WO2016072515A1 - 流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラム - Google Patents

流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラム Download PDF

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WO2016072515A1
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WO
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regular expression
expression
flow pattern
word
pattern
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PCT/JP2015/081402
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貴之 坂上
知郎 横山
Original Assignee
国立研究開発法人科学技術振興機構
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G—PHYSICS
    • G16—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR SPECIFIC APPLICATION FIELDS
    • G16Z—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR SPECIFIC APPLICATION FIELDS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G16Z99/00—Subject matter not provided for in other main groups of this subclass
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/10—Numerical modelling

Definitions

  • the present invention relates to a flow pattern regular expression creating method, a regular expression creating apparatus, and a computer-executable program.
  • an optimization technique has been developed in which a fluid simulation is repeatedly performed on a structure while changing the design variable of the structure using an annealing method (simulated annealing method), a genetic algorithm method, or the like.
  • the search range is inevitably limited due to these restrictions.
  • the possibility that the optimal structure is locally optimal cannot be excluded. That is, there is a problem that the optimization range of the derived structure depends on where the search range is set, depending on the experience and intuition of the engineer as to where the search range is set.
  • the applicant of the present application is obtained by numerical calculation or experiment in the “flow pattern word expression method, word expression device, and program (hereinafter also referred to as“ word expression theory ”)” of Patent Document 1.
  • word expression theory assigns this character string to the flow and expresses the quantitative characteristics (eg, lift-drag ratio) of the flow that appears as a qualitative partial character string.
  • the present invention has been made in view of the above, and a flow pattern regular expression creating method, regular expression creating device, and a new expression method capable of providing a one-to-one correspondence with a flow pattern, And it aims at providing a program.
  • the present invention provides a regular expression creation method for creating a regular expression of a flow pattern in a multi-connected external region having topologically N (where N is an integer of 1 or more) holes.
  • the graph representation is a tree T with a unique root, a label, and a direction with respect to the structurally stable Hamilton vector field H defined by the flow pattern.
  • H (V, E) is assigned (where V is a set of points called vertices, E is a set of edges connecting the vertices), and is preferably visualized as a planar graph.
  • the graph representation is such that the parent vertex is v, the child vertex is w, the label assigned to the parent vertex v is l (v), and the child vertex is w. If the assigned labels are l (w) and v's child vertex set ⁇ (v), then v's child vertex set ⁇ (v) is rearranged according to a predetermined ordering rule, and w ⁇ (v) , L (v) to l (w) are desirably drawn side by side from left to right.
  • the flow pattern is (1) a suction spring out of two types of flow patterns that can be taken topologically in a single connected outer region having one hole.
  • Pattern I with a pair and two ss-ad-saddle connections
  • Pattern II with a pair of saddle points, a homoclinic saddle connection and two ss-saddle connections that connect it
  • a pattern O that does not have a suction spring pair in a double connected external region with two holes It is desirable that the number is one or more.
  • the graph creating step includes a counterclockwise ss-orbit that is closest to the suction and spring-out pair when the flow pattern has a suction and spring-out pair.
  • the region is converted so that it becomes the outermost region, and the trajectory that appears in the (ss-) saddle connection diagram of the converted flow pattern is extracted from the entire region, and the trajectory that appears in the (ss-) saddle connection diagram from the entire region.
  • a vertex is set for the connected component obtained by excluding all, the connected component on the outermost side is set as the root, the current component is set as the root, and the connected components that are in contact with the current component are children of the current component.
  • the flow pattern defines five types of operations that can be taken topologically when one hole is added to the flow pattern, starting from one or more of the pattern words. It is desirable that the flow pattern diagram is created by repeating the operation of assigning any one of the operated words until the number of holes becomes N.
  • the word expression conversion step it is possible to perform forward substitution on a regular expression of a basic type among regular expressions corresponding to a tree with a root, a label, and a direction. It is desirable to convert the allowable regular expression into the word expression.
  • the word expression includes two types of flow patterns that have two holes in addition to two kinds of flow patterns that can be taken topologically in a single connected outer region having one hole.
  • a pattern word that defines a total of three types of flow patterns, with the addition of a pattern that does not have a pair of suction and outflow in the externally connected region, it can be used topologically when adding one hole to the flow pattern. It is desirable that it is a symbol word formed by assigning any one of the operation words defining five types of operations to the number of added holes.
  • an upper limit and a lower limit of the design parameter are set, and the upper limit and the lower limit of the design parameter are defined.
  • a plurality of parameters are selected from the parameter region, and a flow experiment and / or numerical calculation is performed for each of the selected plurality of parameters, and the word expression and / or the numerical calculation is performed on the result of the experiment and / or numerical calculation.
  • a design parameter selection step of assigning a regular expression and selecting a design parameter having the word expression and / or the regular expression indicating an optimum state among the assigned word expression and / or the regular expression as a candidate for the design parameter It is desirable to include.
  • the design parameter selection step further includes a step of performing an optimization design using the selected design parameter.
  • a transition is made from the regular expression of the current flow pattern to the regular expression of the target flow pattern. It is desirable to include a second design parameter selection step of changing the design parameter so as to select the design parameter that becomes the regular expression of the target flow pattern.
  • the regular expression and word expression of the current flow pattern are changed to the regular expression and word expression of the target flow pattern. It is desirable to change the design parameters to select the design parameters that are the regular expressions and word expressions of the target flow pattern.
  • the second design parameter selection step transitions from the regular expression and word expression of the current flow pattern to the regular expression and word expression of the target flow pattern.
  • the present invention provides a regular expression for creating a regular expression of a flow pattern in a multi-connected outer region having topologically N (where N is an integer of 1 or more) holes.
  • the present invention provides a regular expression for creating a regular expression of a flow pattern in a multi-connected outer region having topologically N (where N is an integer of 1 or more) holes.
  • a program installed in a creation device a graph expression creation step for creating a graph expression corresponding to the flow pattern on a one-to-one basis, and a regular expression for creating a regular expression from the graph expression created in the graph expression creation step
  • An expression creating step is executed by a computer.
  • a flow pattern regular expression creation method, regular expression creation device, and program capable of providing a new expression method that can be associated with a flow pattern on a one-to-one basis are provided. There is an effect that becomes possible.
  • FIG. 1 is an explanatory diagram for explaining the outline of the present invention.
  • FIG. 2-A is a flowchart for explaining a flow pattern regular expression creation method according to the present embodiment.
  • FIG. 2-B is a flowchart for explaining an example of the graph expression creation step of FIG. 2-A.
  • FIG. 3 is a flowchart shown in the outline of the present embodiment.
  • FIG. 4 is a diagram schematically showing a structure-stable flow pattern.
  • FIG. 5 is a diagram describing all the characteristic trajectories (streamlines) that perform topological classification of structurally stable flow patterns in a region.
  • FIG. 6 is a diagram schematically showing three types of flow patterns serving as an initial structure.
  • FIG. 7 is a diagram schematically showing five types of operations for forming a structurally stable flow by adding one hole.
  • FIG. 8 is a diagram showing all classifications of flow patterns when there are two structures and a uniform flow.
  • FIG. 9 is a diagram showing all the flow patterns generated by the operations B 0 , B 2 , and C and the parent-child relationships excited correspondingly to the connected subset (vertex set).
  • FIG. 10A is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10-B is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10C is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10A is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10-B is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10D is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 10E is a flowchart for explaining a conversion process of a saddle connection diagram tree in the O series.
  • FIG. 12 is a diagram showing the local structure of the ss-saddle connection diagram generated by the operations A 0 , A 2 , and C and the visualization of the graph expression obtained correspondingly.
  • FIG. 13-A is a flowchart for explaining the conversion process to the ss-saddle connection diagram tree in the I and II series.
  • FIG. 13-A is a flowchart for explaining the conversion process to the ss-saddle connection diagram tree in the I and II series.
  • FIG. 13B is a flowchart for explaining the conversion process to the tree of the ss-saddle connection diagram in the I and II series.
  • FIG. 13-C is a flowchart for explaining the conversion process to the tree of the ss-saddle connection diagram in the I and II series.
  • FIG. 13-D is a flowchart for explaining the conversion process of the ss-saddle connection diagram tree to the I and II series.
  • FIG. 14A is a diagram showing a graph expression of a structurally stable streamline pattern having the word expression IA 0 C and its regular expression.
  • FIG. 14B is a flowchart for explaining a process of converting a tree into a regular expression.
  • FIG. 15 is a diagram showing five fundamental types TN and regular expressions N corresponding to the five fundamental types TN .
  • FIG. 16 is a diagram showing a list of 14 forward replacements.
  • FIG. 17 is a diagram showing changes in forward replacement and streamline structure when operations A 0 , A 2 , and C are performed.
  • FIG. 18 shows excitation along with the change in streamline structure obtained when operations B 0 , B 2 , and C are applied to the closed orbit included in the simple connected components ⁇ 0 and ⁇ 2 in the (ss-) saddle connection diagram. It is a figure for demonstrating forward replacement of the regular expression to do.
  • FIG. 16 is a diagram showing a list of 14 forward replacements.
  • FIG. 17 is a diagram showing changes in forward replacement and streamline structure when operations A 0 , A 2 , and C are performed.
  • FIG. 18 shows excitation along with the change in streamline structure obtained when operations B 0 , B 2 , and C are applied to the closed orbit included in the simple connected components ⁇
  • FIG. 19 is a diagram illustrating a list of backward replacement [B 2 ], [B 0 ], and [C] of regular expressions induced by the reverse operation of the operations B 0 , B 2 , and C.
  • FIG. 20 is a diagram illustrating a backward replacement of a regular expression corresponding to a change in the local streamline structure in the (ss-) saddle connection diagram.
  • Figure 21 is a regular expression o ⁇ (o 2 (o 2 (o 0 (- 0 (- 0, - 0))), + 2 (+ 2)) of the structural stability Hamiltonian vector field with ss-saddle It is a figure which shows connection diagram.
  • FIG. 22-A is a flowchart for explaining a process of converting a regular expression into a word expression.
  • FIG. 22-B is a flowchart for explaining a process of converting a regular expression into a word expression.
  • FIG. 22-C is a flowchart for explaining a process of converting a regular expression into a word expression.
  • FIG. 23 is a block diagram illustrating an example of a regular expression creation device to which the exemplary embodiment is applied.
  • FIG. 24 is a flowchart for explaining a method of designing an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 25 is a diagram for explaining an example of a specific example for explaining a method for designing an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 26 is a diagram for explaining an example of a specific example for explaining a method for designing an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 27 is an explanatory diagram for explaining a method for optimizing a flow around an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 28 is an explanatory diagram for explaining a method for optimizing a flow around an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 29 is a flowchart for explaining an example of a method for optimizing a flow around an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 1 is an explanatory diagram for explaining the outline of the present invention.
  • Patent Document 1 International Publication No. 2014/041917, Japanese Patent Application No. 2012-203601, PCT / JP2013 / 070939
  • this character string is given to the flow pattern obtained by numerical calculation and experiment, and the word expression that expresses the quantitative characteristic (for example, lift-drag ratio) of the flow that appears there as a qualitative partial character string.
  • a theory was proposed.
  • Patent Document 1 has already filed a method for creating a word expression from a flow pattern (P1).
  • a method for creating a fluid transition path from a word expression (P2) has been filed.
  • a unique word expression can be given to the flow pattern, but a plurality of different flow patterns correspond to the character string given in the word expression. Therefore, in the flow pattern regular expression creating method of the present embodiment, a graph expression corresponding to the flow pattern is created one-to-one (T1), and a regular expression is created from the graph expression (T2).
  • T3 regular expression is created from the regular expression (T3).
  • the fluid transition path can be created directly from the word expression. Furthermore, in the flow pattern regular expression creation method of the present embodiment, the fluid transition path can also be created directly from the regular expression (T4).
  • FIG. 2A is a flowchart for explaining the outline of the flow pattern regular expression creation method according to the present embodiment.
  • the regular expression creation method of the flow pattern according to the present embodiment is based on topologically N (where N is an integer of 1 or more) holes in a multi-connected outer region.
  • a regular expression of a flow pattern is created, and is roughly divided into a graph expression creation process (step S1) for creating a graph expression corresponding to a flow pattern on a one-to-one basis, and a graph expression creation process of step S1.
  • a regular expression creating step (step S2) for creating a regular expression from the graph expression; and a word expression converting step (step S3) for converting the regular expression created in the regular expression creating step of step S2 into a word expression.
  • V is called a vertex
  • a set of points, E is a set of edges connecting vertices) and may be visualized as a planar graph.
  • the graph representation is such that the parent vertex is v, the child vertex is w, the label assigned to the parent vertex v is l (v), and the label assigned to the child vertex w is l (w), v.
  • the child vertex set ⁇ (v) is used, the child vertex set ⁇ (v) of v is rearranged according to a rule of a predetermined order relation, and from w ( ⁇ ) to l (w) for w ⁇ (v). You may include what was drawn with the arrow arranged from left to right.
  • the flow patterns are (1) two ss- ⁇ -saddle connections, which have a suction-and-out pair of two types of flow patterns that can be taken topologically in a single connected outer region having one hole.
  • One or more pattern words consisting of a pattern II having a homoclinic saddle connection and two ss-saddle connections, and (3) a pattern O having no suction spring-out pair in a double-connected external region having two holes. It may be.
  • the word representation does not have a suction-out pair in a double connected outer region with two holes.
  • the operation words that define the five types of operations that can be taken topologically when adding one hole to the flow pattern with respect to the pattern words that define a total of three types of flow patterns with added patterns It is good also as a symbol word formed by giving any one word by the number of the added holes.
  • FIG. 2-B is a flowchart for explaining an example of the graph expression creation process of FIG. 2-A.
  • the graph expression creation process first, when the flow pattern has a suction-and-out pair, the region including the counterclockwise ss-orbit closest to the suction-and-out pair is the first. Conversion is performed so as to be in the outer region (step S31).
  • the flow pattern starts from one or more of the above-described pattern words, and is one of the operation words that define five types of operations that can be taken topologically when a hole is added to the flow pattern. It is good also as a flow pattern figure with the number of the holes created by repeating the operation which provides a word until the number of holes becomes N pieces.
  • the route of the ss-saddle connection diagram (flow pattern diagram) of I-word and II-word is converted as shown in FIG.
  • the trajectory that appears in the (ss-) saddle connection diagram of the converted flow pattern is extracted from the entire region (step S32).
  • a vertex is set to the connected component obtained by excluding all trajectories appearing in the (ss-) saddle connection diagram from the entire region, and the outermost connected component is set as the root (step S33).
  • the current component is set as the root (step S34).
  • a connected component that touches the boundary with the current component is a child of the current component, labels are assigned according to the trajectory corresponding to the boundary, and they are arranged in accordance with a predetermined label order relationship (step S35).
  • the child of the current component is set as the current component, and step S35 is repeatedly executed until there are no more children (step S36).
  • the flow pattern regular expression creation method of the present embodiment may execute a design parameter selection step of selecting design parameter candidates for an object in a fluid.
  • a design parameter selection step for example, when selecting a design parameter candidate for an object in a fluid, an upper limit and a lower limit of the design parameter are set, and a parameter region defined by the upper limit and the lower limit of the design parameter is set. A plurality of parameters are selected, and a flow experiment and / or numerical calculation is performed for each of the selected parameters, and the word expression and / or the regular expression is used for the result of the experiment and / or numerical calculation.
  • a design parameter having the word expression and / or the regular expression indicating an optimal state may be selected as the design parameter candidate.
  • the design parameter selection step may further include a step of performing optimization design using the selected design parameter.
  • the flow pattern regular expression creation method of the present embodiment may execute a second design parameter selection step of selecting a design parameter for an object in a fluid.
  • the second design parameter selection step for example, when the optimum design parameter is selected for an object in the fluid, the current flow pattern regular expression is changed to the target flow pattern regular expression.
  • the design parameter may be changed to a design parameter that is a regular expression of the target flow pattern.
  • the word expression is used in addition to the regular expression so that the current flow pattern regular expression and word expression are changed to the target flow pattern regular expression and word expression.
  • the design parameter may be changed, and a design parameter that becomes a regular expression and a word expression of the target flow pattern may be selected.
  • one or a plurality of paths for transitioning from the current flow pattern regular expression and word expression to the target flow pattern regular expression and word expression are acquired, and the acquired 1 Or, select a path that can be transitioned from the current flow pattern by changing the design parameter among multiple paths, and change the design parameter around the changed design parameter for the selected path. You may decide to select the design parameter used as the regular expression and word expression of a flow pattern.
  • FIG. 3 is a flowchart showing an outline of the word expression algorithm.
  • step SA-1 in order to form a word representation of the flow pattern in a connected external region having N holes topologically, topologically in a single connected external region having one hole.
  • a pattern word that defines a total of three types of flow patterns for example, I, II, O is assigned (step SA-1).
  • an operation word defining five types of operations that can be taken topologically when adding one hole to the flow pattern with respect to the word given in step SA-1 (for example, , A 0 , A 2 , B 0 , B 2 , C) (Step SA-2), and repeats the process of Step SA-2 until the number of holes becomes N
  • step SA-3 a word expression corresponding to the connected external region having N holes is formed.
  • the pattern word assignment (step SA-1) is performed first and the operation word assignment (step SA-2) is performed later.
  • the present invention is not limited to this, and the operation word assignment is performed first.
  • the pattern word may be given later.
  • the “connected external region” is an expression including a single connected external region and a multiple connected external region
  • the “single connected external region” is in two dimensions (plane).
  • a region is a region with a single hole
  • a “multiple connected external region” is a region in two dimensions (plane) with a plurality of holes.
  • the expression “hole” here is a mathematical abstract expression, but various expression forms may be applied. For example, when focusing on a uniform flow that occurs relatively when a vehicle moves, if there is one or more structures on the cross-section of the vehicle along the uniform flow, the region is simply It can be treated as a connected external region or a multiple connected external region.
  • one or more holes and a single connection or multiple connection Can be treated as a connected external region.
  • a flow such as “one or more obstacles in the flow” is treated as a flow in the connected external region in this embodiment.
  • an isolated vortex structure or a flow structure (such as an elliptical stopping point) having a periodic orbit around it can be regarded as a “hole”.
  • Topological is a technical term in mathematics and refers to a field of geometry, also called topology (topology).
  • topology topology
  • triangles and quadrilaterals are considered to be different figures due to the difference in the number of their corners, but from the viewpoint of topological geometry, triangles and quadrilaterals can move to each other by deforming rubber bands, for example.
  • topology topology
  • the connected external region is expressed as D ⁇ (M) with respect to the number of holes M + 1. For example, when there is only one hole, it is a single connected external region D ⁇ (0), and when there are two holes, it is a double connected external region D ⁇ (1).
  • topological structure a specific structure that characterizes the flow
  • Those that cannot be deformed by continuous (ie, not cut or stuck) deformation of a particular structure are considered different flows.
  • An uncompressed flow may be handled as the “flow” in the present embodiment.
  • the incompressibility of a fluid refers to a property that hardly changes its volume even when force is applied. When we consider normal water and air flow on the scale of daily life, it is generally safe to consider this flow framework. Note that the present invention is not limited to this, and a compressible flow may be handled in calculation.
  • the fluid in the present embodiment may be handled as a non-viscous fluid.
  • An inviscid fluid can treat the boundary condition as a “slip condition”.
  • the boundary condition is the “zero boundary condition”.
  • the word conversion algorithm for non-viscous fluids may be described in particular, but this embodiment can also be applied to viscous fluids by appropriate boundary expansion.
  • FIG. 4 is a diagram schematically showing a flow pattern.
  • FIG. 4C schematically shows a boundary having four ⁇ 4-saddle points (the definition will be described later).
  • the vortex is an element that creates a flow rotating around it.
  • the uniform flow is a basic flow in terms of river flow, and is a flow that crosses the entire region.
  • the uniform flow is a flow such as a relative air flow or a water flow as viewed from an observer riding on the vehicle. That is, in the coordinate system of the moving object, even if air or water is actually stationary, it is possible to imagine the relative flow that flows from the infinity point.
  • the element that constitutes a uniform flow is called a 1-source-sink point, and the correctness of the rule can be proved mathematically.
  • a plane may be projected onto a spherical surface by a projection method called stereographic projection (stereo projection / stereo projection) in mathematics.
  • stereographic projection stereo projection / stereo projection
  • the uniform flow has a flow structure such as a flow source and a suction pair in the spherical north pole, and it can be mathematically shown to correspond to the flow field as shown in FIG.
  • the position of the north pole and the south pole can be appropriately shifted using the fact that the spherical surface has a highly symmetric shape, so the point at infinity is the south pole,
  • a flow as shown in FIG. 4B can be obtained near the origin corresponding to the south pole.
  • the flow field of the entire plane can be expressed as a bounded area having a shape as shown in FIG.
  • D ⁇ (M) is moved to the unit circle outer region by selecting the pair of suction and spring at infinity point as the origin and one of M + 1 boundaries by this conversion method.
  • a connected region inside a unit circle including M boundaries inside is sometimes written as D z (M). All subsequent descriptions are made using this D z (M). Therefore, the expression as shown in FIG. 4B is equivalent to a flow in which a uniform flow is contained in the entire plane through an appropriate projection method. In the description of the present embodiment, it is convenient to schematically show the flow, and therefore, it may be expressed in the drawing using such a projection method.
  • FIG. 5 is a diagram describing all the characteristic trajectories (streamlines) that perform topological classification of the structure-stable flow in such a connection region D z (M).
  • ss-orbit the trajectory returning from the pair of suction and outflow and returning to itself.
  • Fig. 5 (b) the trajectory that exits the pair of suction and outflow and connects to the boundary is called ss- ⁇ -saddle connection, and the trajectory is connected as shown in Fig. 5 (c).
  • the point on the border is called ss- ⁇ -saddle.
  • FIG. 5 (e) the trajectory leading out from a point on a certain boundary and leading to a point on the same boundary, not from a pair of suction and outflow, is called ⁇ -saddle connection, and FIG. 5 (d) The points on the boundary connected by this are called ⁇ -saddle.
  • a hyperbolic stop point not on the boundary as shown in FIG. 5 (h) is called a saddle point (saddle point).
  • the trajectory leading to this saddle point is called ss-saddle connection.
  • a closed curve orbit that creates a boundary or a vortex is called a closed orbit
  • Fig. 5 (i) a trajectory that leaves the saddle point and returns to itself. It is called homoclinic saddle connection. It can be mathematically proved that the target structurally stable flow can only be expressed by a combination of these trajectories.
  • step SA-2 in the above-described step SA-2, one hole and the flow structure associated therewith are added to the flow of the connected external region D z (M ⁇ 1) having M holes.
  • the flow field of many multiple connected external regions D z (M) is constructed recursively. Therefore, the simplest hole is a single connected external region D z (0) or a double connected external region D z (1), which is the initial structure of these inductive structures given in step SA-1 ing.
  • FIG. 6 is a diagram schematically showing three types of structure-stable flow patterns as an initial structure.
  • FIGS. 6A and 6B there are two types of flows, a pattern I and a pattern II, in which a hole is in one single connected external region D z (0). Both of these patterns have a pair of suction and spring, and it can be proved mathematically that there are only these two types.
  • the double-coupled outer region D z (1) is composed of these, but does not have a suction-and-out pair. Is not constructed from here, the initial flow necessary for constructing the flow is the pattern O schematically shown in FIG. 6 (c).
  • step SA-2 the five types of operations that can be taken topologically are: 1) A 0 operation that replaces one ss-orbit with one saddle point, a homoclinic saddle connection that connects the ss-orbit and a hole inside, and two ss-saddle connections.
  • FIG. 7 is a diagram schematically showing five types of operations for forming a structurally stable flow by adding one hole.
  • operation A 0 and A 2 is performed for a single ss-orbit. Further, as shown in FIG. 7 (b), the operation B 0 and B 2 is performed for a single closed orbit. Further, as shown in FIG. 7C, the operation C is performed on the boundary already having ⁇ -saddle. It can be mathematically proved that there are only five types of operations that enable such a process while maintaining structural stability.
  • a flow pattern diagram obtained by repeating this step is referred to as ss-saddle connection diagram when starting from patterns I and II, and as a saddle connection diagram when starting from pattern O.
  • FIG. 8 is a diagram showing the entire classification of the structure-stable flow pattern when there are two structures and a uniform flow. As shown in FIG. 8, all the flow patterns in the double connected region D z (1) are given to the patterns I and II of the initial structure in the single connected external region D z (0) by assigning operation words. Can be described. However, all the flow patterns shown in FIG.
  • the constraints will be described as follows. That is, as described above with reference to FIG. 7, since the operations A 0 and A 2 are performed on one ss-orbit, the presence of one ss-orbit is indispensable as a premise for performing this operation. It becomes. Further, since the operations B 0 and B 2 are performed on one closed orbit, the presence of one closed orbit is indispensable as a premise for performing this operation. Further, since the operation C is performed on a boundary having two or more ⁇ -saddles, the presence of a boundary having ⁇ -saddles is indispensable for performing this operation. Therefore, the rules for arranging the pattern words are different depending on where the pattern words are started from I, II, and O. The rules for arranging the character strings starting from the pattern words I, II, and O, which are derived based on the above constraint conditions, will be described below.
  • Such a character string is called an O-series word (O-word), and the correctness of the rule can be mathematically proved.
  • O-word O-series word
  • I-1 Operations that can be performed are all of A 0 , A 2 , B 0 , B 2 , and C.
  • I-2 the word expression starting from I lists these five types of operation words.
