□_c+s,□_c-s,□_～-)。需要说明的是，应注意，在与和追加的源(汇)结构相连的边界鞍点不同的边界鞍点上连结有既有的汇(源)结构。

最后，处于a₂或c₂的边界带有的slidable

的结构存在从沿着边界的流动的下游侧追加的结构(图19的(c))和从上游侧追加的结构(图19的(d))这两个种类。将它们分别写为γ_～±-、γ_～±+。之后根据新追加的结构是源结构还是汇结构，来决定其符号。与之对应的COT表示由于对内部边界逆时针地读取结构，因此成为γ_～+-(□_c-s,□_～+,□_c+s),γ_～--(□_c-s,□_c+s,□_～-),γ_～++(□_c+s,□_c-s,□_～+)及γ_～-+(□_c+s,□_～-,□_c-s)。需要说明的是，在此导入的□_γ+s表示γ_～±+的结构存在s≥0个，□_γ-s表示γ_～±-的结构存在s≥0个。

[进入P_sep(v)的结构]

(一维结构：a_～±、q_～±)

图20示出(S3)系列的一维结构。它们在鞍点带有2个相同的源/汇结构，因此成为slidable saddle。根据与该slidable saddle相连的ss-component的位置关系，对结构进行分类。此时，附近的轨道全部是由非闭轨道填埋的二维区域(开矩形区域)，因此始终成为P_sep(v)的源。将与slidable saddle连结的ss-component的外侧存在的图20的(a)的slidable saddle所对应的结构写为a_～±。与slidable saddle连结的ss-component的内侧存在的图20的(b)的结构对应于slidable saddle。将其写为q_～±。关于符号，在两侧带有源结构□_～+的情况下写为a_～+，在两侧带有汇结构□_～-的情况下写为a_～-。这些源/汇结构的顺序自由选择，因此该COT表示以正负号相同顺序的方式为a_～±{□_～±，□_～±}和q_～±(□_～±)。

通过以上所述，给出曲面S的有限型的流动(flow of finite type)所生成的全部的流线结构(即，构成二维区域中的任意的流谱的流线结构)和与之对应的字符(COT表示)。关于这些流线结构，表2示出各流线结构与其字符(COT表示)的对应关系。而且，表3示出进入各COT表示的结构的集合的列表。

[表3]

[表4]

[树表示]

接下来，参照图21，说明关于在本说明书中使用的“树表示”的基本的事项。图21示出一般的树表示的一例。如图所示，树表示是具有将顶点彼此用线连结的结构的图形。树的顶点大致划分的话，有位于树的终端的顶点(○)和并非如此的顶点(●)这两个种类。将前者(d，e，g，h，j)称为终端顶点(“叶”或“leaf”)，将后者(a，b，c，f，i)称为非终端顶点。将处于最上部的非终端顶点(a)称为“根”。将用线直接连结的两个顶点中的接近根的一方(在图中为上方)称为“父”，将接近叶的一方称为“子”。根是树结构之中不具有父的唯一的顶点。根以外的顶点必然具有仅一个父。例如在图21中，成为b为a之子且为c之父、d为c之子这样的情况。

[第一实施方式]

本发明的第一实施方式是对二维区域中的流谱的流线结构进行词表示的词表示装置。

图22示出第一实施方式的词表示装置1的功能框图。词表示装置1具备存储部10、词表示生成部20。词表示生成部20具备根决定机构21、树表示构成机构22、COT表示生成机构23。

存储部10关于构成有限型的流动(以后简写为“流动”)形态的多个流线结构或向量场(以后，将其一并写为“流线结构”)，存储各流线结构与其字符的对应关系。

构成流谱的流线结构中的基本结构可以为σ_φ±、σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±及β_φ2。

构成流谱的流线结构中的二维结构可以为b_～±及b_±。

构成流谱的流线结构中的0维点结构可以为σ_±及σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干。

构成流谱的流线结构中的一维结构可以为p_～±、p_±、a_±、q_±、b_±±、b_±干、β_±、c_±、c_2±、a₂、γ_φ～±、γ_～±±、γ_～±干、a_～±及q_～±。

根决定机构21决定给定的流谱的根。此时，流动的旋转的朝向设为以成为根的奇点或边界为中心观察时的旋转的朝向。某结构的“内部结构”是指在补集的连结成分中不包含根的结构。而且，“最内部结构”是指不具有内部结构的结构，或者不具有图9的(a)那样的flow box(由呈开区间的形式的轨道构成的长方形)以外的内部结构的结构。

在将与根对应的流动的结构看作为无穷远点或无限远边界的情况下，且根以外的结构存在的情况下，某结构为最内部是指补集的连结成分为空或者仅为图9的(a)那样的flow box。需要说明的是，“边界成分”是指边界的连结成分。

根为以下的任一个

1.无穷远点为“周围的轨道为逆时针”的涡心点

2.无穷远点为“周围的轨道为顺时针”的涡心点

3.无穷远点为“周围的轨道不旋转的”汇点

4.无穷远点为“周围的轨道为逆时针”的汇点

5.无穷远点为“周围的轨道为顺时针”的汇点

6.无穷远点为“周围的轨道不旋转的”源点

7.无穷远点为“周围的轨道为逆时针”的源点

8.无穷远点为“周围的轨道为顺时针”的源点

9.从无穷远点观察时由逆时针的轨道和边界鞍点构成的边界成分(在该情况下，根之子不存在具有与源结构相连的separatrix的边界鞍点。在该情况下，如果认为成为根的边界成分包含无穷远点，则从处于□_bφ～-的原点观察时，成为根的边界看起来顺时针地环绕)。

10.从无穷远点观察时由顺时针的轨道和边界鞍点构成的边界成分(在该情况下，具有与源点相连的separatrix的边界鞍点不存在)。

11.具有与汇点相连的separatrix的边界鞍点、具有与其逆时针地相邻的源点相连的separatrix的边界鞍点、边界成分。

其中，在根据有限数据来判断处于无穷远点的汇点/源点的旋转方向的情况下，可以将数据区域的边界压扁成一点而将该点认为无穷远点并判断旋转方向。例如，可以确定阈值δ和概率p，制定如下基准来判断旋转方向，上述基准是指：“在以角度的误差δ以下沿着(逆)顺时针的方向与边界相接的向量”的比例为概率p以上的情况下判断为(逆)顺时针地环绕，除此以外判断为不旋转。

