KR101816778B1 - 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램 - Google Patents

Abstract

위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득한다.

Description

유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램{FLUID TRANSITION PATH ACQUISITION DEVICE, METHOD FOR ACQUIRING FLUID TRANSITION PATH, AND PROGRAM}

본 발명은 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램에 관한 것이다.

종래에는, 복수의 구조물의 배치 설계나 효율적인 유체역학적 특성을 갖는 구조물의 형태의 최적화를 행할 때에는, 대규모의 수치 계산에 의한 유체 시뮬레이션을 몇 번이나 반복함으로써, 최적의 구조물의 배치를 결정하고 있다.

예를 들면, 종래에는, 하천 등의 균일한 흐름 안에, 다리 등의 구조물을 설계하는 경우, 교각의 주변에 어떠한 흐름이 생길지를, 계산기에 의한 대규모 시뮬레이션 등을 통하여 해석하고 있었다.

또, 최근, 유체 등의 수리 모델을 구축하여, 흐름의 패턴의 토폴로지(topology)를 수리적으로 취급할 수 있는 알고리즘이나 프로그램이 개발되고 있다.

Tomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek 저 "Computational Homology" Springer, 2000년

그러나, 종래의 구조물 설계의 최적화 수법에 있어서는, 반복해서 행해지는 대규모 계산에 의해 계산 시간과 설계 비용의 증대화를 초래하는 한편, 그러한 제약 상, 탐색 범위를 한정하지 않을 수 없고, 도출되는 최적의 구조물이 국소 최적의 것일 가능성을 배제할 수 없다는 문제점을 갖고 있었다. 즉, 종래에는, 탐색 범위를 어디로 할 것인지는, 기술자의 경험과 직감에 의존하지 않을 수 없고, 어디에 탐색 범위를 설정하였는지에 따라서, 도출되는 구조물의 최적화 결과가 좌우된다는 치명적 결함을 갖고 있었다.

특히, 최적화 수법에 있어서, 어떤 형상과 배치에 있어서의 흐름 패턴을, 원하는 흐름 패턴으로 유도하기 위해서는, 어떠한 천이 단계를 필요로 하는 것인지, 그 판단의 지표로 할 것이 없어, 계산 결과에 따라서 얻어진 흐름에 대하여 구조물의 배치나 형상을 바꾸는 등 흐름장(場)의 상황을 제어하기 위해서는, 계산을 시행착오적으로 몇 번이나 반복할 필요가 있었다.

본 발명은, 상기 문제점을 감안하여 이루어진 것으로서, 흐름 패턴의 천이에 관한 지견을 얻을 수 있는, 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램을 제공하는 것을 목적으로 한다.

이와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 기억부와 제어부를 구비한 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 기억부는, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고, 상기 제어부는, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 수단을 구비한 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 천이 정보는, 상기 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는, 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴에 관한 정보를 포함하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 2개의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여, 일방(一方)의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방(他方)의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 천이를 1회의 천이로 하여, 상기 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 상기 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 횟수를 포함하는 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 천이 횟수가 최소가 되는, 상기 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 상기 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 구조 안정된 흐름 패턴은, 1개의 구멍을 갖는 단(單)연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어에 대하여, 상기 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 워드 표현에 의해서 식별되어 있고, 상기 패턴 천이 정보는, 상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 상기 구조 안정된 흐름 패턴이, 상기 워드 표현에 의해 기술된 정보이며, 상기 천이 정보 취득 수단은, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 기재의 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서, 상기 패턴 천이 정보는, 상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 상기 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 상기 워드 표현의 상기 조작어의 변화 정보를 포함하고, 상기 천이 정보 취득 수단은, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여, 상기 변화 정보에 기초하여, 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여 상기 패턴 천이 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 구조 안정된 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 정규 표현을 사용하여 천이 루트를 1개로 특정하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여 상기 변화 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 상기 2개의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 복수의 천이 루트의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현에 포함되어 있지 않은 경우에는, 천이 루트의 후보로부터 제외하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 천이 정보 취득 수단은, 제외되지 않은 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 당해 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 상기 제외되지 않은 복수의 선택 루트의 후보 중, 그 정규 표현이, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현과 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 정규 표현은, 상기 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현이 작성되고, 작성된 그래프 표현에 기초하여 작성된 것임을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 그래프 표현은, 상기 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 및 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하여(단, V는 정점(頂點)이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것임을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 추가로, 유체 중의 물체에 대하여 설계 파라미터의 후보를 선택하는 경우에, 상기 설계 파라미터의 상한 및 하한을 설정하고, 당해 설계 파라미터의 상한과 하한에 의해 규정되는 파라미터 영역으로부터 복수의 파라미터를 선택하고, 선택한 복수의 파라미터에 대하여, 각각 흐름의 실험 및/또는 수치 계산을 행하고, 실험 및/또는 수치 계산의 결과에 대하여, 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 할당하고, 할당한 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현 중, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖는 설계 파라미터를, 상기 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 시뮬레이션 수단을 구비한 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 장치는, 상기 할당한 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖지 않는 경우에도, 상기 흐름 패턴이 1회의 천이에 의해, 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖는 경우에는, 상기 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 시뮬레이션 수단을 구비한 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 유체 천이 경로 취득 방법은, 기억부와 제어부를 구비한 컴퓨터에 있어서 실행되는 유체 천이 경로 취득 방법에 있어서, 상기 기억부는, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고, 상기 제어부에 있어서 실행되는, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명의 프로그램은, 기억부와 제어부를 구비한 컴퓨터에 실행시키기 위한 프로그램에 있어서, 상기 기억부는, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고, 상기 제어부에 있어서, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 단계를 실행시키는 것을 특징으로 한다.

또, 본 발명은 기록 매체에 관한 것으로서, 상기 기재의 프로그램을 기록한 것을 특징으로 한다.

본 발명에 의하면, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득한다. 이에 의해, 본 발명은, 흐름 패턴의 천이에 관한 지견을 얻을 수 있다는 효과를 나타낸다. 특히, 이 천이 정보에 의해, 위상 구조의 천이 순서를 특정할 수 있으므로, 예를 들면, 항공기 등의 설계상에서 이상(理想) 흐름 패턴이 되도록 유도하기 위하여, 흐름 패턴의 천이 순서를 지표로 하여 구조 설계 등을 행할 수 있다.

또, 본 발명에 의하면, 천이 정보는, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는, 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴에 관한 정보를 포함하므로, 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 천이의 중간 상태를 결정할 수 있다는 효과를 나타낸다. 구체적으로는, 비행기의 날개 주변의 흐름장의 시간 발전에 대하여, 그 각 시각에 있어서의 양항비(揚抗比)와 같은 날개의 기능으로서 중요한 특성의 변화가 어떻게 해서 형성되는 것인지, 어떻게 해서 잃게 되는 것인지 등의 메커니즘을 이해할 수 있게 되기 때문에, 날개 기능의 설계에 있어서의 개량의 지침이 얻어져, 최적화 수법의 효율화를 도모할 수 있다.

또, 본 발명에 의하면, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 정보를 취득하므로, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이에서 천이 가능한 경우에 흐름 패턴의 천이 루트나, 그 사이의 중간 상태의 흐름 패턴 등에 관한 지견을 얻을 수 있다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 천이를 1회의 천이로 하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 횟수를 포함하는 천이 정보를 취득하므로, 2개의 흐름 패턴을 서로 바꾸는 것에, 어느 정도의 천이가 필요한지를, 천이 횟수의 다과(多寡)로서 취득함으로써, 흐름 구조의 멀고 가까움과 같은 거리적인 지표를 얻을 수 있다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 천이 횟수가 최소가 되는, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 정보를 취득하므로, 최단의 흐름 패턴의 천이 루트의 지견을 얻을 수 있다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 구조 안정된 흐름 패턴은, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 워드에 대하여, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 워드 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 워드 표현에 의해서 식별된다. 그리고, 패턴 천이 정보는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴이, 워드 표현에 의해 기술된 정보이며, 천이 정보를 취득할 때에는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여, 패턴 천이 정보에 기초하여, 천이 정보를 취득한다. 이에 의해, 본 발명은, 흐름 패턴의 위상기하학적인 천이 가능성을 판정하는 경우에, 워드 표현을 이용하여 컴퓨터가 용이하게 취급할 수 있게 된다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 패턴 천이 정보는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 워드 표현의 조작어의 변화 정보를 포함하고, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여, 변화 정보에 기초하여 천이 정보를 취득한다. 이에 의해, 본 발명은, 워드 표현의 변화를 기준으로 하여, 효율적으로 천이 루트를 탐색할 수 있다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여 패턴 천이 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 정규 표현을 사용하여 천이 루트를 1개로 특정한다. 이에 의해, 선택 루트의 후보가 복수 있는 경우에도 패턴 매칭을 행하지 않고, 천이 루트를 특정하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여 변화 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 복수의 천이 루트의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현에 포함되어 있지 않은 경우에는, 천이 루트의 후보로부터 제외한다. 이에 의해, 천이 루트의 후보의 부분 표현과 정규 표현을 비교하는 것만으로, 실제로 천이할 가능성이 없는 천이 루트의 후보를 제외하는 것이 가능해진다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 제외되지 않은 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 당해 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 제외되지 않은 복수의 선택 루트의 후보 중, 그 정규 표현이, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현과 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정한다. 이에 의해, 정규 표현끼리를 비교하는 것만으로, 천이 루트를 1개로 특정하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 정규 표현은, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현이 작성되고, 작성된 그래프 표현에 기초하여 작성된 것이다. 이에 의해, 흐름 패턴과 1 대 1로 대응시키는 것이 가능한 새로운 표현 방법을 제공하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 그래프 표현은, 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여 및 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하고(단, V는 정점이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것이다. 이에 의해, 구조 안정된 해밀턴 벡터장에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여 및 방향이 있는 트리를 평면 그래프로서 가시화한 것을 그래프 표현으로서 제공하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다.

또, 본 발명에 의하면, 추가로, 유체 중의 물체에 대하여 설계 파라미터의 후보를 선택하는 경우에, 설계 파라미터의 상한 및 하한을 설정하고, 당해 설계 파라미터의 상한과 하한에 의해 규정되는 파라미터 영역으로부터 복수의 파라미터를 선택하고, 선택한 복수의 파라미터에 대하여, 각각 흐름의 실험 및/또는 수치 계산을 행하고, 실험 및/또는 수치 계산의 결과에 대하여, 워드 표현 및/또는 정규 표현을 할당하고, 할당한 워드 표현 및/또는 정규 표현 중, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖는 설계 파라미터를, 설계 파라미터의 후보로서 선택한다. 이에 의해, 맨처음부터 이상적인 상황을 흐름 패턴의 워드 표현이나 정규 표현으로서 설정해 두어, 그것이 실현되도록 파라미터 영역을 탐색하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다. 이렇게 해서 최적의 설정을 실현하는 설계 파라미터의 「후보」를 가능한 한 많이 또한 신속하게 찾을 수 있게 된다. 그들 후보로부터 시작하여, 기지(旣知)의 최적화 수법을 행함으로써 많으면서도 실현성이 높은 설계 파라미터가 얻어질 가능성이 높아진다.

또, 본 발명에 의하면, 할당한 워드 표현 및/또는 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖지 않는 경우에도, 1회의 천이에 의해, 워드 표현 및/또는 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖는 경우에는, 설계 파라미터의 후보로서 선택한다. 이에 의해, 1회의 천이에 의해 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖는 것을 파라미터의 후보로서 채용하는 것이 가능하게 된다는 효과를 나타낸다.

도 1은, 본 실시 형태에서 이용하는 워드 표현 알고리즘의 개요를 나타낸 플로우차트이다.
도 2는 흐름의 패턴을 모식적으로 나타낸 도면이다.
도 3은 영역에 있어서의 구조 안정된 흐름의 위상적 분류를 행하는 특징적인 궤도(흐름선)를 모두 기술한 도면이다.
도 4는 초기 구조가 되는 3종류의 구조 안정된 흐름 패턴을 모식적으로 나타낸 도면이다.
도 5는 구멍을 1개 덧붙여 구조 안정된 흐름을 구성하는 5종류의 조작을 모식적으로 나타낸 도면이다.
도 6은 2개의 구조물과 균일 흐름이 있는 경우의 구조 안정된 흐름 패턴의 전체 분류를 나타낸 도면이다.
도 7은 구조 불안정한 궤도의 예를 나타낸 도면이다.
도 8은 D_z(M-1)에 있어서의 구조 안정된 흐름선 패턴으로부터 구멍을 1개 추가하여 D_z(M)에 있어서의 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 10개의 조작을 나타낸 도면이다.
도 9a, 도 9b는 조작 D_{0, s}에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴을 나타낸 도면(그 1)이다.
도 9c, 도 9d는 조작 D_{0, s}에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴을 나타낸 도면(그 2)이다.
도 10은 조작 D₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동(攝動)을 나타낸 도면이다.
도 11은 조작 E_{0, s} 및 E₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 12는 조작 Φ_{0 , s}와 Φ₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 13은 조작 D_{2, s}에 의해서 생성된 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 14는 조작 D₂에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 15는 조작 E_{2, s}와 E₂에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 16은 2개 이상의 구멍을 추가하여 구조 안정된 흐름선 패턴으로부터 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 네 개의 조작을 나타낸 도면이다.
도 17은 조작 Ψ_s(2)와 Ψ(2)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 18은 조작 Ψ(2)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 19는 조작 Ξ_s(2n-1)과 Ξ(2n-1)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 20은 p-불안정한 패턴 Λ와 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 21은 D_z(M-1)에 있어서의 구조 안정된 흐름장에 대하여, pinching orbit을 1개 추가하여 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 조작을 나타낸 도면이다.
도 22는 조작 Δ₁에 의해 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면(그 1)이다.
도 23은 조작 Δ₁에 의해 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면(그 2)이다.
도 24는 조작 M_{1, s}에 의해서 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 25는 조작 M_{1, i}와 M_{1, o}에 의해서 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.
도 26은 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 사이의 중간 상태로서 나타나는 h-불안정한 흐름선 패턴의 리스트를 나타낸 도면이다.
도 27은 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 사이의 중간 상태로서 나타나는 h-불안정한 흐름선 패턴의 리스트를 나타낸 도면이다.
도 28은 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 사이의 중간 상태로서 나타나는 p-불안정한 흐름선 패턴의 리스트를 나타낸 도면이다.
도 29는 본 실시 형태가 적용되는 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 일례를 나타낸 블럭도이다.
도 30은 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 31은 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 있어서의, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 32는 이차원 외부 영역 내에 있어서, 유한한 두께를 갖는 얇은 한 장의 평판이, 균일 흐름 중의 물체로서, 균일 흐름에 대하여 일정 각도로 기울어져 놓여 있는 경우를 모식적으로 나타낸 도면이다.
도 33은 물체 주변의 흐름의 수치 계산 결과를 나타낸 도면이다.
도 34는 물체 주변의 흐름의 수치 계산 결과를 나타낸 도면이다.
도 35는 시각 t = 5.5부터 7.7의 시간 발전 동안에 일어난 천이를 나타낸 도면이다.
도 36은 패턴어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 37은 알고리즘 B에 있어서의 I 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 38은 알고리즘 B에 있어서의 I 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 39는, 알고리즘 B에 있어서의 II 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 40은 알고리즘 B에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 41은 알고리즘 B(I, II-Word algorithm)에 있어서의 I, II 계열의 조작어의 할당 처리의 다른 예를 나타낸 플로우차트이다.
도 42는 알고리즘 B(I, II-Word algorithm)에 있어서의 I, II 계열의 조작어의 할당 처리의 다른 예를 나타낸 플로우차트이다.
도 43은 알고리즘 B(O-Word algorithm)에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리의 다른 예를 나타낸 플로우차트이다.
도 44는 실시 형태 2에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 작성 방법을 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 45는 도 44의 그래프 표현 작성 공정의 일례를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 46은 조작 B₀, B_2, C에 의해서 생성되는 모든 흐름 패턴과 그것에 대응하여 연결 부분 집합(정점 집합)에 여기되는 모자(母子) 관계를 나타낸 도면이다.
도 47a는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 47b는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 47c는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 47d는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 47e는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 48은 루트가 되는 연결 성분을 C_H = D_z(M)＼D로부터 선택하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 49는 조작 A₀, A₂, C에 의해서 생성되는 ss-saddle connection diagram의 국소 구조와 그것에 대응하여 얻어지는 그래프 표현의 가시화를 나타낸 도면이다.
도 50a는 I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 50b는 I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 50c는 I, II계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 50d는 I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 51a는 IA₀C라는 워드 표현을 갖는 구조 안정된 흐름선 패턴의 그래프 표현과 그 정규 표현을 나타낸 도면이다.
도 51b는 트리의 정규 표현으로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 52는 실시 형태 2가 적용되는 유체 천이 경로 취득 장치(101)의 일례를 나타낸 블럭도이다.
도 53은 유체 천이 경로 취득 장치(101)에 있어서의, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.
도 54는 균일 흐름 중에 놓인 한 장의 평판의 t = 5.5부터 t = 7.7까지의 시간 발전과 그 흐름선 패턴의 위상 구조, 그 극대어 표현, 및 그 정규 표현이다.
도 55는 시각 t = 5.5부터 7.7의 시간 발전 동안에 일어난 천이를 나타낸 도면이다.
도 56은 워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법을 설명하기 위한 플로우차트이다.
도 57은 워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법을 설명하기 위한 구체예의 일례를 설명하기 위한 도면이다.
도 58은 워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법을 설명하기 위한 구체예의 일례를 설명하기 위한 도면이다.

이하에, 본 발명에 관련된 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램의 실시 형태를 도면에 기초하여 상세하게 설명한다. 이 실시 형태에 의해 본 발명이 한정되는 것은 아니다.

『실시 형태 1』

[본 발명의 실시 형태의 개요]

이하에, 본 발명의 실시 형태의 개요에 대하여 도 1∼도 28을 참조하여 설명하고, 그 후, 본 실시 형태의 구성 및 처리 등에 대하여 상세하게 설명한다.

먼저, 본 실시 형태는, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴(이하, 「흐름선 패턴」이라고도 칭함)이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억한다. 또한, 이와 같은 패턴 천이 정보를 망라적으로 취득하는 방법에 대해서는 후술한다.

그리고, 본 실시 형태는, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득한다. 즉, 본 실시 형태는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하여, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트를 탐색한다. 본 실시 형태는, 모든 취할 수 있는 경로를 도출해도 된다. 예를 들면, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하여, 패턴 천이 정보를 참조하여, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 2번째의 구조 안정된 흐름 패턴을 모두 뽑아 써도 된다. 그리고, 2번째의 구조 안정된 흐름 패턴의 각각을 출발점으로 하여, 패턴 천이 정보를 참조하여, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 3번째의 구조 안정된 흐름 패턴을 모두 뽑아 써도 된다. 이와 같이 상술의 처리를 반복함으로써, 모든 취할 수 있는 천이 루트를 산출해도 된다. 또한, 도로 등의 경로 탐색과 마찬가지로, 구조 안정된 흐름 패턴을 노드라고 생각하고, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 1회의 천이를 링크라고 생각하여, 공지의 경로 탐색 수법 등을 이용하여 천이 루트를 탐색해도 된다.

여기서, 본 실시 형태는, 천이 정보는, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는, 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴에 관한 정보를 포함해도 된다. 즉, 본 실시 형태는, 천이 루트로서, 구조 안정된 흐름 패턴의 천이순서만을 취득하는 것이 아니라, 그 사이의 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴도 천이 루트의 일부로서 천이 정보를 취득해도 된다.

또, 본 실시 형태는, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 정보를 취득해도 된다. 보다 구체적으로는, 본 실시 형태는, 지정된, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하고, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴을 도달점으로 하여, 그 사이의 천이 루트를 탐색해도 된다. 또한, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이에 천이 루트가 없는 경우에는, 천이 불가능이라는 결과를 천이 정보로서 취득한다.

또, 본 실시 형태는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 천이를 1회의 천이로 하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 횟수를 포함하는 천이 정보를 취득해도 된다. 즉, 2개의 흐름 패턴 사이에 있어서의, 흐름 구조의 멀고 가까움과 같은 거리적인 척도로서, 천이 횟수를 취득해도 된다.

또, 본 실시 형태는, 천이 횟수가 최소가 되는, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 정보를 취득해도 된다. 즉, 본 실시 형태는, 천이 횟수를 지표로 하여, 천이 루트의 최단 루트를 산출해도 된다.

흐름 패턴의 위상 구조를 컴퓨터로 취급하기 쉽게 하기 위하여, 흐름 패턴을 워드 표현에 의해 식별(라벨)해도 된다. 예를 들면, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어에 대하여, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 워드 표현에 의해서 구조 안정된 흐름 패턴을 식별해도 된다. 이와 같이, 흐름 패턴을 워드 표현에 의해 식별함으로써, 본 실시 형태는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 상기 구조 안정된 흐름 패턴이, 워드 표현에 의해 기술된 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여 천이 정보를 취득할 수 있다. 또, 패턴 천이 정보에, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 워드 표현의 조작어의 변화 정보를 포함시킴으로써, 본 실시 형태는, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여, 변화 정보에 기초하여 천이 정보를 취득해도 된다.

또한, 본 실시 형태에 있어서, 이 워드 표현을 형성시키는 알고리즘을, 「워드 변환 알고리즘」이라고 부른다. 또한, 「워드 변환 알고리즘」에 대하여, 그 수학적인 상세는 공표 논문(T. Yokoyama and T. Sakajo, "Word representation of streamline topology for structurally stable vortex flows in multiply connected domains", Proc. Roy. Soc. A 469(2013) doi: 10. 1098/rspa. 2012. 0558)을 참조할 수 있다(이하, 「공표 논문(2013)」이라고 부름).

이상이 본 실시 형태의 개요이다.

[워드 변환 알고리즘]

여기서, 상술한 워드 표현을 형성시키는 워드 변환 알고리즘의 개요에 대하여 이하에 설명한다. 여기서, 도 1은 본 실시 형태의 워드 표현 알고리즘의 개요를 나타낸 플로우차트이다.

도 1에 나타낸 바와 같이, 먼저, 본 실시 형태는, 위상기하학적으로 N개의 구멍을 갖는 연결 외부 영역에 있어서의 흐름 패턴의 워드 표현을 형성시키기 위하여, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어(예를 들면, I, II, O) 중 어느 1개의 워드를 부여한다(단계 SA-1).

그리고, 본 실시 형태는, 단계 SA-1에서 부여된 워드에 대하여, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어(예를 들면, A₀, A₂, B₀, B₂, C) 중 어느 1개의 워드를 부여하고(단계 SA-2), 당해 단계 SA-2의 처리를 구멍의 수가 N개가 될 때까지 반복함으로써(단계 SA-3), N개의 구멍을 갖는 연결 외부 영역에 대응하는 워드 표현을 형성시킨다. 또한, 이 예에서는, 패턴어의 부여(단계 SA-1)가 먼저 행해지고, 조작어의 부여(단계 SA-2)가 나중에 행해지지만,

이것에 한정되지 않고, 조작어의 부여를 먼저 행하고, 나중에 패턴어의 부여를 행해도 되는 것이다.

여기서, 본 실시 형태에 있어서, 「연결 외부 영역」이란, 단연결 외부 영역과 다중 연결 외부 영역을 포함하는 표현이며, 「단연결 외부 영역」이란, 이차원(평면) 중에 있는 영역에서, 1개의 구멍이 뚫린 것을 말하고, 「다중 연결 외부 영역」이란, 이차원(평면) 중에 있는 영역에서, 복수의 구멍이 뚫린 것을 말한다. 여기서 말하는 「구멍」이라는 표현은, 수학적인 추상 표현인데, 응용상으로는 여러 가지의 표현 형태여도 된다. 예를 들면, 탈것이 이동하였을 때에 상대적으로 발생하는 균일한 흐름에 주목한 경우, 균일 흐름을 따른 탈것의 단면(斷面)에 구조물이 1개 또는 복수 있었던 상황이 있으면, 그 영역은 단연결 외부 영역 또는 다중 연결 외부 영역으로서 취급할 수 있다. 예를 들면, 공기 중을 전진하는 항공기 등의 비행 물체나, 공기 중을 전진하는 전차나 자동차 등의 지상 주행 차량, 해상 또는 바닷속을 전진하는 배 등의 탈것에 대해서도, 1 또는 복수의 구멍과, 단연결 또는 다중 연결의 연결 외부 영역으로서 취급할 수 있다. 환언하면, 「흐름 중에 1개 또는 복수의 장애물이 있는」 것과 같은 흐름을, 본 실시 형태에서는, 연결 외부 영역에 있어서의 흐름으로서 취급한다. 또, 고립된 소용돌이 구조나 주위에 주기 궤도를 갖는 것과 같은 흐름 구조(타원형의 정류점 등)도 구멍이라고 간주할 수 있다.

상술한 바와 같이, 흐름 패턴에 대하여 워드 표현을 할당함으로써, 연결 외부 영역에 있어서의 흐름의 위상적 분류가 가능하게 된다. 위상적이라는 것은 수학의 전문 용어이며, 토폴로지(위상기하학)라고도 불리는 기하학의 한 분야를 가리킨다. 고전적인 기하학에서는, 삼각형이나 사각형은 그 각(角)의 수의 차이에 따라 다른 도형이라고 간주하지만, 위상기하학의 입장에서는 그러한 세밀한 정보를 보지 않고, 삼각형과 사각형을 예를 들면 고무 밴드를 변형시켜 서로 바꿀 수 있다는 입장에 서서 동일한 도형이라고 간주한다. 즉, 모든 다각형은, 원과 동일하다고 간주한다. 한편으로, 원 안에 또 1개의 원이 도려내어져 있는 것과 같은 원환 영역이 있었을 때에 원과 원환 영역은 1개의 고무 밴드의 변형으로는 서로 변형할 수 없으므로, 다른 도형이라고 간주한다. 연결 외부 영역에서는, 비어 있는 구멍의 수가 다르면, 그들 도형은 위상적으로 다르다고 간주하는 한편으로, 구멍의 형태조차 동일하면, 그 구멍의 형태가 원이든 삼각형이든 선분이든 동일한 것으로 간주한다. 이와 같은 이유로부터 흐름의 영역을 특징짓는 것은 구멍의 수뿐이기 때문에, 본 실시 형태에서는, 구멍의 수 M+1에 대하여 연결 외부 영역을 D_ζ(M)이라고 표현한다. 예를 들면, 구멍이 1개뿐인 경우에는 단연결 외부 영역 D_ζ(0)이고, 구멍이 2개 있는 경우에는 이중 연결 외부 영역 D_ζ(1)이 된다.

흐름의 위상적 분류를 취급할 때에는, 흐름을 특징짓는 어떤 특정 구조(「위상 구조」라고 부른다.)를 잡고, 그 특정 구조를 가진 흐름이 2개 있었을 때에, 그 쌍방을 특정 구조의 연속적인(즉, 자르거나 붙이거나 하지 않는) 변형에 의해서 서로 변형할 수 없는 것은 다른 흐름이라고 간주한다.

[흐름의 구성 요소의 설명]

여기서, 본 실시 형태에 있어서 취급하는 흐름의 구성 요소에 대하여 도 2∼도 4를 참조하여 설명한다. 본 실시 형태에 있어서의 「흐름」으로서 비압축 흐름을 취급해도 된다. 유체의 비압축성이란, 힘을 가하더라도 거의 그 체적을 바꾸지 않는 성질을 말한다. 통상의 물이나 대기의 흐름은, 일상생활의 스케일에서 생각하는 경우에는, 이러한 흐름의 틀에서 생각하더라도 대체로 지장은 없다. 또한, 본 발명은, 이것에 한정되지 않고, 압축성이 있는 흐름을 계산상 취급해도 된다.

또, 본 실시 형태에 있어서의 유체는, 비점성 유체로서 취급해도 된다. 비점성 유체는, 경계 조건을 「미끄럼 조건」으로서 취급할 수 있다. 또한, 점성 유체에서는, 경계 조건이 「제로 경계 조건」이 되지만, 점성 유체이더라도, 점성이 크지 않을 때, 경계 부근은 소용돌이가 층 형상의 흐름이 되어 있고, 그 흐름의 외측 경계를, 가상적으로 확장함으로써 「미끄럼 조건」으로 취급할 수 있다. 따라서, 본 실시 형태에서는, 특히, 비점성 유체에 있어서의 워드 변환 알고리즘에 있어서 설명하는 경우가 있지만, 적절한 경계의 확장에 의해, 점성 유체에 대해서도 본 실시 형태를 적용할 수 있다.

본 실시 형태에서 취급하는 흐름의 구성 요소는, 이하의 3개이다. 1개는 장애물, 1개는 소용돌이(vortex), 1개는 균일 흐름(uniform flow)이다. 장애물은 연결 외부 영역에 있어서의 구멍을 말하며, 이 형상은 위상적 분류를 생각하고 있는 면에서 원으로 해 두어도 수학적으로 주는 결과에 영향은 없는 것을 일반적인 유체의 수학이론으로부터 유도할 수 있다. 여기서, 도 2는 흐름의 패턴을 모식적으로 나타낸 도면이다. 또한, 도 2 (c)는, 4개의 ∂-saddle점(정의는 후술)을 갖는 경계를 모식적으로 나타내고 있다.

도 2 (a)에 나타낸 바와 같이, 소용돌이는 그 주변에서 회전하는 흐름을 만드는 요소이다. 균일 흐름이란, 강의 흐름으로 말하면 기본적인 흐름을 말하며, 영역 전체를 가로지르는 것과 같은 흐름이다. 또, 탈것 등의 이동 물체의 경우, 균일 흐름이란, 그 탈것을 타고 있는 관찰자로부터 본, 상대적인 기류나 수류 등의 흐름이다. 즉, 이동 물체의 좌표계에 있어서는, 실제로는 공기나 물이 정지하고 있더라도, 무한 원점(遠點)으로부터 흘러 오는 상대적인 흐름을 관념할 수 있다.

균일 흐름을 구성하는 요소는, 흡입 용출 쌍(1-source-sink point)이라고 부른다(수학적 정의는 공표 논문(2013)의 Definition 2.1 참조).

여기서, 균일 흐름이 아니라 흡입 용출 쌍이라고 부르는 것에는 이유가 있다. 그 이유의 설명을 위하여, 몇 개의 수학적인 해설을 이하에 행한다. 균일 흐름이 존재할 때, 생각하고 있는 흐름의 영역은 무한히 펼쳐지는 평면이며, 그 중에 1개 또는 복수의 구멍(장애물)이 매립되어 있는 것과 같은 연결 외부 영역이지만, 이와 같은 흐름을 모식적(Schematic)으로 표현하는 면에서는 취급하기 어렵다. 그 때문에, 수학에 있어서의 stereographic projection(스테레오 사영(射影)·입체 사영)이라고 불리는 사영법에 의해서, 평면을 구면(球面) 상에 투영하여 취급해도 된다. 이 경우, 평면에 있어서의 무한 원점은 구면의 북극에, 평면의 원점은 남극에 대응시킬 수 있다.