  • I-2) In order to include the word B 0 or B 2 in the word expression of the operation sequence, C or A 0 must always exist before that.
  • I-word Such a character string is called an I-series word (I-word), and the correctness of the rule can be mathematically proved.
  • Such a character string is called a II-series word (II-word), and the correctness of the rule can be mathematically proved.
  • the graph T (V, E) is a set given as a pair of a set of points (vertex set) called “vertex” V and a set E called “edge” connecting the vertices. It is.
  • a graph can have various structures, but in the graph representation theory of the present embodiment, the following set of graphs having a specific structure in the entire set of graphs is considered.
  • Tree and tree refer to a graph in which two arbitrary vertices are connected only by one edge.
  • a routed graph refers to a graph in which a specific vertex (hereinafter referred to as a root) exists.
  • a root a specific vertex
  • “Directed” means that all edges have a parent-child order.
  • the edge from the vertex v ⁇ V to w ⁇ V in the directed graph is expressed as v ⁇ w ⁇ E.
  • v is called the parent of w and w is called the child of v.
  • Write ⁇ (v) to represent the set of all children of vertex v ⁇ V. That is, ⁇ (v): ⁇ w ⁇ V
  • the number of child vertices # ⁇ (v) included in the set is called v out-degree, and conversely, the number of edges entering v is called v in-degree.
  • a graph is labeled as being labeled with a specific label assigned to all vertices.
  • a tree with root, label, and orientation is considered. Further, the root is considered to be a vertex where in-degree is zero, that is, there is no incoming edge.
  • the vertex label any one of ⁇ o ⁇ , o 0 , o 2 , + ⁇ , + 0 , + 2 , ⁇ , ⁇ 0 , ⁇ 2 ⁇ is assigned.
  • the label is o ⁇ (o 0, o 2 , + ⁇ , + 0, + 2, - ⁇ , - 0, or - 2) a subset of the vertex set has become Vo ⁇ (Vo 0, Vo 2 , V + ⁇ , V + 0 , V + 2 , V ⁇ ⁇ , V ⁇ 0 , or V ⁇ 2 ).
  • V the label assigned to the vertex.
  • the following set is defined.
  • Vo Vo ⁇ ⁇ Vo 0 ⁇ Vo 2
  • V + V + ⁇ ⁇ V + 0 ⁇ V + 2
  • V- V- ⁇ ⁇ V- 0 ⁇ V- 2
  • V 0 Vo 0 ⁇ V + 0 ⁇ V- 2
  • V 2 Vo 2 ⁇ V + 2 ⁇ V- 2
  • ⁇ symbols represent a disjointed union.
  • ⁇ (v) can be divided into a child vertex set of vertex v as follows.
  • H a structurally stable Hamiltonian vector field expressed by O-word on the two-dimensional region D z (M), and let D be its saddle connection diagram.
  • a set C H D z (M) ⁇ D consisting of several connected components (including infinite periodic orbits) is an open set. it can.
  • Each connected component is set as a vertex set V. Apex of the root is a connected component in the outermost of these connected components, when periodic orbits included as the label is counterclockwise + phi, when a clockwise - assign phi.
  • FIG. 9 shows all streamline patterns generated by the operations B 0 , B 2 , and C, and the parent-child relationships excited correspondingly to the connected subset (vertex set).
  • (A) is B 0
  • (b) is B 0
  • (c) is B 0 B 0
  • (d) is B 2 C k ⁇ 1 , k ⁇ 1
  • (e) is B 2 C 1 , l ⁇ 1
  • (F) is B 2 C k + l ⁇ 1 , k, l ⁇ 1
  • (g) is B 0 B 2 C k , k ⁇ 1
  • (h) is B 0 B 2 C l , l ⁇ 1.
  • v represents a parent connected subset, and its child connected subset is expressed as w, y, z, and the like. Since the broken line represents a set of parent connected parts, only one periodic trajectory included therein is drawn with a direction.
  • FIG. 9 (a) can be constructed character pattern outward 8 made by the operation B 0.
  • the number of elements included in the set of child connected components is # ⁇ + 0 (v), # ⁇ -0 (v) ⁇ 2, and any non-negative integer can be selected for the child vertex sets # ⁇ + 2 (v) and # ⁇ - 2 (v).
  • the order is cyclically arranged with respect to the connected portion written as j in FIG. That is, a specific connected portion is selected as y 1 from these, and thereafter the connected components are arranged counterclockwise.
  • the child connected components written as j j can be simply arranged counterclockwise.
  • N a set of non-negative integers
  • N ⁇ a set of finite sequences of non-negative integers
  • ⁇ ⁇
  • G a tree
  • s, s ′, t, u vertex ids
  • T a subset of vertex ids.
  • FIGS. 10A to 10E are flowcharts for explaining the conversion process of a saddle connection diagram to a tree in the O series.
  • the conversion process to the tree of the saddle connection diagram in the O series shown in FIGS. 10-A to 10-E can be executed by a device such as a computer.
  • step S101 input is set as saddle connection diagram D
  • step S101 saddle connection diagram D is converted so that there is root in outermost
  • step S106 it is determined whether or not root 0 has the shape (pattern) shown in FIG. If root 0 has the form shown in FIG. 9A (“Yes” in step 106), the vertex ids of w 1 and w 2 are set to 00, 01, and the tree G is set as shown in FIG. 9A.
  • step S106 if root 0 does not have the shape of FIG. 9A ("No" in step 106), the process proceeds to step S108.
  • step S108 it is determined whether or not root 0 has the left shape of FIG. If root 0 has the left shape of FIG. 9B (“Yes” in step 108), the vertex id of w is set to 00, the tree G is the label of the tree of FIG. 9B. Is replaced with a set of id and label (ie, G is ((0, ⁇ ⁇ ) ⁇ (00, ⁇ 0 ))), and ⁇ 00 ⁇ is added to the set T (step S109). That is, T ⁇ TU ⁇ 00 ⁇ . Thereafter, the process proceeds to step S114.
  • step S108 if root 0 does not have the left shape of FIG. 9B ("No" in step S108), the process proceeds to step S110.
  • step S110 it is determined whether or not root 0 has the shape shown in FIG. If root 0 has the shape of FIG. 9D (“Yes” in step S110), y 1 ,. . . , Y k with vertex ids 00,. . . , 0k ⁇ 1, and the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 9D is replaced with a set of id and label, and ⁇ 00,. . . , 0k-1 ⁇ is added (step S111). That is, T ⁇ TU ⁇ 00,. . . , 0k-1 ⁇ . Thereafter, the process proceeds to step S114.
  • step S110 if root 0 does not have the shape of FIG. 9D (“No” in step S11), tree G is defined as ⁇ ⁇ (step S112), and this tree G is output. (Step S113), the process ends.
  • step S114 it is determined whether or not an element t greater than s exists in T.
  • s is the largest element in T (“No” in step S114)
  • all the vertex ids of the tree G are removed, the remaining tree is set as G (step S115), and the tree G is output (step S113). ), The process is terminated.
  • step S117 it is determined whether or not the outer boundary of the vertex s is composed of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the shape shown in FIG.
  • the outer boundary of the vertex s is composed of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the shape of FIG. 9A (“Yes” in step 117)
  • w 1 , w 2 Is defined as s0, s1
  • the tree G is defined as a tree obtained by replacing the label of the tree in FIG. 9A with a set of id and label, and ⁇ s0, s1 ⁇ is added to T (step S118). . Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S117 when the outer boundary of the vertex s is not one homoclinic saddle connection and saddle in step S117, or the inner boundary of the vertex s does not have the shape of FIG. 9A (“No” in step S117). The process proceeds to step S119.
  • step S119 it is determined whether or not the outer boundary of the vertex s is composed of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the left shape of FIG. 9B. If the outer boundary of the vertex s consists of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the left shape of FIG. 9B (“Yes” in step S119), the vertex id of w Is defined as s0, the tree G is defined as a tree in which the label of the left tree in FIG. 9B is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0 ⁇ is added to T (step S120). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S119 if the outer boundary of the vertex s is not one homoclinic saddle connection and saddle in step S119, or if the inner boundary of the vertex s does not have the left shape of FIG. 9B (“No” in step S119) '), The process proceeds to step S121.
  • step S121 it is determined whether or not the outer boundary of the vertex s is composed of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the shape shown in FIG. 9D.
  • the outer boundary of the vertex s is composed of one homoclinic saddle connection and saddle, and the inner boundary of the vertex s has the shape of FIG. 9D (“Yes” in step 121)
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 9D is replaced with a set of id and label, and T is set to ⁇ s0,. . . , Sk-1 ⁇ is added (step S122). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S121 if the outer boundary of the vertex s is not one homoclinic saddle connection and saddle in step S121, or the inner boundary of the vertex s does not have the shape shown in FIG. 9D (“No” in step S121). The process proceeds to step S123.
  • step S123 it is determined whether or not the vertex s has the left shape of FIG.
  • the process proceeds to step S124.
  • step S124 the one sigma label sigma 0 vertex s is + (i.e., flow in the s is either a counter-clockwise) to determine.
  • ⁇ of the label ⁇ 0 of the vertex s is + (that is, the flow in s is counterclockwise) (“Yes” in step S124)
  • the vertex ids of w 1 , w 2 , and w 3 are set.
  • s0, s1, s2 are defined, and the tree G is defined as a tree in which the label of the left tree in FIG. 9C is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0, s1, s2 ⁇ is added to T (step S125). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S124 when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is not +, that is, when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is ⁇ (that is, the flow in s is clockwise) (
  • step S124, “No”) the vertices id of w 1 , w 2 , w 3 are defined as s1, s2, s0, and the tree G is set to the left tree label in FIG. The replaced tree is determined, and ⁇ s0, s1, s2 ⁇ is added to T (step S126). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S123 when the vertex s does not have the left shape of FIG. 9C (“No” in step S123), the process proceeds to step S127.
  • step S127 it is determined whether or not the vertex s has the right shape of FIG.
  • the process proceeds to step S128.
  • step S1208 it is determined whether or not ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is + (that is, the flow in s is counterclockwise).
  • ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is + (ie, the flow in s is counterclockwise) (“Yes” in step S128)
  • the vertex ids of w 1 and w 2 are set to s0 and s1.
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the right tree in FIG. 9C is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0, s1 ⁇ is added to T (step S129). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S128 when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is not +, that is, when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is ⁇ (that is, the flow in s is clockwise) ( “No” in step S128), the vertex ids of w 1 and w 2 are defined as s1 and s0, and the tree G is defined as a tree in which the label of the right tree in FIG. , T is added to ⁇ s0, s1 ⁇ (step S130). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S127 when the vertex s does not have the right shape of FIG. 9C (“No” in step S127), the process proceeds to step S131.
  • step S131 it is determined whether the vertex s has the shape shown in FIG.
  • y 1 ,. . . , Y l , w are the vertex ids s1,. . . , Sl, s0
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 9H is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0,. . . , Sl ⁇ are added (step S132). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S131 when the vertex s does not have the shape of FIG. 9H (“No” in step S131), the process proceeds to step S133.
  • step S133 it is determined whether or not the vertex s has the left shape of FIG.
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the left tree in FIG. 9G is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0,. . . , Sk + 1 ⁇ are added (step S134). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S133 when the vertex s does not have the left shape of FIG. 9G (“No” in step S133), the process proceeds to step S135.
  • step S135 it is determined whether or not the vertex s has the right shape in FIG.
  • w, z 1 ,. . . , Z k vertices id are s0, s1,. . . , Sk
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the right tree in FIG. 9G is replaced with a set of id and label, and ⁇ s0,. . . , Sk ⁇ is added (step S136). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S135 when the vertex s does not have the right shape of FIG. 9G (“No” in step S135), the process proceeds to step S138 (in this case, as shown in step S137, the vertex s is in the form of FIG. 9 (f)).
  • step S138 it is determined whether or not ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is + (that is, the flow in s is counterclockwise).
  • ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is + (ie, the flow in s is counterclockwise) (“Yes” in step S138)
  • the tree G is defined as a tree obtained by replacing the label of the tree in FIG. 9F with a set of id and label, and ⁇ s0,. . . , Sl + k ⁇ 1 ⁇ are added (step S139). Thereafter, the process returns to step S114.
  • step S138 when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is not +, that is, when ⁇ of label ⁇ 0 of vertex s is ⁇ (that is, the flow in s is clockwise) (step S138).
  • “No”) y 1 ,. . . , Y k , z 1 ,. . . , Z l with the vertex ids sl,. . . , Sl + k-1, s0,. . . , Sl ⁇ 1, and the tree G is defined as a tree obtained by replacing the label of the tree in FIG. 9F with a set of id and label, and ⁇ s0,. . . , Sl + k ⁇ 1 ⁇ is added (step S140). Thereafter, the process returns to step S114.
  • the above operation is the conversion process to the tree of the saddle connection diagram in the O series.
  • D is an ss-saddle connection diagram that can be expressed in I-word or II-word.
  • the broken line is one ss-orbit included in the connected component that is the root, along with its direction.
  • (a) is a ss-saddle connection diagram expressed by the word expression IA 0 A 0 , and the flow direction of the ss- ⁇ -saddle connection is from right to left.
  • (B) is a ss-saddle connection diagram having the word expression IA 0 A 0, and the direction of the ss- ⁇ -saddle connection is from left to right.
  • (C) is a ss-saddle connection diagram having the word expression IIA 0 A 0, and the direction of the periodic orbit included in the outermost connected component is clockwise.
  • the word expression IIA 0 A 0 is the same as (c), but the direction of the periodic orbit is opposite.
  • each ss-saddle connection diagram an image of a ss-saddle connection diagram is shown which is formed by a conformal mapping that infinitely maps a point in the connected component that is the root.
  • this mapped image all ss-orbits included in the route are counterclockwise.
  • the connected component (the curve drawn with a broken line is directly above 1-source-sink point). Included area) becomes the root. If the same ss-saddle connection diagram has the same shape, but the direction of the flow is reversed as shown in FIG. 11B, the route becomes a connected component immediately below 1-source-sink point from the definition. .
  • the ss-saddle connection diagram with the word representation IIA 0 A 0 in FIG. 11 (c) when the connected component directly above the 1-source-sink point reverses the direction (FIG. 11 (d)). The connected component directly below is the root.
  • the connected component of the root in the image is the outermost component. Note that the ss-orbit is always counterclockwise (see the lower part of each figure in FIG. 11).
  • the orientation edge between the vertices is defined as shown in FIG. 11 by using a conformal map obtained by mapping the root connected component to the outermost side.
  • FIG. 12 shows the visualization of the local structure of the ss-saddle connection diagram generated by the operations A 0 , A 2 , and C and the corresponding graph representation.
  • the parent connected component v is expressed as o ⁇ (o 0 or o 2 ).
  • (a) is A 0
  • (b) is A 0
  • (c) is A 0 A 0
  • (d) is A 2 C k (k ⁇ 0)
  • (e) is A 2 C l ( l ⁇ 1)
  • (f) are A 2 2 C k + 1 (k, l ⁇ 1)
  • (g) is A 0 A 2 C k (k ⁇ 0)
  • (h) is A 0 A 2 C l
  • the local ss-saddle connection diagram constructed by l ⁇ 1) and the parent-child relationship of the connected components generated corresponding thereto, and the counterclockwise ss-orbit included in the parent connected component v are indicated by broken lines. .
  • the label of the parent connected component is expressed as o * (where * is either ⁇ , 0, or 2). Since the route is determined so that the direction of the ss-orbit is always counterclockwise, the direction in which the trajectory included in the connected component as a child flows is automatically determined.
  • the parent connected component v has two child connected components w ⁇ Vo 0 and y ⁇ V + 0 , so from o * to draw the two arrows to the o 0 and + 0.
  • the depending on choosing to which connecting component the parent, o 0 or - can be an arrow pointing to 0.
  • two types of patterns are created as shown in FIG. 12 (c), so the three arrows to o 0 , + 0 , and ⁇ 0 are changed accordingly. or o 0 and draw - two of the edge of the 0 can be drawn.
  • the l pieces of arrow - can be drawn to 2.
  • FIGS. 13-A to 13-D are flowcharts for explaining the conversion process of the ss-saddle connection diagram in the I and II series into a tree.
  • the conversion process of the ss-saddle connection diagram in the I and II series shown in FIGS. 13-A to 13-D into a tree can be executed by a device such as a computer.
  • step S143 if root 0 does not have the shape of FIG. 12A (“No” in step S143), the process proceeds to step S145.
  • step S145 it is determined whether or not root 0 has the left shape of FIG. If root 0 has the left shape of FIG. 12B (“Yes” in step S145), the vertex id of w is set to 1, the tree G is the label of the tree of FIG. The tree replaced with the set of id and label (that is, G is defined as ((0, o ⁇ ) ⁇ (1, o 0 )), and ⁇ 1 ⁇ is added to T (step S146). The process proceeds to step S149.
  • step S145 if root 0 does not have the left shape of FIG. 12B (“No” in step S145), the process proceeds to step S148 (in this case, as shown in step S147, root). 0 has the shape of FIG. 12 (d)).
  • step S148 w, z 1 ,. . . , Z k vertices id are set to 1, 00,. . . , 0k ⁇ 1, and the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 12D is replaced with a set of id and label, and ⁇ 1,0,. . . , 0k ⁇ 1 ⁇ is added, and the process proceeds to step S149.
  • step S149 it is determined whether or not an element t larger than u exists in T. If u is the largest element in T (“No” in step S149), all vertex ids of the tree G are removed, the remaining tree is set as G (step S150), and the tree G is output (step S150). S151), the process ends.
  • step S153 it is determined whether u is a natural number (that is, corresponding to the ids of o ⁇ , o 0 , o 2 ). If u is not a natural number (“No” in step S153), the process proceeds to S114 in FIG. 10-B, which is an O-word process.
  • step S153 if u is a natural number in step S153 (“Yes” in step S153), the process proceeds to step S155.
  • step S155 the outer boundary of the vertex u is composed of an outward homoclinic ss-saddle connection and a circle S (see FIG. 6), and the inner boundary of u has the shape of FIG. 12 (a). Determine whether or not.
  • the outer boundary of the vertex u is composed of one homoclinic ss-saddle connection and a circle S, and the inner boundary of u has the shape shown in FIG. 12A (“Yes” in step S155)
  • w, y Vertices id is defined as u + 1, u0, and the tree G is replaced with a set of id and label in FIG.
  • step S155 if the outer boundary of the vertex u does not consist of an outward homoclinic ss-saddle connection and a circle S, or if the inner boundary of u does not have the shape of FIG. (“No” in S155), the process proceeds to step S157.
  • step S157 it is determined whether or not the outer boundary of the vertex u is composed of the outward homoclinic ss-saddle connection and the circle S, and the inner boundary of u has the left shape of FIG.
  • the outer boundary of the vertex u is composed of one homoclinic ss-saddle connection and a circle S, and the inner boundary of u has the left shape of FIG. 12B (“Yes” in step S157)
  • the tree G is determined as a tree in which the label of the left tree in FIG. 12B is replaced with a set of id and label, and ⁇ u + 1 ⁇ is added to T (step S158). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S157 if the outer boundary of the vertex u is not composed of the outward homoclinic ss-saddle connection and the circle S, or the inner boundary of u does not have the left shape of FIG. (“No” in step S157), the process proceeds to step S159.
  • step S159 it is determined whether or not the outer boundary of the vertex u is composed of an outward homoclinic ss-saddle connection and a circle S, and the inner boundary of u has the shape shown in FIG.
  • the outer boundary of the vertex u is composed of one homoclinic ss-saddle connection and a circle S, and u has the shape of FIG. 12D (“Yes” in step S159)
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 12D is replaced with a set of id and label, and ⁇ u + 1, u0,. . . , Uk-1 ⁇ is added (step S160). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S159 if the outer boundary of the vertex u does not consist of the outward homoclinic ss-saddle connection and the circle S in step S159, or if the inner boundary of u does not have the shape of FIG. ("No" in S159), the process proceeds to step S161.
  • step S161 it is determined whether or not the vertex u has the left shape of FIG. If the vertex u has the left shape of FIG. 12C (“Yes” in step S161), the vertex ids of w, y 1 , y 2 are defined as u + 1, u0, u1, and the tree G is A tree in which the label of the left tree in FIG. 12C is replaced with a set of id and label is determined, and ⁇ u + 1, u0, u1 ⁇ is added to T (step S162). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S161 when the vertex u does not have the left shape in FIG. 12C (“No” in step S161), the process proceeds to step S163.
  • step S163 it is determined whether or not the vertex u has the right shape in FIG.
  • the vertex ids of w 1 and w 2 are determined as u + 1, u0, and the tree G is changed to FIG. )
  • the process proceeds to step S149.
  • step S163 when the vertex u does not have the right shape of FIG. 12C (“No” in step S163), the process proceeds to step S165.
  • step S165 it is determined whether or not the vertex u has the shape shown in FIG.
  • the vertex u has the shape shown in FIG. 12G (“Yes” in step S165)
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 12G is replaced with a set of id and label, and ⁇ u + 1, u0,. . . , Uk ⁇ is added (step S166). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S165 when the vertex u does not have the shape of FIG. 12G (“No” in step S165), the process proceeds to step S167.
  • step S167 it is determined whether or not the vertex u has the left shape in FIG.
  • the vertex id of y l u + 1, u0, u1 ,. . . , Ul, and the tree G is defined as a tree in which the label of the left tree in FIG. 12H is replaced with a set of id and label, and ⁇ u + 1, u0, u1,. . . , Ul ⁇ is added (step S168).
  • the process returns to step S149.
  • step S167 when the vertex u does not have the left shape of FIG. 12H (“No” in step S167), the process proceeds to step S169.
  • step S169 it is determined whether or not the vertex u has the right shape in FIG.
  • the vertex u has the right shape in FIG. 12H (“Yes” in step S169)
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the right tree in FIG. 12H is replaced with a set of id and label, and T is set to ⁇ u + 1, u0,. . . , Ul-1 ⁇ is added (step S170). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S169 when the vertex u does not have the right shape in FIG. 12H (“No” in step S169), the process proceeds to step S171.
  • step S171 it is determined whether or not the vertex u has the shape shown in FIG.
  • the vertex u has the shape shown in FIG. 12F (“Yes” in step S171)
  • the vertex ids are u + 1, u0,. . . , Uk-1, uk,. . . , Ul + k ⁇ 1
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 12F is replaced with a set of id and label, and T is set to ⁇ u + 1, u0,. . . , Ul + k-1 ⁇ is added (step S172). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S171 when the vertex u does not have the shape of FIG. 12F (“No” in step S171), the process proceeds to step S173.
  • step S173 it is determined whether or not the vertex u has the right shape of FIG.
  • the vertex id of y is defined as u0
  • the tree G is defined as the right tree in FIG. 12B.
  • the tree is determined by replacing the label with a set of id and label, and ⁇ u0 ⁇ is added to T (step S174). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S173 when the vertex u does not have the right shape of FIG. 12B (“No” in step S173), the process proceeds to step S175.
  • step S175 it is determined whether or not the vertex u has the shape shown in FIG.
  • the tree G is defined as a tree in which the label of the tree in FIG. 12E is replaced with a set of id and label, and ⁇ u0,. . . , Ul-1 ⁇ is added (step 176). Thereafter, the process returns to step S149.
  • step S175 when the vertex u does not have the shape of FIG. 12E in step S175 (“No” in step S175), the process returns to step S149 (in this case, as shown in step S177, the vertex u is (It has the shape of FIG. 12 (a)).
  • the above operation is the conversion process from ss-saddle connection diagram in I / II series to tree.
  • Proposition 3.1 A streamlined phase structure of a stable Hamilton vector field with each 1-source-sink point corresponds to a tree expression with a root, a label, and an orientation.
  • the route selection method is not unique. Because, for any connected component that includes a circular boundary that does not have ⁇ -saddle inside, there is a continuous mapping, so that the connected component can always be the outermost connected component. is there. Therefore, for the saddle connection diagram, there are different graph representations as many as the number of connected components. In order to remove such ambiguity, the graph representations that can be transferred by these continuous maps are different.
  • V 1 and V 2 For the two structural stability Hamiltonian vector field V 1 and V 2, V a 1 ⁇ V 2 becomes equivalence relation, V 1 exist homeomorphism on certain homeomorphism D z (M) and V 2 Are defined by the fact that the outer boundaries of V 1 and V 2 correspond to each other without changing their orientation.
  • ⁇ defines an equivalence relation, and a tree with a unique root, a label, and a direction can be given to this equivalence class.
  • Proposition 3.2 Equivalent class streamline phase structure of ⁇ in a structure-stable Hamiltonian vector field corresponds to tree representation with unique root, labeled, and orientation.
  • FIG. 14-A shows visualization of a graph expression of a structure-stable streamline pattern given by the same word expression IA 0 C and its regular expression.
  • IA 0 C Graph representation of flow expressed by I-word and II-word
  • the connected component of the route is selected directly below or directly above 1-source-sink point. Yes. As you can see, all regular expressions are different.
  • FIG. 14-A shows a graph representation of a structurally stable streamline pattern having the word representation IA 0 C and its regular expression.
  • the route corresponds to the connected component immediately below 1-source-sink point from its definition.
  • the root connected component is copied to the outermost connected component on the right side.
  • FIG. 14B is a flowchart for explaining a process of converting a tree into a regular expression.
  • the conversion process of a tree into a regular expression shown in FIG. 14-B can be executed by a device such as a computer.
  • id is given to all points of the tree as preprocessing. However, ids of different points are different.
  • input is set as tree G (step S178).