根的记号在1的情况下设为σ_φ+(□_bφ-)，在2的情况下设为σ_φ-(□_bφ+)，在3的情况下设为σ_φ～-0(□_bφ～+)，在4的情况设为σ_φ～-+(□_bφ～+)，在5的情况下设为σ_φ～--(□_bφ～+)，在6的情况下设为σ_φ～+0(□_bφ～-)，在7的情况下设为σ_φ～++(□_bφ～-)，在8的情况下设为σ_φ～+-(□_bφ～-)，在9的情况下设为β_φ+(□_bφ～-,{□_c+s})，在10的情况下设为β_φ-(□_bφ～+,{□_c-s})，在11的情况下设为β_2φ({□_c+s,□_～+,□_c-s,□_～-,□_γφs},□_as)。

当根决定时，如以下那样周期轨道等的流动的朝向确定，流动的局部结构的符号确定。

1.将根看作为无穷远点或无限远边界，将其余的结构看作为处于平面上。

2.观察选出的流动的结构的朝向，在逆时针的情况下将符号确定为+，在顺时针的情况下将符号确定为-。

此外，与朝向或汇源相关的符号～±±和～±干如以下那样确定。

1.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为汇结构且在其附近非闭轨道逆时针地旋转的情况下，将符号确定为～-+。

2.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为汇结构且在其附近非闭轨道顺时针地旋转的情况下，将符号确定为～--。

3.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为汇结构且在其附近非闭轨道未旋转的情况下，将符号确定为～-0。

4.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为源结构且在其附近非闭轨道逆时针地旋转的情况下，将符号确定为～++。

5.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为源结构且在其附近非闭轨道逆时针地旋转的情况下，将符号确定为～+-。

6.在提取流动的结构时，在成为其父的结构为源结构且在其附近非闭轨道未旋转的情况下，将符号确定为～+0。

树表示构成机构22从给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成给定的流谱的树表示，其中，上述处理是提取给定的流谱的流线结构、基于存储部10存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理。树表示的结构基于以下的原则来执行。

1.从给定的流谱中提取流线结构。

2.在提取流线结构时，将与该流线结构对应的字符(COT表示)赋予作为树的顶点。然后，删除该流线结构。以下，将“从流谱提取流线结构，向该流线结构赋予字符，删除该流线结构”这样的处理汇总标记为“提取结构”。

3.在提取结构时，从提取最内部的结构开始，顺次提取至全部的结构消失为止。

3.1.最内部的结构对应于叶。

3.2.最后提取的结构对应于根。即，将提取结构的处理反复进行至到达给定的流谱的根为止。

3.3.在提取某结构时，将该结构置换为□，使□与该结构链接而对应(由此，在提取包含该□的上方的结构时，能够将该结构设为上方的结构的“子”结构)。

以下，参照图23，详细说明树表示构成机构22构成树表示的处理。树表示构成机构22通过从叶朝向根顺次附加顶点而构成树表示。具体而言，在从最内部的流动的结构提取的过程中，通过向叶附加顶点而构成树表示。即，一边确认“新附加的顶点之子是什么”和“其排列方式”这两点，一边附加新的顶点，构成树表示。

具体而言，树表示构成机构22通过执行步骤S10～步骤S53的处理而构成树表示。图23是表示步骤S10～步骤S53的处理的流程图。图23的(a)表示步骤S10～步骤S20的流程。图23的(b)表示步骤S21～步骤S31的流程。图23的(c)表示步骤S32～步骤S43的流程。图23的(d)表示步骤S44～步骤S53的流程。如前所述，树表示的结构在给定的流谱中决定了根的状态下开始。

在步骤S10中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在奇点。在步骤S10中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S11转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S18转移。

在步骤S11中，本方法判定最内部存在的特定点是否为根。在步骤S11中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S12转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S15转移。

在步骤S12中，本方法判断前述的奇点之子的结构是否为图13的(b)所示的结构。在步骤S12中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S13转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S14转移。

在步骤S13中，本方法向前述的奇点赋予字符σ_φ±，从流谱提取该奇点。当提取完所有的奇点时，处理结束。

在步骤S14中，本方法匹配旋转方向地向前述的奇点赋予字符σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干中的任一个，从流谱中提取该奇点。即，在作为无穷远点的点的源点/汇点的周围，在非闭的轨道组未旋转时，以正负号相同顺序的方式赋予σ_φ～±0，在逆时针旋转时赋予σ_φ～干+，在顺时针旋转时赋予σ_φ～干-，从流谱提取该奇点。在相同的奇点存在多个的情况下，反复进行向各个奇点赋予字符σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干而从流谱提取的处理。当提取完所有的奇点时，处理结束。

在步骤S15中，本方法判断前述的奇点之父的结构是否为图13的(b)所示的结构。在步骤S15中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S16转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S17转移。

在步骤S16中，本方法向前述的奇点赋予字符σ_±，从流谱提取该奇点。在相同的奇点存在多个的情况下，反复进行向各个奇点赋予字符σ_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的奇点时，处理返回步骤S10。

在步骤S17中，本方法匹配旋转方向地向前述的奇点赋予字符σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干中的任一个，从流谱提取该奇点。即，在源点/汇点的周围，在非闭的轨道组未旋转时，以正负号相同顺序的方式赋予σ_～±0，在逆时针旋转时赋予σ_～干+，在顺时针旋转时赋予σ_～干-，从流谱提取该奇点。在相同的奇点存在多个的情况下，反复进行向各个奇点赋予字符σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干而从流谱提取的处理。当提取完所有的奇点时，处理返回步骤S10。

在步骤S18中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在边界。在步骤S18中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S19转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S22转移。

在步骤S19中，本方法判断最内部存在的边界是否为根。在步骤S19中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S20转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S21转移。

在步骤S20中，本方法向前述的边界赋予字符β_φ±，从流谱提取该边界。当提取完所有的边界时，处理结束。

在步骤S21中，本方法向前述的边界赋予字符β_±，从流谱提取该边界。在相同的边界存在多个的情况下，反复进行向各个边界赋予字符β_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的边界时，处理返回步骤S10。