이와 같이 해 두면, 균일 흐름은 구면의 북극에 있어서의 흐름의 용출과 흡입 쌍과 같은 흐름 구조가 되고, 도 2 (b)와 같은 흐름장에 대응하고 있는 것을 수학적으로 나타낼 수 있다. 또한, 모식적으로 흐름장을 표현하기 위해서는, 구면은 대칭성이 높은 형상이라는 것을 이용하여, 북극과 남극의 위치를 적당히 약간 옮겨놓을 수 있으므로, 무한 원점을 남극에, 어떤 원형의 구멍(장애물)의 중심을 북극에 맞추고 나서, 다시 stereographic projection을 사용하여 평면에 투영하면, 남극에 대응하는 원점 부근 근처에서는 도 2 (b)와 같은 흐름이 생긴다. 또한 무한 원점에 중심을 갖는 원 경계는 평면의 외측 원 경계에 투영되므로, 결과적으로 평면 전체의 흐름장이, 예를 들면, 도 3과 같은 형태의 유계(有界) 영역으로서 표현할 수 있다. 또한, 연결 외부 영역 D_ζ(M)을 이 변환 방법에 의해, 무한 원점의 흡입 용출 쌍을 원점에, 또한, M+1개의 경계 중 1개를 선택하여, 그것을 단위 원 외부 영역으로 옮겼을 때에 얻어지는, M개의 경계를 그 내부에 포함하는 단위 원 내부의 연결 영역을 D_z(M)이라고 쓴다. 이후의 기재는 모두 이 D_z(M)을 이용하여 행한다. 따라서, 도 2 (b)와 같은 표현은 적절한 사영법을 통하여, 평면 전체 중에 균일 흐름이 들어 있는 흐름과 등가(等價)인 것이다. 본 실시 형태의 설명에서는, 흐름을 모식적으로 나타내기 위하여 편리하기 때문에, 이와 같은 사영법을 이용하여 도면에 표현하는 경우가 있다.

도 3은 이와 같은 연결 영역 D_z(M)에 있어서의 구조 안정된 흐름의 위상적 분류를 행하는 특징적인 궤도(흐름선)를 모두 기술한 도면이다. 도 3 (a)에 나타낸 바와 같이, 먼저 흡입 용출 쌍으로부터 나와 자기자신에게 되돌아오는 궤도를 ss-orbit이라고 부른다. 이 선 하나하나가 연결 외부 영역에서의 균일 흐름의 흐름선을 나타낸다. 다음으로, 도 3 (b)에 나타낸 바와 같이, 흡입 용출 쌍으로부터 나와 경계상에 연결되는 궤도를 ss-∂-saddle connection이라고 부르고, 도 3 (c)에 나타낸 바와 같이, 그 궤도가 연결되어 있는 경계상의 점을 ss-∂-saddle이라고 부른다.

또, 도 3 (e)에 나타낸 바와 같이, 흡입 용출 쌍으로부터가 아니라, 어떤 경계 위의 점으로부터 나와 동일한 경계상의 점에 연결되는 궤도를 ∂-saddle connection이라고 부르고, 도 3 (d)에 나타낸 바와 같이, 이에 의해서 연결되어 있는 경계상의 점을 ∂-saddle이라고 부른다. 또, 도 3 (h)에 나타낸 바와 같은, 경계상에 없는 쌍곡형의 정류점을 saddle point(새들점)라고 부르지만, 도 3 (f)에 나타낸 바와 같이, 흡입 용출 쌍으로부터 나오는 궤도에서, 이 saddle point에 연결되는 궤도를 ss-saddle connection이라고 부른다. 또, 도 3 (g)에 나타낸 바와 같이, 경계나 소용돌이의 회전을 만드는 폐곡선 궤도를 closed orbit이라고 부르고, 도 3 (i)에 나타낸 바와 같이, saddle point로부터 나와 그 자신에게 되돌아오는 것과 같은 궤도를 homoclinic saddle connection이라고 부른다. 대상으로 하는 구조 안정된 흐름은, 이들 궤도의 조합에 의해서밖에 표현되지 않는다는 것을 수학적으로 증명할 수 있다.

본 실시 형태에서는, 상술한 단계 SA-2에 있어서, 구멍의 수가 M개 있는 연결 외부 영역 D_z(M-1)의 흐름에, 1개의 구멍과 그것에 따른 흐름의 구조를 덧붙임으로써, 1개의 구멍의 많은 다중 연결 외부 영역 D_z(M)의 흐름장을 귀납적으로 구성해 간다. 그 때문에, 가장 간단한 구멍이 1개인 단연결 외부 영역 D_z(0)이나, 이중 연결 외부 영역 D_z(1)에서, 이들 귀납적 구성의 초기 구조가 되는 것을 단계 SA-1에서 부여하고 있다.

구체적으로는, 상술한 기본이 되는 흐름 패턴은, 3종류 있으며,

1) 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴 I,

2) 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴 II, 및

3) 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴 O

이다. 여기서, 도 4는 초기 구조가 되는 3종류의 구조 안정된 흐름 패턴을 모식적으로 나타낸 도면이다.

즉, 도 4 (a)와 (b)에 나타낸 바와 같이, 구멍이 1개인 단연결 외부 영역 D_z(0)에 있는 흐름은, 패턴 I와 패턴 II의 2종류 존재한다. 이들 패턴은, 모두 흡입 용출 쌍을 갖고, 수학적으로는 이들 2종류밖에 없다는 것을 증명할 수 있다. 균일 흐름을 가정한 흡입 용출 쌍을 갖는 것과 같은 흐름에 대하여, 원칙적으로는 이중 연결 외부 영역 D_z(1)은, 이들로 구성되지만, 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 흐름은 이곳으로 구성되지 않으므로, 그 흐름을 구성하기 위하여 필요한 초기 흐름이 도 4 (c)에 모식적으로 나타난 패턴 O이다. 또한, 이들 위상 구조는 표현의 간편함을 위하여, 흡입 용출 쌍을 원 문자 S라고 도시하고, ss-orbit이나 closed orbit은, 무한히 존재하므로 표현하지 않고, 이후, 모식적으로 도 4 (d)나 (e)와 같이 간략하게 나타낸다. 또, 도 4 (c)에 나타낸 바와 같이, 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 이중 연결 외부 영역 D_z(1)에 있어서의 흐름의 패턴의 closed orbit도, 전부 쓰지 않고 도 4 (f)와 같이 간략하게 적는다.

[조작어의 설명]

귀납적으로 흐름을 구성해 가기 위하여, 구멍을 1개와 그것에 따른 흐름의 구조를 추가한다는 「조작」에 대하여, 도 5 및 도 6을 참조하여 설명한다. 즉, 구멍의 수가 M개 있는 연결 외부 영역 D_z(M-1)의 흐름에, 1개의 구멍을 추가하여 다중 연결 외부 영역 D_z(M)의 흐름을 구하는 조작에 대하여 설명한다.

상술한 단계 SA-2에 있어서, 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작은,

1) 1개의 ss-orbit을, 1개의 saddle point, 그것을 연결하여 내부에 구멍을 갖는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection으로 치환하는 A₀ 조작,

2) 1개의 ss-orbit을, 2개의 ss-∂-saddle connection과 새롭게 추가한 경계상의 2개의 ∂-saddle로 치환하는 A₂ 조작,

3) 1개의 closed orbit을, 1개의 구멍과 saddle point를 추가하여 8자를 한 2개의 homoclinic saddle connection으로 치환하는 B₀ 조작(이 패턴을 이후 Figure Eight 패턴이라고 부른다.),

4) 1개의 closed orbit을, 새롭게 추가한 구멍의 경계상에 2개의 ∂-saddle을 붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하는 것과 같은 궤도로 치환하는 B₂ 조작, 및,

5) 이미 2k개(k > 0)의 ∂-saddle을 갖는 경계에, 새롭게 2개의 ∂-saddle을 덧붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하여 내부에 새롭게 덧붙인 구멍을 두는 C 조작

이다. 여기서, 도 5는 구멍을 1개 덧붙여 구조 안정된 흐름을 구성하는 5종류의 조작을 모식적으로 나타낸 도면이다.

도 5 (a)에 나타낸 바와 같이, 조작 A₀와 A₂는 1개의 ss-orbit에 대하여 행해진다. 또, 도 5 (b)에 나타낸 바와 같이, 조작 B₀와 B₂는, 1개의 closed orbit에 대하여 행해진다. 또, 도 5 (c)에 나타낸 바와 같이, 조작 C는, 이미 ∂-saddle을 갖는 경계에 대하여 행해진다. 또한, 구조안정성을 유지하면서 그와 같은 것을 가능하게 하는 조작이, 상기의 5종류밖에 없다는 것을 수학적으로 증명 가능하다(공표 논문(2013)의 Theorem 3.1, Corollary 3.1, Theorem 3.2 참조). 이 단계를 반복하여 생기는 흐름 패턴도를, 패턴 I, II부터 시작하였을 때에는 ss-saddle connection diagram이라고 부르고, 패턴 O부터 시작하였을 때에는, saddle connection diagram이라고 부른다.

단계 SA-1에서 부여한 초기 구조의 3종류의 흐름 패턴 I, II, O로부터, 이들 조작을 행하여 1개씩 구멍을 늘림(M → M + 1)으로써, 많은 구멍을 갖는 영역에 있어서의 흐름이 귀납적으로 구성되므로, 본 실시 형태에서는, 그 조작을 나타내는 조작어의 열을 문자열이라고 간주하여 열거함으로써, 흐름장의 워드 표현(Word representation)을 얻을 수 있다. 여기서, 도 6은 2개의 구조물과 균일 흐름이 있는 경우의 구조 안정된 흐름 패턴의 전체 분류를 나타낸 도면이다. 도 6에 나타낸 바와 같이, 단연결 외부 영역 D_z(0)에 있어서의 초기 구조의 패턴 I, II에 대하여, 조작어를 부여함으로써, 이중 연결 외부 영역 D_z(1)에 있어서의 모든 흐름 패턴을 기술할 수 있다. 단, 도 6에 나타낸 모든 흐름 패턴은, 2종류(I, II)×5종류(A₀, A₂, B₀, B₂, C)의 합계 10종류로 되어 있지는 않다. 즉, 조작어는, 5종류의 조작어를 임의로 나열하여 생기는 것은 아니며, 수학적인 이유로 여러 가지 제약이 따른다.

여기서, 제약에 대하여 설명하면 이하와 같이 된다. 즉, 도 5를 이용하여 상술한 바와 같이, 조작 A₀과 A₂는, 1개의 ss-orbit에 대하여 행해지므로, 이 조작을 행하는 전제로서, 1개의 ss-orbit의 존재가 불가결이 된다. 또, 조작 B₀과 B₂는, 1개의 closed orbit에 대하여 행해지므로, 이 조작을 행하는 전제로서, 1개의 closed orbit의 존재가 불가결하다. 또, 조작 C는 ∂-saddle을 갖는 경계에 대하여 행해지므로, 이 조작을 행하는 전제로서 ∂-saddle을 갖는 경계의 존재가 불가결이 된다. 그 때문에, 패턴어를 I, II, O 중 어디부터 시작하는지에 따라서 나열법의 룰은 다르다. 상기의 제약 조건에 기초하여 도출되는, 각 패턴어 I, II, O로부터 시작되는 문자열의 나열법의 룰에 대하여, 이하에 설명한다.

먼저, 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 O의 패턴어부터 시작하는 경우에는, 다음과 같은 룰이 있다. O부터 시작되는 워드 표현에 대하여, 그것이 구조 안정된 흐름을 나타내기 위하여 이하가 필요충분히다.

O-1) 실제로 실시할 수 있는 조작은 B₀, B₂, C뿐이며, 그 결과, O부터 시작되는 워드 표현은 이들 세 개의 워드를 열거한 것이 된다.

O-2) 조작열의 워드 표현에 있어서 C의 워드가 포함되기 위해서는, 그 이전에 반드시 B₂가 존재해야만 한다.

이와 같은 문자열을 O 계열의 워드(O-Word)라고 부르고, 그 룰의 옳음은 수학적으로 증명 가능하다(공표 논문(2013)의 Lemma 3.1 참조).

다음으로, 패턴어 I부터 시작되는 워드 표현에 대해서는, 이하의 룰이 성립될 필요가 있다.

I-1) 실시 가능한 조작은 A₀, A₂, B₀, B₂, C 전부이며, 그 결과, I부터 시작되는 워드 표현은 이들 5종류의 조작어를 열거한 것이다.

I-2) 조작열의 워드 표현에 있어서, B₀ 또는 B₂의 워드가 포함되기 위해서는, 그 이전에 반드시 C나 A₀이 존재해야만 한다.

이와 같은 문자열을 I 계열의 워드(I-Word)라고 부르고, 그 룰의 옳음은 수학적으로 증명 가능하다(공표 논문(2013)의 Lemma 3.3 참조).

마지막으로, 패턴어 II부터 시작되는 워드 표현에 대해서는, 이하의 룰이 성립될 필요가 있다.

II-1) 실시 가능한 조작은 A₀, B₀, B₂, C이며, 그 결과, II부터 시작되는 워드 표현은 이들 네 개의 워드를 열거한 것이다.

II-2) 조작열의 워드 표현에 있어서 C의 워드가 포함되기 위해서는, 그 이전에 반드시 B₂가 존재해야만 한다.

이와 같은 문자열을 II 계열의 워드(II-Word)라고 부르고, 그 룰의 옳음은 수학적으로 증명 가능하다(공표 논문(2013)의 Lemma 3.4 참조).

이들 워드 표현 군(群)에 대하여, 중복되는 워드 표현이나, 포함되는 워드 표현 등을 배제함으로써 얻어지는 워드 표현을, 극대어 표현(maximal word representation)이라고 부른다. 예를 들면, 극대어 표현은, 이하의 표에서 나타난 포함 관계에 따라서, 워드 표현을 교체하여, 중복이나 포함 관계가 없는 워드 표현을 형성시켜도 된다. 또한, 하기 표에 있어서 「=」는 일치 관계, 「≤」 또는 「≥」는 포함 관계를 나타낸다. 유일한 예외는 B₂와 C이며, 이것은 교체하더라도 포함 관계가 성립되지 않으므로, 이 2개는 교체할 수 없으므로, 이것을, B₂C || CB₂라고 상징적으로 나타내고 있다. 또한, 극대어 표현을 이용하는 것은, 중복이나 포함 관계가 없어 취급하기 쉽기 때문이며, 본 실시 형태를 행하기 위하여 필수적이지는 않다. 예를 들면, 본 실시 형태의 패턴 천이 정보에 있어서, 중복이나 포함 관계를 허용하여 워드 표현이 할당되어 있으면(예를 들면, 1개의 구조 안정된 흐름 패턴에, 대응하는 복수의 워드 표현이 할당되어 있으면), 극대어 표현을 이용하는 것은 필수적이지는 않다. 또, 나중에 나타내는 알고리즘 B나 그 아종(亞種) 등과 같이 알고리즘이 1개 정해지면, 부여된 흐름에 대하여 고유의 워드 표현을 할당할 수 있다.

이상과 같이, 흐름 패턴의 워드 표현에 의해서, 그 흐름선 구조가 문자에 의해서 표현됨으로써, 일어날 수 있는 모든 흐름 패턴이 분류 가능하게 된다.

[패턴 천이 정보]

계속해서, 본 실시 형태의 패턴 천이 정보에 대하여 설명한다. 또한, 흐름장에는, 상술한 알고리즘을 사용하여 이미 고유의 극대어 표현이 라벨 부여되어 있다고 해도 된다. 단, 본 실시 형태는, 상술한 바와 같이 패턴 천이 정보에 중복이나 포함 관계를 허용하여 워드 표현의 할당을 행한다면, 극대어 표현을 이용하는 것에 한정되지 않는다.

본 실시 형태의 패턴 천이 정보는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴에 각각 극대어 표현 W₁과 W₂가 부여되어 있었을 때에, 그 2개의 흐름선 패턴이, 어떤 1개의 중간 상태를 거쳐 서로 바꿀 수 있는지 여부를 판정하여, 천이 가능한 경우에, 그 중간 상태의 흐름선 패턴의 후보를 특정한 정보이다.

본 실시 형태의, 패턴 천이 정보를 구하는 방식의 일례에 대하여 설명한다. 먼저, 부여된 구조 안정된 흐름선 패턴의 극대어 표현을 W라고 할 때, 그 「지수」를 이하와 같이 정의한다.

정의 2.1

극대어 표현 W에 대하여, a₀(W), a₂(W), b₀(W), b₂(W) 및 c(W)를 각각 W 중에 포함되는 A₀, A₂, B₀, B₂, C의 문자의 수라고 한다. 이 때, W가, O 계열의 극대어(maximal O-word), I 계열의 극대어(maximal I-word), II 계열의 극대어(maximal II-word)일 때, 그 지수(index)를 각각 이하와 같이 정의한다.

ind_O(W) = (0, 0, b₀(W), b₂(W), c(W))

ind_I(W) = (a₀(W), a₂(W) + 1, b₀(W), b₂(W), c(W))

ind_II(W) = (a₀(W) + 1, a₂(W), b₀(W), b₂(W), c(W))

또, 극대어 표현 W 중에 포함되는 문자의 부분열(반드시 서로 이웃할 필요는 없음) S를 W의 부분어(subword)라고 부른다.

정의 2.2

극대어 표현이 W = O₀O₁...O_k로 부여되어 있다고 한다. 단, O₀은 O, I, II 중 어느 1개, O_i(1 ≤ i ≤ k)는 A₀, A₂, B₀, B₂, C 중 어느 1개이다. 이 때, W에 포함되는 문자열의 일부, 즉, S = O_i1...O_il(0 ≤ i₁ <··· < i_l ≤ k)을 W의 부분어(subword)라고 부르고, S ⊆ W와 같이 기술한다.

또한, 이 정의에 있어서 i₁ = 0이 되는 경우도 허용하고 있기 때문에, 부분어 S 중에는 O, I, II와 같은 3종류의 패턴어를 나타내는 문자도 포함시킬 수 있다.

여기서, 부여된 2개의 극대어 표현 W₁, W₂에 대하여, 그들이 나타내고 있는 구조 안정된 흐름선 패턴의 위상 구조의 사이에 일어나는 천이 상태(중간 상태)를 부여한다. 이와 같은 천이 상태는, 근소한 섭동을 가함으로써 바로 2개 이상의 구조 안정된 패턴으로 변화하기 때문에, 「구조 불안정(structurally unstable)」 한 흐름선 패턴이다. 그 때문에, 중간 상태를 나타내는 흐름선을 구성하기 위해서는, 구조 불안정한 흐름장 및 흐름선 패턴을 사용할 필요가 있다. 그래서, 이하에 이러한 구조 불안정한 흐름을 구성하는 흐름의 요소를 부여한다. 도 7은 구조 불안정한 궤도의 예를 나타낸 도면이다.

도 7 (a)에 나타낸 바와 같이, 먼저, 2개의 다른 새들점을 연결하는 궤도를 헤테로클리닉 궤도(heteroclinic orbit)라고 부른다.

도 7 (b)는, 새들점과 경계상의 2개의 ∂-saddle을 연결하는 (2개의) s-∂-saddle connection을 나타내고 있다. 이와 같이, s-∂-saddle connection은, 새들점과 경계상에 있는 ∂-saddle의 사이를 연결하는 궤도이다.

도 7 (c)는, 2개의 다른 경계 위에 있는 ∂-saddle의 사이를 연결하는 (2개의) heteroclinic ∂-orbit을 나타내고 있다. 이와 같이, heteroclinic ∂-orbit은, 다른 2개의 경계상에 있는 ∂-saddle을 연결하는 궤도이다.

이러한 궤도에 의해 연결되어 있는 새들점이나 원 경계의 세트를, 이후 「heteroclinic pair」라고 부르기로 한다. 또한, 도 7 (a)(b)(c)와 같이, 이러한 heteroclinic pair를 단지 1개만 갖고, 그 이외는 모두 구조 안정인 것과 같은 비점성·비압축 흐름장을 「h-불안정(h-unstable)」, 또는 그 흐름선 패턴을 「h-불안정한 패턴(h-unstable streamline pattern)」이라고 부른다.

한편, 도 7 (d)는, 경계상에 있는 homoclinic pinching orbit을 나타내고 있다. 경계상에 있는 정칙(正則)이 아닌 정류점에서 4개의 분기되는 궤도(세퍼레이트릭스(separatrix))에 연결되어 있는 것을 「pinching point」라고 부른다. 도 7 (d)에 나타낸 바와 같이, homoclinic pinching orbit은, 4개의 분기되는 궤도 중 2개는 경계상을 나머지 2개가 서로 연결되어 있는 것과 같은 궤도를 나타낸다. 이러한 pinching point를 단지 1개만 갖고, 그 이외는 구조 안정된 것과 같은 비점성·비압축 흐름장을, 「p-불안정(p-unstable)」 또는 그 흐름선 패턴을 「p-불안정한 패턴(p-unstable streamline pattern)」이라고 부른다.

본 실시 형태에서는, 2개의 구조 안정된 흐름장의 사이의 구조 불안정한 중간 상태의 흐름선 패턴을, 이들 h-불안정 또는 p-불안정한 흐름장을 사용하여 표현한다. 여기서, 구조 불안정한 흐름장이라고 하는 것은, p-불안정한 흐름이나 h-불안정한 흐름뿐만 아니라 엄밀하게는 더 다양하면서도 복잡한 흐름장을 포함할 수 있지만, 유체 영역 내에 있어서의 「구멍」의 수가 유한하면서 변화하지 않는다는 가정 하에서는, 모든 중간 상태인 구조 불안정한 흐름장은 p-불안정 또는 h-불안정한 흐름장에 의해서 연속적으로 근사할 수 있다는 것이 수학적으로 논증 가능하고, 이 특수한 구조를 갖는 구조 불안정한 흐름장을 사용하여 중간 상태를 기술하는 것은 문제 없다(논문 「Transitions of streamline topologies for structurally stable Hamiltonian flows in multiply connected domains」 참조).

[h-불안정한 패턴]

이하에, 1개의 homoclinic pair를 갖고 그 이외에는 모두 구조 안정된 흐름선 패턴을 갖는 h-불안정한 흐름선 구조를 생성하는 14개의 조작을 정의하고, 그들이 섭동을 받았을 때에 어떠한 구조 안정된 흐름선 패턴으로 천이하는지를 그 부분어 표현과 함께 기술한다.

[구멍을 1개 추가하는 조작]

먼저, 구조 안정된 연결 외부 영역 D_z(M-1) 내에 있어서의 흐름선 패턴에 대하여, 1개의 구멍을 추가하여 D_z(M)에 있어서의 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 10개의 조작을 정의한다. 도 8은 D_z(M-1)에 있어서의 구조 안정된 흐름선 패턴으로부터 구멍을 1개 추가하여 D_z(M)에 있어서의 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 10개의 조작을 나타낸 도면이다. 도면 중의 사선의 원이 새롭게 추가된 구멍을 나타내고 있다(이하의 도면에서도 동일).

(조작 D_{0, s}와 D₀)

조작 D_{0, s}와 D₀은, 도 8 (a)에 나타낸 바와 같이, 각각 ss-(∂-)saddle connection 및 ∂-saddle connection 상에 homoclinic saddle을 1개 붙이는 조작이다. 또한, 조작을 나타내는 문자 D_{0, s}에 나타나는 아래 첨자 _s는 이 구조가, 균일 흐름의 존재를 나타내는 1-source-sink point에 직접 연결되어 있다는 것을 의미한다.

먼저, 수학적인 검토 결과, 조작 D_{0, s}는, 9종류의 h-불안정한 흐름 패턴을 생성한다. 이들 구조와 부분어 표현 및 그들을 섭동하였을 때에 얻어지는 구조 안정된 흐름선 패턴을 도 9(도 9a 내지 도 9d)에 따라서 기술한다. 도 9a 내지 도 9c는 조작 D_{0, s}에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동 및 부분어 표현을 나타낸 도면이다. 또, 도 9d는 2개의 h-불안정한 흐름 패턴을 나타내고 있다. 또한, 이하에 나타낸 도면(예를 들면, 도 9a 내지 도 9c 등)에 있어서는, 한가운데에는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 부분어 표현을, 그 좌우로 이 패턴을 섭동하여 얻어지는 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴과 그 부분어 표현을 표현하고 있다.

도 9a는 h-불안정한 흐름 패턴 ID_{0, s}와 그 섭동 패턴을 나타낸 도면이다. homoclinic saddle을 ss-∂-saddle connection의 상측에 붙이는지 하측에 붙이는지에 따라서 2종류의 패턴이 얻어진다. 쌍방 모두 섭동 후의 흐름선의 패턴은 바뀌지 않지만 구멍의 위치가 ss-∂-saddle connection의 위에서 아래로 이동한다. 섭동 후의 부분어 표현은 모두 IA₀이다. 따라서, 이 천이에 의해서, 각각의 구조 안정된 흐름장을 나타내는 극대어 표현의 사이의 지수는 변화하지 않는다.

도 9b는, h-불안정한 흐름 패턴 IID_{0 , s}와 그 섭동 패턴을 나타낸 도면이다. 이 경우도 homoclinic saddle을 추가하는 방향에 따라서 2종류의 h-불안정한 패턴이 얻어지지만, 역시 모두 섭동에 의해 부분어 표현 IIA₀를 갖는 2개의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이한다. 이 천이에 의해서, 각각의 구조 안정된 흐름장을 나타내는 극대어 표현의 사이의 지수는 변화하지 않는다.

도 9c는 h-불안정한 흐름 패턴 A₀D_{0 , s}와 그 섭동 패턴을 나타낸 도면이다. 이 경우도 조작을 실시하는 A₀의 구조 및 homoclinic saddle을 추가하는 방향에 따라서 3종류의 h-불안정한 패턴이 얻어지지만, 어느 경우나 섭동에 의해 부분어 표현 A₀A₀를 갖는 2개의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이한다. 이 천이에 의해서, 각각의 구조 안정된 흐름장을 나타내는 극대어 표현의 사이의 지수는 변화하지 않는다.

도 9d는 h-불안정한 흐름 패턴 A₂D_{0 , s}를 나타낸 도면이다. 이 경우도 homoclinic saddle을 추가하는 방향에 따라서 2종류의 h-불안정한 패턴이 얻어지지만, 이들 흐름선 패턴은, 적절한 변수 변환에 의해서, ID_{0, s}와 위상적으로 동일한 패턴이 되므로, 도 9a와 동일한 천이를 일으킨다. 워드 표현의 사이의 지수는 변화하지 않는다.

이상 D_{0, s}의 고찰에 있는 바와 같이, 조작을 실시하는 방향 등의 조합에 따라서, 예를 들면, ID_{0, s}에서는 2종류의 h-불안정한 패턴이 얻어진다. 이후의 모든 조작에 대해서도 동일한 조합에 따른 복수의 패턴이 얻어지지만, 어느 경우나 그 섭동을 행한 경우에는 완전히 동일한 워드 표현을 갖는 구조로 천이하고 있는 점,또한, 지수의 변화도 동일한 점으로부터 본질적인 차이는 없기 때문에, 이후에서는 편의상 이들 복수의 패턴 중 1개를 대표적인 것만을 채택하여 도시하고, 그 설명을 행하기로 한다. 이후, 이들을 「대표적인 패턴」이라고 부르기로 한다.

다음으로, 수학적인 검토 결과, 조작 D₀은 도 10에 나타낸 바와 같이 4종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성한다. 도 10은 조작 D₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 10 (a)는, h-불안정한 흐름선 패턴 B₂D₀과 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해서, 구조는 다르지만 동일한 부분어 표현 B₀B₂(또는 B₂B₀)를 갖는 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 따라서, 이 때 극대어 표현의 사이의 지수에 변화는 일어나지 않는다.

도 10 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 A₂CD₀과 그 섭동을 나타내고 있다. A₂CD₀의 패턴은, 적절한 변수 변환 하에서, ICD₀이 나타내는 패턴과 위상적으로 동일하기 때문에, 그 패턴의 섭동을 생각한다. 섭동에 의해 부분어 표현이 IA₀C 및 ICB₀과 다른 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 때, 극대어 표현의 지수는 ind_I(IA₀C) - ind_I(ICB₀) = (1, 0, -1, 0, 0)으로 변화한다.

도 10 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICCD₀과 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해 구조는 다르지만 동일한 부분어 표현 ICCB₀(또는 ICB₀C)을 갖는 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 10 (d)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CD₀과 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해 구조는 다르지만 동일한 부분어 표현 B₂CB₀(또는 B₀B₂C, B₂B₀C)을 갖는 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 10 (e)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CD₀과 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해 구조는 다르지만 동일한 부분어 표현 B₂CB₀(또는 B₀B₂C, B₂B₀C)을 갖는 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

(조작 E_{0, s}와 E₀)

조작 E_{0, s}와 E₀은, 도 8 (b)와 같이, homoclinic saddle connection의 궤도 내에, 새롭게 homoclinic saddle을 1개 붙이는 조작을 나타낸다. 수학적인 검토 결과, 이들 조작에 의해서 얻어지는 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동은 이하와 같다. 여기서, 도 11은 조작 E_{0, s} 및 E₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 11 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IIE_{0 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해 부분어 표현이 각각 IIA₀과 IIB₀에 대응하는 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 극대어 표현의 지수의 변화는, ind_II(IIA₀) - ind_II(IIB₀) = (1, 0, -1, 0, 0)이다.

도 11 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 A₀E_{0 , s}과 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴의 섭동에 의해 부분어 표현이 각각 A₀A₀와 A₀B₀에 대응하는 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 극대어 표현의 지수의 변화는, ind_I(A₀A₀) - ind_I(A₀B₀) = ind_II(A₀A₀) - ind_II(A₀B₀) = (1, 0, -1, 0, 0)이다.

도 11 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₀E₀와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₀B₀을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

(조작 Φ_{0 , s}와 Φ₀)

조작 Φ_{0 , s}와 Φ₀은, 모두 1개의 새들점을 2개로 분리하여, 그들 점을 새롭게 2개의 (새로운 구멍을 1개 둘러싸는) 헤테로클리닉 궤도에 의해 연결하는 도 8 (c)에 나타낸 바와 같은 조작이다. 또한, 이 조작에 의해서 Φ의 형태를 한 형상을 한 흐름선 패턴을 만들므로, 이 기호를 이용하고 있다. 수학적인 검토 결과, 이들 조작에 의해서 도 12에 나타낸 바와 같은 3종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동이 얻어진다. 도 12는 조작 Φ_{0 , s}와 Φ₀에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 12 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IIΦ_{0 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IIA₀을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 12 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 A₀Φ_{0 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 A₀A₀을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 12 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₀Φ₀와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₀B₀을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

(조작 D_{2, s}와 D₂)

ss-(∂-)saddle connection 또는 ∂-saddle connection을 절단하여, 그 절단점을 새롭게 덧붙인 경계에 연결할 수 있는 도 8 (d)와 같은 조작을 각각 조작 D_{2, s} 및 D₂라고 부른다. 먼저, 수학적인 검토 결과, D_{2, s}에 의해서 도 13에 나타낸 바와 같은 3종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴이 얻어진다. 도 13은 조작 D_{2, s}에 의해서 생성된 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 13 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ID_{2, s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IA₂를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 13 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IID_{2 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IA₀을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 13 (c)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 A₀D_{2 , s}는, 위상적으로 A₂D_{0, s}와 동일하다(도 9d 참조).

도 13 (d)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 A₂D_{2 , s}는 적당한 변수 변환에 의해 ID_{2, s}와 동일해진다(도 13 (a) 참조).

다음으로, 수학적인 검토 결과, 조작 D₂에 의해서 도 14에 나타낸 바와 같은 5종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴이 생성된다. 도 14는 조작 D₂에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 14 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂D₂와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₂B₂를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 14 (b)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 A₂CD₂는, 적당한 변수 변환 하에서 ICD₂와 동일하므로, 그 섭동을 생각한다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₂C와 ICB₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₂C) - ind_I(ICB₂) = (0, 1, 0, -1, 0)이다.

도 14 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICCD₂와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 ICCB₂(또는 ICB₂C)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 14 (d)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CD₂와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₂CB₂(또는 B₂B₂C)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 14 (e)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CCD₂와 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴은 B₂CD₂에 C를 실시한 것과 동일하므로 B₂CD₂와 동일한 부분어 변화를 부여한다(도 14 (d) 참조).

(조작 E_{2, s}와 E₂)

조작 E_{2, s}와 E₂는, homoclinic saddle connection을 절단하여, 그 절단점에 새로운 원 경계를 연결하는 도 8 (e)와 같은 조작을 나타낸다. 수학적인 검토 결과, 이 조작에 의해 도 15와 같은 3종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴이 얻어진다. 도 15는 조작 E_{2, s}와 E₂에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 15 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IIE_{2 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀와 IIB₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀) - ind_II(IIB₂) = (0, 1, 0, -1, 0)이다.