  • V is set as the vertex set of tree G
  • X is set as empty set ⁇
  • regular expression N (s, ⁇ ⁇ ) () (step S179).
  • step S180 the result of reading the children of s from the left is expressed as (s (1) , ⁇ (1) ),. . . , (S (h) , ⁇ (h) ).
  • (s, ⁇ * ) () in the regular expression N is changed to ⁇ * (s (1) , ⁇ (1) ) (),. . . , (S (h) , ⁇ (h) ) ()), and replace T with ⁇ s (1) ,. . . , S (h) ⁇ and ⁇ s ⁇ are added to X.
  • the above operation is the process of converting the tree into a regular expression.
  • an allowable regular expression refers to all regular expressions that can be obtained by applying forward replacement of a regular expression to a regular expression of a fundamental type among regular expressions corresponding to trees with roots, labels, and directions. .
  • fundamental type is, + ⁇ , - ⁇ , is a regular expression that contains the o ⁇ .
  • FIG. 15 shows five fundamental type TN and a regular expression N corresponding to the five fundamental type TN .
  • These regular expressions correspond to a (ss-) saddle connection diagram including a route in the graph expression. That, + ⁇ (+ 0, + 0) and, o ⁇ (o 2, + 2, ...., + 2) , such as regular expression of ss-saddle connection diagram with a word representation consisting OB 0 and IC k It is a regular expression.
  • FIG. 16 is a list of 14 forward replacements.
  • the forward permutation A 0+ is given as o 0 ⁇ o 0 (o 0 , + 0 ).
  • a connected component that does not have a streamline phase structure therein will be referred to as a simple connected component.
  • Simple connected components correspond to vertices that do not have child connected components in the graph representation.
  • forward replacement shown in FIG. 16 is performed when the operations A 0 , A 2 , B 0 , B 2 , and C are applied to ss-orbit and closed orbit in the simple connected component. It describes how the streamline structure and its regular expression change.
  • FIG. 17 shows the change of forward replacement and streamline structure when the operations A 0 , A 2 , and C are performed. More specifically, FIG. 17 shows changes in the local structure of streamlines obtained by applying the operations A 0 , A 2 , and C to the ss-orbit in the simple connected component o 0 or o 2 in the ss-saddle connection diagram. Is a forward replacement of a regular expression corresponding to.
  • forward replacement as shown in FIG. 18 can be defined when the operations B 0 , B 2 , and C are applied to the closed orbit included in the simple connected component.
  • FIG. 18 shows excitation along with the change in streamline structure obtained when operations B 0 , B 2 , and C are applied to the closed orbit included in the simple connected components ⁇ 0 and ⁇ 2 in the (ss-) saddle connection diagram. It is a figure for demonstrating forward replacement of the regular expression to do.
  • a set of regular expressions obtained by applying forward replacement to this fundamental type recursively is defined as follows.
  • the regular expression is O-type (or I, II-type) when the regular expression is composed of the above rules from the basic form O, OB 0 , OB 2 C k (or IC k or II). Say. Since all local streamline structures obtained by the operation are covered in FIGS. 17 and 18, the following can be understood from the configuration method.
  • the opposite of () is an operation of replacing a homoclinic saddle connection pair (or a circle boundary having exactly two ⁇ -saddles) with a circle boundary.
  • the reverse operation of the operation C is to delete a simple connected component surrounded by a ⁇ -saddle connection that is attached to a circle boundary having two or more ⁇ -saddles.
  • the backward replacement can be expressed as a change in the arrangement of character strings corresponding to the structure to be deleted of the allowable regular expression.
  • FIG. 19 is a diagram illustrating an example of a backward replacement of a regular expression corresponding to a change in the local streamline structure in the (ss-) saddle connection diagram.
  • the connected component ⁇ 0 is an outward homoclinic saddle connection and is surrounded as shown in FIG. 19 (a)
  • the simple connected component surrounded by ⁇ -saddle connection is deleted from the (ss-) saddle connection diagram.
  • backing replacement ⁇ 0 [[ ⁇ 2 ]]
  • ⁇ ⁇ 0 is obtained.
  • the parent connected component ⁇ 0 is surrounded by the inward homoclinic saddle connection (FIG. 19B)
  • the backward replacement of the forward replacement C 1 B 2 is given by one of the followings according to the sign of ⁇ 2 from the rule (1) of the order relation with respect to the label.
  • the backward replacement is ⁇ 0 ([[ ⁇ 0 , ⁇ 0 ]]) ⁇ ⁇ 0 .
  • FIG. 19 (d) As backward replacement is shown in FIG. 19 (d) from order relation rules (1) when the connecting component sigma 0 is surrounded inwardly homoclinic saddle connection, + 0 ([ [+ 0, + 0]] , ⁇ 0 ) ⁇ + 0 ( ⁇ 0 ) or ⁇ 0 ( +0 , [[ ⁇ 0 , ⁇ 0 ]]) ⁇ ⁇ 0 ( +0 ).
  • forward replacement B 0- is compared with three back replacements ⁇ 0 ([[ ⁇ 0 ( ⁇ 0 )])) ⁇ ⁇ 0 , + 0 ([[ +0 ( ⁇ 0 )]], ⁇ 0 ) ⁇ + 0 ( ⁇ 0 ), ⁇ 0 ( +0 , [[ ⁇ 0 ( +0 )]]) ⁇ ⁇ 0 ( +0 ).
  • Forward replacement C l B 0+ in Figure 18 (d) and FIG. 18 (e) induces the following backward replacement.
  • Backward replacement corresponding to deleting a simple connected component surrounded by ⁇ -saddle connection is fundamental type IC k (k ⁇ 0) and forward replacement A 2 C k , B 2 C k (k ⁇ 0), C l A 0+ , C l A 0 ⁇ , C l B 0+ , C l B 0 ⁇ (l ⁇ 0), C O l , C ⁇ l , C l A 2 C k , (l + k ⁇ 0), C l B 2 This corresponds to the reverse operation of C k .
  • the backward replacement is a sequence (+ 2 ,..., + 2 ) or ( ⁇ 2 ) including simple connected components surrounded by ⁇ -saddle connections attached to the circle boundary. , ...,- 2 ) represents that one of the simple connected components is deleted.
  • Backward replacement of Fundamental type IC k (k ⁇ 1) is as follows.
  • the connected component o 0 is outward or inward homoclinic saddle connection as shown in FIGS. 19E and 19F.
  • backward replacement obtained by erasing the ⁇ -saddle connection surrounded by a concatenation component + 2 is as follows.
  • forward replacement C O l , C ⁇ l , C l A 0+ , C l A 0- , C l B 0+ , C l B 0- (l ⁇ 0) are all defined for the connected component o 2 or ⁇ 2 surrounded by ⁇ -saddle connection, the back replacement for it is naturally defined as it can.
  • FIG. 20 shows a list of back replacement [B 2 ], [B 0 ] and [C] of regular expressions derived by the reverse operation of the operations B 0 , B 2 and C.
  • the word expression of the regular expression finally obtained when the backward replacement in FIG. 20 is applied as much as possible to the last given allowable regular expression is as follows. This has proven to be mathematically correct.
  • Lemma 4.2 When the given allowable regular expression N can no longer be applied to all the backward replacements included in [B 0 ], [B 2 ], [C], the word expression for the regular expression is one of the following: It is.
  • N O 2
  • the word representation of N is either IA 0 p + m A 2 c-2-p-m or IIA 0 c-2 .
  • c, p, m is, o * contained in N, + 0, - is either 0.
  • a partial word string CB 0 B 2 is obtained according to the extracted structure.
  • FIGS. 22A to 22C are flowcharts for explaining the process of converting the regular expression into the word expression.
  • the conversion processing of regular expressions into word expressions shown in FIGS. 22A to 22C can be executed by an apparatus such as a computer.
  • the word W is set as an empty set ⁇ (step S185).
  • step S186 it is determined whether sigma containing innermost of ⁇ 2 ⁇ ( ⁇ 2) or innermost of sigma 2 sigma 0 containing (sigma 2) are included in the regular expression N. If innermost of sigma 2 to comprise sigma phi (sigma 2) or innermost of sigma 2 sigma 0 containing (sigma 2) are included in the regular expression N is ( "Yes" in step S186), the process proceeds to step S187.
  • step S187 the innermost ⁇ 2 included in ⁇ ⁇ ( ⁇ 2 ) or ⁇ 0 ( ⁇ 2 ) is extracted from the regular expression N, W is replaced with B 2 W (step S188), and the process returns to step S186.
  • step S186 if the sigma containing innermost of ⁇ 2 ⁇ ( ⁇ 2) or innermost of sigma 2 sigma 0 containing (sigma 2) is not included in the regular expression N (step S186 "No"), The process proceeds to step S189.
  • step S189 + 2 including innermost of + 2 in the regular expression N (+ 2, - 2, ..., - 2) determines whether there.
  • step S189 + 2 including innermost of + 2 in the regular expression N (+ 2, - 2, ..., - 2) If there is no ( "No" in step S189), step S191 Migrate to
  • step S191 a regular expression of innermost in the N - containing 2 - 2 (+ 2, ..., + 2, - 2) determines whether there.
  • step S191 innermost of in a regular expression N - containing 2 - 2 (+ 2, ..., + 2, - 2) does not exist ( "No" in step S191), step S193 Migrate to
  • step S193 it is determined whether or not two consecutive innermost ⁇ 0 and ⁇ 0 are included in the regular expression N.
  • two consecutive innermost ⁇ 0 and ⁇ 0 are included in the regular expression N (“Yes” in step S193), such ⁇ 0 and ⁇ 0 are extracted from the regular expression N (step S194), and W is Replace with B 0 W (step S195), and return to step S193.
  • step S193 when two consecutive innermost ⁇ 0 and ⁇ 0 are not included in the regular expression N in step S193 (“No” in step S193), the process proceeds to step S196.
  • step S196 it is determined whether or not the innermost ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) is included in the regular expression N.
  • the innermost ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) is included in the regular expression N (“Yes” in step S196)
  • such ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) is extracted from the regular expression N (step S197), and W is set to B 0. Replace with W (step S195), and proceed to step S193.
  • step S196 if the innermost ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) is not included in the regular expression N (“No” in step S196), the process proceeds to step S198.
  • step S198 the regular expression N is added to two or more consecutive ⁇ 2 ,. . . , ⁇ 2 , whether or not the innermost ⁇ 2 is included is determined.
  • the regular expression N includes two or more consecutive ⁇ 2 ,. . . , ⁇ 2 includes an innermost ⁇ 2 (“Yes” in step S198), such ⁇ 2 is extracted from the regular expression N (step S199), and W is replaced with CW ( Step S200) and return to Step S198.
  • step S198 the regular expression N is added to two or more consecutive ⁇ 2 ,. . . , ⁇ 2 does not include the innermost ⁇ 2 (“No” in step S198), the process proceeds to step S201.
  • step S201 it is determined whether or not ⁇ 2 that is a child of o * exists in the regular expression N. If the o * child and innermost ⁇ 2 exists in the regular expression N (“Yes” in step S201), such ⁇ 2 is removed from the regular expression N (step S199), and W is replaced with CW. (Step S200), the process returns to Step S198.
  • step S201 if the o * innermost of sigma 2 child does not exist in the regular expression N ( "No" in step S201), and proceeds to step S202.
  • step S202 innermost a mu 2 in children of sigma 2 to determine whether there regular expression N. If ⁇ 2 and innermost ⁇ 2 are present in the regular expression N (“Yes” in step S202), such ⁇ 2 is extracted from the regular expression N (step S203), and W is replaced with CW ( Step S200) and return to Step S198.
  • step S202 if there is no innermost ⁇ 2 as a child of ⁇ 2 in step S202 (“No” in step S202), the process proceeds to step S204.
  • step S204 it is determined whether or not ⁇ 2 exists in the regular expression N. If ⁇ 2 exists in the regular expression N (“Yes” in step S204), the process returns to step S186.
  • step S204 if ⁇ 2 does not exist in the regular expression N in step S204 (“No” in step S204), the process proceeds to step S205.
  • step S205 it is determined whether or not ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) exists in the regular expression N.
  • ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) exists in the regular expression N (“Yes” in step S205)
  • the process returns to step S186.
  • step S205 if ⁇ 0 ( ⁇ 0 ) does not exist in the regular expression N in step S205 (“No” in step S205), the process proceeds to step S206.
  • step S206 it is determined whether or not there are two ⁇ 0 and ⁇ 0 consecutive in the regular expression N. If there are two consecutive ⁇ 0 and ⁇ 0 in the regular expression N (“Yes” in step S206), the process returns to step S186.
  • step S206 if there are no two ⁇ 0 and ⁇ 0 consecutive in the regular expression N in step S206 (“No” in step S206), the process proceeds to step S207.
  • step S207 the regular expression N is equal to or a sigma phi. If the regular expression N is sigma phi ( "Yes" in step S207), the W was replaced by OW (step S208), the word W is output (step S212), the process ends.
  • step S207 if the regular expression N is not sigma phi ( "No" in step S207), and proceeds to step S209.
  • step S209 it is determined whether the regular expression N comprises o 2.
  • the regular expression N includes o 2 (“Yes” in step S209), W is replaced with IA 0 p + m A 0 c-2-p ⁇ m W (step S210), and the word W is output (step S210). S212), the process ends.
  • c, p, m is o * contained in N, + 0, - the number of 0.
  • step S208 if the regular expression N does not contain o 2 ( "No" in step S208), W is substituted with IIA 0 c-2 W a (step S211), the word W is output (step S212), the process ends.
  • the above processing is conversion processing of regular expressions into word expressions.
  • FIG. 23 is a block diagram illustrating an example of the regular expression creation device 100 to which the present exemplary embodiment is applied, and conceptually illustrates only the portion related to the present exemplary embodiment of the configuration.
  • the regular expression creation device 100 in this embodiment schematically includes at least a control unit 102 and a storage unit 106.
  • the regular expression creation device 100 further includes an input / output control interface unit 108 and a communication control interface.
  • the unit 104 is provided.
  • the control unit 102 is a CPU or the like that comprehensively controls the entire regular expression creating apparatus 100.
  • the communication control interface unit 104 is an interface connected to a communication device (not shown) such as a router connected to a communication line or the like, and the input / output control interface unit 108 is connected to the input device 112 or the output device 114.
  • the storage unit 106 also stores various data (for example, FIG. 4 to FIG. 9, FIG. 11 to FIG. 12, FIG.
  • each unit of the regular expression creating apparatus 100 is connected to be communicable via an arbitrary communication path. Further, the regular expression creation device 100 is communicably connected to the network 130 via a communication device such as a router and a wired or wireless communication line such as a dedicated line.
  • the various data, database, table (simulation result file 106a, streamline diagram file 106b, regular expression file 106c, etc.) stored in the storage unit 106 are storage means such as a fixed disk device.
  • the storage unit 106 stores various programs, tables, files, databases, web pages, and the like used for various processes.
  • the simulation result file 106a is a simulation result storage unit that stores data indicating a simulation result mathematically simulated by the simulation unit 102a.
  • the simulation result file 106a includes values of design variables indicating the shape of a structure, and hydrodynamic simulation results of a predetermined fluid (such as an ocean current or an air current) with respect to the structure (fluid pressure and flow at each spatial coordinate). Data indicating an orientation or the like).
  • the simulation result file 106a may store, as simulation results, data input in advance via the input device 112 through model measurement in a laboratory such as a wind tunnel experiment.
  • the streamline diagram file 106b is streamline data storage means for storing data indicating streamlines such as a streamline diagram.
  • the streamline data stored in the streamline diagram file 106b may be data indicating streamlines analyzed by the streamline analysis unit 102b based on data indicating simulation results.
  • the regular expression file 106c is regular expression storage means for storing regular expression data.
  • the regular expression data stored in the regular expression file 106c is a character string or the like.
  • the input / output control interface unit 108 controls the input device 112 and the output device 114.
  • the output device 114 in addition to a monitor (including a home television), a speaker can be used (hereinafter, the output device 114 may be described as a monitor).
  • the input device 112 a keyboard, a mouse, a microphone, and the like can be used.
  • control unit 102 has an internal memory for storing a control program such as an OS (Operating System), a program defining various processing procedures, and necessary data. And the control part 102 performs the information processing for performing various processes by these programs.
  • the control unit 102 includes a simulation unit 102a, a streamline analysis unit 102b, a graph expression creation unit 102c, a regular expression creation unit 102d, and a word expression conversion unit 102e in terms of functional concept.
  • the simulation unit 102a is a simulation means for simulating a fluid with respect to a structure.
  • the above-described design parameter selection step (see FIG. 24), the second design parameter selection step (see FIG. 29, etc.) Execute.
  • the simulation unit 102a is not limited to a simulation in a two-dimensional plane, and may perform a fluid simulation in a three-dimensional space.
  • the simulation part 102a may optimize a structure using a well-known optimization method.
  • the simulation unit 102a performs a fluid simulation on the structure while repeatedly changing the design variable for determining the shape of the structure using an annealing method, a genetic algorithm method, or the like, thereby obtaining an appropriate shape of the structure.
  • the simulation unit 102a stores data indicating the simulation result in the simulation result file 106a.
  • the simulation unit 102a determines the value of a design variable indicating the shape of the structure, and the hydrodynamic simulation result of a predetermined fluid (such as an ocean current or an air current) with respect to the structure (the pressure or flow direction of the fluid in each spatial coordinate). Or data indicating resistance) may be stored.
  • the streamline analysis unit 102b is streamline analysis means for performing streamline analysis.
  • the streamline analysis unit 102b may derive a streamline diagram by performing streamline analysis on the simulation result of the simulation unit 102a.
  • the streamline analysis unit 102b creates a streamline diagram from a numerical simulation or experiment data stored in the simulation result file 106a using a known method. Specifically, the streamline analysis unit 102b calculates all the saddle points, 1-source-sink points, etc. from the numerical simulation results, and then calculates the contours of the stream function having the same value as the stream function value at that point.
  • a flow diagram can be created by drawing all the contours of the flow function having the same value as the value of the flow function on the boundary.
  • the streamline analysis unit 102b may perform streamline analysis after converting it to two-dimensional data in a cross section of the structure.
  • the plane used as a cross section is arbitrary, but preferably, the streamline analysis unit 102b may convert it into two-dimensional data in a cross section along the direction of the fluid flow (uniform flow). For example, in vehicles such as trains, automobiles, and aircraft, a cross section may be generated along the traveling direction.
  • the streamline analysis part 102b may extract the characteristic structure which satisfy
  • the streamline analysis unit 102b stores the created streamline diagram data in the streamline diagram file 106b.
  • the graph expression creating unit 102c is a graph expression creating means for executing the above-described graph expression creating step (step S1). For example, the sad connection in the O series shown in FIGS. 10-A to 10-E. By executing the conversion process of the diagram to the tree and the conversion process of the ss-saddle connection diagram in the I and II series shown in FIGS. 13-A to 13-D, etc. (Where N is an integer greater than or equal to 1) A graph representation corresponding to the flow pattern in the multi-connected external region having a number of holes is created in a one-to-one correspondence.
  • the child vertex set ⁇ (v) When the child vertex set ⁇ (v) is used, the child vertex set ⁇ (v) of v is rearranged according to a rule of a predetermined order relation, and from w ( ⁇ ) to l (w) for w ⁇ (v). You may include what was drawn by arranging the arrows from left to right.
  • the flow pattern includes (1) two ss- ⁇ -saddle connections, which have a suction-out flow pair of two types of flow patterns that can be taken topologically in a single connected outer region having one hole.
  • the flow pattern is converted so that the region containing the counterclockwise ss-orbit closest to the suction-and-out pair is the outermost region, and the converted flow
  • the trajectory that appears in the (ss-) saddle connection diagram of the pattern is extracted from the entire region, and the vertex is set to the connected component obtained by excluding all the trajectories that appear in the (ss-) saddle connection diagram from the entire region.
  • the connected component in is set as the root
  • the current component is set as the root
  • the connected components that are in contact with the current component are the children of the current component
  • labels are assigned according to the trajectory corresponding to the boundary, and the labels are assigned in a predetermined order.
  • the flow pattern starts from one or more of pattern words, and is one of operation words defining five types of operations that can be taken topologically when adding one hole to the flow pattern. May be a flow pattern diagram created by repeating the operation to give N until the number of holes reaches N.
  • the regular expression creating unit 102d is a regular expression creating means for realizing the above-described regular expression creating step (step S2).
  • the regular expression creating unit 102d performs, for example, a tree conversion process shown in FIG.
  • a regular expression is created from the graph expression created by the graph expression creation unit 102c.
  • the word expression conversion unit 102e is a word expression creating means for realizing the above-described word expression conversion step (step S3).
  • the word expression conversion unit 102e converts the word expressions into the regular expressions shown in FIGS. 22A to 22C.
  • the regular expression created by the regular expression creation unit 102d is converted into a word expression.
  • the word expression represents a pattern that does not have a suction-and-out pair in a double connected outer region having two holes. Any of the operation words that define five types of operations that can be taken topologically when adding one hole to the flow pattern for the added pattern words that define three types of flow patterns
  • a single word may be a symbol word formed by adding the number of holes added.
  • the regular expression creation device 100 may be connected to the external system 120 via the network 130.
  • the communication control interface unit 104 performs communication control between the regular expression creation device 100 and the network 300 (or a communication device such as a router). That is, the communication control interface unit 104 has a function of communicating data with other terminals via a communication line.
  • the network 130 has a function of connecting the regular expression creation device 100 and the external system 200 to each other, such as the Internet.
  • the external system 120 is connected to the regular expression creation device 100 via the network 130, and word representation is performed on an external database related to various data such as simulation result data and streamline diagram data, and connected information processing devices.
  • the external system 120 may be configured as a WEB server, an ASP server, or the like.
  • the hardware configuration of the external system 120 may be configured by an information processing device such as a commercially available workstation or personal computer, and an accessory device thereof.
  • Each function of the external system 120 is realized by a CPU, a disk device, a memory device, an input device, an output device, a communication control device, and the like in the hardware configuration of the external system 120 and a program for controlling them.
  • design method is used to determine the optimum parameters for a design object through the shape and arrangement of objects (hereinafter referred to as design objects) such as bridges and piers, and the control of the flow around them.
  • design objects such as bridges and piers
  • Assumption 1 There are design parameters that can be changed in the design object (shape, arrangement, flow control device, etc.).
  • Assumption 2 In designing a design object, an “optimal state” corresponding to the problem is set, and the optimal state can be described as a feature of the streamline structure. For example, when the state where the separation vortex is confined is set to the optimum state, it is expected that the wings maximize the lift, and the piers minimize the drag.
  • Assumption 3 In these designs, experiment and numerical calculation (and word expression / regular expression of streamline pattern obtained in it) can be performed by changing design parameters. Hereinafter, it is limited to a two-dimensional flow. In the case of 3D, it may be possible to design by taking a cross-section and making it 2D, etc. (Note that not all cases are possible in 3D).
  • an ideal situation is set as a word expression or regular expression of a streamline pattern from the beginning for such a situation, and a parameter area is searched so that the situation is realized. Will be able to. In this way, it becomes possible to search for as many and as quickly as possible design parameters “candidates” for realizing optimum settings. Starting with those candidates, performing a known optimization method increases the possibility that many and highly feasible design parameters can be obtained.
  • FIG. 24 is a flowchart for explaining a design method of an object in a fluid using word expressions and regular expressions, that is, the above-described design parameter selection process.
  • the flowchart shown in FIG. 24 is executed by the simulation unit 102a.
  • an upper limit and a lower limit of possible design parameters are determined (step S311).
  • Word expressions and regular expressions are assigned to the obtained results (step S314). It is determined whether or not the word expression has an IC partial word representing the optimum state or is a structural expression having a regular expression corresponding thereto (step S315). If the word expression has an IC partial word representing the optimum state or a structural expression having a regular expression corresponding to the IC partial word (“Yes” in step S315), the word expression is adopted as a design parameter candidate (step S316). On the other hand, if the word expression is not a structural expression having an IC partial word representing the optimum state or a corresponding regular expression (“No” in step S315), it is not adopted as a design parameter candidate.
  • step S317 it is determined whether there is a design parameter candidate (step S317). If there is a design candidate parameter (“Yes” in step S317), an existing optimization is performed on the design parameter candidate. A method is applied (step S319). In addition to applying the existing optimization method, it is ideal not only to quantitatively optimize the flow, but also to calculate and monitor word expressions and regular expressions at each stage of the optimization process. It is possible to optimize the streamline structure at the same time.
  • step S317 if there is no design parameter candidate (“No” in step S317), the parameter area is further divided (step S318), and the processes of steps S313 to S317 are executed.
  • FIG. 25 and FIG. 26 are diagrams for explaining an example of a specific example for explaining a method of designing an object in a fluid using the above-described word expression and regular expression.
  • FIG. 25 it is assumed that there are two vortex structures (vortex 1 and vortex 2) behind the object 200 placed in a uniform flow. It is assumed that the uniform flow speed (or the traveling speed of the object) is U, and the object 200 can rotate at the angular velocity G.
  • U can vary from 0 to 1.1
  • G can vary from ⁇ 1.6 ⁇ 2 ⁇ to 1.6 ⁇ 2 ⁇ (the upper and lower limits of the design parameters are determined in step S311). .
  • These parameter sections are divided into five equal parts to divide the design parameter area (step S312 above).
  • the results of executing steps S313 to S319 are (a) to (f) in FIG.
  • the division of these parameter areas is further repeated to find the best parameter area that maximizes the quantitative quantity such as lift, thereby confining the vortex and maximizing the lift. It is possible to know the speed of the object 200 and the rotation speeds.