在步骤S22中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在周期轨道。在步骤S22中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S23转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S26转移。

在步骤S23中，本方法判断前述的周期轨道之父的结构是否为图13的(b)所示的结构。在步骤S23中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S24转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S25转移。

在步骤S24中，本方法向前述的周期轨道赋予字符p_～±而从流谱提取该周期轨道。在相同的周期轨道存在多个的情况下，反复进行向各个周期轨道赋予字符p_～±而从流谱提取的处理。当提取完所有的周期轨道时，处理返回步骤S10。

在步骤S25中，本方法向前述的周期轨道赋予字符p_±而从流谱提取该周期轨道。在相同的周期轨道存在多个的情况下，反复进行向各个周期轨道赋予字符p_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的周期轨道时，处理返回步骤S10。

在步骤S26中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在图17的(a)所示的结构。在步骤S26中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S27转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S28转移。

在步骤S27中，本方法向前述的图17的(a)所示的结构赋予字符b_±±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符b_±±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图17的(a)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S28中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图17的(b)所示的结构。在步骤S28中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S29转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S30转移。

在步骤S29中，本方法向前述的图17的(b)所示的结构赋予字符b_±干而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符b_±干而从流谱提取的处理。当提取完所有的图17的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S30中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在图18的(b)所示的结构。在步骤S30中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S31转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S32转移。

在步骤S31中，本方法向前述的图18的(b)所示的结构赋予字符c_±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符c_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图18的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S32中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图13的(b)所示的结构。在步骤S32中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S33转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S34转移。

在步骤S33中，本方法向前述的图13的(b)所示的结构赋予字符b_±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符b_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图13的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S34中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在图13的(a)所示的结构。在步骤S34中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S35转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S36转移。

在步骤S35中，本方法向前述的图13的(a)所示的结构赋予字符b_～±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符b_～±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图13的(a)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S36中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在图20的(a)所示的结构。在步骤S36中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S37转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S38转移。

在步骤S37中，本方法向前述的图20的(a)所示的结构赋予字符a_～±，从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符a_～±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图20的(a)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S38中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图20的(b)所示的结构。在步骤S38中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S39转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S40转移。

在步骤S39中，本方法向前述的图20的(b)所示的结构赋予字符q～±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符q～±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图20的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S40中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图16的(a)所示的结构。在步骤S40中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S41转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S42转移。

在步骤S41中，本方法向前述的图16的(a)所示的结构赋予字符a_±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符a_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图16的(a)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S42中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图16的(b)所示的结构。在步骤S42中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S43转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S44转移。

在步骤S43中，本方法向前述的图16的(b)所示的结构赋予字符q_±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符q_±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图16的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S44中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图14的(c)所示的结构。在步骤S44中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S45转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S46转移。

在步骤S45中，本方法向前述的图14的(c)所示的结构赋予字符β_φ2而从流谱提取该结构。当提取完所有的边界时，处理结束。

在步骤S46中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图19的(a)所示的结构。在步骤S46中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S47转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S48转移。

在步骤S47中，本方法向前述的图19的(a)所示的结构赋予字符a₂而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符a₂而从流谱提取的处理。当提取完所有的图19的(a)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S48中，本方法判断在给定的流谱的最内部是否存在图18的(c)所示的结构。在步骤S48中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S49转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S50转移。

在步骤S49中，本方法向前述的图18的(c)所示的结构赋予字符c_2±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符c_2±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图18的(c)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S50中，本方法判断给定的流谱的最内部是否存在图19的(b)、(c)、(d)所示的结构中的任一个。在步骤S50中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S51转移。另一方面，在否定的情况下，无法向结构赋予字符，因此在进行了错误处理的基础上结束处理。

在步骤S51中，本方法判断前述的图19的(b)、(c)、(d)所示的结构中的任一结构之父是否为根。在步骤S51中的判断为肯定的情况下，处理向步骤S52转移。另一方面，在否定的情况下，处理向步骤S53转移。

在步骤S52中，本方法向前述的图19的(b)所示的结构赋予字符γ_φ～±而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符γ_φ～±而从流谱提取的处理。当提取完所有的图19的(b)所示的结构时，处理返回步骤S10。

在步骤S53中，本方法向前述的图19的(c)、(d)所示的结构中的任一结构赋予字符γ_～±±或γ_～±干而从流谱提取该结构。在相同的结构存在多个的情况下，反复进行向各个结构赋予字符γ_～±±或γ_～±干而从流谱提取的处理。当提取完所有的图19的(c)、(d)所示的结构时，处理返回步骤S10。

树表示构成机构22通过执行以上的步骤S10-S53的处理而向任意的曲面S上的流谱赋予字符，得到该流谱的抽象树表示。

通过以上得到的该流谱的抽象树表示包含作为ss-saddle connection diagram的抽象图形的结构，但是为了变换成COT表示而需要作为ss-saddle connection diagram的曲面图形的组合结构，因此提取作为ss-saddle connection diagram的曲面图形的组合结构所需的组合结构。

例如，作为提取作为该saddle connection diagram的曲面图形的组合结构的方法，存在以下那样的方法：

1.提取saddle。

2.提取将saddle与saddle连结的separatrix。

3.根据这些信息得到的抽象图形是saddle connection diagram的抽象图形，对应于曲面上的配置地配置顶点和边，将saddle connection diagram作为曲面图形来构成。

通过执行以上的处理，向任意的曲面S上的流谱赋予字符，得到该流谱的树表示。

COT表示生成机构23将由树表示构成机构22构成的树表示变换成COT表示。具体而言，通过将树表示变换成使用了括弧的表示而构成COT表示。其中，在具有以圆序列排列的要素的情况下，使用中括弧{}，在具有以全序排列的要素的情况下使用圆括弧()，由此实现变换。在后述中，使用实例来说明COT表示的生成。

根据本实施方式，在给定了二维区域中的任意的有限型的流谱时，能够得到该流谱的COT表示，即，能够将该流谱进行字符化。

以下，说明对具体的流谱赋予词表示的次序。

(第一实施方式的例1)