도 15 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IA₀E_{2 , s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀A₂와 IA₀B₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀A₂) - ind_I(IA₀B₂) = (0, 1, 0, -1, 0)이다.

도 15 (c)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 IIA₀E_{2 , s}는, IIE_{2 , s}에 조작 A₀을 실시한 것과 동일하다(도 15 (a) 참조).

도 15 (d)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 B₀E₂는, B₂D₀와 위상적으로 동일하다(도 10 (a) 참조).

[구멍을 2개 이상 추가하는 조작]

여기서는, 도 16에 나타낸 바와 같은 1회의 조작으로 2개 이상의 구멍을 추가하는 조작을 도입하여, 거기에서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동에 대하여 설명한다. 도 16은 2개 이상의 구멍을 추가하여 구조 안정된 흐름선 패턴으로부터 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 네 개의 조작을 나타낸 도면이다.

(조작 Ψ_s(2)와 Ψ(2))

도 16 (a)에 나타낸 바와 같이, 경계상에 있는 1개의 ss-∂-saddle을 선택하여, 거기에 연결되는 궤도 위에 1개의 saddle point와 경계에 2개의 ∂-saddles를 추가하여, 그들 사이를 2개의 s-∂-saddle connection에 의해 연결하는 조작을 Ψ_s(2)라고 부른다. 한편, 1개의 ∂-saddle을 선택하여 동일한 조작을 하는 것을 Ψ(2)라고 부른다. 이 조작에 의해, 3개의 s-∂-saddle connection이 얻어지고, 그들에 의해서 둘러싸인 새로운 2개의 구멍이 추가된다. 또한, 조작의 결과 Ψ의 형태의 흐름선 패턴이 형성되므로, 이 기호를 이용하고 있다. 또, Ψ_s(2)에 있어서의 (2)의 문자는, 이 조작에 의해서 추가되는 구멍의 수를 명시적으로 표현하고 있다.

수학적인 검토 결과, Ψ_s(2)와 Ψ(2)에 의해서 생성되는 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴은, 도 17과 도 18에 나타낸 5종류이다. 도 17은 조작 Ψ_s(2)와 Ψ(2)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다. 도 18은 조작 Ψ(2)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 17 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IΨ_s(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IA₀C를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 17 (b)에 나타낸 바와 같이, h-불안정한 흐름선 패턴 A₂Ψ_s(2)는, IΨ_s(2)와 위상적으로 동일하다(도 17 (a) 참조).

도 17 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂Ψ(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₀B₂C(또는 B₂CB₀, B₂B₀C)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 18 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICΨ(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀CC와 ICCB₀(또는 ICB₀C)을 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀CC) - ind_I(ICCB₀) = (1, 0, -1, 0, 0)이다.

도 18 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICCΨ(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 ICCCB₀(또는 ICCB₀C, ICB₀CC)을 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 18 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CΨ(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₂CCB₀(또는 B₀B₂CC, B₂B₀CC, B₂CB₀C)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 18 (d)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂CCΨ(2)와 그 섭동을 나타내고 있다. 이 패턴은, B₂CΨ(2)에 C를 실시한 것과 동일하므로, B₂CΨ(2)와 동일한 부분어 표현의 변화를 부여한다(도 18 (c) 참조).

(조작 Ξ_s(2n-1)과 Ξ(2n-1), n ≥ 2)

도 16 (b)에 나타낸 바와 같이 조작 Ξ_s(2n-1)과 Ξ(2n-1)은, 3개 이상의 임의의 홀수개의 새로운 구멍을 추가하여 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 조작이다. 구체적으로는 ∂-saddle을 이미 갖고 있는 원 경계를 1개 선택하고, 그것과는 별도의 곳에 새롭게 원 경계를 생성하여, 이 2개의 경계를 2n-1개의 heteroclinic ∂-orbit에 의해 연결하는 조작이다. 이 결과로서, ∂-orbit에 의해 둘러싸인 2n-2개의 원 경계가 추가되고, 전부 2n-1개의 구멍이 생성된다. 또한, n = 1일 때에는, 이들 조작은 D_{2, s} 및 D₂와 일치하므로, 일반성을 잃지 않고 n ≥ 2로 해도 된다. 수학적인 검토 결과, 이들 조작은, 도 19에 나타낸 바와 같이 4종류의 대표적인 h-불안정한 흐름선 패턴을 생성한다. 도 19는 조작 Ξ_s(2n-1)과 Ξ(2n-1)에 의해서 생성되는 h-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 19 (a)는 h-불안정한 흐름선 패턴 IΞ_s(2n-1)과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IA₂C^{2n -2}를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 19 (b)는 h-불안정한 흐름선 패턴 B₂Ξ(2n-1)과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 B₂C^kB₂C^{2n -2-k}(0 ≤ k ≤ n-1)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

도 19 (c)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICΞ(2n-1)과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₂C^{2n -1}과 IC^kB₂C^{2n -1-k}(1 ≤ k ≤ n)를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₂C^{2n -1}) - ind_I(ICB₂C^2n-2) = (0, 1, 0, -1, 0)이다.

도 19 (d)는 h-불안정한 흐름선 패턴 ICCΞ(2n-1)과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 동일한 부분어 표현 IC^kB₂C^{2n -k}(1 ≤ k ≤ n)를 갖는 구조가 얻어진다. 그 때문에, 지수의 변화는 없다.

이상이 h-불안정한 흐름선 패턴을 만드는 14 조작과, 그 결과 나타나는 h-불안정한 32개의 대표적인 흐름선 패턴 및 그 섭동과 부분어 표현이다. 수학적으로는, 2개의 구조 안정된 흐름장의 중간 상태로서 나타나는 h-불안정한 흐름선 패턴이, 이것밖에 없다는 것을 엄밀하게 증명할 수 있다. 이들을 모두 정리하여, 부여된 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴 W₁, W₂의 극대어 표현 중에 포함되는 부분어 S₁ 및 S₂와 지수의 차 d에 대응하여 일어날 수 있는 천이의 패턴을 정리하면, h-불안정한 패턴을 개재한 천이의 패턴 천이 정보가 얻어진다(후술하는 도 26 및 도 27 참조).

[p-불안정한 패턴]

먼저, 내부에 경계를 갖지 않는 단연결 외부 영역 D_z(0)에 있어서 1개의 pinching orbit을 갖는 기본 패턴이 존재하므로, 그것에 이름을 붙인다. 도 20은 p-불안정한 패턴 Λ와 그 섭동을 나타낸 도면이다.

(기본 패턴 Λ)

기본 패턴 Λ는, D_z(0)에 있어서의 p-불안정한 흐름선 패턴이며, 도 20 (a)에 의해 부여된다. 이 패턴을 섭동하는 기본 패턴 I과 II로 천이한다. 따라서, 이 패턴에 의해서 극대어 표현의 선두 부분의 문자를 변경하게 된다. 이 때의 극대어 표현의 지수의 변화는 ind_I(I) - ind_II(II) = (-1, 1, 0, 0, 0)이다. 한편, 도 20 (b)는 이 Λ가 만드는 구조가 1개의 ∂-saddle connection에 둘러싸인 흐름선 패턴 ΛC와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현이 IC 및 IIB₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 때의 극대어 표현의 지수의 변화는 ind_I(IC) - ind_II(IIB₂) = (-1, 1, 0, -1, 1)이다. 또한, 이 Λ 패턴을 기본 패턴으로 하여, 구조 안정된 흐름장을 만드는 조작 A₀, A₂, B₀, B₂, C를 반복해서 얻어지는 p-불안정한 흐름장에 대하여, 그 실시한 조작을 열로 나란히 얻어지는 극대어 표현을 maximal Λ-word(Λ 계열의 극대어)라고 부를 수 있으므로, 이 Λ-word의 섭동에 의해서, I-word와 II-word 사이의 천이가 일어난다. 단, Λ-word 중에 A₂의 문자가 포함되어 있을 때에는, 그 섭동에 의해서 II-word로 변화한 것은 IA₀ = IIA₂의 관계식을 사용하여, I-word로 항상 변환되는 것에 주의한다. 예를 들면, ΛA₀A₂B₀C로 표현되는 p-불안정한 흐름장을 섭동하면, IA₀A₂B₀C와 IIA₀A₂B₀C = IA₀A₀B₀C의 극대어 표현을 갖는 구조 안정된 흐름장이 얻어진다.

여기서, 도 21은 D_z(M-1)에 있어서의 구조 안정된 흐름장에 대하여, pinching orbit을 1개 추가하여 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 조작을 나타낸 도면이다.

(조작 Δ₁)

조작Δ₁은, 도 21 (a)에 나타낸 바와 같이, 임의의 원 경계에 homoclinic pinching orbit을 추가하여 구멍을 늘리는 조작을 나타내고 있다. 수학적인 검토 결과, 조작 Δ₁에 의해, 도 22나 도 23에 나타낸 바와 같은 5종류의 대표적인 p-불안정한 흐름선 패턴이 생성된다. 여기서, 도 22 및 도 23은 조작 Δ₁에 의해 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 22 (a)는 p-불안정한 흐름선 패턴 Δ₁과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 B₀과 B₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_*(B₀) - ind_*(B₂) = (0, 0, 1, -1, 0)이다(*은 O, I, II 중 어느 1개).

도 22 (b)는 p-불안정한 흐름선 패턴 IΔ₁과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀과 IC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀) - ind_I(IC) = (1, 0, 0, 0, -1)이다.

도 22 (c)는 p-불안정한 흐름선 패턴 IIΔ₁과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IIB₀과 IIB₂를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_II(IIB₀) - ind_II(IIB₂) = (0, 0, 1, -1, 0)이다.

도 22 (d)는 p-불안정한 흐름선 패턴 A₀Δ₁과 그 섭동을 나타내고 있지만, 이것은 Δ₁이 붙은 경계에 A₀을 실시한 것과 동등하다(도 22 (a) 참조).

도 22 (e)는 p-불안정한 흐름선 패턴 B₀Δ₁과 그 섭동을 나타내고 있지만, 이것은 Δ₁이 붙은 경계에 B₀을 실시한 것과 동등하다(도 22 (a) 참조).

도 23 (a)에 나타낸 바와 같이, p-불안정한 흐름선 패턴 A₂Δ₁은, IΔ₁과 위상적으로 동일하다(도 22 (b) 참조).

도 23 (b)는 p-불안정한 흐름선 패턴 B₂Δ₁과 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 B₀B₂(또는 B₂B₀)와 B₂C를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_*(B₀B₂) - ind_*(B₂C) = (0, 0, 1, 0, -1)이다(*은 O, I, II 중 어느 1개).

도 23 (c)에 나타낸 바와 같이, p-불안정한 흐름선 패턴 A₂CΔ₁은, ICΔ₁과 위상적으로 동등하다. 그 섭동에 의해 부분어 표현 ICB₀과 ICC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(ICB₀) - ind_I(ICC) = (0, 0, 1, 0, -1)이다.

도 23 (d)는 p-불안정한 흐름선 패턴 B₂CΔ₁은, B₂Δ₁에 C를 실시한 것과 동등하므로 생각할 필요는 없다(도 23 (b) 참조).

(조작 M_{1, s})

도 21 (b)에 나타낸 바와 같이, 1-source-sink point에 ss-∂-saddle connection에 의해서 연결되어 있는 ∂-saddle과 단점(端點)을 공유하는 ∂-saddle connection을 동일한 경계상에 덧붙이는 조작을 M_{1, s}라고 부른다. 이 조작에 의해서 구멍이 1개 늘어남과 동시에, 수학적인 검토 결과, 이하의 도 24에 나타낸 바와 같은 1종류의 대표적인 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성한다. 도 24는 조작 M_{1, s}에 의해서 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 24 (a)는 p-불안정한 흐름선 패턴 IM_{1, s}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀과 IC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀) - ind_I(IC) = (1, 0, 0, 0, -1)이다.

도 24 (b)는 p-불안정한 흐름선 패턴 A₂M_{1 , s}는, 적당한 변수 변환에 의해 IM_{1, s}와 동일하게 된다(도 24 (a) 참조).

(조작 M_{1, i}와 M_{1, o})

조작 M_{1, i}와 M_{1, o}는, 각각 도 21 (c)에 나타낸 바와 같이 경계상에 존재하는 ∂-saddle connection의 ∂-saddle과 단점을 공유하는 것과 같은 ∂-saddle connection을 동일한 경계상에 새롭게 추가하는 조작이다. M_{1 , i}는 ∂-saddle connection을 기존의 ∂-saddle connection의 내측에, M_{1, o}는 외측에 추가하는 것이다. 수학적인 검토 결과, 이들 조작은, 도 25에 나타낸 바와 같은 5종류의 대표적인 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성한다. 도 25는 조작 M_{1, i}와 M_{1, o}에 의해서 생성되는 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동을 나타낸 도면이다.

도 25 (a)는 p-불안정한 흐름선 패턴 B₂M_{1 , o} 및 B₂M_{1 , i}와 그 섭동을 나타내고 있다. 쌍방 모두 섭동에 의해 부분어 표현 B₂B₀와 B₂C를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_*(B₂B₀) - ind_*(B₂C) = (0, 0, 1, 0, -1)이다(*은 O, I, II 중 어느 1개).

도 25 (b) 상단(上段)은 p-불안정한 흐름선 패턴 ICM_{1 , o}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 ICB₀와 ICC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(ICB₀) - ind_I(ICC) = (0, 0, 1, 0, -1)이다.

도 25 (b) 하단(下段)은 p-불안정한 흐름선 패턴 ICM_{1 , i}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 IA₀C와 ICC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(IA₀C) - ind_I(ICC) = (1, 0, 0, 0, -1)이다.

도 25 (c)는 p-불안정한 흐름선 패턴 ICCM_{1 , i}와 그 섭동을 나타내고 있다. 섭동에 의해 부분어 표현 ICCB₀(또는 ICB₀C)과 ICCC를 갖는 다른 구조 안정된 흐름선 패턴이 얻어진다. 이 천이에 의한 지수의 변화는 ind_I(ICCB₀) - ind_I(ICCC) = (0, 0, 1, 0, -1)이다.

이상이 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 1개의 기본 패턴과 6개의 조작, 및 그들에 의해서 생성되는 13종류의 p-불안정한 흐름선 패턴과 그 섭동과 부분어 표현이다. 이외에 p-불안정한 흐름선 패턴을 생성하는 조작은 존재하지 않는 것도 수학적으로 엄밀하게 증명할 수 있다.

이상의 h-불안정한 흐름선 패턴과 p-불안정한 흐름선 패턴에 관한 전부를 정리하여, 부여된 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴 W₁, W₂의 극대어 표현 중에 포함되는 부분어 S₁ 및 S₂와 지수의 차 d에 대응하여 일어날 수 있는 천이의 패턴을 정리한 것이 도 26∼도 28에 나타낸 표이다.

도 26 및 도 27은 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 사이의 중간 상태로서 나타나는 h-불안정한 흐름선 패턴의 리스트를 나타낸 도면이다. h-불안정한 흐름선 패턴 X를 부분 구조에 갖는 천이는, W₁ 및 W₂라는 극대어 표현을 갖는 2개의 구조 안정된 흐름장에 대하여, 조건 S₁ ⊆ W₁, S₂ ⊆ W₂, ind_*(W₁) - ind_*(W₂) = d(*은 O, I, II 중 어느 1개)가 성립되어 있을 때에 일어날 수 있는 것을 나타내고 있다.

도 28은 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 사이의 중간 상태로서 나타나는 p-불안정한 흐름선 패턴의 리스트를 나타낸 도면이다. p-불안정한 흐름선 패턴 X를 부분 구조에 갖는 천이는, W₁ 및 W₂라는 극대어 표현을 갖는 2개의 구조 안정된 흐름장에 대하여, 조건 S₁ ⊆ W₁, S₂ ⊆ W₂, ind_*(W₁) - ind_*(W₂) = d(*은 O, I, II 중 어느 1개)가 성립되어 있을 때에 일어날 수 있는 것을 나타내고 있다.

이들, 도 26∼도 28에서 나타난 리스트에 있어서는, 중간 상태인 구조 불안정한 흐름장이 근사적으로 모두 망라되어 있고, 그 때문에, 리스트를 패턴 천이 정보로서 이용함으로써 천이 루트를 탐색할 수 있다.

계속해서, 상술한 본 실시 형태의 방법을 컴퓨터에 의해 실시하기 위한 장치 구성이나 처리의 상세에 대하여, 이하에 상세하게 설명한다. 또한, 이상의 본 실시 형태에 의한 방법의 전부 또는 일부를, 사람 또는 컴퓨터에 의해 실시해도 되고, 이하의 실시 형태에 의한 처리 등을 사람에 의해 실시하는 경우에 이용해도 되는 것이다.

[유체 천이 경로 취득 장치의 구성]

다음으로, 본 실시 형태에 있어서의 유체 천이 경로 취득 장치의 구성에 대하여 도 29를 참조하여 설명한다. 도 29는 본 실시 형태가 적용되는 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 일례를 나타낸 블럭도이며, 당해 구성 중 본 실시 형태에 관계된 부분만을 개념적으로 나타내고 있다.

도 29에 나타낸 바와 같이, 본 실시 형태에 있어서의 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 개략적으로, 제어부(102)와 기억부(106)를 적어도 구비하고, 본 실시 형태에 있어서, 추가로, 입출력 제어 인터페이스부(108)와 통신 제어 인터페이스부(104)를 구비한다. 여기서, 제어부(102)는, 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 전체를 통괄적으로 제어하는 CPU 등이다. 또, 통신 제어 인터페이스부(104)는, 통신 회선 등에 접속되는 라우터 등의 통신 장치(도시 생략)에 접속되는 인터페이스이고, 입출력 제어 인터페이스부(108)는, 입력 장치(112)나 출력 장치(114)에 접속되는 인터페이스이다. 또, 기억부(106)는, 각종의 데이터베이스나 테이블 등을 격납하는 장치이다. 이들 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 각 부(部)는 임의의 통신로를 개재하여 통신 가능하게 접속되어 있다. 또, 이 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 라우터 등의 통신 장치 및 전용선 등의 유선 또는 무선의 통신 회선을 개재하여, 네트워크(300)에 통신 가능하게 접속되어 있다.

기억부(106)에 격납되는 각종의 데이터베이스나 테이블(시뮬레이션 결과 파일(106a), 흐름선도 파일(106b) 및 패턴 천이 파일(106c) 등)은, 고정 디스크 장치 등의 스토리지 수단이다. 예를 들면, 기억부(106)는, 각종 처리에 이용하는 각종의 프로그램, 테이블, 파일, 데이터베이스 및 웹페이지 등을 격납한다.

이들 기억부(106)의 각 구성 요소 중, 시뮬레이션 결과 파일(106a)은, 시뮬레이션부(102a)에 의해 실험적 또는 수리적으로 시뮬레이션된, 시뮬레이션 결과를 나타내는 데이터를 기억하는 시뮬레이션 결과 기억 수단이다. 예를 들면, 시뮬레이션 결과 파일(106a)은, 물체가 받는 힘이나 물체 주변의 흐름에 관한 실험 결과 또는 수치 계산 결과를 기억해도 된다. 일례로서, 시뮬레이션 결과 파일(106a)은, 구조물의 형상을 나타내는 설계 변수의 값이나, 그 구조물에 대한 소정의 유체(해류나 기류 등)의 유체역학적 시뮬레이션 결과(각 공간 좌표에 있어서의 유체의 압력이나 흐름의 방향 등)를 나타내는 데이터여도 된다. 또한, 시뮬레이션 결과 파일(106a)은, 풍동(風洞) 실험 등의 실험실 내에서의 모델 계측 등을 통하여 사전에 입력 장치(112)를 개재하여 입력된 데이터를 시뮬레이션 결과로서 기억해도 된다. 시뮬레이션 결과 파일(106a)에 기억되는 데이터는, 수치 계산 결과에 한정되지 않고, 실험실 내에서의 모델 계측 등을 통하여 얻은 데이터여도 된다. 실험 결과이더라도, 그들 데이터를 가시화하거나 계산기 등으로 처리를 하여, 흐름선도라는 흐름의 형태를 잡는 스냅샷으로서 표현할 수 있다.

또, 흐름선도 파일(106b)은, 흐름선도 등의 흐름선을 나타내는 데이터를 기억하는 흐름선 데이터 기억 수단이다. 예를 들면, 흐름선도 파일(106b)에 기억되는 흐름선 데이터는, 시뮬레이션 결과를 나타내는 데이터에 기초하여 흐름선 해석부(102b)에 의해 해석된 흐름선을 나타내는 데이터여도 된다.

또, 패턴 천이 파일(106c)은, 패턴 천이 정보를 기억하는 대응 관계 정보 기억 수단이다. 예를 들면, 패턴 천이 파일(106c)은, 위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억한다. 또한, 각 흐름 패턴은 워드 표현에 의해 식별되어도 된다. 일례로서, 패턴 천이 파일(106c)에 기억되는 워드 표현 데이터는, 패턴어와 조작어의 조합으로 이루어지는 문자열 등이다. 예를 들면, 구조 안정된 흐름 패턴은, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어(예를 들면, I, II, O)에 대하여, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어(예를 들면, A₀, A₂, B₀, B₂, C) 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 워드 표현에 의해서 식별되어도 된다.

그리고, 패턴 천이 파일(106c)에 기억되는 패턴 천이 정보는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 워드 표현의 조작어의 변화 정보(지수의 차 d 등)를 포함해도 된다. 일례로서, 패턴 천이 파일(106c)에 기억되는 패턴 천이 정보는, 도 26∼도 28에 나타낸 바와 같이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴 X를 개재하여 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴의 부분어 S₁, S₂와 함께, 지수 차 d를 대응지어 기억한 데이터이다. 또한, 링크와 노드에 의한 경로 탐색 수법을 이용하는 경우에는, 구조 안정된 흐름 패턴을 노드에 설정하고, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이에서 1개의 중간 상태를 개재하여 천이 가능한 경우에, 대응하는 노드 사이에 링크를 설정해도 된다. 또한, 패턴 천이 파일(106c)의 패턴 천이 정보는, 워드 표현에 의해 흐름 패턴이 식별되는 것에 한정되지 않고, 그 외의 식별 정보(연번 숫자나 기호 등) 등에 의해 식별되어 있어도 된다. 예를 들면, 유한개 N의 구멍을 갖는 연결 외부 영역에 있어서, 흐름 패턴도에 대하여 식별 번호를 모두 할당해 두고, 흐름 패턴끼리가 1회에 의해 천이 가능한 경우에, 그 2개의 흐름 패턴의 식별 번호를 대응지어 리스트화하여 패턴 천이 정보로 해도 된다. 이에 의해, 워드 표현을 이용하지 않더라도, 흐름 패턴도의 일람을 출력 장치(114)에 표시하여, 이용자가 입력 장치(112)를 개재하여 흐름 패턴도를 선택함으로써, 흐름 패턴을 지정하여, 대응하는 식별 번호로부터 천이 루트를 탐색하는 것이 가능하게 된다.

도 29로 되돌아가서, 입출력 제어 인터페이스부(108)는, 입력 장치(112)나 출력 장치(114)의 제어를 행한다. 여기서, 출력 장치(114)로서는, 모니터(가정용 텔레비전을 포함한다.) 외에, 스피커를 이용할 수 있다 (또한, 이하에 있어서는 출력 장치(114)를 모니터로서 기재하는 경우가 있음). 또, 입력 장치(112)로서는 키보드, 마우스 및 마이크 등을 이용할 수 있다.

또, 도 29에 있어서, 제어부(102)는, OS(Operating System) 등의 제어 프로그램이나, 각종의 처리 순서 등을 규정한 프로그램, 및 소요 데이터를 격납하기 위한 내부 메모리를 갖는다. 그리고, 제어부(102)는, 이들 프로그램 등에 의해, 여러 가지 처리를 실행하기 위한 정보 처리를 행한다. 제어부(102)는, 기능개념적으로, 시뮬레이션부(102a), 흐름선 해석부(102b), 워드 표현 형성부(102c) 및 천이 정보 취득부(102g)를 구비한다.

이 중, 시뮬레이션부(102a)는, 구조물 등의 물체에 대한 유체의 시뮬레이션을 행하는 시뮬레이션 수단이다. 예를 들면, 시뮬레이션부(102a)는, 구조물에 대한 유체의 시뮬레이션을 실험적 또는 수리적으로 행하여, 물체가 받는 힘이나 물체 주변의 흐름의 실험 결과 또는 수치 계산 결과를 취득해도 된다. 여기서, 시뮬레이션부(102a)는, 이차원 평면에 있어서의 시뮬레이션에 한정되지 않고, 삼차원 공간에 있어서의 유체의 시뮬레이션을 행해도 되는 것이다. 또한, 본 실시 형태에 있어서, 시뮬레이션부(102a)는, 시뮬레이션 결과를 나타내는 데이터를 시뮬레이션 결과 파일(106a)에 격납한다. 예를 들면, 시뮬레이션부(102a)는, 구조물의 형상을 나타내는 설계 변수의 값이나, 그 구조물에 대한 소정의 유체(해류나 기류 등)의 유체역학적 시뮬레이션 결과(각 공간 좌표에 있어서의 유체의 압력이나 흐름의 방향이나 저항 등)를 나타내는 데이터를 격납해도 된다. 여기서, 시뮬레이션부(102a)는, 공지의 유체역학 계산 수법으로서, 나비에 스토크스 방정식이나 유한요소법이나 유한차분법, 유한체적법 등을 이용해도 된다.

또한, 시뮬레이션부(102a)는, 공지의 최적화 수법을 이용하여, 구조물의 최적화를 행해도 된다. 예를 들면, 시뮬레이션부(102a)는, 구조물의 형상을 결정하는 설계 변수를, 소둔법(燒鈍法)이나 유전적 알고리즘법 등을 이용하여 반복해서 변화시키면서, 당해 구조물에 대한 유체 시뮬레이션을 행하여, 적절한 구조물의 형상(예를 들면, 수류에 대한 저항이 적은 교각의 형상 등)을 구해도 된다. 그 때, 시뮬레이션부(102a)는, 천이 정보 취득부(102g)에 의해 취득된 천이 정보에 의한 천이 루트를 참조하여, 최적화를 행해도 된다. 예를 들면, 현재의 구조물의 형상과 배치에 의한 흐름선 패턴을 출발점으로 하고, 이상적인 흐름선 패턴을 도달점으로 한 천이 루트가 천이 정보 취득부(102g)에 의해 얻어진 경우, 시뮬레이션부(102a)는, 천이 루트에 있어서 현재의 흐름선 패턴으로부터 다음의 흐름선 패턴을 찾아내도록 구조물의 형상이나 배치를 변경하면서, 이상적인 흐름선 패턴에 접근해 감으로써, 구조물의 형상이나 배치의 최적화를 행해도 된다.

또, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선 해석을 행하는 흐름선 해석 수단이다. 여기서, 흐름선 해석부(102b)는, 시뮬레이션부(102a)에 의한 시뮬레이션 결과에 대하여 흐름선 해석을 행하여 흐름선도를 도출해도 된다. 예를 들면, 흐름선 해석부(102b)는, 시뮬레이션 결과 파일(106a)에 기억된, 물체 주변의 흐름의 실험 결과(실험의 데이터 등) 또는 수치 계산 결과(수치 시뮬레이션 결과 등)로부터, 공지의 수법을 이용하여 흐름선도를 작성한다. 구체적으로는, 흐름선 해석부(102b)는, 수치 시뮬레이션 결과로부터, saddle point나 ∂-saddle 등을 모두 계산한 후, 그 점에 있어서의 흐름 함수의 값과 동일한 값을 갖는 흐름 함수의 등고선을 모두 묘화하고, 또한, 경계(boundary)상의 흐름 함수의 값과 동일한 값을 갖는 흐름 함수의 등고선을 모두 묘화함으로써 흐름선도의 작성이 가능하게 된다. 또한, 삼차원의 시뮬레이션 결과의 경우, 흐름선 해석부(102b)는, 구조물에 있어서의 단면에 있어서의 이차원의 데이터로 변환하고 나서, 흐름선 해석을 행해도 된다. 단면으로 하는 평면은 임의이지만 바람직하게는, 흐름선 해석부(102b)는, 유체의 흐름 방향(균일 흐름)의 방향을 따른 단면에서 이차원 데이터로 변환해도 된다. 예를 들면, 열차나 자동차나 항공기 등의 탈것에 있어서는, 진행 방향을 따라서 단면을 생성해도 된다. 또, 흐름선 해석부(102b)는, Computational Homology에 기재된 기술 등을 이용하여, 흐름장으로부터 조건을 만족시키는 특징적인 구조를 추출해도 된다(「Tomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek 저 "Computational Homology" Springer, 2000년」 참조). 또한, 본 실시 형태에 있어서, 흐름선 해석부(102b)는, 작성한 흐름선도 데이터를 흐름선도 파일(106b)에 격납한다.

또, 워드 표현 형성부(102c)는, 흐름선 해석부(102b)에 의해 취득된 흐름선도에 기초하여, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴을 규정하는 워드 중 어느 1개의 워드(패턴어 I, II)와 함께, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 워드(조작어 A₀, A₂, B₀, B₂, C) 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써, 물체 주변의 흐름의 흐름 패턴을 나타내는 워드 표현을 형성시키는 워드 표현 형성 수단이다. 또한, 워드 표현 형성부(102c)는, 워드 표현을 위하여 필요하다면, 중간 상태의 흐름 패턴을 표현하기 위한 패턴어(Λ)나 조작어(D₀나 E_{0, s}나 Φ₀나 D₂나 M_{1, i} 등)를 이용해도 된다. 여기서, 워드 표현 형성부(102c)는, 도 29에 나타낸 바와 같이, 패턴어 부여부(102d), 조작어 부여부(102e) 및 극대어 표현부(102f)를 구비한다.

이 중, 패턴어 부여부(102d)는, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴을 규정하는 워드(예를 들면, 패턴어 I, II) 중 어느 1개의 워드를 부여하는 패턴어 부여 수단이다. 여기서, 패턴어 부여부(102d)는, 상기에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 워드(즉, 패턴어 I, II, O) 중 어느 1개의 워드를 부여해도 된다. 보다 구체적으로는, 3종류의 흐름 패턴은,

1) 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴 I,

2) 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴 II, 및

3) 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴 O

이다.

여기서, 패턴어 부여부(102d)는, 흐름선도로부터 워드 표현을 구하는 알고리즘(「알고리즘 B」라고 부른다.)에 있어서, 흐름선도에, ss-∂-saddle connection이 존재하는지 여부를 판정하고, ss-∂-saddle connection이 존재하는 경우에 패턴 I의 워드를 부여하는 I 분류 단계와, I 분류 단계에 있어서 ss-∂-saddle connection이 존재하지 않는 경우에, 흐름선도에 있어서 ss-saddle connection이 존재하는지 여부를 판정하고, ss-saddle connection이 존재하는 경우에 패턴 II의 워드를 부여하고, 한편, ss-saddle connection이 존재하지 않는 경우에 패턴 O의 워드를 부여하는 II/O 분류 단계를 행해도 된다. 이에 의해, 패턴어 부여부(102d)는, 흐름선도가 속하는 계열(I 계열, II 계열, O 계열)을 적절하게 판별할 수 있다.

또, 조작어 부여부(102e)는, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 워드(예를 들면, 조작어 A₀, A₂, B₀, B₂, C) 중 어느 1개의 워드를 반복해서 부여함으로써, N개의 구멍을 갖는 다중 연결 외부 영역에 대응하는 워드 표현을 형성시키는 조작어 부여 수단이다. 보다 구체적으로는, 5종류의 조작은

1) 1개의 ss-orbit을, 1개의 saddle point, 그것을 연결하여 내부에 구멍을 갖는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection으로 치환하는 A₀ 조작,

2) 1개의 ss-orbit을, 2개의 ss-∂-saddle connection과 새롭게 추가한 경계상의 2개의 ∂-saddle로 치환하는 A₂ 조작,

3) 1개의 closed orbit을, 1개의 구멍과 saddle point를 추가하여 8자를 한 2개의 homoclinic saddle connection으로 치환하는 B₀ 조작,

4) 1개의 closed orbit을, 새롭게 추가한 구멍의 경계상에 2개의 ∂-saddle을 붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하는 것과 같은 궤도로 치환하는 B₂ 조작, 및

5) 이미 2k개(k > 0)의 ∂-saddle을 갖는 경계에, 새롭게 2개의 ∂-saddle을 덧붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하여 내부에 새롭게 덧붙인 구멍을 두는 C 조작

이다.

