JP6401288B2 - 流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラム - Google Patents

Description

本発明は、流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラムに関する。

従来、気流や水流などの流れ場における最適な構造物の設計を行うために、風洞実験のほか、大規模な数値計算による流体シミュレーションが用いられている。

例えば、焼きなまし法（Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法）や遺伝的アルゴリズム法等を用いて構造物の設計変数を変化させながら、当該構造物に対する流体シミュレーションを繰り返し行う最適化技術が開発されている。

また、近年、流体等の数理モデルを構築して、流れのパターンのトポロジーを数理的に扱うことのできるアルゴリズムやプログラムが開発されている。

しかしながら、従来の構造物設計の最適化手法においては、繰り返し行われる大規模計算により計算時間と設計コストの増大化を招くので、それらの制約上、探索範囲を限定せざるを得ず、導き出される最適な構造物が局所最適なものである可能性を排除できないという問題点を有していた。すなわち、探索範囲をどこにするのかは、技術者の経験と直感に頼らざるを得ず、どこに探索範囲を設定したかによって、導き出される構造物の最適化結果が左右されるという問題があった。

これに対して、本願出願人は、特許文献１の「流れパターンの語表現方法、語表現装置、および、プログラム（以下、「語表現理論」とも称する）」では、数値計算や実験で得られた流れに対して、この文字列を付与し、そこに現れる流れの定量的な特徴（例えば揚抗比）を定性的な部分文字列として表現する語表現理論を提案した。これにより、流れ場における構造物設計を行うにあたって、構造物に対して採り得る流れパターンを経験や直感に頼ることなく容易に扱うことが可能となった。

国際公開第２０１４／０４１９１７号

Ｔｏｍａｓｚ Ｋａｃｚｙｎｓｋｉ， Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ Ｍｉｓｃｈａｉｋｏｗ， Ｍａｒｉａｎ Ｍｒｏｚｅｋ著 "Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｈｏｍｏｌｏｇｙ" Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０００年

しかしながら、流れの制御問題などを考えるときには，前記語表現理論は有用なものであるが，与えられたハミルトンベクトル場に対して固有な語表現を与えるアルゴリズムは存在するものの、逆に与えられた文字列に対しては複数の異なるハミルトンベクトル場が対応している。すなわち、語表現は流れの特定に使えるものの、語表現だけでは特定の流れを限定できない。

このように、語表現のみによる流れの最適制御の理論は困難であることから、語表現と合わせて、別の新しい、流れパターンと１対１に対応する何らかの表現方法が必要とされている。

本発明は、前記に鑑みてなされたもので、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能な流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することを目的とする。

上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を含むことを特徴とする。

また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記グラフ表現は、前記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることが望ましい。

また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画することを含むことが望ましい。

また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、の１又は複数であることが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、前記グラフ作成工程は、前記流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、前記流れパターンを吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、前記変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、カレント成分をルートに設定し、前記カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て、当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、前記カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すこと、を含むことが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、前記流れパターンは、前記パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることが望ましい。

また、本実施の形態の好ましい形態によれば、さらに、前記正規表現作成工程で作成されたグラフ表現を語表現に変換する語表現変換工程と、を含むことが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、前記語表現変換工程では、ルートつき，ラベル付き，及び方向つきのツリーに対応する正規表現のうちの基本タイプの正規表現に前方置換を施すことが可能な許容正規表現を前記語表現に変換することが望ましい。

また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択する設計パラメータ選択工程を含むことが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、前記設計パラメータ選択工程は、さらに、前記選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、さらに、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの前記正規表現から目的とする流れパターンの前記正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現となる設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を含むことが望ましい。

また、本実施の好ましい態様によれば、前記第２の設計パラメータ選択工程では、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することが望ましい。

また、本発明の好ましい態様によれば、前記第２の設計パラメータ選択工程は、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、前記取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して前記現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、前記選択した経路に対して、前記変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することが望ましい。

また、上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成手段と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成手段と、を備えたことを特徴とする。

また、上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置に搭載されるプログラムであって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。

本発明によれば、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能な流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することが可能となるという効果を奏する。

図１は、本発明の概略を説明するための説明図である。 図２−Ａは、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法を説明するためのフローチャートである。 図２−Ｂは、図２−Ａのグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。 図３は、本実施形態の概要に示すフローチャートである。 図４は、構造安定な流れのパターンを模式的に示した図である。 図５は、領域における構造安定な流れパターンの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。 図６は、初期構造となる３種類の流れパターンを模式的に示す図である。 図７は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。 図８は、二つの構造物と一様流がある場合の流れパターンの全分類を示す図である。 図９は、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃによって生成されるすべての流れパターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示す図である。 図１０−Ａは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０−Ｂは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０−Ｃは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０−Ｄは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０−Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１１は、ルートとなる連結成分をＣ_Ｈ＝Ｄ_ｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。 図１２は、操作Ａ_０，Ａ_２，Ｃによって生成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示す図である。 図１３−Ａは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３−Ｂは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３−Ｃは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３−Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１４−Ａは、ＩＡ_０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示す図である。 図１４−Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１５は、５つのｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ Ｔ_Ｎとそれに対応する正規表現Ｎを示す図である。 図１６は、１４個のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストを示す図である。 図１７は、操作Ａ_０，Ａ_２，Ｃを施したときのｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔと流線構造の変化を表した図である。 図１８は、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分σ_０とσ_２に含まれるｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃを適用したときに得られる流線構造の変化に伴って励起する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを説明するための図である。 図１９は、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃの逆操作により誘導される正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ［Ｂ_２］，［Ｂ_０］，［Ｃ］のリストを示す図である。 図２０は、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおける局所流線構造の変化に対応する正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを示す図である。 図２１は、正規表現ｏ_φ（ｏ_２（ｏ_２（ｏ_０（-_０（-_０，-_０）））），+_２（+_２））を持つ構造安定なハミルトンベクトル場のｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを示す図である。 図２２−Ａは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２２−Ｂは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２２−Ｃは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２３は、本実施の形態が適用される正規表現作成装置の一例を示すブロック図である。 図２４は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するためのフローチャートである。 図２５は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。 図２６は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。 図２７は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。 図２８は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。 図２９は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体のまわりの流れの最適化方法の一例を説明するためのフローチャートである。

以下に、本発明に係る構造安定な流れパターン（「流線パターン」とも称する）の正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラムの実施形態を図面に基づいて詳細に説明する。本発明の構成要素は、本明細書の図面に一般に示してあるが、様々な構成で広く多様に配置し設計してもよいことは容易に理解できる。したがって、本発明の装置、方法、及びプログラムの実施の形態についての以下のより詳細な説明は、特許請求の範囲に示す本発明の範囲を限定するものではなく、単に本発明の選択した実施形態の一例を示すものであって、特許請求の範囲に示す本発明と矛盾無く装置、方法、及びプログラムについての選択した実施形態を単に示すものである。当業者は、特定の細目の１つ以上が無くても、又は他の方法、部品、材料でも本発明を実現できることが理解できる。また、フローチャートの各ステップを実行する順番はフローチャートに示す順番に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で順番を変更してもよい。なお、この実施の形態によりこの発明が限定されるものではない。また、下記実施の形態における構成要素には、当業者が容易に想定できるもの又は実質的に同一のものが含まれる。本願出願人が既に出願した国際公開第２０１４／０４１９１７号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号）及び特願２０１３−２３０６７８号の明細書及び図面の内容は援用により本明細書に組み込まれる。

特に以下の実施形態においては、本発明を二次元流体のシミュレーションに適用した例について説明することがあるが、この場合に限られず、三次元流体のシミュレーションにおける任意の断面（構造物の断面等）についても、同様に本発明を適用することができる。

［本発明の概略］
図１は、本発明の概略を説明するための説明図である。本願出願人が既に出願した特許文献１（国際公開第２０１４／０４１９１７号、特願２０１２−２０３６０１号、ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号）の「流れパターンの語表現方法、語表現装置、および、プログラム」では、数値計算や実験で得られた流れパターンに対して，この文字列を付与し，そこに現れる流れの定量的な特徴（例えば揚抗比）を定性的な部分文字列として表現する語表現理論を提案した。

また、本願出願人が既に出願した特願２０１３−２３０６７８（本願出願時未公開）の「流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、及びプログラム」では、語表現から流体遷移経路を取得しているが、語表現を使って遷移の可能性をすべて網羅した上で，あとは文字列ではなく流れのパターンのパターンマッチングを行う必要があった。

図１において、上述したように、特許文献１では、流れパターンから語表現を作成する（Ｐ１）方法について既に出願している。また、特願２０１３−２３０６７８において、語表現から流体遷移経路を作成する（Ｐ２）方法を出願している。語表現では、流れパターンに対して固有な語表現を与えることができるが、語表現で与えられた文字列に対しては複数の異なる流れパターンが対応している。そこで、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成し（Ｔ１）、グラフ表現から正規表現を作成する（Ｔ２）。また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、正規表現から語表現を作成する（Ｔ３）。正規表現から作成される語表現は、流れパターンと１対１に対応したものとなるので、語表現から直接、流体遷移経路を作成することが可能となる。さらに、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、正規表現から直接、流体遷移経路を作成することもできる（Ｔ４）。

［流れパターンの正規表現作成方法］
図２−Ａ〜図２２を参照し、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法について説明する。本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法はコンピュータ等の装置により実行可能である。図２−Ａは、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法の概略を説明するためのフローチャートである。

図２−Ａに示すように、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成ものであり、大別すると、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程（ステップＳ１）と、ステップＳ１のグラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程（ステップＳ２）と、ステップＳ２の正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程（ステップＳ３）と、を備えている。

グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。

また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含むことにしてもよい。

また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、からなるパターン語の１又は複数であることにしてもよい。

また、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしてもよい。

図２−Ｂは、図２−Ａのグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。図２−Ｂにおいて、グラフ表現作成工程では、まず、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換する（ステップＳ３１）。流れパターンは、例えば、上述のパターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された穴の数がＮ個の流れパターン図としてもよい。具体的には、後述するように、Ｉ−ｗｏｒｄ，ＩＩ−ｗｏｒｄのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ（流れパターン図）のルートが、図１１に示すようになるように変換する。次に、変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出する（ステップＳ３２）。領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとする（ステップＳ３３）。続いて、カレント成分をルートに設定する（ステップＳ３４）。カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子とし、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，それらを所定のラベルの順序関係に従って並べる（ステップＳ３５）。カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまでステップＳ３５を繰り返し実行する（ステップＳ３６）。

また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法は、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する設計パラメータ選択工程を実行してもよい。設計パラメータ選択工程では、例えば、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択してもよい。

また、設計パラメータ選択工程は、さらに、選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことにしてもよい。

また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法は、流体中の物体に対して設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を実行してもよい。例えば、第２の設計パラメータ選択工程は、例えば、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの正規表現から目的とする流れパターンの正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの正規表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。

また、第２の設計パラメータ選択工程では、正規表現に加えて語表現を使用して、現在の流れパターンの正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。

また、第２の設計パラメータ選択工程では、現在の流れパターンの正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、選択した経路に対して、変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、目的とする流れパターンの正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。

以下、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法をその原理と共に、詳細に説明する。

（１．語表現理論）
まず、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、上述の語表現理論の一部を使用しているので、語表現理論について簡単に説明する。

（１−１．語表現アルゴリズム）
ここで、上述した語表現を形成させる語変換アルゴリズムの概要について以下に説明する。ここで、図３は、語表現アルゴリズムの概要を示すフローチャートである。

図３に示すように、まず、位相幾何学的にＮ個の穴を有する連結外部領域における流れパターンの語表現を形成させるために、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語（例えば、Ｉ，ＩＩ，Ｏ）のうちのいずれか一語を付与する（ステップＳＡ−１）。

そして、本実施の形態は、ステップＳＡ−１にて付与された語に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語（例えば、Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃ）のうちのいずれか一語を付与し（ステップＳＡ−２）、当該ステップＳＡ−２の処理を穴の数がＮ個となるまで繰り返し行うことにより（ステップＳＡ−３）、Ｎ個の穴を有する連結外部領域に対応する語表現を形成させる。なお、この例では、パターン語の付与（ステップＳＡ−１）が先に行われ、操作語の付与（ステップＳＡ−２）が後に行われるが、これに限られず、操作語の付与を先に行い、後にパターン語の付与を行ってもよいものである。

ここで、本実施の形態において、「連結外部領域」とは、単連結外部領域と多重連結外部領域を含む表現であり、「単連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、一つの穴があいたものをいい、「多重連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、複数の穴があいたものをいう。ここでいう「穴」という表現は、数学的な抽象表現であるが、応用上はさまざまな表現形態であってもよい。例えば、乗り物が移動した際に相対的に発生する一様な流れに注目した場合、一様流に沿った乗り物の断面に構造物が一つ又は複数あった状況があれば、その領域は単連結外部領域または多重連結外部領域として扱える。例えば、空気中を進む航空機等の飛行物体や、空気中を進む電車や自動車等の地上走行車両、海上または海中を進む船等の乗り物についても、一または複数の穴と、単連結または多重連結の連結外部領域として扱える。換言すれば、「流れの中に一または複数の障害物がある」ような流れを、本実施形態では、連結外部領域における流れとして扱う。また、孤立した渦構造や周囲に周期軌道を持つような流れ構造（楕円型の停留点など）も「穴」とみなすことができる。

上述のように、流れパターンに対して語表現を割り当てることによって、連結外部領域における流れの位相的分類が可能となる。位相的というのは数学の専門用語であり、トポロジー（位相幾何学）とも呼ばれる幾何学の一分野を指す。古典的な幾何学では、三角形や四角形はその角の数の違いにより異なる図形と見なすが、位相幾何学の立場ではそういった細かい情報を見ず、三角形と四角形を例えば輪ゴムを変形させて互いに移りあえるという立場にたって同じ図形と見なす。すなわちすべての多角形は、円と同じと見なす。一方で、円の中にもう一つ円がくりぬかれているような円環領域があったときに円と円環領域は一つの輪ゴムの変形では互いに変形できないので、異なる図形と見なす。連結外部領域では、空いている穴の数が異なれば、それらの図形は位相的に異なると見なす一方で、穴の形さえ同じであれば、その穴の形が円であろうが三角形であろうが線分であろうが同じものとみなす。このような理由から流れの領域を特徴づけるのは穴の数のみであるため、本実施形態では、穴の数Ｍ＋１に対して連結外部領域をＤ_ζ（Ｍ）と表現する。例えば、穴が１つのみの場合は、単連結外部領域Ｄ_ζ（０）であり、穴が２つ在る場合は、二重連結外部領域Ｄ_ζ（１）となる。

流れの位相的分類を扱うときは、流れを特徴づけるある特定の構造（「位相構造」と呼ぶ。）を捕まえて、その特定の構造をもった流れが二つあったときに、その双方を特定の構造の連続的な（すなわち切ったり貼ったりしない）変形によって互いに変形できないものは異なる流れと見なす。