图24的(a)示出流谱的一例。示出遵照第一实施方式，执行以下所示的次序，由此得到该流谱的COT表示的情况。

次序：

1.由于没有物理边界，因此根为无穷远点。无穷远点为源点，在无穷远点的附近，非闭轨道逆时针地旋转，与根对应的字符成为σ_φ～++(□_bφ～-)。由此根被决定。

2.最内部为源点，在其附近，非闭轨道顺时针地旋转，因此对应的字符为σ_～+-。因此，首先提取该结构，置换为□_～+。此时生成的词为b_～+(σ_～+-,λ_～+)。

3.最内部以源流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～+(□_～+,{□_a～+s})。提取该结构，置换为□_b+。此时生成的词为p_-(b_～+(σ_～+-,λ_～+))。

4.最内部成为顺时针的周期轨道，因此对应的字符为p_-(□b_-)。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为b_～-(p_-(b_～+(σ_～+-,λ_～+)),λ_～-)。

5.最内部以汇流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～-(□_～-,{□_a～-s})。提取该结构，置换为□_bφ～-。此时生成的词为σ_φ～++(b_～-(p_-(b_～+(σ_～+-,λ_～+)),λ_～-))。

6.最内部为根，对应的字符为σ_φ～+-(□_bφ～-)。生成的词为σ_φ～++(b_～-(p_-(b_～+(σ_～+-,λ_～+)),λ_～-))。

示出通过执行以上的次序而给出了针对图24的(a)的流谱的COT表示σ_φ～++(b_～-(p_-(b_～+(σ_～+-,λ_～+)),λ_～-))

这样的情况。

(第一实施方式的例2)

图24的(b)示出流谱的另一例。示出通过按照第一实施方式执行以下所示的次序而得到该流谱的COT表示的情况。

次序：

1.没有物理边界，因此根为无穷远点。无穷远点为汇点，在无穷远点的附近，非闭轨道逆时针地旋转，因此与根对应的字符成为σφ_～-+(□_bφ～+)。由此根被决定。

2.最内部为汇点，在其附近，非闭轨道顺时针地旋转，因此对应的字符为σ_～--。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为σ_～--。

3.最内部以汇流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～-(□_～-,{□_a～-s})。提取该结构，置换为□_b-。此时生成的词为b_～-(σ_～--,λ_～-)。

4.最内部成为顺时针的周期轨道，因此对应的字符为p_-(□_b-)。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-))。

5.最内部以源流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～+(□_～+,{□_a～+s})。提取该结构，置换为□_b+。此时生成的词为b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)))。

6.最内部成为顺时针的周期轨道，因此对应的字符为p_-(□_b-)。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-))。

7.最内部以汇流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～-(□_～-,{□_a～-s})。提取该结构，置换为□_b-。此时生成的词为b_～-(p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-)),λ_～-)。

8.最内部成为顺时针的周期轨道，因此对应的字符为p_-(□_b-)。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为p_-(b_～-(p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-)),λ_～-))。

9.最内部以源流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～+(□_～+,{□_a～+s})。提取该结构，置换为□_b+。此时生成的词为b_～+(p_-(b_～-(p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-)),λ_～-)),λ_～-)。

10.最内部为根，对应的字符为σ_φ～-+(□_bφ～+)。生成的词为σ_φ～-+(b_～+(p_-(b_～-(p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-)),λ_～-)),λ_～-))。

示出通过执行以上的次序而给出了针对图24的(b)的流谱的COT表示σ_φ～-+(b_～+(p_-(b_～-(p_-(b_～+(p_-(b_～-(σ_～--,λ_～-)),λ_～-)),λ_～-,λ_～-))这样的情况。

(第一实施方式的例3)

图24的(c)示出流谱的另一例。示出通过遵照第一实施方式执行以下所示的次序而得到该流谱的COT表示的情况。

次序：

1.由于没有物理边界，因此根为无穷远点。无穷远点为汇点，在无穷远点的附近，非闭轨道顺时针地旋转，因此与根对应的字符成为σ_φ～--(□_bφ～+)。由此根被决定。

2.最内部为汇点，在其附近，非闭轨道逆时针地旋转，因此对应的字符为σ_～-+。提取该结构，置换为□_～-。此时，生成的词为σ_～-+。

3.最内部以汇流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～-(□_～-,{□_a～-s})。提取该结构，置换为□_b-。此时生成的词为b_～-(σ_～-+,λ_～-)。

4.最内部成为逆时针的周期轨道，因此对应的字符为p₊(□_b+)。提取该结构，置换为□_～+。此时生成的词为p₊(b_～-(σ_～-+))。

5.最内部以源流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～+(□_～+,{□_a～+s})。提取该结构，置换为□_b+。此时生成的词为b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+)))。

6.最内部成为顺时针的周期轨道，因此对应的字符为p_-(□_b-)。提取该结构，置换为□_～-。此时生成的词为p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～-)),λ_～+))。

7.最内部以汇流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～-(□_～-,{□_a～-s})。提取该结构，置换为□_b-。此时生成的词为b_～-(p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～-)),λ_～+)),λ_～-)。

8.最内部成为逆时针的周期轨道，因此对应的字符为p₊(□_b+)。提取该结构，置换为□_～+。此时生成的词为p₊(b_～-(p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～+)),λ_～-)),λ_～-))。

9.最内部以源流动成为开圆环区域，因此对应的字符为b_～+(□_～+,{□_a～+s})。提取该结构，置换为□_b+。此时生成的词为b_～+(p₊(b_～-(p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～+)),λ_～+)),λ_～-)),λ_～-)。

10.最内部为根，对应的字符为σ_φ～-(□_bφ～+)。生成的词为σ_φ～--(b_～+(p₊(b_～-(p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～-)),λ_～+)),λ_～-)),λ_～+))。

示出通过执行以上的次序而给出针对图24的(c)的流谱的COT表示σ_φ～--(b_～+(p₊(b_～-(p_-(b_～+(p₊(b_～-(σ_～-+,λ_～-)),λ_～+)),λ_～-)),λ_～+))的情况。

(第一实施方式的例4)

图25的(a)示出流谱的另一例。示出通过遵照第一实施方式执行以下所示的次序而得到该流谱的COT表示的情况。

次序：

1.根为物理边界，与根对应的字符成为β_φ-(□_b+,{□_c+s})。由此根被决定。

2.最内部为涡心点，因此对应的字符为σ_±。提取该结构，置换为□_±。此时，对应于v₁-v₇而生成的词为σ₊和σ_-这总计7个。

3.最内部成为由周期轨道构成的开圆环，因此对应的字符为b_±(□_α±)。而且父不是周期轨道，因此提取该结构，置换为□_b±。此时1，对应于v₁-v₇的周围的由周期轨道构成的开圆环而生成的词为3个b₊(σ₊)和4个b_-(σ_-)这总计7个。