  • FIG. 27 and 28 are explanatory diagrams for explaining a method for optimizing a flow around an object in a fluid using word expressions and regular expressions.
  • FIG. 29 is a flowchart for explaining a method for optimizing a flow around an object in a fluid using a word expression and a regular expression, that is, the above-described second design parameter selection step. The flowchart shown in FIG. 29 is executed by the simulation unit 102a.
  • FIG. 27 shows a case where the flat blade 300 is placed at a constant angle with respect to the uniform flow U.
  • FIG. 28 shows streamline patterns formed around the flat blade 300 in FIG. 27 and word expressions and regular expressions of the streamline patterns.
  • FIG. 28A shows a streamline pattern extracted from a flow created around a flat blade 300 placed in a uniform flow U (“flow” can be calculated by a fluid experiment or numerical calculation). (Referred to as “pattern A”).
  • FIG. 28C shows a pattern (referred to as “pattern B”) for confining the rotating flow structure on the flat blade 300.
  • the design parameters of the flat blade 300 are suitably changed to find design parameters that realize the pattern B (target pattern) from the pattern A (current pattern), and increase the lift applied to the flat blade 300. The method to make it explain is demonstrated.
  • step A the word expression (Japanese Patent Application No. 2012-203601 (PCT / JP2013 / 070939)) and the algorithm of the present embodiment are applied to pattern A and pattern B.
  • the pattern A includes a word expression IA 0 CCB 0 and a regular expression N A (o ⁇ (o 0 (o 2 , ⁇ 0 ( ⁇ 0 , ⁇ 0 ), + 2 , + 2 )).
  • the pattern B the word representation IA 0 CCB 0 and o ⁇ (o 2 (o 0 , + 0, - 2 (- 0, - 0, + 2))) to impart a regular expression N B of (Step S400, see FIGS. 28A and 28C). Since the word expressions of pattern A and pattern B are exactly the same, they cannot be distinguished in the prior art, but the regular expressions are different, so using these makes it possible to distinguish between the two flows. It becomes possible to specify the target shape of the optimum design.
  • step S401 it is determined whether or not the regular expression N A of the pattern A and the regular expression N B of the pattern B are the same (step S401).
  • the path P ⁇ is output (step S402). If the regular expression N A of the pattern A and the regular expression N B of the pattern B are different (“No” in step S401), the process proceeds to step S403.
  • step B a transition path between pattern A and pattern B is determined (step S403).
  • step C the design parameters are changed so as to make a transition along the route R i (steps S404 to S415).
  • the route is determined, and the changed design parameter that matches the regular expression of the pattern B is output as the optimum design parameter.
  • step S411 If i ⁇ N (“Yes” in step S411), the process returns to step S405 to search for the next route, while if i ⁇ N is not satisfied (“No” in step S411), all Since it is impossible to optimize the route, "impossible” is output (step S412).
  • the design parameter is changed from the pattern A in FIG. 28A to search for a word expression and a regular expression in FIG. If the pattern shown in FIG. 28B is not found even after searching all the design parameters that can be changed, it is determined that the optimum design along this route is impossible, and the pattern shown in FIG. ) Repeat the same for routes other than the shortest route.
  • step S415) If a design parameter that achieves the desired pattern B in FIG. 28C is suddenly found, this is the optimum design parameter, so this design parameter is output and the flow is terminated (step S415).
  • this design parameter is selected, a range of design parameters that can be changed around this design parameter is specified, and it is divided. Then, an experiment or numerical calculation is performed on each of them to search whether there is a pattern B in FIG. When the design parameter that becomes the pattern B in FIG. 28C is found, this is the optimum design parameter, so this design parameter is output and the flow is terminated (step S415).
  • step S412 If it is not found even after searching the range of design parameters that can be changed, it is determined that optimization on this route is impossible, and another route obtained in step B is searched. Even if all the routes acquired in step B are searched, if the design parameter that becomes the pattern B in FIG. 28C is not found, it is determined that the optimization is impossible (step S412).
  • the regular expression creation device 100 performs processing in a stand-alone form
  • the regular expression creation device 100 performs processing in response to a request from a client terminal, and the processing result is transmitted to the client terminal. You may make it return to.
  • all or a part of the processes described as being automatically performed can be manually performed, or all of the processes described as being manually performed can be performed.
  • a part can be automatically performed by a known method.
  • each illustrated component is functionally conceptual and does not necessarily need to be physically configured as illustrated.
  • each device of the regular expression creation device 100 in particular, the processing functions performed by the control unit 102, all or any part thereof are interpreted by a CPU (Central Processing Unit) and the CPU. It may be realized by a program to be executed, or may be realized as hardware by wired logic.
  • the program is recorded on a recording medium to be described later, and is mechanically read by the regular expression creating apparatus 100 as necessary. That is, in the storage unit 106 such as a ROM or HD, a computer program for performing various processes by giving instructions to the CPU in cooperation as an OS (Operating System) is recorded. This computer program is executed by being loaded into the RAM, and constitutes the control unit 102 in cooperation with the CPU.
  • OS Operating System
  • the computer program may be stored in an application program server connected to the regular expression creation device 100 via an arbitrary network 300, and may be downloaded in whole or in part as necessary. Is possible.
  • the program according to the present invention may be stored in a computer-readable recording medium, or may be configured as a program product.
  • the “recording medium” includes a memory card, USB memory, SD card, flexible disk, magneto-optical disk, ROM, EPROM, EEPROM, CD-ROM, MO, DVD, and Blu-ray (registered trademark). It includes any “portable physical medium” such as Disc.
  • program is a data processing method described in an arbitrary language or description method, and may be in any form such as source code or binary code. Note that the “program” is not necessarily limited to a single configuration, but is distributed in the form of a plurality of modules and libraries, or in cooperation with a separate program typified by an OS (Operating System). Including those that achieve the function. In addition, a well-known structure and procedure can be used about the specific structure for reading a recording medium in each apparatus shown in embodiment, a reading procedure, or the installation procedure after reading.
  • Various databases and the like (simulation result file 106a, streamline diagram file 106b, word expression file 106c, etc.) stored in the storage unit 106 are memory devices such as RAM and ROM, fixed disk devices such as hard disks, flexible disks, and the like.
  • the storage means such as an optical disk stores various programs, tables, databases, web page files, and the like used for various processes and website provision.
  • the regular expression creating apparatus 100 may be configured as an information processing apparatus such as a known personal computer or workstation, or may be configured by connecting any peripheral device to the information processing apparatus. Further, the word expression creation device 100 may be realized by installing software (including programs, data, and the like) that causes the information processing device to realize the method of the present invention.
  • the specific form of distribution / integration of the devices is not limited to that shown in the figure, and all or a part of them may be functional or physical in arbitrary units according to various additions or according to functional loads. Can be distributed and integrated. That is, the above-described embodiments may be arbitrarily combined and may be selectively implemented.
  • a regular expression for creating a regular expression of a flow pattern in a multi-connected external region having topologically N (where N is an integer of 1 or more) holes is a creation method for creating a graph expression corresponding to the flow pattern in a one-to-one correspondence, a regular expression creating step for creating a regular expression from the graph expression created in the graph expression creation step, Therefore, there is an effect that it is possible to provide a new expression method that can be associated with the flow pattern on a one-to-one basis.
  • V I a set of points called vertices
  • E is a set of edges connecting vertices
  • the graph representation is such that the parent vertex is v, the child vertex is w, the label assigned to the parent vertex v is l (v), and the label assigned to the child vertex w is Is the l (w), v child vertex set ⁇ (v), the child vertex set ⁇ (v) of v is rearranged according to a rule of a predetermined order relation, and l (v ) To l (w) are drawn side by side from left to right, so that it is possible to provide a graph expression in which the parent-child connection relationship can be easily recognized.
  • the flow pattern has (1) a suction / outflow pair of two types of flow patterns that can be taken topologically in a single connected outer region having one hole.
  • Pattern I having two ss- ⁇ -saddle connections
  • (2) having two pairs of flow patterns that can be taken topologically in the single connected outer region having one hole.
  • One saddle point a pattern II having a homoclinic saddle connection and two ss-saddle connections connecting the saddle points
  • one or the other of the pattern O having no suction spring-out pair in the double connected external region having two holes Since there were multiple, all the basics Re can be given a regular expression for a pattern, an effect that will handle the regular expression of a specific flow pattern.
  • the regular expression created in the regular expression creating step is provided with a word expression conversion step that converts the regular expression into a word representation, it is possible to convert the regular expression into a word representation. There is an effect.
  • the word expression is a double connection having two holes in addition to two kinds of flow patterns that can be topologically taken in a single connection outer region having one hole.
  • Any of the operation words that specify the topologically five types of operations for the pattern words that define a total of three types of flow patterns with the addition of a pattern that does not have a pair of suction and outflow in the external area Is a symbolic word formed by assigning the same number of holes as the number of added holes, so that the regular expression can be taken from all the basic flow patterns and topologically There is an effect that the operation can be converted into a defined word expression.
  • the regular expression creating method when designing a structure in a flow field, a flow pattern that can be easily handled without relying on experience or intuition for the flow pattern that can be taken for the structure.
  • the regular expression creating method, regular expression creating apparatus, and program can be provided.
  • word expressions and regular expressions are structural, such as bridge pier design, breakwater arrangement, port contamination removal, wind power blade design, train pantograph structure, optimal arrangement of oil fences, etc. It is extremely useful in various fields involving object design and arrangement. Also, it can be applied to fields such as sports mechanics such as structural design of sports equipment.

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Abstract

　流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能な流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することを目的とする。位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を備えている。

Description

流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラム
　本発明は、流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラムに関する。
　従来、気流や水流などの流れ場における最適な構造物の設計を行うために、風洞実験のほか、大規模な数値計算による流体シミュレーションが用いられている。
　例えば、焼きなまし法（Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　Ａｎｎｅａｌｉｎｇ法）や遺伝的アルゴリズム法等を用いて構造物の設計変数を変化させながら、当該構造物に対する流体シミュレーションを繰り返し行う最適化技術が開発されている。
　また、近年、流体等の数理モデルを構築して、流れのパターンのトポロジーを数理的に扱うことのできるアルゴリズムやプログラムが開発されている。
　しかしながら、従来の構造物設計の最適化手法においては、繰り返し行われる大規模計算により計算時間と設計コストの増大化を招くので、それらの制約上、探索範囲を限定せざるを得ず、導き出される最適な構造物が局所最適なものである可能性を排除できないという問題点を有していた。すなわち、探索範囲をどこにするのかは、技術者の経験と直感に頼らざるを得ず、どこに探索範囲を設定したかによって、導き出される構造物の最適化結果が左右されるという問題があった。
　これに対して、本願出願人は、特許文献１の「流れパターンの語表現方法、語表現装置、および、プログラム（以下、「語表現理論」とも称する）」では、数値計算や実験で得られた流れに対して、この文字列を付与し、そこに現れる流れの定量的な特徴（例えば揚抗比）を定性的な部分文字列として表現する語表現理論を提案した。これにより、流れ場における構造物設計を行うにあたって、構造物に対して採り得る流れパターンを経験や直感に頼ることなく容易に扱うことが可能となった。
国際公開第２０１４／０４１９１７号
Ｔｏｍａｓｚ　Ｋａｃｚｙｎｓｋｉ，　Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ　Ｍｉｓｃｈａｉｋｏｗ，　Ｍａｒｉａｎ　Ｍｒｏｚｅｋ著　"Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｈｏｍｏｌｏｇｙ"　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０００年
　しかしながら、流れの制御問題などを考えるときには，前記語表現理論は有用なものであるが，与えられたハミルトンベクトル場に対して固有な語表現を与えるアルゴリズムは存在するものの、逆に与えられた文字列に対しては複数の異なるハミルトンベクトル場が対応している。すなわち、語表現は流れの特定に使えるものの、語表現だけでは特定の流れを限定できない。
　このように、語表現のみによる流れの最適制御の理論は困難であることから、語表現と合わせて、別の新しい、流れパターンと１対１に対応する何らかの表現方法が必要とされている。
　本発明は、前記に鑑みてなされたもので、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能な流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することを目的とする。
　上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を含むことを特徴とする。
　また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記グラフ表現は、前記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることが望ましい。
　また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画することを含むことが望ましい。
　また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、の１又は複数であることが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、前記グラフ作成工程は、前記流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、前記流れパターンを吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、前記変換した流れパターンの（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、領域全体から（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、カレント成分をルートに設定し、前記カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て、当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、前記カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すこと、を含むことが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、前記流れパターンは、前記パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることが望ましい。
　また、本実施の形態の好ましい形態によれば、さらに、前記正規表現作成工程で作成されたグラフ表現を語表現に変換する語表現変換工程と、を含むことが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、前記語表現変換工程では、ルートつき，ラベル付き，及び方向つきのツリーに対応する正規表現のうちの基本タイプの正規表現に前方置換を施すことが可能な許容正規表現を前記語表現に変換することが望ましい。
　また、本実施の形態の好ましい形態によれば、前記語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択する設計パラメータ選択工程を含むことが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、前記設計パラメータ選択工程は、さらに、前記選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、さらに、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの前記正規表現から目的とする流れパターンの前記正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現となる設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を含むことが望ましい。
　また、本実施の好ましい態様によれば、前記第２の設計パラメータ選択工程では、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することが望ましい。
　また、本発明の好ましい態様によれば、前記第２の設計パラメータ選択工程は、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、前記取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して前記現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、前記選択した経路に対して、前記変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することが望ましい。
　また、上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成手段と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成手段と、を備えたことを特徴とする。
　また、上述した課題を解決するため、本発明は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置に搭載されるプログラムであって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。
　本発明によれば、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能な流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することが可能となるという効果を奏する。
図１は、本発明の概略を説明するための説明図である。 図２－Ａは、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法を説明するためのフローチャートである。 図２－Ｂは、図２－Ａのグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。 図３は、本実施形態の概要に示すフローチャートである。 図４は、構造安定な流れのパターンを模式的に示した図である。 図５は、領域における構造安定な流れパターンの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。 図６は、初期構造となる３種類の流れパターンを模式的に示す図である。 図７は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。 図８は、二つの構造物と一様流がある場合の流れパターンの全分類を示す図である。 図９は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって生成されるすべての流れパターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示す図である。 図１０－Ａは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０－Ｂは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０－Ｃは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０－Ｄは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１０－Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１１は、ルートとなる連結成分をＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。 図１２は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃによって生成されるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示す図である。 図１３－Ａは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３－Ｂは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３－Ｃは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１３－Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１４－Ａは、ＩＡ０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示す図である。 図１４－Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図１５は、５つのｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＴＮとそれに対応する正規表現Ｎを示す図である。 図１６は、１４個のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストを示す図である。 図１７は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃを施したときのｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔと流線構造の変化を表した図である。 図１８は、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分σ０とσ２に含まれるｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃを適用したときに得られる流線構造の変化に伴って励起する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを説明するための図である。 図１９は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃの逆操作により誘導される正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　［Ｂ２］，［Ｂ０］，［Ｃ］のリストを示す図である。 図２０は、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍにおける局所流線構造の変化に対応する正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを示す図である。 図２１は、正規表現ｏφ（ｏ２（ｏ２（ｏ０（-０（-０，-０）））），+２（+２））を持つ構造安定なハミルトンベクトル場のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍを示す図である。 図２２－Ａは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２２－Ｂは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２２－Ｃは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。 図２３は、本実施の形態が適用される正規表現作成装置の一例を示すブロック図である。 図２４は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するためのフローチャートである。 図２５は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。 図２６は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。 図２７は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。 図２８は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。 図２９は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体のまわりの流れの最適化方法の一例を説明するためのフローチャートである。