ここで、本実施の形態において扱う流れの構成要素について図４〜図６を参照して説明する。本実施の形態における「流れ」として非圧縮流れを扱ってもよい。流体の非圧縮性とは、力を加えてもほとんどその体積を変えないような性質をいう。通常の水や大気の流れは、日常生活のスケールで考える場合は、こうした流れの枠組みで考えても概ね差し支えはない。なお、本発明は、これに限られず、圧縮性のある流れを計算上取り扱ってもよい。

また、本実施の形態における流体は、非粘性流体として扱ってもよい。非粘性流体は、境界条件を「すべり条件」として扱うことができる。なお、粘性流体では、境界条件が「ゼロ境界条件」となるが、粘性流体でも、粘性が大きくないとき、境界付近は渦が層状の流れとなっており、その流れの外側境界を、仮想的に拡張することで「すべり条件」として扱うことができる。したがって、本実施形態では、特に、非粘性流体における語変換アルゴリズムにおいて説明することがあるが、適切な境界の拡張により、粘性流体についても本実施形態を適用することができる。

本実施の形態で扱う流れの構成要素は、以下の３つである。一つは障害物、一つは渦（ｖｏｒｔｅｘ）、一つは一様流（ｕｎｉｆｏｒｍ ｆｌｏｗ）である。障害物は連結外部領域における穴のことであり、この形状は位相的分類を考えている上で円としておいても数学的に与える結果に影響はないことが一般的な流体の数学理論から導くことができる。ここで、図４は、流れのパターンを模式的に示した図である。なお、図４（ｃ）は、４つの∂−ｓａｄｄｌｅ点（定義は後述）を持つ境界を模式的に示している。

図４（ａ）に示すように、渦はそのまわりで回転する流れを作る要素である。一様流とは、川の流れでいえば基本的な流れのことであり、領域全体を横切るような流れである。また、乗り物等の移動物体の場合、一様流とは、その乗り物に乗っている観察者から見た、相対的な気流や水流等の流れである。すなわち、移動物体の座標系においては、実際には空気や水が静止していても、無限遠点から流れてくる相対的な流れを観念することができる。

一様流を構成する要素は、吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。

ここで、一様流ではなく吸い込み湧き出し対と呼ぶことには理由がある。その理由の説明のため、いくつかの数学的な解説を以下に行う。一様流が存在するとき、考えている流れの領域は無限に拡がる平面であり、その中に一つまたは複数の穴（障害物）が埋め込まれているような連結外部領域であるが、このような流れを模式的（Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ）に表現する上では扱いにくい。そのため、数学におけるｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ（ステレオ射影・立体射影）と呼ばれる射影法によって、平面を球面の上に投影して扱ってもよい。この場合、平面における無限遠点は球面の北極に、平面の原点は南極に対応させることができる。

このようにしておくと、一様流は球面の北極における流れの湧き出しと吸い込み対といった流れ構造となり、図４（ｂ）のような流れ場に対応していることが数学的に示せる。さらに模式的に流れ場を表現するためには、球面は対称性の高い形状であるということを利用して、北極と南極の位置を適当にずらすことができるので、無限遠点を南極に、ある円形の穴（障害物）の中心を北極にあわせてから、再びｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎを使って平面に投影すると、南極に対応する原点付近の近くでは図４（ｂ）のような流れができる。さらに無限遠点に中心を持つ円境界は平面の外側円境界に投影されるので、結果として平面全体の流れ場が、例えば図５のような形の有界な領域として表現できる。なお、連結外部領域Ｄ_ζ（Ｍ）をこの変換方法により，無限遠点の吸い込み湧き出し対を原点に、また、Ｍ＋１個の境界の１つを選んで、それを単位円外部領域に移したときに得られる、Ｍ個の境界をその内部に含む単位円内部の連結領域をＤ_ｚ（Ｍ）と書く。以後の記載はすべてこのＤ_ｚ（Ｍ）を用いて行う。したがって、図４（ｂ）のような表現は適切な射影法を通じて、平面全体の中に一様流が入っている流れと等価なものである。本実施形態の説明では、流れを模式的に示すために便利であることから、このような射影法を用いて図に表現する場合がある。

図５は、このような連結領域Ｄ_ｚ（Ｍ）における構造安定な流れの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。図５（ａ）に示すように、まず吸い込み湧き出し対から出て自分自身に戻ってくる軌道をｓｓ−ｏｒｂｉｔと呼ぶ。この線一本一本が連結外部領域での一様流の流線を表す。次に、図５（ｂ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出て境界の上につながる軌道をｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図５（ｃ）に示すように、その軌道がつながっている境界上の点をｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。

また、図５（ｅ）に示すように、吸い込み湧き出し対からではなく、ある境界の上の点から出て同じ境界上の点につながる軌道を∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図５（ｄ）に示すように、これによってつながれている境界上の点を∂−ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。また、図５（ｈ）に示すような、境界上にない双曲型の停留点をｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ（サドル点）と呼ぶが、図５（ｆ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出る軌道で、このｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔにつながる軌道をｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。また、図５（ｇ）に示すように、境界や渦の回りを作る閉曲線軌道をｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔと呼び、図５（ｉ）に示すように、ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔから出てそれ自身に戻るような軌道をｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。対象とする構造安定な流れは、これらの軌道の組み合わせによってしか表現されないことが数学的に証明できる。

本実施形態では、上述したステップＳＡ−２において、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄ_ｚ（Ｍ−１）の流れに、一つの穴とそれに伴う流れの構造を付け足すことで、一つ穴の多い多重連結外部領域Ｄ_ｚ（Ｍ）の流れ場を帰納的に構成していく。そのため、もっとも簡単な穴が一つの単連結外部領域Ｄ_ｚ（０）や、二重連結外部領域Ｄ_ｚ（１）で、これらの帰納的構成の初期構造になるものをステップＳＡ−１で与えている。

具体的には、上述した基本となる流れパターンは、３種類あり、
１）吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
２）吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、および
３）吸い込み湧き出し対をもたないパターンＯ、
である。ここで、図６は、初期構造となる３種類の構造安定な流れパターンを模式的に示す図である。

すなわち、図６（ａ）と（ｂ）に示すように、穴が一個の単連結外部領域Ｄ_ｚ（０）にある流れは、パターンＩとパターンＩＩの２種類存在する。これらのパターンは、ともに吸い込み湧き出し対を持ち、数学的にはこれら２種類しかないことが証明できる。一様流を仮定した吸い込み湧き出し対を持つような流れに対して、原則的には二重連結外部領域Ｄ_ｚ（１）は、これらから構成されるが、吸い込み湧き出し対を持たない流れはここから構成されないので、その流れを構成するために必要な初期流れが図６（ｃ）に模式的に示されるパターンＯである。なお、これらの位相構造は表現の簡便さのため、吸い込み湧き出し対を丸囲みＳと図示し、ｓｓ−ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔは、無限に存在するので表現せず、以後、模式的に図６（ｄ）や（ｅ）のように簡略的に表す。また、図６（ｃ）に示すように、吸い込み湧き出し対を持たない二重連結外部Ｄ_ζ（１）における流れのパターンｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔも、すべて書かないで図６（ｆ）のように簡略に記す。

（１−２．操作語の説明）
帰納的に流れを構成していくために、穴を一つとそれに伴う流れの構造を追加するという「操作」について、図７および図８を参照して説明する。すなわち、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄ_ｚ（Ｍ−１）の流れに、一つの穴を加えて多重連結外部領域Ｄ_ｚ（Ｍ）の流れを求める操作について説明する。

上述したステップＳＡ−２において、位相幾何学的に採り得る５種類の操作は、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結び内部に穴をもつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＡ_０操作、
２）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと新たに追加した境界上の二つの∂−ｓａｄｄｌｅに置き換えるＡ_２操作、
３）一本のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを、一つの穴とｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔを追加して８の字をした２本のｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ軌道に置き換えるＢ_０操作、
４）一本のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを、新たに追加した穴の境界上に二つ∂−ｓａｄｄｌｅをつけて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐような軌道に置き換えるＢ_２操作、および、
５）既に２ｋ個（ｋ＞０）の∂−ｓａｄｄｌｅをもつ境界に、新たに二つの∂−ｓａｄｄｌｅを付け加えて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぎ内部に新たに付け加えた穴を置くＣ操作、
である。ここで、図７は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。

図７（ａ）に示すように、操作Ａ_０とＡ_２は一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図７（ｂ）に示すように、操作Ｂ_０とＢ_２は、一本のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図７（ｃ）に示すように、操作Ｃは、既に∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われる。なお、構造安定性を維持しながらそのようなことを可能にする操作が、上記の５種類しかないことが数学的に証明可能である。このステップを繰り返してできる流れパターン図を、パターンＩ，ＩＩから始めたときはｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍと呼び、パターンＯから始めたときは、ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍと呼ぶ。

ステップＳＡ−１で与えた初期構造の３種類の流れパターンＩ，ＩＩ，Ｏから、これらの操作を行って一つずつ穴を増やす（Ｍ→Ｍ＋１）ことで、多くの穴を持つ領域における流れが帰納的に構成されるので、本実施形態では、その操作を表す操作語の列を文字列と見なして列挙することで、流れ場の語表現（Ｗｏｒｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）を得ることができる。ここで、図８は、二つの構造物と一様流がある場合の構造安定な流れパターンの全分類を示す図である。図８に示すように、単連結外部領域Ｄ_ｚ（０）における初期構造のパターンＩ，ＩＩに対して、操作語を付与することで、二重連結領域Ｄ_ｚ（１）における全ての流れパターンを記述することができる。ただし、図８に示す全ての流れパターンは、２種類（Ｉ，ＩＩ）×５種類（Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃ）の計１０種類とはなっていない。すなわち、操作語は、５種類の操作語を任意に並べてできるわけではなく、数学的な理由から様々な制約がつく。

ここで、制約について説明すれば以下のようになる。すなわち、図７を用いて上述したように、操作Ａ_０とＡ_２は、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔの存在が不可欠となる。また、操作Ｂ_０とＢ_２は、一本のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔの存在が不可欠である。また、操作Ｃは、２個以上の∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われるので、この操作を行う前提として、∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界の存在が不可欠となる。そのため、パターン語をＩ，ＩＩ，Ｏのどこからはじめるかによって並べ方のルールは異なる。上記の制約条件に基づいて導出される、各パターン語Ｉ，ＩＩ，Ｏからはじまる文字列の並べ方のルールについて、以下に説明する。

まず、湧き出し吸い込み対を持たないＯのパターン語からはじめる場合には、次のようなルールがある。Ｏから始まる語表現に対して、それが構造安定な流れを表すために以下が必要十分である。
Ｏ−１）実際に施すことができる操作は、Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃのみであり、その結果、Ｏから始まる語表現はこれら三つの語を列挙したものとなる。
Ｏ−２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるためには、それ以前に必ずＢ_２が存在しなければならない。

このような文字列をＯ系列の語（Ｏ−ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。

次に、パターン語Ｉから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
Ｉ−１）実施可能な操作はＡ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃの全てであり、その結果、Ｉから始まる語表現はこれら５種類の操作語を列挙したものである。
Ｉ−２）操作列の語表現において、Ｂ_０あるいはＢ_２の語が含まれるためには、それ以前に必ずＣかＡ_０が存在しなければならない。

このような文字列をＩ系列の語（Ｉ−ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。

最後にパターン語ＩＩから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
ＩＩ−１）実施可能な操作はＡ_０，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃであり、その結果、ＩＩから始まる語表現はこれら四つの語を列挙したものである。
ＩＩ−２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるために
は、それ以前に必ずＢ_２が存在しなければならない。

このような文字列をＩＩ系列の語（ＩＩ−ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。

（２．グラフ表現作成工程）
上記図２のグラフ表現作成工程（ステップＳ１）について詳細に説明する。まず、本実施の形態で使用しているグラフ理論について説明する。

（２−１．グラフ理論）
グラフＴ＝（Ｖ，Ｅ）とは、「ｖｅｒｔｅｘ（頂点）」と呼ばれる点の集合（頂点集合）Ｖとその頂点の間を結ぶ「ｅｄｇｅ（エッジ）」と呼ばれる集合Ｅのペアとして与えられる集合である。一般にグラフは多様な構造を持ちうるが、本実施の形態のグラフ表現理論では、グラフ全体の集合におけるある特定の構造をもった以下のグラフの集合を考える。

１）ツリー，木（Ｔｒｅｅ）とは、任意の二つ頂点が一本のｅｄｇｅによってのみ結合されているようなグラフを指す。
２）ルート付き（Ｒｏｏｔｅｄ）グラフとは、ある特定の頂点（以下、ルート（ｒｏｏｔ）と呼ぶ）が存在しているグラフを指す。ルート付きグラフに対しては、このルートから各頂点ｖ∈Ｖへのエッジの連結による最短経路を考えることができるので、これをｖの高さ（ｈｅｉｇｈｔ）と呼び、記号をｈｔ（ｖ）と書く。これによりルート付きツリーＴに対してはｈｔ（Ｔ）：＝ｍａｘ_ｖ∈Ｖｈｔ（ｖ）によって、ツリーＴ自体の高さを考えることができる。
３）グラフが向き有り（ｄｉｒｅｃｔｅｄ）であるとは、すべてのエッジに親子の順序が入っているようなものを指す。向き有りグラフにおける、頂点ｖ∈Ｖからｗ∈Ｖへのエッジは、ｖ⇒ｗ∈Ｅと表わす。このとき、ｖはｗの親、ｗはｖの子と呼ぶ。Г（ｖ）と書いて、頂点ｖ∈Ｖの子供全体の集合を表す。すなわち、Г（ｖ）：＝｛ｗ∈Ｖ│ｖ⇒ｗ∈Ｅ｝。また、その集合に含まれる子供頂点の数＃Г（ｖ）を持って，ｖのｏｕｔ−ｄｅｇｒｅｅとよび、逆にｖに入ってくるエッジの数をｖのｉｎ−ｄｅｇｒｅｅと呼ぶ。

４）グラフがラベル付き（ｌａｂｅｌｌｅｄ）であるとは、全ての頂点に特定のラベルが割り当てられているようなものを指す。

本実施の形態においては、ルート付き、ラベル付き、向き有りのツリーを考える。またそのルートはｉｎ−ｄｅｇｒｅｅがゼロ、すなわちそこに入ってくるエッジが存在しないような頂点を考える。頂点のラベルとしては、｛ｏ_φ，ｏ_０，ｏ_２，＋_φ，＋_０，＋_２，−_φ，−_０，−_２｝のいずれかを割り当てるものとする。このとき，ラベルがｏ_φ（ｏ_０，ｏ_２，＋_φ，＋_０，＋_２，−_φ，−_０，あるいは−_２）となっている頂点集合の部分集合をＶｏ_φ（Ｖｏ_０、Ｖｏ_２、Ｖ＋_φ、Ｖ＋_０、Ｖ＋_２、Ｖ−_φ，Ｖ−_０，あるいはＶ−₂）と表す。頂点ｖに対して、ｌ（ｖ）と書けばそれは頂点に割り当てられたラベルを表すことにする。以後の便宜のため、以下のような集合を定義しておく。Ｖｏ＝Ｖｏ_φ∪Ｖｏ_０∪Ｖｏ_２、Ｖ+＝Ｖ+_φ∪Ｖ+_０∪Ｖ+_２、Ｖ-＝Ｖ-_φ∪Ｖ-_０∪Ｖ-_２、Ｖ_０＝Ｖｏ_０∪Ｖ+_０∪Ｖ-_０、Ｖ_２＝Ｖｏ_２∪Ｖ+_２∪Ｖ-_２、ただし、∪の記号は、ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎを表している。加えて、頂点ｖの子頂点集合は、Г（ｖ）は以下のように分割することができる。