4.最内部成为b_+-，因此提取该结构，置换为□_α+。此时，对应于包含v₅的结构而生成的词为b_+-(b₊(σ₊),b_-(σ_-))。

5.最内部成为c_±，因此提取该结构，置换为□_c±s。此时，对应于包含v₁-v₄，v₇而生成的词为2个c₊(b₊(σ₊),λ_-)和3个c_-(b_-(σ_-),λ₊)这总计5个。

6.最内部成为β₊，因此提取该结构，置换为□_c±s。此时，对应于c₃而生成的词为β₊{c₊(b₊(σ₊),λ_-)}。

7.最内部成为由周期轨道构成的开圆环，因此对应的字符为b₊(□_α±)。而且父为b₊₊，因此提取该结构，置换为□_b+。此时，对应于包含v₅-v₇的开圆环而生成的词为b₊(b_+-(b₊(σ₊),b_-(σ_-)))和b₊(β₊{c₊(b₊(σ₊),λ_-)})。

8.最内部成为b₊₊，因此对应的字符为b₊₊{□_b+,□_b+}。此时生成的词为以下。b₊₊{b₊(b_+-(b₊(σ₊),b_-(σ_-))),b₊(β₊{c₊(b₊(σ₊),λ_-)})}

示出通过反复进行与以上同样的次序而给出了针对图25的(a)的流谱的COT表示

β_φ-(b₊(β₊{c₊(b₊(σ₊),λ_-)·c₊(b₊(β₊{c₊(b₊(b₊₊{b₊(b_+-(b₊(σ₊),b_-(σ_-))),b₊(β₊{c₊(b₊(σ₊),λ_-)})}))}),c_-(b_-(σ_-)))}),{c₊(b₊(σ₊),λ_-)·c₊(b₊(σ₊),λ_-)})的情况。

(第一实施方式的例5)

图25的(b)示出流谱的另一例。示出通过遵照第一实施方式执行以下所示的次序而得到该流谱的COT表示的情况。

次序：

1.根为物理边界和S₁，与根对应的字符成为β_φ2({□_c+s,□_～+,□_c-s,□_～-,□_γφs},□_as)。

2.最内部成为S₁、S₂和v₁-v₉，因此对应的字符为σ_±和σ_～±0。提取该结构，置换为□_±和□_～±。

3.最内部成为由周期轨道构成的开圆环，因此对应的字符为b_±(□_α±)。而且父不是周期轨道，因此提取该结构，置换为□_b±。此时，对应于v₁-v₇的周围的由周期轨道构成的开圆环而生成的词为3个b₊(σ₊)和4个b_-(σ_-)这总计7个。

4.最内部成为b_--，因此提取该结构，置换为□_α-。此时，对应于包含v₄、v₅的结构而生成的词为b_--{b_-(σ_-),b_-(σ_-)}。

5.最内部成为由周期轨道构成的开圆环，因此对应的字符为b_-(□_α-)。而且父不是周期轨道，因此提取该结构，置换为□_b-。此时，对应于v₄、v₅的周围的由周期轨道构成的开圆环而生成的词为b_-(b_--{b_-(σ_-),b_-(σ_-)})。

6.最内部成为c_±，因此对应的字符为c_±(□_b±,□_c干s)。提取该结构，置换为□_c±。此时，对应于包含v₁、v₂、v₆、v₇的结构而生成的词为c₊(b₊(σ₊),λ_-)和c_-(b_-(σ_-),λ₊)。

7.最内部成为a_±，因此对应的字符为a_±(□_b±)。提取该结构，但是由于class-a₂残留，因此不置换为□。此时，对应于v₃和v₄、v₅而生成的词为a₊(b₊(σ₊))和a_-(b_-(b_--{b_-(σ_-),b_-(σ_-)}))。

8.最内部成为a₂，因此对应的字符为a₂(□_c+s,□_c-s,□_γ-s)。提取该结构，置换为□_as。此时，对应于包含c₁、c₂、c₃的结构而生成的词为a₂(λ₊,λ_-)和a₂(c₊(b₊(σ₊),λ_-),c_-(b_-(σ_-),λ₊))。

9.最内部成为c_2-，因此对应的字符为c_2-(□_c-s,□_～+,□_c+s,□_～-,□_γ-s,□_c-s,□_as)。提取该结构，置换为□_c-。此时，对应于包含s₃、s₄的结构而生成的词为c_2-(λ₊,σ_-0,λ_-,σ_～+0,λ_～,λ₊,λ_～)。

10.在此，根成为最内部，因此得到以下的词。

β_φ2({c₊(b₊(σ₊),λ_-),σ_～+0,c_-(b_-(σ_-),λ₊)·c_2-(λ₊,σ_-0,λ_-,σ_～+0,λ_～,λ₊,λ_～),σ_～-0,λ_～},a₂(λ₊,λ_-)·a₊(b₊(σ₊))·a₂(λ₊,λ_-)·a_-(b_-(b_--{b_-(σ_-),b_-(σ_-)}))·a₂(c₊(b₊(σ₊),λ_-),c_-(b_-(σ_-),λ₊)))

示出通过执行以上的次序而给出针对图25的(b)的流谱的COT表示β_φ2({c₊(b₊(σ₊),λ_-),σ_～+0,c_-(b_-(σ_-),λ₊)·c_2-(λ₊,σ_-0,λ_-,σ_～+0,λ_～,λ₊,λ_～),σ_～-0,λ_～},a₂(λ₊,λ_-)·a₊(b₊(σ₊))·a₂(λ₊,λ_-)·a_-(b_-(b_--{b_-(σ_-),b_-(σ_-)}))·a₂(c₊(b₊(σ₊),λ_-),c_-(b_-(σ_-),λ₊)))的情况。

[第二实施方式]