　以下に、本発明に係る構造安定な流れパターン（「流線パターン」とも称する）の正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、コンピュータが実行可能なプログラムの実施形態を図面に基づいて詳細に説明する。本発明の構成要素は、本明細書の図面に一般に示してあるが、様々な構成で広く多様に配置し設計してもよいことは容易に理解できる。したがって、本発明の装置、方法、及びプログラムの実施の形態についての以下のより詳細な説明は、特許請求の範囲に示す本発明の範囲を限定するものではなく、単に本発明の選択した実施形態の一例を示すものであって、特許請求の範囲に示す本発明と矛盾無く装置、方法、及びプログラムについての選択した実施形態を単に示すものである。当業者は、特定の細目の１つ以上が無くても、又は他の方法、部品、材料でも本発明を実現できることが理解できる。また、フローチャートの各ステップを実行する順番はフローチャートに示す順番に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で順番を変更してもよい。なお、この実施の形態によりこの発明が限定されるものではない。また、下記実施の形態における構成要素には、当業者が容易に想定できるもの又は実質的に同一のものが含まれる。本願出願人が既に出願した国際公開第２０１４／０４１９１７号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号）及び特願２０１３－２３０６７８号の明細書及び図面の内容は援用により本明細書に組み込まれる。
　特に以下の実施形態においては、本発明を二次元流体のシミュレーションに適用した例について説明することがあるが、この場合に限られず、三次元流体のシミュレーションにおける任意の断面（構造物の断面等）についても、同様に本発明を適用することができる。
［本発明の概略］
　図１は、本発明の概略を説明するための説明図である。本願出願人が既に出願した特許文献１（国際公開第２０１４／０４１９１７号、特願２０１２－２０３６０１号、ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号）の「流れパターンの語表現方法、語表現装置、および、プログラム」では、数値計算や実験で得られた流れパターンに対して，この文字列を付与し，そこに現れる流れの定量的な特徴（例えば揚抗比）を定性的な部分文字列として表現する語表現理論を提案した。
　また、本願出願人が既に出願した特願２０１３－２３０６７８（本願出願時未公開）の「流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、及びプログラム」では、語表現から流体遷移経路を取得しているが、語表現を使って遷移の可能性をすべて網羅した上で，あとは文字列ではなく流れのパターンのパターンマッチングを行う必要があった。
　図１において、上述したように、特許文献１では、流れパターンから語表現を作成する（Ｐ１）方法について既に出願している。また、特願２０１３－２３０６７８において、語表現から流体遷移経路を作成する（Ｐ２）方法を出願している。語表現では、流れパターンに対して固有な語表現を与えることができるが、語表現で与えられた文字列に対しては複数の異なる流れパターンが対応している。そこで、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成し（Ｔ１）、グラフ表現から正規表現を作成する（Ｔ２）。また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、正規表現から語表現を作成する（Ｔ３）。正規表現から作成される語表現は、流れパターンと１対１に対応したものとなるので、語表現から直接、流体遷移経路を作成することが可能となる。さらに、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、正規表現から直接、流体遷移経路を作成することもできる（Ｔ４）。
［流れパターンの正規表現作成方法］
　図２－Ａ～図２２を参照し、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法について説明する。本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法はコンピュータ等の装置により実行可能である。図２－Ａは、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法の概略を説明するためのフローチャートである。
　図２－Ａに示すように、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現作成方法は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成ものであり、大別すると、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程（ステップＳ１）と、ステップＳ１のグラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程（ステップＳ２）と、ステップＳ２の正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程（ステップＳ３）と、を備えている。
　グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。
　また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含むことにしてもよい。
　また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、からなるパターン語の１又は複数であることにしてもよい。
　また、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしてもよい。
　図２－Ｂは、図２－Ａのグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。図２－Ｂにおいて、グラフ表現作成工程では、まず、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換する（ステップＳ３１）。流れパターンは、例えば、上述のパターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された穴の数がＮ個の流れパターン図としてもよい。具体的には、後述するように、Ｉ－ｗｏｒｄ，ＩＩ－ｗｏｒｄのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ（流れパターン図）のルートが、図１１に示すようになるように変換する。次に、変換した流れパターンの（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出する（ステップＳ３２）。領域全体から（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとする（ステップＳ３３）。続いて、カレント成分をルートに設定する（ステップＳ３４）。カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子とし、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，それらを所定のラベルの順序関係に従って並べる（ステップＳ３５）。カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまでステップＳ３５を繰り返し実行する（ステップＳ３６）。
　また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法は、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する設計パラメータ選択工程を実行してもよい。設計パラメータ選択工程では、例えば、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択してもよい。
　また、設計パラメータ選択工程は、さらに、選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことにしてもよい。
　また、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法は、流体中の物体に対して設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を実行してもよい。例えば、第２の設計パラメータ選択工程は、例えば、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの正規表現から目的とする流れパターンの正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの正規表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。
　また、第２の設計パラメータ選択工程では、正規表現に加えて語表現を使用して、現在の流れパターンの正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。
　また、第２の設計パラメータ選択工程では、現在の流れパターンの正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、選択した経路に対して、変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、目的とする流れパターンの正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することにしてもよい。
　以下、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法をその原理と共に、詳細に説明する。
（１．語表現理論）
　まず、本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法では、上述の語表現理論の一部を使用しているので、語表現理論について簡単に説明する。
（１－１．語表現アルゴリズム）
　ここで、上述した語表現を形成させる語変換アルゴリズムの概要について以下に説明する。ここで、図３は、語表現アルゴリズムの概要を示すフローチャートである。
　図３に示すように、まず、位相幾何学的にＮ個の穴を有する連結外部領域における流れパターンの語表現を形成させるために、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語（例えば、Ｉ，ＩＩ，Ｏ）のうちのいずれか一語を付与する（ステップＳＡ－１）。
　そして、本実施の形態は、ステップＳＡ－１にて付与された語に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語（例えば、Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）のうちのいずれか一語を付与し（ステップＳＡ－２）、当該ステップＳＡ－２の処理を穴の数がＮ個となるまで繰り返し行うことにより（ステップＳＡ－３）、Ｎ個の穴を有する連結外部領域に対応する語表現を形成させる。なお、この例では、パターン語の付与（ステップＳＡ－１）が先に行われ、操作語の付与（ステップＳＡ－２）が後に行われるが、これに限られず、操作語の付与を先に行い、後にパターン語の付与を行ってもよいものである。
　ここで、本実施の形態において、「連結外部領域」とは、単連結外部領域と多重連結外部領域を含む表現であり、「単連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、一つの穴があいたものをいい、「多重連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、複数の穴があいたものをいう。ここでいう「穴」という表現は、数学的な抽象表現であるが、応用上はさまざまな表現形態であってもよい。例えば、乗り物が移動した際に相対的に発生する一様な流れに注目した場合、一様流に沿った乗り物の断面に構造物が一つ又は複数あった状況があれば、その領域は単連結外部領域または多重連結外部領域として扱える。例えば、空気中を進む航空機等の飛行物体や、空気中を進む電車や自動車等の地上走行車両、海上または海中を進む船等の乗り物についても、一または複数の穴と、単連結または多重連結の連結外部領域として扱える。換言すれば、「流れの中に一または複数の障害物がある」ような流れを、本実施形態では、連結外部領域における流れとして扱う。また、孤立した渦構造や周囲に周期軌道を持つような流れ構造（楕円型の停留点など）も「穴」とみなすことができる。
　上述のように、流れパターンに対して語表現を割り当てることによって、連結外部領域における流れの位相的分類が可能となる。位相的というのは数学の専門用語であり、トポロジー（位相幾何学）とも呼ばれる幾何学の一分野を指す。古典的な幾何学では、三角形や四角形はその角の数の違いにより異なる図形と見なすが、位相幾何学の立場ではそういった細かい情報を見ず、三角形と四角形を例えば輪ゴムを変形させて互いに移りあえるという立場にたって同じ図形と見なす。すなわちすべての多角形は、円と同じと見なす。一方で、円の中にもう一つ円がくりぬかれているような円環領域があったときに円と円環領域は一つの輪ゴムの変形では互いに変形できないので、異なる図形と見なす。連結外部領域では、空いている穴の数が異なれば、それらの図形は位相的に異なると見なす一方で、穴の形さえ同じであれば、その穴の形が円であろうが三角形であろうが線分であろうが同じものとみなす。このような理由から流れの領域を特徴づけるのは穴の数のみであるため、本実施形態では、穴の数Ｍ＋１に対して連結外部領域をＤζ（Ｍ）と表現する。例えば、穴が１つのみの場合は、単連結外部領域Ｄζ（０）であり、穴が２つ在る場合は、二重連結外部領域Ｄζ（１）となる。
　流れの位相的分類を扱うときは、流れを特徴づけるある特定の構造（「位相構造」と呼ぶ。）を捕まえて、その特定の構造をもった流れが二つあったときに、その双方を特定の構造の連続的な（すなわち切ったり貼ったりしない）変形によって互いに変形できないものは異なる流れと見なす。
　ここで、本実施の形態において扱う流れの構成要素について図４～図６を参照して説明する。本実施の形態における「流れ」として非圧縮流れを扱ってもよい。流体の非圧縮性とは、力を加えてもほとんどその体積を変えないような性質をいう。通常の水や大気の流れは、日常生活のスケールで考える場合は、こうした流れの枠組みで考えても概ね差し支えはない。なお、本発明は、これに限られず、圧縮性のある流れを計算上取り扱ってもよい。
　また、本実施の形態における流体は、非粘性流体として扱ってもよい。非粘性流体は、境界条件を「すべり条件」として扱うことができる。なお、粘性流体では、境界条件が「ゼロ境界条件」となるが、粘性流体でも、粘性が大きくないとき、境界付近は渦が層状の流れとなっており、その流れの外側境界を、仮想的に拡張することで「すべり条件」として扱うことができる。したがって、本実施形態では、特に、非粘性流体における語変換アルゴリズムにおいて説明することがあるが、適切な境界の拡張により、粘性流体についても本実施形態を適用することができる。
　本実施の形態で扱う流れの構成要素は、以下の３つである。一つは障害物、一つは渦（ｖｏｒｔｅｘ）、一つは一様流（ｕｎｉｆｏｒｍ　ｆｌｏｗ）である。障害物は連結外部領域における穴のことであり、この形状は位相的分類を考えている上で円としておいても数学的に与える結果に影響はないことが一般的な流体の数学理論から導くことができる。ここで、図４は、流れのパターンを模式的に示した図である。なお、図４（ｃ）は、４つの∂－ｓａｄｄｌｅ点（定義は後述）を持つ境界を模式的に示している。
　図４（ａ）に示すように、渦はそのまわりで回転する流れを作る要素である。一様流とは、川の流れでいえば基本的な流れのことであり、領域全体を横切るような流れである。また、乗り物等の移動物体の場合、一様流とは、その乗り物に乗っている観察者から見た、相対的な気流や水流等の流れである。すなわち、移動物体の座標系においては、実際には空気や水が静止していても、無限遠点から流れてくる相対的な流れを観念することができる。
　一様流を構成する要素は、吸い込み湧き出し対（１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。
　ここで、一様流ではなく吸い込み湧き出し対と呼ぶことには理由がある。その理由の説明のため、いくつかの数学的な解説を以下に行う。一様流が存在するとき、考えている流れの領域は無限に拡がる平面であり、その中に一つまたは複数の穴（障害物）が埋め込まれているような連結外部領域であるが、このような流れを模式的（Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ）に表現する上では扱いにくい。そのため、数学におけるｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ（ステレオ射影・立体射影）と呼ばれる射影法によって、平面を球面の上に投影して扱ってもよい。この場合、平面における無限遠点は球面の北極に、平面の原点は南極に対応させることができる。
　このようにしておくと、一様流は球面の北極における流れの湧き出しと吸い込み対といった流れ構造となり、図４（ｂ）のような流れ場に対応していることが数学的に示せる。さらに模式的に流れ場を表現するためには、球面は対称性の高い形状であるということを利用して、北極と南極の位置を適当にずらすことができるので、無限遠点を南極に、ある円形の穴（障害物）の中心を北極にあわせてから、再びｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎを使って平面に投影すると、南極に対応する原点付近の近くでは図４（ｂ）のような流れができる。さらに無限遠点に中心を持つ円境界は平面の外側円境界に投影されるので、結果として平面全体の流れ場が、例えば図５のような形の有界な領域として表現できる。なお、連結外部領域Ｄζ（Ｍ）をこの変換方法により，無限遠点の吸い込み湧き出し対を原点に、また、Ｍ＋１個の境界の１つを選んで、それを単位円外部領域に移したときに得られる、Ｍ個の境界をその内部に含む単位円内部の連結領域をＤｚ（Ｍ）と書く。以後の記載はすべてこのＤｚ（Ｍ）を用いて行う。したがって、図４（ｂ）のような表現は適切な射影法を通じて、平面全体の中に一様流が入っている流れと等価なものである。本実施形態の説明では、流れを模式的に示すために便利であることから、このような射影法を用いて図に表現する場合がある。
　図５は、このような連結領域Ｄｚ（Ｍ）における構造安定な流れの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。図５（ａ）に示すように、まず吸い込み湧き出し対から出て自分自身に戻ってくる軌道をｓｓ－ｏｒｂｉｔと呼ぶ。この線一本一本が連結外部領域での一様流の流線を表す。次に、図５（ｂ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出て境界の上につながる軌道をｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図５（ｃ）に示すように、その軌道がつながっている境界上の点をｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。
　また、図５（ｅ）に示すように、吸い込み湧き出し対からではなく、ある境界の上の点から出て同じ境界上の点につながる軌道を∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図５（ｄ）に示すように、これによってつながれている境界上の点を∂－ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。また、図５（ｈ）に示すような、境界上にない双曲型の停留点をｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ（サドル点）と呼ぶが、図５（ｆ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出る軌道で、このｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔにつながる軌道をｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。また、図５（ｇ）に示すように、境界や渦の回りを作る閉曲線軌道をｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔと呼び、図５（ｉ）に示すように、ｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔから出てそれ自身に戻るような軌道をｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。対象とする構造安定な流れは、これらの軌道の組み合わせによってしか表現されないことが数学的に証明できる。
　本実施形態では、上述したステップＳＡ－２において、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄｚ（Ｍ－１）の流れに、一つの穴とそれに伴う流れの構造を付け足すことで、一つ穴の多い多重連結外部領域Ｄｚ（Ｍ）の流れ場を帰納的に構成していく。そのため、もっとも簡単な穴が一つの単連結外部領域Ｄｚ（０）や、二重連結外部領域Ｄｚ（１）で、これらの帰納的構成の初期構造になるものをステップＳＡ－１で与えている。
　具体的には、上述した基本となる流れパターンは、３種類あり、
　１）吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
　２）吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、および
　３）吸い込み湧き出し対をもたないパターンＯ、
　である。ここで、図６は、初期構造となる３種類の構造安定な流れパターンを模式的に示す図である。
　すなわち、図６（ａ）と（ｂ）に示すように、穴が一個の単連結外部領域Ｄｚ（０）にある流れは、パターンＩとパターンＩＩの２種類存在する。これらのパターンは、ともに吸い込み湧き出し対を持ち、数学的にはこれら２種類しかないことが証明できる。一様流を仮定した吸い込み湧き出し対を持つような流れに対して、原則的には二重連結外部領域Ｄｚ（１）は、これらから構成されるが、吸い込み湧き出し対を持たない流れはここから構成されないので、その流れを構成するために必要な初期流れが図６（ｃ）に模式的に示されるパターンＯである。なお、これらの位相構造は表現の簡便さのため、吸い込み湧き出し対を丸囲みＳと図示し、ｓｓ－ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔは、無限に存在するので表現せず、以後、模式的に図６（ｄ）や（ｅ）のように簡略的に表す。また、図６（ｃ）に示すように、吸い込み湧き出し対を持たない二重連結外部Ｄζ（１）における流れのパターンｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔも、すべて書かないで図６（ｆ）のように簡略に記す。
（１－２．操作語の説明）
　帰納的に流れを構成していくために、穴を一つとそれに伴う流れの構造を追加するという「操作」について、図７および図８を参照して説明する。すなわち、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄｚ（Ｍ－１）の流れに、一つの穴を加えて多重連結外部領域Ｄｚ（Ｍ）の流れを求める操作について説明する。
　上述したステップＳＡ－２において、位相幾何学的に採り得る５種類の操作は、
　１）一本のｓｓ－ｏｒｂｉｔを、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結び内部に穴をもつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＡ０操作、
　２）一本のｓｓ－ｏｒｂｉｔを、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと新たに追加した境界上の二つの∂－ｓａｄｄｌｅに置き換えるＡ２操作、
　３）一本のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを、一つの穴とｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔを追加して８の字をした２本のｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ軌道に置き換えるＢ０操作、
　４）一本のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを、新たに追加した穴の境界上に二つ∂－ｓａｄｄｌｅをつけて一本の∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐような軌道に置き換えるＢ２操作、および、
　５）既に２ｋ個（ｋ＞０）の∂－ｓａｄｄｌｅをもつ境界に、新たに二つの∂－ｓａｄｄｌｅを付け加えて一本の∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぎ内部に新たに付け加えた穴を置くＣ操作、
　である。ここで、図７は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。
　図７（ａ）に示すように、操作Ａ０とＡ２は一本のｓｓ－ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図７（ｂ）に示すように、操作Ｂ０とＢ２は、一本のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図７（ｃ）に示すように、操作Ｃは、既に∂－ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われる。なお、構造安定性を維持しながらそのようなことを可能にする操作が、上記の５種類しかないことが数学的に証明可能である。このステップを繰り返してできる流れパターン図を、パターンＩ，ＩＩから始めたときはｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍと呼び、パターンＯから始めたときは、ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍと呼ぶ。
　ステップＳＡ－１で与えた初期構造の３種類の流れパターンＩ，ＩＩ，Ｏから、これらの操作を行って一つずつ穴を増やす（Ｍ→Ｍ＋１）ことで、多くの穴を持つ領域における流れが帰納的に構成されるので、本実施形態では、その操作を表す操作語の列を文字列と見なして列挙することで、流れ場の語表現（Ｗｏｒｄ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）を得ることができる。ここで、図８は、二つの構造物と一様流がある場合の構造安定な流れパターンの全分類を示す図である。図８に示すように、単連結外部領域Ｄｚ（０）における初期構造のパターンＩ，ＩＩに対して、操作語を付与することで、二重連結領域Ｄｚ（１）における全ての流れパターンを記述することができる。ただし、図８に示す全ての流れパターンは、２種類（Ｉ，ＩＩ）×５種類（Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）の計１０種類とはなっていない。すなわち、操作語は、５種類の操作語を任意に並べてできるわけではなく、数学的な理由から様々な制約がつく。
　ここで、制約について説明すれば以下のようになる。すなわち、図７を用いて上述したように、操作Ａ０とＡ２は、一本のｓｓ－ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｓｓ－ｏｒｂｉｔの存在が不可欠となる。また、操作Ｂ０とＢ２は、一本のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔの存在が不可欠である。また、操作Ｃは、２個以上の∂－ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われるので、この操作を行う前提として、∂－ｓａｄｄｌｅを持つ境界の存在が不可欠となる。そのため、パターン語をＩ，ＩＩ，Ｏのどこからはじめるかによって並べ方のルールは異なる。上記の制約条件に基づいて導出される、各パターン語Ｉ，ＩＩ，Ｏからはじまる文字列の並べ方のルールについて、以下に説明する。
　まず、湧き出し吸い込み対を持たないＯのパターン語からはじめる場合には、次のようなルールがある。Ｏから始まる語表現に対して、それが構造安定な流れを表すために以下が必要十分である。
Ｏ－１）実際に施すことができる操作は、Ｂ０，Ｂ２，Ｃのみであり、その結果、Ｏから始まる語表現はこれら三つの語を列挙したものとなる。
Ｏ－２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるためには、それ以前に必ずＢ２が存在しなければならない。
　このような文字列をＯ系列の語（Ｏ－ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。
　次に、パターン語Ｉから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
Ｉ－１）実施可能な操作はＡ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃの全てであり、その結果、Ｉから始まる語表現はこれら５種類の操作語を列挙したものである。
Ｉ－２）操作列の語表現において、Ｂ０あるいはＢ２の語が含まれるためには、それ以前に必ずＣかＡ０が存在しなければならない。
　このような文字列をＩ系列の語（Ｉ－ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。
　最後にパターン語ＩＩから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
　ＩＩ－１）実施可能な操作はＡ０，Ｂ０，Ｂ２，Ｃであり、その結果、ＩＩから始まる語表現はこれら四つの語を列挙したものである。
　ＩＩ－２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるために
は、それ以前に必ずＢ２が存在しなければならない。
　このような文字列をＩＩ系列の語（ＩＩ－ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である。
（２．グラフ表現作成工程）
上記図２のグラフ表現作成工程（ステップＳ１）について詳細に説明する。まず、本実施の形態で使用しているグラフ理論について説明する。
（２－１．グラフ理論）
　グラフＴ＝（Ｖ，Ｅ）とは、「ｖｅｒｔｅｘ（頂点）」と呼ばれる点の集合（頂点集合）Ｖとその頂点の間を結ぶ「ｅｄｇｅ（エッジ）」と呼ばれる集合Ｅのペアとして与えられる集合である。一般にグラフは多様な構造を持ちうるが、本実施の形態のグラフ表現理論では、グラフ全体の集合におけるある特定の構造をもった以下のグラフの集合を考える。
　１）ツリー，木（Ｔｒｅｅ）とは、任意の二つ頂点が一本のｅｄｇｅによってのみ結合されているようなグラフを指す。
　２）ルート付き（Ｒｏｏｔｅｄ）グラフとは、ある特定の頂点（以下、ルート（ｒｏｏｔ）と呼ぶ）が存在しているグラフを指す。ルート付きグラフに対しては、このルートから各頂点ｖ∈Ｖへのエッジの連結による最短経路を考えることができるので、これをｖの高さ（ｈｅｉｇｈｔ）と呼び、記号をｈｔ（ｖ）と書く。これによりルート付きツリーＴに対してはｈｔ（Ｔ）：＝ｍａｘｖ∈Ｖｈｔ（ｖ）によって、ツリーＴ自体の高さを考えることができる。
　３）グラフが向き有り（ｄｉｒｅｃｔｅｄ）であるとは、すべてのエッジに親子の順序が入っているようなものを指す。向き有りグラフにおける、頂点ｖ∈Ｖからｗ∈Ｖへのエッジは、ｖ⇒ｗ∈Ｅと表わす。このとき、ｖはｗの親、ｗはｖの子と呼ぶ。Г（ｖ）と書いて、頂点ｖ∈Ｖの子供全体の集合を表す。すなわち、Г（ｖ）：＝｛ｗ∈Ｖ│ｖ⇒ｗ∈Ｅ｝。また、その集合に含まれる子供頂点の数＃Г（ｖ）を持って，ｖのｏｕｔ－ｄｅｇｒｅｅとよび、逆にｖに入ってくるエッジの数をｖのｉｎ－ｄｅｇｒｅｅと呼ぶ。
　４）グラフがラベル付き（ｌａｂｅｌｌｅｄ）であるとは、全ての頂点に特定のラベルが割り当てられているようなものを指す。
　本実施の形態においては、ルート付き、ラベル付き、向き有りのツリーを考える。またそのルートはｉｎ－ｄｅｇｒｅｅがゼロ、すなわちそこに入ってくるエッジが存在しないような頂点を考える。頂点のラベルとしては、｛ｏφ，ｏ０，ｏ２，＋φ，＋０，＋２，－φ，－０，－２｝のいずれかを割り当てるものとする。このとき，ラベルがｏφ（ｏ０，ｏ２，＋φ，＋０，＋２，－φ，－０，あるいは－２）となっている頂点集合の部分集合をＶｏφ（Ｖｏ０、Ｖｏ２、Ｖ＋φ、Ｖ＋０、Ｖ＋２、Ｖ－φ，Ｖ－０，あるいはＶ－2）と表す。頂点ｖに対して、ｌ（ｖ）と書けばそれは頂点に割り当てられたラベルを表すことにする。以後の便宜のため、以下のような集合を定義しておく。Ｖｏ＝Ｖｏφ∪Ｖｏ０∪Ｖｏ２、Ｖ+＝Ｖ+φ∪Ｖ+０∪Ｖ+２、Ｖ-＝Ｖ-φ∪Ｖ-０∪Ｖ-２、Ｖ０＝Ｖｏ０∪Ｖ+０∪Ｖ-０、Ｖ２＝Ｖｏ２∪Ｖ+２∪Ｖ-２、ただし、∪の記号は、ｄｉｓｊｏｉｎｔ　ｕｎｉｏｎを表している。加えて、頂点ｖの子頂点集合は、Г（ｖ）は以下のように分割することができる。
　Гｏ０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ０，Гｏ２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ２，Г+０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+０，Г-０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-０，Г+２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+２，Г-２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-２，Г－（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ－，Г＋（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ＋，Г２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ２である。
　さらに、頂点ｖ∈Ｖに対して「符合」をｓｇｎ（ｖ）と書けば、ｖ∈Ｖ+∪Ｖ０ならばｓｇｎ（ｖ）＝＋、ｖ∈Ｖ－ならばｓｇｎ（ｖ）＝－を与えるものとする。以後ラベルを並べて流れの表現を与えるので、これらのラベルの出現順序には以下のような順序関係のルール（１）を定めておく。
　　　　　　　ｏ０＞ｏ２＞+０＞-０＞+２＞-２・・・（１）
（２－２．二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現）
　本実施の形態のグラフ表現作成工程に係る二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現について説明する。以下、Ｏ－ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現と、Ｉ，ＩＩ－ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現について説明する。
（２－２－１．Ｏ－ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現）
　Ｈを二次元領域Ｄｚ（Ｍ）上のＯ－ｗｏｒｄで表現される構造安定なハミルトンベクトル場とし、Ｄをそのｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍとする。このハミルトンベクトル場Ｈに対して固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当てる方法とその平面グラフとしての可視化アルゴリズムを以下に説明する。
　まず、領域全体Ｄｚ（Ｍ）からＤをすべて取り除くと、いくつかの（無限の周期軌道を含む）円環開集合である連結成分からなる集合ＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄが構成できる。この各連結成分を頂点集合Ｖとする。ルートの頂点はこれらの連結成分のうちもっとも外側にある連結成分とし、そのラベルとして含まれている周期軌道が反時計回りであるときは＋φ、時計回りであるときは-φを割り当てる。
　次にエッジは以下のように作成する。二つの頂点ｖ、ｗ∈Ｖに対して、これらの頂点に対応する連結成分の閉包の共通部分（つまり成分の共通境界）が１次元ｄｉｍ（ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ））＝１、かつ、ｖがｗの外側の成分となっている場合に、その二つの間に向き有りエッジｖ⇒ｗ∈Ｅを構成する。さらに、この共通部分（境界）集合ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、子連結成分ｗが反時計回り（あるいは、時計回り）の周期軌道を持つとき、ｗのラベルとして+０（あるいは-０）を割り当てるものとする。同様に、その共通部分（境界）集合ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）が∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、ｗ内の周期軌道の向きが反時計回り（あるいは時計回り）であれば、ｗのラベルを+２（あるいは-２）とする。
　ＣＨの内部にはｓｓ－ｏｒｂｉｔは一つも存在しないので、連結成分ｖの子頂点集合Г（ｖ）は、Г（ｖ）＝Г+０（ｖ）∪Г-０（ｖ）∪Г+２（ｖ）∪Г-２（ｖ）となることに注意する。Ｖo０＝Ｖo２＝φでもあるので、頂点集合Ｖの部分集合Ｖ０＝Ｖ+０∪Ｖ-０およびＶ２＝Ｖ+２∪Ｖ-２となっている。これらの部分頂点集合に入っている元の数は全ての構造安定な流れパターンが操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって構成されていることから見積もることができる。
　図９は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって生成されるすべての流線パターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示している。（ａ）はＢ０、（ｂ）はＢ０、（ｃ）はＢ０Ｂ０、（ｄ）はＢ２Ｃｋ-１，ｋ≧１、（ｅ）はＢ２Ｃ１，l≧１、（ｆ）は、Ｂ２ ２Ｃｋ＋ｌ-１，ｋ，l≧１、（ｇ）はＢ０Ｂ２Ｃｋ，ｋ≧１、（ｈ）はＢ０Ｂ２Ｃｌ，ｌ≧１を示している。図９において、ｖは親連結部分集合を表し、その子連結部分集合はｗ，ｙ，ｚなどのように表現されている。破線は親連結部分の集合を表すため、そこに含まれている周期軌道を一本だけ向きとともに描いている。
　図９（ａ）に示すように、操作Ｂ０によって作られた外向き８の字パターンが構成できる。ｖとｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを境界として共有する二つの連結成分ｗ１∈Ｖ０およびｗ２∈Ｖ０で、その符合が同じ、つまりｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）＝ｓｇｎ（ｗ２）となるものが存在する。他方、Ｂ０で作られたパターンが図９（ｂ）に示すように内向き８の字パターンであったとき、親成分ｖをどの連結成分にとるかによって、二種類のｖとｗ∈Ｖ０の二つのエッジ（一つはｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ）、もう一つはｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となっている）が構成できる。
　図９（ｃ）に示すように、操作Ｂ０Ｂ０によっては二種類の親子エッジ関係が形成される。左側のパターンでは、親連結成分ｖから、ｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）＝ｓｇｎ（ｗ２）かつｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ３）となる三つの子連結成分ｗ１，ｗ２，ｗ３∈Ｖ０へのエッジが構成できる。
　右側のパターンでは、親連結成分ｖからｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）≠ｓｇｎ（ｗ２）となる二つの子連結成分ｗ１，ｗ２∈Ｖ０へのエッジが構成できる。以下同様に、図９（ｄ）～（ｆ）に示すように、各操作Ｂ２Ｃｋ-１，Ｂ２Ｃｌ，Ｂ２ ２Ｃｋ＋ｌ-１（ｋ≧１，ｌ≧１）によってｋ個のｖと同じ向きの周期軌道を含む連結成分と逆向きの周期軌道を含むｌ個の連結成分間の親子関係のエッジが順次構成される。
　図９（ｇ）は、操作Ｂ０Ｂ２Ｃｋによって構成された流線パターンであり、これによりｖからｗ１，ｗ２∈Ｖ０、あるいは、ｖからｗ∈Ｖ０への同じ符合を持つ領域へのエッジと、ｋ個の反対の符合を持つ子連結成分ｚｊ∈Ｖ０（ｊ＝１，．．．，ｋ）へのエッジが構成される。
　最後に、操作Ｂ０Ｂ２Ｃｌ（ｌ≧１）によって作られる図９（ｈ）の流線パターンに対応しては、ｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となるｗ∈Ｖ０への一本のエッジと、同じ符合を持つｌ本のｙｊ∈Ｖ０（ｊ＝１，．．．，ｌ）へのエッジができる。
　これ以外に、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって新しい親子関係を生成するものは存在しないので、以上から、子連結成分の集合に含まれる元の数は＃Γ+０（ｖ），＃Γ-０（ｖ）≦２であり、子頂点集合＃Γ+２（ｖ）、＃Γ-２（ｖ）については任意の非負整数を選ぶことができる。
　次に、与えられたｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍから得られるグラフ表現をどのように平面グラフとして描画するかを説明する。まず、全ての連結部分ｖ∈Ｖに対して、その子連結部分集合Γ（ｖ）に含まれる元をラベルに関する順序関係のルール（１）に応じて並び替えておく。ただし、複数の同じラベル+０（あるいは-０）が含まれているときはサイクリックな順序で並べる（このことは、＃Γ+０（ｖ）、＃Γ-０（ｖ）≦２ということから一義的に実現できる。）。一方、ラベル+２および-０に対応する子連結部分集合Γ+２（ｖ）およびΓ-２（ｖ）については、その並べ方は以下のようなルールに従うものとする。
　図９にあるｙｊと書かれた連結部分に対してその順序をサイクリックに並べる。すなわち、この中から特定の連結部分をｙ１として選んで、後は反時計回りに連結成分を並べる。同じ図中ｚｊと書かれた子連結成分については単に反時計回りに並べることができる。
　以下で説明する（２－２－１－１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）及び（２－２－２－１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）について、以下のように定義する。Ｎで非負整数のなす集合とし、Ｎ∞で非負整数のなす有限列の集合とする（すなわち、Ｎ∞＝Ｎ∪Ｎ２∪Ｎ３・・・）。Ｎ∞上に以下のように半順序＜を定義する。Ｎ∞の元ｓ＝ｓ１・・・ｓｎ，ｔ＝ｔ１・・・ｔｍに対して、「ｎ＜ｍ」または「ｎ＝ｍかつｓ１＝ｔ１，．．．，ｓｋ－１＝ｔｋ－１かつｓｋ＜ｔｋとなる自然数ｋ＞０が存在する事である」が成り立つ時、ｓ＜ｔと定義する。以下では、頂点集合ＶからＮ∞への単射関数Ｓ：Ｖ→Ｎ∞を与える。このとき、頂点ｖに対して、Ｓ（ｖ）を頂点ｉｄと呼ぶ。ここで、単射性から、頂点とその頂点ｉｄを同一視する。さらに、ｒｏｏｔの頂点ｉｄは０と置く（頂点とｉｄを同一視するため）。また、以下の構成から、頂点ｉｄは、ツリーの高さ優先探索の順番に対応していることが分かる。以下、σ∈｛＋，－｝を表し、μ＝－σとし、Ｇでツリー、ｓ，ｓ’，ｔ，ｕで頂点ｉｄ、Ｔで頂点ｉｄの部分集合を表す。また、以下で、図９，１２を参照するが、流れの向きは無視するものとする。