여기서, 조작어 부여부(102e)는, 이하의 제약 조건에 따라서 조작어를 부여해도 된다. 즉, 조작어 부여부(102e)는, 5종류의 조작어를 부여하는 경우에,

1) 1개의 ss-orbit이 존재하는 것을 조건으로, 조작어 A₀ 또는 A₂를 부여하고,

2) 1개의 closed orbit이 존재하는 것을 조건으로, 조작어 B₀ 또는 B₂를 부여하고,

3)∂-saddle을 갖는 경계가 존재하는 것을 조건으로, 조작어 C를 부여해도 된다. 또한, 당해 제약 조건에 따른 조작어 부여부(102e)의 구체적인 처리의 상세에 대해서는, 플로우차트를 참조하여 후술한다. 또, 본 실시 형태에 있어서, 조작어 부여부(102e)는, 패턴어에 대하여 부여한 조작어의 문자열인 워드 표현을 패턴 천이 파일(106c)에 격납해도 된다.

또, 극대어 표현부(102f)는, 패턴어 부여부(102d) 및 조작어 부여부(102e)에 의해 형성된 워드 표현(패턴어 및 조작어의 조합으로 이루어지는 문자열)을 극대어로 변환하는 극대어 표현 수단이다. 즉, 모든 취할 수 있는 흐름 패턴을 뽑아 쓰는 알고리즘(이하, 「알고리즘 A」라고 부른다.)에 있어서, 패턴어 부여부(102d) 및 조작어 부여부(102e)에 의해 형성된 워드 표현 군은, 흐름 패턴을 모두 뽑아 쓰고 있기는 하지만, 서로 동일한 흐름 패턴을 규정한 워드 표현이나, 서로 포함 관계가 되는 흐름 패턴을 규정한 워드 표현이 존재한다. 그래서, 극대어 표현부(102f)는, 이들 워드 표현 군에 대하여, 중복되는 워드 표현이나, 포함되는 워드 표현 등을 배제함으로써, 극대어 표현(maximal word representation)이라고 하는 처리를 행한다. 예를 들면, 극대어 표현부(102f)는, 이하의 표에서 나타나는 포함 관계에 따라서, 워드 표현을 교체하여 극대어 표현을 형성시킨다. 또한, 하기 표에 있어서 「=」은 일치 관계, 「≤」 또는 「≥」는 포함 관계를 나타낸다. 유일한 예외는 B₂와 C이며, 이것은 교체하더라도 포함 관계가 성립되지 않으므로, 이 2개는 교체할 수 없으므로, 이것을 B₂C || CB₂로 상징적으로 나타내고 있다. 또한, 당해 관계식에 따른 극대어 표현부(102f)의 구체적인 처리의 상세에 대해서는, 플로우차트를 참조하여 후술한다.

또, 천이 정보 취득부(102g)는, 패턴 천이 파일(106c)의 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 수단이다. 예를 들면, 천이 정보 취득부(102g)는, 입력 장치(112)를 개재하여 이용자로부터 지정된 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하여, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트를 탐색해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g)는, 시뮬레이션부(102a)에 의한 시뮬레이션 결과에 의한 지정된 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하여, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트를 탐색해도 된다. 예를 들면, 시뮬레이션부(102a)에 의한 시뮬레이션 결과를 흐름선 해석부(102b)에 의해 해석함으로써 얻어진 흐름선도에 대하여, 워드 표현 형성부(102c)에 의해 형성된 워드 표현을, 지정된 흐름 패턴의 출발점으로 하고, 미리 지정된 이상으로 하는 흐름 패턴을 도달점으로 해도 된다. 그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 탐색하여 얻어진 천이 루트의 천이 정보를 시뮬레이션부(102a)로 되돌려보냄으로써, 시뮬레이션부(102a)에 의한 최적화 수법의 지표로 해도 된다.

여기서, 천이 정보 취득부(102g)는, 모든 취할 수 있는 천이 루트를 취득해도 되고, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여 최단의 천이 루트만을 취득해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g)는, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 천이를 1회의 천이로 하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 횟수를 포함하는 천이 정보를 취득해도 된다.

여기서, 천이 정보 취득부(102g)는, 도로 등의 경로 탐색과 마찬가지로, 링크와 노드에 의한 그래프 이론을 이용하여, 천이 루트를 탐색해도 된다. 그 경우, 천이 정보 취득부(102g)는, 구조 안정된 흐름 패턴을 노드로서 취급하고, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 1회의 천이를 링크로서 취급해도 된다. 예를 들면, 현재의 구조물의 형상과 배치에 의한 흐름 패턴을 출발점으로 하고, 이상으로 하는 흐름 패턴을 도달점으로 하여 설정된 경우에 대하여 설명한다. 일례로서, 천이 정보 취득부(102g)는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴을 출발점으로 하여, 패턴 천이 정보를 참조하여, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 2번째의 구조 안정된 흐름 패턴을 모두 뽑아 쓴다. 그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 2번째의 구조 안정된 흐름 패턴의 각각을 출발점으로 하여, 패턴 천이 정보를 참조하여, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 3번째의 구조 안정된 흐름 패턴을 모두 뽑아 쓴다. 이와 같이 순차적으로 탐색 범위를 넓혀감으로써, 도달점으로서 설정된 이상 흐름 패턴에 겨우 도달한 경우에, 천이 정보 취득부(102g)는, 반복 처리를 종료하여, 그 도달점에 이르기까지의 천이 루트를 최단 루트로서 출력해도 된다. 이와 같이, 천이 정보 취득부(102g)는, 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 정보를 취득해도 된다. 또한, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이에 천이 루트가 없는 경우에는, 천이 불가능이라는 결과를 천이 정보로서 취득한다. 또한, 천이 정보 취득부(102g)는, 취득한 천이 정보를, 모니터 등의 출력 장치(114)에 출력해도 되고, 시뮬레이션부(102a)에 의한 최적화를 위하여 참조하게 해도 되고, 시뮬레이션 결과 파일(106a) 등의 기억부(106)에 격납해도 된다.

여기서, 천이 정보 취득부(102g)는, 워드 표현의 조작어의 수의 변화(조작어의 수의 증감 등)를 지표로 하여, 효율적인 천이 루트 탐색을 행해도 된다. 즉, 패턴 천이 파일(106c)에 있어서, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 워드 표현의 조작어의 변화 정보가 패턴 천이 정보에 기억되어 있는 경우, 천이 정보 취득부(102g)는, 지정된 2개의 워드 표현의 조작어의 변화를, 패턴 천이 정보에 조회하여, 대응하는 흐름 패턴을 추출해도 된다. 보다 구체적으로는, 천이 정보 취득부(102g)는, 부여된 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴 W₁, W₂에 대하여, 워드 표현 형성부(102c)에 의해 형성된 극대어 표현의 지수의 차 d를 구하고, 그 차 d를 갖는 천이 패턴을 도 2∼도 28에 나타낸 바와 같은 패턴 천이 정보로부터 찾아냄으로써, 천이 정보를 취득해도 된다.

이상이, 본 실시 형태에 있어서의 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 구성의 일례이다. 또한, 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 네트워크(300)를 개재하여 외부 시스템(200)에 접속되어도 된다. 이 경우, 통신 제어 인터페이스부(104)는, 유체 천이 경로 취득 장치(100)와 네트워크(300)(또는 라우터 등의 통신 장치)와의 사이에 있어서의 통신 제어를 행한다. 즉, 통신 제어 인터페이스부(104)는, 그 외의 단말과 통신 회선을 개재하여 데이터를 통신하는 기능을 갖는다. 또, 네트워크(300)는, 유체 천이 경로 취득 장치(100)와 외부 시스템(200)을 서로 접속하는 기능을 갖고, 예를 들면, 인터넷 등이다.

또, 외부 시스템(200)은, 네트워크(300)를 개재하여, 유체 천이 경로 취득 장치(100)와 서로 접속되고, 실험 결과나 수치 계산 결과 등의 시뮬레이션 결과 데이터나 흐름선도 데이터 등의 각종 데이터에 관한 외부 데이터베이스나, 접속된 정보 처리 장치에 유체 천이 경로 취득 방법을 실행시키기 위한 프로그램 등을 제공하는 기능을 갖는다.

여기서, 외부 시스템(200)은, WEB 서버나 ASP 서버 등으로 구성되어 있어도 된다. 또, 외부 시스템(200)의 하드웨어 구성은, 일반적으로 시판되는 워크스테이션, 퍼스널 컴퓨터 등의 정보 처리 장치 및 그 부속 장치에 의해 구성되어 있어도 된다. 또, 외부 시스템(200)의 각 기능은, 외부 시스템(200)의 하드웨어 구성 중의 CPU, 디스크 장치, 메모리 장치, 입력 장치, 출력 장치, 통신 제어 장치 등 및 그들을 제어하는 프로그램 등에 의해 실현된다.

이상으로, 본 실시 형태의 구성의 설명을 마친다.

[유체 천이 경로 취득 장치(100)의 처리]

다음으로, 이와 같이 구성된 본 실시 형태에 있어서의 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 처리의 일례에 대하여, 이하에 도면을 참조하여 상세하게 설명한다. 도 30은 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.

도 30에 나타낸 바와 같이, 먼저, 천이 정보 취득부(102g)는, 구조 안정된 흐름 패턴을 지정시키도록 제어한다(단계 S-1). 예를 들면, 천이 정보 취득부(102g)는, 이용자에게, 입력 장치(112)를 개재하여, 흐름 패턴을 지정시키도록 제어해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g)는, 시뮬레이션부(102a)에 의한 시뮬레이션 결과에 기초하여 흐름선 해석부(102b)에 의해 얻어진 흐름선도를, 지정 흐름 패턴으로 해도 된다. 또한, 천이 정보 취득부(102g)는, 워드 표현에 기초하여 경로 탐색을 행하는 경우에는, 지정된 흐름선도나 흐름 패턴을, 워드 표현 형성부(102c)에 의해서 워드 표현으로 변환한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴에 대응하는, 패턴 천이 정보를 참조한다(단계 S-2). 예를 들면, 서로 1회의 중간 상태를 거쳐 천이 가능한 구조 안정된 흐름 패턴이, 워드 표현으로서 대응지어 패턴 천이 파일(106c)에 격납되어 있는 경우, 천이 정보 취득부(102g)는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 일치하는 패턴 천이 정보를 검색하여, 천이 가능한 흐름 패턴을 순차적으로 탐색해도 된다. 또한, 2개의 상기 구조 안정된 흐름 패턴이 지정되어 있는 경우, 천이 정보 취득부(102g)는, 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴을 향하여, 순차적으로 탐색해도 되고, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 위상적인 차(예를 들면, 지수의 차)에 기초하여 탐색해도 된다. 후자의 처리의 상세에 대해서는 후술한다. 이 외에, 천이 정보 취득부(102g)는, 공지의 경로 탐색 수법이나, 공지의 최단 경로 탐색 수법(다익스트라 법 등)을 이용하여, 천이 루트의 탐색을 행해도 된다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 탐색한 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득한다(단계 S-3). 예를 들면, 1개의 흐름 패턴이 지정된 경우에, 천이 정보 취득부(102g)는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 소정의 천이 횟수에 걸쳐, 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득해도 된다. 또한, 천이 정보 취득부(102g)는, 구조 안정된 흐름 패턴에 관한 정보뿐만아니라, 그 중간의 구조 불안정한 흐름 패턴에 관한 정보를 천이 정보에 포함시켜도 된다. 또한, 2개의 흐름 패턴이 지정된 경우에, 천이 정보 취득부(102g)는, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴(W₁)으로부터 타방의 구조 안정된 흐름 패턴(W₂)에 이르기까지의 천이 정보를 취득해도 된다. 그 때, 천이 정보 취득부(102g)는, 천이 횟수가 최소가 되는 천이 루트를 천이 정보로서 취득해도 된다. 또한, 천이 정보 취득부(102g)는, 천이 루트를 흐름선도나 흐름 패턴의 도형으로 한 천이 정보를 취득해도 되고, 워드 표현으로 기술한 천이 정보를 취득해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g)는, 취득한 천이 정보를 출력 장치(114)에 표시 출력해도 되고, 기억부(106)에 격납해도 되고, 시뮬레이션부(102a)에 의한 최적화 처리를 위하여 참조시켜도 된다.

이상이, 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 처리의 일례이다.

[지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리]

여기서, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례에 대하여 이하에 도면을 참조하여 상세하게 설명한다. 도 31은 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 있어서의, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다. 또한, 이하의 예에서는, 패턴 천이 정보로서, h-불안정 및 p-불안정한 흐름선 패턴의 섭동과 그 부분어 표현에 관하여 얻어진 도 26∼도 28의 리스트를 이용하고 있다. 또, 입력으로서, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴과 그 극대어 표현 W₁과 W₂가 지정되어 있고, 극대어 표현으로부터 판정되는 천이의 가능성 X의 리스트를 천이 정보로서 출력하는 것을 전제로 하여 설명한다.

먼저, 천이 정보 취득부(102g)는, 상술한 단계 S-1과 마찬가지로, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴을 지정시킨다(단계 S-11).

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴에 대응하는 워드 표현 W₁, W₂를 취득한다(단계 S-12). 예를 들면, 흐름선도가 지정된 경우, 천이 정보 취득부(102g)는, 워드 표현 형성부(102c)의 처리에 의해, 대응하는 워드 표현 W₁, W₂를 취득한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 워드 표현 W₁과 W₂의 차 d를 계산한다(단계 S-13). 즉, 천이 정보 취득부(102g)는, 적당한 *을 I, II, O로부터 선택하여, d = ind_*(W₁) - ind_*(W₂)를 계산한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 차 d를 갖는 천이 패턴 X를, 패턴 천이 정보(도 26∼도 28의 표)로부터 도출한다(단계 S-14). 또한, 차 d를 갖는 천이 패턴 X가 일치하지 않는 경우에는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴은 1회의 천이에 의해 서로 바뀔 수 없다는 취지를 나타내는 천이 정보로 해도 되고, 또는, 복수 회의 천이에 의해 서로 바뀔 수 있는 천이 루트를 탐색해도 된다. 예를 들면, k회의 천이에 의해 서로 바뀔 수 있다고 하여, 천이 정보 취득부(102g)는, d = ind_*(W₁) - ind_*(W₂) = d₁ + d₂ + ···· + d_k가 되는 것과 같은, 천이 패턴 X₁, X₂, ···, X_k의 조합을 도출해도 된다. 또한, 천이할 때의 서로 이웃하는 흐름선 패턴끼리는, 워드 표현이 동일(부분열을 공유)해야만 한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 차 d를 갖는 천이 패턴 X를 리스트로부터 모두 찾아내고(단계 S-14), 각 천이 패턴 X에 대응하는 부분열 S₁과 S₂를 취득한다(단계 S-15). 또한, 상술한 복수 회의 천이를 가정하는 경우, 천이 패턴 X₁, X₂, ···, X_k에 대하여, 각각 부분열 S₁₁과 S₂₁∼S_1k와 S_2k를 구한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g)는, 부분열 S₁과 S₂에 대하여, 이들이 각각 W₁과 W₂의 부분어가 되어 있는지를 조사하고, 부분어가 되어 있는 경우에는, 천이후보로서 천이 정보에 포함시킨다(단계 S-16). 즉, S₁ ⊆ W₁ 또한 S₂ ⊆ W₂인지를 조사한다. 만약 이것이 성립되어 있던 경우에는 X를 천이의 후보로서 취득하고, 그렇지 않으면 기각한다. 또한, 상술한 복수 회의 천이를 가정하는 경우, 천이할 때의 서로 이웃하는 흐름선 패턴끼리가, 부분열을 공유하도록 줄 바꿈을 행한다. 만약, 부분열을 공유하는 줄이 있으면, 그 순열(順列)을 천이 후보로서 취득하고, 부분열을 공유하는 줄이 없으면 기각한다. 부분열을 공유하는 줄이 생기면, 끝의 W₁ 또는 W₂로부터 순서대로 더듬어 가서, 천이 루트에 있어서의 워드 표현의 전체를 순차적으로 결정해 가는 것도 가능하다.

이상이, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례이다. 또한, h-불안정 및 p-불안정한 흐름선 패턴의 섭동과 그 부분어 표현에 관하여 얻어진 도 26∼도 28의 리스트를 패턴 천이 정보로서 이용한 예에서는, 천이 후보의 패턴 X는, 일어날 수 있는 천이의 후보(필요 조건)를 부여하는 것뿐이며, 그것에 대응하는 중간 상태가 실제로 실현될 수 있는지 여부는, 그 부분어에 대응하여 얻어져 있는 구조가 실제로 존재하는지(충분성)를 확인할 필요가 있다. 그것이 확인되면, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴의 중간 상태로서의 p-불안정 또는 h-불안정한 흐름선 패턴을 실제로 써내려갈 수도 있다. 또한, 이 충분성의 확인 부분에 대하여, 흐름선 구조의 패턴 매칭에 대하여 사람의 손으로 행해도 되고, 공지의 패턴 매칭 기술을 이용하여 행해도 된다.

[실시예]

여기서, 시뮬레이션 결과를 이용한 실시예에 대하여 설명한다. 전제로서, 균일 흐름 중에 놓인 물체에 대하여, 어떤 기간에 있어서의, 물체가 받는 힘과 물체 주변의 흐름의 실험 결과 또는 수치 계산 결과를 기억하고 있다. 여기서, 물체가 받는 힘은, 균일 흐름에 의해서 물체가 받는 힘이며, 구체적으로는 양력(揚力)(lift)이나 항력(抗力)(drag)이며, 일례로서, 양항비(양력과 항력의 비)여도 된다.

여기서, 도 32는 이차원 외부 영역 내에 있어서, 유한한 두께를 갖는 얇은 한 장의 평판이, 균일 흐름 중의 물체로서, 균일 흐름에 대하여 일정 각도로 기울어 놓여져 있는 경우를 모식적으로 나타낸 도면이다. 도면 중의 기호 U는 균일 흐름을 나타내고, cl은 평판의 긴 변의 길이, θ는 균일 흐름에 대한 각도, Lx 및 Ly는 x축 방향과 y축 방향의 길이로 이루어지는, 계산 대상의 직사각형 영역을 나타내고 있다.

도 32에 나타낸 바와 같이, 예를 들면, 항공기나 열차나 자동차 등의 물체에 있어서는, 진행 방향을 따라서 상대적으로 무한 원점으로부터의 균일 흐름이 발생하므로, 이 균일 흐름을 따른 이차원 단면을 가정하여, 균일 흐름 중에 놓인 물체에 대하여, 어떤 기간에 있어서의, 물체가 받는 힘과 물체 주변의 흐름을, 시뮬레이션에 의하여 얻는 것을 생각한다. 여기서, 도 33 및 도 34는, 물체 주변의 흐름의 수치 계산 결과를 나타낸 도면이다. 또한, 도 34에 있어서의, 수치 계산 조건의 상세(예를 들면, 레이놀즈수: 1370, θ: 15°, 분석 범위(Resolution): 1024×256)는, 여기서는 중요하지 않으므로 생략한다.

도 33에서는, 균일 흐름이 물체에 닿아 있지 않을 때의 물체 주변의 흐름을 도시한 것이며, 도 34에서는, 균일 흐름이 물체에 닿아 있을 때의, 어떤 시점(t = 5.5)의 물체 주변의 흐름을 도시한 것이다. 좌회전(반시계 회전)의 흐름은, 양의 값이 되어 있고, 우회전의 흐름은, 음의 값이 되어 있고, 똑바른 흐름은 0으로 나타나 있다. 즉, 도면은, 흐름의 와도(渦度) 성분을 표현하고 있고, 양의 값의 부분은 반시계 회전의 양 방향의 소용돌이 성분이 있는 영역을 나타내고, 음의 값의 부분은 시계 회전의 음 방향의 소용돌이 성분이 있는 영역을 나타내고 있다. 물체가 받는 힘 중, 양력(lift)이나 양항비(l/d ratio)에는, 큰 시간 변동이 보여지고, 주기적으로 상하로 진동하고 있다.

종래에는, 어떤 시점에 있어서의 양력이나 양항비와, 그 시점에 있어서의 물체 주변의 흐름의 시뮬레이션 결과를 대응짓는 것은 가능하였지만, 어떠한 위상 구조의 변화가, 물체가 받는 힘의 변동에 영향을 미치는 것인지, 또한, 그 위상 구조의 변화의 동안에, 어떠한 중간 상태의 불안정한 위상 구조가 일어날 수 있는 것인지, 분석이나 지견을 얻기는 곤란하였다. 그래서, 본 실시예에서는, 이와 같은 시뮬레이션에 대하여, 중간 상태를 분석하기 위하여 이하의 처리를 행하였다.

도 34는, 균일 흐름 중에 놓인 한 장의 평판의 t = 5.5부터 t = 7.7까지의 시간 발전과 그 흐름선 패턴의 위상 구조 및 그 극대어 표현이다. 이것에 의하면, 각 시각에 있어서의 극대어 표현이 다르기 때문에 무엇인가의 천이가 일어났다고 생각된다. 어떠한 천이가 일어난 것인지 여부를 본 실시 형태의 알고리즘(지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리 등)에 따라서 부여하기로 한다.

먼저, 시각 t = 5.5와 t = 6.6의 극대어 표현이 W₀ = ICCB₀ 및 W₁ = IA₀CB₀이므로, 먼저 그 지수의 차 d를 취하면, d = ind_I(W₁) - ind_I(W₀) = (1, 0, 0, 0, -1)이 되지만, 이와 같은 지수의 차를 생성하는 천이 X는, 도 26∼도 28의 리스트로부터 X = IΔ₁, IM_{1, s}, ICM_1,i의 세 개 있다는 것을 알 수 있다.

각각의 X에 대하여, 리스트로부터 대응하는 부분열 S₁과 S₂를 보면, 모두 W₁과 W₀에 의해서 부분어로서 포함되어 있으므로 일어날 수 있는 가능성은 이 세 개라는 것을 알 수 있다.

각각에 대하여 섭동하여 얻어지는 흐름선 패턴의 매칭을 행하면 실제로 일어난 천이는 IM_{1, s}이며, 그 중간 상태에 있는 p-불안정한 흐름선 패턴은 도 35 (a)라는 것도 알 수 있다. 여기서, 도 35는 시각 t = 5.5부터 7.7의 시간 발전의 동안에 일어난 천이를 나타낸 도면이다.

다음으로, 시각 t = 6.6부터 t = 7.7에 대하여, 그 극대어 표현은 W₁ = IA₀CB₀과 W₂ = IA₀A₀C이므로, 그 지수의 차를 취하면 d = ind_I(W₂) - ind_I(W₁) = (1, 0, -1, 0, 0)이므로, 도 26∼도 28의 리스트로부터 X를 찾으면, X = ICD₀, A₀E₀, s 및 ICΨ(2)가 얻어진다.

X = ICΨ(2)에 대응하는 부분어 S₁과 S₂는 W₂와 W₁에 포함되지 않으므로, 이것은 제외된다.

한편, X = A₀E_{0 , s} 및 X = ICD₀에 대해서는, 모두 S₁ ⊆ W₂ 또한 S₂ ⊆ W₁이 성립되므로, 이들은 일어날 수 있는 천이의 후보이다. 각각에 대하여 불안정 패턴을 실제로 섭동시켜 얻어지는 구조 안정 패턴을 비교함으로써 일어난 천이는 X = A₀E_{0 , s}라는 것을 알 수 있고, 그 중간 상태는 도 35 (b)와 같은 h-불안정한 흐름선 패턴이 얻어진다.

이상으로, 본 실시예의 설명을 마친다. 본 실시예에 의하면, 예를 들면, 비행기의 날개 주변의 흐름장의 시간 발전에 대하여, 그 각 시각에 있어서의 양항비와 같은 날개의 기능으로서 중요한 특성의 변화가 어떻게 형성되는지, 또한 어떻게 잃게 되는지의 메커니즘을 이해할 수 있게 되기 때문에, 효율적인 날개 기능의 설계에 있어서의 개량의 지침이 보다 명확하게 부여된다. 또, 비행기에 한하지 않고, 교각의 설계나 언제(堰堤)의 설계에 있어서, 어떤 배치에 의해 얻어진 흐름선으로부터 최적이라고 생각되는 흐름선 구조에 최적화하는 면에서의 중간 단계나 거기에 이르는 루트를 기술할 수 있다.

여러 가지 유체와 구조물의 상호 작용의 효율이라는 관점에서 최적의 배치를 알고 있을 때, 본 실시예에 따르면, 현재의 상태로부터 비로소 연속적으로 형상이나 배치를 변형하는 경우에, 다음으로 진행할 흐름 패턴의 상태를 알 수 있다. 이 때, 구조물의 형상이나 배치의 연속 변화를 통하여 최적 배치에 이르는 최단 루트를 파악할 수 있게 되고, 최적화를 행하는 면에서의 효율적인 지침을 부여한다. 또, 대규모 수치 계산이나 유체 실험 등에 의해 얻어진 흐름의 시간 발전에 대하여, 그 흐름 패턴의 천이를 기술하는 것이 가능하게 됨으로써, 운동을 제어하여 최적의 상태를 유지하기 위한 최단 제어를 생각할 수 있다. 예를 들면, 항공기 등에 있어서 실속(失速)하지 않기 위한 날개의 효율적인 제어 방법을 알 수 있게 된다.

[워드 표현 알고리즘의 기본 처리]

여기서, 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 의해 실행되는 워드 표현 알고리즘의 기본 처리의 일례에 대하여, 상술한 도 1을 다시 참조하여 설명한다. 또한, 이하의 예에서는, 패턴어의 부여(단계 SA-1)가 먼저 행해지고, 조작어의 부여(단계 SA-2)가 나중에 행해지지만, 이것에 한하지 않고, 조작어의 부여를 먼저 행하고, 나중에 패턴어의 부여를 행해도 되는 것이다.

도 1에 나타낸 바와 같이, 먼저, 워드 표현 형성부(102c)의 패턴어 부여부(102d)는, 패턴어 I, II 중 어느 1개의 워드를 부여한다(단계 SA-1). 여기서, 패턴어 부여부(102d)는, 상기에 추가하여 패턴 O를 추가한, 합계 3종류의 패턴어 I, II, O 중 어느 1개의 워드를 부여해도 된다. 보다 구체적으로는, 3종류의 패턴어는,

1) 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴을 규정하는 패턴어 I,

2) 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴을 규정하는 패턴어 II, 및

3) 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 규정하는 패턴어 O

이다.

그리고, 워드 표현 형성부(102c)의 조작어 부여부(102e)는, 패턴어 부여부(102d)에 의해 부여된 패턴어에 대하여, 5종류의 조작어 A₀, A₂, B₀, B₂, C 중 어느 1개의 워드를 부여한다(단계 SA-2). 보다 구체적으로는, 5종류의 조작어는,

1) 1개의 ss-orbit을, 1개의 saddle point, 그것을 연결하여 내부에 구멍을 갖는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection으로 치환하는 조작을 규정한 조작어 A₀,

2) 1개의 ss-orbit을, 2개의 ss-∂-saddle connection과 새롭게 추가한 경계상의 2개의 ∂-saddle으로 치환하는 조작을 규정한 조작어 A₂,

3) 1개의 closed orbit을, 1개의 구멍과 saddle point를 추가하여 8자를 한 2개의 homoclinic saddle connection으로 치환하는 조작을 규정한 조작어 B₀,

4) 1개의 closed orbit을, 새롭게 추가한 구멍의 경계상에 2개의 ∂-saddle을 붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하는 것과 같은 궤도로 치환하는 조작을 규정한 조작어 B₂, 및,

5) 이미 2k개(k > 0)의 ∂-saddle을 갖는 경계에, 새롭게 2개의 ∂-saddle을 덧붙여 1개의 ∂-saddle connection에 의해 연결하여 내부에 새롭게 덧붙인 구멍을 두는 조작을 규정한 조작어 C

이다. 또한, 상기의 조작은, 구멍을 추가하는 경우의 조작을 규정한 것이기 때문에, 어떤 흐름선도에 조작어를 할당해 가는 알고리즘 B에 있어서는, 당해 흐름선도에 대하여 상기 조작의 반대의 조작(반대의 치환 조작)을 행하게 된다.

여기서, 조작어 부여부(102e)는, 상기의 조작이 ss-orbit이나 closed orbit 등의 존재를 전제로 하고 있기 때문에, 이하의 제약 조건에 따라서 조작어를 부여해도 된다. 즉, 조작어 부여부(102e)는, 5종류의 조작어를 부여하는 경우에,

1) 1개의 ss-orbit이 존재하는 것을 조건으로, 조작어 A₀ 또는 A₂를 부여하고,

2) 1개의 closed orbit이 존재하는 것을 조건으로, 조작어 B₀ 또는 B₂를 부여하고,

3) ∂-saddle을 갖는 경계가 존재하는 것을 조건으로, 조작어 C를 부여해도 된다.

그리고, 워드 표현 형성부(102c)의 조작어 부여부(102e)는, 구멍의 수가 N개에 도달하였는지 여부를 판정한다(단계 SA-3). 예를 들면, 조작어 부여부(102e)는, 구멍이 1개인 단연결 외부 영역 D_ζ(0)에 있어서의 패턴어 I, II에 대하여, 구멍이 N개가 될 때까지 (N-1)개의 조작어를 부여하고 끝났는지 여부를 판정한다. 또, 조작어 부여부(102e)는, 구멍이 2개인 이중 연결 외부 영역 D_ζ(1)에 있어서의 패턴어 O에 대하여, 구멍이 N개가 될 때까지 (N-2)개의 조작어를 부여하고 끝났는지 여부를 판정한다. 또한, 알고리즘 B에 있어서는 미리 구멍의 수를 설정하고 있지 않다. 알고리즘 B의 경우에는, 조작어 부여부(102e)는, 흐름선도에 대한 조작어에 따른 치환 조작에 의해서, 흐름선도가 초기 패턴(I, II 또는 O)에 도달하였는지 여부에 의해, 구멍의 수가 N개에 도달하였는지 여부를 판정해도 된다.

구멍의 수가 N개에 도달해 있지 않은 경우(단계 SA-3, No), 워드 표현 형성부(102c)의 조작어 부여부(102e)는, 지금까지 작성한 문자열에 대하여, 다시 조작어를 부여한다(단계 SA-2).

한편, 구멍의 수가 N개에 도달한 경우(단계 SA-3, Yes), 워드 표현 형성부(102c)의 조작어 부여부(102e)는, 지금까지 작성한 문자열을 워드 표현으로서 패턴 천이 파일(106c)에 격납하여 처리를 끝낸다.

이상이, 본 실시 형태에 있어서의 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 워드 표현 알고리즘의 기본 처리의 일례이다. 이와 같이 워드 표현을 형성시킴으로써, 시뮬레이션 결과가 어느 흐름 패턴에 대응하는지 워드 표현에 의해 나타낼 수 있다.

[알고리즘 B]

계속해서, 상술한 워드 표현 형성부(102c)에 의한 기본 처리를 기초로 하여, 흐름선도로부터 워드 표현을 구하는 알고리즘 B의 처리의 상세에 대하여, 이하에 도 36∼도 43을 참조하여 설명한다.

[B-1. 패턴어의 할당 처리]

상술한 기본 처리의 단계 SA-1에 있어서의 패턴어의 할당 처리에 대하여 도 36을 참조하여 이하에 설명한다. 도 36은 패턴어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.