Гｏ_０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ_０，Гｏ_２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ_２，Г+_０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+_０，Г-_０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-_０，Г+_２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+_２，Г-_２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-_２，Г₋（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ₋，Г_＋（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ_＋，Г_２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ_２である。

さらに、頂点ｖ∈Ｖに対して「符合」をｓｇｎ（ｖ）と書けば、ｖ∈Ｖ+∪Ｖ_０ならばｓｇｎ（ｖ）＝＋、ｖ∈Ｖ₋ならばｓｇｎ（ｖ）＝−を与えるものとする。以後ラベルを並べて流れの表現を与えるので、これらのラベルの出現順序には以下のような順序関係のルール（１）を定めておく。

ｏ_０＞ｏ_２＞+_０＞-_０＞+_２＞-_２・・・（１）

（２−２．二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現）
本実施の形態のグラフ表現作成工程に係る二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現について説明する。以下、Ｏ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現と、Ｉ，ＩＩ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現について説明する。

（２−２−１．Ｏ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現）
Ｈを二次元領域Ｄ_ｚ（Ｍ）上のＯ−ｗｏｒｄで表現される構造安定なハミルトンベクトル場とし、Ｄをそのｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとする。このハミルトンベクトル場Ｈに対して固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当てる方法とその平面グラフとしての可視化アルゴリズムを以下に説明する。

まず、領域全体Ｄ_ｚ（Ｍ）からＤをすべて取り除くと、いくつかの（無限の周期軌道を含む）円環開集合である連結成分からなる集合Ｃ_Ｈ＝Ｄ_ｚ（Ｍ）＼Ｄが構成できる。この各連結成分を頂点集合Ｖとする。ルートの頂点はこれらの連結成分のうちもっとも外側にある連結成分とし、そのラベルとして含まれている周期軌道が反時計回りであるときは＋_φ、時計回りであるときは-_φを割り当てる。

次にエッジは以下のように作成する。二つの頂点ｖ、ｗ∈Ｖに対して、これらの頂点に対応する連結成分の閉包の共通部分（つまり成分の共通境界）が１次元ｄｉｍ（ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ））＝１、かつ、ｖがｗの外側の成分となっている場合に、その二つの間に向き有りエッジｖ⇒ｗ∈Ｅを構成する。さらに、この共通部分（境界）集合ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、子連結成分ｗが反時計回り（あるいは、時計回り）の周期軌道を持つとき、ｗのラベルとして+_０（あるいは-_０）を割り当てるものとする。同様に、その共通部分（境界）集合ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）が∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、ｗ内の周期軌道の向きが反時計回り（あるいは時計回り）であれば、ｗのラベルを+_２（あるいは-_２）とする。

Ｃ_Ｈの内部にはｓｓ−ｏｒｂｉｔは一つも存在しないので、連結成分ｖの子頂点集合Г（ｖ）は、Г（ｖ）＝Г+_０（ｖ）∪Г-_０（ｖ）∪Г+_２（ｖ）∪Г-_２（ｖ）となることに注意する。Ｖo_０＝Ｖo_２＝φでもあるので、頂点集合Ｖの部分集合Ｖ_０＝Ｖ+_０∪Ｖ-_０およびＶ_２＝Ｖ+_２∪Ｖ-_２となっている。これらの部分頂点集合に入っている元の数は全ての構造安定な流れパターンが操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃによって構成されていることから見積もることができる。

図９は、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃによって生成されるすべての流線パターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示している。（ａ）はＢ_０、（ｂ）はＢ_０、（ｃ）はＢ_０Ｂ_０、（ｄ）はＢ_２Ｃ^ｋ-１，ｋ≧１、（ｅ）はＢ_２Ｃ^１，l≧１、（ｆ）は、Ｂ_２ ^２Ｃ^{ｋ＋ｌ-１}，ｋ，l≧１、（ｇ）はＢ_０Ｂ_２Ｃ^ｋ，ｋ≧１、（ｈ）はＢ_０Ｂ_２Ｃ^ｌ，ｌ≧１を示している。図９において、ｖは親連結部分集合を表し、その子連結部分集合はｗ，ｙ，ｚなどのように表現されている。破線は親連結部分の集合を表すため、そこに含まれている周期軌道を一本だけ向きとともに描いている。

図９（ａ）に示すように、操作Ｂ_０によって作られた外向き８の字パターンが構成できる。ｖとｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを境界として共有する二つの連結成分ｗ_１∈Ｖ_０およびｗ_２∈Ｖ_０で、その符合が同じ、つまりｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ_１）＝ｓｇｎ（ｗ_２）となるものが存在する。他方、Ｂ_０で作られたパターンが図９（ｂ）に示すように内向き８の字パターンであったとき、親成分ｖをどの連結成分にとるかによって、二種類のｖとｗ∈Ｖ_０の二つのエッジ（一つはｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ）、もう一つはｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となっている）が構成できる。

図９（ｃ）に示すように、操作Ｂ_０Ｂ_０によっては二種類の親子エッジ関係が形成される。左側のパターンでは、親連結成分ｖから、ｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ_１）＝ｓｇｎ（ｗ_２）かつｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ_３）となる三つの子連結成分ｗ_１，ｗ_２，ｗ_３∈Ｖ_０へのエッジが構成できる。

右側のパターンでは、親連結成分ｖからｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ_１）≠ｓｇｎ（ｗ_２）となる二つの子連結成分ｗ_１，ｗ_２∈Ｖ_０へのエッジが構成できる。以下同様に、図９（ｄ）〜（ｆ）に示すように、各操作Ｂ_２Ｃ^ｋ-１，Ｂ_２Ｃ^ｌ，Ｂ_２ ^２Ｃ^{ｋ＋ｌ-１}（ｋ≧１，ｌ≧１）によってｋ個のｖと同じ向きの周期軌道を含む連結成分と逆向きの周期軌道を含むｌ個の連結成分間の親子関係のエッジが順次構成される。

図９（ｇ）は、操作Ｂ_０Ｂ_２Ｃ^ｋによって構成された流線パターンであり、これによりｖからｗ_１，ｗ_２∈Ｖ_０、あるいは、ｖからｗ∈Ｖ_０への同じ符合を持つ領域へのエッジと、ｋ個の反対の符合を持つ子連結成分ｚ_ｊ∈Ｖ_０（ｊ＝１，．．．，ｋ）へのエッジが構成される。

最後に、操作Ｂ_０Ｂ_２Ｃ^ｌ（ｌ≧１）によって作られる図９（ｈ）の流線パターンに対応しては、ｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となるｗ∈Ｖ_０への一本のエッジと、同じ符合を持つｌ本のｙ_ｊ∈Ｖ_０（ｊ＝１，．．．，ｌ）へのエッジができる。

これ以外に、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃによって新しい親子関係を生成するものは存在しないので、以上から、子連結成分の集合に含まれる元の数は＃Γ+_０（ｖ），＃Γ-_０（ｖ）≦２であり、子頂点集合＃Γ+_２（ｖ）、＃Γ-_２（ｖ）については任意の非負整数を選ぶことができる。

次に、与えられたｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから得られるグラフ表現をどのように平面グラフとして描画するかを説明する。まず、全ての連結部分ｖ∈Ｖに対して、その子連結部分集合Γ（ｖ）に含まれる元をラベルに関する順序関係のルール（１）に応じて並び替えておく。ただし、複数の同じラベル+_０（あるいは-_０）が含まれているときはサイクリックな順序で並べる（このことは、＃Γ+_０（ｖ）、＃Γ-_０（ｖ）≦２ということから一義的に実現できる。）。一方、ラベル+_２および-_０に対応する子連結部分集合Γ+_２（ｖ）およびΓ-_２（ｖ）については、その並べ方は以下のようなルールに従うものとする。

図９にあるｙ_ｊと書かれた連結部分に対してその順序をサイクリックに並べる。すなわち、この中から特定の連結部分をｙ_１として選んで、後は反時計回りに連結成分を並べる。同じ図中ｚ_ｊと書かれた子連結成分については単に反時計回りに並べることができる。

以下で説明する（２−２−１−１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）及び（２−２−２−１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）について、以下のように定義する。Ｎで非負整数のなす集合とし、Ｎ^∞で非負整数のなす有限列の集合とする（すなわち、Ｎ^∞＝Ｎ∪Ｎ^２∪Ｎ^３・・・）。Ｎ^∞上に以下のように半順序＜を定義する。Ｎ^∞の元ｓ＝ｓ_１・・・ｓ_ｎ，ｔ＝ｔ_１・・・ｔ_ｍに対して、「ｎ＜ｍ」または「ｎ＝ｍかつｓ_１＝ｔ_１，．．．，ｓ_ｋ−１＝ｔ_ｋ−１かつｓ_ｋ＜ｔ_ｋとなる自然数ｋ＞０が存在する事である」が成り立つ時、ｓ＜ｔと定義する。以下では、頂点集合ＶからＮ^∞への単射関数Ｓ：Ｖ→Ｎ^∞を与える。このとき、頂点ｖに対して、Ｓ（ｖ）を頂点ｉｄと呼ぶ。ここで、単射性から、頂点とその頂点ｉｄを同一視する。さらに、ｒｏｏｔの頂点ｉｄは０と置く（頂点とｉｄを同一視するため）。また、以下の構成から、頂点ｉｄは、ツリーの高さ優先探索の順番に対応していることが分かる。以下、σ∈｛＋，−｝を表し、μ＝−σとし、Ｇでツリー、ｓ，ｓ’，ｔ，ｕで頂点ｉｄ、Ｔで頂点ｉｄの部分集合を表す。また、以下で、図９，１２を参照するが、流れの向きは無視するものとする。

（２−２−１−１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
図１０−Ａ〜図１０−Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。コンピュータ等の装置により、図１０−Ａ〜図１０−Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を実行可能である。

図１０−Ａ〜図１０−Ｅにおいて、ｉｎｐｕｔをｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄとし、ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄをｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１０１）、ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝と置く（ステップＳ１０２）。ｒｏｏｔ ０の外側境界が反時計回りであるか否かを判断する（ステップＳ１０３）、ｒｏｏｔ ０の外側境界が反時計回りである場合は（ステップＳ１０３の「Ｙｅｓ」）、σ＝＋，ツリーＧ＝（０，＋_φ）とし（ステップＳ１０４）、ｒｏｏｔ ０の外側境界が反時計回りでない場合、すなわち、時計回りである場合は（ステップＳ１０３の「Ｎｏ」）、σ＝−，ツリーＧ＝（０，−_φ）として（ステップ１０５）、ステップＳ１０６に移行する。

ステップＳ１０６では、ｒｏｏｔ ０が図９（ａ）の形（パターン）をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ ０が図９（ａ）の形をしている場合は（ステップ１０６の「Ｙｅｓ」）、ｗ_１，ｗ_２の頂点ｉｄを００，０１と定め、ツリーＧを、図９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーＧ（すなわち、Ｇを（００，σ_０）←（０，σ_φ）→（０１，σ_０））と定め、集合Ｔに｛００，０１｝を追加する（ステップＳ１０７）。すなわち、Ｔ＝｛０，００，０１｝と置き換える。この置換操作を、Ｔ←ＴＵ｛００，０１｝と表す。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。

他方、ステップＳ１０６において、ｒｏｏｔ ０が図９（ａ）の形をしていない場合は（ステップ１０６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１０８に移行する。

ステップＳ１０８では、ｒｏｏｔ ０が図９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ ０が図９（ｂ）の左の形をしている場合には（ステップ１０８の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを００と定め、ツリーＧを、図９（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，σ_φ）→（００，σ_０）））と定め、集合Ｔに｛００｝を追加する（ステップＳ１０９）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。

他方、ステップＳ１０８において、ｒｏｏｔ ０が図９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１０８の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１０に移行する。

ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ ０が図９（ｄ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ ０が図９（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１１０の「Ｙｅｓ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｋの頂点ｉｄを００，．．．，０ｋ−１と定め、ツリーＧを、図９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、集合Ｔに｛００，．．．，０ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１１１）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００，．．．，０ｋ−１｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。

他方、ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ ０が図９（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１1０の「Ｎｏ」）、ツリーＧをσ_φと定め（ステップＳ１１２）、このツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。

ステップＳ１１４において、Ｔの中にｓより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｓがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１１４の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとし（ステップＳ１１５）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。

他方、ステップＳ１１４において、ｓがＴの中で最大元でない場合は（ステップＳ１１４の「Ｙｅｓ」）、ｓ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｓ＜ｔ｝（すなわち、ｓ’をＴの中でｓの次に大きい元）として、ｓをｓ’と置換して、（ｓ，σ_＊）←（ｓ’，σ_＊’）とする（ステップＳ１１６）。この後、処理はステップＳ１１７に移行する。

ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓがの内部境界が図９（ａ）の形をしている場合は（ステップ１１７の「Ｙｅｓ」）、ｗ_１，ｗ_２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１１８）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１１７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１９に移行する。

ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１１９の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０｝を追加する（ステップＳ１２０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１１９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２１に移行する。

ステップＳ１２１において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしている場合は（ステップ１２１の「Ｙｅｓ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｋの頂点ｉｄを｛ｓ０，．．．，ｓｋ−１｝と定め、ツリーＧを、図９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ−１｝を追加する（ステップＳ１２２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１２１において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１２１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２３に移行する。

ステップＳ１２３において、頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１２３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２４に移行する。

ステップＳ１２４において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋であるか（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りであるか）否かを判断する。頂点ｓのラベルσ_０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｙｅｓ」）、ｗ_１，ｗ_２，ｗ_３の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２５）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１２４において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ_０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｎｏ」）、ｗ_１，ｗ_２，ｗ_３の頂点ｉｄをｓ１，ｓ２，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２６）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１２３において、頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１２３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２７に移行する。

ステップＳ１２７において、頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１２７の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２８に移行する。

ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ_０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｙｅｓ」）、ｗ_１，ｗ_２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１２９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ_０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｎｏ」）、ｗ_１，ｗ_２の頂点ｉｄをｓ１，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１３０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１２７において、頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１２７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３１に移行する。

ステップＳ１３１において、頂点ｓが図９（ｈ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｈ）の形をしている場合は（ステップＳ１３１の「Ｙｅｓ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｌ，ｗの頂点ｉｄをｓ１，．．．，ｓｌ，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｈ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ｝を追加する（ステップＳ１３２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１３１において、頂点ｓが図９（ｈ）の形をしていない場合は（ステップＳ１３１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３３に移行する。