（２－２－１－１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
　図１０－Ａ～図１０－Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。コンピュータ等の装置により、図１０－Ａ～図１０－Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を実行可能である。
　図１０－Ａ～図１０－Ｅにおいて、ｉｎｐｕｔをｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄとし、ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄをｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１０１）、ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝と置く（ステップＳ１０２）。ｒｏｏｔ　０の外側境界が反時計回りであるか否かを判断する（ステップＳ１０３）、ｒｏｏｔ　０の外側境界が反時計回りである場合は（ステップＳ１０３の「Ｙｅｓ」）、σ＝＋，ツリーＧ＝（０，＋φ）とし（ステップＳ１０４）、ｒｏｏｔ　０の外側境界が反時計回りでない場合、すなわち、時計回りである場合は（ステップＳ１０３の「Ｎｏ」）、σ＝－，ツリーＧ＝（０，－φ）として（ステップ１０５）、ステップＳ１０６に移行する。
　ステップＳ１０６では、ｒｏｏｔ　０が図９（ａ）の形（パターン）をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ　０が図９（ａ）の形をしている場合は（ステップ１０６の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄを００，０１と定め、ツリーＧを、図９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーＧ（すなわち、Ｇを（００，σ０）←（０，σφ）→（０１，σ０））と定め、集合Ｔに｛００，０１｝を追加する（ステップＳ１０７）。すなわち、Ｔ＝｛０，００，０１｝と置き換える。この置換操作を、Ｔ←ＴＵ｛００，０１｝と表す。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
　他方、ステップＳ１０６において、ｒｏｏｔ　０が図９（ａ）の形をしていない場合は（ステップ１０６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１０８に移行する。
　ステップＳ１０８では、ｒｏｏｔ　０が図９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ　０が図９（ｂ）の左の形をしている場合には（ステップ１０８の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを００と定め、ツリーＧを、図９（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，σφ）→（００，σ０）））と定め、集合Ｔに｛００｝を追加する（ステップＳ１０９）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
　他方、ステップＳ１０８において、ｒｏｏｔ　０が図９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１０８の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１０に移行する。
　ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ　０が図９（ｄ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ　０が図９（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１１０の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋの頂点ｉｄを００，．．．，０ｋ－１と定め、ツリーＧを、図９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、集合Ｔに｛００，．．．，０ｋ－１｝を追加する（ステップＳ１１１）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００，．．．，０ｋ－１｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
　他方、ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ　０が図９（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１1０の「Ｎｏ」）、ツリーＧをσφと定め（ステップＳ１１２）、このツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。
　ステップＳ１１４において、Ｔの中にｓより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｓがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１１４の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとし（ステップＳ１１５）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。
　他方、ステップＳ１１４において、ｓがＴの中で最大元でない場合は（ステップＳ１１４の「Ｙｅｓ」）、ｓ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｓ＜ｔ｝（すなわち、ｓ’をＴの中でｓの次に大きい元）として、ｓをｓ’と置換して、（ｓ，σ＊）←（ｓ’，σ＊’）とする（ステップＳ１１６）。この後、処理はステップＳ１１７に移行する。
　ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓがの内部境界が図９（ａ）の形をしている場合は（ステップ１１７の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１１８）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１１７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１９に移行する。
　ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１１９の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０｝を追加する（ステップＳ１２０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１１９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２１に移行する。
　ステップＳ１２１において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしている場合は（ステップ１２１の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋの頂点ｉｄを｛ｓ０，．．．，ｓｋ－１｝と定め、ツリーＧを、図９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ－１｝を追加する（ステップＳ１２２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１２１において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図９（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１２１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２３に移行する。
　ステップＳ１２３において、頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１２３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２４に移行する。
　ステップＳ１２４において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋であるか（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りであるか）否かを判断する。頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２，ｗ３の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２５）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１２４において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが－である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｎｏ」）、ｗ１，ｗ２，ｗ３の頂点ｉｄをｓ１，ｓ２，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２６）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１２３において、頂点ｓが図９（ｃ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１２３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２７に移行する。
　ステップＳ１２７において、頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１２７の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２８に移行する。
　ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１２９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが－である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｎｏ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ１，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１３０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１２７において、頂点ｓが図９（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１２７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３１に移行する。
　ステップＳ１３１において、頂点ｓが図９（ｈ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｈ）の形をしている場合は（ステップＳ１３１の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｌ，ｗの頂点ｉｄをｓ１，．．．，ｓｌ，ｓ０と定め、ツリーＧを、図９（ｈ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ｝を追加する（ステップＳ１３２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１３１において、頂点ｓが図９（ｈ）の形をしていない場合は（ステップＳ１３１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３３に移行する。
　ステップＳ１３３において、頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしている場合（ただし、ｋ＝０の場合も含む）は（ステップ１３３の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｋ＋１と定め、ツリーＧを、図９（ｇ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ＋１｝を追加する（ステップＳ１３４）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１３３において、頂点ｓが図９（ｇ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１３３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３５に移行する。
　ステップＳ１３５において、頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしている場合（ただし、k＝０の場合も含む）は（ステップＳ１３５の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，．．．，ｓｋと定め、ツリーＧを、図９（ｇ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ｝を追加する（ステップＳ１３６）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　他方、ステップＳ１３５において、頂点ｓが図９（ｇ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１３５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３８に移行する（この場合、ステップＳ１３７に示すように、頂点ｓは図９（ｆ）の形をしている）。
　ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋ，ｚ１，．．．，ｚｌの頂点ｉｄをｓ０，．．．，ｓｋ－１，ｓｋ，．．．，ｓｌ＋ｋ－１と定め、ツリーＧを、図９（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ＋ｋ－１｝を追加する（ステップＳ１３９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが－である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｎｏ」）、ｙ１，．．．，ｙｋ，ｚ１，．．．，ｚｌの頂点ｉｄをｓｌ，．．．，ｓｌ＋ｋ－１，ｓ０，．．．，ｓｌ－１と定め、ツリーＧを、図９（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ＋ｋ－１｝を追加する（ステップＳ１４０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
　以上の操作が、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理である。
（２－２－２．Ｉ－ｗｏｒｄおよびＩＩ－ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）
　ＨをＤｚ（Ｍ）内に１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場、Ｄをそのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍとする。このとき、ＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄは、ｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを含む円環開領域またはｓｓ－ｏｒｂｉｔを含む開円板領域となる連結成分からなる。これに対して、ルート付き、ラベル付き向き有りツリーを以下のように構成する。Ｏ－ｗｏｒｄの時と同様に、各ＣＨの連結成分を頂点集合に対応づける。ルートとなる連結成分はＣＨの中で１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔに最も近い開円板領域で、その閉包は１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔを含みかつ内部に時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔを含むものを選ぶ。この連結成分にラベルｏφを割り当てる。このような決め方によりルートは一義的に決定することができる。
　図１１は、ルートとなる連結成分をＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。ここで、ＤはＩ－ｗｏｒｄあるいはＩＩ－ｗｏｒｄで表現できるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍとする。破線はルートとなる連結成分に含まれるｓｓ－ｏｒｂｉｔを一本、その向きとともに書いたものである。
　図１１において、（ａ）は、語表現ＩＡ０Ａ０で表現されたｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍであり、ｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの流れの向きは右から左である。（ｂ）は、語表現ＩＡ０Ａ０を持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍで、ｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの向きは左から右である。（ｃ）は、語表現ＩＩＡ０Ａ０を持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍで、その最も外側にある連結成分に含まれた周期軌道の向きが時計回り。（ｄ）は、語表現ＩＩＡ０Ａ０は（ｃ）と同じであるが周期軌道の向きが反対である。各ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの下には、ルートとなっている連結成分内にある点を無限大に写すような等角写像によってできるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの像を示している。この写像による像では、ルートに含まれるｓｓ－ｏｒｂｉｔはすべて反時計回りになっている。
　例えば、図１１（ａ）に示すような、ＩＡ０Ａ０なる語表現を持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍを考えると、１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔの真上にある連結成分（破線で書いた曲線が含まれる領域）がルートになる。もし、同じｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍが同じ形でもその流れの向きが、図１１（ｂ）のように反対になれば、その定義からルートは１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔの真下にある連結成分となる。図１１（ｃ）の語表現ＩＩＡ０Ａ０を持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに対しては、１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔの真上の連結成分が、向きを逆転すると（図１１（ｄ））、その真下の連結成分がルートとなる。このルートとなっている連結成分にある点を一つ選び、それを無限遠点に写すような等角写像でｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍを写すと、その像において、ルートの連結成分は最も外側の連結成分となり、さらにその中でｓｓ－ｏｒｂｉｔは常に反時計回りになることに注意する（図１１の各図の下の部分参照）。
　こうして得られ連結成分からなる頂点集合に対して、頂点間の向き付けエッジを、ルート連結成分が最も外側になるよう等角写像で写したものを使って図１１に示したように定義する。二つの連結成分ｖ，ｗ∈Ｖの閉包の共通部分の次元が１、すなわちｄｉｍ（ｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ））＝１かつｖがｗの外側にあるとき、ｖからｗへの向き付けエッジを構成する。ｓｓ－ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいはｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）を含む場合、その子頂点ｗにはｏ０（あるいはｏ２）のラベルを割り当てる。内部に反時計回りのｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃｌ（ｖ）∩ｃｌ（ｗ）がｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいは∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）となっている場合、子の連結成分ｗにはラベル+０（あるいは+２）を付与する。同様にして、ラベル-０および-２を時計回りのｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを持つ連結成分に付与する。
　この結果、ハミルトンベクトル場Ｈのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を対応させることができる。Ｉ－ｗｏｒｄあるいはＩＩ－ｗｏｒｄの語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場Ｗのグラフ表現ＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を平面グラフとして可視化する方法は以下の通りである。
　まず、子連結成分の集合に関して、Г（ｖ）＝ГＯ（ｖ）∪Г＋（ｖ）∪Г－（ｖ）となっていることに注意する。いま、Г（ｖ）に入っている元は予め順序関係のルール（１）に従って並びかえられており、また同じラベルを持つГ+２（ｖ）∪およびГ-２（ｖ）の元については、Ｏ－ｗｏｒｄの可視化の時と同様にサイクリックに反時計回りに並べられているとしておく。Ｖ＋やＶ－に入っているｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｖに対する平面グラフへの可視化は、フローチャート（図１０－Ａから図１０－Ｅ）を用いればよいので、後はＶｏに入っている連結成分に対するグラフの描画について考えればよい。
　図１２は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃによって生成されるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示したものである。図１２において、親連結成分ｖはｏφ（ｏ０またはｏ２）と表現されている。
　図１２において、（ａ）はＡ０、（ｂ）はＡ０、（ｃ）はＡ０Ａ０、（ｄ）はＡ２Ｃｋ（ｋ≧０）、（ｅ）はＡ２Ｃｌ（ｌ≧１）、（ｆ）はＡ２ ２Ｃｋ＋ｌ（ｋ，ｌ≧１）、（ｇ）は、Ａ０Ａ２Ｃｋ（ｋ≧０）、（ｈ）はＡ０Ａ２Ｃｌ（ｌ≧１）によって構成される局所的なｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍとそれに対応して生成される連結成分の親子関係、親連結成分ｖに含まれる反時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔは破線で示している。親連結成分のラベルはｏ＊（ただし、＊はφ、０あるいは２のいずれか）と表現されている。ｓｓ－ｏｒｂｉｔの方向は常に反時計回りになるようにルートを定めているので、その子になる連結成分に含まれる軌道の流れる方向は自動的に決まる。
　より具体的に説明すると、図１２（ａ）にある外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対して、親連結成分ｖは二つの子連結成分ｗ∈Ｖo０とｙ∈Ｖ+０を持つので、ｏ＊からｏ０と+０への二本の矢印を描画する。図１２（ｂ）にあるような内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対しては、親をどの連結成分に選ぶかに応じて、ｏ０あるいは-０への矢印を描くことができる。操作Ａ０Ａ０で作られる構造に対しては、図１２（ｃ）に示すように二種類のパターンが作られるので、それに応じてｏ０、+０、-０への三本の矢印を描くかｏ０と-０への二本のエッジを描くことができる。
　操作Ａ２Ｃｋ（ｋ≧０）で作られる図１２（ｄ）のようなｋ個のｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを含む連結成分｛ｚ１，．．．，ｚｋ｝を持つ局所的なｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの局所構造に対応して、ｏ２およびｋ個の+２の矢印を描く。操作Ａ２Ｃｌ（ｌ≧１）で作られるｌ個の時計回りのｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔを含む子連結成分｛ｙ１，．．．，ｙｌ｝を持つ局所流線構造（図１２（ｅ））に対しては、ｌ個の矢印を-２へ描けばよい。図３（ｆ）には、Ａ２ ２Ｃｋ＋ｌ（ｋ，ｌ≧１）で作られる一個の子連結成分ｗ∈Ｖｏ２とｌ個の子の連結成分｛ｙ１，．．．，ｙｌ｝とｋ個の子連結成分｛ｚ１，．．．，ｚｋ｝を持つ局所構造と、それに対応してｋ個の+２とｌ個の-２への矢印が描けることが示されている。最後に、操作Ａ０Ａ２Ｃｋ（ｋ≧０）で与えられる図１２（ｇ）（あるいは図１２（ｈ）のようなＡ０Ａ２Ｃｌ（ｌ≧１））の構造に対しては、ｏ２，-０（あるいはｏ０，+０）の矢印を描いてその右側にｋ個の+２（あるいはｌ個の-２）への矢印を描く。
（２－２－２－１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
　図１３－Ａ～図１３－Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。図１３－Ａ～図１３－Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理は、コンピュータ等の装置によって実行可能である。
　図１３－Ａ～図１３－Ｄにおいて、ｉｎｐｕｔをｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｄとして、所定の座標変換をして、図１１に示すような、ｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１４１）、ｕ＝０，Ｔ＝｛０｝，ツリーＧ＝（０，ｏφ）と置く（ステップＳ１４２）。
　ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ　０が図１２（ａ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ　０が図１２（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１４３の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄを１，００と定め、ツリーＧを、図１２（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（１，ｏ０）←（０，ｏφ）→（００，＋０））と定め、Ｔに｛１，００｝を追加する（すなわち、Ｔ＝｛０｝をＴ＝｛０，１，００｝と置換する）（ステップＳ１４４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
　他方、ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ　０が図１２（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１４３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４５に移行する。
　ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ　０が図１２（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ　０が図１２（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１４５の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを１と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，ｏφ）→（１，ｏ０））と定め、Ｔに｛１｝を追加する（ステップＳ１４６）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
　他方、ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ　０が図１２（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１４５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４８に移行する（この場合、ステップＳ１４７に示すように、ｒｏｏｔ　０が図１２（ｄ）の形をしている）。
　ステップＳ１４８において、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄを１，００，．．．，０ｋ－１と定め、ツリーＧを、図１２（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛１，００，．．．，０ｋ－１｝を追加し、ステップＳ１４９に移行する。
　ステップＳ１４９において、Ｔの中にｕより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｕがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１４９の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとおき（ステップＳ１５０）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１５１）、処理を終了する。
　他方、ステップＳ１４９において、ｕがＴの中で最大元でない場合には（ステップＳ１４９の「Ｙｅｓ」）、ｕ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｕ＜ｔ｝（すなわち、ｕ’をＴの中でｕの次に大きい元）として、(ｕ，σ＊）を（ｕ’，σ’＊）と置換する（ステップＳ１５２）。この後、処理はステップＳ１５３に移行する。
　ステップＳ１５３において、ｕが自然数であるか（すなわち、ｏφ，ｏ０，ｏ２のｉｄに対応するか）否かを判断する。ｕが自然数でない場合は（ステップＳ１５３の「Ｎｏ」）、Ｏ－ｗｏｒｄの処理である図１０－ＢのＳ１１４に移行する。
　他方、ステップＳ１５３において、ｕが自然数の場合は（ステップＳ１５３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１５５に移行する。
　ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、丸囲みＳ（吸い込み湧き出し対：図６参照）からなり、ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１５５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを図１２（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（ｕ＋１，ｏ０）←（ｕ，ｏ０）→（ｕ０，＋０））と定め、ＴをＴＵ｛ｕ＋１，ｕ０｝と置換する（ステップＳ１５６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５７に移行する。
　ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１５７の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｕ＋１と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１｝を追加する（ステップＳ１５８）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１５７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５９に移行する。
　ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図１２（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕが図１２（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１５９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ－１と定め、ツリーＧを、図１２（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ－１｝を追加する（ステップＳ１６０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図１２（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６１に移行する。
　ステップＳ１６１において、頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６１の「Ｙｅｓ」），ｗ，ｙ１，ｙ２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１と定め、ツリーＧを、図１２（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１｝を追加する（ステップＳ１６２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　ステップＳ１６１において、頂点ｕが図１２（ｃ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６３に移行する。
　ステップＳ１６３において、頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６３の「Ｙｅｓ」），ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを、図１２（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０｝を追加する（ステップＳ１６４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
　他方、ステップＳ１６３において、頂点ｕが図１２（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６５に移行する。
　ステップＳ１６５において、頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしている場合は（ステップＳ１６５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙ、ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｋと定め、ツリーＧを、図１２（ｇ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ｝を追加する（ステップＳ１６６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１６５において、頂点ｕが図１２（ｇ）の形をしていない場合は（ステップＳ１６５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６７に移行する。
　ステップＳ１６７において、頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６７の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ，ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌと定め、ツリーＧを、図１２（ｈ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌ｝を追加する（ステップＳ１６８）。ステップＳ１４９に戻る。
　ステップＳ１６７において、頂点ｕが図１２（ｈ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６９に移行する。
　ステップＳ１６９において、頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ－１と定め、ツリーＧを、図１２（ｈ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ－１｝を追加する（ステップＳ１７０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１６９において、頂点ｕが図１２（ｈ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７１に移行する。
　ステップＳ１７１において、頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしている場合は（ステップＳ１７１の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋ，ｙ１，．．．，ｙｌ，の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ－１，ｕｋ，．．．，ｕｌ＋ｋ－１と定め、ツリーＧを、図１２（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ＋ｋ－１｝を追加する（ステップＳ１７２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　ステップＳ１７１において、頂点ｕが図１２（ｆ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７３に移行する。
　ステップＳ１７３において、頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１７３の「Ｙｅｓ」）、ｙの頂点ｉｄをｕ０と定め、ツリーＧを、図１２（ｂ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０｝を追加する（ステップＳ１７４）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１７３において、頂点ｕが図１２（ｂ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１７３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７５に移行する。
　ステップＳ１７５において、頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしている場合は（ステップＳ１７５の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ０，．．．，ｕｌ－１，と定め、ツリーＧを、図１２（ｅ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０，．．．，ｕｌ－１｝を追加する（ステップ１７６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
　他方、ステップＳ１７５において、頂点ｕが図１２（ｅ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４９に戻る（この場合、ステップＳ１７７に示すように、頂点ｕは、図１２（ａ）の形をしている）。
　以上の操作が、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍからのツリーへの変換処理である。
（２－２－３．グラフ表現とその正規表現）
　以上のことから、１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔを持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに対して、そのルートを一義的に決定でき、また、そこから操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって構成されるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの局所構造と、そこから導入される連結成分の間の親子関係は図９と図１２の中で全て表現されているので、以下のことが示されたことになる。
　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．１：各１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。
　１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔを持たない構造安定なハミルトンベクトル場については、ルートの選び方は一義的ではない。なぜなら、内部に∂－ｓａｄｄｌｅをもたない円境界を含む任意の連結成分に対して、ある連続写像が存在して、それによってその連結成分を常に最も外側の連結成分にすることができるからである。したがって、ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍについては、その連結成分の数だけ異なるグラフ表現が存在することになる。このような曖昧さを取り除くために、こうした連続写像によって移りあってできるグラフ表現はそれぞれ別ということにする。すなわち、二つの構造安定なハミルトンベクトル場Ｖ１とＶ２に対して、Ｖ１～Ｖ２なる同値関係を、ある同相写像Ｄｚ（Ｍ）上の同相写像が存在してＶ１とＶ２の各軌道が向きを変えることなく互いに写りあいＶ１とＶ２の外側境界が対応していることによって定義する。このとき、～は同値関係を定め、この同値類に対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーを与えることができる。
　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．２：構造安定なハミルトニアンベクトル場の～による同値類の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。
（３．正規表現作成工程）