本发明的第二实施方式是将二维区域中的流谱的流线结构进行词表示的词表示装置。

图26示出第二实施方式的词表示装置2的功能框图。词表示装置2的词表示生成部20除了图22的词表示装置1的结构以外，还在树表示构成机构22与COT表示生成机构23之间具备组合结构提取机构24。其他的结构和动作与词表示装置1相同。

组合结构提取机构24从给定的流谱中提取组合结构。第一实施方式的词表示装置1生成的COT表示为多对一对应，但是本第二实施方式通过向COT表示赋予组合结构而能够得到一对一对应。

COT表示能够唯一地表现局部结构的配置，另一方面，不具有一维的全局的关联的信息。因此，COT表示成为多对一的表现。在此，应注意的是，0维及二维的结构通过COT表示唯一确定。以下，将一维的全局的关联的信息的情况称为“组合结构”。作为充分具有该结构的信息的结构，存在ss-saddle connection diagram。

COT表示完全记述局部的结构。然而，在两个结构存在时，即使它们的局部结构相同，整体的结构也未必一致。因此，通过向COT表示赋予组合结构而使全局的结构也决定，其结果是，结构一对一地决定。但是，如前所述，组合结构仅具有全局的关联的结构的信息，关于0维点结构或二维结构不具有任何的信息。因此，通过将上述两个信息合在一起，由此局部结构和全局结构这两方决定，其结果是，结构一对一地决定。

组合结构提取机构24将和saddle相连的ss-separatrix与何种ss-component相连作为图形结构来提取。实际上，顶点是“与ss-component相连的saddle”和“与saddle相连的ss-component”，边是与saddle相连的ss-separatrix。在此，“与saddle相连的ss-component”是sink、source、limit cycle/limit circuit中的任一结构。该图形成为顶点和边的个数有限那样的抽象图形。在不包含limit cycle/limit circuit的情况下，该抽象图形作为曲面图形实现。另一方面，在包含limit cycle/limit circuit的情况下，这些顶点作为周期轨道或者circuit实现，因此抽象图形未作为曲面图形实现。因此，如果考虑limit cycle/limit circuit的补集，考虑将新形成的边界上的limit cycle/limitcircuit分别压扁成1点的曲面，则“与saddle相连的ss-component”仅由sink、source构成，将抽象图形的与limit cycle/limit circuit对应的顶点切断为两个得到的新的抽象图形作为曲面图形实现。向切断为两个得到的点的组分配标签，保持被切断这样的信息，由此，新得到的曲面图形完全具有ss-separatrix如何卷缠于ss-component的信息。因此，该曲面图形和COT表示的组完全具有原本的ss-saddle connection diagram的信息。因此，提取该曲面图形。

例如，在不含有limit cycle/limit circuit的情况下，作为提取该曲面图形的方法，存在以下那样的方法。

1.提取与ss-component相连的saddle。

2.提取与saddle相连的ss-component。

3.提取与saddle相连的ss-separatrix。

4.将从这些信息得到的抽象图形以对应于平面上的配置的方式配置顶点和边，构成平面图形。例如，图27的(a)和(b)具有相同的COT表示，但是全局的结构(组合结构)不同，因此是具有不同的流线拓扑的流谱的例子。

另一方面，在包含一般的limit cycle/limit circuit的情况下，作为提取该曲面图形的方法，存在以下那样的方法。

1.提取与ss-component相连的saddle。

2.提取与saddle相连的ss-component。

3.提取与saddle相连的ss-separatrix。

4.得到根据这些信息而得到的抽象图形。

5.除了limit cycle/limit circuit之外，考虑将新的边界上的limit cycle/limit circuit分别压扁成一点的曲面。

6.作成将抽象图形的与limit cycle/limit circuit对应的点切断而形成为两个顶点的抽象图形。

7.在新得到的曲面上不包含limit cycle/limit circuit，因此通过上述的“不包含limit cycle/limit circuit时”的方法构成曲面图形。此外，针对来自limit cycle/limit circuit的顶点，赋予与哪个点是原本相同的点这样的信息作为标签。

根据本实施方式，在给出了曲面上的任意的流谱时，能够得到该流谱的一对一表现。

(第二实施方式的例子)

以下，参照图27，说明针对具有不同的流线拓扑的两个流谱赋予COT表示的次序。

次序：

1.没有物理边界，根为无穷远点且为汇。与根对应的字符成为σ_φ-。

2.首先，最内部为汇点、源点，在其附近，非闭轨道未旋转，因此对应的字符为σ_～±0。因此，提取该结构，置换为□_～±。此时生成的词为σ_～+0和σ_～-0这总计3个。

3.接下来，最内部是与a_～+对应的slidable saddle，因此对应的字符为a_～+{□_～+,□_～+}。此时生成的词为a_～+{σ_～+0,σ_～+0}。

4.接下来，最内部是与q_～-对应的slidable saddle，因此对应的字符为q_～-(□_～-)。此时生成的词为q_～-(σ_～-0)。

5.此时，根成为最内部，因此得到以下的词(COT表示)。

σ_φ-(b_～+(a_～+{σ_～+,σ_～+},q_～-(σ_～-0)))

接下来，说明从图27的(a)、(b)所示的流谱中提取组合结构的次序。图28示出从图27的流谱中提取组合结构的步骤。

次序：

1.提取与ss-component相连的作为saddle的v₄、v₅。

2.提取与saddle相连的作为ss-component的两个source v₁、v₂和两个sink v₃、v₆(v₆为无穷远点)。

3.提取与saddle相连的ss-separatrix，由此求出应提取的组合结构即曲面图形。

通过执行该步骤来提取组合结构。

这样，在不包含limit cycle/limit circuit的情况下，通过提取saddle和sink、source和ss-separatrix而得到的图28是表示从图27的流谱中应提取的组合结构的图。

在一般的情况下，考虑limit cycle/limit circuit的补集，通过将新的边界上的limit cycle/limit circuit分别压扁成一点来构成新的曲面，该新压扁而形成的顶点的标签与曲面上的曲面图形的组是从流谱中应提取的组合结构。