여기서, 부여된 흐름선도는, 도 6에 나타낸 바와 같이 원 내의 영역으로서 묘화의 편의상 기재하였지만, 본 알고리즘은, 원래 균일 흐름을 갖는 비유계(非有界) 영역에 있어서의 흐름의 판정 알고리즘이다. 수치 시뮬레이션이나 실제의 계측에 의해서 얻어지는 흐름은 비유계 흐름장(으로부터 필요한 부분을 잘라낸)의 흐름선도이기 때문에, 원 내의 영역으로의 변환이 필요한지 어떤지가 문제가 되지만, 본원 발명자들에 의한 예의 검토 결과, 본 알고리즘을 적용함에 있어서, 그와 같은 변환은 불필요하다는 것을 알 수 있었다. 그것에 기초하여, 부여된 흐름선도에 대하여 이하의 처리를 실시하면, 그 흐름선도가 I 계열인지 II 계열인지 O 계열인지를 알 수 있다. 즉, 이하의 처리를 실시하는 경우에, 흐름선도를 스테레오 사영법 등에 의해서 원 내의 영역으로 변환하는 것은 불필요하다.

도 36에 나타낸 바와 같이, 패턴어 부여부(102d)는, 흐름선도로부터 워드 표현을 구하는 알고리즘 B에 있어서, 부여된 흐름선도에 있어서, ss-∂-saddle connection이 존재하는지 여부를 판정한다(단계 SA-11).

ss-∂-saddle connection이 존재한다고 판정한 경우(단계 SA-11, Yes), 패턴어 부여부(102d)는 패턴어 I를 부여한다(단계 SA-12). 즉, 부여된 흐름선도는 I 계열이라고 판정된다.

한편, ss-∂-saddle connection이 존재하지 않는 경우(단계 SA-11, No), 패턴어 부여부(102d)는, 흐름선도에 있어서 ss-saddle connection이 존재하는지 여부를 판정한다(단계 SA-13).

그리고, ss-saddle connection이 존재한다고 판정한 경우(단계 SA-13, Yes), 패턴어 부여부(102d)는 패턴어 II를 부여한다(단계 SA-15). 즉, 부여된 흐름선도는 II 계열이라고 판정된다.

한편, ss-saddle connection이 존재하지 않는 경우(단계 SA-13, No), 패턴어 부여부(102d)는 패턴어 O를 부여한다(단계 SA-14). 즉, 부여된 흐름선도는 O 계열이라고 판정된다.

이상이, 패턴어의 할당 처리의 일례이다.

[B-2. I 계열에 있어서의 조작어의 할당 처리]

계속해서, 알고리즘 B에 있어서의 I 계열의 조작어의 할당 처리의 일례에 대하여, 도 37 및 도 38을 참조하여 설명한다. 도 37 및 도 38은 알고리즘 B에 있어서의 I 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다.

도 37에 나타낸 바와 같이, 흐름선 해석부(102b)는, 시뮬레이션 결과 파일(106a)에 기억된, 수치 시뮬레이션이나 실험 데이터로부터, 흐름선 해석에 의하여 흐름선도를 작성한다(단계 SB-1). 구체적으로는, 흐름선 해석부(102b)는, 수치 시뮬레이션 결과로부터, saddle point나 ∂-saddle 등을 모두 계산한 후, 그 점에 있어서의 흐름 함수의 값과 동일한 값을 갖는 흐름 함수의 등고선을 모두 묘화하고, 또한, 경계(boundary)상의 흐름 함수의 값과 동일한 값을 갖는 흐름 함수의 등고선을 모두 묘화함으로써 흐름선도의 작성이 가능하게 된다. 그 외에, 흐름선 해석부(102b)는, Computational Homology(비특허문헌 1)에 기재된 기술 등을 이용하여, 흐름장으로부터 조건을 만족시키는 특징적인 구조를 추출해도 된다. 또한, 본 실시 형태에 있어서, 흐름선 해석부(102b)는, 작성한 흐름선도 데이터를 흐름선도 파일(106b)에 격납한다. 또한, 데이터 관리상, 흐름선 해석부(102b)는, 얻어진 모든 선이나 saddle point, ss-orbits, ∂-saddle, boundary에 번호를 붙여 흐름선도 데이터를 취급해도 된다. 이에 의해, 그들의 포함 관계를 붙여 그 순위를 매겨 데이터 구조를 정함으로써, 이후의 전처리나 각 계열의 알고리즘을 계산기 상에서 취급하기 쉬워진다.

그리고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도에 대하여 전처리를 실시한다(단계 SB-2). 예를 들면, 흐름선 해석부(102b)는, 부여된 흐름선도에 대하여 이하의 세 개의 전처리를 실시한다. 또한, 이들 조작을 실시한 횟수를 Error수라고 부르고, 워드 표현에 의해 어느 정도 흐름선을 나타낼 수 있는지의 지표가 된다. 예를 들면, 와조(渦潮)에서는, 평면상의 유체의 움직임에 그치지 않고, 평면의 수직 방향으로도 해류가 이동하고 있다. 또, 항공기 등의 물체에 대하여, 균일 흐름을 따른 이차원 단면과 수평이 아닌 방향으로도, 장애물에 부딪친 기체 등이 흘러들어 가는 경우가 있다. 그래서, 이하의 전처리를 행함으로써, 평면 형상의 흐름과 근사하여, 전처리를 행한 횟수(Error 횟수)만큼, 참(眞)으로부터 벗어나 있는 것의 지표로 하고 있다.

1. ∂-saddle의 안정 다양체, 불안정 다양체 또는 극한 집합이, sink, source의 limit cycle을 포함하면, 그것을 폐쇄하여 sink, source, limit cycle을 소거한다.

2. sink의 (흡인)영역을, center/disk와 homoclinic (∂-)saddle connection으로 치환한다.

3. source의 (발산)영역을, center/disk와 homoclinic (∂-)saddle connection으로 치환한다.

그리고, 조작어 부여부(102e)는, 흐름선 해석부(102b)에 의해 전처리가 실시된 흐름선도에 대하여, ∂-saddle이 존재하는지 판정한다(단계 SB-3).

∂-saddle이 존재하는 경우(단계 SB-3, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, ss-∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SB-4).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ss-∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SB-4, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 A₂를 k개 부여하고(단계 SB-5), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 이들 2개의 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여, 1개의 ss-orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-6).

한편, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ss-∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우(단계 SB-4, No), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SB-7).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SB-7, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₂를 k개 부여하고(단계 SB-8), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에 의해 연결된 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여 1개의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-9).

한편, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우(단계 SB-7, No), 조작어 부여부(102e)는, 4개 이상의 ∂-saddle을 갖는 경계 중에, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SB-10).

∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 k개 있는 경우(단계 SB-10, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 C를 k개 부여하고(단계 SB-11), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection과, 그것에 의해서 연결되어 있는 2개의 ∂-saddle과, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-12).

한편, ∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 없는 경우(단계 SB-10, No), 가장 내측에 있는 Figure eight(즉, ∂-saddle connection에서, 그 내측의 적어도 한쪽이 center/disk인 것)이 존재하므로, 그 수를 k개로 하고, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 k개 부여하고(단계 SB-13), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight로부터 saddle point와 boundary를 1개 소거하여, center/disk를 둘러싼 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-14). 여기서, 「Figure eight」란, 1개의 새들점과 그것을 연결하는 2개의 homoclinic saddle connection으로 이루어지고, 각 homoclinic saddle connection은 그 내부에 center/disk를 둘러싸고 있는 것과 같은(8자와 같은 형태를 한) 흐름의 구조를 가리킨다.

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SB-3으로 되돌아가서, 아직 ∂-saddle이 존재하는 경우는(단계 SB-3, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, ∂-saddle이 없어진 경우에는(단계 SB-3, No), 도 38에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, saddle point(새들점)가 존재하는지 여부를 판정한다(단계 SB-15).

saddle point가 존재하는 경우(단계 SB-15, Yes), 조작어 부여부(102e)는, Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 있는지 여부를 판정한다(단계 SB-16).

Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 k개 있는 경우(단계 SB-16, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 k개 부여하고(단계 SB-17), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을 1개의 center/disk 주변의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-18).

한편, Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 없는 경우(단계 SB-16, No), ss-saddle connection에서, 또한 homoclinic saddle connection을 잡고, 그 내측이 center/disk인 것이 존재하므로, 그 수를 k개로 하고, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 A₀을 부여하고(단계 SB-19), 흐름선 해석부(102b)는, saddle point(새들점)과 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection 및, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SB-20).

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SB-15로 되돌아가서, 아직 saddle point가 존재하는 경우는(단계 SB-15, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, saddle point가 이제는 없는 경우에는(단계 SB-15, No), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B에 있어서의 I 계열의 조작어의 할당 처리를 끝내고, 워드 표현 형성부(102c)에 의해 형성된 워드 표현은, 천이 정보 취득부(102g)의 제어에 의해, 그 시점에서 물체가 받는 힘에 대응지어, 패턴 천이 파일(106c)에 격납된다. 또한, 워드 표현 형성부(102c)의 극대어 표현부(102f)는, 얻어진 문자열 중에서 1개 A₂를 선택하여, 그것을 I로 치환하여 문자열의 선두로 이동시키고, 나머지의 문자열을 룰에 따라서 줄을 바꾸면, 극대어(maximal word)로 변환할 수 있다.

[B-3. II 계열에 있어서의 조작어의 할당 처리]

계속해서, 알고리즘 B에 있어서의 II 계열의 조작어의 할당 처리의 일례에 대하여, 도 39를 참조하여 설명한다. 도 39는, 알고리즘 B에 있어서의 II 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다. 또한, I 계열의 조작어의 할당 처리의 단계 SB-1 및 단계 SB-2와 마찬가지로, 흐름선 해석에 의하여 흐름선도의 작성과 전처리가 행해져 있어도 된다.

도 39에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, 부여된 흐름선도에 대하여, ∂-saddle이 존재하는지 판정한다(단계 SC-1).

∂-saddle이 존재하는 경우(단계 SC-1, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, 그 경계상의 ∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SC-2).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SC-2, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₂를 k개 부여하고(단계 SC-3), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle과 ∂-saddle connection을 1개의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SC-4).

한편, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우(단계 SC-2, No), 조작어 부여부(102e)는, 4개 이상의 ∂-saddle을 갖는 경계 중에, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SC-5).

∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 k개 있는 경우(단계 SC-5, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 C를 k개 부여하고(단계 SC-6), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection과, 그것에 의해서 연결되어 있는 2개의 ∂-saddle과, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SC-7).

한편, ∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 없는 경우(단계 SC-5, No), 가장 내측에 있는 Figure eight가 존재하므로, 그 수를 k개로 하고, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 k개 부여하고(단계 SC-8), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을, 1개의 center/disk를 둘러싼 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SC-9).

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SC-1로 되돌아가서, 아직 ∂-saddle이 존재하는 경우는(단계 SC-1, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, ∂-saddle이 이제는 없는 경우에는(단계 SC-1, No), 조작어 부여부(102e)는, saddle point(새들점)가 존재하는지 여부를 판정한다(단계 SC-10).

saddle point가 존재하는 경우(단계 SC-10, Yes), 조작어 부여부(102e)는, Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 있는지 여부를 판정한다(단계 SC-11).

Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 k개 있는 경우(단계 SC-11, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 k개 부여하고(단계 SC-12), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을 1개의 center/disk 주변의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SC-13).

한편, Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 없는 경우(단계 SC-11, No), ss-saddle connection에서, 또한 homoclinic saddle connection을 갖고, 그 내측이 center/disk인 것이 존재하므로, 그 수를 k개로 하고, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 A₀을 k개 부여하고(단계 SC-14), 흐름선 해석부(102b)는, saddle point(새들점)과 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection 및, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SC-15).

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SC-10으로 되돌아가서, 아직 saddle point가 존재하는 경우는(단계 SC-10, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, saddle point가 이제는 없는 경우에는(단계 SC-10, No), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B에 있어서의 II 계열의 조작어의 할당 처리를 끝낸다. 또한, 얻어진 문자열 중에서 1개 A₀을 선택하여, 그것을 II로 치환하여 문자열의 선단(先端)으로 이동하고, 나머지의 문자열을 룰에 따라서 줄을 바꾸면 극대어(maximal word)로 변환하는 것이 가능하다.

[B-4. O 계열에 있어서의 조작어의 할당 처리]

계속해서, 알고리즘 B에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리의 일례에 대하여, 도 40을 참조하여 설명한다. 도 40은, 알고리즘 B에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다. 또한, I 계열의 조작어의 할당 처리의 단계 SB-1 및 단계 SB-2와 마찬가지로, 흐름선 해석에 의하여 흐름선도의 작성과 전처리가 행해져 있어도 된다.

도 40에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, 주어진 흐름선도에 대하여, ∂-saddle이 존재하는지 판정한다(단계 SD-1).

∂-saddle이 존재하는 경우(단계 SD-1, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SD-2).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 ∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SD-2, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₂를 k개 부여하고(단계 SD-3), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에 의해 연결된 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여 1개의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SD-4).

한편, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 포함하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우(단계 SD-2, No), 조작어 부여부(102e)는, 4개 이상의 ∂-saddle을 갖는 경계 중에, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SD-5).

∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 k개 있는 경우(단계 SD-5, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 C를 k개 부여하고(단계 SD-6), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection과, 그것에 의해서 연결되어 있는 2개의 ∂-saddle과, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SD-7).

한편, ∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 없는 경우(단계 SD-5, No), 가장 내측에 있는 Figure eight가 존재하므로, 그 수를 k개로 하고, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 k개 부여하고(단계 SD-8), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을, 1개의 center/disk를 둘러싼 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SD-9).

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SD-1로 되돌아가서, 아직 ∂-saddle이 존재하는 경우는(단계 SD-1, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, ∂-saddle이 이제는 없는 경우에는(단계 SD-1, No), 조작어 부여부(102e)는, saddle point(새들점)가 존재하는지 여부를 판정한다(단계 SD-10).

saddle point가 k개 존재하는 경우(단계 SD-10, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀를 k개 부여하고(단계 SD-11), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을, 1개의 center/disk 주변의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SD-12).

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SD-10으로 되돌아가서, 아직 saddle point가 존재하는 경우는(단계 SD-10, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, saddle point가 이제는 없는 경우에는(단계 SD-10, No), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리를 끝낸다. 또한, 얻어진 문자열의 선두에 O를 붙여, 그것을 룰에 따라서 줄을 바꾸면 극대어(maximal word)로 변환하는 것이 가능하다.

이상이, 흐름선도로부터 워드 표현을 구하는 알고리즘 B의 처리의 상세한 예이다. 이에 의해, 임의의 흐름선도에 대응하는 워드 표현을 적절하게 구할 수 있다. 또한, 이상의 알고리즘 B의 처리는, 일례에 불과하고, 본 발명은, 상기의 알고리즘에 한정되는 것은 아니다. 예를 들면, 알고리즘 B의 처리의 다른 예로서, 이하의 처리를 행해도 되는 것이다.

[B-5. I, II 계열에 있어서의 조작어의 할당 처리(아종 알고리즘)]

여기서, 알고리즘 B에 있어서의 조작어 I, II의 할당 처리의 다른 예(아종 알고리즘)에 대하여, 도 41 및 도 42를 참조하여 설명한다. 도 41 및 도 42는, 알고리즘 B(I, II-Word algorithm)에 있어서의 I, II 계열의 조작어의 할당 처리의 다른 예를 나타낸 플로우차트이다. 또한, 상술한 할당 처리의 단계 SB-1 및 단계 SB-2와 마찬가지로, 흐름선 해석에 의하여 흐름선도의 작성과 전처리가 행해져 있어도 된다. 또한, 이하의 조작어의 할당 처리에 있어서, 조작어를 부여하는 경우는, 뒤에서 앞으로 부여하는 것으로 한다.

도 41 및 도 42에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, 흐름선 해석부(102b)에 의해 전처리가 실시된 흐름선도에 대하여, 흡입 용출 쌍(1-source-sink point)에 연결되어 있지 않은 saddle이 존재하거나, 또는 ∂-saddle connection이 존재하는지 판정한다(단계 SI-1).

흡입 용출 쌍(1-source-sink point)에 연결되어 있지 않은 saddle이 존재하거나, 또는 ∂-saddle connection이 존재하는 경우(단계 SI-1, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, ∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SI-2).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, ∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SI-2, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₂를 k개 부여하고(단계 SI-3), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection에 의해 연결된 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여 1개의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SI-4).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, ∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우로서(단계 SI-2, No), 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴이 있는 경우(단계 SI-5, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 부여하고, 조작어 부여부(102e)는, 흐름선도 상에 있어서, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴을 1개의 center/disk 주변의 closed orbit으로 치환하는 조작을 행한다(단계 SI-6). 이 조작(조작어 B₀을 부여하고, closed orbit으로 치환하는 조작)은, 가능한 한 반복해서 실행된다.

한편, 가장 내측에 있는 Figure eight 패턴에 존재하는 saddle point가 없는 경우(단계 SI-5, No), 즉, ∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 있는 경우, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 C를 부여하고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 그 경계상의 ∂-saddle connection과, 그것에 의해서 연결되어 있는 2개의 ∂-saddle과, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 반복해서 행한다(단계 SI-7). 이 조작(조작어 C를 부여하고, center/disk를 소거하는 조작)은, 가능한 한 반복해서 실행된다.

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SI-1로 되돌아가서, 아직 흡입 용출 쌍(1-source-sink point)에 연결되어 있지 않은 saddle이 존재하거나, 또는 ∂-saddle connection이 존재하는 경우는(단계 SI-1, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, 흡입 용출 쌍(1-source-sink point)에 연결되어 있는 saddle만이 존재하고, 또한 ∂-saddle connection이 이제는 없는 경우에는(단계 SI-1, No), 도 42에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, ss-∂-saddle이 존재하는지 판정한다(단계 SH-1).

그리고, ss-∂-saddle이 존재하지 않는 경우(단계 SH-1, No), 흐름선 해석부(102b)는, saddle point(새들점)과 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection 및, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 1회 행한다(단계 SH-2).

그리고, ss-saddle이 k개 있을 때, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 A₀을 k개 부여한다(단계 SH-3).

그리고, 흐름선 해석부(102b)는, saddle point(새들점)과 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection 및, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SH-4).

그리고, 패턴어 부여부(102d)는, 패턴어 II를 부여하고(단계 SH-5), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B(I, II-Word algorithm)에 있어서의 I, II 계열의 조작어의 할당 처리를 끝낸다. 또한, 얻어진 문자열은 극대어(maximal word)이다.

한편, 상기의 단계 SH-1에 있어서, ss-∂-saddle이 존재하는 경우(단계 SH-1, Yes), 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 이들 2개의 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여, 1개의 ss-orbit으로 치환하는 조작을 1회 행한다(단계 SH-7).

그리고, ss-∂-saddle이 k개 있을 때, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 A₂를 k개 부여한다(단계 SH-8).

그리고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 이들 2개의 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여, 1개의 ss-orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SH-9).

그리고, 조작어 부여부(102e)는, ss-saddle이 k개 있을 때, 조작어 A₀을 k개 부여한다(단계 SH-10).

그리고, 흐름선 해석부(102b)는, saddle point(새들점)과 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection 및, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거하는 조작을 k회 행한다(단계 SH-11).

그리고, 패턴어 부여부(102d)는, 패턴어 I을 부여하고(단계 SH-12), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B(I, II-Word algorithm)에 있어서의 I, II 계열의 조작어의 할당 처리를 끝낸다. 또한, 얻어진 문자열은 극대어(maximal word)이다.

[B-6. O 계열에 있어서의 조작어의 할당 처리(아종 알고리즘)]

계속해서, 알고리즘 B에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리(아종 알고리즘)의 일례에 대하여, 도 43을 참조하여 설명한다. 도 43은 알고리즘 B(O-Word algorithm)에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리의 다른 예를 나타낸 플로우차트이다. 또한, 상술한 할당 처리의 단계 SB-1 및 단계 SB-2와 마찬가지로, 흐름선해석에 의하여 흐름선도의 작성과 전처리가 행해져 있어도 된다. 또한, 이하의 조작어의 할당 처리에 있어서, 조작어를 부여하는 경우는, 뒤에서 앞으로 부여하는 것으로 한다.

도 43에 나타낸 바와 같이, 조작어 부여부(102e)는, 부여된 흐름선도에 대하여, saddle 또는∂-saddle이 존재하는지 판정한다(단계 SJ-1).

saddle 또는∂-saddle이 존재하는 경우(단계 SJ-1, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계에서, 동일한 경계상의 ∂-saddle connection을 갖는 것이 있는지 여부를 판정한다(단계 SJ-2).

딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 연결하는 ∂-saddle connection을 갖는 것이 k개 있는 경우(단계 SJ-2, 「Yes」), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₂를 k개 부여한다(단계 SJ-3).

그리고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 그 경계상의 ∂-saddle connection에 의해 연결된 ∂-saddle과 경계(boundary)를 소거하여 1개의 closed orbit으로 치환하는 조작을 k회 행한다(단계 SJ-4).

한편, 딱 2개의 ∂-saddle이 존재하는 경계를 연결하는 경계상의 ∂-saddle connection을 갖는 것이 없는 경우(단계 SJ-2, No), 조작어 부여부(102e)는, 가장 내측에 있는 Figure eight가 있는지 여부를 판정한다(단계 SJ-5).

가장 내측에 있는 Figure eight가 있는 것(즉, ∂-saddle connection에서, 그 내측의 적어도 한쪽 center/disk인 것)이 있는 경우(단계 SJ-5, Yes), 조작어 부여부(102e)는, 조작어 B₀을 부여하고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 1개의 center/disk를 둘러싼 closed orbit으로 치환하는 조작을 행한다(단계 SJ-6). 또한, 이 조작(조작어 B₀을 부여하고, closed orbit으로 치환하는 조작)은, 가능한 한 반복해서 실행된다.

한편, 가장 내측에 있는 Figure eight가 없는 경우(단계 SJ-5, No), 즉, ∂-saddle을 4개 이상 포함하는 경계상의 ∂-saddle connection에서, 그 내측이 center/disk인 것과 같은 경계가 있는 경우, 조작어 부여부(102e)는, 조작어 C를 부여하고, 흐름선 해석부(102b)는, 흐름선도 상에 있어서, 그 경계상의 ∂-saddle connection과, 그것에 의해서 연결되어 있는 2개의 ∂-saddle과, 그들에 둘러싸인 center/disk를 소거한다(단계 SJ-7). 또한, 이 조작(조작어 C를 부여하고, center/disk를 소거하는 조작)은, 가능한 한 반복해서 실행된다.

그리고, 이상의 처리를 행한 후, 처리를 단계 SJ-1로 되돌아가서, 아직 saddle 또는 ∂-saddle이 존재하는 경우는(단계 SJ-1, Yes), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 상술한 처리를 반복한다.

한편, saddle 또는 ∂-saddle이 이제는 없는 경우에는(단계 SJ-1, No), 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 알고리즘 B(O-Word algorithm)에 있어서의 O 계열의 조작어의 할당 처리를 끝낸다. 또한, 얻어진 문자열의 선두에 O를 붙이면, 그것은 극대어(maximal word)이다.

이상이, 흐름선도로부터 워드 표현을 구하는 알고리즘 B의 처리(아종 알고리즘)의 상세한 예이다. 이에 의해, 임의의 흐름선도에 대응하는 워드 표현을 적절하게 구할 수 있다.

[극대어 표현]

얻어지는 워드 표현에는 항장성이 있는 경우가 있으므로, 패턴어의 조합으로부터 전체 문자열을 생성한 후, 각 문자열이 극대어가 되어 있는지 여부를 판정하고, 항장성이 없는 극대어 표현을 얻는 원리와 방법에 대하여 설명한다.

즉, 조작어를 부여하는 경우의 제약 조건에 따르면, 원칙적으로는 모든 구조 안정된 흐름의 위상 구조는, 조작어를 열거함으로써 표현할 수 있다. 단, 주의할 점은, 「1개의 흐름 패턴을 표현하는 워드는 복수 있다」고 하는 것이다. 또 한편으로, 「1개의 워드 표현에 의해 나타내어지는 흐름의 패턴도 복수 있다」는 점이다. 이 실례는 IA₀A₂와 IA₂A₀ 등에 볼 수 있다. 워드 표현이라는 관점으로 보면, 후자의 점은 특별히 큰 문제는 아니다. 어떤 1개의 워드가 어떤 흐름 패턴의 집합(그룹)을 표현하는 것에 불과하기 때문이다. 한편, 전자의 점은 1개의 흐름을 복수의 워드가 표현하면 장황해서, 매우 헷갈리기 쉬우므로 문제이다. 그래서, 「극대어 표현(maximal word representation)」이라는 것을 이용하여 이 문제를 해결할 수 있다.

이 극대어 표현은, I 계열, II 계열, O 계열에서 부여되어 있는 조작을 나타내는 문자열의 순서의 교체에 의해서, 그것이 표현하고 있는 흐름의 집합이 어떻게 되는지를 조사함으로써 도입된다. 예를 들면, 문자 IA₀A₂와 IA₂A₀라는 2개의 워드 표현에 대하여, 이들이 나타내는 흐름의 패턴은 동일한 것이 나타나므로 A₀와 A₂의 교체에 의해서 표현되는 패턴은 변화하지 않는다. 그래서, 「A₀ 쪽이 A₂보다 먼저 워드 표현 중에서 나타난다」는 룰을 추가하여, 중복되는 IA₂A₀라는 표현을 배제한다. 이와 같은 문자의 교체에 관하여 일어나는, 워드 표현되는 패턴의 변화를 상징적으로 A₀A₂ = A₂A₀과 같이 표현하기로 한다. 이와 같이 워드를 교체하더라도, 그것이 나타내는 패턴이 변화하지 않는 것과 같은 조합이, Lemma 3.5와 Lemma 3.6에 부여된다(공표 논문(2013) 참조).

한편으로, 워드를 교체함으로써, 그것이 표현하는 패턴의 집합이 변화하는 경우도 있다. 예를 들면, IB₀A₀과 IA₀B₀에 대해서는, 전자가 나타내는 패턴의 집합은 후자가 나타내는 패턴의 집합에 포함되는 포함 관계가 있다. 즉, 집합의 기호를 사용하면, (IB₀A₀) ⊂ (IA₀B₀)이 된다. 이와 같이 교체에 의해서, 일방이 일방의 패턴의 집합을 포함해 버리는 경우에는, 포함되는 측의 워드 표현은 배제하여, 보다 큰 워드 표현만을 채용한다. 이 관계식을 상징적으로 B₀A₀ ≤ A₀B₀이라고 표현하기로 한다. 이와 같은 포함 관계를 만들어내는 것과 같은 워드의 교체의 조합은 Lemma 3.7에 의해 부여된다(공표 논문(2013) 참조).

이들 워드의 교체에 의한 포함 관계식을 정리한 것이 아래의 표이다. 또한, B₂C || CB₂는, B₂와 C를 교체하더라도 포함 관계가 성립되지 않으므로, 이 2개는 교체할 수 없다는 것을 나타내고 있다.

또한, 어떤 적절한 알고리즘을 1개 고정하면, 이들 워드 표현의 교체에 의해 생기는 극대어 표현은, 1개의 패턴에 대하여, 반드시 1개밖에 없다는 것을 수학적으로 증명 가능하다(공표 논문(2013) Lemma 3.8 참조).

또한, 이것에 기초하여 극대어 표현의 표준형을 구할 수 있다. O 계열에 대한 극대어 표현의 표준형을 부여한 것이 Theorem 3.3이고, I 계열에 대한 극대어 표현의 표준형을 부여한 것이 Theorem 3.4이고, II 계열에 대한 그것은 Theorem 3.5로 부여되어 있다(공표 논문(2013) 참조).

상기의 이론에 기초하여, 문자열이 극대어가 되어 있는지 여부를 판정하고, 알고리즘 B에 있어서 극대어 표현이 되도록 바꾸어 쓰거나, 알고리즘 B(아종)에 있어서 극대어 표현만을 뽑아 쓰거나 할 수 있다. 이에 의해, 중복 없이 문자열을 얻을 수 있으므로, 위상상, 1개의 흐름 패턴에 대하여, 1개의 워드 표현을 할당할 수 있고, 항장성을 배제할 수 있다.

이상으로, 본 실시 형태의 상세한 설명을 마친다.

또한, 본 실시 형태에 의하면, 일례로서 항공기 등의 구조물 설계의 최적화 수법에 있어서 얻어진 천이 정보를 이용할 수 있다. 예를 들면, 상술의 실시 형태에 의해, 흐름 패턴의 천이 순서나 중간 상태의 흐름 패턴 등이 얻어지므로, 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 패턴 천이 파일(106c)에 기억된 파라미터의 범위나 천이 순서 등의 정보에 기초하는 제약 하에서, 시뮬레이션부(102a)에 의해 최적의 구조물이 탐색되도록 제어해도 된다. 예를 들면, 이상 흐름 패턴까지의 천이 루트가 얻어진 경우에 있어서, 현재의 흐름 패턴의 다음의 흐름 패턴이 시뮬레이션에 의해 얻어지고 있지 않은 동안은, 시뮬레이션부(102a)는, 소둔법에 있어서, 로컬 미니멈을 빠져나갈 수 있도록, 설계 변수에 대하여 큰 변경을 허용하도록, 글로벌 파라미터 T(온도)를 높게 설정해도 된다. 이 외에, 항공기 등의 설계에 있어서 이상적인 흐름 패턴으로 유도하기 위하여, 천이 루트 상의 워드 표현과의 일치 불일치에 따라서, 시뮬레이션부(102a)는, 설정된 원하는 패턴을 규정하는 탐색 범위가 당해 원하는 패턴이 되도록 조정해도 된다. 예를 들면, 상기와 마찬가지로, 시뮬레이션부(102a)는, 소둔법에 있어서, 탐색 범위가 원하는 패턴과 불일치하는 경우에는, 설계 변수에 대하여 큰 변경을 허용하도록 글로벌 파라미터 T(온도)를 높게 설정하고, 한편, 탐색 범위가 원하는 패턴과 일치하고 있는 경우에는, 설계 변수에 대하여 작은 변경을 구하도록 글로벌 파라미터 T(온도)를 낮게 설정해도 된다. 이와 같이, 하천이나 해양, 비행 등 물체 배치와 흐름의 상호 작용의 최적 상태를, 단시간 및 저비용으로 고정밀도의 계산을 행하는 것이 가능하게 된다. 또, 목적에 따른 흐름선 패턴의 특정에 의해서, 구조물 설계의 생력화(省力化)를 도모할 수 있다.

또, 본 실시 형태에 의하면, 교각의 배치의 설계, 방파제의 배치의 설계, 항만의 오염 물질의 효율적 제거, 풍력 발전의 날개나 항공기의 형상의 설계, 오일 펜스 등에 있어서 최적인 구조에의 탐색 루트를 천이 경로로서 효율적으로 동정(同定)할 수 있다.

[그 외의 실시 형태]

그런데, 지금까지 본 발명의 실시 형태에 대하여 설명하였지만, 본 발명은, 상술한 실시 형태 이외에도, 특허 청구 범위에 기재한 기술적 사상의 범위 내에 있어서 여러 가지 다른 실시 형태에 의해 실시되어도 되는 것이다.

특히 상기의 실시 형태에 있어서는, 본 발명을, 삼차원 유체의 시뮬레이션에 있어서의 단면(구조물의 단면 등)에 대하여 적용한 예에 대하여 설명하였지만, 이것에 한정되지 않고, 이차원 유체의 시뮬레이션에 적용해도 되는 것이다.

예를 들면, 유체 천이 경로 취득 장치(100)가 스탠드 얼론의 형태에 의해 처리를 행하는 경우를 일례로 들어 설명하였지만, 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 클라이언트 단말로부터의 요구에 따라서 처리를 행하고, 그 처리 결과를 당해 클라이언트 단말에 반환하도록 해도 된다.