　上記図２の正規表現作成工程（ステップＳ２）について詳細に説明する。さて、グラフ理論でよく知られた事実として、任意のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーには固有の「正規表現（ｒｅｇｕｌａｒ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）」なるものを考えることができる。ＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を上記方法で与えられた構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して与えられたグラフ表現とする。このグラフ表現に対して、その正規表現は以下のようにして帰納的に与えられる。まず、ルート以外のすべての頂点のｉｎ－ｄｅｇｒｅｅはすべて１であることに注意する。もし、ｈｔ（ＴＨ）＝０ならグラフはルートのみ、すなわちＶ＝｛ｖ０｝であり、その正規表現はｌ（ｖ０）である。いま、高さｈｔ（ＴＨ）＝ｎ-１の正規表現Ｎがあった時に、そこにある頂点集合Ｔｎ-１＝｛ｖ１，ｖ２，．．．，ｖｍ｝とすると、各頂点ｖｉの子頂点集合Г（ｖｉ）＝｛ｖｉ１，ｖｉ２，．．．，ｖｉｍｉ｝とそれに対応するラベルｌｉ＝ｌ（ｖｉ）（ｉ＝１，．．．，ｍ）を使うと、Ｎに対してｌｉをｌｉ（ｌｉ１，ｌｉ２，．．．，ｌｉｍｉ）に置き換えることによって新しい正規表現が構成できる。ただし、ｌｉｋ＝ｌ（ｖｉｋ）（ｋ＝１，．．．，ｍｉ）である。このようにして構成されたＴＨの正規表現をＮＴＨとすると、その構成手法から以下の命題を得る。
　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．３：ルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴから正規表現ＮＴへの写像ＮＴ＝ｆＮ（Ｔ）は全単射である。
　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．１とＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．２の主張していることは、言い換えれば、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　Ｈからそのグラフ表現ＴＨへの写像ＴＨ＝ｆＴ（Ｈ）は単射（１対１対応）となるので、上のＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．３と合わせれば、合成写像ＮＴ＝ｆＮ（ｆＴ（Ｈ））も単射になることがわかる。すなわち、同じ語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場に対して異なる正規表現が与えられ、語表現で区別できないパターンも正規表現を使えば全て区別が可能となる。その実施例として、図１４－Ａに同じ語表現ＩＡ０Ｃで与えられる構造安定な流線パターンのグラフ表現の可視化とその正規表現を示す。（２－２－２．Ｉ－ｗｏｒｄおよびＩＩ－ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）で説明したようにルートの連結成分は１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔの真下あるいは真上にあるものを選んでいる。これからもわかるように全ての正規表現は異なっている。
　図１４－Ａは、ＩＡ０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示している。ルートはその定義から１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔの真下の連結成分に対応している。グラフ表現を得るために、ルート連結成分を最も外側の連結成分へと写したものをその右側に描いている。
（３－１．ツリーの正規表現への変換処理）
　図１４－Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。図１４－Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理は、コンピュータ等の装置により実行可能である。以下の処理では、前処理として，ツリーの全ての点にｉｄが与える。ただし，異なる点のｉｄは異なるものとする。図１４－Ｂにおいて、ｉｎｐｕｔをツリーＧとする（ステップＳ１７８）。ＶをツリーＧの頂点集合，ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝，Ｘを空集合φ，正規表現Ｎ＝（ｓ，σφ）（）と置く（ステップＳ１７９）。
　ステップＳ１８０において、ｓの子を左から読んだ結果を（ｓ（１），σ（１）），．．．，（ｓ（ｈ），σ（ｈ））とする。このとき、正規表現Ｎの中の（ｓ，σ＊）（）をσ＊（ｓ（１），σ（１））（），．．．，（ｓ（ｈ），σ（ｈ））（））と置換し、Ｔに｛ｓ（１），．．．，ｓ（ｈ）｝、Ｘに｛ｓ｝を追加する。
　ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘであるか否かを判断する。♯Ｖ＝♯Ｘである場合は（ステップＳ１８１の「Ｙｅｓ」）、正規表現Ｎをｏｕｔｐｕｔして、処理を終了する。
　他方、ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘでない場合には（ステップＳ１８１の「Ｎｏ」）、ｓ’∈Ｔ－Ｘを一つ選び（注：選び方に依らない）、（ｓ，σ＊）を（ｓ’，σ’＊）と置換して（ステップＳ１８２）、ステップＳ１８０に戻る。
　以上の操作が、ツリーの正規表現への変換処理である。
（４．語表現変換工程）
　上記図２の語表現変換工程（ステップＳ３）について詳細に説明する。
（４－１．正規表現から語表現への変換アルゴリズム）
（４－１－１．許容正規表現（ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ））
　以上説明したように、正規表現とｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉｇｒａｍは１対１に対応する（単射）ことがわかるので、正規表現からその語表現へのアルゴリズムを与えることができる。ただし、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍから正規表現を与える合成写像ｆＮ（ｆＴ（Ｈ））は全射ではないので、すべての正規表現にこのアルゴリズムを適用することはできず、可能なのは合成写像ｆＮ（ｆＴ（Ｈ））の像となっている正規表現のみである。このような正規表現を許容正規表現（ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）と称する。許容正規表現を特徴づけるために、以下のような正規表現のｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ（基本形）とｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（前方置換）を定義する。すなわち、許容正規表現とは、ルートつき，ラベル付き，および方向つきのツリーに対応する正規表現のうち，ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅの正規表現に対して，正規表現のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを施してできる全ての正規表現をいう。
　まず、ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅは、+φ、-φ、ｏφを含む正規表現である。図１５は、５つのｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＴＮとそれに対応する正規表現Ｎを示している。これらの正規表現はグラフ表現におけるルートを含む（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに対応している。すなわち、+φ（+０、+０）や、ｏφ（ｏ２、+２，．．．．，+２）といった正規表現はＯＢ０やＩＣｋなる語表現を持つｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの正規表現となっている。
　次に、正規表現の形式的な文字列の変換ルールを定め、これらをｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（前方置換）と呼ぶことにする。これらはラベル列ｂ１，．．．，ｂｎを正規表現中とラベルｌの下に付け加える変換規則であり、以後、ｌ→ｌ（ｂ１，．．．，ｂｎ）のような形で表現する。図１６は、１４個のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストである。例えば、Ａ０＋なる前方置換は、ｏ０→ｏ０（ｏ０，+０）のように与えられる。
　各前方置換の内容を説明するために、その内部に流線の位相構造を持たないような連結成分を単純連結成分（ｓｉｍｐｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ）と呼ぶことにする。単純連結成分はグラフ表現においては子連結成分を持たないような頂点に対応している。このとき、図１６にあるｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃを単純連結成分の中にあるｓｓ－ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに施したときにｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍの局所流線構造とその正規表現がどのように変化するかを記述したものである。
　図１７は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃを施したときのｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔと流線構造の変化を表したものである。より詳細には、図１７は、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分ｏ０あるいはｏ２にあるｓｓ－ｏｒｂｉｔに操作Ａ０，Ａ２，Ｃを適用して得られる流線の局所構造の変化に対応する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔである。
　操作Ａ０を単純連結成分ｏ０にあるｓｓ－ｏｒｂｉｔに施したとき、図１７（ａ）に示すような、外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、図１７（ｂ）に示すような、内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが得られる。この変化にともなって派生する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを、それぞれＡ０＋：ｏ０→ｏ０（ｏ０，+０）およびＡ０－：ｏ０→ｏ０（ｏ０（-０））のように与える。Ｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ａ２Ｃｋは、図１７（ｃ）に示すような操作Ａ２Ｃｋを単純連結成分ｏ０にあるｓｓ－ｏｒｂｉｔに施したときに得られる正規表現の変換規則である。操作ＣｌＡ０，Ｃｌ，ＣｌＡ２Ｃｋ（ｋ，ｌ≧０）を単純連結成分ｏ２のｓｓ－ｏｒｂｉｔに施したときに得られる４つのｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＡ０＋，ＣｌＡ０-，Ｃｌ ○，ＣｌＡ２Ｃｋである（図１７（ｄ）－（ｇ）参照）。
　さらに、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃを単純連結成分に含まれるｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに適用したときに図１８に示すようなｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが定義できる。図１８は、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍにおける単純連結成分σ０とσ２に含まれるｃｌｏｓｅｄ　ｏｒｂｉｔに操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃを適用したときに得られる流線構造の変化に伴って励起する正規表現のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを説明するための図である。
　操作Ｂ０を適用して、図１８（ａ）と図１８（ｂ）に示すような、外向きおよび内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが得られたときのｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、それぞれＢ０＋：σ０→σ０（σ０，σ０）およびＢ０－：σ０→σ０（σ０（μ０））である。操作Ｂ２Ｃｋ，ＣｌＢ０，ＣｌＢ０，Ｃｌ，ＣｌＢ２Ｃｋによって誘導されるｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、それぞれ図１８（ｃ）～図１８（ｇ）に示すようなＢ２Ｃｋ，ＣｌＢ０＋，ＣｌＢ０-，Ｃσ ｌ，ＣｌＢ２Ｃｋである。最後に、ｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＢ２Ｃｋについては、ｓｇｎ（σ２）の符合に応じて、ラベル間の順序関係のルール（１）を考慮すると、二種類のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが得られることに注意する。
　このｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅに対して帰納的にｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｍｅｎｔを適用して得られる正規表現の集合を以下のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 　
　正規表現がＯ－ｔｙｐｅ（あるいはＩ，ＩＩ－ｔｙｐｅ）であるとは、その正規表現が基本形Ｏ，ＯＢ０，ＯＢ２Ｃｋ（あるいはＩＣｋ　ｏｒ　ＩＩ）から上のルールで構成されるときをいう。操作によって得られる全ての局所流線構造が図１７及び図１８で網羅されているので、その構成方法から以下のことがわかる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 　
　すべての構造安定なハミルトンベクトル場は、５個の操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃをｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｐａｔｔｅｒｎ　３個のＯ，Ｉ，ＩＩに施して作られることに留意すれば以下を得る。このことは、数学的に正しいことが証明されている。この事実から次に与える語表現変換アルゴリズムに入力可能な許容正規表現は上の帰納的な方法によって定義されたものであることが示された。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
 　
（４－１－２．語表現への変換アルゴリズム）
　以上から分かるように、これから与える語表現への変換アルゴリズムはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅに各操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃを施した時に得られるｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを順次繰り返して得られる正規表現だけを入力として受け取るこができる。
　したがって、与えられた許容正規表現について、各操作の作る特徴的流線構造を抽出したときにおこる正規表現の変化であるｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ（後方置換）を定義することができれば、そのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを使って正規表現を簡単にすると同時に抜き出された構造に対応する語表現の文字列を割り当てることによって語表現への変換が可能になる。
　すなわち、一つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ（あるいはｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つ円境界）を消去する操作Ａ０（あるいはＡ２）の逆操作であり、操作Ｂ０（あるいはＢ２）の逆はｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎのペア（あるいは、ちょうど二つの∂－ｓａｄｄｌｅを持つ円境界）を円境界に置き換える操作である。二つ以上の∂－ｓａｄｄｌｅを持つ円境界についている∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎによって囲まれた単純連結成分を消去することが操作Ｃの逆操作である。ここで、ｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、許容正規表現の消去されるべき構造に対応した文字列の並びの変化として表現できることに注意する。
　まずは、Ｂ２の逆操作によって定義されるｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔのリストを与える。これらはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＯＢ２Ｃｋ（ｋ＝０）およびｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ２Ｃｋ，ＣｌＢ２Ｃｋ（ｋ＝０，ｌ≧０）の逆操作に対応する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＯＢ２：σφ→σφ（σ２）に対するｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｅｍｅｎｔは単純にσφ（σ２）→σφと書ける。見やすさのため、ｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｅｍｅｎｔによって消去される正規表現の文字列に、［数４］，［数５］，［数１１］，図１９，及び図２０では下線を付し、文章中では、［［　］］を付す。図１８（ｃ）のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ２に対するｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、その親連結成分σ０のまわりの構造に応じて異なっている。
　図１９は、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍにおける局所流線構造の変化に対応する正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔの一例を示す図である。
　もし、連結成分σ０が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、図１９（ａ）のように囲まれているとき、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍから消去すれば、ｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　σ０（［［σ２］］）→σ０を得る。一方、親連結成分σ０が内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき（図１９（ｂ））、そのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　σ０（μ０，［［σ２］］）→σ０（μ０）である。Ｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＢ２のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、ラベルに対する順序関係のルール（１）からσ２の符合に応じて以下のいずれかで与えられる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
 　
　Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＯＢ０とｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ０＋，Ｂ０-，ＣｌＢ０＋，ＣｌＢ０-の逆操作は、（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍからｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎのペアを円境界に置き換えることに対応する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＯＢ０に対するｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときはσφ（［［σ０，σ０］］）→σφ、内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときには、σφ（［［σ０（μ０）］］）→σφで与えられる。図１８（ａ）のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ０＋の中にある連結成分σ０が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき（図１９（ｃ）），そのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、σ０（［［σ０，σ０］］）→σ０で定義される。連結成分σ０が内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているときのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは順序関係のルール（１）より図１９（ｄ）に示すように、+０（［［+０，＋０］］，-０）→+０（-０）あるいは-０（+０，［［-０，-０］］）→-０（+０）のいずれかである。
　同様の議論から、ｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ０-に対して三つのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　σ０（［［σ０（μ０）］］）→σ０，+０（［［+０（-０）］］,-０）→+０（-０），-０（+０，［［-０（+０）］］）→-０（+０）が得られる。図１８（ｄ）と図１８（ｅ）のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＢ０＋，ＣｌＢ０-（ｌ≧０）は以下のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを誘導する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 　
　∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を消去することに対応するｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔはｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＩＣｋ（ｋ≠０）およびｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ａ２Ｃｋ，Ｂ２Ｃｋ（ｋ≠０），ＣｌＡ０＋，ＣｌＡ０-，ＣｌＢ０＋，ＣｌＢ０-（ｌ≠０），ＣＯ ｌ，Ｃσ ｌ，ＣｌＡ２Ｃｋ，（ｌ＋ｋ≠０），ＣｌＢ２Ｃｋの逆操作に対応している。操作Ｃは円境界にいくつでも適用できることから、そのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは、円境界についている∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分を含む列（＋２，．．．，＋２）や（-２，．．．，-２）から、単純連結成分のどれか一つを消去することを表現する。Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｔｙｐｅ　ＩＣｋ（ｋ≧１）のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは以下のとおりである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 　
　図１７（ｃ）に示したｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ａ２Ｃｋ（ｋ≠０）に対して、連結成分ｏ０が図１９（ｅ）や図１９（ｆ）のように外向きあるいは内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれている場合、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた単純連結成分+２を消去して得られるｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔはそれぞれ以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 　
　同様に、図１８（ｃ）のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　Ｂ２Ｃｋ（ｋ≧０）において、連結成分σ０が外向き、内向きのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれているとき、そのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
 　
　図１７（ｄ）～図１７（ｆ）及び図１８（ｄ）～図１８（ｆ）に示すｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣＯ ｌ，Ｃσ ｌ，ＣｌＡ０＋，ＣｌＡ０-，ＣｌＢ０＋，ＣｌＢ０-（ｌ≧０）はすべて、∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた連結成分ｏ２やσ２に対して定義されているので、それに対するｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔは自然に以下のように定義できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 　
　図１７（ｇ）と図１８（ｇ）のｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＡ２Ｃｋ，ＣｌＢ２Ｃｋ（ｌ＋ｋ≠０）については、単純連結成分＋２，-２のいずれを消去するかに応じて、また順序関係のルール（１）から、それぞれ二つの異なるｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔが得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
 　
　図２０は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃの逆操作により誘導される正規表現のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　［Ｂ２］，［Ｂ０］および［Ｃ］のリストを示している。最後に与えられた許容正規表現に対して、図２０中のｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔを可能な限り施していった場合に最終的に得られる正規表現の語表現は以下のようになる。このことは、数学的に正しいことが証明されている。
　Ｌｅｍｍａ　４．２：与えられた許容正規表現Ｎが［Ｂ０］，［Ｂ２］，［Ｃ］に含まれるすべてのｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔがもはや施せなくなったとき、その正規表現に対する語表現は以下のいずれかである。
　１）Ｎの語表現はＯ
　２）Ｎの語表現はＩＡ０ ｐ＋ｍＡ２ ｃ-２-ｐ-ｍかＩＩＡ０ ｃ－２のいずれかである。ただし、ｃ，ｐ，ｍは、Ｎに含まれるｏ＊，+０，-０のいずれかである。
　最後に、この変換アルゴリズムの実施例を示す。図２１は、正規表現ｏφ（ｏ２（ｏ２（ｏ０（-０（-０，-０）））），+２（+２））を持つ構造安定なハミルトンベクトル場のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍである。これにｂａｃｋｗａｒｄ　ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ＣｌＢ２（ｌ＝０），Ｂ０，ＩＣを順次適用すれば、正規表現は以下のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 　
　この結果、取り出した構造に応じて部分語列ＣＢ０Ｂ２を得る。残った正規表現ｏφ（ｏ２（ｏ２（ｏ０（-０））））の中にあるｏ＊，＋０，-０の数を数えると、ｃ＝４，ｐ＝０，ｍ＝１を得るので、ｏ２が存在することと、ｐ＋ｍ＝１，ｃ-２-ｐ-ｍ＝１から、結果として語表現ＩＡ０Ａ２ＣＢ０Ｂ２を得ることができる。
（４－１－３．正規表現の語表現への変換処理）
　図２２－Ａ～図２２－Ｃは、正規表現の語表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。図２２－Ａ～図２２－Ｃに示す正規表現の語表現への変換処理は、コンピュータ等の装置で実行可能である。以下、σ∈｛＋，－｝を表し、μ＝－σとする。図２２－Ａ～図２２－Ｃにおいて、まず、ｉｎｐｕｔを正規表現Ｎとする（ステップＳ１８４）。語Ｗを空集合φと置く（ステップＳ１８５）。
　ステップＳ１８６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσφ（σ２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσ０（σ２）が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσφ（σ２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσ０（σ２）が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１８６の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８７に移行する。
　ステップＳ１８７において、σφ（σ２）またはσ０（σ２）に含まれるｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を正規表現Ｎから抜き、ＷをＢ２Ｗと置換して（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ１８６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσφ（σ２）またはｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２を含むσ０（σ２）が正規表現Ｎに含まれない場合は（ステップＳ１８６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１８９に移行する。
　ステップＳ１８９において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋２を含む＋２（＋２，－２，．．．，－２）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋２を含む＋２（＋２，－２，．．．，－２）が存在する場合は（ステップＳ１８９の「Ｙｅｓ」）、このｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋２を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９０）、ＷをＢ２Ｗと置換して（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ１８９において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな＋２を含む＋２（＋２，－２，．．．，－２）が存在しない場合は（ステップＳ１８９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９１に移行する。
　ステップＳ１９１において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな－２を含む－２（＋２，．．．，＋２，－２）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな－２を含む－２（＋２，．．．，＋２，－２）が存在する場合は（ステップＳ１９１の「Ｙｅｓ」）、このｉｎｎｅｒｍｏｓｔな－２を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９２）、ＷをＢ２Ｗと置換し（ステップＳ１８８）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ１９１において、正規表現Ｎの中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔな－２を含む－２（＋２，．．．，＋２，－２）が存在しない場合は（ステップＳ１９１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９３に移行する。
　ステップＳ１９３において、連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０，σ０が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０，σ０が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１９３の「Ｙｅｓ」）、このようなσ０，σ０を正規表現Ｎから抜き出し（ステップＳ１９４）、ＷをＢ０Ｗと置換し（ステップＳ１９５）、ステップＳ１９３に戻る。
　他方、ステップＳ１９３において、連続する２つのｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０，σ０が正規表現Ｎに含まれない場合は（ステップＳ１９３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９６に移行する。
　ステップＳ１９６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０（μ０）が正規表現Ｎに含まれるか否かを判断する。ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０（μ０）が正規表現Ｎに含まれる場合は（ステップＳ１９６の「Ｙｅｓ」）、このようなσ０（μ０）を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９７）、ＷをＢ０Ｗと置換し（ステップＳ１９５）、ステップＳ１９３に移行する。
　ステップＳ１９６において、ｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ０（μ０）が正規表現Ｎに含まない場合は（ステップＳ１９６の「Ｎｏ」）、ステップＳ１９８に移行する。
　ステップＳ１９８において、正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ２，．．．，σ２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が含まれているか否かを判断する。正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ２，．．．，σ２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が含まれている場合は（ステップＳ１９８の「Ｙｅｓ」）、このようなσ２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９９）、ＷをＣＷと置換して（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。
　他方、ステップＳ１９８において、正規表現Ｎに、連続する２つ以上のσ２，．．．，σ２の中にｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が含まない場合は（ステップＳ１９８の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０１に移行する。
　ステップＳ２０１において、ｏ＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が正規表現Ｎに存在するか否かを判断する。ｏ＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が正規表現Ｎに存在する場合は（ステップＳ２０１の「Ｙｅｓ」）、このようなσ２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ１９９）、ＷをＣＷと置換して（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。
　他方、ステップＳ２０１において、ｏ＊の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなσ２が正規表現Ｎに存在しない場合は（ステップＳ２０１の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０２に移行する。
　ステップＳ２０２において、σ２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ２が正規表現Ｎに存在するか否かを判断する。σ２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ２が正規表現Ｎに存在する場合は（ステップＳ２０２の「Ｙｅｓ」）、このようなμ２を正規表現Ｎから抜き（ステップＳ２０３）、ＷをＣＷと置換し（ステップＳ２００）、ステップＳ１９８に戻る。
　他方、ステップＳ２０２において、σ２の子でｉｎｎｅｒｍｏｓｔなμ２が存在しない場合は（ステップＳ２０２の「Ｎｏ）、ステップＳ２０４に移行する。
　ステップＳ２０４において、正規表現Ｎの中にσ２が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にσ２が存在する場合は（ステップＳ２０４の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ２０４において、正規表現Ｎの中にσ２が存在しない場合は（ステップＳ２０４の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０５に移行する。
　ステップＳ２０５において、正規表現Ｎの中にσ０（μ０）が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎの中にσ０（μ０）が存在する場合は（ステップＳ２０５の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ２０５において、正規表現Ｎの中にσ０（μ０）が存在しない場合は（ステップＳ２０５の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０６に移行する。
　ステップＳ２０６において、正規表現Ｎに連続する２つのσ０，σ０が存在するか否かを判断する。正規表現Ｎに連続する２つのσ０，σ０が存在する場合は（ステップＳ２０６の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１８６に戻る。
　他方、ステップＳ２０６において、正規表現Ｎに連続する２つのσ０，σ０が存在しない場合は（ステップＳ２０６の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０７に移行する。
　ステップＳ２０７において、正規表現Ｎがσφであるか否かを判断する。正規表現Ｎがσφの場合は（ステップＳ２０７の「Ｙｅｓ」）、ＷをＯＷと置換し（ステップＳ２０８）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。
　他方、ステップＳ２０７において、正規表現Ｎがσφでない場合は（ステップＳ２０７の「Ｎｏ」）、ステップＳ２０９に移行する。
　ステップＳ２０９において、正規表現Ｎがｏ２を含むか否かを判断する。正規表現Ｎがｏ２を含む場合は（ステップＳ２０９の「Ｙｅｓ」）、ＷをＩＡ０ ｐ＋ｍＡ０ ｃ－２－ｐ－ｍＷと置換し（ステップＳ２１０）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。ただし，ｃ，ｐ，ｍはＮに含まれるｏ＊，＋０，－０の数とする。
　他方、ステップＳ２０８において、正規表現Ｎがｏ２を含まない場合は（ステップＳ２０８の「Ｎｏ」）、ＷをＩＩＡ０ ｃ－２Ｗと置換し（ステップＳ２１１）、語Ｗをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ２１２）、処理を終了する。
　以上の処理が、正規表現の語表現への変換処理である。
　つづいて、上述した本実施の形態の流れパターンの正規表現作成方法をコンピュータにより実施するための装置構成について説明する。なお、以上の本実施の形態による方法を、人またはコンピュータにより実施してもよく、以下の実施形態による処理等を人により実施する場合に用いてもよいものである。
［正規表現作成装置の構成］
　次に、本実施の形態に係る正規表現作成装置の構成について図２３を参照して説明する。図２３は、本実施の形態が適用される正規表現作成装置１００の一例を示すブロック図であり、該構成のうち本実施形態に関係する部分のみを概念的に示している。
　図２３に示すように、本実施形態における正規表現作成装置１００は、概略的に、制御部１０２と記憶部１０６を少なくとも備え、本実施形態において、更に、入出力制御インターフェース部１０８と通信制御インターフェース部１０４を備える。ここで、制御部１０２は、正規表現作成装置１００の全体を統括的に制御するＣＰＵ等である。また、通信制御インターフェース部１０４は、通信回線等に接続されるルータ等の通信装置（図示せず）に接続されるインターフェースであり、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４に接続されるインターフェースである。また、記憶部１０６は、正規表現作成装置１００で上述の正規表現作成方法を実行するために必要な各種のデータ（例えば、図４～図９、図１１～図１２，図１４－Ａ，図１５～図２１に示すものをデータ化したもの等）、データベース、およびテーブル等を格納する装置である。これらのデータ、データベース、およびテーブル等は、制御部１０２が正規表現作成方法を実行する際に必要により参照される。これら正規表現作成装置１００の各部は任意の通信路を介して通信可能に接続されている。更に、この正規表現作成装置１００は、ルータ等の通信装置および専用線等の有線または無線の通信回線を介して、ネットワーク１３０に通信可能に接続されている。