ステップＳ１３３において、頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしている場合（ただし、ｋ＝０の場合も含む）は（ステップ１３３の「Ｙｅｓ」）、ｗ_１，ｗ_２，ｚ_１，．．．，ｚ_ｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｋ＋１と定め、ツリーＧを、図９（ｇ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ＋１｝を追加する（ステップＳ１３４）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１３３において、頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１３３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３５に移行する。

ステップＳ１３５において、頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしている場合（ただし、k＝０の場合も含む）は（ステップＳ１３５の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，．．．，ｓｋと定め、ツリーＧを、図９（ｇ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ｝を追加する（ステップＳ１３６）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

他方、ステップＳ１３５において、頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１３５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３８に移行する（この場合、ステップＳ１３７に示すように、頂点ｓは図９（ｆ）の形をしている）。

ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ_０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｙｅｓ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｋ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｌの頂点ｉｄをｓ０，．．．，ｓｋ−１，ｓｋ，．．．，ｓｌ＋ｋ−１と定め、ツリーＧを、図９（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１３９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ_０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ_０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｎｏ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｋ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｌの頂点ｉｄをｓｌ，．．．，ｓｌ＋ｋ−１，ｓ０，．．．，ｓｌ−１と定め、ツリーＧを、図９（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１４０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。

以上の操作が、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理である。

（２−２−２．Ｉ−ｗｏｒｄおよびＩＩ−ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）
ＨをＤ_ｚ（Ｍ）内に１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場、Ｄをそのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとする。このとき、Ｃ_Ｈ＝Ｄ_ｚ（Ｍ）＼Ｄは、ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを含む円環開領域またはｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む開円板領域となる連結成分からなる。これに対して、ルート付き、ラベル付き向き有りツリーを以下のように構成する。Ｏ−ｗｏｒｄの時と同様に、各Ｃ_Ｈの連結成分を頂点集合に対応づける。ルートとなる連結成分はＣ_Ｈの中で１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔに最も近い開円板領域で、その閉包は１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔを含みかつ内部に時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含むものを選ぶ。この連結成分にラベルｏ_φを割り当てる。このような決め方によりルートは一義的に決定することができる。

図１１は、ルートとなる連結成分をＣ_Ｈ＝Ｄ_ｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。ここで、ＤはＩ−ｗｏｒｄあるいはＩＩ−ｗｏｒｄで表現できるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとする。破線はルートとなる連結成分に含まれるｓｓ−ｏｒｂｉｔを一本、その向きとともに書いたものである。

図１１において、（ａ）は、語表現ＩＡ_０Ａ_０で表現されたｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍであり、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの流れの向きは右から左である。（ｂ）は、語表現ＩＡ_０Ａ_０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍで、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの向きは左から右である。（ｃ）は、語表現ＩＩＡ_０Ａ_０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍで、その最も外側にある連結成分に含まれた周期軌道の向きが時計回り。（ｄ）は、語表現ＩＩＡ_０Ａ_０は（ｃ）と同じであるが周期軌道の向きが反対である。各ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの下には、ルートとなっている連結成分内にある点を無限大に写すような等角写像によってできるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの像を示している。この写像による像では、ルートに含まれるｓｓ−ｏｒｂｉｔはすべて反時計回りになっている。

例えば、図１１（ａ）に示すような、ＩＡ_０Ａ_０なる語表現を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを考えると、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔの真上にある連結成分（破線で書いた曲線が含まれる領域）がルートになる。もし、同じｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍが同じ形でもその流れの向きが、図１１（ｂ）のように反対になれば、その定義からルートは１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔの真下にある連結成分となる。図１１（ｃ）の語表現ＩＩＡ_０Ａ_０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに対しては、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔの真上の連結成分が、向きを逆転すると（図１１（ｄ））、その真下の連結成分がルートとなる。このルートとなっている連結成分にある点を一つ選び、それを無限遠点に写すような等角写像でｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを写すと、その像において、ルートの連結成分は最も外側の連結成分となり、さらにその中でｓｓ−ｏｒｂｉｔは常に反時計回りになることに注意する（図１１の各図の下の部分参照）。

こうして得られ連結成分からなる頂点集合に対して、頂点間の向き付けエッジを、ルート連結成分が最も外側になるよう等角写像で写したものを使って図１１に示したように定義する。二つの連結成分ｖ，ｗ∈Ｖの閉包の共通部分の次元が１、すなわちｄｉｍ（ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ））＝１かつｖがｗの外側にあるとき、ｖからｗへの向き付けエッジを構成する。ｓｓ−ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいはｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）を含む場合、その子頂点ｗにはｏ_０（あるいはｏ_２）のラベルを割り当てる。内部に反時計回りのｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいは∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）となっている場合、子の連結成分ｗにはラベル+_０（あるいは+_２）を付与する。同様にして、ラベル-_０および-_２を時計回りのｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを持つ連結成分に付与する。

この結果、ハミルトンベクトル場Ｈのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を対応させることができる。Ｉ−ｗｏｒｄあるいはＩＩ−ｗｏｒｄの語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場Ｗのグラフ表現Ｔ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を平面グラフとして可視化する方法は以下の通りである。

まず、子連結成分の集合に関して、Г（ｖ）＝Г_Ｏ（ｖ）∪Г_＋（ｖ）∪Г₋（ｖ）となっていることに注意する。いま、Г（ｖ）に入っている元は予め順序関係のルール（１）に従って並びかえられており、また同じラベルを持つГ+_２（ｖ）∪およびГ-_２（ｖ）の元については、Ｏ−ｗｏｒｄの可視化の時と同様にサイクリックに反時計回りに並べられているとしておく。Ｖ_＋やＶ₋に入っているｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｖに対する平面グラフへの可視化は、フローチャート（図１０−Ａから図１０−Ｅ）を用いればよいので、後はＶ_ｏに入っている連結成分に対するグラフの描画について考えればよい。

図１２は、操作Ａ_０，Ａ_２，Ｃによって生成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示したものである。図１２において、親連結成分ｖはｏ_φ（ｏ_０またはｏ_２）と表現されている。

図１２において、（ａ）はＡ_０、（ｂ）はＡ_０、（ｃ）はＡ_０Ａ_０、（ｄ）はＡ_２Ｃ^ｋ（ｋ≧０）、（ｅ）はＡ_２Ｃ^ｌ（ｌ≧１）、（ｆ）はＡ_２ ^２Ｃ^ｋ＋ｌ（ｋ，ｌ≧１）、（ｇ）は、Ａ_０Ａ_２Ｃ^ｋ（ｋ≧０）、（ｈ）はＡ_０Ａ_２Ｃ^ｌ（ｌ≧１）によって構成される局所的なｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとそれに対応して生成される連結成分の親子関係、親連結成分ｖに含まれる反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔは破線で示している。親連結成分のラベルはｏ_＊（ただし、＊はφ、０あるいは２のいずれか）と表現されている。ｓｓ−ｏｒｂｉｔの方向は常に反時計回りになるようにルートを定めているので、その子になる連結成分に含まれる軌道の流れる方向は自動的に決まる。

より具体的に説明すると、図１２（ａ）にある外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対して、親連結成分ｖは二つの子連結成分ｗ∈Ｖo_０とｙ∈Ｖ+_０を持つので、ｏ_＊からｏ_０と+_０への二本の矢印を描画する。図１２（ｂ）にあるような内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対しては、親をどの連結成分に選ぶかに応じて、ｏ_０あるいは-_０への矢印を描くことができる。操作Ａ_０Ａ_０で作られる構造に対しては、図１２（ｃ）に示すように二種類のパターンが作られるので、それに応じてｏ_０、+_０、-_０への三本の矢印を描くかｏ_０と-_０への二本のエッジを描くことができる。

操作Ａ_２Ｃ^ｋ（ｋ≧０）で作られる図１２（ｄ）のようなｋ個のｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを含む連結成分｛ｚ_１，．．．，ｚ_ｋ｝を持つ局所的なｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの局所構造に対応して、ｏ_２およびｋ個の+_２の矢印を描く。操作Ａ_２Ｃ^ｌ（ｌ≧１）で作られるｌ個の時計回りのｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔを含む子連結成分｛ｙ_１，．．．，ｙ_ｌ｝を持つ局所流線構造（図１２（ｅ））に対しては、ｌ個の矢印を-_２へ描けばよい。図３（ｆ）には、Ａ_２ ^２Ｃ^ｋ＋ｌ（ｋ，ｌ≧１）で作られる一個の子連結成分ｗ∈Ｖｏ_２とｌ個の子の連結成分｛ｙ_１，．．．，ｙ_ｌ｝とｋ個の子連結成分｛ｚ_１，．．．，ｚ_ｋ｝を持つ局所構造と、それに対応してｋ個の+_２とｌ個の-_２への矢印が描けることが示されている。最後に、操作Ａ_０Ａ_２Ｃ^ｋ（ｋ≧０）で与えられる図１２（ｇ）（あるいは図１２（ｈ）のようなＡ_０Ａ_２Ｃ^ｌ（ｌ≧１））の構造に対しては、ｏ_２，-_０（あるいはｏ_０，+_０）の矢印を描いてその右側にｋ個の+_２（あるいはｌ個の-_２）への矢印を描く。

（２−２−２−１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
図１３−Ａ〜図１３−Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。図１３−Ａ〜図１３−Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理は、コンピュータ等の装置によって実行可能である。

図１３−Ａ〜図１３−Ｄにおいて、ｉｎｐｕｔをｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄとして、所定の座標変換をして、図１１に示すような、ｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１４１）、ｕ＝０，Ｔ＝｛０｝，ツリーＧ＝（０，ｏ_φ）と置く（ステップＳ１４２）。

ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ ０が図１２（ａ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ ０が図１２（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１４３の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄを１，００と定め、ツリーＧを、図１２（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（１，ｏ_０）←（０，ｏ_φ）→（００，＋_０））と定め、Ｔに｛１，００｝を追加する（すなわち、Ｔ＝｛０｝をＴ＝｛０，１，００｝と置換する）（ステップＳ１４４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。

他方、ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ ０が図１２（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１４３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４５に移行する。

ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ ０が図１２（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ ０が図１２（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１４５の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを１と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，ｏ_φ）→（１，ｏ_０））と定め、Ｔに｛１｝を追加する（ステップＳ１４６）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。

他方、ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ ０が図１２（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１４５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４８に移行する（この場合、ステップＳ１４７に示すように、ｒｏｏｔ ０が図１２（ｄ）の形をしている）。

ステップＳ１４８において、ｗ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｋの頂点ｉｄを１，００，．．．，０ｋ−１と定め、ツリーＧを、図１２（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛１，００，．．．，０ｋ−１｝を追加し、ステップＳ１４９に移行する。

ステップＳ１４９において、Ｔの中にｕより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｕがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１４９の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとおき（ステップＳ１５０）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１５１）、処理を終了する。

他方、ステップＳ１４９において、ｕがＴの中で最大元でない場合には（ステップＳ１４９の「Ｙｅｓ」）、ｕ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｕ＜ｔ｝（すなわち、ｕ’をＴの中でｕの次に大きい元）として、(ｕ，σ_＊）を（ｕ’，σ’_＊）と置換する（ステップＳ１５２）。この後、処理はステップＳ１５３に移行する。

ステップＳ１５３において、ｕが自然数であるか（すなわち、ｏ_φ，ｏ_０，ｏ_２のｉｄに対応するか）否かを判断する。ｕが自然数でない場合は（ステップＳ１５３の「Ｎｏ」）、Ｏ−ｗｏｒｄの処理である図１０−ＢのＳ１１４に移行する。

他方、ステップＳ１５３において、ｕが自然数の場合は（ステップＳ１５３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１５５に移行する。

ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、丸囲みＳ（吸い込み湧き出し対：図６参照）からなり、ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１５５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを図１２（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（ｕ＋１，ｏ_０）←（ｕ，ｏ_０）→（ｕ０，＋_０））と定め、ＴをＴＵ｛ｕ＋１，ｕ０｝と置換する（ステップＳ１５６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５７に移行する。

ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１５７の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｕ＋１と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１｝を追加する（ステップＳ１５８）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１５７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５９に移行する。

ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕが図１２（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１５９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１と定め、ツリーＧを、図１２（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１｝を追加する（ステップＳ１６０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６１に移行する。

ステップＳ１６１において、頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６１の「Ｙｅｓ」），ｗ，ｙ_１，ｙ_２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１と定め、ツリーＧを、図１２（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１｝を追加する（ステップＳ１６２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

ステップＳ１６１において、頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６３に移行する。

ステップＳ１６３において、頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６３の「Ｙｅｓ」），ｗ_１，ｗ_２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを、図１２（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０｝を追加する（ステップＳ１６４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。

他方、ステップＳ１６３において、頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６５に移行する。

ステップＳ１６５において、頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしている場合は（ステップＳ１６５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙ、ｚ_１，．．．，ｚ_ｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｋと定め、ツリーＧを、図１２（ｇ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ｝を追加する（ステップＳ１６６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１６５において、頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしていない場合は（ステップＳ１６５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６７に移行する。

ステップＳ１６７において、頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６７の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ，ｙ_１，．．．，ｙ_ｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌと定め、ツリーＧを、図１２（ｈ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌ｝を追加する（ステップＳ１６８）。ステップＳ１４９に戻る。

ステップＳ１６７において、頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６９に移行する。

ステップＳ１６９において、頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｙ_１，．．．，ｙ_ｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ−１と定め、ツリーＧを、図１２（ｈ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ−１｝を追加する（ステップＳ１７０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１６９において、頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７１に移行する。

ステップＳ１７１において、頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしている場合は（ステップＳ１７１の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ_１，．．．，ｚ_ｋ，ｙ_１，．．．，ｙ_ｌ，の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１，ｕｋ，．．．，ｕｌ＋ｋ−１と定め、ツリーＧを、図１２（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１７２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

ステップＳ１７１において、頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７３に移行する。

ステップＳ１７３において、頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１７３の「Ｙｅｓ」）、ｙの頂点ｉｄをｕ０と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０｝を追加する（ステップＳ１７４）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１７３において、頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１７３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７５に移行する。

ステップＳ１７５において、頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしている場合は（ステップＳ１７５の「Ｙｅｓ」）、ｙ_１，．．．，ｙ_ｌの頂点ｉｄをｕ０，．．．，ｕｌ−１，と定め、ツリーＧを、図１２（ｅ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０，．．．，ｕｌ−１｝を追加する（ステップ１７６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。

他方、ステップＳ１７５において、頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４９に戻る（この場合、ステップＳ１７７に示すように、頂点ｕは、図１２（ａ）の形をしている）。

以上の操作が、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍからのツリーへの変換処理である。

（２−２−３．グラフ表現とその正規表現）
以上のことから、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔを持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに対して、そのルートを一義的に決定でき、また、そこから操作Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃによって構成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの局所構造と、そこから導入される連結成分の間の親子関係は図９と図１２の中で全て表現されているので、以下のことが示されたことになる。

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．１：各１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。