또, 실시 형태에 있어서 설명한 각 처리 중, 자동적으로 행해지는 것으로서 설명한 처리의 전부 또는 일부를 수동적으로 행할 수도 있고, 또는, 수동적으로 행해지는 것으로서 설명한 처리의 전부 또는 일부를 공지의 방법에 의해 자동적으로 행할 수도 있다.

이 외에, 상기 문헌 중이나 도면 중에서 나타낸 처리 순서, 제어 순서, 구체적 명칭, 각 처리의 등록 데이터나 검색 조건 등의 파라미터를 포함하는 정보, 화면예, 데이터베이스 구성에 대해서는, 특기하는 경우를 제외하고 임의로 변경할 수 있다.

또, 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 관하여, 도시한 각 구성 요소는 기능 개념적인 것이며, 반드시 물리적으로 도시한 바와 같이 구성되어 있는 것을 필요로 하지 않는다.

예를 들면, 유체 천이 경로 취득 장치(100)의 각 장치가 구비하는 처리 기능, 특히 제어부(102)에 의해 행해지는 각 처리 기능에 대해서는, 그 전부 또는 임의의 일부를, CPU(Central Processing Unit) 및 당해 CPU에 의해 해석 실행되는 프로그램에 의해 실현해도 되고, 또한, 와이어드 로직에 의한 하드웨어로서 실현해도 된다. 또한, 프로그램은, 후술하는 기록 매체에 기록되어 있고, 필요에 따라서 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 기계적으로 판독된다. 즉, ROM 또는 HD 등의 기억부(106) 등에는, OS(Operating System)로서 협동하여 CPU에 명령을 부여하고, 각종 처리를 행하기 위한 컴퓨터 프로그램이 기록되어 있다. 이 컴퓨터 프로그램은, RAM에 로드됨으로써 실행되고, CPU와 협동하여 제어부(102)를 구성한다.

또, 이 컴퓨터 프로그램은, 유체 천이 경로 취득 장치(100)에 대하여 임의의 네트워크(300)를 개재하여 접속된 애플리케이션 프로그램 서버에 기억되어 있어도 되고, 필요에 따라서 그 전부 또는 일부를 다운로드하는 것도 가능하다.

또, 본 발명에 관련된 프로그램을, 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체에 격납해도 되고, 또한, 프로그램 제품으로서 구성할 수도 있다. 여기서, 이 「기록 매체」란, 메모리 카드, USB 메모리, SD 카드, 플렉서블 디스크, 광 자기 디스크, ROM, EPROM, EEPROM, CD-ROM, MO, DVD 및 Blu-ray Disc 등의 임의의 「포터블 물리 매체」를 포함하는 것으로 한다.

또, 「프로그램」이란, 임의의 언어나 기술 방법에 의해 기술된 데이터 처리 방법이며, 소스 코드나 바이너리 코드 등의 형식을 묻지 않는다. 또한, 「프로그램」은 반드시 단일적으로 구성되는 것에 한정되지 않고, 복수의 모듈이나 라이브러리로서 분산 구성되는 것이나, OS(Operating System)로 대표되는 별개의 프로그램과 협동하여 그 기능을 달성하는 것도 포함한다. 또한, 실시 형태에 나타낸 각 장치에 있어서 기록 매체를 판독하기 위한 구체적인 구성, 판독 순서, 또는, 판독 후의 인스톨 순서 등에 대해서는, 주지의 구성이나 순서를 이용할 수 있다.

기억부(106)에 격납되는 각종의 데이터베이스 등(시뮬레이션 결과 파일(106a), 흐름선도 파일(106b), 패턴 천이 파일(106c) 등)은, RAM, ROM 등의 메모리 장치, 하드 디스크 등의 고정 디스크 장치, 플렉서블 디스크, 및 광 디스크 등의 스토리지 수단이며, 각종 처리나 웹 사이트 제공에 이용하는 각종 프로그램, 테이블, 데이터베이스, 및 웹페이지용 파일 등을 격납한다.

또, 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 기지의 퍼스널 컴퓨터, 워크스테이션 등의 정보 처리 장치로서 구성해도 되고, 또한, 당해 정보 처리 장치에 임의의 주변 장치를 접속하여 구성해도 된다. 또, 유체 천이 경로 취득 장치(100)는, 당해 정보 처리 장치에 본 발명의 방법을 실현시키는 소프트웨어(프로그램, 데이터 등을 포함함)를 실장함으로써 실현해도 된다.

또한, 장치의 분산·통합의 구체적 형태는 도시하는 것에 한정되지 않고, 그 전부 또는 일부를, 각종의 부가 등에 따라서, 또는, 기능 부하에 따라서, 임의의 단위로 기능적 또는 물리적으로 분산·통합하여 구성할 수 있다. 즉, 상술한 실시 형태를 임의로 조합하여 실시해도 되고, 실시 형태를 선택적으로 실시해도 된다.

『실시 형태 2』

실시 형태 2에 관련된 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램을 도 44∼도 66을 참조하여 설명한다. 실시 형태 2에서는, 실시 형태 1과 공통되는 부분의 설명을 생략하고, 다른 점에 대해서만 설명한다.

실시 형태 1에서 설명한 바와 같이, 워드 표현에 대해서는 복수의 흐름 패턴이 대응하는 경우가 있다. 그 때문에, 실시 형태 1과 같이, 워드 표현만을 사용하여 천이 패턴 X를 특정하는 방법에서는, 일어날 수 있는 천이의 후보(필요 조건)를 부여할 뿐이고, 그것에 대응하는 중간 상태가 실제로 실현될 수 있는지 여부는, 그 부분어에 대응하여 얻어져 있는 구조가 실제로 존재하는지를 흐름선 구조의 패턴 매칭에 의해 확인할 필요가 있다.

그래서, 실시 형태 2에서는, 흐름 패턴과 완전히 1 대 1로 대응하는 새로운 표현 방법인 정규 표현을 제안함과 함께, 워드 표현에 추가하여 정규 표현을 사용하여 천이 패턴 X를 특정함으로써, 패턴 매칭을 하지 않고 자동으로 천이 패턴 X를 특정하는 방법을 제안한다. 상세를 후술하는 바와 같이, 실시 형태 2에서는, 흐름선 패턴과 정규 표현은 완전히 1 대 1로 대응하는 것을 이용하여, 천이 패턴 X에 대응하는 국소의 흐름선 구조의 변화에 대하여, 그들을 정규 표현의 일부 표현의 일부(부분 표현이라고 함)의 변화로서 미리 기술할 수 있다는 것에 주의한다.

[흐름 패턴의 정규 표현 방법]

실시 형태 2에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 작성 방법에 대하여 설명한다. 실시 형태 2에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 작성 방법에서는, 실시 형태 1의 워드 표현 이론을 일부 사용하고 있다. 본 실시 형태 2에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 작성 방법은 컴퓨터 등의 장치에 의해 실행 가능하다. 도 44는 실시 형태 2에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 방법의 개략을 설명하기 위한 플로우차트이다.

도 44에 나타낸 바와 같이, 본 실시 형태에 관련된 흐름 패턴의 정규 표현 방법은, 위상기하학적으로 N(단, N은 1 이상의 정수)개의 구멍을 갖는 다중 연결 외부 영역에 있어서의 흐름 패턴의 정규 표현을 작성하는 것이며, 대별하면, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현을 작성하는 그래프 표현 작성 공정(단계 S21)과, 단계 S21의 그래프 표현 작성 공정에 의해 작성된 그래프 표현으로부터 정규 표현을 작성하는 정규 표현 작성 공정(단계 S22)을 구비하고 있다.

그래프 표현은, 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하고(단, V는 정점이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것이어도 된다.

또, 그래프 표현은, 모의 정점을 v, 그 자의 정점을 w, 모의 정점 v에 할당된 라벨을 l(v), 자의 정점 w에 할당된 라벨을 l(w), v의 자 정점 집합 Γ(v)라고 한 경우, v의 자 정점 집합 Γ(v)를 소정의 순서 관계의 룰에 따라서 줄을 바꾸고, w ∈ Γ(v)에 대하여, l(v)로부터 l(w)로의 화살표를 왼쪽에서 오른쪽으로 나열하여 묘화된 것을 포함하는 것으로 해도 된다.

또, 흐름 패턴은, (1) 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴 I, (2) 상기 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴 II, (3) 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴 O로 이루어지는 패턴어 중 1개 또는 복수인 것으로 해도 된다.

또, 워드 표현은, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어에 대하여, 상기 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 기호어인 것으로 해도 된다.

도 45는 도 44의 그래프 표현 작성 공정의 일례를 설명하기 위한 플로우차트이다. 도 45에 있어서, 그래프 표현 작성 공정에서는, 먼저, 흐름 패턴이 흡입 용출 쌍을 갖는 경우에는, 흐름 패턴을 그 흡입 용출 쌍에 가장 가까운 반시계 회전의 ss-orbit을 포함하는 영역이 가장 외측 영역이 되도록 변환한다(단계 S31). 흐름 패턴은, 예를 들면, 상술의 패턴어 중 1개 또는 복수로부터 개시하고, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를 부여하는 조작을, 구멍의 수가 N개가 될 때까지 반복해서 작성된 구멍의 수가 N개의 흐름 패턴도로 해도 된다. 구체적으로는, 후술하는 바와 같이, I-word, II-word의 ss-saddle connection diagram(흐름 패턴도)의 루트가, 도 48에 나타낸 바와 같이 되도록 변환한다. 다음으로, 변환한 흐름 패턴의 (ss-)saddle connection diagram에 나타나는 궤도를 영역 전체로부터 추출한다(단계 S32). 영역 전체로부터 (ss-)saddle connection diagram에 나타나는 궤도를 모두 제외하여 얻어지는 연결 성분에 정점을 설정하고, 가장 외측에 있는 연결 성분을 루트라고 한다(단계 S33). 계속해서, 커런트 성분을 루트에 설정한다(단계 S34). 커런트 성분과 서로 경계를 접하는 것과 같은 연결 성분을 커런트 성분의 자라고 하고, 경계에 닿는 궤도에 따라서 라벨을 할당하고, 그들을 소정의 라벨의 순서 관계에 따라서 늘어세운다(단계 S35). 커런트 성분의 자를 커런트 성분에 설정하여, 자가 없어질 때까지 단계 S35를 반복해서 실행한다(단계 S36).

이하에서, 실시 형태 2의 흐름 패턴의 정규 표현 방법을 그 원리와 함께, 상세하게 설명한다.

(2. 그래프 표현 작성 공정)

상기 도 44의 그래프 표현 작성 공정(단계 S21)에 대하여 상세하게 설명한다. 먼저, 실시 형태 2에서 사용하고 있는 그래프 이론에 대하여 설명한다.

(2-1. 그래프 이론)

그래프 T = (V, E)란, 「vertex(정점)」라고 불리는 점의 집합(정점 집합) V와 그 정점의 사이를 연결하는 「edge(에지)」라고 불리는 집합 E의 페어로서 부여되는 집합이다. 일반적으로 그래프는 다양한 구조를 가질 수 있지만, 본 실시 형태의 그래프 표현 이론에서는, 그래프 전체의 집합에 있어서의 어떤 특정 구조를 가진 이하의 그래프의 집합을 생각한다.

1) 트리, 나무(Tree)란, 임의의 2개의 정점이 1개의 edge에 의해서만 결합되어 있는 것과 같은 그래프를 가리킨다.

2) 루트 부여(Rooted) 그래프란, 어떤 특정 정점(이하, 루트(root)라고 부름)이 존재하고 있는 그래프를 가리킨다. 루트 부여 그래프에 대해서는, 이 루트로부터 각 정점 v ∈ V에의 에지의 연결에 의한 최단 경로를 생각할 수 있으므로, 이것을 v의 높이(height)라고 부르고, 기호를 ht(v)라고 쓴다. 이에 의해, 루트 부여 트리 T에 대해서는 ht(T): = max_{v ∈ V}ht(v)에 의해서, 트리 T 자체의 높이를 생각할 수 있다.

3) 그래프가 방향이 있다(directed)는 것은, 모든 에지에 모자의 순서가 들어 있는 것과 같은 것을 가리킨다. 방향이 있는 그래프에 있어서의, 정점 v ∈ V로부터 w ∈ V에의 에지는 v ⇒ w ∈ E라고 나타낸다. 이 때, v는 w의 모, w는 v의 자라고 부른다. Г(v)라고 쓰고, 정점 v ∈ V의 자 전체의 집합을 나타낸다. 즉, Г(v): = {w ∈ V │ v ⇒ w ∈ E}. 또, 그 집합에 포함되는 자 정점의 수 #Г(v)를 갖고, v의 out-degree라고 부르고, 반대로 v에 들어오는 에지의 수를 v의 in-degree라고 부른다.

4) 그래프가 라벨 부여(labelled)라는 것은, 모든 정점에 특정 라벨이 할당되어 있는 것과 같은 것을 가리킨다.

본 실시 형태에 있어서는, 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리를 생각한다. 또, 그 루트는 in-degree가 제로, 즉, 거기에 들어오는 에지가 존재하지 않는 것과 같은 정점을 생각한다. 정점의 라벨로서는, {o_φ, o₀, o₂, +_φ, +₀, +₂, -_φ, -₀, -₂} 중 어느 1개를 할당하는 것으로 한다. 이 때, 라벨이 o_φ(o₀, o₂, +_φ, +₀, +₂, -_φ, -₀, 또는 -₂)가 되어 있는 정점 집합의 부분 집합을 Vo_φ(Vo₀, Vo₂, V+_φ, V+₀, V+₂, V-_φ, V-₀, 또는 V-₂)라고 나타낸다. 정점 v에 대하여, l(v)라고 쓰면 그것은 정점에 할당된 라벨을 나타내는 것으로 한다. 이후의 편의를 위하여, 이하와 같은 집합을 정의해 둔다. Vo = Vo_φ U Vo₀ U Vo₂, V+ = V+_φ U V+₀ U V+₂, V- = V-_φ U V-₀ U V-₂, V₀ = Vo₀ ∪ V+₀ ∪ V-₀, V₂ = Vo₂ U V+₂ U V-₂, 단, U의 기호는 disjoint union을 나타내고 있다. 추가하여, 정점 v의 자 정점 집합은, Г(v)는 이하와 같이 분할할 수 있다.

Гo₀(v) = Г(v) ∩ Vo₀, Гo₂(v) = Г(v) ∩ Vo₂, Г+₀(v) = Г(v) ∩ V+₀, Г-₀(v) = Г(v) ∩ V-₀, Г+₂(v) = Г(v) ∩ V+₂, Г-₂(v) = Г(v) ∩ V-₂, Г-(v) = Г(v) ∩ V-, Г+(v) = Г(v) ∩ V₊, Г₂(v) = Г(v) ∩ V₂이다.

또한, 정점 v ∈ V에 대하여 「부합」을 sgn(v)라고 쓰면, v ∈ V+ U V₀이면 sgn(v) = +, v ∈ V_-이면 sgn(v) = -를 부여하는 것으로 한다. 이후 라벨을 나열하여 흐름의 표현을 부여하므로, 이들 라벨의 출현 순서에는 이하와 같은 순서 관계의 룰 (1)을 정해 둔다.

o₀ > o₂ > +₀ > -₀ > +₂ > -₂···(1)

(2-2. 이차원 구조 안정된 해밀턴 벡터장의 트리 표현)

본 실시 형태의 그래프 표현 작성 공정에 관련된 이차원 구조 안정된 해밀턴 벡터장의 트리 표현에 대하여 설명한다. 이하에서, O-word에 의해 표현되는 흐름 패턴의 그래프 표현과, I, II-word에 의해 표현되는 흐름 패턴의 그래프 표현에 대하여 설명한다.

(2-2-1. O-word에 의해 표현되는 흐름 패턴의 그래프 표현)

H를 이차원 영역 D_z(M) 상의 O-word에 의해 표현되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장이라고 하고, D를 그 saddle connection diagram이라고 한다. 이 해밀턴 벡터장 H에 대하여 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 및 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하는 방법과 그 평면 그래프로서의 가시화 알고리즘을 이하에 설명한다.

먼저, 영역 전체 D_z(M)으로부터 D를 모두 제거하면, 몇 개의 (무한한 주기 궤도를 포함함) 원환 개(開)집합인 연결 성분으로 이루어지는 집합 C_H = D_z(M)＼D를 구성할 수 있다. 이 각 연결 성분을 정점 집합 V라고 한다. 루트의 정점은 이들 연결 성분 중 가장 외측에 있는 연결 성분으로 하고, 그 라벨로서 포함되어 있는 주기 궤도가 반시계 회전일 때에는 +_φ, 시계 회전일 때에는 -_φ을 할당한다.

다음으로, 에지는 이하와 같이 작성한다. 2개의 정점 v, w ∈ V에 대하여, 이들 정점에 대응하는 연결 성분의 폐포(閉包)의 공통 부분(즉, 성분의 공통 경계)이 1차원 dim(cl(v) ∩ cl(w)) = 1, 또한, v가 w의 외측의 성분이 되어 있는 경우에, 그 2개 사이에 방향이 있는 에지 v ⇒ w ∈ E를 구성한다. 또한, 이 공통 부분(경계) 집합 cl(v) ∩ cl(w)가 saddle connection이며, 자 연결 성분 w가 반시계 회전(또는 시계 회전)의 주기 궤도를 가질 때, w의 라벨로서 +₀(또는 -₀)을 할당하는 것으로 한다. 마찬가지로, 그 공통 부분(경계) 집합 cl(v) ∩ cl(w)가 ∂-saddle connection이며, w 내의 주기 궤도의 방향이 반시계 회전(또는 시계 회전)이면, w의 라벨을 +₂(또는 -₂)라고 한다.

C_H의 내부에는 ss-orbit은 1개도 존재하지 않으므로, 연결 성분 v의 자 정점 집합 Г(v)는, Г(v) = Г+₀(v) U Г-₀(v) U Г+₂(v) U Г-₂(v)가 되는 것에 주의한다. Vo₀ = Vo₂ = φ이기도 하므로, 정점 집합 V의 부분 집합 V₀ = V+₀ ∪ V-₀ 및 V₂ = V+₂ ∪ V-₂로 되어 있다. 이들 부분 정점 집합에 들어 있는 원(元)의 수는 모든 구조 안정된 흐름 패턴이 조작 B₀, B₂, C에 의해서 구성되어 있기 때문에 어림잡을 수 있다.

도 46은 조작 B₀, B₂, C에 의해서 생성되는 모든 흐름선 패턴과 그것에 대응하여 연결 부분 집합(정점 집합)에 여기되는 모자 관계를 나타내고 있다. (a)는 B₀, (b)는 B₀, (c)는 B₀B₀, (d)는 B₂C^{k -1}, k ≥ 1, (e)는 B₂C¹, l ≥ 1, (f)는 B₂ ²C^{k +l-1}, k, l ≥ 1, (g)는 B₀B₂C^k, k ≥ 1, (h)는 B₀B₂C^l, l ≥ 1을 나타내고 있다. 도 46에 있어서, v는 모 연결 부분 집합을 나타내고, 그 자 연결 부분 집합은 w, y, z 등과 같이 표현되어 있다. 파선은 모 연결 부분의 집합을 나타내기 위하여, 거기에 포함되어 있는 주기 궤도를 1개만 방향과 함께 그리고 있다.

도 46 (a)에 나타낸 바와 같이, 조작 B₀에 의해서 만들어진 외향 8자 패턴을 구성할 수 있다. v와 homoclinic saddle connection을 경계로 하여 공유하는 2개의 연결 성분 w₁ ∈ V₀ 및 w₂ ∈ V₀에서, 그 부합이 동일한, 즉, sgn(v) = sgn(w₁) = sgn(w₂)가 되는 것이 존재한다. 다른 한편, B₀에 의해 만들어진 패턴이 도 46 (b)에 나타낸 바와 같이 내향 8자 패턴이었을 때, 모 성분 v를 어느 연결 성분에 취할지에 따라서, 2종류의 v와 w ∈ V₀의 2개의 에지(1개는 sgn(v) = sgn(w), 또 1개는 sgn(v) ≠ sgn(w)가 되어 있음)를 구성할 수 있다.

도 46 (c)에 나타낸 바와 같이, 조작 B₀B₀에 의해서는 2종류의 모자 에지 관계가 형성된다. 좌측의 패턴에서는, 모 연결 성분 v로부터, sgn(v) = sgn(w₁) = sgn(w₂) 또한 sgn(v) ≠ sgn(w₃)이 되는 3개의 자 연결 성분 w₁, w₂, w₃ ∈ V₀에의 에지를 구성할 수 있다.

우측의 패턴에서는, 모 연결 성분 v로부터 sgn(v) = sgn(w₁) ≠ sgn(w₂)가 되는 2개의 자 연결 성분 w₁, w₂∈V₀에의 에지를 구성할 수 있다. 이하에서, 마찬가지로, 도 46 (d)∼(f)에 나타낸 바와 같이, 각 조작 B₂C^{k -1}, B₂C^l, B₂ ²C^{k +l-1}(k ≥ 1, l ≥ 1)에 의해서 k개의 v와 동일한 방향의 주기 궤도를 포함하는 연결 성분과 역방향의 주기 궤도를 포함하는 l개의 연결 성분 사이의 모자 관계의 에지가 순차적으로 구성된다.

도 46 (g)는 조작 B₀B₂C^k에 의해서 구성된 흐름선 패턴이며, 이에 의해 v로부터 w₁, w₂ ∈ V₀, 또는, v로부터 w ∈ V₀에의 동일한 부합을 갖는 영역에의 에지와, k개의 반대의 부합을 갖는 자 연결 성분 z_j ∈ V₀(j = 1, ..., k)에의 에지가 구성된다.

마지막으로, 조작 B₀B₂C^l(l ≥ 1)에 의해서 만들어지는 도 46 (h)의 흐름선 패턴에 대응해서는, sgn(v) ≠ sgn(w)가 되는 w ∈ V₀에의 1개의 에지와, 동일한 부합을 갖는 l개의 y_j ∈ V₀(j = 1, ..., l)에의 에지가 생긴다.

이 이외에, 조작 B₀, B₂, C에 의해서 새로운 모자 관계를 생성하는 것은 존재하지 않으므로, 이상으로부터, 자 연결 성분의 집합에 포함되는 원의 수는 #Γ+₀(v), #Γ-₀(v) ≤ 2이며, 자 정점 집합에 포함되는 원의 수 #Γ+₂(v), #Γ-₂(v)에 대해서는 임의의 비부(非負)정수를 선택할 수 있다.

다음으로, 부여된 saddle connection diagram으로부터 얻어지는 그래프 표현을 어떻게 평면 그래프로서 묘화하는지를 설명한다. 먼저, 모든 연결 부분 v ∈ V에 대하여, 그 자 연결 부분 집합 Γ(v)에 포함되는 원을 라벨에 관한 순서 관계의 룰 (1)에 따라서 줄을 바꿔 둔다. 단, 복수의 동일한 라벨 +₀(또는 -₀)이 포함되어 있을 때는 사이클릭한 순서로 늘어세운다(이것은 #Γ+₀(v), #Γ-₀(v) ≤ 2라고 하는 것으로부터 일의적으로 실현할 수 있다.). 한편, 라벨 +₂ 및 -₀에 대응하는 자 연결 부분 집합 Γ+₂(v) 및 Γ-₂(v)에 대해서는, 그 늘어세우는 방식은 이하와 같은 룰에 따르는 것으로 한다.

도 46에 있는 y_j라고 쓰여진 연결 부분에 대하여 그 순서를 사이클릭하게 늘어세운다. 즉, 이 중에서 특정 연결 부분을 y₁로서 선택하여, 나중에는 반시계 회전으로 연결 성분을 늘어세운다. 동일한 도면 중 z_j라고 쓰여진 자 연결 성분에 대해서는 단지 반시계 회전으로 늘어세울 수 있다.

이하에서 설명하는 (2-2-1-1. O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리) 및 (2-2-2-1. I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리)에 대하여, 이하와 같이 정의한다. N에 의해 비부정수가 이루는 집합으로 하고, N^∞에 의해 비부정수가 이루는 유한열의 집합으로 한다(즉, N^∞ = N U N² U N³···). N^∞ 상에 이하와 같이 반(半) 순서 < 를 정의한다. N^∞의 원 s = s₁···s_n, t = t₁···t_m에 대하여, 「n < m」 또는 「n = m 또한 s₁ = t₁, ..., s_{k -1} = t_k-1 또한 s_k < t_k가 되는 자연수 k > 0이 존재하는 것이다」가 성립될 때, s < t라고 정의한다. 이하에서는, 정점 집합 V로부터 N^∞에의 단사(單射) 함수 S : V → N^∞을 부여한다. 이 때, 정점 v에 대하여, S(v)를 정점 id라고 부른다. 여기서, 단사성으로부터, 정점과 그 정점 id를 동일시한다. 또한, root의 정점 id는 0으로 둔다(정점과 id를 동일시하기 위하여). 또, 이하의 구성으로부터, 정점 id는, 트리의 높이 우선 탐색의 순번에 대응하고 있다는 것을 알 수 있다. 이하에서, σ ∈ {+, -}를 나타내고, μ = -σ으로 하고, G에서 트리, s, s', t, u에서 정점 id, T에서 정점 id의 부분 집합을 나타낸다. 또, 이하에서, 도 46, 49를 참조하지만, 흐름의 방향은 무시하는 것으로 한다.

(2-2-1-1. O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리)

도 47a∼도 47e는 O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다. 컴퓨터 등의 장치에 의해, 도 47a∼도 47e에 나타낸, O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 실행 가능하다.

도 47a∼도 47e에 있어서, input을 saddle connection diagram D로 하고, saddle connection diagram D를 outermost에 root가 있도록 변환하고(단계 S101), s = 0, T = {0}으로 둔다(단계 S102). root 0의 외측 경계가 반시계 회전인지 여부를 판단한다(단계 S103), root 0의 외측 경계가 반시계 회전인 경우에는(단계 S103의 「Yes」), σ = +, 트리 G = (0, +_φ)라고 하고(단계 S104), root 0의 외측 경계가 반시계 회전이 아닌 경우, 즉, 시계 회전인 경우에는(단계 S103의 「No」), σ = -, 트리 G = (0, -_φ)로 하여(단계 105), 단계 S106으로 이행한다.

단계 S106에서는, root 0이 도 46 (a)의 형태(패턴)를 하고 있는지 여부를 판단한다. root 0이 도 46 (a)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 106의 「Yes」), w₁, w₂의 정점 id를 00, 01이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (a)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리 G(즉, G를 (00, σ₀) ← (0, σ_φ) → (01, σ₀))라고 정하고, 집합 T에 {00, 01}을 추가한다(단계 S107). 즉, T = {0, 00, 01}로 치환한다. 이 치환 조작을 T ← TU{00, 01}이라고 나타낸다. 그 후, 처리는 단계 S114로 이행한다.

다른 한편, 단계 S106에 있어서, root 0이 도 46 (a)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 106의 「No」), 단계 S108로 이행한다.

단계 S108에서는, root 0이 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. root 0이 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 108의 「Yes」), w의 정점 id를 00이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (b)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리(즉, G를 ((0, σ_φ) → (00, σ₀)))라고 정하고, 집합 T에 {00}을 추가한다(단계 S109). 즉, T ← T U {00}이라고 한다. 그 후, 처리는 단계 S114로 이행한다.

다른 한편, 단계 S108에 있어서, root 0이 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S108의 「No」), 단계 S110으로 이행한다.

단계 S110에 있어서, root 0이 도 46 (d)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. root 0이 도 46 (d)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S110의 「Yes」), y₁, ..., y_k의 정점 id를 00, ..., 0k-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (d)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, 집합 T에 {00, ..., 0k-1}을 추가한다(단계 S111). 즉, T ← T U {00, ..., 0k-1}이라고 한다. 그 후, 처리는 단계 S114로 이행한다.

다른 한편, 단계 S110에 있어서, root 0이 도 46 (d)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S110의 「No」), 트리 G를 σ_φ로 정하고(단계 S112), 이 트리 G를 output하여(단계 S113), 처리를 종료한다.

단계 S114에 있어서, T 중에 s보다 큰 원 t가 존재하는지 여부를 판단한다. s가 T 중에서 최대 원인 경우에는(단계 S114의 「No」), 트리 G의 정점 id를 모두 제거하여, 나머지의 트리를 G라고 하고(단계 S115), 트리 G를 output하여(단계 S113), 처리를 종료한다.

다른 한편, 단계 S114에 있어서, s가 T 중에서 최대 원이 아닌 경우에는(단계 S114의 「Yes」), s' = min{t∈T | s < t}(즉, s'를 T 중에서 s의 다음으로 큰 원)로 하여, s를 s'와 치환하여, (s, σ_*) ← (s', σ_*')로 한다(단계 116). 그 후, 처리는 단계 S117로 이행한다.

단계 S117에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계 s가 도 46 (a)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (a)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 117의 「Yes」), w₁, w₂의 정점 id를 s0, s1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (a)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, s1}을 추가한다(단계 S118). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S117에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle이 아니거나, 또는, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (a)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S117의 「No」), 단계 S119로 이행한다.

단계 S119에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S119의 「Yes」), w의 정점 id를 s0이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (b)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0}을 추가한다(단계 S120). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S119에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle이 아니거나, 또는, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S119의 「No」), 단계 S121로 이행한다.

단계 S121에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (d)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s의 외측 경계가 1개의 homoclinic saddle connection과 saddle로 이루어지고, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (d)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 121의 「Yes」), y₁, ..., y_k의 정점 id를 {s0, ..., sk-1}이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (d)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sk-1}을 추가한다(단계 S122). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S121에 있어서, 정점 s의 외측 경계가 1개인 homoclinic saddle connection과 saddle이 아니거나, 또는, 정점 s의 내부 경계가 도 46 (d)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S121의 「No」), 단계 S123으로 이행한다.

단계 S123에 있어서, 정점 s가 도 46 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s가 도 46 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S123의 「Yes」), 단계 S124로 이행한다.

단계 S124에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인지(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인지) 여부를 판단한다. 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인) 경우에는(단계 S124의 「Yes」), w₁, w₂, w₃의 정점 id를 s0, s1, s2라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (c)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, s1, s2}를 추가한다(단계 S125). 그 후, 처리는, 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S124에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +가 아닌 경우, 즉, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 -인(즉, s 중의 흐름은 시계 회전인) 경우에는(단계 S124의 「No」), w₁, w₂, w₃의 정점 id를 s1, s2, s0이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (c)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, s1, s2}를 추가한다(단계 S126). 그 후, 처리는, 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S123에 있어서, 정점 s가 도 46 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S123의 「No」), 단계 S127로 이행한다.

단계 S127에 있어서, 정점 s가 도 46 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s가 도 46 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S127의 「Yes」), 단계 S128로 이행한다.

단계 S128에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인지(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인지) 여부를 판단한다. 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인) 경우에는(단계 S128의 「Yes」), w₁, w₂의 정점 id를 s0, s1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (c)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, s1}을 추가한다(단계 S129). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S128에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +가 아닌 경우, 즉, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 -인(즉, s 중의 흐름은 시계 회전인) 경우에는(단계 S128의 「No」), w₁, w₂의 정점 id를 s1, s0이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (c)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, s1}을 추가한다(단계 S130). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S127에 있어서, 정점 s가 도 46 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S127의 「No」), 단계 S131로 이행한다.

단계 S131에 있어서, 정점 s가 도 46 (h)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s가 도 46 (h)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S131의 「Yes」), y₁, ..., y_l, w의 정점 id를 s1, ..., sl, s0이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (h)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sl}을 추가한다(단계 S132). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S131에 있어서, 정점 s가 도 46 (h)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S131의 「No」), 단계 S133으로 이행한다.

단계 S133에 있어서, 정점 s가 도 46 (g)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s가 도 46 (g)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우(단, k = 0인 경우도 포함함)는 (단계 133의 「Yes」), w₁, w₂, z₁, ..., z_k의 정점 id를 s0, s1, s2, ..., sk+1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (g)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sk+1}을 추가한다(단계 S134). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S133에 있어서, 정점 s가 도 46 (g)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S133의 「No」), 단계 S135로 이행한다.