接下来，关于limit cycle/limit circuit存在的情况，说明从图29的左侧所示的流谱中提取右侧所示的组合结构的次序。

次序：

1.提取与ss-component相连的作为saddle的v₄、v₅、v₉。

2.提取与saddle相连的作为ss-component的3个source v₁、v₂、v₈和2个sink v₃、v₇、limit cycle O₆。

3.除去limit cycle O₆，得到中央图所示的O₆的补集。

4.将新的2个边界分别压扁成一点而得到右图所示的新的曲面。

5.提取与saddle相连的ss-separatrix，由此求出应提取的组合结构即曲面图形。

[第三实施方式]

本发明的第三实施方式是对二维区域中的流谱的流线结构进行词表示的词表示方法。该方法由具备存储部和词表示生成部的计算机执行。

图30示出第三实施方式的词表示方法的流程。本方法包括：决定给定的流谱的根的步骤S1；构成该流谱的树表示的步骤S2；生成该流谱的COT表示的步骤S3。

在步骤S1中，本方法决定给定的流谱的根。根决定的具体的处理与第一实施方式中说明的处理相同，因此省略详细说明。

在步骤S2中，本方法构成给定的流谱的树表示。树表示结构的具体的处理与第一实施方式的步骤S10～步骤S53相同，因此省略详细说明。

在步骤S3中，本方法将在步骤S2中构成的树表示变换为COT表示。

根据本实施方式，在给出了二维区域中的任意的流谱时，能够得到该流谱的COT表示，即，能够将该流谱进行字符化。

[第四实施方式]

本发明的第四实施方式是使具备存储部和词表示生成部的计算机执行处理的程序。该程序使计算机执行图30所示的流程。即本程序使计算机执行：决定给定的流谱的根的步骤S1；构成该流谱的树表示的步骤S2；生成该流谱的COT表示的步骤S3。

根据本实施方式，能够将在给出了二维区域中的任意的流谱时得到该流谱的COT表示，即，将该流谱进行字符化的程序安装于软件，因此使用计算机能够实现高精度的词表示。

[第五实施方式]

本发明的第五实施方式是结构物形状的学习方法。以下，作为流体的例子，列举河川进行说明。

图31示出基于河川的地形图通过模拟得到的流谱及其COT表示。如图31所示，在河床的深度、形状发生变化的场所，在河川的表面的流动会产生伴有汇或源的涡流。这样的涡流例如有时会成为河川交通的障碍。从船的安全航行、防止灾害上的观点出发，希望除去这样的涡流，能够整流成尽可能均匀的流动。然而，虽然要消除涡流而进行疏浚或砂土投入等，但有时会因河川的形状的复杂度而在预想外的场所产生新的汇或源。本实施方式目的在于，将在结构物的周围产生的流谱进行词表示化，使人工智能(以下，称为“AI”)学习该词表示与结构物形状的关系，由此计算为了控制流动而最优的结构物形状。

图32示出第五实施方式的结构物形状的学习方法的流程。本方法包括：将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示的步骤S110；利用AI以将该词表示作为输入且输出结构物的三维形状的方式进行学习的步骤S120。

在步骤S110中，本方法将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示化。流体例如为河川等，结构物例如为该河川的河床、河岸、岩礁等。词表示是通过将流谱向例如图22的词表示装置1输入而得到的COT表示。

在步骤S120中，本方法利用AI以将该词表示作为输入且输出结构物的三维形状的方式进行学习。AI的具体的方法没有特别限定，可以使用例如卷积神经网络(Convolutional Neural Network：CNN)、递归神经网络(Recurrent Neural Network：RNN)、LSTM网络(Long Short Term Memory：LSTM)等神经网络，该情况下可以在使输入层相同的基础上按照计算模型来混合不同的神经网络。在本实施方式中，大量地准备结构物的三维形状与流谱的词表示的组，将它们作为学习数据使AI学习。由此，在输入了流谱的词表示时，AI能够计算并输出实现该流谱的结构物的三维形状。

说明本实施方式的结构物形状的学习方法的作用及效果。例如在步骤S120中，虽然想要以结构物的三维形状和流谱为学习数据而直接使AI学习，但是实际上难以学习。这是因为流谱其本身作为数据结构来说过于复杂的缘故。相对于此，本实施方式的特征在于，在将流谱的流线结构暂时进行了词表示的基础上，将该词表示和结构物的三维形状作为学习数据。即，通过将复杂的流谱利用COT表示那样的有限的字符串来表示而使数据结构变得简单，因此能够进行基于AI实现的学习。这样，根据本实施方式，能够利用基于AI实现的学习来得到为了控制流体的流动而最优的结构物形状。

[第六实施方式]

本发明的第六实施方式是结构物的形状设计方法。图33示出第六实施方式的结构物设计方法的流程。本方法包括：使用第一实施方式记载的词表示装置，将目标的流谱的流线结构进行词表示的步骤S130；将该目标的流谱的词表示向第五实施方式记载的学习完成AI输入的步骤S140；利用学习完成AI计算并输出实现该目标的流谱的结构物的三维形状的步骤S150。

在步骤S130中，本方法使用第一实施方式记载的词表示装置，将目标的流谱的流线结构进行词表示化。此时，例如使用者可以使用绘图软件在河川的地形图上描绘所希望的流谱，通过使例如图22的词表示装置1读取该流谱而得到COT表示。图34示出使用者针对图31的地形图描绘的希望的流谱及其COT表示。

在步骤S140中，本方法将通过步骤S130作成的目标的流谱的词表示(COT表示)向第五实施方式记载的学习完成AI输入。

在步骤S150中，本方法根据通过步骤S140输入的目标的流谱的词表示，基于步骤S120中的学习结果，从学习完成AI输出为了实现该词表示而最优的结构物的形状。基于该输出结果，进行例如疏浚、砂土投入、消波块等设置等来形成目标的结构物，由此修正现状的河川的三维形状，能够得到希望的流谱。

根据本实施方式，通过输入目标的流谱，能够得到实现该流谱的结构物的具体的三维形状。

需要说明的是，在基于来自AI的输出结果而设置例如多个渔礁来形成了目标的结构物这样的情况下，该结构物的形状有时相对于AI输出的理想的形状具有误差。在这样的情况下，可以通过模拟来描绘由形成了的结构物实现的流谱，将其流线结构进行词表示。而且，可以将该词表示与根据AI输出的理想的形状而得到的流谱的流线结构的词表示进行比较。在该比较的结果是未能实现所希望的流谱的词表示的情况下，可以在该时间点的形状图上描绘所希望的流谱，再次进行步骤S130～步骤S150的处理。通过根据需要反复进行这样的确认/修正作业，由此能够进行更高精度的结构物设计。