１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔを持たない構造安定なハミルトンベクトル場については、ルートの選び方は一義的ではない。なぜなら、内部に∂−ｓａｄｄｌｅをもたない円境界を含む任意の連結成分に対して、ある連続写像が存在して、それによってその連結成分を常に最も外側の連結成分にすることができるからである。したがって、ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍについては、その連結成分の数だけ異なるグラフ表現が存在することになる。このような曖昧さを取り除くために、こうした連続写像によって移りあってできるグラフ表現はそれぞれ別ということにする。すなわち、二つの構造安定なハミルトンベクトル場Ｖ_１とＶ_２に対して、Ｖ_１〜Ｖ_２なる同値関係を、ある同相写像Ｄ_ｚ（Ｍ）上の同相写像が存在してＶ_１とＶ_２の各軌道が向きを変えることなく互いに写りあいＶ_１とＶ_２の外側境界が対応していることによって定義する。このとき、〜は同値関係を定め、この同値類に対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーを与えることができる。

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．２：構造安定なハミルトニアンベクトル場の〜による同値類の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。

（３．正規表現作成工程）
上記図２の正規表現作成工程（ステップＳ２）について詳細に説明する。さて、グラフ理論でよく知られた事実として、任意のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーには固有の「正規表現（ｒｅｇｕｌａｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）」なるものを考えることができる。Ｔ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を上記方法で与えられた構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して与えられたグラフ表現とする。このグラフ表現に対して、その正規表現は以下のようにして帰納的に与えられる。まず、ルート以外のすべての頂点のｉｎ−ｄｅｇｒｅｅはすべて１であることに注意する。もし、ｈｔ（Ｔ_Ｈ）＝０ならグラフはルートのみ、すなわちＶ＝｛ｖ_０｝であり、その正規表現はｌ（ｖ_０）である。いま、高さｈｔ（Ｔ_Ｈ）＝ｎ-１の正規表現Ｎがあった時に、そこにある頂点集合Ｔ_ｎ-１＝｛ｖ_１，ｖ_２，．．．，ｖ_ｍ｝とすると、各頂点ｖ_ｉの子頂点集合Г（ｖ_ｉ）＝｛ｖ_ｉ１，ｖ_ｉ２，．．．，ｖ_ｉｍｉ｝とそれに対応するラベルｌ_ｉ＝ｌ（ｖ_ｉ）（ｉ＝１，．．．，ｍ）を使うと、Ｎに対してｌ_ｉをｌ_ｉ（ｌ_ｉ１，ｌ_ｉ２，．．．，ｌ_ｉｍｉ）に置き換えることによって新しい正規表現が構成できる。ただし、ｌ_ｉｋ＝ｌ（ｖ_ｉｋ）（ｋ＝１，．．．，ｍ_ｉ）である。このようにして構成されたＴ_Ｈの正規表現をＮ_ＴＨとすると、その構成手法から以下の命題を得る。

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．３：ルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴから正規表現Ｎ_Ｔへの写像Ｎ_Ｔ＝ｆ_Ｎ（Ｔ）は全単射である。

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．１とＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．２の主張していることは、言い換えれば、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｈからそのグラフ表現Ｔ_Ｈへの写像Ｔ_Ｈ＝ｆ_Ｔ（Ｈ）は単射（１対１対応）となるので、上のＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．３と合わせれば、合成写像Ｎ_Ｔ＝ｆ_Ｎ（ｆ_Ｔ（Ｈ））も単射になることがわかる。すなわち、同じ語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場に対して異なる正規表現が与えられ、語表現で区別できないパターンも正規表現を使えば全て区別が可能となる。その実施例として、図１４−Ａに同じ語表現ＩＡ_０Ｃで与えられる構造安定な流線パターンのグラフ表現の可視化とその正規表現を示す。（２−２−２．Ｉ−ｗｏｒｄおよびＩＩ−ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）で説明したようにルートの連結成分は１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔの真下あるいは真上にあるものを選んでいる。これからもわかるように全ての正規表現は異なっている。

図１４−Ａは、ＩＡ_０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示している。ルートはその定義から１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔの真下の連結成分に対応している。グラフ表現を得るために、ルート連結成分を最も外側の連結成分へと写したものをその右側に描いている。

（３−１．ツリーの正規表現への変換処理）
図１４−Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。図１４−Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理は、コンピュータ等の装置により実行可能である。以下の処理では、前処理として，ツリーの全ての点にｉｄが与える。ただし，異なる点のｉｄは異なるものとする。図１４−Ｂにおいて、ｉｎｐｕｔをツリーＧとする（ステップＳ１７８）。ＶをツリーＧの頂点集合，ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝，Ｘを空集合φ，正規表現Ｎ＝（ｓ，σ_φ）（）と置く（ステップＳ１７９）。

ステップＳ１８０において、ｓの子を左から読んだ結果を（ｓ^（１），σ^（１）），．．．，（ｓ^（ｈ），σ^（ｈ））とする。このとき、正規表現Ｎの中の（ｓ，σ_＊）（）をσ_＊（ｓ^（１），σ^（１））（），．．．，（ｓ^（ｈ），σ^（ｈ））（））と置換し、Ｔに｛ｓ^（１），．．．，ｓ^（ｈ）｝、Ｘに｛ｓ｝を追加する。

ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘであるか否かを判断する。♯Ｖ＝♯Ｘである場合は（ステップＳ１８１の「Ｙｅｓ」）、正規表現Ｎをｏｕｔｐｕｔして、処理を終了する。

他方、ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘでない場合には（ステップＳ１８１の「Ｎｏ」）、ｓ’∈Ｔ−Ｘを一つ選び（注：選び方に依らない）、（ｓ，σ_＊）を（ｓ’，σ’_＊）と置換して（ステップＳ１８２）、ステップＳ１８０に戻る。

以上の操作が、ツリーの正規表現への変換処理である。

（４．語表現変換工程）
上記図２の語表現変換工程（ステップＳ３）について詳細に説明する。
（４−１．正規表現から語表現への変換アルゴリズム）
（４−１−１．許容正規表現（ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ））
以上説明したように、正規表現とｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉｇｒａｍは１対１に対応する（単射）ことがわかるので、正規表現からその語表現へのアルゴリズムを与えることができる。ただし、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから正規表現を与える合成写像ｆ_Ｎ（ｆ_Ｔ（Ｈ））は全射ではないので、すべての正規表現にこのアルゴリズムを適用することはできず、可能なのは合成写像ｆ_Ｎ（ｆ_Ｔ（Ｈ））の像となっている正規表現のみである。このような正規表現を許容正規表現（ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）と称する。許容正規表現を特徴づけるために、以下のような正規表現のｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ（基本形）とｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（前方置換）を定義する。すなわち、許容正規表現とは、ルートつき，ラベル付き，および方向つきのツリーに対応する正規表現のうち，ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅの正規表現に対して，正規表現のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを施してできる全ての正規表現をいう。

まず、ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅは、+_φ、-_φ、ｏ_φを含む正規表現である。図１５は、５つのｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ Ｔ_Ｎとそれに対応する正規表現Ｎを示している。これらの正規表現はグラフ表現におけるルートを含む（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに対応している。すなわち、+_φ（+_０、+_０）や、ｏ_φ（ｏ_２、+_２，．．．．，+_２）といった正規表現はＯＢ_０やＩＣ^ｋなる語表現を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの正規表現となっている。

次に、正規表現の形式的な文字列の変換ルールを定め、これらをｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（前方置換）と呼ぶことにする。これらはラベル列ｂ_１，．．．，ｂ_ｎを正規表現中とラベルｌの下に付け加える変換規則であり、以後、ｌ→ｌ（ｂ_１，．．．，ｂ_ｎ）のような形で表現する。図１６は、１４個のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストである。例えば、Ａ_０＋なる前方置換は、ｏ_０→ｏ_０（ｏ_０，+_０）のように与えられる。

各前方置換の内容を説明するために、その内部に流線の位相構造を持たないような連結成分を単純連結成分（ｓｉｍｐｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ）と呼ぶことにする。単純連結成分はグラフ表現においては子連結成分を持たないような頂点に対応している。このとき、図１６にあるｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは操作Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃを単純連結成分の中にあるｓｓ−ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに施したときにｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの局所流線構造とその正規表現がどのように変化するかを記述したものである。

図１７は、操作Ａ_０，Ａ_２，Ｃを施したときのｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔと流線構造の変化を表したものである。より詳細には、図１７は、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分ｏ_０あるいはｏ_２にあるｓｓ−ｏｒｂｉｔに操作Ａ_０，Ａ_２，Ｃを適用して得られる流線の局所構造の変化に対応する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔである。

操作Ａ_０を単純連結成分ｏ_０にあるｓｓ−ｏｒｂｉｔに施したとき、図１７（ａ）に示すような、外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、図１７（ｂ）に示すような、内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが得られる。この変化にともなって派生する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを、それぞれＡ_０＋：ｏ_０→ｏ_０（ｏ_０，+_０）およびＡ_０−：ｏ_０→ｏ_０（ｏ_０（-_０））のように与える。Ｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ａ_２Ｃ^ｋは、図１７（ｃ）に示すような操作Ａ_２Ｃ_ｋを単純連結成分ｏ_０にあるｓｓ−ｏｒｂｉｔに施したときに得られる正規表現の変換規則である。操作Ｃ^ｌＡ_０，Ｃ^ｌ，Ｃ^ｌＡ_２Ｃ^ｋ（ｋ，ｌ≧０）を単純連結成分ｏ_２のｓｓ−ｏｒｂｉｔに施したときに得られる４つのｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＡ_０＋，Ｃ^ｌＡ_０-，Ｃ^ｌ _○，Ｃ^ｌＡ_２Ｃ^ｋである（図１７（ｄ）−（ｇ）参照）。

さらに、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃを単純連結成分に含まれるｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに適用したときに図１８に示すようなｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが定義できる。図１８は、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分σ_０とσ_２に含まれるｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔに操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃを適用したときに得られる流線構造の変化に伴って励起する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを説明するための図である。

操作Ｂ_０を適用して、図１８（ａ）と図１８（ｂ）に示すような、外向きおよび内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが得られたときのｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、それぞれＢ_０＋：σ_０→σ_０（σ_０，σ_０）およびＢ_０−：σ_０→σ_０（σ_０（μ_０））である。操作Ｂ_２Ｃ^ｋ，Ｃ^ｌＢ_０，Ｃ^ｌＢ_０，Ｃ^ｌ，Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋによって誘導されるｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、それぞれ図１８（ｃ）〜図１８（ｇ）に示すようなＢ_２Ｃ^ｋ，Ｃ^ｌＢ_０＋，Ｃ^ｌＢ_０-，Ｃ_σ ^ｌ，Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋである。最後に、ｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋについては、ｓｇｎ（σ_２）の符合に応じて、ラベル間の順序関係のルール（１）を考慮すると、二種類のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが得られることに注意する。

このｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅに対して帰納的にｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｍｅｎｔを適用して得られる正規表現の集合を以下のように定義する。

正規表現がＯ−ｔｙｐｅ（あるいはＩ，ＩＩ−ｔｙｐｅ）であるとは、その正規表現が基本形Ｏ，ＯＢ_０，ＯＢ_２Ｃ^ｋ（あるいはＩＣ^ｋ ｏｒ ＩＩ）から上のルールで構成されるときをいう。操作によって得られる全ての局所流線構造が図１７及び図１８で網羅されているので、その構成方法から以下のことがわかる。

すべての構造安定なハミルトンベクトル場は、５個の操作Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃをｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐａｔｔｅｒｎ ３個のＯ，Ｉ，ＩＩに施して作られることに留意すれば以下を得る。このことは、数学的に正しいことが証明されている。この事実から次に与える語表現変換アルゴリズムに入力可能な許容正規表現は上の帰納的な方法によって定義されたものであることが示された。

（４−１−２．語表現への変換アルゴリズム）
以上から分かるように、これから与える語表現への変換アルゴリズムはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅに各操作Ａ_０，Ａ_２，Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃを施した時に得られるｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを順次繰り返して得られる正規表現だけを入力として受け取るこができる。

したがって、与えられた許容正規表現について、各操作の作る特徴的流線構造を抽出したときにおこる正規表現の変化であるｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（後方置換）を定義することができれば、そのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを使って正規表現を簡単にすると同時に抜き出された構造に対応する語表現の文字列を割り当てることによって語表現への変換が可能になる。

すなわち、一つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ（あるいはｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つ円境界）を消去する操作Ａ_０（あるいはＡ_２）の逆操作であり、操作Ｂ_０（あるいはＢ_２）の逆はｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎのペア（あるいは、ちょうど二つの∂−ｓａｄｄｌｅを持つ円境界）を円境界に置き換える操作である。二つ以上の∂−ｓａｄｄｌｅを持つ円境界についている∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎによって囲まれた単純連結成分を消去することが操作Ｃの逆操作である。ここで、ｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、許容正規表現の消去されるべき構造に対応した文字列の並びの変化として表現できることに注意する。

まずは、Ｂ_２の逆操作によって定義されるｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストを与える。これらはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＯＢ_２Ｃ^ｋ（ｋ＝０）およびｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_２Ｃ^ｋ，Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋ（ｋ＝０，ｌ≧０）の逆操作に対応する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＯＢ_２：σ_φ→σ_φ（σ_２）に対するｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｅｍｅｎｔは単純にσ_φ（σ_２）→σ_φと書ける。見やすさのため、ｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｅｍｅｎｔによって消去される正規表現の文字列に、［数４］，［数５］，［数１１］，図１９，及び図２０では下線を付し、文章中では、［［ ］］を付す。図１８（ｃ）のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_２に対するｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、その親連結成分σ_０のまわりの構造に応じて異なっている。

図１９は、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおける局所流線構造の変化に対応する正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔの一例を示す図である。

もし、連結成分σ_０が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、図１９（ａ）のように囲まれているとき、∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから消去すれば、ｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ σ_０（［［σ_２］］）→σ_０を得る。一方、親連結成分σ_０が内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき（図１９（ｂ））、そのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ σ_０（μ_０，［［σ_２］］）→σ_０（μ_０）である。Ｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＢ_２のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、ラベルに対する順序関係のルール（１）からσ_２の符合に応じて以下のいずれかで与えられる。

Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＯＢ_０とｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_０＋，Ｂ_０-，Ｃ^ｌＢ_０＋，Ｃ^ｌＢ_０-の逆操作は、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍからｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎのペアを円境界に置き換えることに対応する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＯＢ_０に対するｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときはσ_φ（［［σ_０，σ_０］］）→σ_φ、内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときには、σ_φ（［［σ_０（μ_０）］］）→σ_φで与えられる。図１８（ａ）のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_０＋の中にある連結成分σ_０が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき（図１９（ｃ）），そのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、σ_０（［［σ_０，σ_０］］）→σ_０で定義される。連結成分σ_０が内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは順序関係のルール（１）より図１９（ｄ）に示すように、+_０（［［+_０，＋_０］］，-_０）→+_０（-_０）あるいは-_０（+_０，［［-_０，-_０］］）→-_０（+_０）のいずれかである。

同様の議論から、ｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_０-に対して三つのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ σ_０（［［σ_０（μ_０）］］）→σ_０，+_０（［［+_０（-_０）］］,-_０）→+_０（-_０），-_０（+_０，［［-_０（+_０）］］）→-_０（+_０）が得られる。図１８（ｄ）と図１８（ｅ）のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＢ_０＋，Ｃ^ｌＢ_０-（ｌ≧０）は以下のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを誘導する。

∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を消去することに対応するｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＩＣ^ｋ（ｋ≠０）およびｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ａ_２Ｃ^ｋ，Ｂ_２Ｃ^ｋ（ｋ≠０），Ｃ^ｌＡ_０＋，Ｃ^ｌＡ_０-，Ｃ^ｌＢ_０＋，Ｃ^ｌＢ_０-（ｌ≠０），Ｃ_Ｏ ^ｌ，Ｃ_σ ^ｌ，Ｃ^ｌＡ_２Ｃ^ｋ，（ｌ＋ｋ≠０），Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋの逆操作に対応している。操作Ｃは円境界にいくつでも適用できることから、そのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、円境界についている∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を含む列（＋_２，．．．，＋_２）や（-_２，．．．，-_２）から、単純連結成分のどれか一つを消去することを表現する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｙｐｅ ＩＣ^ｋ（ｋ≧１）のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは以下のとおりである。

図１７（ｃ）に示したｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ａ_２Ｃ^ｋ（ｋ≠０）に対して、連結成分ｏ_０が図１９（ｅ）や図１９（ｆ）のように外向きあるいは内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれている場合、∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分+_２を消去して得られるｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔはそれぞれ以下のようになる。

同様に、図１８（ｃ）のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｂ_２Ｃ^ｋ（ｋ≧０）において、連結成分σ_０が外向き、内向きのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき、そのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは以下のようになる。

図１７（ｄ）〜図１７（ｆ）及び図１８（ｄ）〜図１８（ｆ）に示すｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ_Ｏ ^ｌ，Ｃ_σ ^ｌ，Ｃ^ｌＡ_０＋，Ｃ^ｌＡ_０-，Ｃ^ｌＢ_０＋，Ｃ^ｌＢ_０-（ｌ≧０）はすべて、∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた連結成分ｏ_２やσ_２に対して定義されているので、それに対するｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは自然に以下のように定義できる。

図１７（ｇ）と図１８（ｇ）のｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＡ_２Ｃ^ｋ，Ｃ^ｌＢ_２Ｃ^ｋ（ｌ＋ｋ≠０）については、単純連結成分＋_２，-_２のいずれを消去するかに応じて、また順序関係のルール（１）から、それぞれ二つの異なるｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが得られる。

図２０は、操作Ｂ_０，Ｂ_２，Ｃの逆操作により誘導される正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ［Ｂ_２］，［Ｂ_０］および［Ｃ］のリストを示している。最後に与えられた許容正規表現に対して、図２０中のｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを可能な限り施していった場合に最終的に得られる正規表現の語表現は以下のようになる。このことは、数学的に正しいことが証明されている。

Ｌｅｍｍａ ４．２：与えられた許容正規表現Ｎが［Ｂ_０］，［Ｂ_２］，［Ｃ］に含まれるすべてのｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔがもはや施せなくなったとき、その正規表現に対する語表現は以下のいずれかである。

１）Ｎの語表現はＯ
２）Ｎの語表現はＩＡ_０ ^ｐ＋ｍＡ_２ ^{ｃ-２-ｐ-ｍ}かＩＩＡ_０ ^ｃ−２のいずれかである。ただし、ｃ，ｐ，ｍは、Ｎに含まれるｏ_＊，+_０，-_０のいずれかである。

最後に、この変換アルゴリズムの実施例を示す。図２１は、正規表現ｏ_φ（ｏ_２（ｏ_２（ｏ_０（-_０（-_０，-_０）））），+_２（+_２））を持つ構造安定なハミルトンベクトル場のｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍである。これにｂａｃｋｗａｒｄ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃ^ｌＢ_２（ｌ＝０），Ｂ_０，ＩＣを順次適用すれば、正規表現は以下のようになる。

この結果、取り出した構造に応じて部分語列ＣＢ_０Ｂ_２を得る。残った正規表現ｏ_φ（ｏ_２（ｏ_２（ｏ_０（-_０））））の中にあるｏ_＊，_＋０，_-０の数を数えると、ｃ＝４，ｐ＝０，ｍ＝１を得るので、ｏ_２が存在することと、ｐ＋ｍ＝１，ｃ-２-ｐ-ｍ＝１から、結果として語表現ＩＡ_０Ａ_２ＣＢ_０Ｂ_２を得ることができる。

（４−１−３．正規表現の語表現への変換処理）
図２２−Ａ〜図２２−Ｃは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。図２２−Ａ〜図２２−Ｃに示す正規表現の語表現への変換処理は、コンピュータ等の装置で実行可能である。以下、σ∈｛＋，−｝を表し、μ＝−σとする。図２２−Ａ〜図２２−Ｃにおいて、まず、ｉｎｐｕｔを正規表現Ｎとする（ステップＳ１８４）。語Ｗを空集合φと置く（ステップＳ１８５）。

ステップＳ１８６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_φ（σ_２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_０（σ_２）が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_φ（σ_２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_０（σ_２）が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１８６の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８７に移行する。

ステップＳ１８７において、σ_φ（σ_２）またはσ_０（σ_２）に含まれるｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を正規表現Ｎから抜き、ＷをＢ_２Ｗと置換して（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ１８６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_φ（σ_２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２を含むσ_０（σ_２）が正規表現Ｎに含まれない場合は（ステップＳ１８６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１８９に移行する。

ステップＳ１８９において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋_２を含む＋_２（＋_２，−_２，．．．，−_２）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋_２を含む＋_２（＋_２，−_２，．．．，−_２）が存在する場合は（ステップＳ１８９の「Ｙｅｓ」）、このｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋_２を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９０）、ＷをＢ_２Ｗと置換して（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ１８９において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋_２を含む＋_２（＋_２，−_２，．．．，−_２）が存在しない場合は（ステップＳ１８９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９１に移行する。

ステップＳ１９１において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな−_２を含む−_２（＋_２，．．．，＋_２，−_２）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな−_２を含む−_２（＋_２，．．．，＋_２，−_２）が存在する場合は（ステップＳ１９１の「Ｙｅｓ」）、このｉｎｎｅｒｍｏｓｔな−_２を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９２）、ＷをＢ_２Ｗと置換し（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ１９１において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな−_２を含む−_２（＋_２，．．．，＋_２，−_２）が存在しない場合は（ステップＳ１９１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９３に移行する。

ステップＳ１９３において、連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０，σ_０が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０，σ_０が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１９３の「Ｙｅｓ」）、このようなσ_０，σ_０を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９４）、ＷをＢ_０Ｗと置換し（ステップＳ１９５）、ステップＳ１９３に戻る。

他方、ステップＳ１９３において、連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０，σ_０が正規表現Ｎに含まれない場合は（ステップＳ１９３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９６に移行する。

ステップＳ１９６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０（μ_０）が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０（μ_０）が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１９６の「Ｙｅｓ」）、このようなσ_０（μ_０）を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９７）、ＷをＢ_０Ｗと置換し（ステップＳ１９５）、ステップＳ１９３に移行する。

ステップＳ１９６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_０（μ_０）が正規表現Ｎに含まない場合は（ステップＳ１９６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９８に移行する。

ステップＳ１９８において、正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ_２，．．．，σ_２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が含まれているか否かを判断する。正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ_２，．．．，σ_２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が含まれている場合は（ステップＳ１９８の「Ｙｅｓ」）、このようなσ_２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９９）、ＷをＣＷと置換して（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。

他方、ステップＳ１９８において、正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ_２，．．．，σ_２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が含まない場合は（ステップＳ１９８の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０１に移行する。

ステップＳ２０１において、ｏ_＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が正規表現Ｎに存在するか否かを判断する。ｏ_＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が正規表現Ｎに存在する場合は（ステップＳ２０１の「Ｙｅｓ」）、このようなσ_２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９９）、ＷをＣＷと置換して（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。

他方、ステップＳ２０１において、ｏ_＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ_２が正規表現Ｎに存在しない場合は（ステップＳ２０１の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０２に移行する。

ステップＳ２０２において、σ_２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ_２が正規表現Ｎに存在するか否かを判断する。σ_２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ_２が正規表現Ｎに存在する場合は（ステップＳ２０２の「Ｙｅｓ」）、このようなμ_２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ２０３）、ＷをＣＷと置換し（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。

他方、ステップＳ２０２において、σ_２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ_２が存在しない場合は（ステップＳ２０２の「Ｎｏ）、ステップＳ２０４に移行する。

ステップＳ２０４において、正規表現Ｎの中にσ_２が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にσ_２が存在する場合は（ステップＳ２０４の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ２０４において、正規表現Ｎの中にσ_２が存在しない場合は（ステップＳ２０４の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０５に移行する。

ステップＳ２０５において、正規表現Ｎの中にσ_０（μ_０）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にσ_０（μ_０）が存在する場合は（ステップＳ２０５の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ２０５において、正規表現Ｎの中にσ_０（μ_０）が存在しない場合は（ステップＳ２０５の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０６に移行する。

ステップＳ２０６において、正規表現Ｎに連続する２つのσ_０，σ_０が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎに連続する２つのσ_０，σ_０が存在する場合は（ステップＳ２０６の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。

他方、ステップＳ２０６において、正規表現Ｎに連続する２つのσ_０，σ_０が存在しない場合は（ステップＳ２０６の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０７に移行する。

ステップＳ２０７において、正規表現Ｎがσ_φであるか否かを判断する。正規表現Ｎがσ_φの場合は（ステップＳ２０７の「Ｙｅｓ」）、ＷをＯＷと置換し（ステップＳ２０８）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。

他方、ステップＳ２０７において、正規表現Ｎがσ_φでない場合は（ステップＳ２０７の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０９に移行する。

ステップＳ２０９において、正規表現Ｎがｏ_２を含むか否かを判断する。正規表現Ｎがｏ_２を含む場合は（ステップＳ２０９の「Ｙｅｓ」）、ＷをＩＡ_０ ^ｐ＋ｍＡ_０ ^{ｃ−２−ｐ−ｍ}Ｗと置換し（ステップＳ２１０）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。ただし，ｃ，ｐ，ｍはＮに含まれるｏ_＊，＋_０，−_０の数とする。

他方、ステップＳ２０８において、正規表現Ｎがｏ_２を含まない場合は（ステップＳ２０８の「Ｎｏ」）、ＷをＩＩＡ_０ ^ｃ−２Ｗと置換し（ステップＳ２１１）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。

以上の処理が、正規表現の語表現への変換処理である。

つづいて、上述した本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法をコンピュータにより実施するための装置構成について説明する。なお、以上の本実施の形態による方法を、人またはコンピュータにより実施してもよく、以下の実施形態による処理等を人により実施する場合に用いてもよいものである。

［正規表現作成装置の構成］
次に、本実施の形態に係る正規表現作成装置の構成について図２３を参照して説明する。図２３は、本実施の形態が適用される正規表現作成装置１００の一例を示すブロック図であり、該構成のうち本実施形態に関係する部分のみを概念的に示している。

図２３に示すように、本実施形態における正規表現作成装置１００は、概略的に、制御部１０２と記憶部１０６を少なくとも備え、本実施形態において、更に、入出力制御インターフェース部１０８と通信制御インターフェース部１０４を備える。ここで、制御部１０２は、正規表現作成装置１００の全体を統括的に制御するＣＰＵ等である。また、通信制御インターフェース部１０４は、通信回線等に接続されるルータ等の通信装置（図示せず）に接続されるインターフェースであり、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４に接続されるインターフェースである。また、記憶部１０６は、正規表現作成装置１００で上述の正規表現作成方法を実行するために必要な各種のデータ（例えば、図４〜図９、図１１〜図１２，図１４−Ａ，図１５〜図２１に示すものをデータ化したもの等）、データベース、およびテーブル等を格納する装置である。これらのデータ、データベース、およびテーブル等は、制御部１０２が正規表現作成方法を実行する際に必要により参照される。これら正規表現作成装置１００の各部は任意の通信路を介して通信可能に接続されている。更に、この正規表現作成装置１００は、ルータ等の通信装置および専用線等の有線または無線の通信回線を介して、ネットワーク１３０に通信可能に接続されている。

記憶部１０６に格納される各種のデータ、データベース、およびテーブル（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、および、正規表現ファイル１０６ｃ等）等は、固定ディスク装置等のストレージ手段である。例えば、記憶部１０６は、各種処理に用いる各種のプログラム、テーブル、ファイル、データベース、および、ウェブページ等を格納する。

これら記憶部１０６の各構成要素のうち、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、シミュレーション部１０２ａにより数理的にシミュレーションされた、シミュレーション結果を示すデータを記憶するシミュレーション結果記憶手段である。例えば、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向き等）を示すデータであってもよい。なお、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、風洞実験等の実験室内でのモデル計測などを通じて事前に入力装置１１２を介して入力されたデータをシミュレーション結果として記憶してもよい。

また、流線図ファイル１０６ｂは、流線図等の流線を示すデータを記憶する流線データ記憶手段である。例えば、流線図ファイル１０６ｂに記憶される流線データは、シミュレーション結果を示すデータに基づいて流線解析部１０２ｂにより解析された流線を示すデータであってもよい。

また、正規表現ファイル１０６ｃは、正規表現データを記憶する正規表現記憶手段である。例えば、正規表現ファイル１０６ｃに記憶される正規表現データは、文字列等である。

図２３に戻り、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４の制御を行う。ここで、出力装置１１４としては、モニタ（家庭用テレビを含む。）の他、スピーカを用いることができる（なお、以下においては出力装置１１４をモニタとして記載する場合がある）。また、入力装置１１２としては、キーボード、マウス、およびマイク等を用いることができる。

また、図２３において、制御部１０２は、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ）等の制御プログラムや、各種の処理手順等を規定したプログラム、および、所要データを格納するための内部メモリを有する。そして、制御部１０２は、これらのプログラム等により、種々の処理を実行するための情報処理を行う。制御部１０２は、機能概念的に、シミュレーション部１０２ａ、流線解析部１０２ｂ、グラフ表現作成部１０２ｃ、正規表現作成部１０２ｄ、および、語表現変換部１０２ｅを備える。

このうち、シミュレーション部１０２ａは、構造物に対する流体のシミュレーションを行うシミュレーション手段であり、例えば、上述の設計パラメータ選択工程（図２４参照）および第２の設計パラメータ選択工程（図２９等参照）等を実行する。ここで、シミュレーション部１０２ａは、２次元平面におけるシミュレーションに限られず、３次元空間における流体のシミュレーションを行ってもよいものである。また、シミュレーション部１０２ａは、公知の最適化手法を用いて、構造物の最適化を行ってもよい。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を決定する設計変数を、焼きなまし法や遺伝的アルゴリズム法等を用いて繰り返し変化させながら、当該構造物に対する流体シミュレーションを行って、適切な構造物の形状（例えば、水流に対する抵抗の少ない橋脚の形状等）を求めてもよい。なお、本実施形態において、シミュレーション部１０２ａは、シミュレーション結果を示すデータをシミュレーション結果ファイル１０６ａに格納する。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向きや抵抗等）を示すデータを格納してもよい。