단계 S135에 있어서, 정점 s가 도 46 (g)의 오른쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 s가 도 46 (g)의 오른쪽의 형태를 하고 있는 경우(단, k = 0인 경우도 포함함)는 (단계 S135의 「Yes」), w, z₁, ..., z_k의 정점 id를 s0, s1, ..., sk라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (g)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sk}를 추가한다(단계 S136). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S135에 있어서, 정점 s가 도 46 (g)의 오른쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S135의 「No」), 단계 S138로 이행한다(이 경우, 단계 S137에 나타낸 바와 같이, 정점 s는 도 46 (f)의 형태를 하고 있다).

단계 S138에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인지(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인지) 여부를 판단한다. 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +인(즉, s 중의 흐름은 반시계 회전인) 경우에는(단계 S138의 「Yes」), y₁, ..., y_k, z₁, ..., z_l의 정점 id를 s0, ..., sk-1, sk, ..., sl+k-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (f)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sl+k-1}을 추가한다(단계 S139). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

단계 S138에 있어서, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 +가 아닌 경우, 즉, 정점 s의 라벨 σ₀의 σ이 -인(즉, s 중의 흐름은 시계 회전인) 경우에는(단계 S138의 「No」), y₁, ..., y_k, z₁, ..., z_l의 정점 id를 sl, ..., sl+k-1, s0, ..., sl-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 46 (f)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {s0, ..., sl+k-1}을 추가한다(단계 S140). 그 후, 처리는 단계 S114로 되돌아간다.

이상의 조작이, O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리이다.

(2-2-2. I-word 및 II-word에 의해서 표현되는 흐름의 그래프 표현)

H를 D_z(M) 내에 1-source-sink point를 갖는 구조 안정된 해밀턴 벡터장, D를 그 ss-saddle connection diagram이라고 한다. 이 때, C_H = D_z(M)＼D는, closed orbit을 포함하는 원환 회(回)영역 또는 ss-orbit을 포함하는 개(開) 원판 영역이 되는 연결 성분으로 이루어진다. 이에 대하여, 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리를 이하와 같이 구성한다. O-word의 때와 마찬가지로, 각 C_H의 연결 성분을 정점 집합에 대응짓는다. 루트가 되는 연결 성분은 C_H 중에서 1-source-sink point에 가장 가까운 개 원판 영역에서, 그 폐포는 1-source-sink point를 포함하고 또한 내부에 시계 회전의 ss-orbit을 포함하는 것을 선택한다. 이 연결 성분에 라벨 o_φ을 할당한다. 이와 같은 결정 방식에 의해 루트는 일의적으로 결정할 수 있다.

도 48은 루트가 되는 연결 성분을 C_H = D_z(M)＼D로부터 선택하는 방법을 설명하기 위한 도면이다. 여기서, D는 I-word 또는 II-word에 의해 표현할 수 있는 ss-saddle connection diagram이라고 한다. 파선은 루트가 되는 연결 성분에 포함되는 ss-orbit을 1개, 그 방향과 함께 쓴 것이다.

도 48에 있어서, (a)는 워드 표현 IA₀A₀에 의해 표현된 ss-saddle connection diagram이며, ss-∂-saddle connection의 흐름의 방향은 오른쪽에서 왼쪽이다. (b)는 워드 표현 IA₀A₀을 갖는 ss-saddle connection diagram에서, ss-∂-saddle connection의 방향은 왼쪽에서 오른쪽이다. (c)는 워드 표현 IIA₀A₀을 갖는 ss-saddle connection diagram에서, 그 가장 외측에 있는 연결 성분에 포함된 주기 궤도의 방향이 시계 회전. (d)는 워드 표현 IIA₀A₀은 (c)와 동일하만 주기 궤도의 방향이 반대이다. 각 ss-saddle connection diagram의 아래에는, 루트가 되어 있는 연결 성분 내에 어떤 점을 무한대로 그리는 것과 같은 등각 사상(寫像)에 의해서 생기는 ss-saddle connection diagram의 상(像)을 나타내고 있다. 이 사상에 의한 상에서는, 루트에 포함되는 ss-orbit은 모두 반시계 회전이 되어 있다.

예를 들면, 도 48 (a)에 나타낸 바와 같은, IA₀A₀라는 워드 표현을 갖는 ss-saddle connection diagram을 생각하면, 1-source-sink point의 바로 위에 있는 연결 성분(파선으로 쓴 곡선이 포함되는 영역)이 루트가 된다. 만약, 동일한 ss-saddle connection diagram이 동일한 형태이더라도 그 흐름의 방향이, 도 48 (b)와 같이 반대가 되면, 그 정의로부터 루트는 1-source-sink point의 바로 아래에 있는 연결 성분이 된다. 도 48 (c)의 워드 표현 IIA₀A₀을 갖는 ss-saddle connection diagram에 대해서는, 1-source-sink point의 바로 위의 연결 성분이, 방향을 역전하면(도 48 (d)), 그 바로 아래의 연결 성분이 루트가 된다. 이 루트가 되어 있는 연결 성분에 있는 점을 1개 선택하고, 그것을 무한 원점으로 그리는 것과 같은 등각 사상에 의해 ss-saddle connection diagram을 그리면, 그 상에 있어서, 루트의 연결 성분은 가장 외측의 연결 성분이 되고, 또한 그 중에서 ss-orbit은 항상 반시계 회전이 되는 것에 주의한다(도 48의 각 도면의 아래 부분 참조).

이렇게 해서 얻어지는 연결 성분으로 이루어지는 정점 집합에 대하여, 정점 사이의 방향 부여 에지를, 루트 연결 성분이 가장 외측이 되도록 등각 사상에 의해 그린 것을 사용하여 도 48에 나타낸 바와 같이 정의한다. 2개의 연결 성분 v, w ∈ V의 폐포의 공통 부분의 차원이 1, 즉, dim(cl(v) ∩ cl(w)) = 1 또한 v가 w의 외측에 있을 때, v로부터 w에의 방향 부여 에지를 구성한다. ss-orbit을 갖는 연결 성분 w ∈ V에 대하여, 만약, cl(v) ∩ cl(w)가 ss-saddle connection(또는 ss-∂-saddle connection)을 포함하는 경우, 그 자 정점 w에는 o₀(또는 o₂)의 라벨을 할당한다. 내부에 반시계 회전의 closed orbit을 갖는 연결 성분 w ∈ V에 대하여, 만약, cl(v) ∩ cl(w)가 saddle connection(또는 ∂-saddle connection)이 되어 있는 경우, 자의 연결 성분 w에는 라벨 +₀(또는 +₂)을 부여한다. 마찬가지로 하여, 라벨 -₀ 및 -₂를 시계 회전의 closed orbit을 갖는 연결 성분에 부여한다.

그 결과, 해밀턴 벡터장 H의 ss-saddle connection diagram에 대하여 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 대응시킬 수 있다. I-word 또는 II-word의 워드 표현을 갖는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 W의 그래프 표현 T_H = (V, E)를 평면 그래프로서 가시화하는 방법은 이하와 같다.

먼저, 자 연결 성분의 집합에 관하여, Г(v) = Г_O(v) U Г₊(v) U Г_-(v)가 되어 있는 것에 주의한다. 현재, Г(v)에 들어 있는 원은 미리 순서 관계의 룰 (1)에 따라서 줄이 바뀌어 있고, 또한 동일한 라벨을 갖는 Г+₂(v) U 및 Г-₂(v)의 원에 대해서는, O-word의 가시화의 때와 마찬가지로 사이클릭하게 반시계 회전으로 나열되어 있다고 해 둔다. V₊나 V_-에 들어 있는 closed orbit을 갖는 연결 성분 v에 대한 평면 그래프에의 가시화는, 플로우차트(도 47a 내지 도 47e)를 이용하면 되므로, 나중에는 V_o에 들어 있는 연결 성분에 대한 그래프의 묘화에 대하여 생각하면 된다.

도 49는 조작 A₀, A₂, C에 의해서 생성되는 ss-saddle connection diagram의 국소 구조와 그것에 대응하여 얻어지는 그래프 표현의 가시화를 나타낸 것이다. 도 49에 있어서, 모 연결 성분 v는 o_φ(o₀ 또는 o₂)이라고 표현되어 있다.

도 49에 있어서, (a)는 A₀, (b)는 A₀, (c)는 A₀A₀, (d)는 A₂C^k(k ≥ 0), (e)는 A₂C^l(l ≥ 1), (f)는 A₂ ²C^{k +l}(k, l ≥ 1), (g)는 A₀A₂C^k(k ≥ 0), (h)는 A₀A₂C^l(l ≥ 1)에 의해서 구성되는 국소적인 ss-saddle connection diagram과 그것에 대응하여 생성되는 연결 성분의 모자 관계, 모 연결 성분 v에 포함되는 반시계 회전의 ss-orbit은 파선으로 나타내고 있다. 모 연결 성분의 라벨은 o_*(단, *은 φ, 0 또는 2 중 어느 1개)이라고 표현되어 있다. ss-orbit의 방향은 항상 반시계 회전이 되도록 루트를 정하고 있으므로, 그 자가 되는 연결 성분에 포함되는 궤도가 흐르는 방향은 자동적으로 정해진다.

보다 구체적으로 설명하면, 도 49 (a)에 어떤 외향 homoclinic saddle connection에 대하여, 모 연결 성분 v는 2개의 자 연결 성분 w ∈ Vo₀과 y ∈ V+₀을 가지므로, o_*로부터 o₀과 +₀에의 2개의 화살표를 묘화한다. 도 49 (b)에 있는 바와 같은 내향 homoclinic saddle connection에 대해서는, 모를 어느 연결 성분으로 선택하는지에 따라서, o₀ 또는 -₀에의 화살표를 그릴 수 있다. 조작 A₀A₀에 의해 만들어지는 구조에 대해서는, 도 49 (c)에 나타낸 바와 같이 2종류의 패턴이 만들어지므로, 그것에 따라서 o₀, +₀, -₀에의 3개의 화살표를 그리거나 o₀과 -₀에의 2개의 에지를 그릴 수 있다.

조작 A₂C^k(k ≥ 0)에 의해 만들어지는 도 49 (d)와 같은 k개의 closed orbit을 포함하는 연결 성분 {z₁, ..., z_k}를 갖는 국소적인 ss-saddle connection diagram의 국소 구조에 대응하여, o₂ 및 k개의 +₂의 화살표를 그린다. 조작 A₂C^l(l ≥ 1)에 의해 만들어지는 l개의 시계 회전의 closed orbit을 포함하는 자 연결 성분 {y₁, ..., y₁}을 갖는 국소 흐름선 구조(도 49 (e))에 대해서는, l개의 화살표와 -₂를 그리면 된다. 도 3 (f)에는, A₂ ²C^{k +l}(k, l ≥ 1)에 의해 만들어지는 1개의 자 연결 성분 w ∈ Vo₂와 l개의 자의 연결 성분 {y₁, ..., y₁}과 k개의 자 연결 성분 {z₁, ..., z_k}를 갖는 국소 구조와, 그것에 대응하여 k개의 +₂와 l개의 -₂에의 화살표를 그릴 수 있는 것이 나타나 있다. 마지막으로, 조작 A₀A₂C_k(k ≥ 0)에 의해 부여되는 도 49 (g)(또는 도 49 (h)와 같은 A₀A₂C^l(l ≥ 1))의 구조에 대해서는, o₂, -₀(또는 o₀, +₀)의 화살표를 그려서 그 우측에 k개의 +₂(또는 l개의 -₂)에의 화살표를 그린다.

(2-2-3-1. I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리)

도 50a∼도 50d는 I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다. 도 50a∼도 50d에 나타낸, I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리는, 컴퓨터 등의 장치에 의해서 실행 가능하다.

도 50a∼도 50d에 있어서, input을 ss-saddle connection diagram D로 하고, 소정의 좌표 변환을 하여, 도 48에 나타낸 바와 같은, outermost에 root가 있도록 변환하고(단계 S141), u = 0, T = {0}, 트리 G = (0, o_φ)로 둔다(단계 S142).

단계 S143에 있어서, root 0이 도 49 (a)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. root 0이 도 49 (a)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S143의 「Yes」), w, y의 정점 id를 1, 00이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (a)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리(즉, G를 (1, o₀) ← (0, o_φ) → (00, +₀))이라고 정하고, T에 {1, 00}을 추가한다(즉, T = {0}을 T = {0, 1, 00}과 치환한다)(단계 S144). 그 후, 처리는 단계 S149로 이행한다.

다른 한편, 단계 S143에 있어서, root 0이 도 49 (a)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S143의 「No」), 단계 S145로 이행한다.

단계 S145에 있어서, root 0이 도 49(b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. root 0이 도 49(b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S145의 「Yes」), w의 정점 id를 1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (b)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리(즉, G를 ((0, o_φ) → (1, o₀))이라고 정하고, T에 {1}을 추가한다(단계 S146). 그 후, 처리는 단계 S149로 이행한다.

다른 한편, 단계 S145에 있어서, root 0이 도 49(b)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S145의 「No」), 단계 S148로 이행한다(이 경우, 단계 S147에 나타낸 바와 같이, root 0이 도 49 (d)의 형태를 하고 있다).

단계 S148에 있어서, w, z₁, ..., z_k의 정점 id를 1, 00, ..., 0k-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (d)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {1, 00, ..., 0k-1}을 추가하고, 단계 S149로 이행한다.

단계 S149에 있어서, T 중에 u보다 큰 원 t가 존재하는지 여부를 판단한다. u가 T 중에서 최대 원인 경우에는(단계 S149의 「No」), 트리 G의 정점 id를 모두 제거하여, 나머지의 트리를 G로 두고(단계 S150), 트리 G를 output하여(단계 S151), 처리를 종료한다.

다른 한편, 단계 S149에 있어서, u가 T 중에서 최대 원이 아닌 경우에는(단계 S149의 「Yes」), u' = min{t ∈ T | u < t}(즉, u'를 T 중에서 u의 다음으로 큰 원)로 하여, u를 u'와 치환한다(단계 S152). 그 후, 처리는 단계 S153으로 이행한다.

단계 S153에 있어서, u가 자연수인지(즉, o_φ, o₀, o₂의 id에 대응하는지) 여부를 판단한다. u가 자연수가 아닌 경우에는(단계 S153의 「No」), O-word의 처리인 도 47b의 S114로 이행한다.

다른 한편, 단계 S153에 있어서, u가 자연수인 경우에는(단계 S153의 「Yes」), 단계 S155로 이행한다.

단계 S155에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과, 원 문자 S(흡입 용출 쌍: 도 4 참조)로 이루어지고, u의 내측 경계가 도 49 (a)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u의 외측 경계가 1개의 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어지고, u의 내측 경계가 도 49 (a)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S155의 「Yes」), w, y의 정점 id를 u+1, u0이라고 정하고, 트리 G를 도 49 (a)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리(즉, G를 (u+1, o₀) ← (u, o₀) → (u0,+₀))이라고 정하고, T를 TU{u+1, u0}과 치환한다(단계 S156). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S155에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어져 있지 않거나, 또는, u의 내측 경계가 도 49 (a)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S155의 「No」), 단계 S157로 이행한다.

단계 S157에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어지고, u의 내측 경계가 도 49 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u의 외측 경계가 1개의 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어지고, u의 내측 경계가 도 49(b)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S157의 「Yes」), w의 정점 id를 u+1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (b)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1}을 추가한다(단계 S158). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S157에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어져 있지 않거나, 또는, u의 내측 경계가 도 49 (b)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S157의 「No」), 단계 S159로 이행한다.

단계 S159에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어지고, u의 내측 경계가 도 49 (d)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u의 외측 경계가 1개의 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어지고, u가 도 49 (d)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S159의 「Yes」), w, z₁, ..., z_k의 정점 id를 u+1, u0, ..., uk-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (d)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0, ..., uk-1}을 추가한다(단계 S160). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S159에 있어서, 정점 u의 외측 경계가 외향 homoclinic ss-saddle connection과 원 문자 S로 이루어져 있지 않거나, 또는, u의 내측 경계가 도 49 (d)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S159의 「No」), 단계 S161로 이행한다.

단계 S161에 있어서, 정점 u가 도 49 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S161의 「Yes」), w, y₁, y₂의 정점 id를 u+1, u0, u1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (c)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0, u1}을 추가한다(단계 S162). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

단계 S161에 있어서, 정점 u가 도 49 (c)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S161의 「No」), 단계 S163으로 이행한다.

단계 S163에 있어서, 정점 u가 도 49 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S163의 「Yes」), w₁, w₂의 정점 id를 u+1, u0이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (c)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0}을 추가한다(단계 S164). 그 후, 처리는 단계 S149로 이행한다.

다른 한편, 단계 S163에 있어서, 정점 u가 도 49 (c)의 오른쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S163의 「No」), 단계 S165로 이행한다.

단계 S165에 있어서, 정점 u가 도 49 (g)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (g)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S165의 「Yes」), w, y, z₁, ..., z_k의 정점 id를 u+1, u0, u1,..., uk라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (g)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0, ..., uk}를 추가한다(단계 S166). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S165에 있어서, 정점 u가 도 49 (g)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S165의 「No」), 단계 S167로 이행한다.

단계 S167에 있어서, 정점 u가 도 49 (h)의 왼쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (h)의 왼쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S167의 「Yes」), w, z, y₁, ..., y_l의 정점 id를 u+1, u0, u1,..., ul이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (h)의 왼쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0, u1, ..., ul}을 추가한다(단계 S168). 단계 S149로 되돌아간다.

단계 S167에 있어서, 정점 u가 도 49 (h)의 왼쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S167의 「No」), 단계 S169로 이행한다.

단계 S169에 있어서, 정점 u가 도 49 (h)의 오른쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (h)의 오른쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S169의 「Yes」), w, y₁, ..., y_l의 정점 id를 u+1, u0, ..., ul-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (h)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0,..., ul-1}을 추가한다(단계 S170). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S169에 있어서, 정점 u가 도 49 (h)의 오른쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S169의 「No」), 단계 S171로 이행한다.

단계 S171에 있어서, 정점 u가 도 49 (f)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (f)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S171의 「Yes」), w, z₁, ..., z_k, y₁, ..., y_l의 정점 id를 u+1, u0, ..., uk-1, uk,..., ul+k-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (f)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u+1, u0,..., ul+k-1}을 추가한다(단계 S172). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

단계 S171에 있어서, 정점 u가 도 49 (f)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S171의 「No」), 단계 S173으로 이행한다.

단계 S173에 있어서, 정점 u가 도 49 (b)의 오른쪽의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (b)의 오른쪽의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S173의 「Yes」), y의 정점 id를 u0이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (b)의 오른쪽의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u0}을 추가한다(단계 S174). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S173에 있어서, 정점 u가 도 49 (b)의 오른쪽의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S173의 「No」), 단계 S175로 이행한다.

단계 S175에 있어서, 정점 u가 도 49 (e)의 형태를 하고 있는지 여부를 판단한다. 정점 u가 도 49 (e)의 형태를 하고 있는 경우에는(단계 S175의 「Yes」), y₁, ..., y_l의 정점 id를 u0, ..., ul-1이라고 정하고, 트리 G를, 도 49 (e)의 트리의 라벨을 id와 라벨의 세트로 치환한 트리라고 정하고, T에 {u0, ..., ul-1}을 추가한다(단계 S176). 그 후, 처리는 단계 S149로 되돌아간다.

다른 한편, 단계 S175에 있어서, 정점 u가 도 49 (e)의 형태를 하고 있지 않은 경우에는(단계 S175의 「No」), 단계 S149로 되돌아간다(이 경우, 단계 S177에 나타낸 바와 같이, 정점 u는 도 49 (a)의 형태를 하고 있다).

이상의 조작이, I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram으로부터의 트리로의 변환 처리이다.

(2-2-3. 그래프 표현과 그 정규 표현)

이상으로부터, 1-source-sink point를 갖는 ss-saddle connection diagram에 대하여, 그 루트를 일의적으로 결정할 수 있고, 또한, 그곳으로부터 조작 A₀, A₂, B₀, B₂, C에 의해서 구성되는 ss-saddle connection diagram의 국소 구조와, 그곳으로부터 도입되는 연결 성분의 사이의 모자 관계는 도 46과 도 49 중에서 모두 표현되어 있으므로, 이하의 것이 나타나게 된다.

Proposition 3.1: 각 1-source-sink point를 갖는 구조 안정된 해밀턴 벡터장의 흐름선 위상 구조에는 고유한 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 표현이 대응한다.

1-source sink point를 갖지 않는 구조 안정된 해밀턴 벡터장에 대해서는, 루트의 선택 방식은 일의적이지 않다. 왜냐하면, 내부에 ∂-saddle을 갖지 않는 원 경계를 포함하는 임의의 연결 성분에 대하여, 어떤 연속 사상이 존재하여, 그것에 의해서 그 연결 성분을 항상 가장 외측의 연결 성분으로 할 수 있기 때문이다. 따라서, saddle connection diagram에 대해서는, 그 연결 성분의 수만 다른 그래프 표현이 존재하게 된다. 이와 같은 애매함을 없애기 위하여, 이러한 연속 사상에 의해서 서로 바뀌어 생기는 그래프 표현은 각각 별도로 말하기로 한다. 즉, 2개의 구조 안정된 해밀턴 벡터장 V₁과 V₂에 대하여, V₁∼V₂라는 동치(同値) 관계를, 어떤 동상(同相) 사상 D_z(M) 상의 동상 사상이 존재하여 V₁과 V₂의 각 궤도가 방향을 바꾸지 않고 서로 그려서 V₁과 V₂의 외측 경계가 대응하고 있는 것에 의해서 정의한다. 이 때, ∼는 동치 관계를 정하고, 이 동치류에 대하여 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리를 부여할 수 있다.

Proposition 3.2: 구조 안정된 해밀토니안 벡터장의 ∼에 의한 동치류의 흐름선 위상 구조에는 고유한 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 표현이 대응한다.

(3. 정규 표현 작성 공정)

상기 도 2의 정규 표현 작성 공정(단계 S2)에 대하여 상세하게 설명한다. 그런데, 그래프 이론에 의해 잘 알려진 사실로서, 임의의 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리에는 고유의 「정규 표현(regular expression)」이라는 것을 생각할 수 있다. T_H = (V, E)를 상기 방법에 의해 부여된 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여 부여된 그래프 표현으로 한다. 이 그래프 표현에 대하여, 그 정규 표현은 이하와 같이 하여 귀납적으로 부여된다. 먼저, 루트 이외의 모든 정점의 in-degree는 모두 1인 것에 주의한다. 만약, ht(T_H) = 0이라면 그래프는 루트만, 즉, V = {v₀}이고, 그 정규 표현은 l(v₀)이다. 현재, 높이 ht(T_H) = n-1의 정규 표현 N이 있었을 때에, 거기에 있는 정점 집합 T_{n -1} = {v₁, v₂, ..., v_m}으로 하면, 각 정점 v_i의 자 정점 집합 Г(v_i) = {v_i1, v_i2, ..., v_imi}와 그것에 대응하는 라벨 l_i = l(v_i)(i = 1, ..., m)을 사용하면, N에 대하여 l_i를 l_i(l_i1, l_i2, ..., l_imi)로 치환함으로써 새로운 정규 표현을 구성할 수 있다. 단, l_ik = l(v_ik)(k = 1, ..., m_i)이다. 이와 같이 하여 구성된 T_H의 정규 표현을 N_TH로 하면, 그 구성 수법으로부터 이하의 명제를 얻는다.

Proposition 3.3: 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 T로부터 정규 표현 N_T에의 사상 N_T = f_N(T)는 전(全)단사이다.

Proposition 3.1과 Proposition 3.2가 주장하고 있는 것은, 환언하면, (ss-)saddle connection diagram H로부터 그 그래프 표현 T_H에의 사상 T_H = f_T(H)는 단사(1 대 1 대응)가 되므로, 위의 Proposition 3.3과 맞추면, 합성 사상 N_T = f_N(f_T(H))도 단사가 된다는 것을 알 수 있다. 즉, 동일한 워드 표현을 갖는 구조 안정된 헤밀톤 벡터장에 대하여 다른 정규 표현이 부여되고, 워드 표현에 의해 구별할 수 없는 패턴도 정규 표현을 사용하면 모두 구별이 가능하게 된다. 그 실시예로서, 도 51a에 동일한 워드 표현 IA₀C에 의해 부여되는 구조 안정된 흐름선 패턴의 그래프 표현의 가시화와 그 정규표현을 나타낸다. (2-2-2. I-word 및 II-word에 의해서 표현되는 흐름의 그래프 표현)에서 설명한 바와 같이 루트의 연결 성분은 1-source-sink point의 바로 아래 또는 바로 위에 있는 것을 선택하고 있다. 이것으로부터도 알 수 있는 바와 모든 정규 표현은 다르다.

도 51a는, IA₀C라는 워드 표현을 갖는 구조 안정된 흐름선 패턴의 그래프 표현과 그 정규 표현을 나타내고 있다. 루트는 그 정의로부터 1-source-sink point의 바로 아래의 연결 성분에 대응하고 있다. 그래프 표현을 얻기 위하여, 루트 연결 성분을 가장 외측의 연결 성분으로 그린 것을 그 우측에 그리고 있다.

(3-1. 트리의 정규 표현으로의 변환 처리)

도 51b는 트리의 정규 표현으로의 변환 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다. 도 51b에 나타낸, 트리의 정규 표현으로의 변환 처리는, 컴퓨터 등의 장치에 의해 실행 가능하다. 이하의 처리에서는, 전처리로서, 트리의 모든 점에 id가 부여된다. 단, 다른 점의 id는 다른 것으로 한다. 도 51b에 있어서, input을 트리 G라고 한다(단계 S178). V를 트리 G의 정점 집합, s = 0, T = {0}, X를 공(空)집합 φ, 정규 표현 N = (s, σ_*)()로 둔다(단계 S179).

단계 S180에 있어서, s의 자를 왼쪽으로부터 읽은 결과를 (s⁽¹⁾, σ⁽¹⁾), ..., (s^(h), σ^(h))라고 한다. 이 때, 정규 표현 N 중의 (s, σ_*)()을 σ_*(s⁽¹⁾, σ⁽¹⁾)(), ..., (s^(h), σ^(h))())과 치환하고, T에 {s⁽¹⁾, ..., s^(h)}, X에 {s}를 추가한다.

단계 S181에 있어서 #V = #X인지 여부를 판단한다. #V = #X인 경우에는(단계 S181의 「Yes」), 정규 표현 N을 output하여, 처리를 종료한다.

다른 한편, 단계 S181에 있어서 #V = #X가 아닌 경우에는(단계 S181의 「No」), s' ∈ T-X를 1개 선택하고(주: 선택 방식에 관계없음), (s, σ_*)을 (s',σ'_*)과 치환하여(단계 S182), 단계 S180으로 되돌아간다.

이상의 조작이, 트리의 정규 표현으로의 변환 처리이다.

계속해서, 상술한 본 실시 형태의 흐름 패턴의 정규 표현 방법을 컴퓨터에 의해 실시하기 위한 장치 구성에 대하여 설명한다. 또한, 이상의 본 실시 형태에 의한 방법을, 사람 또는 컴퓨터에 의해 실시해도 되고, 이하의 실시 형태에 의한 처리 등을 사람에 의해 실시하는 경우에 이용해도 되는 것이다.

[실시 형태 2의 유체 천이 경로 취득 장치의 구성]

다음으로, 실시 형태 2에 관련된 유체 천이 경로 취득 장치의 구성에 대하여 도 52를 참조하여 설명한다. 도 52는 본 실시 형태 2가 적용되는 유체 천이 경로 취득 장치(101)의 일례를 나타낸 블럭도이며, 당해 구성 중 본 실시 형태 2에 관계된 부분만을 개념적으로 나타내고 있다. 도 52에 있어서, 도 29에 나타낸 실시 형태 1의 유체 천이 경로 취득 장치(100)와 동등한 기능을 갖는 부위에는 동일한 부호를 붙이고, 공통되는 부분의 설명을 생략하고, 다른 점에 대해서만 설명한다. 실시 형태 2의 유체 천이 경로 취득 장치(101)가 실시 형태 1의 유체 천이 경로 취득 장치(100)와 다른 점은, 정규 표현 형성부(120)를 구비하고 있는 점과, 천이 정보 취득부(102g2)가, 도 29의 천이 정보 취득부(102g)의 처리에 추가하여, 정규 표현도 사용하여 천이 정보를 취득하는 점과, 시뮬레이션부(102a2)가, 도 29의 시뮬레이션부(102a)의 처리에 추가하여, 추가로, 워드 표현과 정규 표현을 사용하여 설계 파라미터의 후보를 선택하는 설계 파라미터 공정 선택 처리를 실행하는 점이다.

실시 형태 2의 기억부(106)는, 추가로, 유체 천이 경로 취득 장치(101)에 의해 상술의 정규 표현 작성 방법을 실행하기 위하여 필요한 각종 데이터(예를 들면, 도 2∼도 6, 도 46, 도 48∼도 49, 도 51a에 나타낸 것을 데이터화한 것 등), 데이터베이스 및 테이블 등을 격납한다.

실시 형태 2의 제어부(102)는, 추가로, 상술의 정규 표현 작성 방법을 실행하는 정규 표현 형성부(120)를 구비하고 있다. 정규 표현 형성부(120)는, 그래프 표현 형성부(120a), 정규 표현 작성부(120b)를 포함하고 있다.

그래프 표현 형성부(120a)는, 상술의 그래프 표현 작성 공정(단계 S21)을 실행하기 위한 그래프 표현 작성 수단이며, 예를 들면, 도 47a∼도 47e에 나타낸, O 계열에 있어서의 saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리, 및 도 50a∼도 50d에 나타낸, I, II 계열에 있어서의 ss-saddle connection diagram의 트리로의 변환 처리 등을 실행함으로써, 위상기하학적으로 N(단, N은 1 이상의 정수)개의 구멍을 갖는 다중 연결 외부 영역에 있어서의 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현을 작성한다. 여기서, 그래프 표현은, 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하고(단, V는 정점이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것이어도 된다. 또, 그래프 표현은, 모의 정점을 v, 그 자의 정점을 w, 모의 정점 v에 할당된 라벨을 l(v), 자의 정점 w에 할당된 라벨을 l(w), v의 자 정점 집합 Γ(v)라고 한 경우, v의 자 정점 집합 Γ(v)를 소정의 순서 관계의 룰에 따라서 줄을 바꾸고, w ∈ Γ(v)에 대하여, l(v)로부터 l(w)로의 화살표를 왼쪽에서 오른쪽으로 나란히 묘화된 것을 포함하고 있어도 된다. 또, 흐름 패턴은, (1) 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴 I, (2) 상기 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴 II, (3) 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴 O, 중 1개 또는 복수여도 된다. 또, 흐름 패턴이 흡입 용출 쌍을 갖는 경우에는, 흐름 패턴을 그 흡입 용출 쌍에 가장 가까운 반시계 회전의 ss-orbit을 포함하는 영역이 가장 외측 영역이 되도록 변환하고, 변환한 흐름 패턴의 (ss-)saddle connection diagram에 나타나는 궤도를 영역 전체로부터 추출하고, 영역 전체로부터 (ss-)saddle connection diagram에 나타나는 궤도를 모두 제외하여 얻어지는 연결 성분에 정점을 설정하고, 가장 외측에 있는 연결 성분을 루트로 하고, 커런트 성분과 서로 경계를 접하는 것과 같은 연결 성분을 커런트 성분의 자로 하여, 경계에 닿는 궤도 에 따라서 라벨을 할당하고, 당해 라벨을 소정의 순서 관계에 따라서 늘어세우고, 커런트 성분의 자를 커런트 성분에 설정하여, 자가 없어질 때까지 반복하기로 해도 된다. 또, 이러한 흐름 패턴은, 패턴어 중 1개 또는 복수로부터 개시하고, 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를 부여하는 조작을, 구멍의 수가 N개가 될 때까지 반복해서 작성된 흐름 패턴도인 것으로 해도 된다.