　記憶部１０６に格納される各種のデータ、データベース、およびテーブル（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、および、正規表現ファイル１０６ｃ等）等は、固定ディスク装置等のストレージ手段である。例えば、記憶部１０６は、各種処理に用いる各種のプログラム、テーブル、ファイル、データベース、および、ウェブページ等を格納する。
　これら記憶部１０６の各構成要素のうち、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、シミュレーション部１０２ａにより数理的にシミュレーションされた、シミュレーション結果を示すデータを記憶するシミュレーション結果記憶手段である。例えば、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向き等）を示すデータであってもよい。なお、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、風洞実験等の実験室内でのモデル計測などを通じて事前に入力装置１１２を介して入力されたデータをシミュレーション結果として記憶してもよい。
　また、流線図ファイル１０６ｂは、流線図等の流線を示すデータを記憶する流線データ記憶手段である。例えば、流線図ファイル１０６ｂに記憶される流線データは、シミュレーション結果を示すデータに基づいて流線解析部１０２ｂにより解析された流線を示すデータであってもよい。
　また、正規表現ファイル１０６ｃは、正規表現データを記憶する正規表現記憶手段である。例えば、正規表現ファイル１０６ｃに記憶される正規表現データは、文字列等である。
　図２３に戻り、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４の制御を行う。ここで、出力装置１１４としては、モニタ（家庭用テレビを含む。）の他、スピーカを用いることができる（なお、以下においては出力装置１１４をモニタとして記載する場合がある）。また、入力装置１１２としては、キーボード、マウス、およびマイク等を用いることができる。
　また、図２３において、制御部１０２は、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ）等の制御プログラムや、各種の処理手順等を規定したプログラム、および、所要データを格納するための内部メモリを有する。そして、制御部１０２は、これらのプログラム等により、種々の処理を実行するための情報処理を行う。制御部１０２は、機能概念的に、シミュレーション部１０２ａ、流線解析部１０２ｂ、グラフ表現作成部１０２ｃ、正規表現作成部１０２ｄ、および、語表現変換部１０２ｅを備える。
　このうち、シミュレーション部１０２ａは、構造物に対する流体のシミュレーションを行うシミュレーション手段であり、例えば、上述の設計パラメータ選択工程（図２４参照）および第２の設計パラメータ選択工程（図２９等参照）等を実行する。ここで、シミュレーション部１０２ａは、２次元平面におけるシミュレーションに限られず、３次元空間における流体のシミュレーションを行ってもよいものである。また、シミュレーション部１０２ａは、公知の最適化手法を用いて、構造物の最適化を行ってもよい。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を決定する設計変数を、焼きなまし法や遺伝的アルゴリズム法等を用いて繰り返し変化させながら、当該構造物に対する流体シミュレーションを行って、適切な構造物の形状（例えば、水流に対する抵抗の少ない橋脚の形状等）を求めてもよい。なお、本実施形態において、シミュレーション部１０２ａは、シミュレーション結果を示すデータをシミュレーション結果ファイル１０６ａに格納する。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向きや抵抗等）を示すデータを格納してもよい。
　また、流線解析部１０２ｂは、流線解析を行う流線解析手段である。ここで、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果に対し流線解析を行って流線図を導出してもよい。例えば、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション結果ファイル１０６ａに記憶された、数値シミュレーションや実験のデータから、公知の手法を用いて流線図を作成する。具体的には、流線解析部１０２ｂは、数値シミュレーション結果から、ｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔや１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ　ｐｏｉｎｔなどをすべて計算した後、その点における流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画し、また、境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）上の流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画することにより流線図の作成が可能となる。なお、３次元のシミュレーション結果の場合、流線解析部１０２ｂは、構造物における断面における２次元のデータに変換してから、流線解析を行ってもよい。断面とする平面は任意であるが好適には、流線解析部１０２ｂは、流体の流れ方向（一様流）の方向に沿った断面で２次元データに変換してもよい。例えば、列車や自動車や航空機等の乗り物においては、進行方向に沿って断面を生成してもよい。また、流線解析部１０２ｂは、Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｈｏｍｏｌｏｇｙ（非特許文献１）に記載の技術等を用いて、流れ場から条件を満たす特徴的な構造を抽出してもよい。なお、本実施形態において、流線解析部１０２ｂは、作成した流線図データを流線図ファイル１０６ｂに格納する。
　また、グラフ表現作成部１０２ｃは、上述のグラフ表現作成工程（ステップＳ１）を実行するためのグラフ表現作成手段であり、例えば、図１０－Ａ～図１０－Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理、および図１３－Ａ～図１３－Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理等を実行することにより、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成する。ここで、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含んでいてもよい。また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、の１又は複数であってもよい。また、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、変換した流れパターンの（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、領域全体から（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、カレント成分をルートに設定し、カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すことにしてもよい。また、かかる流れパターンは、パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることにしてもよい。
　また、正規表現作成部１０２ｄは、上述の正規表現作成工程（ステップＳ２）を実現するための正規表現作成手段であり、例えば、図１４－Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理等を実行することにより、グラフ表現作成部１０２ｃで作成されたグラフ表現から正規表現を作成する。
　また、語表現変換部１０２ｅは、上述の語表現変換工程（ステップＳ３）を実現するための語表現作成手段であり、例えば、図２２－Ａ～図２２－Ｃに示す正規表現の語表現への変換処理等を実行して、正規表現作成部１０２ｄで作成された正規表現を語表現に変換する。語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、上記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることにしてもよい。
　以上が、本実施形態における正規表現作成装置１００の構成の一例である。なお、正規表現作成装置１００は、ネットワーク１３０を介して外部システム１２０に接続されてもよい。この場合、通信制御インターフェース部１０４は、正規表現作成装置１００とネットワーク３００（またはルータ等の通信装置）との間における通信制御を行う。すなわち、通信制御インターフェース部１０４は、他の端末と通信回線を介してデータを通信する機能を有する。また、ネットワーク１３０は、正規表現作成装置１００と外部システム２００とを相互に接続する機能を有し、例えば、インターネット等である。
　また、外部システム１２０は、ネットワーク１３０を介して、正規表現作成装置１００と相互に接続され、シミュレーション結果データや流線図データ等の各種データに関する外部データベースや、接続された情報処理装置に語表現方法を実行させるためのプログラム等を提供する機能を有する。
　ここで、外部システム１２０は、ＷＥＢサーバやＡＳＰサーバ等として構成していてもよい。また、外部システム１２０のハードウェア構成は、一般に市販されるワークステーション、パーソナルコンピュータ等の情報処理装置およびその付属装置により構成していてもよい。また、外部システム１２０の各機能は、外部システム１２０のハードウェア構成中のＣＰＵ、ディスク装置、メモリ装置、入力装置、出力装置、通信制御装置等およびそれらを制御するプログラム等により実現される。
［語表現と正規表現を使った流体中の物体の設計方法］
　例えば、橋や橋脚など流体中におかれた物体（以下設計対象と呼ぶ）の形状や配置、またその周囲の流れの制御などを通じて設計の対象にとって最適なパラメータを定めるような設計手法について，語表現と正規表現を使ってどのように設計を行うかを説明する。
　前提１：設計対象には変更可能な設計パラメータがある（形状・配置・流れの制御装置など）。
　前提２：設計対象を設計する上で、問題に応じた「最適な状態」が設定されており、その最適状態が流線構造の特徴として記述できているものとする。例えば、剥離渦を閉じこめる状態を最適状態とすると、翼であれば揚力の最大化，橋脚であれば抗力の最小化などが期待できる。
　前提３：これらの設計において、設計パラメータを変えて実験および数値計算（そしてそれにおいて得られる流線パターンの語表現・正規表現）ができるものとする。以下、二次元の流れに限定する。三次元の場合は断面をとって考えたりして二次元化することなどで設計が可能になる場合もある（三次元の場合はすべての場合でできるとは限らないことに注意する）。
　従来の最適化設計においては，初期状態から始めて、設計パラメータを経験や試行錯誤、あるいは既知の最適化手法などによる最適化が行われている。ある種の最適化が実現できても、それは局所的な最適化であったり物理的に不安定であったりして実際の設計に耐えうるかどうか分からないところがある。
　本実施の形態による設計パラメータの探索では、かかる状況に対して、最初から理想的な状況を流線パターンの語表現や正規表現として設定しておいて、それが実現されるようパラメータ領域を探索することができるようになる。こうして最適な設定を実現する設計パラメータの「候補」をできるだけ多くかつ速やかに探すことができるようになる。それらの候補から始めて、既知の最適化手法を行うことで多くのかつ実現性の高い設計パラメータが得られる可能性が高くなる。
　図２４は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法、すなわち、上述の設計パラメータ選択工程を説明するためのフローチャートである。図２４に示すフローチャートは、シミュレーション部１０２ａにより実行される。
　図２４において、まず、とりうる設計パラメータの上限と下限を定める（ステップＳ３１１）。次に、上記ステップＳ３１１で定めたパラメータ領域（設計パラメータの上限と下限で規定される領域を「パラメータ領域」と称する）を分割して、パラメータ領域からＮ個のパラメータの組み合わせサンプル（設計パラメータＰｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ））を選択する（ステップＳ３１２）。なお、サンプルの選択は、これまでの経験や計算結果などを踏まえて適当に選んでも良いし、先験的な情報がないときは、パラメータ領域を等分してサンプリングしてもよい。
　以下では、渦閉じこめ状態を表す語表現として「Ｃ」が語表現に含まれることを設計の目的とする例を説明する。各設計パラメータＰｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）に対してそれぞれ流れの実験や数値計算を行う（ステップＳ３１３）。得られた各結果に語表現と正規表現の割り当てを行う（ステップＳ３１４）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現か否かを判断する（ステップＳ３１５）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現の場合は（ステップＳ３１５の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補として採用する（ステップＳ３１６）。他方、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現でない場合は（ステップＳ３１５の「Ｎｏ」）、設計パラメータの候補には採用しない。
　なお、ＩＣなる部分語表現を持たなくても，正規表現と語表現を用いて流体遷移経路（遷移パターン）を取得する方法を使って、一回の遷移でＩＣやそれに対応する正規表現を持つ構造に移るパターンであれば、これも設計パラメータの候補として採用することにしてもよい。
　ステップＳ３１７では、設計パラメータの候補があるか否かを判断し（ステップＳ３１７）、設計候補のパラメータがある場合には（ステップＳ３１７の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補に対して既存の最適化手法を適用する（ステップＳ３１９）。なお、既存の最適化手法を適用するだけでなく，最適化過程の各段階において、常に語表現や正規表現を計算してモニタリングすることで、定量的な流れの最適化に加えて、理想的な流線構造の最適化も同時に行うような最適化設計も可能である。
　他方、設計パラメータの候補がない場合には（ステップＳ３１７の「Ｎｏ」）、パラメータ領域を更に細かく分割して（ステップＳ３１８）、ステップＳ３１３～Ｓ３１７の処理を実行する。
　図２５及び図２６は、上記の語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。図２５において、一様流中におかれた物体２００の背後に渦構造が二つ（渦１，渦２）存在するような状況があったとする。一様流の速さ（あるいは物体の進行速度）をＵとし、物体２００は角速度Ｇで回転できるものとする。渦の強さと位置は流れにおいて既に与えられているとして、このうち渦１を「閉じこめて」、物体２００にかかる揚力を最大化し、渦２は流れに沿って物体から遠ざかることができるような装置を、「ＵやＧのパラメータ」を探索して最適化することを考える。渦閉じこめ状態の語表現は「Ｃ」によって遠ざかる渦は「Ａ０」によって表現できるので、ターゲットとなる状況の語表現としてはＩＡ０Ｃを達成するものを本設計手法の適用によりパラメータ領域を絞り込む。
　本設計パラメータについて，Ｕは０から１．１まで変化でき，Ｇは-１．６×２πから１．６×２πまで変化できるものとする（上記ステップＳ３１１で設計パラメータの上限、下限を定める）。これらのパラメータ区間を５等分して設計パラメータ領域を分割し（上記ステップＳ３１２）する。そして、上記ステップＳ３１３～Ｓ３１９を実行した結果が、図２６の（ａ）～（ｆ）である。このパラメータ領域のうち、この設計手法によって最適化設計は「０．５≦Ｕ≦０．９，Ｇ＝-０．８×２π」(図２６の（ａ）～（ｃ）に対応)および「０．３≦Ｕ≦０．７，Ｇ＝０」（図２６の(ｄ)～（ｆ）に対応）の間で達成されている。これらのパラメータ候補の絞り込みにより、さらにこれらのパラメータ領域の分割を繰り返して、揚力などの定量的な量の最大化をするような最良パラメータ領域を探すことで、渦閉じ込めをして揚力を最大化するための物体２００の速度と各回転速度を知ることができる。
［語表現と正規表現を使った流体中の物体の設計方法２］
　語表現と正規表現を使用して、流体中に置かれた物体（以下、「設計対象」と呼ぶ）のまわりの流れを最適化する設計手法について説明する。以下では、語表現と正規表現を使用して、一様流中に置かれた物体のまわりにできる流線パターン（現在のパターン）が、所望の流線パターン（目的のパターン）となるように、物体の設計パラメータ（物理パラメータ）を設計する手法（上述の第２の設計パラメータ選択工程）の一例について説明する。以下の例では、一様流中に平板翼を置いた場合の流線パターンについて説明する。なお、第２の設計パラメータ選択工程は、正規表現のみを使用しても原理上実行可能であるが、正規表現と語表現を使用することで、より好適な設計パラメータを設計することが可能となる。
　図２７及び図２８、語表現と正規表現を使用した流体中の物体まわりの流れの最適化手法を説明するための説明図である。図２９は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体のまわりの流れの最適化手法、すなわち、上述の第２の設計パラメータ選択工程を説明するためのフローチャートである。図２９に示すフローチャートは、シミュレーション部１０２ａにより実行される。
　図２７は、一様流Ｕに対して、一定の角度で平板翼３００を置いた場合を示している。図２８は、図２７において、平板翼３００のまわりに形成される流線パターンとその流線パターンの語表現及び正規表現を示している。図２８（ａ）は一様流Ｕ中におかれた平板翼３００のまわりにできた流れ（「流れ」は、流体実験又は数値計算で算出することができる）から流線パターンを抽出したもの（「パターンＡ」と称する）である。図２８（ｃ）は、回転流れ構造を平板翼３００の上に閉じ込めるパターン（「パターンＢ」と称する）である。本手法では、平板翼３００の設計パラメータを好適に変更して、パターンＡ（現在のパターン）からパターンＢ（目的のパターン）を実現するような設計パラメータを見つけ出し、平板翼３００にかかる揚力を増加させる手法について説明する。
　図２９において、まず、ステップＡ（ステップＳ４００～Ｓ４０２）において、パターンＡとパターンＢに対して、語表現（特願２０１２－２０３６０１号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１３／０７０９３９号））と本実施の形態のアルゴリズムを用いて正規表現を与える。具体的には、パターンＡには、ＩＡ０ＣＣＢ０という語表現と、ｏφ（ｏ０（ｏ２，－０（－０，－０），＋２，＋２））という正規表現ＮＡを付与し、パターンＢには、語表現ＩＡ０ＣＣＢ０とｏφ（ｏ２（ｏ０，＋０，－２（－０，－０，＋２）））という正規表現Ｎ　Ｂを付与する（ステップＳ４００、図２８（ａ）、（ｃ）参照）。なお、パターンＡとパターンＢの語表現は全く同じなので、従来技術では区別ができないが、正規表現は異なるためこれを用いることにより２つの流れは区別が可能となり，これらを用いることによって、流れの最適設計の目的形状を特定することが可能となる。
　次に、パターンＡの正規表現ＮＡとパターンＢの正規表現ＮＢが同じであるか否かを判断する（ステップＳ４０１）。パターンＡの正規表現ＮＡとパターンＢの正規表現ＮＢが同じである場合には（ステップＳ４０１の「Ｙｅｓ」）、パスＰ＝φを出力する（ステップＳ４０２）。パターンＡの正規表現ＮＡとパターンＢの正規表現Ｎ　Ｂが異なる場合には（ステップＳ４０１の「Ｎｏ」）、ステップＳ４０３に移行する。
　ステップＢでは、パターンＡとパターンＢの遷移の経路の決定する（ステップＳ４０３）。具体的には、流れパターンの遷移同定プログラム（特願２０１３－２３０６７８号（ＰＣＴ／ＪＰ２０１４／０７９５１２））を用いて，図２８（ａ）と図２８（ｃ）の間の同じ正規表現を高々１つしか持たない経路を決定する（ステップＳ４０３）。より具体的には、同じ頂点を高々一度しか通らない、パターンＡの正規表現ＮＡからパターンＢの正規表現ＮＢへのパスを全てリストアップし、Ｎ個の経路Ｒｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）を得る。ただし，Ｒ１，…，ＲＮは，経路の長さが短い順に並べてあるものとする（ｌｅｎｇｔｈ（Ｒｉ）≦ｌｅｎｇｔｈ（Ｒｉ＋１））。各経路Ｒｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）には中間流線パターンＰｉｊ（ｊ＝１，２，…，Ｍ）があるものとする。但し、便宜上、Ｐｉ０＝ＮＡ，ＰｉＭｉ＝ＮＢであるとする。
　ステップＣでは、経路Ｒｉに沿って遷移するように設計パラメータを変更する（ステップＳ４０４～Ｓ４１５）。以下、Ｎ個の経路Ｒｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）に対して、ｉ＝１，…，Ｎの順に（経路の長さが短い順に）、経路に沿って遷移するように設計パラメータを変更して、最適な設計パラメータを求める。すなわち、パターンＡからパターンＢに至るＮ個の経路Ｒｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）のうち、設計パラメータを変更して、パターンＢの正規表現と一致することになるいずれかの経路を決定し、当該パターンＢの正規表現と一致することになる変更した設計パラメータを最適な設計パラメータとして出力する。
　経路Ｒｉ上にあるパターンＰｉｊ（但し、ｊ＝１，２，…，Ｍｉ）の設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）とする。さらに、パターンＰｉｊの設計パラメータのパラメータ値をＳｋに変更して、実験又は数値計算により得られるパターンの正規表現をＰｉｊ（Ｓｋ）と表す。
　最終的に、Ｐｉｊ（Ｓｋ）がパターンＢの語表現と正規表現ＮＢ（＝ＰｉＭｉ）に一致した場合に、このパラメータ値を最適設計を達成する設計パラメータとして出力して、当該フローを終了する。
　Ｓｋを変更して、Ｐｉｊ（Ｓｋ）が経路Ｒｉ上の正規表現Ｐｉ（ｊ＋１）に一致した場合に、この設計パラメータを選択して、さらに、ｊを「１」インクリメントして、当該選択した設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）として、Ｐｉｊ（Ｓｋ）がパターンＢの語表現と正規表現ＮＢ（＝ＰｉＭｉ）に一致するまで処理を繰り返す。
　Ｓｋを変更しても、Ｐｉｊ（Ｓｋ）が経路Ｒｉ上の正規表現Ｐｉ（ｊ＋１）に一致しない場合は、この経路上での遷移は不可能として、次の経路についてＳｋを変更する。
　まず、ｉ＝１、ｊ＝１、ｋ＝１とする（ステップＳ４０４～Ｓ４０６）。次に、Ｐｉｊ（Ｓｋ）＝Ｐｉ（ｊ＋１）であるか否かを判断する（ステップＳ４０７）。Ｐｉｊ（Ｓｋ）＝Ｐｉ（ｊ＋１）である場合には（ステップＳ４０７の「Ｙｅｓ」）、ｊ←ｊ＋１とし（ステップＳ４１３）、ｊ＝Ｍｉであるか否かを判断する（ステップＳ４１４）。ｊ＝Ｍｉである場合（ステップＳ４１４の「Ｙｅｓ」）、すなわち、Ｐｉｊ（Ｓｋ）＝ＰｉＭｉ（＝ＮＢ）となる場合は、この設計パラメータが最適な設計パラメータであるので、パスＰ＝Ｒｉ及びこの設計パラメータを出力して（ステップＳ４１５）、当該フローを終了する。ｊ＝Ｍｉでない場合は（ステップＳ４１４の「Ｎｏ」）、この設計パラメータを選択して、ステップＳ４０６に戻り、選択した設計パラメータを中心にして、変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それをＫ分割して、それぞれのパラメータ値をＳｋ（ｋ＝１，…．Ｋ）として、Ｐｉｊ（Ｓｋ）がパターンＢの語表現と正規表現ＮＢ（＝ＰｉＭｉ）に一致するまで処理を繰り返す。
　Ｐｉｊ（Ｓｋ）＝Ｐｉ（ｊ＋１）でない場合には（ステップＳ４０７の「Ｎｏ」）、ｋ←ｋ＋１とし（ステップＳ４０８）、ｋ≦Ｋであるか否かを判断する（ステップＳ４０９）。ｋ≦Ｋである場合には（ステップＳ４０９の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ４０７に戻る。他方、ｋ≦Ｋでない場合には（ステップＳ４０９の「Ｎｏ」）、ｉ←ｉ＋１として（ステップＳ４１０）、ｉ≦Ｎであるか否かを判断する（ステップＳ４１１）。ｉ≦Ｎである場合には（ステップＳ４１１の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ４０５に戻り、次の経路に対して探索を行う一方、ｉ≦Ｎでない場合には（ステップＳ４１１の「Ｎｏ」）、全ての経路について最適化が不可能であるので、「不可能」を出力する（ステップＳ４１２）。
　一例として、ステップＢで得られた経路の１つとして、最短経路である図２８（ｂ）のパターン（語表現ＩＣＣＣＢ０，正規表現ｏφ（ｏ２（－２（－０，－０，＋２，＋２））））を介した場合（経路の長さＭ＝１の場合））について説明する。ステップＣにおいて，図２８（ａ）のパターンＡから設計パラメータを変更して、図２８（ｂ）の語表現と正規表現になるものを探索する。変更可能な設計パラメータを全て探索しても図２８（ｂ）となるパターンが見つからない場合は，この経路に沿った最適設計が不可能と判断して，ステップＢで取得した、図２８（ｂ）の最短経路以外の経路で同じことを繰り返す。
　もし、いきなり目的とする図２８（ｃ）のパターンＢを達成する設計パラメータが見つかった場合は、これが最適な設計パラメータであるので、この設計パラメータを出力してフローを終了する（上記ステップＳ４１５）。一方、図２８（ｂ）のパターンを達成する設計パラメータが見つかった場合は、この設計パラメータを選択して、さらに、この設計パラメータまわりで変更可能な設計パラメータの範囲を指定し、それを分割して、それぞれに対して実験又は数値計算を行って図２８（ｃ）のパターンＢになるものがあるかどうかを探索する。図２８（ｃ）のパターンＢになる設計パラメータが見つかった場合は、これが最適な設計パラメータであるので、この設計パラメータを出力してフローを終了する（上記ステップＳ４１５）。
　変更可能な設計パラメータの範囲を全て探索しても見つからない場合は、この経路での最適化は不可能と判断し、ステップＢで得られた別経路を探索する。ステップＢで取得した全ての経路を探索しても、図２８（ｃ）のパターンＢになる設計パラメータが見つからない場合は、最適化不可能と判断する（上記ステップＳ４１２）。
［他の実施形態］
　さて、これまで本発明の実施形態について説明したが、本発明は、上述した実施形態以外にも、請求の範囲に記載した技術的思想の範囲内において種々の異なる実施形態にて実施されてよいものである。
　例えば、正規表現作成装置１００がスタンドアローンの形態で処理を行う場合を一例に説明したが、正規表現作成装置１００は、クライアント端末からの要求に応じて処理を行い、その処理結果を当該クライアント端末に返却するようにしてもよい。
　また、実施形態において説明した各処理のうち、自動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を手動的に行うこともでき、あるいは、手動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を公知の方法で自動的に行うこともできる。
　このほか、上記文献中や図面中で示した処理手順、制御手順、具体的名称、各処理の登録データや検索条件等のパラメータを含む情報、画面例、データベース構成については、特記する場合を除いて任意に変更することができる。
　また、正規表現作成装置１００に関して、図示の各構成要素は機能概念的なものであり、必ずしも物理的に図示の如く構成されていることを要しない。
　例えば、正規表現作成装置１００の各装置が備える処理機能、特に制御部１０２にて行われる各処理機能については、その全部または任意の一部を、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｕｎｉｔ）および当該ＣＰＵにて解釈実行されるプログラムにて実現してもよく、また、ワイヤードロジックによるハードウェアとして実現してもよい。尚、プログラムは、後述する記録媒体に記録されており、必要に応じて正規表現作成装置１００に機械的に読み取られる。すなわち、ＲＯＭまたはＨＤなどの記憶部１０６などには、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ）として協働してＣＰＵに命令を与え、各種処理を行うためのコンピュータプログラムが記録されている。このコンピュータプログラムは、ＲＡＭにロードされることによって実行され、ＣＰＵと協働して制御部１０２を構成する。
　また、このコンピュータプログラムは、正規表現作成装置１００に対して任意のネットワーク３００を介して接続されたアプリケーションプログラムサーバに記憶されていてもよく、必要に応じてその全部または一部をダウンロードすることも可能である。
　また、本発明に係るプログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納してもよく、また、プログラム製品として構成することもできる。ここで、この「記録媒体」とは、メモリーカード、ＵＳＢメモリ、ＳＤカード、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、ＣＤ－ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤ、および、Ｂｌｕ－ｒａｙ（登録商標）Ｄｉｓｃ等の任意の「可搬用の物理媒体」を含むものとする。
　また、「プログラム」とは、任意の言語や記述方法にて記述されたデータ処理方法であり、ソースコードやバイナリコード等の形式を問わない。なお、「プログラム」は必ずしも単一的に構成されるものに限られず、複数のモジュールやライブラリとして分散構成されるものや、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ　Ｓｙｓｔｅｍ）に代表される別個のプログラムと協働してその機能を達成するものをも含む。なお、実施形態に示した各装置において記録媒体を読み取るための具体的な構成、読み取り手順、あるいは、読み取り後のインストール手順等については、周知の構成や手順を用いることができる。
　記憶部１０６に格納される各種のデータベース等（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、語表現ファイル１０６ｃ等）は、ＲＡＭ、ＲＯＭ等のメモリ装置、ハードディスク等の固定ディスク装置、フレキシブルディスク、および、光ディスク等のストレージ手段であり、各種処理やウェブサイト提供に用いる各種のプログラム、テーブル、データベース、および、ウェブページ用ファイル等を格納する。
　また、正規表現作成装置１００は、既知のパーソナルコンピュータ、ワークステーション等の情報処理装置として構成してもよく、また、該情報処理装置に任意の周辺装置を接続して構成してもよい。また、語表現作成装置１００は、該情報処理装置に本発明の方法を実現させるソフトウェア（プログラム、データ等を含む）を実装することにより実現してもよい。
　更に、装置の分散・統合の具体的形態は図示するものに限られず、その全部または一部を、各種の付加等に応じて、または、機能負荷に応じて、任意の単位で機能的または物理的に分散・統合して構成することができる。すなわち、上述した実施形態を任意に組み合わせて実施してもよく、実施形態を選択的に実施してもよい。
　以上説明したように、本実施の形態によれば、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を含むこととしたので、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能となるという効果を奏する。
　また、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであるので、構造安定なハミルトンベクトル場に対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーを平面グラフとして可視化したものをグラフ表現として提供することが可能となるという効果を奏する。
　また、本実施の形態によれば、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画することとしたので、親子の連結関係が視認しやすいグラフ表現を提供することが可能となるという効果を奏する。
　また、本実施の形態によれば、前記流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯの１又は複数であることとしたので、基本となる全ての流れパターンに対して正規表現を付与することができ、具体的な流れパターンの正規表現を扱えるようになるという効果を奏する。
　また、本実施の形態によれば、正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程を備えているので、正規表現を語表現に変換することが可能となるという効果を奏する。
　また、本実施の形態の形態によれば、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしたので、正規表現を、基本となる全ての流れパターンと位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語表現に変換することが可能となるという効果を奏する。
　本実施の形態によれば、語表現と同様に、流れ場における構造物設計を行うにあたって、構造物に対して採り得る流れパターンを経験や直感に頼ることなく容易に扱うことができる、流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することができる。また、語表現と正規表現の両方を使用することで、語表現だけでは特定の流れを限定できないものを限定することができ、流れの最適制御の理論をより発展させることができる。
　なお、語表現と正規表現は、例えば、橋脚の設計、防波堤の配置、港湾の汚染物の除去、風力発電のブレードの設計、列車のパンタグラフの構造、オイルフェンスの最適配置などのように、構造物設計や配置を伴う様々な分野において極めて有用である。また、スポーツ用品の構造設計などのようにスポーツ力学等の分野に応用することも可能である。
　１００　正規表現作成装置
　１０２　制御部
　１０２ａ　シミュレーション部
　１０２ｂ　流線解析部
　１０２ｃ　グラフ表現作成部
　１０２ｄ　正規表現作成部
　１０２ｅ　語表現変換部
　１０４　通信制御インターフェース部
　１０６　記憶部
　１０６ａ　シミュレーション結果ファイル
　１０６ｂ　流線図ファイル
　１０６ｃ　正規表現ファイル
　１０８　入出力制御インターフェース部
　１１２　入力装置
　１１４　出力装置
　１２０　外部システム
　１３０　ネットワーク
　２００　物体
　３００　平板翼

Claims (16)

  1. 　位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、
    　前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、
    　前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、
    　を含む流れパターンの正規表現作成方法。
  2. 　前記グラフ表現は、前記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることを特徴とする請求項１に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  3. 　前記グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画したものを含むことを特徴とする請求項１又は請求項２に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  4. 　前記流れパターンは、
    （１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ－∂－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
    （２）前記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ　ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ　ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、
    （３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、
    　からなるパターン語の１又は複数で規定されることを特徴とする請求項１～請求項３のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  5. 　前記グラフ作成工程は、
    　前記流れパターンが吸い込み湧き出し対を有する場合は、前記流れパターンを、前記吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ－ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、
    　前記変換した流れパターンの（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、
    領域全体から（ｓｓ－）ｓａｄｄｌｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、
    　カレント成分をルートに設定し、
    前記カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、
    　前記カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すこと、
    を含むことを特徴とする請求項１～請求項４のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  6. 　前記流れパターンは、前記パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることを特徴とする請求項５に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  7. 　さらに、前記正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程と、
    　を含むことを特徴とする請求項１～請求項６のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  8. 　前記語表現変換工程では、ルートつき，ラベル付き，及び方向つきのツリーに対応する正規表現のうちの基本タイプの正規表現に前方置換を施すことが可能な許容正規表現を前記語表現に変換することを特徴とする請求項７に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  9. 　前記語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、前記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることを特徴とする請求項７又は請求項８に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  10. 　さらに、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、前記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、前記語表現及び／又は前記正規表現を割り当て、割り当てた前記語表現及び／又は前記正規表現のうち、最適状態を示す前記語表現及び／又は前記正規表現を有する設計パラメータを、前記設計パラメータの候補として選択する設計パラメータ選択工程を含むことを特徴とする請求項１～請求項９のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  11. 　前記設計パラメータ選択工程は、さらに、前記選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行う工程を含むことを特徴とする請求項１０に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  12. 　さらに、流体中の物体に対して最適な設計パラメータを選択する場合に、現在の流れパターンの前記正規表現から目的とする流れパターンの前記正規表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現となる設計パラメータを選択する第２の設計パラメータ選択工程を含むことを特徴とする請求項１～請求項９のいずれか１つに記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  13. 　前記第２の設計パラメータ選択工程では、前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現へ遷移するように設計パラメータを変更し、当該目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することを特徴とする請求項１２に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  14. 　前記第２の設計パラメータ選択工程は、
    前記現在の流れパターンの前記正規表現及び語表現から前記目的とする流れパターンの正規表現及び語表現へ遷移するための１又は複数の経路を取得し、
    　前記取得した１又は複数の経路のうち、設計パラメータを変更して前記現在の流れパターンから遷移可能な経路を選択し、
    　前記選択した経路に対して、前記変更した設計パラメータを中心にして設計パラメータを変更し、前記目的とする流れパターンの前記正規表現及び語表現となる設計パラメータを選択することを特徴とする請求項１３に記載の流れパターンの正規表現作成方法。
  15. 　位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置であって、
    　前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成手段と、
    　前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成手段と、
    　を備えたことを特徴とする流れパターンの正規表現作成装置。
  16. 　位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成装置に搭載されるプログラムであって、
    　前記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、
    　前記グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、
    　をコンピュータに実行させることを特徴とするコンピュータが実行可能なプログラム。
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