以上叙述的方法没有限定为河川的流动的控制。如果在使AI学习了结构物的形状与其周围的流体的流动的COT表示的关系的基础上，将设为目标的流体的流谱的COT表示向AI输入，则能够输出希望的结构物的形状。这也可以应用于例如燃烧效率高的发动机的设计或推力高的螺杆形状的设计等。

以上，以本发明的若干的实施方式为基础进行了说明。这些实施方式为例示，对于本领域技术人员来说，不言自明的是，可以在本发明的权利要求的范围内进行各种变形及变更，而且这样的变形例及变更也包含于本发明的权利要求的范围。因此，本说明书中的记述及附图不受限定而应例证性地对待。

[变形例1]

第一或第二实施方式的词表示装置可以具备用于取得给定的流谱的图像的图像取得部(例如，相机等)。由图像取得部取得的图像被向词表示生成部发送，通过前述的处理而被赋予词表示。根据本变形例，能够在给出了流谱的图像时，将其取入而得到词表示。

[变形例2]

第一或第二实施方式的词表示装置除了变形例1的图像取得部之外，可以具备图像识别部。由图像取得部取得的图像被向图像识别部发送来识别图像内的流体结构。识别出的流体结构被向词表示部发送，通过前述的处理而被赋予词表示。根据本变形例，能够在给出了流谱的图像时，通过识别图像内的流体结构而得到准确的词表示。

变形例起到与实施方式同样的作用、效果。

上述的各实施方式与变形例的任意的组合也作为本发明的实施方式是有用的。通过组合而产生的新的实施方式同时具有被组合的各实施方式及变形例各自的效果。

工业实用性

本发明能够利用于医疗图像的解析、建筑物或工业产品的设计、气象预测、基于河川或海面的流体分析实现的灾害应对或渔业。

符号说明

1··词表示装置

2··词表示装置

10··存储部

21··根决定机构

22··树表示构成机构

23··COT表示生成机构

24··组合结构提取机构

S1··决定根的步骤

S2··构成树表示的步骤

S3··生成COT表示的步骤

S110··将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示的步骤

S120··利用AI以将词表示作为输入且输出结构物的三维形状的方式进行学习的步骤

S130··使用第一实施方式记载的装置，将目标的流谱的流线结构进行词表示的步骤

S140··将目标的流谱的词表示向第五实施方式记载的学习完成AI输入的步骤

S150··利用AI计算并输出实现目标的流谱的结构物的三维形状的步骤

Claims (10)

1.一种词表示装置，其将二维区域中的流谱的流线结构进行词表示，其中，

所述词表示装置具备存储部和词表示生成部，

所述存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，

所述词表示生成部具备根决定机构、树表示构成机构和COT表示生成机构，

所述根决定机构决定给定的流谱的根，

所述树表示构成机构从所述给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成所述给定的流谱的树表示，其中，所述处理是提取所述给定的流谱的流线结构、基于所述存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理，

所述COT表示生成机构将由所述树表示构成机构构成的树表示变换成COT表示来生成所述给定的流谱的词表示。

2.根据权利要求1所述的词表示装置，其中，

构成所述流谱的流线结构中的基本结构为σ_φ±、σ_φ～±0、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±及β_φ2。

3.根据权利要求1或2所述的词表示装置，其中，

构成所述流谱的流线结构中的二维结构为b_～±及b_±。

4.根据权利要求1～3中任一项所述的词表示装置，其中，

构成所述流谱的流线结构中的0维点结构为σ_～±0、σ_～±±、σ_～±干。

5.根据权利要求1～4中任一项所述的词表示装置，其中，

构成所述流谱的流线结构中的一维结构为p_～±、p_±、a_±、q_±、b_±±、b_±干、β_±、c_±、c_2±、a₂、γ_φ～±、γ_～±±、a_～±及q_～±。

6.根据权利要求1～5中任一项所述的词表示装置，其中，

所述词表示生成部还具备组合结构提取机构，

所述组合结构提取机构通过从所述给定的流谱中提取组合结构，由此生成所述给定的流谱的一对一对应的词表示。

7.一种词表示方法，其由具备存储部和词表示生成部的计算机执行，将二维区域中的流谱的流线结构进行词表示，其中，

所述存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，

所述词表示生成部执行根决定步骤、树表示结构步骤和COT表示生成步骤，

在所述根决定步骤中，决定给定的流谱的根，

在所述树表示构成步骤中，从所述给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理，由此构成所述给定的流谱的树表示，其中，所述处理是提取所述给定的流谱的流线结构、基于所述存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理，

在所述COT表示生成步骤中，将通过所述树表示构成步骤构成的树表示变换成COT表示来生成所述给定的流谱的词表示。

8.一种程序，其使具备存储部和词表示生成部的计算机执行处理，其中，

所述存储部关于构成流谱的多个流线结构，存储各流线结构与其字符的对应关系，

所述程序使所述词表示生成部执行：

决定给定的流谱的根的根决定步骤；

从所述给定的流谱的最内部至按顺序到达根为止地反复执行如下处理来构成所述给定的流谱的树表示的树表示构成步骤，其中，所述处理是提取所述给定的流谱的流线结构、基于所述存储部中存储的对应关系而向该提取出的流线结构赋予字符并删除该提取出的流线结构这样的处理；以及

将通过所述树表示构成步骤构成的树表示变换成COT表示来生成所述给定的流谱的词表示的COT表示生成步骤。

9.一种学习方法，其是学习二维区域中的流体内的结构物的形状的方法，其包括：

使用权利要求1所述的词表示装置，将在流体中的结构物的周围产生的流谱的流线结构进行词表示的步骤；以及

利用AI以将所述词表示作为输入且输出所述结构物的三维形状的方式进行学习的步骤。

10.一种结构物设计方法，其设计二维区域中的流体内的结构物，其包括：

使用权利要求1所述的词表示装置，将目标的流谱的流线结构进行词表示的步骤；

将所述目标的流谱的词表示向請求项9所述的学习完成AI输入的步骤；以及

通过所述学习完成AI计算并输出实现所述目标的流谱的结构物的三维形状的步骤。

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