또, 정규 표현 작성부(120b)는, 상술의 정규 표현 작성 공정(단계 S22)을 실현하기 위한 정규 표현 작성 수단이며, 예를 들면, 도 51b에 나타낸, 트리의 정규 표현으로의 변환 처리 등을 실행함으로써, 그래프 표현 작성부(120a)에 의해 작성된 그래프 표현으로부터 정규 표현을 작성한다.

시뮬레이션부(102a2)는, 추가로, 설계 파라미터 후보 선택 처리(도 56 참조)를 실행한다. 설계 파라미터 후보 선택 처리에서는, 유체 중의 물체에 대하여 설계 파라미터의 후보를 선택하는 경우에, 설계 파라미터의 상한 및 하한을 설정하고, 당해 설계 파라미터의 상한과 하한에 의해 규정되는 파라미터 영역으로부터 복수의 파라미터를 선택하고, 선택한 복수의 파라미터에 대하여, 각각 흐름의 실험 및/또는 수치 계산을 행하고, 실험 및/또는 수치 계산의 결과에 대하여, 워드 표현 및/또는 정규 표현을 할당하고, 할당한 워드 표현 및/또는 정규 표현 중, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖는 설계 파라미터를, 상기 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 것으로 해도 된다.

또, 설정 파라미터 후보 선택 처리에서는, 할당한 워드 표현 및/또는 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖지 않는 경우에도, 흐름 패턴이 1회의 천이에 의해, 워드 표현 및/또는 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 워드 표현 및/또는 정규 표현을 갖는 경우에는, 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 것으로 해도 된다. 또한, 설계 파라미터 후보 선택 처리에서는, 추가로, 선택한 설계 파라미터를 사용하여 최적화 설계를 행하는 것으로 해도 된다.

천이 정보 취득부(102g2)는, 워드 표현에 추가하여, 흐름 패턴에 1 대 1로 완전히 대응하는 정규 표현도 사용하여 천이 루트를 취득해도 된다. 천이 정보 취득부(102g2)는, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여 패턴 천이 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 구조 안정된 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 정규 표현을 사용하여 천이 루트를 1개로 특정하는 것으로 해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g2)는, 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여 상기 변화 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현(예를 들면, W₁, W₂)에 대응하는 정규 표현(예를 들면, N₁, N₂)을 각각 취득하고, 복수의 천이 루트의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현(예를 들면, W₁)에 대응하는 정규 표현(예를 들면, N₁)에 포함되어 있지 않은 경우에는, 천이 루트의 후보로부터 제외하는 것으로 해도 된다. 또, 천이 정보 취득부(102g2)는, 제외되지 않은 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 당해 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 제외되지 않은 복수의 선택 루트의 후보 중, 그 정규 표현이, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현(예를 들면, W₂)에 대응하는 정규 표현(N₂)과 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정하는 것으로 해도 된다.

도 53은 실시 형태 2에 관련된 유체 천이 경로 취득 장치(101)에 있어서의, 지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리의 일례를 나타낸 플로우차트이다. 도 53에 있어서, 도 31과 동일한 처리를 행하는 단계에는 동일한 단계 번호를 붙이고 있다. 또한, 이하의 예에서는, 패턴 천이 정보로서, h-불안정 및 p-불안정한 흐름선 패턴의 섭동과 그 부분어 표현에 관하여 얻어진 도 26∼도 28의 리스트를 이용하고 있다.

도 53에 있어서, 먼저, 천이 정보 취득부(102g2)는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴을 지정시킨다(단계 S-11).

그리고, 천이 정보 취득부(102g2)는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴에 대응하는 워드 표현 W₁, W₂를 취득한다(단계 S-12). 예를 들면, 흐름선도가 지정된 경우, 천이 정보 취득부(102g2)는, 워드 표현 형성부(102c)의 처리에 의해, 대응하는 워드 표현 W₁, W₂를 취득한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g2)는, 워드 표현 W₁과 W₂의 차 d를 계산한다(단계 S-13). 즉, 천이 정보 취득부(102g2)는, 적당한 *을 I, II, O로부터 선택하여, d = ind_*(W₁) - ind_*(W₂)를 계산한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g2)는, 차 d를 갖는 천이 패턴 X를, 패턴 천이 정보(도 26∼도 28의 표)로부터 도출한다(단계 S-14). 또한, 차 d를 갖는 천이 패턴 X가 일치하지 않는 경우에는, 2개의 구조 안정된 흐름선 패턴은 1회의 천이에 의해 서로 바꿀 수 없다는 취지를 나타내는 천이 정보로 해도 되고, 또는, 복수 회의 천이에 의해 서로 바꿀 수 있는 천이 루트를 탐색해도 된다. 예를 들면, k회의 천이에 의해 서로 바꿀 수 있다고 하여, 천이 정보 취득부(102g)는, d = ind_*(W₁) - ind_*(W₂) = d₁ + d₂ + ···· + d_k가 되는 것과 같은, 천이 패턴 X₁, X₂, ···, X_k의 조합을 도출해도 된다. 또한, 천이할 때의 서로 이웃하는 흐름선 패턴끼리는, 워드 표현이 동일(부분열을 공유)해야만 한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g2)는, 차 d를 갖는 천이 패턴 X를 리스트로부터 모두 찾아내고(단계 S-14), 각 천이 패턴 X에 대응하는 부분열 S₁과 S₂를 취득한다(단계 S-15). 또한, 상술한 복수 회의 천이를 가정하는 경우, 천이 패턴 X₁, X₂, ···, X_k에 대하여, 각각 부분열 S₁₁과 S₂₁∼S_1k와 S_2k를 구한다.

그리고, 천이 정보 취득부(102g2)는, 부분열 S₁과 S₂에 대하여, 이들이 각각 W₁과 W₂의 부분어가 되어 있는지를 조사하고, 부분어가 되어 있는 경우에는, 천이 패턴 X의 후보로 한다(단계 S-16). 즉, S₁ ⊆ W₁ 또한 S₂ ⊆ W₂인지를 조사한다. 만약, 이것이 성립되어 있던 경우에는 X를 천이의 후보로서 취득하고, 그렇지 않으면 기각한다.

또한, 천이 정보 취득부(102g2)는, 천이 패턴 X의 후보가 복수 있는 경우에는, 정규 표현 형성부(120)의 처리에 의해, W₁, W₂의 워드 표현을 갖는 흐름선 구조의 정규 표현 N₁, N₂를 취득한다(단계 S-17).

천이 정보 취득부(102g2)는, 복수의 천이 패턴의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이 정규 표현 N₁ 중에 존재하지 않는 것을 후보로부터 제외한다(단계 S-18).

천이 정보 취득부(102g2)는, 천이 패턴의 후보가 1개인지 여부를 판단하고(단계 S-19), 천이 패턴의 후보가 1개인 경우에는(단계 S-19의 「Yes」), 그것을 천이 패턴으로서 특정한다(단계 S-20).

다른 한편, 천이 패턴의 후보가 1개가 아닌 경우에는(단계 S-19의 「No」), 천이 정보 취득부(102g2)는, 정규 표현 형성부(120)의 처리에 의해, 천이 패턴 X의 후보에 대하여, 그 정규 표현을 각각 취득한다(단계 S-21).

천이 정보 취득부(102g2)는, 천이 패턴 X의 후보 중, 그 정규 표현이, 정규 표현 N₂와 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정한다(단계 S-22).

이와 같이, 실시 형태 2에서는, 복수의 천이 패턴의 후보가 있는 경우에, 패턴 매칭을 행하지 않고, N₁의 정규 표현에 포함되는 부분 표현의 비교와, 천이 패턴의 정규 표현과 N₂와의 비교에 의해서, 천이가 실제로 일어났는지 여부를 판정할 수 있고, 천이 패턴을 1개로 특정할 수 있다.

[실시예]

도 54 및 도 55를 참조하여, 도 32∼35에서 설명한 실시예와 동일한 조건에 있어서, 워드 표현과 정규 표현을 사용하여 천이 패턴을 특정하는 실시예를 설명한다. 도 54는, 균일 흐름 중에 놓인 한 장의 평판의 t = 5.5부터 t = 7.7까지의 시간 발전과 그 흐름선 패턴의 위상 구조, 그 극대어 표현, 및 그 정규 표현이다. 도 55는 시각 t = 5.5부터 7.7의 시간 발전의 동안에 일어난 천이를 나타낸 도면이다.

도 54에 있어서, t = 5.5일 때의 흐름선 패턴의 정규 표현 N₀ = o_φ(o₂(-₂(-₀, -₀, +₂))), t = 6.6일 때의 흐름선 패턴의 정규 표현 N₁ = o_φ(o₀(o₂, -₀(-₀, -₀), +₂), 및 t = 7.7일 때의 흐름선 패턴의 정규 표현 N₂ = o_φ(o₀(o₀(o₂, -₀, +₂), -₀))을 추가로 할당하고 있다. 어떠한 천이가 일어났는지 여부를 본 실시 형태 2의 알고리즘(지수의 차를 이용한 천이 루트 탐색 처리 등)에 따라서 부여하는 것으로 한다. 실시 형태 2의 알고리즘에서는, 천이 패턴의 특정을 워드 표현과 정규 표현의 비교에 있어서만 행하는 것이 가능하다.

먼저, 시각 t = 5.5와 t = 6.6의 극대어 표현이 W₀ = ICCB₀ 및 W₁ = IA₀CB₀이므로, 먼저 그 지수의 차 d를 취하면, d = ind_I(W₁) - ind_I(W₀) = (1, 0, 0, 0, -1)이 되지만, 이와 같은 지수의 차를 생성하는 천이 X는, 도 26∼도 28의 리스트로부터, X = IΔ₁, IM_{1, s}, ICM_{1, i}의 3개 있다는 것을 알 수 있다.

X = IM_{1, s}의 천이의 방법에 따라서 대응하는 정규 표현을 부여하면, N_{IM1 , s} = o_φ(o₀(o₂, -₀(-₀, -₀), +₂)를 얻는다. 이것을 비교하면 N₁ = N_{IM1 , s}가 되므로, 정규 표현의 1 대 1 대응으로부터 실제로 일어난 천이는 X = IM_{1, s}인 것을 판정할 수 있다.

다음으로, 시각 t = 6.6부터 t = 7.7에 대하여, 그 극대어 표현은 W₁ = IA₀CB₀와 W₂ = IA₀A₀C이므로, 그 지수의 차를 취하면 d = ind_I(W₂) - ind_I(W₁) = (1, 0, -1, 0, 0)이므로, 도 26∼도 28의 리스트로부터 X를 찾으면, X = ICD₀, A₀E_{0 , s} 및 ICΨ(2)가 얻어진다.

X = ICΨ(2)에 대응하는 부분어 S₁과 S₂는 W₂와 W₁에 포함되지 않으므로, 이것은 제외된다.

한편, X = A₀E_{0 , s} 및 X = ICD₀에 대해서는, 모두 S₁ ⊆ W₂ 또한 S₂ ⊆ W₁이 성립되므로, 이들은 일어날 수 있는 천이의 후보이다. X = A₀E₀의 천이에 따라서 대응하는 정규 표현은 N₂와 균등하게 되므로, 정규 표현의 1 대 1 대응으로부터, 일어나는 천이는 X = A₀E_{0, s}인 것을 특정할 수 있다.

[워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법(설계 파라미터 후보 선택 처리)]

예를 들면, 다리나 교각 등 유체 중에 놓인 물체(이하, 설계 대상이라고 부름)의 형상이나 배치, 또한 그 주위의 흐름의 제어 등을 통하여 설계의 대상에 있어서 최적의 파라미터를 정하는 것과 같은 설계 수법에 대하여, 워드 표현과 정규 표현을 사용하여 어떻게 설계를 행하는지를 설명한다.

전제 1: 설계 대상에는 변경 가능한 설계 파라미터가 있다(형상·배치·흐름의 제어 장치 등).

전제 2: 설계 대상을 설계하는 면에서, 문제에 따른 「최적의 상태」가 설정되어 있고, 그 최적 상태가 흐름선 구조의 특징으로서 기술되어 있는 것으로 한다. 예를 들면, 박리 소용돌이를 가두는 상태를 최적 상태로 하면, 날개라면 양력의 최대화, 교각이라면 항력의 최소화 등을 기대할 수 있다.

전제 3: 이들 설계에 있어서, 설계 파라미터를 바꾸어 실험 및 수치 계산(그리고 그것에 있어서 얻어지는 흐름선 패턴의 워드 표현·정규 표현)을 할 수 있는 것으로 한다. 이하에서, 이차원의 흐름에 한정한다. 삼차원인 경우에는 단면을 취하여 생각하거나 하여 이차원화하는 것 등에 의해 설계가 가능해지는 경우도 있다(삼차원의 경우는 모든 경우에서 가능하다고는 할 수 없다는 것에 주의한다).

종래의 최적화 설계에 있어서는, 초기 상태로부터 시작하여, 설계 파라미터를 경험이나 시행 착오, 또는 기지의 최적화 수법 등에 의한 최적화가 행해지고 있다. 어떤 종류의 최적화가 실현되더라도, 그것은 국소적인 최적화이거나 물리적으로 불안정하거나 해서 실제의 설계를 견딜 수 있는지 여부를 알 수 없는 곳이 있다.

본 실시 형태에 의한 설계 파라미터의 탐색에서는, 이러한 상황에 대하여, 맨처음부터 이상적인 상황을 흐름선 패턴의 워드 표현이나 정규 표현으로서 설정해 두고, 그것이 실현되도록 파라미터 영역을 탐색할 수 있게 된다. 이렇게 하여 최적의 설정을 실현하는 설계 파라미터의 「후보」를 가능한 한 많이 또한 신속하게 찾을 수 있게 된다. 그들 후보로부터 시작해서, 기지의 최적화 수법을 행함으로써 많으면서도 실현성이 높은 설계 파라미터가 얻어질 가능성이 높아진다.

도 56은 워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법, 즉, 상술의 설계 파라미터 후보 선택 처리를 설명하기 위한 플로우차트이다. 도 56에 나타낸 플로우 차트는, 시뮬레이션부(102a2)에 의해 실행된다.

도 56에 있어서, 먼저, 취할 수 있는 설계 파라미터의 상한과 하한을 정한다(단계 S311). 다음으로, 상기 단계 S311에서 정한 파라미터 영역(설계 파라미터의 상한과 하한에 의해 규정되는 영역을 「파라미터 영역」이라고 칭함)을 분할하여, 파라미터 영역으로부터 N개의 파라미터의 조합 샘플(설계 파라미터 P_i(i = 1, ····, N))을 선택한다(단계 S312). 또한, 샘플의 선택은, 지금까지의 경험이나 계산 결과 등을 근거로 하여 적당히 선택해도 되고, 선험적인 정보가 없을 때에는, 파라미터 영역을 등분하여 샘플링해도 된다.

이하에서는, 소용돌이를 가둔 상태를 나타내는 워드 표현으로서 「C」가 워드 표현에 포함되는 것을 설계의 목적으로 하는 예를 설명한다. 각 설계 파라미터 P_i(i = 1, ···, N)에 대하여 각각 흐름의 실험이나 수치 계산을 행한다(단계 S313). 얻어진 각 결과에 워드 표현과 정규 표현의 할당을 행한다(단계 S314). 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현인지 여부를 판단한다(단계 S315). 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현의 경우에는(단계 S315의 「Yes」), 설계 파라미터의 후보로서 채용한다(단계 S316). 다른 한편, 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현이 아닌 경우에는(단계 S315의 「No」), 1회의 천이에 의해, 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현인지 여부를 판단한다(단계 S320). 1회의 천이에 의해, 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현의 경우에는(단계 S320의 「Yes」), 설계 파라미터의 후보로서 채용한다(단계 S316). 1회의 천이(구조 안정된 흐름 패턴으로부터 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴으로의 1회의 천이)에 의해, 그 워드 표현이 최적 상태를 나타내는 IC의 부분어를 갖거나, 또는 그것에 대응하는 정규 표현을 갖는 구조 표현이 아닌 경우에는(단계 S320의 「No」), 설계 파라미터의 후보로는 채용하지 않는다.

단계 S317에서는, 설계 파라미터의 후보가 있는지 여부를 판단하고(단계 S317), 설계 후보의 파라미터가 있는 경우에는(단계 S317의 「Yes」), 설계 파라미터의 후보에 대하여 기존의 최적화 수법을 적용한다(단계 S319). 또한, 기존의 최적화 수법을 적용할 뿐만 아니라, 최적화 과정의 각 단계에 있어서, 항상 워드 표현이나 정규 표현을 계산하여 모니터링함으로써, 정량적인 흐름의 최적화에 추가하여, 이상적인 흐름선 구조의 최적화도 동시에 행하는 것과 같은 최적화 설계도 가능하다.

다른 한편, 설계 파라미터의 후보가 없는 경우에는(단계 S317의 「No」), 파라미터 영역을 더 세밀하게 분할하여(단계 S318), 단계 S313∼S317의 처리를 실행한다.

도 57 및 도 58은 상기의 워드 표현과 정규 표현을 사용한 유체 중의 물체의 설계 방법을 설명하기 위한 구체예의 일례를 설명하기 위한 도면이다. 도 57에 있어서, 균일 흐름 중에 놓인 물체(400)의 배후에 소용돌이 구조가 2개(소용돌이 1, 소용돌이 2) 존재하는 것과 같은 상황이 있었다고 한다. 균일 흐름의 속도(또는 물체의 진행 속도)를 U라고 하고, 물체(400)는 각속도 G로 회전할 수 있는 것으로 한다. 소용돌이의 세기와 위치는 흐름에 있어서 이미 부여되어 있다고 하여, 이 중 소용돌이 1을 「가두어」, 물체(400)에 걸리는 양력을 최대화하고, 소용돌이 2는 흐름을 따라서 물체로부터 멀어질 수 있는 것과 같은 장치를, 「U나 G의 파라미터」를 탐색하여 최적화하는 것을 생각한다. 소용돌이를 가둔 상태의 워드 표현은 C에 의해서 멀어지는 소용돌이는 「A₀에」 의해서 표현할 수 있으므로, 타겟이 되는 상황의 워드 표현으로서는 IA₀C를 달성하는 것을 본 설계 수법의 적용에 의해 파라미터 영역을 좁힌다.

본 설계 파라미터에 대하여, U는 0부터 1.1까지 변화할 수 있고, G는 -1.6×2π부터 1.6×2π까지 변화할 수 있는 것으로 한다(상기 단계 S311에서 설계 파라미터의 상한, 하한을 정한다). 이들 파라미터 구간을 5등분하여 설계 파라미터 영역을 분할(상기 단계 S312)한다. 그리고, 상기 단계 S313∼S320을 실행한 결과가, 도 58의 (a)∼(f)이다. 이 파라미터 영역 중, 이 설계 수법에 의해서 최적화 설계는 「0.5 ≤ U ≤ 0.9, G = -0.8×2π」(도 58의 (a)∼(c)에 대응) 및 「0.3 ≤ U ≤0.7, G = 0」(도 58의 (d)∼(f)에 대응)의 사이에서 달성되어 있다. 이들 파라미터 후보의 압축에 의해, 추가로 이들의 파라미터 영역의 분할을 반복하여, 양력 등의 정량적인 양의 최대화를 하는 것과 같은 최량 파라미터 영역을 찾음으로써, 소용돌이를 가두어 양력을 최대화하기 위한 물체(400)의 속도와 각 회전 속도를 알 수 있다.

이상에서 설명한 바와 같이, 실시 형태 2에 의하면, 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 정규 표현을 사용하여 천이 루트를 1개로 특정하는 것으로 하였으므로, 선택 루트의 후보가 복수 있는 경우이더라도 패턴 매칭을 행하지 않고, 천이 루트를 특정하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 2개의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 복수의 천이 루트의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현에 포함되어 있지 않은 경우에는, 천이 루트의 후보로부터 제외하는 것으로 하였으므로, 천이 루트의 후보의 부분 표현과 정규 표현을 비교하는 것만으로, 실제로 천이할 가능성이 없는 천이 루트의 후보를 제외하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 제외되지 않은 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 당해 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 상기 제외되지 않은 복수의 선택 루트의 후보 중, 그 정규 표현이, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현과 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정하는 것으로 하였으므로, 정규 표현끼리를 비교하는 것만으로, 천이 루트를 1개로 특정하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 위상기하학적으로 N(단, N은 1이상의 정수)개의 구멍을 갖는 다중 연결 외부 영역에 있어서의 흐름 패턴의 정규 표현을 작성하는 정규 표현 작성 방법으로서, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현을 작성하는 그래프 표현 작성 공정과, 그래프 표현 작성 공정에 의해 작성된 그래프 표현으로부터 정규 표현을 작성하는 정규 표현 작성 공정을 포함하는 것으로 하였으므로, 흐름 패턴과 1 대 1로 대응시키는 것이 가능한 새로운 표현 방법을 제공하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 그래프 표현은, 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 및 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하고(단, V는 정점이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것이므로, 구조 안정된 해밀턴 벡터장에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 및 방향이 있는 트리를 평면 그래프로서 가시화한 것을 그래프 표현으로서 제공하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 그래프 표현은, 모의 정점을 v, 그 자의 정점을 w, 모의 정점 v에 할당된 라벨을 l(v), 자의 정점 w에 할당된 라벨을 l(w), v의 자 정점 집합 Γ(v)라고 한 경우, v의 자 정점 집합 Γ(v)를 소정의 순서 관계의 룰에 따라서 줄을 바꾸고, w ∈ Γ(v)에 대하여, l(v)부터 l (w)로의 화살표를 왼쪽에서 오른쪽으로 나란히 묘화하는 것으로 하였으므로, 모자의 연결 관계가 시인하기 쉬운 그래프 표현을 제공하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 흐름 패턴은, (1) 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 2개의 ss-∂-saddle connection을 갖는 패턴 I, (2) 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴 중, 흡입 용출 쌍을 갖고, 1개의 saddle point, 그것을 연결하는 homoclinic saddle connection과 2개의 ss-saddle connection을 갖는 패턴 II, (3) 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴 O 중 1개 또는 복수인 것으로 하였으므로, 기본이 되는 모든 흐름 패턴에 대하여 정규 표현을 부여할 수 있고, 구체적인 흐름 패턴의 정규 표현을 취급할 수 있게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 정규 표현 작성 공정에 의해 작성된 정규 표현을 워드 표현으로 변환하는 워드 표현 변환 공정을 구비하고 있으므로, 정규 표현을 워드 표현으로 변환하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 워드 표현은, 1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어에 대하여, 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 기호어인 것으로 하였으므로, 정규 표현을, 기본이 되는 모든 흐름 패턴과 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 워드 표현으로 변환하는 것이 가능하게 된다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 워드 표현과 마찬가지로, 흐름장에 있어서의 구조물 설계를 행함에 있어서, 구조물에 대하여 취할 수 있는 흐름 패턴을 경험이나 직감에 의지하지 않고 용이하게 취급할 수 있는, 흐름 패턴의 정규 표현 작성 방법, 정규 표현 작성 장치 및 프로그램을 제공할 수 있다. 또, 워드 표현과 정규 표현의 양방을 사용함으로써, 워드 표현만으로는 특정 흐름을 한정할 수 없는 것을 한정할 수 있고, 흐름의 최적 제어의 이론을 보다 발전시킬 수 있다.

또, 실시 형태 2에 의하면, 워드 표현과 정규 표현은, 예를 들면, 교각의 설계, 방파제의 배치, 항만의 오염물의 제거, 풍력 발전의 블레이드의 설계, 열차의 팬터그래프의 구조, 오일 펜스의 최적 배치 등과 같이, 구조물 설계나 배치를 동반하는 여러 가지 분야에 있어서 매우 유용하다. 또, 스포츠 용품의 구조 설계 등과 같이 스포츠 역학 등의 분야에 응용하는 것도 가능하다.

[산업상의 이용 가능성]

이상으로 상세하게 설명에 설명한 바와 같이, 본 발명에 의하면, 흐름 패턴의 천이에 관한 지견을 얻을 수 있는, 유체 천이 경로 취득 장치, 유체 천이 경로 취득 방법 및 프로그램을 제공 및 기록 매체를 제공할 수 있다. 예를 들면, 비행 물체의 설계, 열차의 팬터그래프의 구조, 레이싱 카 등의 자동차의 구조, 스키 점프 등의 스포츠 용품의 설계, 고속선의 설계, 기상예보 등, 구조물의 형상이나 배치의 설계나 제어, 유체의 변화 예측 등을 동반하는 여러 가지 분야에 있어서 매우 유용하다. 특히, 흐름장과 그 안에 포함되는 다수의 구조물의 배치 설계가 중요한 분야(교각의 설계, 방파제의 배치, 항만의 오염 물질의 제거, 풍력 발전의 블레이드의 설계, 항공기 날개의 설계, 오일 펜스의 최적 배치 등)에 있어서 매우 유용하다.

100, 101: 유체 천이 경로 취득 장치
102: 제어부
102a, 102a2: 시뮬레이션부
102b: 흐름선 해석부
102c: 워드 표현 형성부
102d: 패턴어 부여부
102e: 조작어 부여부
102f: 극대어 표현부
102g, 102g2: 천이 정보 취득부
104: 통신 제어 인터페이스부
106: 기억부
106a: 시뮬레이션 결과 파일
106b: 흐름선도 파일
106c: 패턴 천이 파일
108: 입출력 제어 인터페이스부
112: 입력 장치
114: 출력 장치
120: 정규 표현 형성부
120a: 그래프 표현 작성부
120b: 정규 표현 작성부
120c: 워드 표현 작성부
200: 외부 시스템
300: 네트워크

Claims (16)

1. 기억부와 제어부를 구비한 유체 천이 경로 취득 장치에 있어서,
   상기 기억부는,
   위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고,
   상기 제어부는,
   상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 수단을 구비한 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
2. 제 1 항에 있어서,
   상기 천이 정보는,
   상기 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는, 구조 불안정한 중간 상태의 흐름 패턴에 관한 정보를 포함하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
3. 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 2개의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 대하여, 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
4. 제 3 항에 있어서,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재한 천이를 1회의 천이로 하여, 상기 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 상기 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 천이 횟수를 포함하는 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
5. 제 4 항에 있어서,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   상기 천이 횟수가 최소가 되는, 상기 일방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴으로부터 상기 타방의 상기 구조 안정된 흐름 패턴에 이르기까지의 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
6. 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서,
   상기 구조 안정된 흐름 패턴은,
   1개의 구멍을 갖는 단연결 외부 영역에 있어서 위상기하학적으로 취할 수 있는 2종류의 흐름 패턴에 추가하여, 2개의 구멍을 갖는 이중 연결 외부 영역에 있어서 흡입 용출 쌍을 갖지 않는 패턴을 추가한, 합계 3종류의 흐름 패턴을 규정하는 패턴어에 대하여, 상기 흐름 패턴에 1개의 구멍을 추가하는 경우에 위상기하학적으로 취할 수 있는 5종류의 조작을 규정한 조작어 중 어느 1개의 워드를, 추가된 구멍의 수만큼 부여함으로써 형성된 워드 표현에 의해서 식별되어 있고,
   상기 패턴 천이 정보는,
   상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 상기 구조 안정된 흐름 패턴이, 상기 워드 표현에 의해 기술된 정보이며,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여, 상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
7. 제 6 항에 있어서,
   상기 패턴 천이 정보는,
   상기 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 서로 천이 가능한 상기 구조 안정된 흐름 패턴 사이의, 상기 워드 표현의 상기 조작어의 변화 정보를 포함하고,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여, 상기 변화 정보에 기초하여, 상기 천이 정보를 취득하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 장치.
8. 제 7 항에 있어서,
   상기 천이 정보 취득 수단은, 상기 지정된 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현을 기준으로 하여 상기 패턴 천이 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 정규 표현을 사용하여 천이 루트를 1개로 특정하는 것을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
9. 제 8 항에 있어서,
   상기 천이 정보 취득 수단은,
   상기 지정된 2개의 구조 안정된 흐름 패턴 사이의 워드 표현의 조작어의 변화를 기준으로 하여 상기 변화 정보에 기초하여 취득한 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 상기 2개의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 복수의 천이 루트의 후보에 대하여, 그 천이가 일어나기 위한 부분 표현이, 일방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현에 포함되어 있지 않은 경우에는, 천이 루트의 후보로부터 제외하는 것을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
10. 제 9 항에 있어서,
    상기 천이 정보 취득 수단은,
    제외되지 않은 천이 루트의 후보가 복수 있는 경우에는, 당해 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보에 대응하는 정규 표현을 각각 취득하고, 상기 제외되지 않은 복수의 천이 루트의 후보 중, 그 정규 표현이, 타방의 구조 안정된 흐름 패턴의 워드 표현에 대응하는 정규 표현과 일치하는 것을 천이 패턴으로서 특정하는 것을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
11. 제 8 항에 있어서,
    상기 정규 표현은, 상기 흐름 패턴에 1 대 1로 대응하는 그래프 표현이 작성되고, 작성된 그래프 표현에 기초하여 작성된 것임을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
12. 제 11 항에 있어서,
    상기 그래프 표현은, 상기 흐름 패턴에 의해 규정되는 구조 안정된 해밀턴 벡터장 H에 대하여, 고유의 루트 부여, 라벨 부여, 및 방향이 있는 트리 T_H = (V, E)를 할당하고(단, V는 정점이라고 불리는 점의 집합, E는 정점의 사이를 연결하는 에지의 집합임), 평면 그래프로서 가시화한 것임을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
13. 제 8 항에 있어서,
    상기 제어부는, 추가로, 유체 중의 물체에 대하여 설계 파라미터의 후보를 선택하는 경우에, 상기 설계 파라미터의 상한 및 하한을 설정하고, 당해 설계 파라미터의 상한과 하한에 의해 규정되는 파라미터 영역으로부터 복수의 파라미터를 선택하고, 선택한 복수의 파라미터에 대하여, 각각 흐름의 실험 및/또는 수치 계산을 행하고, 실험 및/또는 수치 계산의 결과에 대하여, 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 할당하고, 할당한 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현 중, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖는 설계 파라미터를, 상기 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 시뮬레이션 수단을 구비한 것을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
14. 제 13 항에 있어서,
    상기 시뮬레이션 수단은, 상기 할당한 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖지 않는 경우에도, 1회의 천이에 의해, 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현이, 최적 상태를 나타내는 상기 워드 표현 및/또는 상기 정규 표현을 갖는 경우에는, 상기 설계 파라미터의 후보로서 선택하는 것을 특징으로 하는 유체 천이 경로 취득 장치.
15. 기억부와 제어부를 구비한 컴퓨터에 있어서 실행되는 유체 천이 경로 취득 방법에 있어서,
    상기 기억부는,
    위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고,
    상기 제어부에 있어서 실행되는,
    상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는, 유체 천이 경로 취득 방법.
16. 기억부와 제어부를 구비한 컴퓨터에 실행시키기 위한 프로그램을 격납한 컴퓨터로 판독가능한 기록 매체에 있어서,
    상기 기억부는,
    위상기하학적인 이차원 흐름 구조의 전체 또는 일부에 있어서의, 구조 안정된 흐름 패턴이, 구조 불안정한 1개의 중간 상태의 흐름 패턴을 개재하여, 그 외의 구조 안정된 흐름 패턴으로 천이 가능한지 여부에 관한 패턴 천이 정보를 기억하고,
    상기 제어부에 있어서,
    상기 패턴 천이 정보에 기초하여, 지정된 구조 안정된 흐름 패턴으로부터, 위상기하학적으로 취할 수 있는 별도의 구조 안정된 흐름 패턴에 이르는 천이 루트에 관한 천이 정보를 취득하는 천이 정보 취득 단계를 실행시키기 위한, 프로그램을 격납한 컴퓨터로 판독가능한 기록 매체.

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