また、流線解析部１０２ｂは、流線解析を行う流線解析手段である。ここで、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果に対し流線解析を行って流線図を導出してもよい。例えば、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション結果ファイル１０６ａに記憶された、数値シミュレーションや実験のデータから、公知の手法を用いて流線図を作成する。具体的には、流線解析部１０２ｂは、数値シミュレーション結果から、ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔや１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔなどをすべて計算した後、その点における流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画し、また、境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）上の流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画することにより流線図の作成が可能となる。なお、３次元のシミュレーション結果の場合、流線解析部１０２ｂは、構造物における断面における２次元のデータに変換してから、流線解析を行ってもよい。断面とする平面は任意であるが好適には、流線解析部１０２ｂは、流体の流れ方向（一様流）の方向に沿った断面で２次元データに変換してもよい。例えば、列車や自動車や航空機等の乗り物においては、進行方向に沿って断面を生成してもよい。また、流線解析部１０２ｂは、Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｈｏｍｏｌｏｇｙ（非特許文献１）に記載の技術等を用いて、流れ場から条件を満たす特徴的な構造を抽出してもよい。なお、本実施形態において、流線解析部１０２ｂは、作成した流線図データを流線図ファイル１０６ｂに格納する。

また、グラフ表現作成部１０２ｃは、上述のグラフ表現作成工程（ステップＳ１）を実行するためのグラフ表現作成手段であり、例えば、図１０−Ａ〜図１０−Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理、および図１３−Ａ〜図１３−Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理等を実行することにより、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成する。ここで、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含んでいてもよい。また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、の１又は複数であってもよい。また、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、カレント成分をルートに設定し、カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すことにしてもよい。また、かかる流れパターンは、パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることにしてもよい。

また、正規表現作成部１０２ｄは、上述の正規表現作成工程（ステップＳ２）を実現するための正規表現作成手段であり、例えば、図１４−Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理等を実行することにより、グラフ表現作成部１０２ｃで作成されたグラフ表現から正規表現を作成する。

また、語表現変換部１０２ｅは、上述の語表現変換工程（ステップＳ３）を実現するための語表現作成手段であり、例えば、図２２−Ａ〜図２２−Ｃに示す正規表現の語表現への変換処理等を実行して、正規表現作成部１０２ｄで作成された正規表現を語表現に変換する。語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、上記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることにしてもよい。

以上が、本実施形態における正規表現作成装置１００の構成の一例である。なお、正規表現作成装置１００は、ネットワーク１３０を介して外部システム１２０に接続されてもよい。この場合、通信制御インターフェース部１０４は、正規表現作成装置１００とネットワーク３００（またはルータ等の通信装置）との間における通信制御を行う。すなわち、通信制御インターフェース部１０４は、他の端末と通信回線を介してデータを通信する機能を有する。また、ネットワーク１３０は、正規表現作成装置１００と外部システム２００とを相互に接続する機能を有し、例えば、インターネット等である。

また、外部システム１２０は、ネットワーク１３０を介して、正規表現作成装置１００と相互に接続され、シミュレーション結果データや流線図データ等の各種データに関する外部データベースや、接続された情報処理装置に語表現方法を実行させるためのプログラム等を提供する機能を有する。

ここで、外部システム１２０は、ＷＥＢサーバやＡＳＰサーバ等として構成していてもよい。また、外部システム１２０のハードウェア構成は、一般に市販されるワークステーション、パーソナルコンピュータ等の情報処理装置およびその付属装置により構成していてもよい。また、外部システム１２０の各機能は、外部システム１２０のハードウェア構成中のＣＰＵ、ディスク装置、メモリ装置、入力装置、出力装置、通信制御装置等およびそれらを制御するプログラム等により実現される。

［語表現と正規表現を使った流体中の物体の設計方法］
例えば、橋や橋脚など流体中におかれた物体（以下設計対象と呼ぶ）の形状や配置、またその周囲の流れの制御などを通じて設計の対象にとって最適なパラメータを定めるような設計手法について，語表現と正規表現を使ってどのように設計を行うかを説明する。

前提１：設計対象には変更可能な設計パラメータがある（形状・配置・流れの制御装置など）。
前提２：設計対象を設計する上で、問題に応じた「最適な状態」が設定されており、その最適状態が流線構造の特徴として記述できているものとする。例えば、剥離渦を閉じこめる状態を最適状態とすると、翼であれば揚力の最大化，橋脚であれば抗力の最小化などが期待できる。
前提３：これらの設計において、設計パラメータを変えて実験および数値計算（そしてそれにおいて得られる流線パターンの語表現・正規表現）ができるものとする。以下、二次元の流れに限定する。三次元の場合は断面をとって考えたりして二次元化することなどで設計が可能になる場合もある（三次元の場合はすべての場合でできるとは限らないことに注意する）。

従来の最適化設計においては，初期状態から始めて、設計パラメータを経験や試行錯誤、あるいは既知の最適化手法などによる最適化が行われている。ある種の最適化が実現できても、それは局所的な最適化であったり物理的に不安定であったりして実際の設計に耐えうるかどうか分からないところがある。

本実施の形態による設計パラメータの探索では、かかる状況に対して、最初から理想的な状況を流線パターンの語表現や正規表現として設定しておいて、それが実現されるようパラメータ領域を探索することができるようになる。こうして最適な設定を実現する設計パラメータの「候補」をできるだけ多くかつ速やかに探すことができるようになる。それらの候補から始めて、既知の最適化手法を行うことで多くのかつ実現性の高い設計パラメータが得られる可能性が高くなる。

図２４は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法、すなわち、上述の設計パラメータ選択工程を説明するためのフローチャートである。図２４に示すフローチャートは、シミュレーション部１０２ａにより実行される。

図２４において、まず、とりうる設計パラメータの上限と下限を定める（ステップＳ３１１）。次に、上記ステップＳ３１１で定めたパラメータ領域（設計パラメータの上限と下限で規定される領域を「パラメータ領域」と称する）を分割して、パラメータ領域からＮ個のパラメータの組み合わせサンプル（設計パラメータＰ_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ））を選択する（ステップＳ３１２）。なお、サンプルの選択は、これまでの経験や計算結果などを踏まえて適当に選んでも良いし、先験的な情報がないときは、パラメータ領域を等分してサンプリングしてもよい。

以下では、渦閉じこめ状態を表す語表現として「Ｃ」が語表現に含まれることを設計の目的とする例を説明する。各設計パラメータＰ_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）に対してそれぞれ流れの実験や数値計算を行う（ステップＳ３１３）。得られた各結果に語表現と正規表現の割り当てを行う（ステップＳ３１４）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現か否かを判断する（ステップＳ３１５）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現の場合は（ステップＳ３１５の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補として採用する（ステップＳ３１６）。他方、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現でない場合は（ステップＳ３１５の「Ｎｏ」）、設計パラメータの候補には採用しない。

なお、ＩＣなる部分語表現を持たなくても，正規表現と語表現を用いて流体遷移経路（遷移パターン）を取得する方法を使って、一回の遷移でＩＣやそれに対応する正規表現を持つ構造に移るパターンであれば、これも設計パラメータの候補として採用することにしてもよい。

ステップＳ３１７では、設計パラメータの候補があるか否かを判断し（ステップＳ３１７）、設計候補のパラメータがある場合には（ステップＳ３１７の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補に対して既存の最適化手法を適用する（ステップＳ３１９）。なお、既存の最適化手法を適用するだけでなく，最適化過程の各段階において、常に語表現や正規表現を計算してモニタリングすることで、定量的な流れの最適化に加えて、理想的な流線構造の最適化も同時に行うような最適化設計も可能である。

他方、設計パラメータの候補がない場合には（ステップＳ３１７の「Ｎｏ」）、パラメータ領域を更に細かく分割して（ステップＳ３１８）、ステップＳ３１３〜Ｓ３１７の処理を実行する。

図２５及び図２６は、上記の語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。図２５において、一様流中におかれた物体２００の背後に渦構造が二つ（渦１，渦２）存在するような状況があったとする。一様流の速さ（あるいは物体の進行速度）をＵとし、物体２００は角速度Ｇで回転できるものとする。渦の強さと位置は流れにおいて既に与えられているとして、このうち渦１を「閉じこめて」、物体２００にかかる揚力を最大化し、渦２は流れに沿って物体から遠ざかることができるような装置を、「ＵやＧのパラメータ」を探索して最適化することを考える。渦閉じこめ状態の語表現は「Ｃ」によって遠ざかる渦は「Ａ_０」によって表現できるので、ターゲットとなる状況の語表現としてはＩＡ_０Ｃを達成するものを本設計手法の適用によりパラメータ領域を絞り込む。

本設計パラメータについて，Ｕは０から１．１まで変化でき，Ｇは-１．６×２πから１．６×２πまで変化できるものとする（上記ステップＳ３１１で設計パラメータの上限、下限を定める）。これらのパラメータ区間を５等分して設計パラメータ領域を分割し（上記ステップＳ３１２）する。そして、上記ステップＳ３１３〜Ｓ３１９を実行した結果が、図２６の（ａ）〜（ｆ）である。このパラメータ領域のうち、この設計手法によって最適化設計は「０．５≦Ｕ≦０．９，Ｇ＝-０．８×２π」(図２６の（ａ）〜（ｃ）に対応)および「０．３≦Ｕ≦０．７，Ｇ＝０」（図２６の(ｄ)〜（ｆ）に対応）の間で達成されている。これらのパラメータ候補の絞り込みにより、さらにこれらのパラメータ領域の分割を繰り返して、揚力などの定量的な量の最大化をするような最良パラメータ領域を探すことで、渦閉じ込めをして揚力を最大化するための物体２００の速度と各回転速度を知ることができる。

［語表現と正規表現を使った流体中の物体の設計方法２］
語表現と正規表現を使用して、流体中に置かれた物体（以下、「設計対象」と呼ぶ）のまわりの流れを最適化する設計手法について説明する。以下では、語表現と正規表現を使用して、一様流中に置かれた物体のまわりにできる流線パターン（現在のパターン）が、所望の流線パターン（目的のパターン）となるように、物体の設計パラメータ（物理パラメータ）を設計する手法（上述の第２の設計パラメータ選択工程）の一例について説明する。以下の例では、一様流中に平板翼を置いた場合の流線パターンについて説明する。なお、第２の設計パラメータ選択工程は、正規表現のみを使用しても原理上実行可能であるが、正規表現と語表現を使用することで、より好適な設計パラメータを設計することが可能となる。

図２７及び図２８、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。図２９は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体のまわりの流れの最適化手法、すなわち、上述の第２の設計パラメータ選択工程を説明するためのフローチャートである。図２９に示すフローチャートは、シミュレーション部１０２ａにより実行される。

図２７は、一様流Ｕに対して、一定の角度で平板翼３００を置いた場合を示している。図２８は、図２７において、平板翼３００のまわりに形成される流線パターンとその流線パターンの語表現及び正規表現を示している。図２８（ａ）は一様流Ｕ中におかれた平板翼３００のまわりにできた流れ（「流れ」は、流体実験又は数値計算で算出することができる）から流線パターンを抽出したもの（「パターンＡ」と称する）である。図２８（ｃ）は、回転流れ構造を平板翼３００の上に閉じ込めるパターン（「パターンＢ」と称する）である。本手法では、平板翼３００の設計パラメータを好適に変更して、パターンＡ（現在のパターン）からパターンＢ（目的のパターン）を実現するような設計パラメータを見つけ出し、平板翼３００にかかる揚力を増加させる手法について説明する。

図２９において、まず、ステップＡ（ステップＳ４００〜Ｓ４０２）において、パターンＡとパターンＢに対して、語表現（特願２０１２−２０３６０１号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号））と本実施の形態のアルゴリズムを用いて正規表現を与える。具体的には、パターンＡには、ＩＡ_０ＣＣＢ_０という語表現と、ｏ_φ（ｏ_０（ｏ_２，−_０（−_０，−_０），＋_２，＋_２））という正規表現Ｎ_Ａを付与し、パターンＢには、語表現ＩＡ_０ＣＣＢ_０とｏ_φ（ｏ_２（ｏ_０，＋_０，−_２（−_０，−_０，＋_２）））という正規表現Ｎ _Ｂを付与する（ステップＳ４００、図２８（ａ）、（ｃ）参照）。なお、パターンＡとパターンＢの語表現は全く同じなので、従来技術では区別ができないが、正規表現は異なるためこれを用いることにより２つの流れは区別が可能となり，これらを用いることによって、流れの最適設計の目的形状を特定することが可能となる。

次に、パターンＡの正規表現Ｎ_ＡとパターンＢの正規表現Ｎ_Ｂが同じであるか否かを判断する（ステップＳ４０１）。パターンＡの正規表現Ｎ_ＡとパターンＢの正規表現Ｎ_Ｂが同じである場合には（ステップＳ４０１の「Ｙｅｓ」）、パスＰ＝φを出力する（ステップＳ４０２）。パターンＡの正規表現Ｎ_ＡとパターンＢの正規表現Ｎ _Ｂが異なる場合には（ステップＳ４０１の「Ｎｏ」）、ステップＳ４０３に移行する。

ステップＢでは、パターンＡとパターンＢの遷移の経路の決定する（ステップＳ４０３）。具体的には、流れパターンの遷移同定プログラム（特願２０１３−２３０６７８号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１４／０７９５１２））を用いて，図２８（ａ）と図２８（ｃ）の間の同じ正規表現を高々１つしか持たない経路を決定する（ステップＳ４０３）。より具体的には、同じ頂点を高々一度しか通らない、パターンＡの正規表現Ｎ_ＡからパターンＢの正規表現Ｎ_Ｂへのパスを全てリストアップし、Ｎ個の経路Ｒ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）を得る。ただし，Ｒ_１，…，Ｒ_Ｎは，経路の長さが短い順に並べてあるものとする（ｌｅｎｇｔｈ（Ｒ_ｉ）≦ｌｅｎｇｔｈ（Ｒ_ｉ＋１））。各経路Ｒ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）には中間流線パターンＰ_ｉｊ（ｊ＝１，２，…，Ｍ）があるものとする。但し、便宜上、Ｐ_ｉ０＝Ｎ_Ａ，Ｐ_ｉＭｉ＝Ｎ_Ｂであるとする。

ステップＣでは、経路Ｒ_ｉに沿って遷移するように設計パラメータを変更する（ステップＳ４０４〜Ｓ４１５）。以下、Ｎ個の経路Ｒ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）に対して、ｉ＝１，…，Ｎの順に（経路の長さが短い順に）、経路に沿って遷移するように設計パラメータを変更して、最適な設計パラメータを求める。すなわち、パターンＡからパターンＢに至るＮ個の経路Ｒ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）のうち、設計パラメータを変更して、パターンＢの正規表現と一致することになるいずれかの経路を決定し、当該パターンＢの正規表現と一致することになる変更した設計パラメータを最適な設計パラメータとして出力する。

経路Ｒ_ｉ上にあるパターンＰ_ｉｊ（但し、ｊ＝１，２，…，Ｍ_ｉ）の設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳ_ｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）とする。さらに、パターンＰ_ｉｊの設計パラメータのパラメータ値をＳ_ｋに変更して、実験又は数値計算により得られるパターンの正規表現をＰ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）と表す。

最終的に、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）がパターンＢの語表現と正規表現Ｎ_Ｂ（＝Ｐ_ｉＭｉ）に一致した場合に、このパラメータ値を最適設計を達成する設計パラメータとして出力して、当該フローを終了する。

Ｓ_ｋを変更して、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）が経路Ｒ_ｉ上の正規表現Ｐ_{ｉ（ｊ＋１）}に一致した場合に、この設計パラメータを選択して、さらに、ｊを「１」インクリメントして、当該選択した設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳ_ｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）として、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）がパターンＢの語表現と正規表現Ｎ_Ｂ（＝Ｐ_ｉＭｉ）に一致するまで処理を繰り返す。

Ｓ_ｋを変更しても、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）が経路Ｒ_ｉ上の正規表現Ｐ_{ｉ（ｊ＋１）}に一致しない場合は、この経路上での遷移は不可能として、次の経路についてＳ_ｋを変更する。

まず、ｉ＝１、ｊ＝１、ｋ＝１とする（ステップＳ４０４〜Ｓ４０６）。次に、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）＝Ｐ_{ｉ（ｊ＋１）}であるか否かを判断する（ステップＳ４０７）。Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）＝Ｐ_{ｉ（ｊ＋１）}である場合には（ステップＳ４０７の「Ｙｅｓ」）、ｊ←ｊ＋１とし（ステップＳ４１３）、ｊ＝Ｍ_ｉであるか否かを判断する（ステップＳ４１４）。ｊ＝Ｍ_ｉである場合（ステップＳ４１４の「Ｙｅｓ」）、すなわち、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）＝Ｐ_ｉＭｉ（＝Ｎ_Ｂ）となる場合は、この設計パラメータが最適な設計パラメータであるので、パスＰ＝Ｒ_ｉ及びこの設計パラメータを出力して（ステップＳ４１５）、当該フローを終了する。ｊ＝Ｍ_ｉでない場合は（ステップＳ４１４の「Ｎｏ」）、この設計パラメータを選択して、ステップＳ４０６に戻り、選択した設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳ_ｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）として、Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）がパターンＢの語表現と正規表現Ｎ_Ｂ（＝Ｐ_ｉＭｉ）に一致するまで処理を繰り返す。

Ｐ_ｉｊ（Ｓ_ｋ）＝Ｐ_{ｉ（ｊ＋１）}でない場合には（ステップＳ４０７の「Ｎｏ」）、ｋ←ｋ＋１とし（ステップＳ４０８）、ｋ≦Ｋであるか否かを判断する（ステップＳ４０９）。ｋ≦Ｋである場合には（ステップＳ４０９の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ４０７に戻る。他方、ｋ≦Ｋでない場合には（ステップＳ４０９の「Ｎｏ」）、ｉ←ｉ＋１として（ステップＳ４１０）、ｉ≦Ｎであるか否かを判断する（ステップＳ４１１）。ｉ≦Ｎである場合には（ステップＳ４１１の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ４０５に戻り、次の経路に対して探索を行う一方、ｉ≦Ｎでない場合には（ステップＳ４１１の「Ｎｏ」）、全ての経路について最適化が不可能であるので、「不可能」を出力する（ステップＳ４１２）。

一例として、ステップＢで得られた経路の１つとして、最短経路である図２８（ｂ）のパターン（語表現ＩＣＣＣＢ_０，正規表現ｏ_φ（ｏ_２（−_２（−_０，−_０，＋_２，＋_２））））を介した場合（経路の長さＭ＝１の場合））について説明する。ステップＣにおいて，図２８（ａ）のパターンＡから設計パラメータを変更して、図２８（ｂ）の語表現と正規表現になるものを探索する。変更可能な設計パラメータを全て探索しても図２８（ｂ）となるパターンが見つからない場合は，この経路に沿った最適設計が不可能と判断して，ステップＢで取得した、図２８（ｂ）の最短経路以外の経路で同じことを繰り返す。

もし、いきなり目的とする図２８（ｃ）のパターンＢを達成する設計パラメータが見つかった場合は、これが最適な設計パラメータであるので、この設計パラメータを出力してフローを終了する（上記ステップＳ４１５）。一方、図２８（ｂ）のパターンを達成する設計パラメータが見つかった場合は、この設計パラメータを選択して、さらに、この設計パラメータまわりで変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それを分割して、それぞれに対して実験又は数値計算を行って図２８（ｃ）のパターンＢになるものがあるかどうかを探索する。図２８（ｃ）のパターンＢになる設計パラメータが見つかった場合は、これが最適な設計パラメータであるので、この設計パラメータを出力してフローを終了する（上記ステップＳ４１５）。

変更可能な設計パラメータの範囲を全て探索しても見つからない場合は、この経路での最適化は不可能と判断し、ステップＢで得られた別経路を探索する。ステップＢで取得した全ての経路を探索しても、図２８（ｃ）のパターンＢになる設計パラメータが見つからない場合は、最適化不可能と判断する（上記ステップＳ４１２）。

［他の実施形態］
さて、これまで本発明の実施形態について説明したが、本発明は、上述した実施形態以外にも、請求の範囲に記載した技術的思想の範囲内において種々の異なる実施形態にて実施されてよいものである。

例えば、正規表現作成装置１００がスタンドアローンの形態で処理を行う場合を一例に説明したが、正規表現作成装置１００は、クライアント端末からの要求に応じて処理を行い、その処理結果を当該クライアント端末に返却するようにしてもよい。

また、実施形態において説明した各処理のうち、自動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を手動的に行うこともでき、あるいは、手動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を公知の方法で自動的に行うこともできる。

このほか、上記文献中や図面中で示した処理手順、制御手順、具体的名称、各処理の登録データや検索条件等のパラメータを含む情報、画面例、データベース構成については、特記する場合を除いて任意に変更することができる。

また、正規表現作成装置１００に関して、図示の各構成要素は機能概念的なものであり、必ずしも物理的に図示の如く構成されていることを要しない。

例えば、正規表現作成装置１００の各装置が備える処理機能、特に制御部１０２にて行われる各処理機能については、その全部または任意の一部を、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）および当該ＣＰＵにて解釈実行されるプログラムにて実現してもよく、また、ワイヤードロジックによるハードウェアとして実現してもよい。尚、プログラムは、後述する記録媒体に記録されており、必要に応じて正規表現作成装置１００に機械的に読み取られる。すなわち、ＲＯＭまたはＨＤなどの記憶部１０６などには、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ）として協働してＣＰＵに命令を与え、各種処理を行うためのコンピュータプログラムが記録されている。このコンピュータプログラムは、ＲＡＭにロードされることによって実行され、ＣＰＵと協働して制御部１０２を構成する。

また、このコンピュータプログラムは、正規表現作成装置１００に対して任意のネットワーク３００を介して接続されたアプリケーションプログラムサーバに記憶されていてもよく、必要に応じてその全部または一部をダウンロードすることも可能である。

また、本発明に係るプログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納してもよく、また、プログラム製品として構成することもできる。ここで、この「記録媒体」とは、メモリーカード、ＵＳＢメモリ、ＳＤカード、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤ、および、Ｂｌｕ−ｒａｙ（登録商標）Ｄｉｓｃ等の任意の「可搬用の物理媒体」を含むものとする。

また、「プログラム」とは、任意の言語や記述方法にて記述されたデータ処理方法であり、ソースコードやバイナリコード等の形式を問わない。なお、「プログラム」は必ずしも単一的に構成されるものに限られず、複数のモジュールやライブラリとして分散構成されるものや、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ）に代表される別個のプログラムと協働してその機能を達成するものをも含む。なお、実施形態に示した各装置において記録媒体を読み取るための具体的な構成、読み取り手順、あるいは、読み取り後のインストール手順等については、周知の構成や手順を用いることができる。

記憶部１０６に格納される各種のデータベース等（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、語表現ファイル１０６ｃ等）は、ＲＡＭ、ＲＯＭ等のメモリ装置、ハードディスク等の固定ディスク装置、フレキシブルディスク、および、光ディスク等のストレージ手段であり、各種処理やウェブサイト提供に用いる各種のプログラム、テーブル、データベース、および、ウェブページ用ファイル等を格納する。

また、正規表現作成装置１００は、既知のパーソナルコンピュータ、ワークステーション等の情報処理装置として構成してもよく、また、該情報処理装置に任意の周辺装置を接続して構成してもよい。また、語表現作成装置１００は、該情報処理装置に本発明の方法を実現させるソフトウェア（プログラム、データ等を含む）を実装することにより実現してもよい。

更に、装置の分散・統合の具体的形態は図示するものに限られず、その全部または一部を、各種の付加等に応じて、または、機能負荷に応じて、任意の単位で機能的または物理的に分散・統合して構成することができる。すなわち、上述した実施形態を任意に組み合わせて実施してもよく、実施形態を選択的に実施してもよい。

以上説明したように、本実施の形態によれば、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を含むこととしたので、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能となるという効果を奏する。

また、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであるので、構造安定なハミルトンベクトル場に対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーを平面グラフとして可視化したものをグラフ表現として提供することが可能となるという効果を奏する。

また、本実施の形態によれば、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画することとしたので、親子の連結関係が視認しやすいグラフ表現を提供することが可能となるという効果を奏する。

また、本実施の形態によれば、前記流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯの１又は複数であることとしたので、基本となる全ての流れパターンに対して正規表現を付与することができ、具体的な流れパターンの正規表現を扱えるようになるという効果を奏する。

また、本実施の形態によれば、正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程を備えているので、正規表現を語表現に変換することが可能となるという効果を奏する。

また、本実施の形態の形態によれば、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしたので、正規表現を、基本となる全ての流れパターンと位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語表現に変換することが可能となるという効果を奏する。

本実施の形態によれば、語表現と同様に、流れ場における構造物設計を行うにあたって、構造物に対して採り得る流れパターンを経験や直感に頼ることなく容易に扱うことができる、流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することができる。また、語表現と正規表現の両方を使用することで、語表現だけでは特定の流れを限定できないものを限定することができ、流れの最適制御の理論をより発展させることができる。

なお、語表現と正規表現は、例えば、橋脚の設計、防波堤の配置、港湾の汚染物の除去、風力発電のブレードの設計、列車のパンタグラフの構造、オイルフェンスの最適配置などのように、構造物設計や配置を伴う様々な分野において極めて有用である。また、スポーツ用品の構造設計などのようにスポーツ力学等の分野に応用することも可能である。

１００ 正規表現作成装置
１０２ 制御部
１０２ａ シミュレーション部
１０２ｂ 流線解析部
１０２ｃ グラフ表現作成部
１０２ｄ 正規表現作成部
１０２ｅ 語表現変換部
１０４ 通信制御インターフェース部
１０６ 記憶部
１０６ａ シミュレーション結果ファイル
１０６ｂ 流線図ファイル
１０６ｃ 正規表現ファイル
１０８ 入出力制御インターフェース部
１１２ 入力装置
１１４ 出力装置
１２０ 外部システム
１３０ ネットワーク
２００ 物体
３００ 平板翼

Claims (16)

1. 制御部と記憶部を備えたコンピュータによって実行される、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域を形成する流線図の流れパターンについて、正規表現を作成する正規表現作成方法であって、
   前記記憶部は、
   頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに基づいて、頂点と各頂点を結ぶエッジからなる図形の位相幾何学的性質を解析するグラフ理論のグラフ表現（平面グラフ）を作成するための参照用のパターンを格納しており、
   前記制御部において実行される、
   前記パターンを参照して、頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに１対１に対応（単射）する前記グラフ表現（平面グラフ）を作成するグラフ表現作成工程と、
   前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現（平面グラフ）から前記正規表現を作成する正規表現作成工程と、
   を含むことを特徴とする流れパターンの正規表現作成方法。
2. 前記グラフ表現は、前記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴ_Ｈ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることを特徴とする請求項１に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
3. 前記グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画したものを含むことを特徴とする請求項１又は請求項２に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
4. 前記流れパターンは、
   （１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
   （２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、
   （３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、
   からなるパターン語の１又は複数で規定されることを特徴とする請求項１〜請求項３のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
5. 前記グラフ表現作成工程は、
   前記流れパターンが吸い込み湧き出し対を有する場合は、前記流れパターンを、前記吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、
   前記変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、
   領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、
   カレント成分をルートに設定し、
   前記カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、
   前記カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すこと、
   を含むことを特徴とする請求項４に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
6. 前記流れパターンは、前記パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることを特徴とする請求項５に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
7. さらに、前記正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程と、
   を含むことを特徴とする請求項１〜請求項６のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
8. 前記語表現変換工程では、ルートつき，ラベル付き，及び方向つきのツリーに対応する正規表現のうちの基本タイプの正規表現に前方置換を施すことが可能な許容正規表現を前記語表現に変換することを特徴とする請求項７に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
9. 前記語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることを特徴とする請求項７又は請求項８に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
10. さらに、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択する設計パラメータ選択工程を含むことを特徴とする請求項７〜請求項９のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
11. 前記設計パラメータ選択工程は、さらに、前記選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことを特徴とする請求項１０に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
12. さらに、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの前記正規表現から目的とする流れパターンの前記正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現となる設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を含むことを特徴とする請求項１〜請求項９のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
13. 前記第２の設計パラメータ選択工程では、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することを特徴とする請求項１２に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
14. 前記第２の設計パラメータ選択工程は、
    前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から前記目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、
    前記取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して前記現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、
    前記選択した経路に対して、前記変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することを特徴とする請求項１３に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
15. 制御部と記憶部を備え、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域を形成する流線図の流れパターンについて、正規表現を作成する正規表現作成装置であって、
    前記記憶部は、
    頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに基づいて、頂点と各頂点を結ぶエッジからなる図形の位相幾何学的性質を解析するグラフ理論のグラフ表現（平面グラフ）を作成するための参照用のパターンを格納しており、
    前記制御部は、
    前記パターンを参照して、頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに１対１に対応（単射）する前記グラフ表現（平面グラフ）を作成するグラフ表現作成手段と、
    前記グラフ表現作成手段で作成されたグラフ表現（平面グラフ）から前記正規表現を作成する正規表現作成手段と、
    を備えたことを特徴とする流れパターンの正規表現作成装置。
16. 制御部と記憶部を備えたコンピュータによって実行される、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域を形成する流線図の流れパターンについて、正規表現を作成するプログラムであって、
    前記記憶部は、
    頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに基づいて、頂点と各頂点を結ぶエッジからなる図形の位相幾何学的性質を解析するグラフ理論のグラフ表現（平面グラフ）を作成するための参照用のパターンを格納しており、
    前記制御部において、
    前記パターンを参照して、頂点と各頂点を結ぶエッジを有する前記流れパターンに１対１に対応（単射）する前記グラフ表現（平面グラフ）を作成するグラフ表現作成工程と、
    前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現（平面グラフ）から前記正規表現を作成する正規表現作成工程と、
    を実行させるためのプログラム。